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Curso 2010/11 CURSO PAU 25

DIBUJO TÉCNICO

UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II) UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona 1 Francisco Irles Mas.

UNIDAD DIDÁCTICA V: Geometría 3D (II) 1 ÍNDICE

Página:

1 ABATIMIENTOS...................................................................................... 2

1.1 GENERALIDADES.......................................................................... 2

1.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO....................................................... 2

1.2.1 ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE........... 2

1.2.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO GENÉRICO.................... 3

1.2.3 ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA....................... 4

2 DISTANCIAS........................................................................................... 4

2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS............................................... 5

2.2 DISTANCIA ENTRE PUNTO P Y RECTA R.................................. 5

2.3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S PARALELAS.............. 5

2.4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO A Y UN PLANO α..................... 6

2.5 DISTANCIA ENTRE UNA RECTAS Y UN PLANO........................ 6

2.6 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S QUE SE CRUZAN..... 6

3 ÁNGULOS................................................................................................ 7

3.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS R y S.................................... 7

3.2. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.........................................7

3.3 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS α Y β......................................7

4. POLIEDROS............................................................................................8

4.1 EL TETRAEDRO........................................................................ 8

4.2 EXAEDRO.................................................................................. 10

4.3 OCTAEDRO............................................................................... 11

4.4 EL DODECAEDRO.................................................................... 11

4.5 EL ICOSAEDRO........................................................................ 11

5 SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 3................................................... 13

6 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS....................................... 19


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1 ABATIMIENTOS.

1.1 GENERALIDADES.

Los abatimientos son uno de los métodos del sistema diédrico más utilizados para situar ángulos o magnitudes en el espacio o bien para obtener sus verdaderas magnitudes, frente a los giros o cambios de plano no incluidos en el programa oficial de PAU-25. El concepto general de abatimiento va siempre ligado a dos planos (figura 1), el que se abate α y aquel sobre el que abatimos π. Los elementos que intervienen en el proceso además de estos dos planos son: - La charnela del abatimiento es la recta de interseccíón del plano α con el

plano π. - El sentido en el que se abate, pudiendo haber siempre dos opciones hacia un lado u otro de la charnela. - Los elementos a abatir, que en cualquier caso siempre deberán estar contenidos en el plano α.

1.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO. Para abatir cualquier elemento nos basaremos en un plano que le contenga. La nomenclatura que emplearemos es: las mismas letras que en proyecciones pero entre paréntesis, pudiendo aparecer como subíndice, fuera del paréntesis, el nombre del plano con que se ha abatido (esto se emplea para no confundirnos cuando hay más de un abatimiento en una construcción). Aunque se pueden hacer abatimientos sobre cualquier plano, nos vamos a centrar en los que se producen sobre los del diedro de referencia, que son los más comunes. 1.2.1 ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE. Para abatir un plano proyectante se puede hacer sobre el PPV o sobre PPH. Si, por ejemplo, se trata de un proyectante horizontal, para abatirlo sobre el PPH bastará con levantar por su vértice una perpendicular a la traza no ortogonal a la línea de tierra, con lo que ya tenemos su vértice en VM

Figura 1: Elementos de un abatimiento.

Figura 2: Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre PPH.


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(Verdadera Magnitud) y la traza α2 abatida sobre el PPH (α2) . Para abatir cualquier punto A de α basta con llevar sobre una perpendicular por A1 a la charnela α1 la cota de A a partir de α1.

También se puede abatir el mismo plano sobre el PPV, de forma que la charnela ahora es α2 y la (α1) queda superpuesta con la LT. Para abatir un punto A llevamos la distancia de A1 al vértice del plano sobre (α1) y mediante una paralela a α2 hasta encontrarse con la trayectoria de abatimiento de A, que será la perpendicular a α2 por A2 . 1.2.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO GENÉRICO.

