cuanticai (5)
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Mecánica Cuántica I
NOTAS DE CLASE
Fernando Cristancho universidad nacional de colombia
Bogotá, 8 de noviembre de 2015
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Contenido
1. La antigua teoŕıa cuántica 1
1.1. Los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. La radiación del cuerpo negro: la constante de Plack (1900) . . . . . . . . . 11.1.2. El efecto fotoeléctrico (Einstein, 1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. La cuantización de las enerǵıas del átomo de hidrógeno (Bohr, 1913) . . . . 3
1.1.4. Experimento de Franck y Hertz (1914): cuantización de los niveles de enerǵıa de los1.1.5. Stern-Gerlach (1922): Cuantización de la orientación en el espacio . . . . . . 51.1.6. Young (∼1800), Compton (1924), Davisson-Germer (1927) . . . . . . . . . 6
1.2. Las dificultades en la interpretación de los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Aproximación teórica: Las “ondas piloto” de de Broglie (1924) . . . . . . . . . . . . 91.4. El principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Descripción ondulatoria de estados mecano-cuánticos 21
2.1. Construcción de la ecuación de Schödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. El postulado de Max Born (1926): interpretación estad́ıstica de Ψ . . . . . . . . . . 26
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2.3. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Propiedades generales de la solución independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Para reflexionar: movimiento en potenciales mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6. El potencial escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.1. E < V 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1.1. Reflexión total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1.2. Verificación experimental de la disminución exponencial . . . . . . 46
2.6.1.3. Sobre la dualidad onda-part́ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.1.4. Lo que dice el principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2. E > V 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6.2.1. Onda incidiendo desde x < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2.2. Onda incidiendo desde x > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.7. Barrera rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7.1. E < V 0: efecto túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7.2. Un repaso sobre enerǵıa total negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.3. Ejemplo: Decaimiento alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.7.4. E > V 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.7.5. E > 0, V 0
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2.8.3. Ejemplo: El deuterón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.8.4. El pozo rectangular infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.9. El oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.9.1. Potenciales de rango finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.9.2. Las funciones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.2.1. La forma de las soluciones asintóticas . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.9.2.2. Soluciones en todo el rango: Las funciones de Hermite . . . . . . . 93
2.9.3. Los valores de la enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.9.4. Representación gráfica de los H n(ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.10. Potencial periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3. Las herramientas matemáticas de la Mecánica Cuántica 1113.1. El espacio de las funciones de onda de una part́ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.1.1. El espacio vectorial de las funciones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1.2. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.3. Bases ortonormales discretas enF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1.4. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.5. Las componentes de un función de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.6. El producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1.7. La relación de cerradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.1.8. Bases que no pertenecen a F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
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3.1.9. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.1.10. Funciones delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.11. Generalización a bases ortonormales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.1.11.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.1.11.2. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.1.11.3. El producto escalar en términos de las componentes . . . . . . . . 130
3.2. El espacio de estados. Notación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.1. Vectores ket y vectores bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.2. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.2.3. El operador conjugado herḿıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.3.1. Operador lineal actuando sobre un bra| . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.3.2. El adjunto de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.2.3.3. Correspondencia entre un operador y su adjunto . . . . . . . . . . 1393.2.3.4. Operadores herḿıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3. Representaciones en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3.1. El operador identidad en una base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.3.2. Representación matricial de bras y kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3.3. Representación matricial de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3.4. La representación del producto de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3.5. La matriz que representa |ψ′=
A|ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.3.6. Expresión matricial del número ϕ|A|ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
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3.3.7. Representación matricial del adjunto A† de A . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3.8. Cambio de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4. Ecuaciones de valores propios. Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4.1. Valores y vectores propios de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.4.2. Degeneracíon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.3. Resolviendo la ecuación de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.4.4. Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.4.4.1. Propiedades de kets y valores propios de un operador Herḿıtico (A† = A)13.4.4.2. Definición de observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.4.4.3. Conjuntos de observables que conmutan . . . . . . . . . . . . . . 1553.4.4.4. Conjunto Completo de Observables Conmutantes . . . . . . . . . 156
3.5. Las representaciones {|r} y {|p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.5.1. r en la base { |r } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.5.1.1. Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.5.2. p en la base { |p } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.5.3. p en la base { |r } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.5.3.1. Elemento de matriz de p en {|r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.5.3.2. Conmutadores de p en la representación { |r } . . . . . . . . . . . 1643.5.4. r y p son hermı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.5.5. Valores propios de r y p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.5.6. r y p son observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
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3.5.7. Funciones de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4. Postulados de la Mecánica Cuántica 1694.1. Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2. Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3. Reglas de cuantización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.4. El valor medio de un observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.4.1. Ejemplo: El dado como sistema cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.2. La desviación estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.5. Observables compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.6. Relaciones de incertidumbre para r y p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7. La evolución temporal del ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.7.1. Conservación de la norma del vector de estado . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.7.2. Evolución temporal del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.7.3. El teorema de Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.7.4. Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5. Fuerzas centrales y momento angular 1875.1. Momento angular en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.2. Momento angular en Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.3. Propiedades algebráicas del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.3.1. Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
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5.3.2. Generalización del concepto de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . 1975.3.3. Operadores escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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Caṕıtulo 1La antigua teoŕıa cuántica
1.1. Los experimentos
1.1.1. La radiación del cuerpo negro: la constante de Plack (1900)
ǫν = hν (1.1)
h = 6.6 × 10−27 erg·sǫν = enerǵıa emitida o
absorbida por el osciladorν = frecuencia del oscilador
clásica
osciladores
radiacióncavidad
cuánticos
Los osciladores emiten o absorben cantidades cuantizadas de enerǵıa
1
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1.1.2. El efecto fotoeléctrico (Einstein, 1905)
+−
ánodocátodo
luz=fotones: ǫf = hν
e−
12
mev2 = ǫf − ϕ (1.2)ǫf = enerǵıa del fotón = hν
ν = frecuencia de la luz
ϕ = función trabajoLa enerǵıa de la radiación está cuantizada
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1.1.3. La cuantización de las enerǵıas del átomo de hidrógeno (Bohr, 1913)
En = enerǵıa del nivel n-ésimo
hνnm = En − Em (1.3)= enerǵıa emitida en
la transición n → m
Verificación experimental: principio de Ritz:E3 − E0 = hν32 + hν20 = hν31 + hν10
hν30 = E3 − E0E0
E1
E4
E2
E3hν32
hν20
hν31
hν10
cuantización del momento angular:
L = mvr = n h2π
(1.4)
implica cuantización de la enerǵıa total:
En =−
1
n2 · me2
22 =
−13.6 eV
n2 (1.5)
3
(191 )
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1.1.4. Experimento de Franck y Hertz (1914): cuantización de los niveles de enerǵıade los átomos.
cátodo ánodogrilla
AV
gas demercurio
V (voltios)
A ( u . a . )
1614121086420
8
76543
210
¿Cuál es la relación entre los valores de voltaje en los máximos de corriente y el modelo de Bohr?
¿Por qué la corriente llega a un máximo en V ≈ 4.9 voltios y luego disminuye?¿Cuál es el mecanismo en el siguiente máximo (V
≈ 9.5) voltios?
4
S G l h (1922) C i i´ d l i i´ l i
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1.1.5. Stern-Gerlach (1922): Cuantización de la orientación en el espacio
| ↑B N
z
S
colimadores
horno
| ↓
Átomos neutros de Ag a través de un campo magnético no uniforme.
Ag tiene un momento magnético µ. En presencia del campo magnético no uniforme espacialmente:
F=
−µ · ∇BLa relación entre momento magnético y el momento angular total J:
µ = µB g J (1.6)
µB = 0.6 × 10−4 eVT (1.7)Origen de µ 0 en Ag?
Z = 47
Configuración electrónica: [Kr] 4d10 5s1
5
Y ( 1800) C t (1924) D i G (1927)
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1.1.6. Young (∼1800), Compton (1924), Davisson-Germer (1927)
fuente (fotones, electrones)
R1 R2
R1/R2
R1+R2La ĺınea azul representa la intensidad transmitida si so-lamente la rendija R1 está abierta: difracción.
Si se abre la rendija R2, el resultado no es la curva azulmás alta, sino la curva roja, rotulada R1+R2.
Este comportamiento es el mismo para fotones y para
electrones.Para fotones, el resultado experimental es explicado porla interferencia de ondas electromagnéticas.
Difracción de electrones: experimentos de Davisson y
Germer (1927). El electrón es una onda!
Eγ = hν
E′γ = hν′
T e
e−
ϕ
θ
Las relaciones de conservación de enerǵıa y momentolineal para part́ıculas puntuales:
E′γ =Eγ
1 + ǫ(1 − cos θ) (1.8)ǫ =
Eγ
mec2 (1.9)
El fotón es una part́ıcula!
6
1 2 Las dificultades en la interpretación de los experimentos
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1.2. Las dificultades en la interpretacion de los experimentos
Éxitos de la Antigua Teoŕıa Cuántica
El átomo de hidrógeno y en general de los átomos hidrogenoides (He+
, Li++
) y de los alcalinos= Grupo 1: un electrón en su capa activa. (H, Li, Na, K, Rb, Cs, Fr).
Espectros: emisión y absorción de radiación por sistemas ató,icos y moleculares. Ejemplo:Lyman, Balmer, Paschen, Bracket, Pfund
1
λ = R
1
n2 − 1
m2
(1.10)
R = 1.1
×107 m−1 = constante de Rydberg
n, m = números cuánticos de dos niveles energéticos
... y de rayos X.
Efecto Zeeman
Observación: los mayores éxitos son en sistemas periódicos. No hay descripción alguna paraotros sistemas.
La “teoŕıa”, hasta este punto, es incompleta.
