cuaderno problemas

Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica.

EJERCICIOS DE TEORA DE MQUINAS Y MECANISMOS

Juan Carlos Garca Prada Cristina Castejn Sisamn Higinio Rubio Alonso

ndice general1. INTRODUCCIN A LA TMM 2. RESISTENCIAS PASIVAS 3. ANLISIS CINEMTICO DE MQUINAS3.1. Clculo del CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Anlisis de velocidades y aceleraciones . . . . . . . . . . . . .

1.1. Nmero de Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

9 1515 19

4. ANLISIS DINMICO DE MQUINAS 5. ENGRANAJES5.1. Engranajes: parmetros, diseo y montaje . . . . . . . . . . . 5.2. Trenes de engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. problema de cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . Problema de cinemtica (Septiembre 2003) . . . . Problema de cinemtica y dinmica (Febrero 2004) Problema de dinmica completo . . . . . . . . . . Problema de engranajes (Junio 2000) . . . . . . . Problema de engranajes (Septiembre 2002) . . . . Problema de engranajes (Junio 2003) . . . . . . . Problema de engranajes (Septiembre 2003) . . . . Problema de engranajes (Febrero 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 2929 31

6. EJERCICIOS DE EXMENES

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33 40 41 51 64 69 72 76 81

7. CUESTIONES DE TEORA

7.1. Introduccin a la teora de mquinas y mecanismos . . . . . . 7.2. Resistencias Pasivas y principios de lubricacin . . . . . . . . 7.3. Anlisis cinemtico de mquinas . . . . . . . . . . . . . . . .2

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86 87 87

NDICE GENERAL

3

7.4. Anlisis dinmico de mquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Teora general de engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 89

Captulo 1 INTRODUCCIN A LA TMM1.1. Nmero de Grados de libertad1. En la gura 1.1 se representa un mecanismo con muelle complejo. Su mecanismo simplicado equivalente se presenta en la gura 1.2, donde el resorte se ha reemplazado por dos eslabones binarios y la junta de horquilla por un pasador y una corredera:

a ) Determine el nmero de grados de libertad del mecanismo mostrado en la gura 1.1 b ) resolver el ejercicio anterior para el caso en el que se sustituye el muelle por dos barras binarias (ver gura 1.2)

Figura 1.1: Mecanismo.

Figura 1.2: Mecanismo esquematizado.

4

1.1 Nmero de Grados de libertad

5

2. Determinar la movilidad o nmero de grados de libertad de los mecanismos presentados en las siguientes guras:







6

3. Determinar la movilidad o nmero de grados de libertad de los mecanismos representados en las siguientes guras:







7

4. Determinar la movilidad o nmero de grados de libertad de los mecanismos representados en las siguientes guras:




8

5. Determinar la movilidad o nmero de grados de libertad del mecanismo presentado en la gura 1.15:


Captulo 2 RESISTENCIAS PASIVAS1. Sea un par plano elemental superior, que consisten en el contacto entre un palpador circular y una gua rectilnea (ver gura 2.2).

a ) Identicar las componentes de rozamiento mximo para las siguientes condiciones:Vdes.rel 21 = 5 m/s C arg a vertical = 5000 N 2 = 0,1 rad/s (material templado) = 0,01 mmDe estudios en el laboratorio se obtiene que la elipse de contacto (real) tiene una longitud Figura 2.1: Coeciente de rozamiento al desde 1 mm. lizamiento.

Figura 2.2: Par elemental palpador-gua. 9

10

b ) Perpendicularmente al plano existe un carga de P Newtons que se aplica a una distancia de 0.1 m del punto de contacto. Calcular el valor mximo de P para evitar que el eslabn 2 pivote sobre el punto de contacto.

Solucin:a ) Identicar las componentes de rozamiento mximo.1) Rozamiento al deslizamiento: Froz desli = N De la gura 2.3 se obtiene el valor del coeciente de rozamiento al deslizamiento: Vmx = 5 m/s = f (V ) = 0,35 a

Figura 2.3: Determinacin del coeciente de rozamiento al deslizamiento.

Figura 2.4: El vector normal N se equilibra con el peso del seguidor de contacto.

Y de la gura 2.4 se observa que, para que el contacto est en equilibrio, el vector normal, que se encuentra en la direccin vertical debe tener el mismo mdulo que el peso, por lo tanto:

N = 5000 N ewtons La componente de rozamiento al deslizamiento se resuelve como: Mdulo: Froz desli = 0,35 5000 = 1750 N . direccin: tangente al contacto (direccin de deslizamiento: horizontal) sentido: el vector se opone al movimiento, por lo tanto hacia la izquierda. 2) Rozamiento por rodadura: rodadura = N de los datos del enunciado (material templado) = 0,01 mm y del apartado anterior N = 5000 N ewtons se obtiene el par de resistencia a la rodadura:

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Mdulo: rodadura = 0,01 5000 = 50 N mm. direccin: la de rodadura (perpendicular al plano de trabajo). sentido: el vector se opone al movimiento, por lo tanto sentido horario. 3) Resistencia al pivotamiento: ( Ley de Hertz) : pivotamiento =

0,093 l N de los datos del enunciado y del primer apartado anterior = 0, 35 se obtiene el par de resistencia al pivotamiento: pivotamiento = 0,093 l N = 0,093 0,35 1 5000 Mdulo: pivotamiento = 162,75 N mm. direccin: la de pivotamiento. sentido: el vector se opone al movimiento de pivotamiento.b ) Calcular el valor mximo de P para evitar que el eslabn 2 pivote sobre el punto de contacto. El valor mximo de resistencia al pivotamiento es el calculado en el apartado anterior pivotamiento = 162,75 N m

=P d mx = Pmx d = pivotamiento a a pivotamiento 162,75 N mm = d 100mm

Pmx = aFigura 2.5: Contacto palpador-gua, aplicacin de una fuerza P.

El valor de la fuerza P mxima para evitar el pivotamiento es

Pmx = 16,275 N a

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2. Sea una polea de radio r=0.3 m. Obtener el grosor de los siguientes rganos deformables : Tipo c m1 cables mtlicos 58 cuerdas de camo 26 cuerdas de camo 18 de manera que el coeciente de rigidez en cada uno de ellos sea de 0.1

Solucin:De la gura terica 2.6

K =c d=

d2 2r = 0,1 2rK c

cmetal cca amo cca amo usada n n d : grosor de la cuerda r = 0,3 m

d1 =

2rK = cmetal 2rK = cca amo n 2rK = c ca amo nusada

2 0,3 0,1 = cmetal 2 0,3 0,1 = cca amo n 2 0,3 0,1 = c ca amo nusada

0,06 = cmetal 0,06 cca amo n 0,06 c ca amo nusada

0,06 = 0,032m 58

d2 =

=

0,06 = 0,048m 26

d3 =Figura 2.6:

=

0,06 = 0,058m 18

3. Se dispone de un par elemental, que consiste en un eje de radio 0.05 m y su correspondiente porta-ejes. En un ensayo de arrancada se observa que, para un peso en el eje de P=5000[N], en el instante de inicio de deslizamiento del eje sobre el porta-ejes, el ngulo que forma la normal con la vertical es de = 5o .

a ) Calcular el par de arrancada b ) Calcular el radio del crculo de rozamiento c ) Calcular el coeciente de rozamiento eje-portaeje.

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Figura 2.7: Contacto eje-portaejes.

Solucin:a ) Calcular el par de arranque Para poner en movimiento el eje utilizamos un par M2 . El punto de apoyo A entre el eje y el porta-ejes se desplaza hacia la derecha. El equilibrio se producir cuando lo estn las fuerzas P y R12 con el par M2 .

P = R12 = 5000 N M2 = P r = 5000 rdonde r es el radio del crculo de rozamiento.

Figura 2.8: Representacin del crculo de rozamiento.

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Para resolver este apartado es necesario solucionar antes el siguiente apartado.

b ) Calcular el radio del crculo de rozamientoAplicando trigonometra al tringulo OAB en la gura 2.8:

r = R sen = 0,05 sen(5) r = 4,36 103 my con ello damos solucin al apartado anterior:

M2 = 5000 4,36 103 M2 = 21,79 N mc ) Calcular el coeciente de rozamiento eje-portaeje. Se considera que el ngulo es muy pequeo, por lo tanto, puede realizarse la siguiente aproximacin:

r = R sen R tg = R de manera que el coeciente de rozamiento se obtiene de la ecuacin anterior, despejando:

=

r 4,36 103 = R 0,05 = 0,087

Captulo 3 ANLISIS CINEMTICO DE MQUINAS3.1. Clculo del CIR1. Halla todos los centros instantneos de rotacin relativos del mecanismo de bombeo mostrado en la gura:


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3.1 Clculo del CIR

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2. Determinar todos los centros instantneos de rotacin relativos de la gura:


3. Determina todos los centros instantneos de rotacin relativos:


3.1 Clculo del CIR

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4. Determinar todos los centros instantneos de rotacin relativos del mecanismo mostrado en la gura:


5. Determinar todos los centros instantneos de rotacin relativos del mecanismo representado en la gura suponiendo rodadura pura entre los eslabones 1 y 4.


3.1 Clculo del CIR

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6. Determinar todos los centros instantneos de rotacin relativos


3.2 Anlisis de velocidades y aceleraciones

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3.2. Anlisis de velocidades y aceleraciones1. El miembro AB = 110 mm forma parte de un mecanismo articulado en el que se conoce la velocidad de A y la velocidad angular del miembro. Calcular, aplicando mtodos grcos, la velocidad del punto B.

Figura 3.7: Miembro AB = 110 mm

2. La velocidad del punto A del miembro de la gura 3.8 es conocida. Se sabe tambin cual es la velocidad relativa del punto B respecto a A. Explicar cmo se determinara la velocidad de B y de otro punto cualquiera C.