Para abatir un plano genérico α lo normal es auxiliarnos de un punto P de la traza que no actúa como charnela, de forma que la distancia VP2 es conocida en VM, por estar sobre el PPV. Al abatir el punto P, describe una trayectoria circular alrededor de la charnela con centro en O hasta situarse sobre el plano de proyección. Esta trayectoria queda vista como un filo en la proyección: una recta perpendicular a la charnela por P1 que interseca con la circunferencia de radio VP2 y centro en V, en el punto (P), por el cual pasará (α2).

Hay ocasiones que interesa realizar otra construcción pues no tenemos dentro de los límites del dibujo el vértice del plano. Esta construcción se basa en el triángulo que forma sobre el diedro la recta de máxima pendiente (si abatimos sobre PPH) o inclinación (si abatimos sobre PPV) que pasa por P, triángulo P2,P1,O. De forma que el radio de la trayectoria del punto P será la hipotenusa. Para determinar su magnitud en VM usamos el plano proyectante β que es perpendicular al plano sobre el que deseamos abatir α.

Figura 4: Abatimiento de un plano genérico α.

Figura 2: Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre PPV.

Figura 3: Abatimiento de α sobre PPH


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Debemos abatir en primer lugar el punto P intersección de PPV, α y β por medio de un abatimiento sobre PPH de β. De esta forma obtenemos la VM del segmento OP, (O)(P), ya que O=(O) al estar sobre la charnela β1. Llevamos esta VM a partir de O1 sobre la trayectoria de P alrededor de la charnela α1, es decir, sobre la perpendicular a α1 por P1 y obtendremos (P)α de forma que por ese punto pasa (α2). Esta misma construcción se ha de repetir con otro punto Q si no se pudiese conocer V. 1.2.3 ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA. Para abatir una figura plana debemos conocer su plano (aplicando criterios de pertenencia de la unidad anterior), de forma

que bastará con abatir todos sus puntos y unirlos en el abatimiento. Para abatir un punto de un plano, que no está sobre la trazas, debemos auxiliarnos de una recta que pase por él de forma que abatimos las trazas de la recta (la que está sobre la charnela queda sobre sí misma, si no es que es un punto del infinito) y uniéndolas la recta (r). Donde interseque (r) a la trayectoria circular que describe el punto alrededor de la charnela (que la vemos como un filo y perpendicular a la charnela por la proyección del punto) tendremos el punto abatido. 2. DISTANCIAS. Las distancias en sistema diédrico, como en cualquier proyección cilíndrica, sólo se verán en VM cuando estén dispuestas paralelas al plano de proyección. Es decir, se ven en VM en la PH si están

horizontales y en la PV si son frontales. En cualquier otra orientación se van a proyectar reduciendo su dimensión, y en ningún caso ampliándola.

Figura 6: Abatir el triángulo ABC, conocido su plano α y la proyección vertical A2, B2, C2.

Figura 5: Abatir α, sin disponer de V requiere repetir la construcción de abatir P con el punto Q.


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La resolución de problemas de distancias en diédrico se reduce a tener el concepto de distancia claro, determinar mediante rectas, planos e intersecciones el segmento que la representa y entonces abatirlo mediante un plano para verlo en verdadera magnitud.

2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Es la longitud del segmento recto que los une. Para obtener su VM bastará con abatirlos mediante un plano que los contenga, usualmente y por comodidad un proyectante. 2.2 DISTANCIA ENTRE PUNTO A Y RECTA R. Es la longitud del

segmento que se define entre el punto A y el pie B de la perpendicular a la recta por el punto A. Para determinar dicho pie hay dos formas:

1/ Obtener el plano α definido por A y R, abatir α, A y R y de determinar la distancia trazando la perpendicular a (R) desde (A). 2/ Trazar la recta S perpendicular a R por A que la corte y determinar su intersección B. Rectas S perpendiculares por A a R, hay infinitas. Definimos el lugar geométrico de todas ellas mediante el plano β perpendicular a R por A y determinamos el punto B como la intersección de R con β. Abatimos finalmente AB. 2.3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S PARALELAS.

Si son paralelas definen un plano que las contiene. De nuevo podemos

plantear el problema de dos formas:

Figura 7: Distancia AB.