7
Fracasos
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Fracasos
Efecto Zeeman anómalo
El átomo no ionizado de He.
Dificultades
Las reglas de cuantización son una mezcla de teoŕıa clásica e imposición emṕırica.
No existe justificación teórica de las reglas de cuantización.
En el caso del electrón atómico, desaparece el concepto de trayectoria de la part́ıcula
La descripción clásica del intercambio de enerǵıa entre la onda electromagnética y el electrónes irreconciliable con la observación experimental.
...
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1 3 Aproximación teórica: Las “ondas piloto” de de Broglie (1924)
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1.3. Aproximacion teorica: Las ondas piloto de de Broglie (1924)
Postulado: El movimiento de una part́ıcula está gobernado por la propagación ondulatoria de ciertasondas piloto asociadas con la part́ıcula.
¿Cuál es su longitud de onda?
del efecto fotoeléctrico: ν = E
h
λ = wν
w = velocidad de propagación de la onda
Cuantos de luz: w = c
λ = hcE
E2 = ( pc)2 + (m0c2)2
m0 = 0 para un cuanto de luz →
p = E
cλ =
h
p
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Postulados de de Broglie:
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Postulados de de Broglie:
Para las ondas piloto asociadas a una part́ıcula con momento lineal p y enerǵıa total relativ́ıstica E
λ = h p
ν = E
h
y el movimiento de la part́ıcula está regido por la propagación ondulatoria de las ondas piloto.
Verificación experimental de los postulados de De Broglie: difracción de electrones.
Conclusión: El postulad de de Broglie es esencialmente correcto.
Sin embargo: Lejos de ser una teoŕıa completa. Es un primer paso:
Las part́ıculas se mueven como las ondas piloto. ¿Cómo se propagan estas ondas?
R:/ La ecuación de Schrödinger (1925)
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1 4 El principio de incertidumbre
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1.4. El principio de incertidumbre
Significado en términos matemáticos: lapropagación del electrón tiene uncomportamiento ondulatorio...primera idea: a un electrón viajando en ladirección x se le asocia una “función de
onda”
Ψ(x, t) = cos
2π
λ x − 2πνt
En cierto instante fijo t:
x
vλ
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λ = longitud de onda
ν = frecuencia
v = velocidad de propagación
k = 2π
λω = 2πν
v = λν = ωk
12
La “función de onda” en términos de k y ω:
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La funcion de onda en terminos de k y ω:
Ψ(x, t) = cos(kx − ωt)Y las propiedades de la part́ıcula:
1. masa?
x
mv•
k = p = mv
k = 2πλ = mv
λ = 2π
mv
para T e = 10 eV
v = 1800 km/sλ = 4 · 10−8 cm
del orden del espacio entre átomos en un cristal
13
2. La posición del electrón?
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p
Ahora, en un instante dado ¿en dónde está el electrón?La probabilidad de que esté en cierto lugar entre x1 y x2 es x2
x1
|Ψ(x, t)|2 dx
x
t + ∆t
| Ψ ( x , t +
∆ t ) | 2 1
0
t
| Ψ ( x , t ) | 2
x1 x2
1
0
Conclusión: según esta aproximación, el electrón está prácticamente en cualquier parte.
Respetando la descripción ondulatoria, existe alguna manera de describir un electrón localizadoen alguna parte a algún tiempo?
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Construimos “paquetes de ondas”: sumamos ondas con números de onda muy similares entre śı:
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p q y
Ψ(x) = cos(k 1x) + cos(k 2x) + cos(k 3x) + cos(k 4x) + cos(k 5x)
k i =
{−1.0,
−0.5, 0.0, 0.5, 1.0
}
k
| Ψ ( x ) | 2
10−1
1
0
x
| Ψ
( x ) | 2
1050−5−10
1
0
15
Sumemos más ondas con intervalos más cortos entre k i y k i+1:
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24/210
y
Ψ(x) = cos(k 1x) + cos(k 2x) + · · · + cos(k 100x)k i =
{−1.00,
−0.99,
−0.98,
· · · , 0.99, 1.00
}
k 10−1
1
0
x
| Ψ
( x ) | 2
1050−5−10
1
0
16
-
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Ψ(x) =
N
icos(k ix)
k i = {−1.0, 1.0 + ∆k , 1.0 + 2∆k , · · · , 1.00}∆k =
1
N
Cuando N es muy grande:
N i
cos(k ix) → 1
−1cos(kx)dk =
sen(x)
x
17
1
-
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k
φ ( k )
10−1
1
0
x
( s e
n ( x ) / x ) 2
1050−5−100
18
2
-
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x
∆x
50−5k
1050−5−10
1
0
∆x∆k
1
0
∆x
|Ψ(x)|2
∆k
φ(k )
1
0
A medida se agranda el rango cubierto por k , aumenta la “localización” de la part́ıcula: el espacioen donde es más posible encontrar la part́ıcula, es cada vez más pequeño: ∆k crece, ∆x disminuye.
Recuerde p = mv = k : a medida que aumenta la localización de la part́ıcula, el rango develocidades que la part́ıcula “puede” tener es más grande: ∆x disminuye, ∆ p aumenta.
El principio de incertidumbre ∆x · ∆ p
19
“Demostración” experimental
-
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[Eisberg, 1997, p. 162], [Bohm, 1989, p. 104], [Born, 1989, Ch. IV, Sec. 7], [Messiah, 1959, Sec.IV-13]
Para un microscopio: poder de resolución = precisiónmáxima con que puede ubicarse la part́ıcula: ∆x ≈
λ
sen α (1.11)
α p
x
y
microscopio
Suposición: solamente necesitamos de un fotón para “ver” la part́ıcula...
p = k = hλ
El fotón puede ser dispersado entre +α y −αIncertidumbre en la componente x del momento lineal del fotón:
2 p sen α = 2 hλ
sen α
que es la incertidumbre en el momento absorbido por la part́ıcula:
∆ px ≈ 2 hλ sen α (1.12)... por lo tanto, multiplicando (1.11) y (1.12):
∆
x ·∆
px=
2h >
h
2π
20
-
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Caṕıtulo 2
Descripción ondulatoria de estados mecano-cuánticos
2.1. Construcción de la ecuación de Schödinger
Postulados de Schrödinger[Eisberg, 1997, Cap. 7]:
onda piloto → Ψ(x, t) = función de ondaλ =
h
p (2.1)
ν = E
p (2.2)
21
Es una teoŕıa no relativ́ıstica: la velocidad, v, de la part́ıcula es mucho menor que la de la luz en el´
-
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vaćıo:
E v≪c
≈ p2
2m0+V + m0c
2
E = p2
2m+ V (2.3)
La ecuación de la cual Ψ(x, t) es solución debe cumplir
1. Debe ser consistente con la ecs. (2.1), (2.2), (2.3).
2. Lineal en Ψ(x, t). Si Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) soluciones, Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) tambíen es
solución.
¿Para qué? Para permitir fenómenos de interferencia.
3. En general V (x, t). Si V (x, t) = V 0 constante, el momento linel de la part́ıcula debe ser unaconstante.
dp
dt = F = −∂V (x, t)
∂t = −∂V 0
∂x = 0
En este caso
k = 2π
λ = p
= constante ω = E
= constante
22
p = k (2 4)
-
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E = ω (2.4)
En estas cantidades, la ec. 2.3 se convierte en
2k 2
2m +V (x, t) = ω (2.5)
Del requisito 2, la ecuación puede contener términos tales como
Ψ(x, t), ∂Ψ(x, t)∂x
, ∂2Ψ(x, t)∂x2
, . . . ∂Ψ(x, t)∂t
, ∂2Ψ(x, t)∂t2
, . . .
No puede contener, por ejemplo: [Ψ(x, t)]2.
Sigamos pensando en la part́ıcula libre. Miremos el postulado 3.
Ψ = sen(kx − ωt)∂Ψ
∂x
= k cos(kx
−ωt)
∂2Ψ
∂x2 =
−k 2 sen(kx
−ωt)
∂Ψ
∂t = −ω cos(kx − ωt) ∂
2Ψ
∂t2 = −ω2 sen(kx − ωt)
(2.6)
Podemos ensayar
α∂2Ψ
∂x2 +V 0Ψ = β
∂Ψ
∂t (2.7)
23
Reemplazando lo que sea útil de las ecs. 2.6
-
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−α sen(kx − ωt) k 2 + sen(kx − ωt) V 0 = − β cos(kx − ωt) ω (2.8)Pero esto no funciona. No hay maroma posible con α y β para que esta ecuación concuerde con (2.5)∀(x, t).
Segundo intento:Ψ(x, t) = cos(kx
−ωt) + γ sen(kx
−ωt) (2.9)
El mismo procedimiento anterior produce
2k 2
2m + V (x, t) = ω (2.5)
−αk 2
+ V 0 = − βγω−αk 2 + V 0 =
β
γω
Álgebra...
γ = ±i, α = 2
2m, β = ±i (2.10)
Usualmente se adopta γ = +i, entonces “descubrimos” que la función de onda de la part́ıcula libre es
Ψpart. libre(x, t) = cos(kx − ωt) + i sen(kx − ωt) = e(kx−ωt), (2.11)
24
y la ec. (2.7) con γ = +i:2 ∂2Ψ ∂Ψ
-
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− 2m
∂ Ψ
∂x2 + V 0Ψ = i
∂Ψ
∂t (2.12)
Postulamos: la siguiente ecuación gobierna la función de onda de cualquier part́ıcula, en cualquierpotencial V (x, t),
− 2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2 +V (x, t)Ψ(x, t) = i
∂Ψ(x, t)
∂t . (2.13)
Observaciones básicas:
En las soluciones de las funciones de onda “clásicas”: sonido, ondas en un tanque, campos elec-tromagnéticas, la amplitud de la onda es medible.