Figura 3.8:


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3. Dibujar el cinema de velocidades del mecanismo de la gura 3.9. DATOS:

O2 O4 = 280 mm BC = 125 mm AB = 250 mm O4 C = 100 mm O2 A = 75 mm CD = 120 mm O4 B = 100 mm


4. Dibujar el cinema de velocidades del mecanismo de la gura 3.10 con los siguientes datos:

O2 O5 = 300; AB = 250; CD = 180; 2 = 45grados O2 A = 220; BC = 380; BD = 540; CO5 = 250; 2 = 70 rad/s

Figura 3.10: Mecanismo


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5. En el mecanismo de la gura 3.11: 1 = 2 rad/s, Longitud de todas las barras = 30 mm, O2 A y O2 C inclinadas a 45o . Calcular:

a ) La posicin de los centros instantneos de rotacin de los elementos AB y CD. b ) La velocidad del punto C. c ) La aceleracin del punto C.Figura 3.11: Mecanismo.

6. El mecanismo de la gura, es una biela de colisa que mueve la herramienta de corte en una limadora. El elemento 3 tiene un movimiento de vaivn guiado en direccin x. El elemento 1 se mueve con velocidad angular constante en torno a su centro O1 . DATOS: O2 A = 2 m O3 A = 5 m AB = 3 m 2 = 10 rd/s

a ) Calcular la velocidad del punto A perteneciente al elemento 2. b ) Calcular la velocidad del punto B perteneciente al elemento 4. c ) Calcular la aceleracin angular del elemento 3.Figura 3.12: Mecanismo.


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7. En el mecanismo de la gura 3.13: R = 50 mm, AB = 40 mm, = 10 rad/s, = 20 rad/s2 , BC = 100 mm.

a ) Calcular la velocidad vC b ) Calcular la aceleracin aC


8. En el mecanismo de la gura 3.14 el elemento 2 gira en torno al punto O2 .

a ) Calcular la posicin del centro instantneo de rotacin del elemento 3 b ) Construir el cinema de velocidades del elemento 3 y representar de forma aproximada en el cinema de velocidad del punto E. c ) Calcular la velocidad de deslizamiento en el punto de contacto B d ) Construir el cinema de aceleraciones del elemento 3.

2 = 2 rad/s R2 = 2 m V4 = 2 m/s 2 = 4 rad/s2 R3 = 4 m a4 = 4 m/s2 O2 A = R2 /2



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9. En el mecanismo de la gura 3.15, la barra ABC es un nico slido rgido. Se conoce la velocidad VA cuyo mdulo es 17 m/s y la aceleracin del punto B cuyo mdulo es 15 m/s2 . La escala del dibujo es aproximadamente 1:1000

a ) Cuantos grados de libertad tiene el mecanismo? Justica tu respuesta. b ) Determinar las posiciones de los centros instantneos de rotacin de todos los elementos del mecanismo. c ) Determinar la velocidad del punto F. d ) Determinar la aceleracin del punto D.Figura 3.15: Mecanismo.

Captulo 4 ANLISIS DINMICO DE MQUINAS1. Hallar la fuerza reducida en A debido a F1 . Que fuerza E habra que aplicar en el punto A para que todo el mecanismo se mantenga en equilibrio?

Figura 4.1:

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2. Hallar la fuerza reducida del mecanismo en C debido a FA . Calcular la fuerza equilibrante en el punto C para mantener el mecanismo en el equilibrio.

Figura 4.2:

3. En el mecanismo representado en la gura 4.3, se conocen los siguientes datos: O2 O4 = 12 cm, 2 = 60 o , FB = (70) N ewton y forma 315o con la horizontal, O2 A = 8 cm 3 = 30 o , FD = (80) N ewton y forma 120o con la horizontal, AC = 6 cm, O4 CD = 135 o , AB = AC/2, CD = 4 cm, 2 = 10 rad/seg . Hallar la fuerza reducida y la equilibrante en el punto A.

Figura 4.3:

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4. Reducir la fuerza P al punto A, aplicando mtodos grcos.

Figura 4.4:

5. Calcular la masa reducida en el punto A MA del mecanismo de la gura. DATOS: AB = BO4 = 86 cm O2 A = 50 cm

2 = 10 rd/s IG2 = 0,015 Kgm2 m2 = 0,1 Kg 3 = 3 rd/s IG3 = 0,020 Kgm2 m3 = 0,15 Kg 4 = 3 rd/s IG4 = 0,020 Kgm2 m4 = 0,15 KgComo criterio de signos, se ha considerado positivo el sentido antihorario.


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6. Calcular la resultante de los esfuerzos de inercia del eslabn de la gura 4.6.

AB = 50 cm AG = 20 cm = 30o = 6 rad/seg 2 2 = 50 rad/seg Peso de la biela=20 Kg IG = 5 Kgm aA = 50 m/seg 2

Datos:

Figura 4.6: Eslabn biela.

7. En el mecanismo del cuadriltero articulado, calcular las acciones entre barras y reacciones en la bancada, as como el par acelerador MO2 en el rbol de la manivela 2. DATOS:

O2 A = 0,5 m O2 G2 = 0,2 m m2 = 0,5 Kg IG2 = 0,010 Kgm2 Me = 100 N m

AB = 0,7 m AG3 = 0,4 m m3 = 0,7 Kg IG3 = 0,030 Kgm2 = 45o

O4 B = 0,6 m O4 G4 = 0,35 m m4 = 0,6 Kg IG4 = 0,018 Kgm2 2 = 10 rad/seg (constante)

Figura 4.7: Cuadriltero articulado.

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8. En el mecanismo motor representado en la gura 4.8, calcular las acciones entre barras y reacciones en la bancada, as como el par acelerador MO2 a aplicar en el eje de la manivela 2. DATOS:

O2 A = 0,20 m AB = 0,75 m O2 G2 = 0,07 m G3 B = 0,40 m d = 0,05 m m2 = 0,8 Kg m3 = 3 Kg m4 = 2 Kg 2 o IG3 = 0,15 Kgm 2 = 45 2 = 10 rad/seg (constante)

Figura 4.8: Mecanismo motor.

9. Una masa puntual m3 = 1Kg colocada en el punto B, gira con una velocidad angular = 10 rad/seg constante alrededor del eje jo O3 O. Este eje atraviesa una corredera (eslabn 4) de masa m4 = 1, 2 Kg . Despreciando cualquier otra masa del mecanismo, hallar las reacciones en la bancada y las fuerzas internas entre las barras. DATOS: 2 = 45o , 3 = 300o , CO3 = 15 cm, AB = 3 cm.


Captulo 5 ENGRANAJES5.1. Engranajes: parmetros, diseo y montaje1. Sea un engranaje formado por dos ruedas dentadas de Z1 = 19 y Z2 = 59 dientes respectivamente, fabricadas con mdulo 4, y con ngulo de presin de referencia normalizado 20 grados. Determinar los parmetros caractersticos de cada rueda y del engranaje.

Solucin:Altura de cabeza hc1 = hc2 = 4mm Altura de pie hf 1 = hf 2 = 5mm Altura total h1 = h2 = 9mm Radio primitivo r1 = 38mm r2 = 118mm Radio de cabeza ra1 = 42mm ra2 = 122mm Radio de pie rf 1 = 33mm rf 2 = 113mm Radio base rb1 = 35, 7mm rb2 = 110, 88mm Paso angular pa1 = 18, 94o pa2 = 6, 1o paso p1 = p2 = 12, 56mm espesor del diente e1 = e2 = 6, 28mm Relacin de transmisin i = 0, 32 2. Un engranaje cilndrico recto con mdulo m = 4, tiene una relacin de transmisin i = 2/3 con un nmero de dientes z1 = 20 en el pin. Tras un cierto periodo de funcionamiento, se observa rotura y desgaste prematuro en una de las ruedas, por lo cual se debe redisear el conjunto respetando la misma distancia entre ejes, pero aumentando el mdulo29

5.1 Engranajes: parmetros, diseo y montaje

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a m = 5. Se pide calcular los nmeros de dientes de las dos ruedas una vez rediseado el engrane con m = 5

Solucin:m = 5, distancia entre ejes O1 O2 = 100, i = 2/3, z1 = 16, z2 = 243. Dada una rueda dentada de mdulo m = 5 y nmero de dientes Z = 40 tallada con un ngulo de presin normalizado de 20o , se pide determinar el espesor del diente en la circunferencia exterior.

Solucin: SE = 3, 81mm4. Determinar el espesor de un diente (m = 5, z = 10) en el radio de cabeza si se talla de manera que se evite la penetracin utilizando herramientas de talla normalizadas.

Solucin: sa = 2, 09mm5. Un engranaje cilndrico recto est formado por dos ruedas dentadas de Z1 = 9 y Z2 = 13 dientes, construidas con mdulo 3. Calcular el ngulo de presin, , as como la distancia entre centros de ejes y los radios primitivos en un montaje correcto.

Solucin = 24o 5 11 , distancia entre ejes a0 = 33, 967mm, radiosprimitivos r1 = 13, 896mm r2 = 20,072mm 6. Entre dos ruedas paralelas situadas a 41,648 mm se pretende calcular una transmisin mediante un engranaje cilndrico-recto constitudo por dos ruedas de Z1 = 8 y Z2 = 12 dientes respectivamente, y de mdulo m = 4. Determinar los desplazamientos que hay que efectuar en la talla de ambas ruedas.