Figura 9: Distancia de P a R, método 1.

Figura 8: Distancia de un punto a una recta r.


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1/ Trazar un plano perpendicular a ambas rectas γ y determinar los puntos intersección para entonces abatir el segmento definido por ellos que será la VM de la distancia.

2/ Obtener

el plano α que las contiene y abatir con él R y S de forma que en el abatimiento trazaríamos la perpendicular a (r) y (s), determinando las intersecciones con ellas el segmento distancia en VM.

2.4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO A Y UN

PLANO α. Trazamos la recta R perpendicular desde el

punto A al plano α. Su intersección con el plano nos define el segmento AB que abatido nos da la VM. 2.5 DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.

Sólo está definida si son paralelos. En tal caso tomamos un punto cualquiera A de la recta y resolvemos según el punto anterior (hay otros métodos).

2.6 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S QUE SE CRUZAN.

En el caso de que se crucen en el espacio debemos trazar por un punto

cualquiera P de R una recta paralela a S que llamamos T, para trazar con T y R un plano α. Por un punto cualquiera A de S trazamos una recta Q perpendicular a α y determinamos el punto B de intersección con α mediante un plano auxiliar β. Abatimos el segmento AB por medio de β y tendremos en (A)(B) la VM de la distancia.

Figura 10: Distancia entre r y s.

Figura 11: Distancia entre R y S mediante método 1/.

Figura 12: Distancia de un punto a α. Figura 13: Distancia entre dos rectas R y S que se

cruzan.


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3 ÁNGULOS. Ya se definió el ángulo en geometría 2D como la magnitud que diferencia la dirección de dos rectas, y que lo representábamos mediante dos segmentos unidos por su extremo, el vértice del ángulo, y un pequeño arco. En el espacio mantenemos esa definición con el añadido de que esas dos rectas definen el plano en que estamos midiendo el ángulo. Los ángulos en sistema diédrico se van a ver deformados salvo que se sitúen en un plano frontal o en uno horizontal, pudiéndose ver reducidos o aumentados a diferencia de las distancias. Definimos a continuación como obtener los ángulos entre rectas y planos, si bien el obtener su verdadera magnitud siempre será mediante un abatimiento del plano en que lo medimos y de las dos rectas que lo conforman. 3.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS R y S. Si no se cortan, tomamos un punto A cualquiera de ellas, por ejemplo R, y trazamos por el una recta T paralela a S por A. Con R y T obtenemos el plano α que las contiene. Abatimos α y con R y T. El ángulo entre (R) y (T) es el buscado. 3.2. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.

Llamamos ángulo entre una recta R y un plano α al ángulo mínimo que podemos encontrar entre R y las infinitas rectas de α. Este se va a producir sobre el plano β perpendicular a α que pase por R. Entre R y la recta intersección α con β.

Para obtener ese plano β trazamos una recta S perpendicular a α por un punto cualquiera P de R, obteniendo sus trazas por las de las rectas. 3.3 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS α Y β. Es aquel que se produce sobre un plano γ perpendicular a ambos sobre las rectas intersección R de γ con α y S de γ con β. Partiendo de este concepto tomamos la recta intersección I de los planos α y β y trazar γ perpendicular a ella. Otro método más rápido es determinar el ángulo que forman las rectas

tomadas desde un punto cualquiera perpendiculares a los planos dados.

Figura 14: Ángulo entre recta y plano.

Figura 15: Ángulo entre 2 planos.


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4. POLIEDROS.

Se define como poliedro la figura geométrica tridimensional formada por un volumen que encierra una superficie formada por varias caras planas. De esta forma podemos tener poliedros convexos o cóncavos. Son convexos aquellos que todos los ángulos entre dos caras contiguas son menores de 180º medidos desde el interior del volumen, y cóncavos los demás.