Principal opbservación: Ψ(x, t) es compleja!
Si Ψ(x, t) es compleja, no la podemos medir. Aunque... podŕıamos “medir” la parte real, o la
parte compleja.
Qué es lo que oscila?
¿Tiene Ψ(x, t) realización f́ısica?
25
2.2. El postulado de Max Born (1926): interpretación estad́ıstica de Ψ
-
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Si en el instante t se realiza una medida para ubicar la part́ıcula asociadacon la función de onda Ψ(x, t), entonces la probabilidad P(x, t)dx de
que el valor de la coordenada se encuentre entre x y x + dx es
P(x, t) dx = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t) dx (2.14)
Números complejos:
Ψ = R + iI , complejo conjugado de Ψ: Ψ∗ = R − iI Ψ
∗Ψ = (R + iI )(R − iI ) = R2 + iIR − iIR + i2I 2 = R2 + I 2
Ψ∗Ψ
es siempre una función real. Es consistente la asociación de Ψ
∗(x, t)Ψ
(x, t) con P(x, t).Sin embargo hay otras funciones que son reales, por ejemplo |Ψ(x, t)| y no la asociamos a P(x, t)!
Razón para elegir P(x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t):
original: − 2
2m
∂2Ψ
∂x2 + V Ψ = i
∂Ψ
∂t ×Ψ∗ : −
2
2mΨ
∗∂2Ψ
∂x2 +V Ψ∗Ψ = iΨ∗
∂Ψ
∂t
comp. conj.: − 2
2m
∂2Ψ∗
∂x2 +V Ψ∗ = −i∂Ψ∗
∂t ×Ψ : −2
2mΨ
∂2Ψ∗
∂x2 +V Ψ∗Ψ = −iΨ∂Ψ∗
∂t
26
Restamos la segunda de la primera, factorizamos derivadas y simplificamos constantes:
2
∂2Ψ ∂2Ψ∗
∂Ψ ∂Ψ∗
-
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− 2
2m
Ψ
∗∂2Ψ
∂x2 −Ψ∂
2Ψ
∗
∂x2
= i
Ψ
∗∂Ψ∂t + Ψ
∂Ψ∗
∂t
i
2m∂
∂x
Ψ
∗∂Ψ∂x
−Ψ∂Ψ∗∂x
= ∂Ψ∗Ψ
∂t (2.15)
27
Para tener una idea del significado, volvamos a considerar la part́ıcula libre
∂Ψ ∂ i(kx ωt)
-
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Ψ = ei(kx−ωt) ∂Ψ
∂x =
∂ei(kx−ωt)
∂x = ike(ikx−ωt) = ik Ψ
Ψ∗ = e−i(kx−ωt) ∂Ψ∗∂x = ∂e−
i(kx−
ωt)
∂x = −ike(ikx−ωt) = −ik Ψ∗
Sustituimos este resultado en la ec. (2.15):
−
m
∂
∂x (k Ψ∗Ψ) = ∂
∂t(Ψ∗Ψ) (2.16)k
m =
p
m =
mv
m = v
− ∂∂x
(vΨ∗Ψ) = ∂∂t
(Ψ∗Ψ) (2.17)
Este tipo de ecuaciones aparecen en otros campos. Examinemos uno de ellos: movimiento de fluidos.
28
Movimiento de un fluido
-
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Avρ
x1
x2
[ρ] = g
cm3, [v] =
cm
s , [ρv] =
g
cm2 sρv = F = flujo
= masa que fluye por unidad de área por unidad de tiempoAρv = masa que pasa por la superficie de área A por unidad de tiempo
Ley de conservación de la masa de un ĺıquido en movimiento:
A [ρ v]x1 − [ρ v]x2 = ∂∂t x2
x1ρ Adx
[ρ v]x1 − [ρ v]x2 = ∂
∂t
x2x1
ρ dx (2.18)
F(x1) − F(x2) = ∂∂t
x2x1
ρ dx (2.19)
29
Volvamos a la part́ıcula cuántica en la p. 28
∂ ∂
-
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− ∂∂x
(vΨ∗Ψ) = ∂
∂t(Ψ∗Ψ) (2.17)
Integramos entre x1 y x2
− x2
x1
∂
∂x (vΨ∗Ψ) dx =
∂
∂t
x2x1
Ψ∗Ψ dx
−[vΨ∗Ψ]x2x1 =
∂
∂t x2
x1Ψ∗Ψ dx
[vΨ∗Ψ]x1 − [vΨ∗Ψ]x2 = ∂
∂t
x2x1
Ψ∗Ψ dx (2.20)
Aceptado: para una part́ıcula libre la anterior ecuación dice 0 = 0!
Sucede lo mismo para un ĺıquido incompresible en un tubo de área constante A.
Respecto a la part́ıcula: la ec. (2.20) es válida para una part́ıcula cuyo potencial V (x, t) vaŕıelentamente respecto a x entre los puntos x1 y x2. ¿Por qué?
30
Porque
Ψ(x t) A(x)ei[k(x)x−ω(x)t] (2 21)
-
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Ψ(x, t) = A(x)ei[k (x)x ω(x)t] (2.21)
∂Ψ
∂x = ∂ A∂x + ik (x) +
∂k (x)
∂x · x − it∂ω(x)
∂x ei(k (x)x−ω(x)t) , (2.22)y podemos despreciar las variaciones de A(x), k (x) y ω(x) y recuperamos la ec. (2.20).
Lo que dice la ec. (2.20) es que la probabilidad sigue una ley de conservación similar a la de laconservación de la masa en el movimiento de fluidos.
Si seguimos el postulado de Born
+∞
−∞Ψ
∗(x, t)Ψ(x, t) dx = 1 (2.23)
Significado probabiĺıstico: hay certidumbre de encontrar la part́ıcula en algún punto entre −∞ y +∞para cualquier tiempo t.
Si la ec. (2.23) es cierta, la probabilidad debe conservarse en cada región entre x1 y x2. Es decir,debe existir una ecuación de conservación como las ecs. (2.18, 2.19) para los fluidos o la ec. (2.20)para part́ıculas en potenciales lentamente variables.
¿Cuál es la expresión para el flujo de la probabilidad en el caso general?
31
Volvamos a la ec. (2.15), p. 27
-
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i
2m
∂
∂x Ψ∗∂Ψ
∂x −Ψ∂Ψ
∗
∂x = ∂Ψ∗Ψ
∂t (2.15)
La expresión integral es
i
2m Ψ
∗∂Ψ∂x
−Ψ∂Ψ∗
∂x x2
x1
= ∂
∂t x2
x1
Ψ∗Ψ dx (2.24)
Postulado: el flujo de probabilidad es
F(x, t) = − i2m
Ψ∗(x, t)
∂Ψ(x, t)
∂x −Ψ(x, t)∂Ψ
∗(x, t)∂x
(2.25)
2.3. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Si el potencialV (x, t) = V (x)
solamente depende de la coordenada, la función de onda se puede escribir
Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) (2.26)
32
Reemplazando en ec. (2.13), p. 25
2 ∂2ψ(x)φ(t) ∂ψ(x)φ(t)
-
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− 2
2m
∂ ψ(x)φ(t)
∂x2 + V (x)ψ(x)φ(t) = i
∂ψ(x)φ(t)
∂t
− 22m
φ(t)d2
ψ(x)dx2
+ V (x)ψ(x)φ(t) = iψ(x)dφ(t)∂t
Dividiendo a ambos lados por ψ(x)φ(t):
1
ψ(x)− 22m d
2ψ(x)
dx2 + V (x)ψ(x)= i
1
φ(t)
dφ(t)
∂t
El lado izquierdo solamente depende de x. El derecho solamente de t. Los dos lados deben ser igualesa una constante C.
− 22m
d2ψ(x)dx2
+ V (x)ψ(x) = Cψ(x) (2.27)
idφ(t)
∂t = Cφ(t) (2.28)
La ec. (2.28) tiene por solución
φ(t) = e−iCt/ = cos(Ct/) − i sen(Ct/). (2.29)
33
La frecuencia de esta función es
ω = 2πν = C/ → ν = C/h = E/h por lo tanto C = E
-
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ω = 2πν = C/ → ν = C/h = E/h por lo tanto C = EPor lo tanto
φ(t) = eiEt/ (2.30)
Entonces la ecuación diferencial para la función dependiente de la coordenada es
−2
2m
d2ψ(x)
dx2 + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (2.31)
a la cual llamamos ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo .La función de onda total, solución de la ecuación de Schrödinger (2.13) es el producto de la solución
de la EdS independiente del tiempo (2.31) y la temporal (2.30)
Ψ(x, t) = φ(x) eiEt/ (2.32)
34
2.4. Propiedades generales de la solución independiente del tiempo
-
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1. ψ(x) debe ser finita (no infinita)
2. dψ(x)/dx debe ser finita
3. ψ(x) debe ser continua
4. dψ(x)/dx debe ser continua
Si ψ(x) no cumpliera uno de los requisitos 1, 2, entonces
Ψ(x, t) = e−iEt/ψ(x) y ∂Ψ(x, t)
∂x
= e−iEt/dψ(x)
dxno los cumpliŕıan. Por lo tanto ni la densidad de probabilidad
P(x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t)
ni el flujo de probabilidad
F(x, t) = − i2m
Ψ
∗(x, t)∂Ψ(x, t)
∂x −Ψ(x, t)∂Ψ
∗(x, t)∂x
los cumpliŕıan.
Para que el requisito 1 se cumpla, se debe cumplir también 3.
35
Necesitamos el requisito 4 pues
d2ψ 2m
-
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ψ
dx2 =
2m
2 [V (x) − E]ψ(x)
y si los valores de V (x), E y ψ(x) son finitos, también lo serán los de dψ/dx y por lo tanto d(dψ/dx)/dxes finita.