Solucin: X1 = 0, 345mm X2 = 0, 118mm7. Un engranaje formado por dos ruedas dentadas cilndrico-rectas de mdulo m = 5 y relacin de transmisin i = 1/3, se ha intentado montar a cero, comprobndose que no funciona correctamente. Para evitarlo, se han separado progresivamente los ejes, y en un anlisis de vibraciones se observ que el nivel mnimo de las mismas se consegua para una distancia de separacin de 1,1008 mm de la posicin a cero. en esta nueva posicin, el ngulo de presin result ser de 22o 40 . Calcular:

a ) Nmero de dientes de cada rueda

5.2 Trenes de engranajes

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b ) Desplazamiento del tallado de las ruedas c ) Radios de cabeza d ) Coeciente de engrane

Solucin:a ) Z1 = 6 Z2 = 18 b ) X1 = 0, 4388mm X2 = 0, 2194mm c ) ra1 = 22, 194mm ra2 = 48, 903mm d ) coeciente de engrane

= 1, 284

8. Se tiene un engranaje cilndrico-recto formado por dos ruedas de Z1 = 16 y Z2 = 30 dientes respectivamente, construidas con mdulo m = 4. Si 1 = 3000 rpm, se pide calcular:

a ) Radios de las circunferencias primitivas, bsicas y de cabeza b ) distancias de los centros de las ruedas al primer punto de contacto E2 . (Nota: Resulta conveniente calcular primero los ngulos = CE2 O2 ; = E2 cO2 ; = CO2 E2 ) c ) Velocidades lineales de ambas ruedas en el punto E2 d ) Grado de deslizamiento en el punto E2 .

Solucin:a ) primitivos: r1 = 32mm r2 = 60mm, radios bsicos: rb1 = 30, 05mm rb2 = 56, 04mm, radios de cabeza: ra1 = 36mm ra2 = 64mm b ) = 60o 47 37 , = 110o , = 8o 12 23 , O1 E2 = 30, 07mm O2 E2 = ra2 = 64mm c ) v1 = 9446, 8 mm/s v2 = 10723, 3s mm/s d ) grado de deslizamiento D = 4729, 4 mm/s

5.2. Trenes de engranajes1. Disear un tren de engranajes con relacin de transmisin = 40 2. Disear un tren de engranajes con relacin de transmisin = 3. Disear un tren de engranajes con relacin de transmisin =58 1 369 46

5.2 Trenes de engranajes

32281 2 135 127

4. Disear un tren de engranajes con relacin de transmisin = 5. Disear un tren de engranajes con relacin de transmisin =

6. Disear un tren de engranajes paralelos para conseguir una relacin de transmisin igual a i = 184 179 7. Disear un tren de engranajes paralelos para conseguir una relacin de transmisin igual a i = 2228 4189 8. Disear un tren de engranajes paralelos para conseguir una relacin de 126 transmisin igual a i = 1123

Captulo 6 EJERCICIOS DE EXMENES6.1. problema de cinemticaEn el mecanismo representado en la gura se conoce la velocidad y aceleracin del eslabn de salida 6. Se pide: 1. Determinar el nmero de grados de libertad y centros instantneos de rotacin absolutos del mecanismo. 2. Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones. 3. Calcular las velocidades angulares de los eslabones 2, 4 y 5. 4. Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones. 5. Calcular las aceleraciones angulares de los eslabones 2, 4 y 5. DATOS:

O2 C = 4 2 cm O5 A = 3 2 cm

AB = 36, 6 cm AC = 30, 4 cm

Solucin:1.- Determinar el nmero de grados de libertad y centros instantneos de rotacin absolutos del mecanismo. (a) Clculo del nmero de grados de libertad Aplicamos la frmula de Grbler (Gruebler) G = 3 (n 1) 2 f1 f2 donde n = 6; f1 = 7; f2 = 0

G = 3 (6 1) 2 7 0 = 15 14 G = 1 es un mecanismo DESMODRMICO33

6.1 problema de cinemtica

34


(b) Clculo de los CIR absolutos Determinamos los CIR inmediatos

I45 , I23 , I34 (), I46 I15 , I12 , I16 ()El resto de los CIR absolutos se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Los centros instantneos aparecen en la siguiente gura 2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones.

DATOS: | | = 700 cm/s v6


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I14

I15 I54 I16 I64

I13

I14 I43 I12 I23

Figura 6.2: Centros instantneos de rotacin del mecanismo.

700 B elto 6 VB = V6 (cinema ob = 100 = 7 cm) B elto 4 VB4 = VB6 A elto 4 VA = VB + VAB VAB dir AB VA = 5 O 5 A A elto 5 dir O5 A sentido coherente con 5 (desconocida)


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C elto 4 homologa entre el cinema y el mecanismo.ab AC = AB ac = ab AB = 5, 6 30,4 = 4, 7 cm 36,6 ab medido del cinema ab = 5, 6 cm Tambin puede calcularse sabiendo que: ac AC

El punto c4 se encuentra en el cinema del eslabn 4 (segmento ab ). La velocidad del punto C perteneciente al estabn 4 es perpendicular al segmento I14 C .

C elto 3 (corredera) V C3 = V C4 + V C3 C4

VC4 ( ya calculado en el cinema) VC3 C4 mov de la corredera dir de deslizamiento AB V C2 = 2 O 2 C

C elto 2 (manivela)

dir O2 C , sentido coherente con 2

El cinema de velocidades de cada uno de los eslabones se representa a continuacin. Cinema Cinema Cinema Cinema Cinema del del del del del eslabn eslabn eslabn eslabn eslabn 2: 3: 4: 5: 6: segmento oc2 . punto c3 c2 segmento ab segmento oa punto b.

3.- Calcular las velocidades angulares de los eslabones 2, 4 y 5.

2 = 4 = 5 =

VC2 O2 C VAB AB VA O5 A

= = =

620 cm/s 4 2 cm 560 cm/s 36,6 cm 225 cm/s 3 2 cm

= 109, 6 rad/seg (sentido horario) = 15, 3 rad/seg (sentido horario) = 53, 0 rad/seg (sentido antihorario)

4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones.


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Figura 6.3: Cinema de velocidades.

DATOS: | | = 250 m/s2 = 25000 cm/s2 a6 a B elto 6 = aB 6 (cinema ob =25000 5000

= 5, 0 cm)

B elto 4 = a a B4 B6 = + a a A elto 4 aA B AB = + n t aAB aAB aAB 2 an = 4 AB = (15, 3)2 36, 6 = 8567, 7cm/s2 AB dir AB , sentido de A a B = an + at a AB AB AB at = 4 AB AB dir AB, sentido coherente con 4

A elto 5 (manivela)


38

2 an = 5 O5 A = (53)2 3 2 = 11917, 57 cm/s2 A dir O5 A , sentido de A a O5 = an + at aA A A at = 5 O5 A AB dir O5 A, sentido coherente con 5 C elto 4 porhomologaentreelcinemayelmecanismo : ac ab AC = AB a c = a b AB = 2, 7 30,4 = 2, 24 cm 36,6 AC a b medido del cinema a b = 2, 7 cm C elto 3 (corredera) aC4 medida en el cinema = + + a a a aC3 C4 movimiento de la corredera aC3 C4 C3 C4 cor AB dir V a = 2 cor 4 C3 C4

acor

acor = 2 (15, 3rad/s) (480 cm/s) = 14688 cm/s2 dir VC3 C4 sentido hacia la izquierda C elto 2 (manivela) 2 a = 2 O2 C = (109, 6)2 4 2 = 67951, 0 cm/s2 n2 C dir O2 C , sentido de C a O2 = an + at a a C3 C2 C2 C2 at = 2 O2 C C2 dir O2 C, sentido coherente con 2 (desconocida)

El cinema de cada uno de los eslabones se representa a continuacin: Cinema del eslabn 2: segmento o c2 . Cinema del eslabn 3: punto c3 c2 Cinema del eslabn 4: segmento a b Cinema del eslabn 5: segmento o a Cinema del eslabn 6: punto b 5.- Calcular las aceleraciones angulares de los eslabones 2, 4 y 5.


39

Figura 6.4: Cinema de aceleraciones.

2 = 4 = 5 =

at 2 C O2 C at AB AB at A O5 A

= = =

3500 cm/s = 318, 7 rad/s2 (sentido antihorario) 4 2 cm 10500 cm/s 2 36,6 cm = 286, 88 rad/s (sentido antihorario) 5500 cm/s = 1296, 4 rad/s2 (sentido horario) 3 2 cm

6.2 Problema de cinemtica (Septiembre 2003)

40

6.2. Problema de cinemtica (Septiembre 2003)Dado el mecanismo de la gura en la conguracin sealada, obtener: 1. El nmero de grados de libertad del mecanismo. 2. Los centros instantneos de rotacin absolutos de los elementos del mecanismo. 3. Cinema de velocidades de cada uno de los elementos del mecanismo. 4. Velocidad angular de los eslabones 4 y 5. 5. Cinema de aceleraciones de cada uno de los elementos del mecanismo. 6. Aceleracin angular de los eslabones 4 y 5. Los datos geomtricos del mecanismo son:

O2 O4 = 9 cm O2 A = 19 cm O4 B = 10 cm O4 A = 24 cm BC = 36 cmLos datos cinemticos son:

2 = 30 rad/s, sentido horario y constante.


6.3 Problema de cinemtica y dinmica (Febrero 2004)

41

6.3. Problema de cinemtica y dinmica (Febrero 2004)En la gura se presenta a escala 1:2 un mecanismo de elevacin. Los datos cinemticos se corresponden con el eslabn 3 (manivela de entrada).

3 = 0, 5 rd/s (horario) 3 = 0, 1 rd/s2 (antihorario)Se asume que el efecto de la inercia de las barras 3 y 4 sobre el estado de fuerzas del mecanismo es despreciable. El resto de datos dinmicos son:

m2 = 5 Kg IG2 = 24 Kg cm2Se pide: 1.- Determinar el nmero de grados de libertad y centros instantneos de rotacin absolutos del mecanismo. 2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones. 3.Remarque el cinema del eslabn 3 (AO3 P). Calcular la velocidad angular del eslabn 2. 4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones. 5.- Remarque el cinema del eslabn 3 (AO3 P). Calcular la aceleracin angular del eslabn 2. 6.- Calcula las fuerzas y momentos de inercia de los eslabones. Calcule la F necesaria a aplicar en el punto A (segn gura) para conseguir que el mecanismo est en equilibrio (no considerar los pesos).

Solucin: 1.- Determinar el nmero de grados de libertad y centros instantneos de(a) Clculo del nmero de grados de libertad Aplicamos el criterio de Grbler (Gruebler) G = 3 (n 1) 2 f1 f2 Donde n = 4; f1 = 4; f2 = 0

rotacin absolutos del mecanismo.

