cuaderno de contenidos de mamtematicas
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Principio básico de conteo
• Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.• Ejemplo : ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora
y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelosdiferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?.
• Se les denomina técnicas de conteo a las: – combinaciones, – permutaciones y – diagrama de árbol
• Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y eladitivo.
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
• Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de laactividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada aefecto de:
N1 x N2 x ..........x Nr maneras
• El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben serllevados a efecto, uno tras otro.
• Ejemplo : “Una persona desea armar un computador, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete
(Tower). ¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?”
• ¿Cuántas patentes para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letrasseguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los númerosde entre los dígitos del 0 al 9?,
a. Si es posible repetir letras y números,b. No es posible repetir letras y números,c. Cuántas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D y
empiezan por el cero,d. Cuantas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D
seguida de la G.• ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos
tomados del 0 al 9?,a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible
repetir dígitos,b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos,c. ¿Cuántos de los números telefónicos del punto b empiezan por el número
siete?,d. ¿Cuántos de los números telefónicos del punto b forman un número
impar?
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PRINCIPIO ADITIVO
• Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para serrealizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, lasegunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la última de las alternativas puedeser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de :
M + N + .........+ W maneras
• EJEMPLO: “Se desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, LG y Mademsa, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca M,se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras existen de comprar una lavadora?”
•
Usted desea ir a La Serena o a Viña del Mar en las próximas vacaciones de verano, parair a La Serena él dispone de tres medios de transporte que lo llevaran desde Talca aSantiago y dos medios de transporte para ir desde Santiago a La Serena , mientras quepara ir de Santiago a Viña del Mar tiene cuatro diferentes medios de transporte,
a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Ud Para ir a La Serena o a Viña del Mar?,b) ¿Cuántas maneras tiene Ud., Para ir a La Serena o a Viña del Mar en un viaje redondo, si
no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?
c) Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?
Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de unaserie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad adesarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso delprincipio aditivo
PERMUTACIONES Y COMBINACION
• Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es unacombinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta maneraentender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar unapermutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
• COMBINACIÓN: – Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. –
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• PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de loselementos que constituyen dicho arreglo
• Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación,
plantearemos cierta situación.• Suponga que un curso está constituido por 35 alumnos.
a) El profesor desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades rutinarias talescomo mantener el sala limpia o entregar material a los alumnos cuando así seanecesario.
b) El profesor desea que se nombre a los representantes del curso (Presidente,Secretario y Tesorero).
• Para a) es ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupode tres personas?
• Este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permitenformar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenidode los mismos
PRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel
SECRETARIO Arturo Daniel Daniel Rafael
TESORERO Rafael Rafael Arturo Arturo
• Para b) ¿Importa el orden de los elementos en la selección?•
Definitivamente sí, por lo tanto las representaciones antes definidas son diferentes ya queel orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este casoestamos tratando con permutaciones.
Permutaciones
• ¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso decreatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro universidad, si hay 14participantes?.
• Por el principio multiplicativo: 14x13x12x11 = 24.024 maneras.• Si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a
ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces:
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)
= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!
= n!/ (n – r)!
)!r n(
!n
Pr n
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• La fórmula anterior nos permitirá obtener todos aquellas selecciones en donde el orden esimportante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay quehacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos sontodos diferentes.
• Para casos en donde se considere la totalidad de los participantes.
nPn= n!
Ejercicios
1. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten dePresidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representaciónpuede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
2. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1,2, 4, 6 y 9?, Si,
a. No es posible repetir dígitos,
b. Es posible repetir dígitos.
• Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos endonde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. Enuna combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
• La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
!r )!r n(
!nC r n
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El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posiblesresultados cuando hay dos o más características que pueden variar.
Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.
/ tasa de chocolate
/ chocolate < / \ cono de chocolate / / / tasa de fresa<-- fresa < \ \ cono de fresa \ \ / tasa de vainilla \ vainilla <
\ cono de vainilla
El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama deárbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.
/ tasa de chocolate
/ / tasa <-- tasa de fresa / \
/ \ tasa de vainilla / < \ \ / cono de chocolate \ / \ cono <-- cono de fresa
\ \ cono de vainilla
Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primeracaracterística por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior,multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.
Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total deresultados.
http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm
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ARREGLO RECTANGULAR
Un arreglo rectangular es una herramienta que te sirve para resolver ejercicios decombinaciones y consta de renglones y columnas que al intersectarse, te vanformando las combinaciones posibles
Es otra forma de representación; también puedes usar diagramas de árbol.