2.5. Para reflexionar: movimiento en potenciales mecánicos
V (x)
E
x
h(x)
E = 1
2mv2 +V (x)
V (x) = potencial gravitacional
V (x) = mgh(x)
36
2.6. El potencial escalón
-
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[Eisberg, 1997, p. 223], [Merzbacher, 1970, p. 88]
0 x
E
V 0
V (x)
A la derecha: condensadores ciĺındricos a diferente potencial eléctrico como ejemplo de potencial
escalón.
2.6.1. E < V 0
La predicción de la mecánica clásica:
Si la condición inicial es tal que la part́ıcula incide desde el lado de coordenadas negativas, lapart́ıcula rebotará en x = 0 pues
E < V (x), p2/2m < 0 para x > 0
37
V (x) divide el espacio en dos regiones:
i´ 1 2 d2ψ1(x)
Eψ ( ) 0 (2 33)
-
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región 1: −2m
ψ1( )
dx2 = Eψ1(x) x < 0 (2.33)
región 2: − 2
2md
2
ψ2(x)dx2
+V 0ψ2(x) = Eψ2(x) x > 0 (2.34)
Soluciones:
región 1: ψ1(x)= Aeikx
+ Be−ikx
k =
√ 2mE
(2.35)
región 2: ψ2(x)= Ceκx+ De−κx κ =
2m(V 0 − E)
(2.36)
A, B, C, D deben ser elegidas de tal manera ψ1(x) y ψ
2(x) cumplen con las condiciones expuestas
en la Sec. 2.4, p. 35:
1. Finitud de ψ2(x)
ĺ ımx→∞ ψ2(x) = ĺ ımx→∞ Ceκx
= ∞ ∴ C = 038
2. Continuidad de ψ(x) en x = 0
ψ1(x = 0) = ψ2(x = 0)
-
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ψ1( ) ψ2( )
Aeikx + Be−ikxx=0 = De−κxx=0 A + B = D (2.37)3. Continuidad de
ψ′(x) en
x=
0ikAeikx − ikBe−ikx
x=0
=−κDe−κxx=0
ikA − ikB = −κD (2.38)
Resumiendo, tenemos
A + B = D
A − B = iκk
D
Sumando y restando obtenemos respectivamente
A =
D
2 1 + iκk , B = D2 1 − iκk (2.39)39
La función de onda independiente del tiempo, hasta donde vamos, sin determinar D:
ψ( )
ψ1(x) =
D2
1 + iκk
eikx + D2
1 − iκk
e−ikx x ≤ 0
( )
-
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ψ(x) =
ψ1( ) 2
k
2
k
≤
ψ2(x) = Deiκx x
≥ 0
(2.40)
La función de onda es
Ψ(x, t) =
ψ1(x) = Ae−iEt/eikx + Be−iEt/e−ikx = Aei(kx−Et/) + Be−i(kx+Et/) x ≤ 0ψ2(x) = DeiEt/e−κx x
≥ 0
(2.41)
En x < 0 ondas viajeras. A: en dirección positiva. B: en dirección negativa
En x > 0 onda estacionaria amortiguada.
x
-
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Puesto que eikx = cos(kx) + i sen(kx), aún otra forma de escribir la onda (2.40) [Demo ??]
ψ1(x) = D cos(kx) − Dκk
sen(kx) x ≤ 0 (2.44)ψ2(x) = De
−κx x ≥ 0 (2.45)
Onda estacionaria ∀x: Onda incidente y reflejada se combinan para formar una onda estacionaria.
x (nm)
ψ ( x ) ( u . a . )
D = 1
E = 8 eV
m = me
V 0 = 10 eV
0.50−0.5−1−1.5
1
0
−1
mec2 = 511 keV
k = 14.5 nm−1
λ = 0.43 nm
κ = 7.3 nm−1
(2.46)
u. a. = unidades arbitrarias; por ahora. Re-cuerde que la función de onda también tie-ne unidades.
41
V 0 = 10 eV1
-
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x (nm)
ψ ( x ) ( u .
a . )
D=
1
E = 8 eV
m = me
0.50−0.5−1−1.5
0
−1
Con la pendiente mal empatada
ψ2(x) = De−κ′x
κ′ = 3.0 nm−1 (2.47)
Ojo! En la región 1, κ es como aparece en
ecs. (2.46).
42
1
Convenci´ on: La función exponencial tiene valores sig-nificativos para coordenadas tales que x < δ = κ−1:
κx x/δ
-
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x (nm)
ψ ( x ) ( u .
a . )
y(x)
ψ(x)
0.37
1/κ 0.60.40.20
1
0
ψ2(x) = e−κx
= e−x/δ
ψ2(x = δ) = e−1
≈ 0.37 . (2.48)
Si ψ(x) continuera decreciendo tal como lo hace enx = 0, en qué valor de x se haŕıa ψ(x) = 0?
y(x)=
ψ(0) − ψ′(0)x= 1 − κx = 0∴ x = δ = κ−1
Y aún otra forma de expresar la función de onda:
ψ(x) =
ψ1(x) = superposición de ondas viajeras
ψ2(x) = no hay “onda”, sino disminución exponencial!
La probabilidad de encontrar la part́ıcula en algún entorno dx en la región 2 es
P2(x) dx = ψ∗2(x)ψ2(x) dx = e−2κx dx (2.49)El punto: hay una probabilidad no nula de encontrar la part́ıcula en una región en la que
E < V (x) , ó T
-
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[Crawford, 1991, p. 365] Berkeley Physics Course, Vol. 3
x
y
k1
k2θ 2
θ 1
vidrion1 = n > 1
airen2 = 1
Ley de Snell: n2 sen θ2 = n1 sen θ1ω
c sen θ2 = nω
c sen θ1
k 2 y = nω
c sen θ1
κ2 = k 22x+ k 2
2 y =
ω2
c2
k 22x = ω2
c2
1 − n2 sen2 θ1
(2.50)
Se le llama ángulo cŕıtico, a aquel para el cual
n sen θcŕıtico = 1
A éste ángulo de incidencia k 2x = 0: no hay onda propagándose en la dirección x en el medio 2 (aire,
vaćıo).
44
θ1 > θcŕıticoθ 1 ( )
-
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n sen θ1 > 1 (2.51)
− k 22x = κ2 = ω2
c2 (n2 sen2 θ1 − 1) (2.52)
Realización experimental: Prisma “retrodirector”.
La ecuación diferencial de la Óptica:
∇2 A(x, y, z, t) + ω2
c2 n2 A(x, y, z, t) = 0 . (2.53)
Reemplazando k 22x de las ecs. (2.50, 2.52): La ecuación diferencial en x en la región 2, x > 0 es
∂2 A
∂x2 − iκ2
A = 0 (2.54)
45
A(x, y, t) = A0 cos(ωt − k y y) e−κx (2.55)Onda viajera en y Disminución exponencial en x
-
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Onda viajera en y. Disminucion exponencial en x.
P(x) ∝ e−2κ x
Considerando el prisma retrodirector:
n = 1.52, θcŕıtico = 41.2◦, θ1 = 45◦
δ = 1κ =
cω
n2 sen2 θ1 − 1 = λ
2π
1.52√ 2
2 − 1 = 0.4 λ
2.6.1.2. Verificación experimental de la disminución exponencial
D. D. Coon. Counting Photons in the Optical Barrier Penetration Experiment. American Journal
of Physics , 34, 240 (1966)
46
detector
vidrio aire
-
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detector
x = 0 x
θ 1 > θ crit. I (x)=
número de fotones contados por el detectorI (x) ∝ e−2κx
Con una previsión: debido a que la capa de aire no es “infinita”, la constante C en
ψ2(x) = Ceκx+ De−κx
no puede hacerse nula. Sin embargo , más adelante mostraremos que en tal caso D ≫ C.
47
-
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[Coon, 1966]
48
2.6.1.3. Sobre la dualidad onda-part́ıcula
El problema: el electrón podŕıa ser observado en una región en la que E < V (x). Clásicamente estoes imposible
-
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es imposible.
[Bohm, 1989, p. 237]: ... debemos recordar que la materia no es idénti-ca con el modelo de la part́ıcula clásica, sino que el el electr´ on tiene
tambíen propiedades ondulatorias, las cuales pueden ser tan importan-
tes como las de la part́ıcula. La regi´ on en la cual V > E corresponde a
un ı́ndice imaginario de refracci´ on...
Cuántica:∂2ψ
∂x2 +
2m
2 (E − V 0)ψ = 0
ı́ndice de refracción: n2(x) = 2m2
(E − V 0) c2
ω2 (2.56)
Si E
-
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Para observar la partıcula en la region de la cola exponencial , la debemos localizar dentro de una
distancia de tamaño (del orden de...)∆x ≃ 1
κ.