G = 3 (4 1) 2 4 0 = 9 8


42

G = 1 es un mecanismo DESMODRMICO.(b) Clculo de los CIR absolutos Determinamos los CIR inmediatos I13 , I34 , I24 (), I12 El CIR absoluto que queda I14 se calcula aplicando el teorema de Kennedy.

I14

I12 I24 () I13 I34

Figura 6.6: CIR absolutos

DATOS: 3 = 0, 5 rd/s (horario) Las dimensiones reales del mecanismo se obtienen midiendo en la gura adjunta y multiplicando por la escala (x2).

2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones


43

P elto 3 M AN IV ELA VP 3 = 3 O3 P = (0, 5rad/s) (63 mm 2) = 63 mm/s dir. O P y sentido acorde con 3 3

(cinema op3 = = 63 mm) P elto 4 VP 3 = VP 4 (cinema p3 p4 ) VP 2 = VP 4 (conocida) + VP 2P 4 (dir.desliz) P elto 2 VP 2 = 2 O2 P (desconocida) M AN IV ELA dir. O2 P y sentido acorde con 2

63 mm/s 1

El cinema del representado por El cinema del representado por El cinema de la representado por

eslabn 2 el segmento eslabn 4 el segmento corredera 4 el punto p4

viene op2 viene op3 viene

gular del eslabn 2. Necesitamos calcular el punto homlogo del mecanismo A en el cinema (a). Para ello aplicamos la propiedad de homologa:op3 =OP 3 oa = 18 mm oa O3 A oa 18 mm2

3.- Remarque el cinema del eslabn 3 (AO3 P). Calcular la velocidad an-

=

63 mm 63 mm2

4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones.


44

El cinema del eslabn 3 aparece remarcado en verde.

DATOS:

3 = 0, 1 rd/s2 (antihorario)

P elto 3 AN IV ELA M 2 2 n aP 3 = 3 O3 P = (0, 5rad/s) (63 mm 2) = an P 3 = 31, 5 mm/s2 = an + at dir. O3 P y sentido hacia O3 aP 3 P3 P3 at 3 = 3 O3 P = 0, 1 rad/s2 (63 mm 2) = P t a P 3 = 12, 6 mm/s2 dir. O P y sentido acorde con 3 3

(escala del cinema : 2 mm 1 mm/s P elto 4 = a a (cinema P3 P4

2

obtenemos p3 )

p3 p4 )


45

P elto 2 AN ELA M IV 2 2 P an 2 = 2 O2 P = (0, 6rad/s) (43 mm 2) n a 2 P 2 = 30, 96 mm/s = + at dir. O2 P y sentido hacia O2 a an 2 P2 P P2 at 2 = 2 O2 P (desconocida) t P aP 2 dir. O P y sentido acorde con 3 3

por otra parte : = + + a a a4P 2 acor P4 P2 P lleva la dir de deslizamiento a4P 2 P | | = 2 VP 4P 2 (cinema) = 0, 60 rad/s 28 mm/s acor = 33, 6 mm/s2 = V acor 2 P 4P 2 dir. VP 4P 2 y sentido acorde con la regla de la mano derecha = a a a4P 2 acor P2 P4 P


46

El cinema del eslabn 2 viene representado por el segmento o p2 El cinema del eslabn 4 viene representado por el segmento o p3 El cinema de la corredera 4 viene representado por el punto p4

angular del eslabn 2. Necesitamos calcular el punto homlogo del mecanismo A en el cinema (a'). Para ello aplicamos la propiedad de homologa:o 3 oa = O pP 18 mm2 = 3 o a = 19, 43 mm oa O3 A 68 mm 63 mm2

5.- Remarque el cinema del eslabn 3 (AO3 P). Calcular la aceleracin

El cinema del eslabn 3 aparece remarcado en verde.


47

at 2 11, 5 mm/s 2 = P = = 0, 13 rad/s2 (sentido antihorario) 43 mm 2 O2 Pla F necesaria a aplicar en el punto A (segn gura) para conseguir que el mecanismo est en equilibrio (no considerar los pesos). Clculo de las fuerzas y momentos de inercia:

6.- Calcula las fuerzas y momentos de inercia de los eslabones. Calcule

Fi = mi a Gi Mi = IG0 iEn el caso de los eslabones 3 y 4, el enunciado nos indica que son despreciables. Para el clculo de la fuerza de inercia del eslabn 2, ser necesario obtener, previamente la aceleracin de su centro de gravedad. Para ello, aplicamos la homologa con el cinema de aceleraciones del eslabn 2.o 2 o g2 62 mm = O pP 20 mm2 = 43 mm2 2 o g2 = 30, 23 mm = 15, 12 mm/s2 a G2 o g2 O2 G2

entonces

F2 = m2 | | = 5 Kg 15, 12 mm/s2 = 75 103 N a G2 misma dir. que y sentido contrario a G2 | = 24 Kg cm2 0, 13 rd/s2 = 3, 12 Kg cm2 /s2 M2 = IG20 |2 misma dir. que y sentido contrario (antihorario) 2

Calcular la F en el punto A para conseguir el equilibrio: Para eliminar el momento en el mecanismo, desplazamos la fuerza de inercia una distancia tal que se consiga el efecto de M.

M2 3, 12 Kg cm2 /s2 h2 = = = 4, 16 mm 75 101 Kg cm/s2 F2A la hora de marcarla en el dibujo, hay que tener en cuenta que el mecanismo est a escala 1:2 Luego la fuerza debe desplazarse 2 mm, en su direccin perpendicular.


48

La escala de fuerzas en el dibujo es 1 cm : 2.103 N Este apartado puede resolverse de diferentes maneras: 1.- Resultado grco: principio de superposicin. Equilibro cada uno de los eslabones. Eslabn 2: fuerzas que actan Fi2 , R12 , R42 , el equilibrio se da cuando:

F = 0 Fi2 + R12 + R42 = 0 Los tres vectores deben formar un tringulo. M = 0 Los tres vectores deben converger en un punto.Por otro lado, conocemos la direccin del vector R42 , que es perpendicular a la direccin de deslizamiento

Fi2 = 75,103 N R12 = 18,103 N R42 = 64,103 NEslabn 4: fuerzas que actan R34 , R24 = R42 , el equilibrio se da cuando:

F = 0 F24 + R34 = 0 F24 = R34


49

M = 0 Se cumple, puesto que los dos vectores pasan por el punto P.

R24 = 64,103 N R34 = 64,103 N

Eslabn 3: fuerzas que actan Fen , R13 , R43 = R34 , el equilibrio se da cuando:

F = 0 Fen + R13 + R43 = 0 Los tres vectores deben formar un tringulo. M = 0 Los tres vectores deben converger en un punto.

Por otro lado, conocemos la direccin del vector Fen , que es perpendicular al segmento O3 A


50

Fen = 54,103 N R13 = 56,103 N R43 = 18,103 N2.- Resultado analtico: principio de los trabajos virtuales.

Fi2 VG2 + Mi2 2 + Fen VA = 0 Fi2 VG2 cos(110) + Mi2 || cos(180) + Fen VA cos(0) = 0 2 (75 103 N ) (26, 5 103 m/s) cos(110)+ + (3, 12 104 N m) (0, 6rd/s) cos(180)+ + Fen (18 103 m/s) cos(0) = 0 Fen = 48, 2 103 Ndireccin como aparece en la gura, y sentido contrario al dibujo.

6.4 Problema de dinmica completo

51

6.4. Problema de dinmica completoEl mecanismo de la gura es un cuadriltero articulado. Calcular las acciones en las barras y reacciones en la bancada, as como el par acelerador Ma2 , necesario aplicar en la manivela de entrada (2), para equilibrar el sistema.

Figura 6.7: Anlisis completo, cuadriltero articulado.

Los datos del mecanismo son los siguientes: velocidad angular de la manivela de entrada (2): 2 = 10 rd/s antihorario y constante.

O2 A = 0,5 m O2 G2 = 0,2 m m2 = 0,5 Kg IG2 = 0,0625 Kg m2 AB = 0,7 m AG3 = 0,4 m m3 = 0,7 Kg IG3 = 0,172 Kg m2 BO4 = 0,6 m O4 G4 = 0,35 m m4 = 0,6 Kg IG4 = 0,108 Kg m2

Solucin:


52

Anlisis cinemtico. Clculo de velocidadesEslabn 2: MANIVELA

VA = 2 O2 A = (10 rd/s) 0,5 m = 5 m/s dir. O2 A, sentido 2 (antihorario)Eslabn 3: BIELA

VB = VA + VBA dir. VBA BAEslabn 4: MANIVELA

dir. VB O4 B

Figura 6.8: Cinema de velocidades.

de los datos recogidos del cinema de velocidades se obtiene que:

VBA = 3 BA 3 =

VBA BA VB O4 B

=

8,3 m/s = 11,86 rd/s (horario) 0,7m

VB = 4 O4 B 4 =

=

11,5 m/s = 19,17 rd/s (horario) 0,6m


53

Anlisis cinemtico. Clculo de aceleracionesEslabn 2: MANIVELA

2 an = 2 O2 A = (10 rd/s)2 0,5 m = 50 m/s2 A

= + , = cte = 0 aA an at 2 2 A A dir || O2 A, sentido de A a O2

Eslabn 3: BIELA

= + = aB aA a BA + + a n =a atA BA BA

2 a = 3 BA = (11,86 rd/s)2 0,5 m = 70,33 m/s2 n BA a dir || BA, sentido de B A dir at BA BA

(6.1)

Eslabn 4: MANIVELA

2 an = 4 BO4 = (19,17 rd/s)2 0,6 m = 220,49 m/s2 B = + aB an at B B dir || BO4 , sentido de B a O4 dir at BO4 B (6.2) de los datos recogidos del cinema de aceleraciones se obtiene que: at = 3 BA 3 = BA 500 m/s2 = = 714,28 rd/s2 (horario) 0,7m BA 400 m/s2 = = 666,66 rd/s2 (horario) 0,6m O4 B at B at BA

at = 4 O4 B 4 = B

Anlisis cinemtico. Clculo de las aceleraciones de los centros de gravedadPara el clculo de las fuerzas de inercia, es necesario conocer previamente, los valores de las aceleraciones de los centros de gravedad de cada uno de los eslabones.


