LEIDY MILENA SÁNCHEZ RAMÍREZCod: 20131167032

EJERCICIOS:

Un cuadrado mágico de orden n es un arreglo cuadrado de los númerosenteros positivos del 1 al n2 tales que la suma de los números enteros a lolargo de cada �la, columna y diagonal es una constante k, llamada constantemágica. La �gura muestra dos cuadrados mágicos, de orden 3 y otro de orden4. Demostrar que la constante mágica de un cuadrado mágico de orden n es:

n(n2 + 1)

2

8 1 63 5 74 9 2

1 14 15 412 7 6 98 11 10 513 2 3 16

Tenemos que:Llamemos P(n) el enunciado que a�rma que cualquier constante mágica k

puede hallarse de la forman(n2 + 1)

2

Paso básico (Note que n0 = 3) Comprobamos que se cumple para 3

=3(32 + 1)

2

=3(9 + 1)

2

=3(10)

2

=30

2

= 15

Gracias al ejemplo de arriba nos podemos dar cuenta de que para un cuadradomágico de orden 3 su constante mágica es 15:Entonces se cumple la igualdadpara P(3) y del mismo modo se cumple también para P(4).

1

Paso de inducción o Paso inductivoSupongamos que P(3);P(4); P(5); :::; P(k�14); P(k�13); P(k�12); :::; P(k�1); P(k) son

verdaderos, es decir, que para todo cuadrado mágico hasta de orden k se cumplela fórmula: n(n

2+1)2 .

Para mostrar que la fórmula también se cumple para P(k+1), se considera uncuadrado mágico de orden (k+1): Ya que (k+1) = (k�14)+P(3) = (k�14+15),la fórmula se cumplirá si se cumple para un cuadrado mágico de orden (k�14);pues por hipótesis ya sabemos que se cumple para P(3) = 15: Como la fórmulase cumple para P(k�14) por hipótesis de inducción, esto implica que también secumple para P(k+1).

Por lo tanto, por la versión fuerte de inducción, P(n) se cumple para todon � 3; es decir cualquier constante mágica de orden k � 3 puede hallarse con lafórmula n(n2+1)

2 :

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