Por lo tanto la incertidumbre del momento lineal debe ser
∆ p >
∆x ≃ κ = 2m(V 0 − E)∆E =
(∆ p)2
2m > V 0 − E
La part́ıcula con enerǵıa E puede aśı ser localizada en la región no clásica únicamente si se le da unaenerǵıa (V 0 − E)
suficiente para llevarla a la región clásicamente permitida (Merzbacher).
de modo que no puede decirse con seguridad que la enerǵıa de la part́ıcula sea menor que V 0
(Eisberg)
50
2.6.2. E > V 0
V (x)
-
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E
0 x
( )
V 0
región 1: − 2
2md
2
ψ1(x)dx2
= Eψ1(x) x < 0 (2.57)
región 2: − 2
2m
d2ψ2(x)
dx2 = (E − V 0)ψ2(x) x > 0 (2.58)
Soluciones:
región 1: ψ1(x)= Aeik 1x + Be−ik 1x k 1 =
√ 2mE
(2.59)
región 2: ψ2(x)= Ceik 2x
+De−ik 2x
k 2 = 2m(V 0 − E) (2.60)51
2.6.2.1. Onda incidiendo desde x < 0
Clásicamente: una part́ıcula incidiendo desde x < 0, en x = 0 continuará avanzando a velocidadmenor hacia x > 0
-
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menor hacia x > 0
Cuánticamente: Part́ıcula incidiendo desde x < 0, no hay origen de reflexión en x > 0D = 0
Continuidad de ψ(x) y de ψ′(x):
ψ1(x = 0) = ψ2(x = 0) Aeikx + Be−ikx
x=0
=
Ce−ik 2x
x=0
A + B = C (2.61)
ψ′1(x = 0) = ψ′2(x = 0)
ik 1 Aeik 1x − ik 1Be−ik 1x
x=0
=
k 2Ce
−ik 2x
x=0
k 1( A
−B) = k 2C (2.62)
B = k 1 − k 2k 1 + k 2
A C = 2k 1k 1 + k 2
A
ψ1(x) = Aeik 1x + k 1 − k 2
k 1 + k 2e−ik 1x (2.63)
ψ2(x) = A 2k 1k 1 + k 2
eik 2x (2.64)
Onda viajera en las dos regiones, con mayor longitud de onda en la región 2.
52
A diferencia de la función de onda para E < V 0, ec. (2.40), que se puede escribir como una ondaestacionaria, ec. (2.44), en esta ocasión, las soluciones son complejas.
Reflexión de la onda en x = 0!
-
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Reflexion de la onda en x 0!
53
Parte real de la función de onda, R[ψ(x)], de las ecs. (2.63, 2.64) del electrón en un potencialescalón con E > V 0:
-
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x (nm)
R [ ψ ( x ) ] ( u . a . )
A = 1
m = meE = 10.5 eVV 0 = 10 eV
32.521.510.50−0.5−1−1.5
2
1
0
−1
x (nm)
R [ ψ ( x ) ] ( u . a . )
A = 1
m = meE = 15 eVV 0 = 10 eV
32.521.510.50−0.5−1−1.5
2
1
0
−1
El flujo de probabilidad:
F1(x, t) = v1| A|2 incidente
− v1|B|2 reflejado
v1 = p1
m (2.65)
F2(x, t) = v2|C|2 transmitidov2 =
p2
m (2.66)
54
R = probabilidad reflexión = v1|B|2v1| A|2 =
(k 1 − k 2)2(k 1 + k 2)2
(2.67)
T probabilidad de transmisión v2|C|2 k 2 (2k 1)2 4k 1k 2
(2 68)
-
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T = probabilidad de transmision =v
1| A
|2 =
k 1 (
k 1+ k
2)
2 =
(k
1+ k
2)
2 (2.68)
Y a ojo se ve que el flujo se conserva:R + T = 1
2.6.2.2. Onda incidiendo desde x > 0
En este caso la solución general es la misma que las ecs. (2.59, 2.60), p. 51:
región 1: ψ1(x)= Aeik 1x + Be−ik 1x (2.59)
región 2: ψ2(x)= Ceik 2x + De−ik 2x (2.60)
pero ahora la condición inicial produce A = 0
pues no hay solución refleaja en x < 0.Problema [Merzbacher, 1970, p. 92]: Demuestre que los coeficientes de transmisión y de reflexión
T , R, son idénticos a los que resultan en el caso de la onda incidiendo desde x < 0, ecs. (2.67),(2.68).
Conclusión: La reflexión es producida por la variación del potencial. No por el hecho de que la
55
part́ıcula viaje de menor a mayor potencial (idea mecánica: part́ıcula).
2.7. Barrera rectangular
-
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g
0
E
V 0
x
V (x)
a1 2 3
Observe,
2.7.1. E < V 0: efecto túnel
k 1 = k 3 = k =
√ 2mE
, κ = 2m(V 0 − E)
. (2.69)
ψ1(x) = Aeikx+ Be−ikx (2.70)
ψ2(x) = Ceκx+De−κx (2.71)
ψ3(x)=
Feikx+
Ge−ikx
(2.72)
56
Empates en x = 0:
A + B = C +D (2.73)
A Biκ
(C D) (2 74)
-
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A
−B =
− k (C
−D) , (2.74)
Suma y resta:
2 A =
1 − iκ
k C +
1 +
iκ
k D
2B = 1 + iκk C + 1 − iκ
k D
Las dos anteriores ecuaciones se pueden escribir como una sola matricial:
A
B
= 12 1
− iκ
k 1 +iκk
1 + iκk 1 − iκk
C
D
. (2.75)Empates en x = a,
Ceκa +De−κa = Feika +Ge−ika (2.76)Ceκa − De−κa = ik
κ
Feika − Ge−ika
, (2.77)
57
sistema que también tiene solución con expresión matricial,C=
1
2
1 + ik κ
e−κa+ika
1 − ik κ
e−κa−ika
F
(2.78)
-
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D 2 1 − ik κ eκa+ika 1 + ik κ eκa−ika G( )
Reemplazando (2.78) en (2.75)
A
B = 12
1 − iκk 1 + iκk 1 + iκk 1 − iκk
1 + ik κ e
−κa+ika
1 − ik κ e
−κa−ika
1 − ik κ
eκa+ika
1 + ik κ
eκa−ika
F
G (2.79)
obtenemos
A
B
=
cosh κa + iǫ2 senh κa eika iη2 senh κa e−ika−iη2 senh κa eika
cosh κa − iǫ2 senh κa
e−ika
F
G
(2.80)
con
ǫ = κk − k
κ, η = κ
k + k
κSi la onda incide desde x < 0 → G = 0. Para tener una idea de la función, hagamos F = 1.
58
)a = 0.5 nm
V 0 = 10 eV1
-
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x (nm)
ψ ( x ) ( u .
a .
F = 1
E = 8 eV
m = me
1.510.50−0.5−1
0
−1
La relación entre los coeficientes de la onda incidente y la transmitida resulta en el coeficiente detransmisión
A = cosh κa +iǫ
2 senh κa e
ikaF
F
A =
e−ika
cosh(κa) + iǫ2 senh(κa)
T = F∗F A
∗ A =
1
cosh2
κa+
ǫ2
4 senh2
κa
(2.81)
59
senh x = ex − e−x
2 , cosh x =
ex + e−x2
, cosh2 x − sinh2 x = 1
T = 1
(2 82)
-
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T =
1 + 1 + ǫ24 senh2 κa (2.82)ǫ2 =
κ
k − k
κ
2=
κ2
k 2
1 − k
2
κ2
2=
V 0 − 2E
E Si la barrera es alta y ancha (en comparación con κ−1)κa ≫ 1 → 1 +
1 +
ǫ2
4
senh2 κa ≈ e2κa
y la ec. (2.82) se convierte enT = e−2κa (2.83)
Problema: Demuestre que la solución exacta (2.81) se puede escribir como
T =
1 +
senh2 2mV 0a22
(1 − E/V 0)(4E/V 0)(1 − E/V 0)
−1
(2.84)
60
2.7.2. Un repaso sobre enerǵıa total negativa
V(r) = kq1q2
= potencial de interacción
-
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V (r) =
−k
r
= potencial de interaccion
T (r) = L2
2µr2 = cinética en el momento angular L
U (r) =
−k
q1q2
r
+ L2
2µr2
eĺectrica q = e = carga fundamental k = depende de las unidades
gravitacional q = m = masa del cuerpo G = constante gravitacional
r
T (r)
U (r)
V (r)
r0 r1 r2
−B
0
V (r = ∞) = 0. Supongamos que los cuerpos se acercan conun momento angular tal que la enerǵıa potencial que describeel movimiento es U (r).Si no hay pérdida de enerǵıa los cuerpos se acercan hasta r0:
r0
-
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Sistema electrón + protón = átomo de hidrógeno.
r (nm)
V (r) = 1.44r eV
210
E (eV)0
E3 = −1.5E2 = −3.4
E1 = −13.6
• Según la antigua teŕıa cuántica (Bohr):
En =−
13.6
n2 eV
• La figura solamente intenta ubicar el valorde las enerǵıas del átomo respecto al valorde la enerǵıa Coulombiana.
• Recuerde que el sistema completo incluyeel término centŕıfugo, que es repulsivo.
• La enerǵıa de ligadura del estado n = 1 esB=
13.6 eV.
Para que un átomo de hidrógeno se forme por ejemplo en el estado n = 1, acercando un electrón yun protón desde r =
∞, el átomo debe entregar (liberar) enerǵıa. Emite una secuencia de fotones.
62
2.7.3. Ejemplo: Decaimiento alfa
[Gamow, 1928, Gamow and Houtermans, 1928]
V ZNZαe2
-
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V C =N αe
R
E > 0
estadosligadosE < 0
Restados
cuasiestacionarios
R
Eαr
ZNZαe2
r0
V (r) = potencial fuerte (hadrónico) + Coulomb
= pozo cuadrado +Z1Z2e
2
r
ZNe=
carga eléctrica del núcleoZαe = carga eléctrica de la part́ıcula α
Zα = 2
V C = ZNZαe
2
R = barrera de Coulomb
63
R r
V (r)
-
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Woods-Saxon
pozo cuadrado
−V 0
Pozo cuadrado
V (r) =
−V 0 r ≤ R0 r > R
Woods-Saxon [Woods and Saxon, 1954]
V (r) = −V 0
1 + exp[(r − R)/a]
64
2.
Fi Ft
-
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1. F = densidad de corriente
= Número de part́ıculascm2 · s = |ψ|2 · v
Probabilidad de emisión de una part́ıcula α ≡ λ = λ0 · T α
1. λ0 ≡ Probabilidad de que en el interior del núcleo se forme una part́ıcula α yésta viaje hacia el “borde” del núcleo.