Un ejemplo: cuantas combinaciones puedes hacer con 3 pantalones [azul(A),verde(V) y negro(N)] con 2 camisas {blanca(B) y roja(R)}
Colocas en el eje horizontal tres cuadros con los colores de los pantalones (A, V yN) y en el eje vertical 2 cuadros con los colores de las camisas (B y R)
En cada intersección, se te van formando las combinaciones posibles:
AB, AR, VB, VR, NB y NR
Los arreglos rectangulares también te sirven para obtener el espacio muestral enprobabilidad; por ejemplo. el lanzamiento de un dado y una moneda ó ellanzamiento de 2 dadoshttp://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20101125195500AAd7XZe
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad serequiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos sepueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados delexperimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasostiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en losproblemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama paracada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta
ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudodel cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posiblefinal del experimento (nudo final).
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Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener elmismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama deprimera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudoha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos seanmucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos lasprobabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumnade la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas queemergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad tiene de tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cadafacultad.
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¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
perotambién podría ser lo contrario.
Relación con probabilidad condicionada
Esta herramienta está fundamentada en el cálculo de probabilidadescondicionadas.
Por ejemplo podemos identificar el 0,6 que encontramos en la rama que va de 1ªfacultad a mujer como la siguiente probabilidad condicionada:
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También esta herramienta se relaciona con algunos teoremas de la probabilidadcondicionada
El segundo cálculo que hemos realizado, se corresponde con la aplicación delteorema de la Probabilidad Total
Dado que las tres facultades forman una partición del espacio muestral podemosindicar este cálculo como:
http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rbol
LA PROBABILIDAD es la rama de las matemáticas que estudia los resultados
posibles de los fenómenos aleatorios.
Tipos de probabilidad:
Existen dos tipos de probabilidad: la probabilidad clásica, también llamada teórica omatemática, y la probabilidad frecuencial o empírica.
La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espaciomuestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica:
Probabilidad de un evento = Numero de resultados favorables al evento/Numero total deresultados posibles. En símbolos: P(E) = n(E)/n(S).
La probabilidad frecuencial se obtiene cuando se experimenta un gran número de vecesel mismo fenómeno en condiciones semejantes.
Fórmula de la probabilidad frecuencial o empírica:Probabilidad Frecuencial = Numero de aciertos / numero de experimentos. Empleandosímbolos: P(E) = f /n.
la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenosaleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cualesson resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismascondiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius anivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, sonaquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez,
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bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseenun conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de un dardo.
Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como ellanzamiento de un dado, donde el fonómeno no se repite en las mismas
condiciones, debido a que la características del material hace que no exista unasimetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida.En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidadcorresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos losparámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales laestadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamentea la teoría de la probabilidad en sí.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema deaxiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en lateoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet
entre otros.Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad,la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles ,permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudiode problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de laprobabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento,como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de lasdifusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelode Black y Scholes para la valuación de acciones).
== Definición clásica de probabilidad ==
La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razonespara creer que éste se realizará.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posiblesigualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h dedicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento esimposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tieneque ocurrir su probabilidad es 1.
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La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:
Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidadde que no ocurra, entonces p + q = 1
Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es elespacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados,que se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
Probabilidad discreta
Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentesque son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
Probabilidad continua
Una variable aleatoria es una función medible
que da un valor numérico a cada suceso en Ω.
[editar] Función de densidad
Artículo principal: Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, esuna función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma lavariable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribuciónde probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución deprobabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad
La suma o adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con
facilidad matemática de composición que consiste en combinar o añadir dosnúmeros o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra elproceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una solacolección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básicade contar.
En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobreconjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y
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también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales convectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan suimagen en ellos.
En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para
representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura degrupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura degrupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar laoperación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se tratade una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida estaoperación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.
Propiedades de la suma
Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia elresultado: a +b =b +a .
Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres omás números reales, la suma siempre es la misma independientemente desu agrupamiento.2 Un ejemplo es: a +(b +c ) = (a +b )+c .
Elemento neutro: 0. Para cualquier número a , a + 0 = 0 + a = a . Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional,
real o complejo a , existe un número −a tal que a + (−a ) = (−a ) + a = 0. Estenúmero −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a . Noexiste en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercernúmero es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado porel tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.
Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultadoes siempre un número natural. Por ejemplo a+b=c
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parcialescuando tienden al infinito.
http://es.wikipedia.org/wiki/Suma
La resta o sustraccion es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada ciertacantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o
resto.
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c –b=a.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es elsustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.
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En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números siel minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería unnúmero negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así paraotros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". Enotras palabras, no se tiene a – b sino a + ( –b), donde –b es el elemento opuestode b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevoconcepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a losnaturales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Resta
La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número
tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado portres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 porsí mismo (4+4+4 ). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Losnúmeros que se multiplican se llaman factores o coeficientes , e individualmente:multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma multiplicando).Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando enel conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de lamultiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para unadiscusión sobre el tema.