54

Figura 6.9: Cinema de aceleraciones.

Una vez obtenido el cinema de aceleraciones de la gura 6.9, los valores de aceleracin de cualquier punto del mecanismo se obtienen utilizando la propiedad de homologa entre el cinema de aceleraciones y el mecanismo. Eslabn 2:

o g2 oa = O2 G2 O2 AEslabn 3:

o g2 = o a

O2 G2 O2 A

o g2 = 1cm

0,2m = 0,4cm 0,5m

| 2 | = 20 m/s2 a G a g3 ab = AG3 ABEslabn 4:

a g3 = a b

AG3 AB

a g3 = 10cm

0,4m = 5,7cm 0,7m

| 3 | = 225 m/s2 a G o g4 ob = O4 G4 O4 B O4 G4 O4 A 0,35m = 5,3cm 0,6m

o g4 = o b

o g4 = 9cm

| 4 | = 265 m/s2 a GLas direcciones y sentidos de los vectores se reejan en el cinema de aceleraciones:


55

Figura 6.10: Obtencin de las aceleraciones de los centros de gravedad de cada eslabn.

Anlisis dinmico. Clculo de los esfuerzos de inerciaLas fuerzas y momentos de inercia se calculan aplicando las siguientes expresiones, para cada eslabn k:

Fik = mk k a G Mik = IGk kEstas frmulas se aplican a cada eslabn. Eslabn 2:

|Fi2 | = m2 | 2 | = 0,5Kg 20m/s2 = 10 N a G | = 0,0625Kgm2 0rad/s2 = 0 N m |M | = I | i2 G2 2

Eslabn 3:

|Mi3 | = IG3Eslabn 4:

|Fi3 | = m3 | 3 | = 0,7Kg 225m/s2 = 157,5 N a G | | = 0,172Kgm2 714,28rad/s2 = 122,85 N m 3

|Fi4 | = m4 | 4 | = 0,6Kg 265m/s2 = 159 N a G |Mi4 | = IG4 |4 | = 0,108Kgm2 666,66rad/s2 = 72 N m La direccin y el sentido de cada uno de los vectores se representan en la siguiente gura 6.11: Para hacer ms sencillo el anlisis dinmico del mecanismo, sustituimos los esfuerzos de inercia por la fuerza de inercia equivalente Fik , cuyo mdulo, direccin y sentido coincide con el de la fuerza de inercia, pero se encuentra desplazada (en la direccin perpendicular a la lnea de accin de la fuerza de inercia) una distancia hk tal que:

Mik = Fik hk

hk =

Mik Fik


56

Figura 6.11: Obtencin de los esfuerzos de inercia.

Eslabn 2:

h2 =Eslabn 3:

0N m Mi2 = =0m Fi2 10N

(6.3) (6.4)

h3 =Eslabn 4:

122,85N m Mi3 = = 0,78 m Fi3 157,5N

Mi4 72N m = = 0,45 m (6.5) Fi4 159N Resultando el problema que se presenta en la gura: Una vez conseguida toda la informacin de la dinmica del sistema, se obtienen las reacciones entre los eslabones, incluido la bancada, aplicando el principio de superposicin. h4 =

Anlisis dinmico. Aplicacin del principio de superposicinSe resolvern 3 problemas diferentes correspondientes a las tres fuerzas de inercia equivalentes obtenidas.Primer problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de inercia equivalente aplicada en el eslabn 2. Equilibramos eslabn a eslabn.


57

Figura 6.12: Obtencin de la fuerza de inercia equivalente.

Figura 6.13: Problema 1.

Eslabn 4: Fuerzas que actan R14 , R34

Eslabn 3: Fuerzas que actan R43 , R23

Observando los resultados obtenidos hasta ahora, y sabiendo que R34 = R43 se llega a la conclusin de que la nica solucin posible para dos


58

F = 0 R14 = R34 M = 0 las direcciones de las dos reacciones deben estar alineadas con el eslabn.

Figura 6.14: Equilibrio en el eslabn 4.

F = 0 R43 = R23 M = 0 las direccin de las dos reacciones deben estar alineadas con el eslabn.


vectores iguales en mdulo y direccin, pero con direcciones diferentes, es el vector nulo, por lo tanto:

R34 = 0 R14 = 0 R23 = 0 Eslabn 2: Fuerzas que actan R12 , R32 = R32 = 0 Fi2


59

F = 0 R12 = Fi2 M = 0 las direccin de las dos reacciones deben estar alineadas con el eslabn. Esto se cumple.Figura 6.16: Equilibrio en el eslabn 2.

Segundo problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de inercia equivalente aplicada en el eslabn 3.


Equilibramos eslabn a eslabn. Eslabn 4: Fuerzas que actan R14 , R34

Eslabn 3: Fuerzas que actan R43 = R34 , R23 ,

Fi3

F = 0 los tres vectores deben cerrar un tringulo. M = 0 las direccin de los tres vectores deben conuir en un punto.


60



Eslabn 2: Fuerzas que actan R12 , R32 = R32

Tercer problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de inercia equivalente aplicada en el eslabn 4. Equilibramos eslabn a eslabn. Eslabn 4: Fuerzas que actan R14 , R34 ,

Fi4

F = 0 los tres vectores deben cerrar un tringulo. M = 0 las direccin de los tres vectores deben conuir en un punto. Como no tenemos suciente informacin debemos pasar al siguiente eslabn. Eslabn 3: Fuerzas que actan R43 , R23 Eslabn 4: R34 = R43 nos da una de las direcciones necesarias, que junto con la de la fuerza de inercia F4i , nos permitirn calcular el punto de conuencia.

Con esta solucin se consiguen los valores de las reacciones en el eslabn 3:


61


F = 0 R12 = R32 M = 0 M R32 + Ma2 = 0 Ma2 = R32 d2 = 580N 0,42m = 253,6 N mFigura 6.20: Equilibrio en el eslabn 2.

R43 = R34 (464N ) R23 = R43 (464N )

(6.6)


62




Eslabn 2: Fuerzas que actan R12 , R32 = R32

Resolucin completa al problema de dinmica

Con las soluciones de los tres problemas, se obtiene los valores de las reacciones en cada eslabn y el par acelerador, mediante la suma vectorial.


63


F = 0 R12 = R32 (464N ) M = 0 M R32 + Ma2 = 0 Ma2 = R32 d2 = 564N 0,45m = 253,8 N mFigura 6.24: Equilibrio en el eslabn 2.

II III I R14 = R14 (0N ) + R14 + R14 II III I R34 = R34 (0N ) + R34 + R34 II III I R23 = R23 (0N ) + R23 + R23 II III I R12 = R12 + R12 + R12 I II III M2a = M2a (0N m) + M2a + M2a

6.5 Problema de engranajes (Junio 2000)

64

Estos resultados se obtiene grcamente, excepto en el caso del para acelerador, cuyas direcciones son perpendiculares al plano de trabajo y tienen la misma direccin, por lo que sus mdulos se suman. M2a = 0N m + 253,6N m + 253,8N m = 507,4 sentido antihorario.

Figura 6.25: Suma de reac- Figura 6.26: Obtencin de Figura 6.27: Obtencin de ciones R12 . R23 . R34 .

6.5. Problema de engranajes (Junio 2000)Se quiere disear un tren de engranajes ordinario compuesto recurrente formado por dos pares de ruedas dentadas externas cilndrico rectas, para lo cual se dispone de los siguientes datos: Razn de velocidades de una de las parejas (considerndola como la relacin de velocidades entre el eje de de salida y el de entrada del engrane): 1319 / 237. Distancia entre centros: 184 mm. Sabiendo que todas las ruedas de que se dispone tienen el mismo mdulo, y que oscilan entre 14 y 98 dientes, se pide: 1. Para la pareja cuya razn de velocidades se indica:

a ) Obtener el nmero de dientes de cada rueda y el mdulo, indicando cul de ellas es el pin y cul la rueda.


65

b ) Paso, espesor, hueco, adendo, dedendo, juego en cabeza, dimetro primitivo y dimetro de base para cada rueda (considerando que el ngulo de presin es de 20o ). c ) A la vista de los datos obtenidos en el apartado 1.2, se puede asegurar que en ninguna de las ruedas se producir el fenmeno de penetracin? d ) Indicar el error (absoluto y relativo) cometido en la relacin de transmisin de esta pareja.2. Para la otra pareja:

a ) Cul es la mxima relacin de transmisin entera que se puede obtener? b ) Para esa relacin de transmisin, obtener el nmero de dientes de cada rueda, indicando cul de ellas es el pin y cul la rueda. c ) Para cada rueda, obtener el paso, espesor, hueco, adendo, dedendo, juego en cabeza, dimetro primitivo y dimetro de base (considerando que el ngulo de presin es de 20o ).3. Indicar la disposicin ms razonable para ambos pares de ruedas. 4. Si el tren se transforma en uno epicicloidal recurrente en el que la rueda directamente montada sobre el eje de entrada se ja al marco, y considerando ahora como velocidad angular de entrada la asociada al soporte en el que van montados los satlites: a ) Calcular la velocidad de salida cuando el soporte gira a 100 rpm. b ) Obtener la relacin analtica entre la relacin de transmisin de un tren ordinario compuesto recurrente de dos pares de ruedas dentadas externas de nmero de dientes a, b, c y d, y la del tren epicicloidal recurrente homlogo.

Figura 6.28: Esquema del tren ordinario Figura 6.29: Esquema del tren epicicloidalcompuesto recurrente formado por dos pares recurrente. de ruedas dentadas externas.