2. Tα ≡ Probabilidad de que la part́ıcula α atraviese la barrera.
Tα = coeficiente de transmisión
Tα = Número de intentos exitosos de atravesar la barrera
Número total de intentos
= Ft
Fi
65
T 1 T 2 T 3T 4 T5
V Tα = T1 · T2 · T3 · T4 · · ·
= exp −2
?
2m(V i − E) · di
-
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0Eα
r
T 5
R′
r
d
0
R
V V C
D
i=1 → exp
−2
D0
2m[U (r) − E] · dr
Tα = e−G
G = 2
√ 2m
R′R
Z1Z2
r − Eα · dr
G=
Factor de Gamow
Si se considera pozo cuadrado y potencial de Coulomb, la integral tiene solución anaĺıtica:
Si Eα
/V c ≪
1, barrera alta, expansión en potencias para γ(Eα
/V C
)
G
≈
Z1Z2
√ Eα66
τ = 1
λ ∝ eG → log τ ∝ G ∝ 1√
Eα
-
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75/210
Pero, y cuánto puede ser Tα?Si se logra conocer más o menos bien la forma del potencial ( a partir de datos de dispersíon de
part́ıculas α), la integración se puede hacer numéricamente. Ejemplo:
Núcleo padre t1/2 Eα(MeV) Tα
Experimental Teórico212
84Po 0.3 µs 8.8 1.3 · 10−13
22488
Ra 3.6 d 5.7 5.9 · 10−26144
66Nd 2 · 1015
a 1.8 2.2 · 10−42
67
UPu
)
1010
108
6
-
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PoTh
E−1/2α (MeV−1/2)
t 1 / 2
( a ˜ n o s )
0.500.480.460.440.420.40
106
104
102
100
10−2
Efecto túnel, un tema moderno:
[Privitera et al., 2004], Tunneling times: An elementary introduction, ArXiv-quant-ph, 0412146.[Ivlev and Gudkov, 2004], New enhanced tunneling in nuclear processes , Phys. Rev. C, 69, 037602.[Dyakonov and Gornyi, 1996], Electromagnetic radiation by a tunneling charge , Phys. Rev. Lett.
76, 3542.
68
2.7.4. E > V 0
V (x)
V 0E
-
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0 xa1 2 3
k 1 = k 3 = k =√
2mE
,
k 2 = 2m(E − V 0)
.
ψ1(x) = Aeikx+ Be−ikx
ψ2(x) = Ceik 2x + De−ik 2x
ψ3(x) = Feikx+Ge−ikx
T =
1 +
senh2
2mV 0a2
2 (1 − E/V 0)
(4E/V 0)(1
−E/V 0)
−1
E < V 0 (2.85)
T =
1 +
sen2
2mV 0a2
2 (E/V 0 − 1)
(4E/V 0)(E/V 0
−1)
−1
E > V 0 (2.86)
69
a = 0 5 nma = 0 3 nma = 0 2 nm
V 0 = 10 eV
m = me
T
1.0
0.5
-
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a = 0.5 nm
E (eV)50403020100
a = 0.3 nm
E (eV)50403020100
a = 0.2 nm
E (eV)50403020100
0.0
T = 1 es un resultado de la interferencia destructiva entre las reflexiones en x = 0, a:
sen2
2mV 0a2
2 (E/V 0 − 1) = sen2 k 2a = 0 para k 2a = nπ, n = 1, 2, . . .
a=
nλ
2
70
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
79/210
V ( x) x
−V
− E
0
V (x) = 0 en la parte superior del pozo:
κ =√
2mE/ ψ1(x) = Aeκx+ Be−κx
k = 2m(V 0 E)/ ψ2(x) = C sen(kx) +D cos(kx)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
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−a/2 a/20
V 0 − ψ3(x) = Feκx + Ge−κx
Funciones finitas:
ĺ ımx→−∞ ψ1(x) = Be
−κx∴ B = 0
ĺ ımx→∞ ψ2(x) = Fe
κx∴ F = 0
Continuidad de las funciones en ±a/2:ψ2(−a/2) = ψ1(−a/2) ∴ −C sen(ka/2) + D cos(ka/2) = Ae−κa/2
ψ2(a/2)=
ψ3(a/2) ∴
C sen(ka/2)+
D cos(ka/2)=
Ge−κa/2
Usando las dos anteriores:
suma: 2D cos(ka/2) = (G + A)e−κa/2 (1)
resta: 1a de 2a: 2C sen(ka/2)=
(G − A)e−κa/2
(2)
72
Continuidad de las derivadas en ±a/2:ψ′2(−a/2) = ψ′1(−a/2) ∴ kC cos(ka/2) + kD sen(ka/2) = κ Ae−κa/2
ψ′2(a/2) = ψ′3(a/2) ∴ kC cos(ka/2) − kD sen(ka/2) = −κGe−κa/2
-
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(3) Resta: La segunda de la primera, (4) Suma
2kD sen(ka/2) = κ(G + A)e−κa/2 (3)2kC cos(ka/2) = −κ(G − A)e−κa/2 (4)
Dividiendo (3) en (1) lado a lado:
k tan(ka/2) = κ Si D 0, G + A 0 (2.87)
Dividiendo (4) en (2) lado a lado:
k cot(ka/2) = −κ Si C 0, G − A 0 (2.88)Es imposible que (2.87) y (2.88) se cumplan simultáneamente. Si lo hicieran, la suma también se
cumpliŕıak tan(ka/2) + k cot(ka/2) = 0
tan2(ka/2) + 1 = 0
tan
2
(ka/2)=
−173
imposible de cumplir con k y a reales.
Conclusión: Se puede satisfacer una de las dos, (2.87) o (2.88) pero no ambas simultáneamente.
Funciones de la primera clase
-
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k tan(ka/2) = κ, C = 0, G − A = 0 (2.89)Ec. (1) se convierte en
D cos(ka/2) = Ge−κa/2 ∴ G = D cos(ka/2)eκa/2 = A
ψ1(x) = [D cos(ka/2)eκa/2] eκx (2.90)
ψ2(x) = [D] cos(kx) (2.91)
ψ3(x) = [D cos(ka/2)eκa/2] e−κx (2.92)
Funciones de la segunda clase
k cot(ka/2) = −κ, D = 0, G + A = 0 (2.93)Ec. (1) se convierte en
C sen(ka/2) = Ge−κa/2
∴ G = C sen(ka/2)eκa/2
= − A74
-
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Continuando el ejemplo del electrón
V 0 = 10 eV
a = 0.5 nm2 2 2 3 2
-
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84/210
r2 = mV 0a22 = mc V 0a2(c)2 = 511 × 10 eV × 10 eV × (0.5 nm)2 × (197 eVnm)2 ≈ 16.5
r = 4.06
ξ
η
r
ξ tan ξ
√ r2
−ξ2
6543210
6
5
4
3
2
1
0
Dos valores posibles para la enerǵıa:
ξ =
m(V 0 − E)a2
22
1/2=
1.26
3.62
E = 1 − ξr 2 V 0 = 9.0 eV2.1 eV
E 2 = −2.1 eV
E 1 = −9.0 eV
V ( x) x
−10 eV
0
0.5 nm
76
Funciones de la segunda clase
k cot(ka/2) = −κ, ka cot(ka/2) = −κa, −ξ cot ξ = η6
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
85/210
ξ
η
−ξ cot ξ
√ r2 − ξ2
6543210
5
4
3
2
1
0
En este caso, solamente un valor posible parala enerǵıa:
ξ = 2.48
E = 6.3 eV
continuoV ( x)
E 3 = −2.1
E 2 = −6.3
E 1 = −9.0
x
−10
0
0.5 nm
Resumen respecto a las enerǵıas de los estados posibles en un pozo rectangular:E < V 0: el electrón puede tener solamente ciertos valores de enerǵıa.
E > V 0: cualquier valor de la enerǵıa es válida:
77
2.8.2. Las funciones
primera: segunda:
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
86/210
ψ1(x) = [D cos(ka/2)eκa/2] eκx ψ1(x) = [− A sen(ka/2)eκa/2] eκx x
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
87/210
D 2κk = 1D2 =
2κk
2k cos2(ka) + κ[sen(ka) + ka]
Funciones segunda clase:
−a/2
−∞
[ψ1(x)]2= a2
−a/2
−∞
e2κx dx = a2
2κe2κx
−a/2
−∞
= a2
2κ(e−κa − 0) = A
2
2κ sen2(ka/2) a/2
−a/2[ψ2(x)]
2= A2
a/2−a/2
sen2(kx) dx = A2
2k [sen(ka) + ka]
∞
a/2
ψ3(x) = a ∞
a/2
e−κx dx = a
−κe−κx
∞
a/2
= a
−κ 0 − e−κa/2 = A
2
2κ
sen2(ka/2)
La “estructura” es la misma que para D2 intercambiando sen2 → cos2:
A2 = 2κk
2k sen2(ka) + κ[sen(ka) + ka]
(2.95)
79
E1E2E3
m = me
a = 0.5 nmV 0 = −10 eV
. a . )
1
0
E1E2E3
m = me
a = 0.5 nm
V 0 = −10 eV
m
− 1 / 2 )
2
1
0
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
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sin normalizar
x (nm)
ψ ( x ) ( u
10.50−0.5−1
0
−1a/2−a/2
normalizadas!
x (nm)
ψ ( x ) ( n m
10−1
0
−1
−2
Funciones de primera clase: funciones pares
ψ(−x) = ψ(x) (2.96)Funciones de segunda clase: funciones impares
ψ(−x) = −ψ(x) (2.97)Una propiedad más de las soluciones de la ecuación de Schrödinger: son de paridad definida.