Los poliedros pueden ser regulares o no. Para ser regular debe tener

todas sus caras iguales, y deben ser además el mismo polígono regular. Definido de esta forma sólo existen cinco: tetraedro, exaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Se definen los poliedros conjugados como aquellos que resultan de unir

los puntos centrales de sus caras. Y los poliedros truncados que resultan de cortar los vértices de los poliedros regulares originando nuevas caras también polígonos regulares.

Se define como sección plana la intersección de un plano con un

volumen. Por ejemplo, en los poliedros obtendremos como secciones planas polígonos. Cada poliedro tiene una serie de secciones que son características para cada uno de ellos y que albergan elementos notables; es lo que llamaremos secciones principales.

Los poliedros tienen muchas

aplicaciones, como puedan ser estudio de cristalografía, esculturas, estructuras, el clásico balón de fútbol, etc. 4.1 EL TETRAEDRO. Como su nombre indica tiene 4 caras. Son triángulos equiláteros, con lo que tiene 4 vértices y 6 aristas. Su sección principal está según un plano que pase por una arista y sea perpendicular a la opuesta pasando por su punto medio. La sección resultante es un triángulo isósceles cuyo lado desigual es la arista y los otros alturas de cara. En esta sección principal esta la altura del tetraedro, segmento perpendicular desde un vértice a la cara opuesta, y que corresponde a la

Figura 16:Tetraedro y sección principal.


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altura de uno de los lados iguales de la sección principal. La altura del lado desigual es la distancia entre aristas opuestas, que se cruzan en el espacio formando 90º. Su poliedro conjugado es otro tetraedro.

Los proble-mas típicos que se plantean en un tetraedro suelen ser de situarlo a partir de ciertos datos de alguno de sus elementos notables. Casi siempre se resuelven mediante construcciones a partir de su sección principal para obtener los restantes elemen-tos, que luego situamos mediante

abatimientos, perpendiculares, etc. Veamos un ejemplo: Dibuja las proyecciones de un tetraedro con los siguientes datos: 1/ La arista AB se da y está situada en el PPH. 2/ La arista AC está en el PPV. 3/ El vértice D está en el primer diedro.

Si las aristas AB y AC están sobre los planos del diedro, tendremos que A esta sobre la LT y además es el vértice del plano α que contiene la cara ABC, cuyas trazas estarán superpuestas con AB y AC. Por tanto ya conocemos α1. Dibujamos a 60º (α) con lo que tenemos el plano abatido. Situamos la cara ABC y la

desabatimos sabiendo que C está

en el PPV, con lo que obtenemos α2. Para levantar el vértice D determinamos

Figura 17: Proyecciones diédricas de un tetraedro en diversas posiciones, apoyado sobre el PPH por una cara, por una arista y en posición genérica.

Figura 18: Caso práctico.


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el pie de su altura O a un tercio de la altura de cara de ABC, que trazamos uniendo A con el punto medio de BC (no esta en VM, pero la reducción es uniforme, por lo que ½ y 1/3 siguen siéndolo). Por O trazamos una perpendicular R a α, y la abatimos junto con O por medio de un plano proyectante β. En construcción aparte, por no emborronar la cara abatida con α, obtenemos la sección principal y la altura h del tetraedro, la cual llevamos a partir de (O) hacia el primer diedro y la desabatimos con β. Por último resta unir todos los vértices como corresponde y discernir aristas ocultas de vistas. 4.2. EL EXAEDRO. Más conocido como cubo, es el poliedro de seis caras cuadradas. Tiene por tanto 12 aristas, 8 vértices y cuatro diagonales. Su sección principal esta formada por dos aristas diagonalmente opuestas y dos diagonales de cara formando un rectángulo, en el que destacan el lado, la diagonal de cara, la diagonal y las proyecciones de los vértices incluidos en esa sección sobre la diagonal. Su poliedro conjugado es el octaedro y es además el conjugado de él. La resolución de problemas sigue los mismos criterios que para el tetraedro, pero con la particularidad de que como las aristas son paralelas en grupos de 4 bastará con posicionar 3 ortogonales para, por paralelas, sacar el resto.

Figura 19: Sección principal del cubo.