66

solucin: 1.a Dado que 1319 es un nmero primo mayor que 98, descomponemos larelacin de transmisin en fracciones continuas, obteniendo:1319 134 5237 103

1

134 31

1

103 10

3

31 1

3

10 0

101

Las reducidas sucesivas son:

a) b) c) d) e) f)

5 6 11 / 2 39 / 7 La reducida ms alta construible es 39 / 7 = 78 / 14 128 / 23 1319 / 237

Se tomar para esa pareja una rueda de 14 dientes (pin) y una de 78 (rueda).Sabiendo que la distancia entre centros es la indicada:

Rpion + Rrueda = 184 mm m Zpion Zrueda +m = 184 mm 2 2

m = 4 mm 1.2 Todas las dimensiones estn dadas en mm.Paso (p) Espesor (s) Hueco (e) Adendo (ha) Dedendo (hf) Juego en cabeza (c) Dimetro primitivo (2 * r) Dimetro base (2 * rb)

Rueda 12.57 Pin

6.28

6.28

4

5

1

312 56

239.18 52.62


67

1.c.r - ha rb * cos 20o r - ha rb * cos 20o PENETRACIN? Rueda 152 137.75 SI NO Pin 24 24.72 NO SI (aunque despreciable)

1.d.Error absoluto : Error relativo : 1319 8 = 0,0060 237 14 Error absoluto1319 237

= 0,11 %

Dado que la distancia entre centros debe ser la misma para ambos pares de ruedas y que todas ellas tienen el mismo mdulo:

2.a.

m Z1 m Z2 m Z3 m Z4 + = + 2 2 2 2 Z1 + Z2 = Z3 + Z4 (1)

La relacin de transmisin tendr la siguiente expresin:

Z3 =n (2) Z4 donde n es un nmero entero entre 1 y 7 98 ) . 14(Designamos con los subndices 3 y 4 las ruedas de la pareja desconocida, aunque an no sabemos si es la 1a o la 2a ). Por tanto:

78 + 14 = n Z4 + Z4 92 = (1 + n) Z4


68

Como n y Z4 tienen que ser nmeros enteros, averiguamos los divisores de 92: a) n = 1 92 2 46 2 23 23 1

b) n = 3

c) n = 22 (no vale pues 22 >7, que es la mxima relacin de transmisin que se puede conseguir con un par de ruedas)

La mxima relacin de transmisin entera que se puede obtener es 3. 2.b. La rueda tiene 69 dientes y el pin 23 2.c.Todas las magnitudes son iguales que en la primera pareja salvo el dimetro primitivo y el dimetro base: Dimetro primitivo (2 r) Dimetro base (2 rb) Rueda 276 259.36 Pin 92 86.45

3. Ya que la relacin de transmisin global es superior a la unidad, tendre-

mos mayor velocidad en el eje de salida que en el de entrada, y, por tanto, menor par en el eje de salida que en el de entrada. Esto implica: El dimetro del eje de entrada ha de ser mayor que el de salida. Los dientes del primer engrane estarn sometidos a un mayor esfuerzo que los del segundo. Por tanto, los dientes de las ruedas del primer engrane debern ser ms anchos que los del segundo, lo cual implica que podr haber ms en este ltimo que en aquel, permitindose una mayor multiplicacin en la pareja

6.6 Problema de engranajes (Septiembre 2002)

69

del eje de salida que en la del eje de entrada. Relacin de transmisin Rueda Pin 1o engrane 3 69 23 o 2 engrane 78 / 14 78 14

4. Aplicando la frmula de Willis, llamando s a la velocidad angular delsoporte, y sabiendo que 1 = 0:

=Operando:

4 s 69 78 4 s = = 1 s 0 s 23 14

s = 4 s4 s

=1

(4.b)

Si s = 100 rpm:

4 = 1571,43 rpm

(4.a.)

6.6. Problema de engranajes (Septiembre 2002)Calcular mediante la tcnica de la fracciones continuas un engranaje con ruedas cilndrico rectas con una relacin de transmisin = 127/141, jando un error mximo de 1/1000. Debido a lo limitado del espacio disponible, se utilizar una de las reducidas obtenidas cuya rueda conducida tiene 10 dientes y mdulo 8. Expresar el tipo de montaje y talla de la pareja de ruedas y acotar la geometra del


70

par, indicando los siguientes valores: Para cada rueda: Nmero de dientes Mdulo Radio primitivo de referencia Radio primitivo de funcionamiento Radio base Radio de cabeza Radio de pie ngulo de presin de referencia Paso Espesor Hueco Factor de desplazamiento Desplazamiento de la cremallera en la talla a V Para la pareja de ruedas dentadas: ngulo de presin de funcionamiento Distancia entre ejes de funcionamiento

Solucin: Apartado aDado que 127 es un nmero primo superior al nmero mximo de dientes de una rueda, intentamos obtener la relacin ms cercana a la dada mediante el mtodo de descomposicin en fracciones continuas: 1 9 14 141 127 14 1 14 1 0 Las reducidas sucesivas son: a) 1


71

b) 9 / 10 c) 127 / 141

La reducida ms alta construible es 9 / 10

El error absoluto cometido en cada reducida es el siguiente: a) 9,93 102 b)7.09 104

c)0

El mximo permitido es de 1 / 1000 = 103 . De este modo, la reducida 9 / 10 cumple la condicin.

Se tomar un engrane formado por un pin de 9 dientes y una rueda de 10. Apartado bLa reducida con rueda de 10 dientes es 9 / 10. Dado que la suma del nmero de dientes de ambas ruedas es menor que 28, el montaje ser a V, debindose tallar ambas ruedas a V. Se usarn las siguientes frmulas:


72

Mdulo m = 2r Z Paso p=m cos() Radio primitivo de funcionamiento r = r cos( ) Espesor s = p + 2 m x tan() 2 Radio base rb = r cos() p Hueco h = 2 2 m x tan() Radio de cabeza ra = r + m (1 + x) x ngulo de presin de funcionamiento Ev( ) = 2 Z1 +x2 tan() + Ev() 1 +Z2 Radio de pie rf = r m (1,25 x) Distancia entre ejes de funcionamiento a = r1 + r2 Factor de desplazamiento x = 14Z 17 Desplazamiento en la talla en V mx Pin Nmero de dientes (Z) 9 Mdulo (m) (mm) 8 Radio primitivo de referencia (r) (mm) 36 Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) 37.7350 Radio base (rb) (mm) 33.8289 Radio de cabeza (rc) (mm) 46.3529 Radio de pie (rf) (mm) 28.3529 o ngulo de presin de referencia ( ) ( ) 20 Paso (p) (mm) 25.1327 Espesor (s) (mm) 14.2792 Hueco (e) (mm) 10.8536 Factor de desplazamiento (x) 0.2941 Desplazamiento en la talla (mm) 2.3529 ngulo de presin de funcionamiento (o ) 26.3 Distancia entre ejes de funcionamiento (mm) 79.6628 Rueda 10 8 40 41.9278 37.5877 49.8824 31.8824 20 25.1327 13.9366 11.1961 0.2353 1.8824

6.7. Problema de engranajes (Junio 2003)Discutir, para obtener la reduccin 13/15 entre dos ejes paralelos, la talla y montaje correspondiente siendo el pin de 13 dientes y mdulo 5. 1. Calcular los parmetros de talla y montaje.


73

Para cada rueda: Nmero de dientes Mdulo Radio primitivo de referencia Radio primitivo de funcionamiento Radio base Radio de cabeza Radio de pie ngulo de presin de referencia Paso Espesor Hueco Factor de desplazamiento (x1, x2) Desplazamiento de la cremallera en la talla a V Para la pareja de ruedas dentadas: ngulo de presin de funcionamiento Distancia entre ejes de funcionamiento 2. Debido a dicultades en el posicionamiento de uno de los ejes, la distancia entre ejes debe modicarse a 71 mm. Discutir si el tipo de montaje y talla calculado anteriormente es vlido para la nueva conguracin. Calcular los nuevos parmetros de talla y montaje de la pareja de ruedas para eliminar la holgura circunferencial. 1.- Calcular los parmetros de talla y montaje. Dado que la suma del nmero de dientes de ambas ruedas es mayor o igual que 28, se pueden tallar a V y montar a 0. Se usarn las siguientes frmulas:

Solucin:


74

Mdulo m = 2r Z Paso p=m cos() Radio primitivo de funcionamiento r = r cos( ) Espesor s = p + 2 m x tan() 2 Radio base rb = r cos() p Hueco h = 2 2 m x tan() Radio de cabeza ra = r + m (1 + x) x ngulo de presin de funcionamiento Ev( ) = 2 Z1 +x2 tan() + Ev() 1 +Z2 Radio de pie rf = r m (1,25 x) Distancia entre ejes de funcionamiento a = r1 + r2 Factor de desplazamiento x = 14Z 17 Desplazamiento en la talla en V mx Por tanto: Pin Nmero de dientes (Z) 13 Mdulo (m) (mm) 5 Radio primitivo de referencia (r) (mm) 32.5 Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) 32.5 Radio base (rb) (mm) 30.5400 Radio de cabeza (rc) (mm) 37.7941 Radio de pie (rf) (mm) 26.5441 ngulo de presin de referencia ( ) (o ) 20 Paso (p) (mm) 15.7080 Espesor (s) (mm) 8.0681 Hueco (e) (mm) 7.6399 Factor de desplazamiento (x) 0.0588 Desplazamiento en la talla (mm) 0.2941 ngulo de presin de funcionamiento (o ) 20 Distancia entre ejes de funcionamiento (mm) 70 Rueda 15 5 37.5 37.5 35.2385 42.2059 30.9559 20 15.7080 7.6399 8.0681 -0.0588 -0.2941


75

2.- Calcular los parmetros de talla y montaje al modicar la distancia entre ejes de funcionamiento. Al variar la distancia entre ejes de funcionamiento el montaje no puede ser a 0. El factor de desplazamiento aplicado al pin ha de ser obligatoriamente el calculado en el apartado anterior para evitar la penetracin. Sabiendo que la distancia entre ejes de funcionamiento responde a la siguiente expresin

a =a

cos cos

se calcula el ngulo de presin de funcionamiento: = 22,1108o . Haciendo uso de la siguiente ecuacin