En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación consu notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, paradesignar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para laque no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación quedota a un conjunto de estructura de grupo
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
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División (matemática)
La división es una operación aritmética de descomposición que consiste enaveriguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (eldividendo). La división es una operación matemática, específicamente, dearitmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse tambiéncomo una resta repetida.
Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero óinexactas cuando no lo es.
Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no esexacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en eldividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:
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Que también puede expresarse:
dividendo = cociente × divisor + restohttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
Centro cultural
Centro Cultural Juan Bautista Rubio Zamorano en Isla Cristina.
Se designa centro cultural o casa de (la) cultura, y en ocasiones centro culturalcomunitario, al lugar en una comunidad destinado a mantener actividades quepromueven la cultura entre sus habitantes.
Algunas casas de la cultura tienen bibliotecas, talleres culturales, cursos y otrasactividades generalmente gratuitas o a precios accesibles para la comunidad. Estetipo de locales tienen una gran importancia para la preservación de la cultura local,sobre todo en comunidades rurales que carecen de teatros, cines o salas de
conciertos. Aunque también en las grandes ciudades las casas de la cultura tienenimportancia para mantener actividades culturales con grupos de todas las edadesy estratos sociales.
Una casa de la cultura puede estar ubicada en un edificio histórico de una ciudad,como en el caso de la Casa de la Cultura de Buenos Aires, en Argentina o la Casade la Cultura "José María Morelos y Pavón" en Ecatepec, México, o puede sergrande con exposiciones artísticas a nivel internacional como el Centro CulturalUniversitario en Zapopan, México y el Centro Cultural Palacio de La Moneda enSantiago de Chile. También puede pertenecer a una red de asociacionesculturales en el país, como es el caso de Ecuador, donde varias Casas de la
Cultura en diferentes ciudades pertenecen a la Casa de la Cultura Ecuatoriana. Enalgunas ocasiones, una casa de la cultura puede también estar albergada enedificios pequeños, sobre todo en poblaciones o pueblos de menor tamaño.
http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_cultural
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Taller es propiamente el espacio donde se realiza un trabajo manual o artesano, como el taller de un pintor o un alfarero, un taller de costura o de elaboración dealfajores, etc.; aunque también puede designar otros conceptos derivados de éste:
Taller es el lugar de una fábrica en que se realizan ciertas operaciones,
como el taller de soldadura . Taller mecánico, es aquél en que se reparan máquinas averiadas, como
vehículos, electrodomésticos, etc. En este caso, el taller puede ser oficial deuna marca, es decir, un concesionario (está vinculado a una marca devehículos o de electrodomésticos, y se dedica a la reparación ymantenimiento, dentro o fuera del período de garantía, de las unidadesvendidas de esa marca); o un taller libre o multimarca (no está vinculado aninguna marca, trabaja con unidades de cualquier marca).
En enseñanza, un taller es una metodología de trabajo en la que se
integran la teoría y la práctica. Se caracteriza por la investigación, eldescubrimiento científico y el trabajo en equipo que, en su aspecto externo,se distingue por el acopio (en forma sistematizada) de materialespecializado acorde con el tema tratado teniendo como fin la elaboraciónde un producto tangible. Un taller es también una sesión de entrenamientoo guía de varios días de duración. Se enfatiza en la solución de problemas,capacitación, y requiere la participación de los asistentes. A menudo, unsimposio, lectura o reunión se convierte en un taller si son acompañados deuna demostración práctica.
En artes gráficas, denomina tradicionalmente el lugar o establecimiento
donde se realizan las tareas de preimpresión y acabados. La palabrafrancesa atelier se emplea en ocasiones para referirse a un taller artísticodonde los que se reúnen son conocedores de un tema y comparten todocuanto saben al respecto.
En la organización económica y laboral propia de la Edad Media y elAntiguo Régimen en Europa occidental, era la unidad productiva de laartesanía, que se organizaba en gremio. Cada taller era propiedad de unmaestro y contaba con oficiales y aprendices.
En bellas artes (arquitectura, pintura o escultura), el taller es la escuela
artística fundada por un maestro (por ejemplo, Rubens) y formado por susdiscípulos (por ejemplo Van Dyck o Jordaens), que en la Europa Occidentalde la Edad Media y el Antiguo Régimen funcionaba como un taller gremial.
http://es.wikipedia.org/wiki/Taller
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Potenciación De Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados:base a y exponente n . Se escribe a n y se lee usualmente como «a elevado a n » o«a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n . Hayalgunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo .
Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar unnúmero por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de
veces.
Por ejemplo: .
Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fraccióninversa de la base pero con exponente positivo.
Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m , equivale a una raíz:
Cualquier número elevado a el exponente 0 el resultado equivale a 1, excepto elcaso particular de que, en principio, no está definido (ver cero).
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o
incluso matriciales.