Figura 20: Posiciones típicas del cubo: frontal, apoyado sobre una cara, sobre una arista, sobre un vértice y genérica.


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Figura 22: Sección principal del octaedro.

Figura 21: Proyecciones de un octaedro apoyado sobre un vértice, una arista y un plano genérico.

4.2. EL OCTAEDRO. Es el poliedro de ocho caras triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices y 12 aristas. Su sección principal es la que produce un plano que pase por dos vértices opuestos y los puntos medios de las aristas intermedias. Queda formada por un rombo de alturas de cara como lados y diagonales la del propio octaedro llamada principal y como diagonal menor un lado. Su conjugado es el cubo. 4.4. EL DODECAEDRO. Es un poliedro formado por pentágonos, tiene 12 caras, 20 vértices y 30 aristas. Su conjugado es el icosaedro. No vamos a estudiarlo con profundidad ya que su complejidad escapa a los objetivos de este curso. 4.5 EL ICOSAEDRO.

Es un poliedro formado por triángulos equiláteros, tiene 20 caras, 12 vértices y 30 aristas. No vamos a estudiarlo con profundidad ya que su complejidad escapa a los objetivos de este curso. En base al icosaedro,


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Figura 22: Diversas proyecciones diédricas del dodecaedro: sobre cara, sobre vértice, sobre arista paralela a LT, sobre arista, sobre plano genérico.

mediante un trucado a un tercio de los lados se logra un poliedro formado por

hexágonos y pentágonos que es el que se ha utilizado en el conocido balón de fútbol.

Figura 23: Proyecciones de un icosaedro en posición genérica.

Figura 24: Icosaedro truncado. Poliedro de hexágonos y pentágonos.


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Figura 25: de ejercicio 1.

5 SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 3

1/ Determina el centro de homotecia “O” de los siguientes pares de figuras homotéticas y la razón de homotecia “K” de cada una de ellas. La K la debes calcular analíticamente y gráficamente (utilícese de unidad el cm.)

Analíticamente bastará medir los segmentos homotéticos para calcular K: De izquierda a derecha: K= A’C’/AC= 27 / 45 = 0,6

K=OB’/OB= -20 / 40 =-0,5 K=OA’/OA= 16,5 / 9 =1,8 2/ Dibuja un eneágono estrellado de paso 4 conocida la distancia de la cuerda de cada paso L=10 cm. ¿Cuántos triángulos distintos eres capaz de identificar? ¿Qué geometría queda como contorno interior en la parte central?

Se diferencian al menos 4 triángulos distintos.

Otro eneágono regular.


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3/ La distancia entre dos puntos representados en un mapa es de 32 mm. Si en la leyenda del mismo pone que la escala a la que está realizado es de E 1:50.000 ; ¿Cuál es la distancia real entre estos dos puntos?. ( No hay que tener en cuenta la esfericidad de la tierra, ni el desnivel que pueda existir ).

4/ Tenemos un plano de la ciudad de Alicante. Una manzana de casas mide 64 metros. Si en el plano dicha manzana mide 8 mm.; ¿A qué escala está realizado el plano?

5/ La maqueta de un velero está realizada a la escala E 1:72 . Si el mástil mide 12,5 centímetros de altura, ¿cuánto mide el mástil real?

6/ Calcular la altura de la maqueta de un edificio 62,4 metros de altura a la escala E 1:75.


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7/ Tenemos un mapa a la escala E 1:50.000. Queremos confeccionar una escala gráfica que nos mida kilómetros sobre dicho mapa. ¿Qué separación tendremos entre dos líneas consecutivas?

8/ Representar la escala gráfica correspondiente a la Escala 3,7 : 5,2 para medir en centímetros.

Ateniéndonos a la definición de escala gráfica, tendremos que realizar una regla que mida centímetros en esta escala. Dicho de otro modo: suponiendo que nos dieran un plano en cuya leyenda indicara la escala 3,7:5,2, con dicha regla nosotros pudiéramos medir directamente sobre el dibujo y averiguar las medidas reales del objeto en cuestión.