Ev = 2

x1 + x2 tg + Ev Z1 + Z2

se calcula el factor de desplazamiento para la rueda: x2 = 0,1515. Por tanto: Pin Nmero de dientes (Z) 13 Mdulo (m) (mm) 5 Radio primitivo de referencia (r) (mm) 32.5 Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) 32.9643 Radio base (rb) (mm) 30.5400 Radio de cabeza (rc) (mm) 37.7941 Radio de pie (rf) (mm) 26.5441 o ngulo de presin de referencia ( ) ( ) 20 Paso (p) (mm) 15.7080 Espesor (s) (mm) 8.0681 Hueco (e) (mm) 7.6399 Factor de desplazamiento (x) 0.0588 Desplazamiento en la talla (mm) 0.2941 Rueda 15 5 37.5 38.0357 35.2385 43.2575 32.0075 20 15.7080 8.4054 7.3026 0.1515 0.7575


76

ngulo de presin de funcionamiento (o ) 22.1108 Distancia entre ejes de funcionamiento (mm) 71

6.8. Problema de engranajes (Septiembre 2003)En una aplicacin industrial se desea conseguir, con ruedas cilndrico rectas, una relacin de transmisin = 221/1005. Se pide: 1. Calcular el nmero de dientes de cada rueda para obtener la relacin de transmisin dada con un tren de engranajes ordinario. Especicar la disposicin de las ruedas y la condicin que deben cumplir para que el tren sea recurrente. 2. Obtener la relacin de transmisin dada con un tren de engranajes epicicloidal de balancn. Dibujarlo y especicar el nmero de dientes de cada rueda. 3. Calcular la relacin de transmisin necesaria para obtener, con una pareja de ruedas de las disponibles, un error absoluto menor de 0,0001 respecto a la dada. (Tomar una precisin de 8 decimales). 4. Con una relacin de transmisin = 11/50 y para un mdulo m = 4 mm., expresar el tipo de montaje y talla de la pareja de ruedas y acotar la geometra del par, indicando los siguientes valores: Para cada rueda: Radio primitivo de referencia y radio primitivo de funcionamiento Radio base, radio de cabeza y radio de pie Paso, espesor y hueco Para la pareja de ruedas dentadas ngulo de presin de funcionamiento Distancia entre ejes de funcionamiento NOTA.- Debido a condiciones de diseo: La relacin de transmisin de cada engrane individual no puede sobrepasar el valor = 5. El nmero mximo de dientes por rueda ser de ZM AX = 80 y el mnimo de ZM IN = 10 (10 Z 80).


77

Para hallar una posible disposicin de un tren ordinario que cumpla la relacin de transmisin pedida ( = 221/1005), se descomponen el denominador y el numerador:

solucin:

=

221 13 17 17 13 = = 1005 3 5 67 67 15

Una posible solucin sera la siguiente disposicin:

Z1 = 17 Z2 = 67 Z3 = 13 Z4 = 15 Para que el tren ordinario sea recurrente se tiene que cumplir que la distancia entre los dos ejes en cada engranaje sea igual: r1 + r2 = r3 + r4 m1 m2 (Z1 + Z2 ) = (Z3 + Z4 ) 2 2 m2 Z1 + Z2 = m1 Z3 + Z4 Para la disposicin propuesta, para que el tren sea recurrente, la relacin entre los mdulos de las ruedas que participan en cada engrane ser: m2 Z1 + Z2 17 + 67 84 = = = =3 m1 Z3 + Z4 13 + 15 28 NOTA 1.- Otra posible solucin sera: Z1 = 13 Z2 = 67 Z3 = 17 Z4 = 15 m2 Donde la relacin entre los mdulos sera: m1 = Z1 +Z2 = 13+67 = 80 = 2, Z3 +Z4 17+15 32 NOTA 2.- Si se desea trabajar con ruedas de 14 dientes o ms, se puede recurrir a multiplicar el numerador y el denominador por 2: = 221 13 17 2 17 26 = = 1005 3 5 67 2 67 30

Y otra posible solucin sera: Z1 = 17 Z2 = 67 Z3 = 26 Z4 = 30 m2 Donde la relacin entre los mdulos sera: m1 = Z1 +Z2 = 17+67 = 84 = 1, 5 Z3 +Z4 26+30 56 Para obtener la relacin de transmisin real de un tren epicicloidal de balancn, a partir de la relacin de transmisin aparente, se particulariza para este caso la frmula de Willis:


78

A =

M L O L

Para el caso del tren epicicloidal de balancn M = 0, luego A = OL L O Si se considera que la relacin de transmisin real es = L Las ecuaciones que vinculan la relacin de transmisin real y la aparente sern:

=1

1 1 A = A 1

Para obtener la relacin de transmisin pedida ( = 221/1005) se opera:

A =

1 1005 3 5 67 15 67 = 4 2 = 221 = 784 2 7 16 49 1 1005

Y una posible solucin sera la siguiente disposicin:

Z1 = 15 Z2 = 16 Z3 = 67 Z4 = 49 Una posible representacin esquemtica de un tren epicicloidal de balancn es el que se ofrece en la siguiente gura.

Figura 6.30: Representacin de un tren epicicloidal.

Para hallar la relacin de transmisin con una pareja de ruedas y un error absoluto menor de 10-4 respecto a la dada ( = 221/1005), se usa el mtodo de


79

descomposicin en fracciones continuas hasta hallar una reducida que cumpla las especicaciones.

R1 = 1 = 0, 25 4 E1 = | R1 | = |0, 21990049 0, 25| = 3, 009951 102 > 104 1 R2 = 4+ 1 = 1 = 0, 2 5 E2 = | R2 | = 1, 990049 102 > 104 R3 = 4+ 1 1 = 2 = 0, 22222222 9 E3 = | R3 | = 2, 32173 103 > 104 9 R4 = 4+ 1 1 = 41 = 0, 219512191+ 1+ 1 1 1

E4 = | R4 | = 3, 883 104 > 104 R5 = 4+ 1 1 = 11 = 0, 22 501+ 1+

1 1+ 1 4

E5 = | R5 | = 9, 951 105 < 104 42 R6 = 4+ 1 1 = 191 = 0, 219895281+ 1 1+ 4+

1 4+ 1 1

1

E6 = | R6 | = 5, 21 106 < 104 221 R7 = = 1005 = 0, 21990049 E7 = | R7 | = 0Luego la relacin de transmisin que cumple las especicaciones es = 11 50 Se dispone de un engrane con un mdulo m = 4 mm. y un nmero de dientes Z1 = 11 (pin) y Z2 = 50 (rueda). Dado que una de las ruedas tiene un nmero de dientes inferior a 14 dientes pero la suma del nmero de dientes de ambas ruedas es mayor de 28, se pueden efectuar dos tipos de montaje: Montaje en V: Se tallar a V el pin (menor de 14 dientes) pero no as la rueda (mayor de 14 dientes) y se montarn en V. Montaje a cero: Se tallarn a V tanto el pin como la rueda y se montarn a cero.

1 1 1 1+ 3


80

Se usarn las siguientes frmulas: Mdulo m = 2r Z Paso p=m cos() Radio primitivo de funcionamiento r = r cos( ) Espesor s = p + 2 m x tan() 2 Radio base rb = r cos() p Hueco h = 2 2 m x tan() Radio de cabeza ra = r + m (1 + x) x ngulo de presin de funcionamiento Ev( ) = 2 Z1 +x2 tan() + Ev() 1 +Z2 Radio de pie rf = r m (1,25 x) Distancia entre ejes de funcionamiento a = r1 + r2 Factor de desplazamiento x = 14Z 17 Desplazamiento en la talla en V mx

Montaje en VSe talla a cero (x2 = 0) la rueda de 50 dientes (posible ya que 50 14) y en V el pin con un factor de desplazamiento:

x1 =

14 Z 14 11 = = 0, 1765 17 17

y se efecta un montaje en V.

Montaje a ceroSe talla a V la rueda de 50 dientes con un desplazamiento igual y de signo contrario al dado al pin:

x2 = x1 = 0, 1765 y se efecta un montaje a cero.

6.9 Problema de engranajes (Febrero 2004)

81

6.9. Problema de engranajes (Febrero 2004)Se quiere efectuar la talla y montaje de una pareja de ruedas de 11 y 13 dientes con un mdulo m = 8, asegurando que no haya holgura circunferencial y evitando la penetracin durante la talla y la interferencia durante el funcionamiento. Se pide: 1. En caso de utilizar el mtodo de variar el ngulo de inclinacin del diente


82

de la cremallera de talla, determinar estos ngulos. 2. En caso de emplear el mtodo de variar la altura mxima del diente de la cremallera de talla, calcular las citadas alturas. 3. En caso de usar el mtodo de desplazamiento en la talla expresar el tipo de montaje y talla de la pareja de ruedas y acotar la geometra del par, indicando los siguientes valores: Para cada rueda:Nmero de dientes (Z) 11 Mdulo (m) (mm) 8 o ngulo de presin de referencia () ( ) 20 Factor de desplazamiento (x) Desplazamiento en la talla (mm) Radio primitivo de referencia (r) (mm) Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) Radio base (rb ) (mm) Radio de cabeza (rc ) (mm) Radio de pie (rf ) (mm) Paso (p) (mm) Hueco (e) (mm) Espesor (s) (mm) Espesor en la circunferencia de cabeza (sc ) Pin Rueda13 8 20

(mm)

Para la pareja de ruedas:

ngulo de presin de funcionamiento ( ) (o ) Distancia entre ejes de funcionamiento (a) (mm) Grado de recubrimiento o coeciente de engrane ( ) Solucin: 1. Mtodo de la variacin del ngulo de inclinacin del anco del diente de la cremallera de tallaEl nmero mnimo de dientes que se puede construir sin que exista penetracin en la talla viene determinado por la siguiente expresin:

2 sen2 siendo el ngulo de inclinacin del anco de los dientes de la cremallera generadora. Zl ite = m


83

Para que no haya penetracin al tallar una rueda con un nmero de dientes X, inferior a 14 dientes, hay que encontrar un ngulo tal que produzca un nmero de dientes lmite inferior a X.