En Mecánica Cuántica no relativista no vamos a ver funciones tales como
ψ(x) = sen(ax) + cos(ax)
80
2.8.3. Ejemplo: El deuterón
R
V (r)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
89/210
1
R r
2B
−V 0
0
Rd ≈ 4.3 fm
ψ(r, θ , φ)=
R(r)Θ
(θ)Φ
(φ), L=
0 −→Θ
(θ)Φ
(φ)=
1ψ(r) = R(r) =
u(r)
rd2u
dr2 +
2µ
2 [E
−V (r)]u = 0
1
µ =
1
m(p)+
1
m(n) → 2µ = m(N) ≡ m
E = −2.2 MeV = −B
81
1 : r < R : k = 1
m(V 0 − B) u′′1 + k 21u1 = 0; u1(r = 0) = 0 → u1(r) = A sen(k I r)
2 : r > R : κ = 1
√ mB u′′2 k
22u = 0; u2(r ) = 0 u2(r) = C exp( κr)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
90/210
− → ∞ → −En la región 2:
u2 = C exp(−r/∆r)
∆r =
√ mB = c
c √ mB = c
√ mc2B = 197 MeV fm
√ 939 MeV · 2.2 MeV ≈ 4.3 fmContinuidad de u y u′ en R → relación entre el radio del deuterón y la profundidad del pozo...
k cot(kR) =
−κ
(V 0 − B)1/2 cotmR2
2
1/2(V 0 − B)1/2
= −B1/2 (2.98)Haciendo χ = (V 0
−B)1/2, la ec.(2.98) se convierte en
χ cot(cχ) = −B1/2c = 0.2178
Con 1.2 < R (fm) < 2.0 (según el alcance de la interacción NN) ... si hacemos R = 1.4 fm...
82
ξ
)
B1/2
0
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
91/210
χ
χ c o t ( c ξ−B1/2
6420
−5
χ = 6.12 MeV1/2
V 0 ≈ 40 MeV
83
)
exp(−κr)Probabilidad ∝ |Ψd(r)|2 = u
2(r)
r2
∞ |Ψd|2 d3r > R
|Ψd|2
d3
r
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
92/210
V ( r ) ( M e V )
B
R
−V 0
0
−20
−40
r(fm)
u ( r )
κ−1 = 4.3 fmsen(kr)
6543210
R |Ψd| d r > 0 |Ψd| d r
→ r = distancia(p, n) > R
Implicación: B es pequeña
Comparación:
B Ad = 2.22 MeV2 = 1.1 MeVB
A
d
<
B
A
A>30
≈ 8 MeV
Conclusión: los núcleos más pesadosestán mejor (más) “ligados”.
84
2.8.4. El pozo rectangular infinito
V(x)V0 = ∞V (x) = 0 en el fondo del pozo. Contamos la enerǵıa
desde el fondo del pozo
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
93/210
V (x)
x
−a/2 a/200
E
V 0 = ∞ desde el fondo del pozo.κ =
2m(V 0 − E)/ → ∞
k =√
2mE/
V 0 = ∞ 10 eV
a2−
a2
x (nm)
ψ ( x ) ( u .
a . )
0.50−0.5
1
0
Soluciones: ondas estacionarias en −a/2 < x
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
94/210
f. impares An sen 2 0 ∴ 2 π, 2π, 3π , . . . k n n a , n 2, 4, 6, . . .
a/2
−a/2
ψ∗(x)ψ(x) = 1 ∴ Bn = 2/a, n impar, An = 2/a, n par.
86
Las enerǵıas:
En = p2n2m
=2k 2n2m
= n2π22
2ma2 = n2ǫ
Para el caso que nos ha acompañado, m = me, a = 0.5 nm:
E4 = 16ǫ
V 0 = ∞
-
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95/210
ǫ = 1.5 eV
Para el caso nuclear, usamos lo que se sabe respecto al radiodel núcleo:
a = R = 1.2 A1/3 fm A = Z +N
ǫ =
4.8 MeV A = 208 Ej: 20882Pb12611.6 MeV A = 56 Ej: 5626Fe30
0E1 = 1ǫ
E2 = 4ǫ
E3 = 9ǫ
−a/2 a/2
La enerǵıa ḿınima de la part́ıcula no es 0 (!), sino
E1 = ǫ = π2()2
2ma2 =
π2(c)2
2mc2a2
La enerǵıa total no puede ser 0: Principio de incertidumbre: ¿Cuánta es la incertidumbre en la posición
87
de la part́ıcula en el pozo?∆x = a (2.99)
∴ ∆ p ≥ ∆x =
aSi E = 0 → ∆p = 0(!!)
-
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96/210
Si E 0 → ∆ p 0(!!)Cúanta es la incertidumbre en p para la part́ıcula en el estado n = 1?
La magnitud: p1 = 2mE1 = πcLa part́ıcula se puede mover en cualquier dirección; el momento lineal puede ser + p1, − p1
∆ p = 2 p1 = 2π
a (2.100)
Combinando (2.99) y (2.100): ∆x∆ p =a 2π
a
= 2π
88
2.9. El oscilador armónico
2.9.1. Potenciales de rango finito
1 Pozo cuadrado pozo cuadrado
Ro.a.R r
V (r)
-
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1. Pozo cuadrado
V (r) =
−V 0 r ≤ R0 r > R
2. Oscilador armónico
V (r) =
−V 0
1 − (r/ao.a.)2
r ≤ Ro.a.
0 r > Ro.a.
3. Woods-SaxonV (r) =
−V 01 + exp[(r − R)/a]
Woods-Saxon
armónicooscilador
pozo cuadrado
−V 0
Si el potencial es de rango finito, se puede “modelar” con un pozo cuadrado.Ejemplo adicional: potencial del deuterón, p. 81.
89
2.9.2. Las funciones de onda
Queremos resolver primero el potencial en una coordenada cartesiana.
V(x)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
98/210
V (x)
x
E
V (x) = C
2
x2
F(x) = −dV dx = −Cx
Mecánica Clásica: ω = 2πν = Cmd2x
dt2 +ω2x = 0
Planck (Antigua Teoŕıa Cuántica): En =
n hν,=
n
ω n=
0, 1 , 2, . . .
90
Mecánica Cuántica:V (x) =
mω2
2 x2
−2
2m
d2ψ(x)
dx2 +
mω2
2 x
2
ψ(x)=
Eψ(x)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
99/210
ψ( ) ψ( )d2ψ(x)
dx2 +
2mE
2 −
mω
2x2
ψ(x) = 0
α = mω
, β =
2mE
2
d2ψdx2
+ ( β − α2x2)ψ = 0 (2.101)
ξ ≡ √ αx
dψ(ξx)dx
=dψdξ
· dξdx =
√ α
dψdξ
d2ψ
dx2 =
d
dx dψ
dx = d
dξ dψ
dx · dξ
dx =
d
dξ √
αdψ
dξ ·√
α = αd2ψ
dξ2
91
(2.101) se convierte en
αd2ψ
dξ2 + ( β − αξ2)ψ = 0
d2ψ
dξ2 + β
α − ξ2 ψ = 0 (2.102)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
100/210
dξ
α ξ ψ ( )
2.9.2.1. La forma de las soluciones asintóticas
Empecemos por la parte “fácil”: Las solucione asintóticas:
Si |ξ| → ∞ ∴ d2
dξ2 = ξ2ψ
ψ(ξ) = Aeξ2/2+ Be−ξ
2/2 (2.103)
Ojo! Solamente para ξ → ∞dψ
dξ =
Aξe
ξ2/2
− Bξe−ξ2/2
d2ψ
dξ2 = Aξ2eξ
2/2+ Aeξ
2/2+ Bξ2e−ξ
2/2 − Be−ξ2/2
= A(ξ2 + 1)eξ2/2+ B(ξ2
−1)e−ξ
2/2
92
Para |ξ| → ∞, ξ2 ≫ 1:d2ψ
dξ2 = Aξ2eξ
2/2+ Bξ2e−ξ
2/2= ξ2
Aeξ
2/2+ Be−ξ
2/2= ξ2ψ Q.E.D.
Si la función (2.103) es acotada:
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
101/210
( ) A = 0
ĺ ımξ|→∞
ψ(ξ) = Be−ξ2
Todo este paseo hasta el infinito sirve para proponer que la solución en todo el rango de ξ debeŕıaescribirse
ψ(ξ) = e−ξ2/2 H (ξ)
2.9.2.2. Soluciones en todo el rango: Las funciones de Hermite
Y ahora debemos buscar H (ξ). Sabemos algo: en |ξ| → la función H (ξ) debe variar más lentamenteque e−ξ
2.