9/ Realizar la escala gráfica correspondiente a la Escala 84:648 e indicar en que unidades estaremos midiendo.


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Como una de las dos magnitudes es demasiado grande como para representarla directamente, tomaremos unidades más pequeñas. Así a partir del punto P tomamos 129,6 mm (para que quepa aplicamos una escala 1/5 648/5=129,6) y trazamos las divisiones de 100 en 100 cada 2 cms. En la recta del dibujo tenemos que tomar las unidades que corresponden porque de otro modo deformaríamos la escala. Obtenemos la figura y con ella la regla que le correspondería.

10/

Construir la escala

gráfica de la Escala

12,75: 47175 con

las unidades

que convengan. Para que

quepa usamos la escala 1/5: 47,175 /5 = 94,35


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11/ En una oficina técnica se trabaja con un plano a escala 1:2.000. Se sabe que una obra tiene 72 metros de longitud. Se hace una fotocopia en una máquina y la representación de la misma obra resulta medir 4 milímetros menos que en el original. Averiguar la nueva escala del plano en la fotocopia.

12/ Tenemos un plano de situación de una parcela a la Escala 1:5000. Calcular la superficie real de la parcela sabiendo que en el plano tiene una superficie de 521 milímetros cuadrados.

Al tratarse de una superficie a escala debemos multiplicar por E2: S = 521 x 5000 2 = 1,3025 x 10 10 mm. 2 = 13025 m. 2

13/ Suponiendo que la figura representa las vistas de un depósito realizado en hormigón, y que el plano está a Escala 1:150, calcular el volumen de hormigón necesario para llevar a cabo la obra.

Se puede resolver de dos formas distintas: 1/ Tomar las medidas en milímetros de papel y pasarlas a metros de realidad y luego calcular el volumen. 2/ Calcular el volumen en mm3 a partir de las medidas tomadas en papel y luego convertir el volumen a m3 de realidad. 1/ Volumen del prisma exterior – volumen del prisma interior: V = 26,5 x150 x 64 x150 x 37,5 x 150 – 19 x 150

x 30 x 150 x 56,5 x 150 = 1,05958125 x 1011 mm.3 = 105,958125 m.3 2/ Volumen del prisma exterior – volumen del prisma interior: V = 26,5 x 64 x 37,5 – 19 x 30 x 56,5 = 31385 mm.3 de papel = 31385 x 150 3 mm.3 de hormigón = 1,05958125 x 1011 mm.3 = 105,958125 m.3


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14/ Determina en el siguiente par de figuras cual es la traslación y el giro que a que debe someterse el trapecio isósceles para ajustarse a la oquedad del heptágono irregular. ATENCIÓN: no se pide realizar el giro y la traslación sólo determinar su magnitud, dirección, sentido y en el caso del giro su centro.

6 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS

1/ Dibujar las proyecciones de de un triángulo equilátero que esté contenido en α sabiendo que el vértice A esta sobre α2, B sobre α1, el lado mide 25 mm. y uno de los lados es frontal de plano. Dibuja sólo la solución del primer diedro.

2/ Determina la distancia en VM entre las rectas r y s, que son paralelas. 3/ Determina las trazas de un plano β que diste 20 mm. del punto A y

sea paralelo a α, quedando por encima de él. 4/ Determina el ángulo en VM formado por R y S sabiendo que se

cortan. 5/ Determina el ángulo en VM que forman α y β. 6/ Sobre el plano α apoya sobre una cara un cubo de forma que se

“cuelga” por un vértice del punto A. Es decir por acción de la gravedad una diagonal de la cara que apoya estará sobre la recta de máxima pendiente que pasa por A. Lado del cubo = 20 mm.

Las lecturas de esta unidad se realizarán sobre cualquier libro que

aborde el sistema diédrico, en concreto los temas de abatimientos; distancias y ángulos (solamente mediante abatimientos, no por giros o cambios de plano); poliedros regulares.


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