X

2 sen2

arc sin

2 Z

En el caso del pin (Z = 11) el ngulo ser:

25, 24oY en el caso de la rueda (Z = 13) el ngulo ser:

23, 09o

2. Mtodo del rebajado de la altura del diente de la cremallera de tallaLa expresin que determina la altura de cabeza que debe tener la cremallera de talla para garantizar que no existe penetracin es la siguiente:

r m y r b cos Operando se llega a una expresin que relaciona el factor y con el nmero de dientes de una rueda que no sufre penetracin durante la talla.

2 r sin2 rmy cos r (1cos ) my r sin m y y m 22 2 2

Z sin2 2 En el pin (Z = 11) y considerando que el ngulo = 20o , ser y 0,6434, siendo la altura de cabeza de los dientes de la cremallera de talla hc m y = 8 0, 6434: y hc 5, 1472 mm.En la rueda (Z = 13) con el ngulo = 20o , ser y 0,7604, siendo la altura de cabeza de los dientes de la cremallera de talla hc m y = 8 0, 7604:


84

hc 6, 0832 mm.

3. Mtodo del desplazamiento de la cremallera de tallaSe dispone de un engrane con un mdulo m = 8 mm. y un nmero de dientes Z1 = 11 (pin) y Z2 = 13 (rueda). Dado que las dos ruedas tienen un nmero de dientes inferior a 14 (la suma del nmero de dientes de ambas ruedas es menor de 28), para evitar la penetracin en la talla se deben tallar en V. Para asegurar que no haya holgura circunferencial ni interferencia durante el funcionamiento se debe efectuar el montaje en V. Se usarn las siguientes frmulas:


85

A continuacin se ofrecen los valores obtenidos para cada variable del pin y la rueda, derivados de la talla y montaje seleccionados, y teniendo en cuenta que se deber evitar la penetracin en la talla y asegurar que no haya holgura circunferencial ni interferencia durante el funcionamiento. Para cada rueda:

Para la pareja de ruedas:

Captulo 7 CUESTIONES DE TEORA7.1. Introduccin a la teora de mquinas y mecanismos1. Par cinemtico. Clasicacin. 2. Esquema general de un conjunto mecnico. Describa los diferentes subconjuntos del sistema transmisor. 3. Determinar razonada y analticamente la movilidad de los mecanismos representados en las siguientes guras. aplicar la regla de Gruebler.

Figura 7.1:

Figura 7.2:

Figura 7.3:

4. Esquema general de un conjunto mecnico. Sistema transmisor. 5. Par elemental: cierre de forma, cierre de fuerza y cierre de enlace. Ejemplos. 6. Denicin de par elemental. Pares fundamentales inferiores. 7. Mecanismo de biela-manivela: inversiones.

86

7.2 Resistencias Pasivas y principios de lubricacin

87

7.2.

Resistencias Pasivas y principios de lubricacin

8. Tipos de resistencias pasivas. Coeciente de rodadura. 9. Curva de Stribeck. Engrase perfecto. 10. Resistencia al pivotamiento. Indicar valores comparativos con otros tipos de resistencias pasivas. 11. Ley de Harrison en la lubricacin de cojinetes. 12. Resistencias pasivas en pares elementales. Explique las reacciones en el punto de contacto (fuerzas y pares). Identique los vectores con los diferentes tipos de resistencias pasivas. 13. Coeciente de rigidez en correas. 14. Indicar la expresin del coeciente de rozamiento al deslizamiento para un par lubricado. 15. Cono de rozamiento. Crculo de rozamiento. 16. Describa el modelo de deslizamiento de un eje sobre el portaejes: crculo de rozamiento. 17. Enuncie la ley de Harrison en cojinetes: grco explicativo. 19. Rendimiento de una mquina. 18. Coeciente de rigidez en correas: ecuacin experimental de Coulomb. 19. Expresin grca de la ley de Hersey (Stribeck). 20. Expresin grca del crculo de rozamiento.

7.3.

Anlisis cinemtico de mquinas

21. Velocidad de cambio de polo en mecanismos planos. 22. Para un punto dado de un eslabn genrico, dibuje la posicin del centro de curvatura de la trayectoria del punto y el centro instantneo de rotacin del eslabn. 23. Expresin grca de la frmula de Euler-Savary. 24. Anlisis grco de las aceleraciones en un cuadriltero articulado plano. Se supondr una velocidad angular 2 y una aceleracin angular 2 en la manivela de entrada. 25. Sean dos puntos A y B pertenecientes a dos elementos mecnicos en movimiento relativo. Referir la aceleracin del punto A a la de B, explicando el signicado de cada uno de los vectores involucrados. Introducir los sistemas de referencia y los vectores cinemticos necesarios.

7.4 Anlisis dinmico de mquinas

88

26. Velocidad de cambio de polo. Clculo para la biela de un cuadriltero articulado. 27. Cinema de velocidades. Caractersticas geomtricas. 28. Anlisis grco de la velocidad de cambio de polo de la biela, en un cuadriltero articulado plano. Se supondr una velocidad angular 2 y una aceleracin angular 2 en la manivela de entrada. 29. Sean dos puntos A y B pertenecientes a un elemento mecnico en movimiento. Referir la posicin, la velocidad y la aceleracin del punto A a la de B. Introducir los sistemas de referencia y los vectores cinemticos correspondientes. 30. Expresin grca del crculo de inexiones. 31. Clculo grco de la aceleracin normal en un punto A respecto a otro punto B. Considerar que los puntos A y B pertenecen al mismo eslabn. 32. Velocidad de cambio de polo: grco explicativo del clculo de la componente de la velocidad de cambio de polo segn la perpendicular al radio de curvatura de la trayectoria de un punto genrico P en un instante determinado t. 33. Enumere tcnicas de determinacin de velocidades en los mecanismos articulados en el plano.

7.4.

Anlisis dinmico de mquinas

34. Aplique el Teorema del Centro de Masas a un eslabn genrico de un mecanismo plano. 35. Explique brevemente los tipos de anlisis dinmicos sobre un mecanismo. 36. Reduccin dinmica de un sistema articulado de un grado de libertad a la manivela de salida. Clculo de la masa reducida. 37. Condiciones para que un sistema de masas puntuales (mi , i=1, ..., n) sea dinmicamente equivalente a un eslabn de centro de masas G, masa M y momento de inercia respecto a G igual a IG . 38. Explicar la forma de calcular los esfuerzos y pares de inercia en un elemento mecnico en movimiento. Introducir cuantos vectores, teoremas y sistemas de referencia sean necesarios. 39. Reduccin dinmica de un sistema articulado de un grado de libertad a la manivela de salida.

7.5 Teora general de engranajes

89

40. Aplique el principio de los trabajos virtuales al mecanismo de la gura 7.4. Calcule la fuerza reducida y equilibrante en el punto C, suponiendo conocidas las velocidades en A y en C ( VA y VC ) y sabiendo que se le aplica una fuerza vertical en A igual a FA (formando 60 o con VA ).

Figura 7.4:

7.5.

Teora general de engranajes

41. Explique los conceptos de: talla y montaje en engranajes. 42. Penetracin e interferencia en el engrane de ruedas cilndrico rectas: nmero lmite de dientes. 43. Representar grcamente el segmento de engrane de un par de ruedas cilndrico rectas estndar de m = 5, Z1 = 10 y Z2 = 14. 44. Trenes de engranajes epicicloidales: frmula de Willis. 45. Hgase el montaje de un par de ruedas cilndrico rectas estndar de m = 5, Z1 = 10 y Z2 = 14. Represente grcamente los parmetros de las dentaduras y de las ruedas. 46. Palancas rodantes: condicin de relacin de transmisin constante. 47. Nomenclatura del dentado en ruedas cilndrico rectas. 48. Frmula de Willis. Aplicacin a un tren de engranajes epicicloidal simple y de balancn. 49. Palancas rodantes: condicin de contacto permanente. 50. Representar grcamente las relaciones geomtricas entre: lnea de engrane, circunferencia base, circunferencia primitiva y evolvente.

7.5 Teora general de engranajes

90

51. Expresar grcamente la condicin geomtrica lmite para evitar la penetracin en ruedas dentadas talladas a cero. 52. Hgase el montaje de un par de ruedas cilndrico rectas estndar de m = 5, Z1 = 10 y Z2 = 14. Represente grcamente los parmetros de las dentaduras y de las ruedas. 53. Frmula de Willis. Aplicacin a un tren epicicloidal recurrente. 54. Engranajes cnicos: construccin de Tredgold. 55. Representar grcamente la penetracin e interferencia en el engrane de ruedas cilndrico rectas. Obtener la relacin geomtrica del nmero lmite de dientes para evitarla. 56. Frmula de Willis. Aplicacin a un tren epicicloidal de balancn. 57. Hgase el montaje de un par de ruedas cilndrico rectas estndar de m = 5, Z1 = 10 y Z2 = 14. Represente grcamente el segmento de engrane. 58. Nomenclatura de una rueda estndar de mdulo m y Z dientes tallada con desplazamiento +xm: paso, paso angular, radio base, radio de cabeza, radio de pie, radio primitivo de talla, espesor. 59. Comparar los parmetros geomtricos del diente de perl de evolvente normalizado de una rueda de mdulo m tallada a cero con otra del mismo modulo m tallada a V (+xm). 60. Calcular un par de ruedas dentadas que, para un nmero mximo de 150 dientes por rueda, veriquen una relacin de transmisin = 142/249 con un error inferior a 104 . 61. Dibuje y describa un tren epicicloidal simple recurrente: obtenga la relacin de transmisin aparente y la real que se establece entre el eje de salida y el de entrada, especicando que eje es cada cual.

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