Para no escribir tanto hagamos
Z=
e−ξ2/2
93
dψdξ = −ξZH + ZdH
dξd2ψ
dξ2 = −ZH + ξ2ZH − ξZdH
dξ − ξZdH
dξ + Z
d2 H
dξ2
= Z−H + ξ2H − 2ξdH + d2 H
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
102/210
Z
H + ξ H 2ξdξ +
dξ2
Reemplazando ψ y d2ψ/dξ2 en (2.102)
Z− H + ξ2 H − 2ξdH
dξ + d2 H
dξ2+ β
αZH − ξ2ZH = 0
Dividiendo por Zd2 H
dξ2 − 2ξdH
dξ + βα − 1 H = 0 (2.104)Ésta es la ecuación diferencial de Hermite (1802-1901, Francia)
94
H (ξ) =∞
k =0
ak ξk = a0 + a1ξ + a2ξ
2+ · · ·
dH dξ =
∞ kak ξk −1 = 1a1 + 2a2ξ + 3a3ξ2 + · · ·
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
103/210
dξk =1
d2 H
dξ2 =
∞
k =2 (k − 1)kak ξk −2
Sustituyendo en la ec. (2.104)
1 · 2a2 + 2 · 3a3ξ + 3 · 4a4ξ2 + 4 · 5a5ξ3 + · · ·
− 2
·1a1ξ
− 2
·2a2ξ2
− 2
·3a3ξ3
− · · ·+( β/α − 1)a0 + ( β/α − 1)a1ξ + ( β/α − 1)a2ξ2 + ( β/α − 1)a3ξ3 + · · · = 0
95
Para que la suma se anule para todo ξ, el coeficiente de cada potencia de ξ debe anularse:ξ0 : 1 · 2a2 + ( β/α − 1 − 2 · 0)a0 = 0ξ1 : 2 · 3a3 + ( β/α − 1 − 2 · 1)a1 = 0
ξ
2 : 3·
4a4+ (
β/α −1
−2
·2)a
2 = 0
ξ3 : 4 · 5a5 + (β/α − 1 − 2 · 3)a3 = 0
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
104/210
ξ : 4 5a5 + ( β/α 1 2 3)a3 0... = 0
La expresión general:
ξk : (k + 1)(k + 2)ak +2 +
β
α − 1 − 2k
ak = 0
La regla de recurrencia:ak +2 =
β/α − 1 − 2k (k + 1)(k + 2)
ak
Conocido a0 se puede conocer a2, a4, a6, . . .
Conocido a1 se puede conocer a3, a5, a7, . . .
Es decir, hay dos constantes a determinar, como debe ser para cualquier ecuación diferencial de
96
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
105/210
Vamos a encontrar que la misma relación se cumple entrehpar(ξ) ↔ eξ2
hnon(ξ) ↔ ξ · eξ2
ξ2∞
b ξk 1 ξ2ξ4 ξ6 ξk ξk +2
i
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
106/210
eξ =k =0
bk ξk = 1 + ξ2 +
ξ
2! +
ξ
3! + · · · + ξ
(k /2)!+
ξ
(k /2 + 1)!+ · · · serie par
ξ · eξ2=
ξ ·∞
k =0bk ξ
k =
ξ+
ξ3+
ξ5
2! +
ξ7
3! + · · · +
ξk
[(k − 1)/2]! + ξk +2
[(k − 1)/2 + 1]! + · · · serie nonLa razón entre dos coeficientes sucesivos:
bk +1
bk =
[(k /2 + 1)!]−1
[(k /2)!]−1 =
(k /2)!
(k /2 + 1)! =
(k /2)!
(k /2 + 1)(k /2)! =
1
k /2 + 1, ĺ ım
k ≫1bk +1
bk =
2
k Este resultado implica
ĺ ımk ≫1
bk = C0ak k par,C1ak k non, C1, C2 = constantes ∴ ĺ ım|ξ|→∞ hpar(ξ) = C0eξ
2
hnon(ξ) = C1ξ · eξ2
98
ĺ ım|ξ|→∞ H (ξ) = ĺ ım|ξ|→∞[ H par(ξ) + H non(ξ)]
= a0C0eξ2+ a1C1ξ · eξ2
Conclusión: Si tomamos un número infinito de términos en la expansión en potencias para H (ξ)
ĺ ım|ξ|
ψ(ξ) = e−ξ2/2 H (ξ) = a0C0e
ξ2/2+ a1C1ξ · eξ2/2 → ∞ , ψ(ξ) diverge!
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
107/210
|ξ|→∞ψ( ) ( ) ψ( )
Todav́ıa tenemos a0( β/α) y a2( β/α) para fijarlas de tal manera que las funciones resultantes seanaceptables.
Las podemos fijar de tal manera que la serie no sea infinita.
Si fijamos β/α = 2n + 1 ,
la serie termina en el término n-ésimo:
an+2 = − β/α − 1 − 2n(n + 1)(n + 2)
an = 2n + 1 − 1 − 2n
(n + 1)(n + 2) an = 0 · an = 0
an+4 = an+6 + an+8 =
· · ·0
99
Las condiciones completas para tener una serie finita β/α = 2n + 1
a0 = 0 si n non
a1 = 0 si n par
Aśı, H (ξ) no es una serie infinita, sino un polinomio: polinomios de Hermite. Las funciones de
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
108/210
, (ξ) , p ponda son
ψn(ξ) = e−ξ2/2 H n(ξ)
Puesto que ahora H n(ξ) es un polinomio de grado n, vaŕıa más lentamente que e−ξ2
/2 y por lo tanto
ĺ ım|ξ|→∞
ψ(ξ) ∝ e−ξ2/2
tal como como fue propuesto en (??), p. ??.
100
2.9.3. Los valores de la enerǵıa β
α =
2mE
2 ·
mω =
2E
ωEntonces la acotación de la serie se con-
vierte en2E
E5 = 5 + 12 hν = 112 hνE4 =
4 + 12
hν = 92hν
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
109/210
2E
ω = 2n + 1
∴ En = n + 12 hν = n +
1
2 ωn = 0, 1, 2, · · ·
cuantización de la enerǵıa del osci-lador armónico.
2
2
E3 =3 + 12
hν = 72hν
E2 = 2 + 12 hν = 52hνE1 =
1 + 12
hν = 32hν
E0 =0 + 12
hν = 12hν
Observe: La Mecánica cuántica llega a una solución similar a la propuesta por Planck:
La enerǵıa emitida por el oscilador es un múltiplos enteros del cuanto hν.
Em − En = (m − n)hνDiferencia: Tal como para el pozo rectangular, E = 0 no es solución para la enerǵıa. El valorḿınimo de la enerǵıa del oscilador armónico es
E0 = 1
2
hν
≡ Enerǵıa del punto cero
101
En la teoŕıa de Planck esta enerǵıa no tiene ninguna consecuencia. Su existencia tiene efectos enfenómenos a muy bajas enerǵıas. En estado sólido, a muy bajas temperaturas.
2.9.4. Representación gráfica de los H n(ξ)
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
110/210
H 0(ξ)=
1 H 1(ξ) = 2ξ
H 2(ξ) = 2 − 4ξ2 H 3(ξ) = 12ξ − 8ξ3
H 4(ξ) = 12 − 48ξ2 + 16ξ4 H 5(ξ) = 120ξ − 160ξ3 + 32ξ5
a0 y a1 están fijadas de tal manera que ∞−∞
[ψn(ξ)]2 = 1
ψn(ξ) = 1√ π2nn!
1/2
e−ξ2/2 H n(ξ)
102
Recuerde, la coordenada espacial es x,
x = 1√
αξ =
2πmνξ
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
111/210
n = 5n = 4
ψ n
( ξ )
n = 31.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0n = 2
50−5ξ
n = 1
50−5
n = 0
50−5
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
103
P(ξ) clásicon = 60n = 10
[
ψ n
( ξ ) ] 2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-
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112/210
0.0
ξ151050−5−10−15
ξ
ψ n
( ξ )
1050−5−10
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
Considere el oscilador armónico clásico: un punto masivo atado a un resorte o al extremo de unacuerda formando el péndulo simple. Cuál es la densidad de probabilidad de encontrar el objeto encierto entorno de tamaño ∆x en x?
Ayuda: la probabilidad es proporcional al tiempo ∆t que el objeto permanece en cierta región ∆x.
104
Es inversa al tamaño de ∆
x: Para ∆
t fijo, a mayor ∆
x, la probabilidad disminuye.P(x) ∝ ∆t/∆x
2.10. Potencial periódico
Estructuras periódicas. Ejemplo: cristales.
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
113/210
[Cohen-Tannoudji et al., 2005, Quantum Mechanics. Vol I, Complement OIII, p. 367][Baym, 1990, Lectures on Quantum Mechanics, p. 116]
[Kittel, 1996, Introduction to Solid State Physics, p. 180]
20− a0 a+
b x−b−(a + b)0
V 0V (x)
= dalet, cuarta letra del alfabeto hebreo
≡ peŕıodo espacial de la estructura = a + b
La función de onda para barreras periódicas, con independencia de la forma de la barrera,debe cumplir ψ(x + ) = ψ(x)
Teorema de Bloch (Suiza, 1905-1983): ψ(x) = eikx u(x) (2.105)
u(x + ) = u(x)
105
Verbalización: ψ es una función de onda plana modulada por una función con la periodicidad de la“red”.E < V 0: Ya conocemos la dependencia funcional en el pozo y en la barrera,
ψ(x) = AeiKx + Be−iKx E =
2K 2
2m 0 < x < a
ψ(x) = Ceκx + De−κx V E = 2κ2
b < x < 0
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
114/210
ψ(x) = Ce + De V 0 − E =2m
−b < x < 0Queremos que ψ(x), además de cumplir las condiciones usuales, empate de ψ y ψ′, tenga la forma
prescrita por Bloch, (2.105):
a0
a + b−b
0
x
ψ(−b < x < 0) = u(x)eikx Teorema de Blochψ(a < x < a + b) = u(x + )eik (x
+) ψ(x) = ψ(x + )
= u(x)eikx eik
ψ(a < x < a + b) = ψ(−b < x < 0) eik (a+b)
106
Empates
-
8/18/2019 CuanticaI (5)
115/210
en x = 0,
A + B = C +DiK ( A − B) = κ(C − D)
en x = a
AeiKa
+ Be−iKa
=Ce−κb + Deκb eik (a+b)
iK AeiKa − Be−iKa
= κ
Ce−κb − Deκb
eik (a+b)
Solución al sistema:
κ2 − K 22κK
senh κb sen Ka + cosh κb cos Ka = cos k (a + b)
Simplificación: convertimos las barreras de potencial en funciones delta:
107
ĺ ımb→0
V 0→∞V 0b = constante
b → 0
V 0 → ∞ ĺ ımb→0