Propiedades de la potenciación
Potencia de exponente 0
Un número elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:
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Potencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
Ejemplo:
Potencia de exponente negativo
Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma
expresión pero con exponente positivo:
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a lasuma de los correspondientes exponentes (se escribe la misma base y se sumanlos exponentes):
Ejemplos:
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta delos exponentes respectivos:
Ejemplo:
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Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada unoal exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y deexponente n , es igual al factor a elevado a n , multiplicado por el factor b también
elevado a n :
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyoexponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplicanlos exponentes):
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puedeescribir sencillamente como .
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puededistribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base yexponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
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Potencia de base 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas
posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente esnegativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.
Ejemplos:
Potencia de números complejos
Artículo principal: Fórmula de De Moivre Para cualquiera de los números reales se tiene la identidad:
http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
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Ecuación Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros , en las que aparecen valores conocidos o datos , y
desconocidos o incógnitas , relacionados mediante operaciones matemáticas. Losvalores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y tambiénvariables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otrasoperaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyenlos valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar su dominio
solución , que es el conjunto de todos los valores de las incógnitas para los cualesla igualdad se cumple; y se llama solución de una ecuación a cualquier valorindividual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones.Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que noexista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. Tambiénpuede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que lasatisfagan.
En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, laexpresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de unadesigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Definición general
Dada una aplicación y un elemento b del conjunto B , resolver una
ecuación consiste en encontrar todos los elementos que verifican laexpresion: . Al elemento se le llama incognita. Una solución de la
ecuación es cualquier elemento que verifique .
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y laaplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementosdel conjunto son funciones y la aplicación debe incluir alguna de las derivadasdel argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
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La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma ,
pues, si es un grupo basta con definir la aplicación y la
ecuación se transforma en .
Conjunto de soluciones
Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado
por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vacío,la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: puede tener un sóloelemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene más de unelemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresiónexplícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene
solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidadde soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un númeroentero, es decir, en este caso . Una ecuación funcional es aquella en laque algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmentenúmeros sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial sellama ecuación diferencial. Cuando es un cuerpo y f un polinomio, hablamos deecuación algebraica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectoresreales y la función es un operador lineal.
Existencia de soluciones
En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de lascuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución, es decirdemostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de losmétodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto A tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se
recurre a técnicas algebraícas para averiguar si el sistema tiene solución. Noobstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar laexistencia de soluciones en las ecuaciones algebraícas: para asegurar que todaecuación algebraíca con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurriral análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.
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Ecuación polinomial
Una ecuación polinomial o polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Porejemplo:
Forma canónica
Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de unaecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además seordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas lasincógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuacionespolinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembroes un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luegoordenando, obtenemos:
Grado
Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que seencuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo
Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los númerosreales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n <5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuaciónes soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde laantigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos
XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quintogrado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puedeescribirse en términos de la función theta de Jacobi.
Ecuación de primer grado
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Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquírepresentada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que suexponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:
con a diferente de cero.
Su solución es sencilla:
Resolución de ecuaciones de primer grado
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos:transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un
ejemplo.
Dada la ecuación:
Transposición
Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de losmiembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términosindependientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo
teniendo en cuenta que:
Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, laigualdad no varía.
En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en elmiembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en elprimer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por sersólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.
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Simplificación
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
Despeje
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un
miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:
Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número,la igualdad no varía.
En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej:5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n / 5) sin cambiar su signo . Y si un número la está dividiendo (Ej: x / 2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo .
En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, comoestaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:
El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que xequivale al número 525 / 95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que elresultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el
resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
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Ejemplo de problema
Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, esigual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? Elprimer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una
ecuación:
Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?
La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que medan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor dex; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que
dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Paraello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambiatambién de signo. Así obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si
modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es elmismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar yradicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufracambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto.
Ecuaciones de segundo grado
Artículo principal: Ecuación de segundo grado
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica
Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita estáelevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la
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incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es eltérmino independiente (el que no depende de la variable, o sea que estácompuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundogrado tienen dos soluciones, aunque a veces ambas pueden coincidir entre sí.Para su resolución tenemos que distinguir entre tres situaciones distintas:
Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Son un caso particular de ecuaciones de segundo grado en las que no existe eltérmino lineal o término en x , lo que les confiere su principal característicaalgebraica: el coeficiente b es nulo (b = 0). Esto hace que sea un tipo deecuaciones muy sencillas de resolver mediante un método similar a las de primergrado. Tengamos por ejemplo:
Donde a = 1 y c = −16. Pasamos entonces −16 al segundo miembro:
Ahora pasamos el exponente 2, o cuadrado , al segundo miembro, convirtiéndoloen la operación opuesta, raíz cuadrada :
La ecuación ya está resuelta.
Nota: si −c / a fuera un número real negativo (cosa que no ocurre en estecaso, donde es −c / a = 4) las raíces de la ecuación serían imaginarias ypertenecerían al campo de los números complejos.
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0
Son otro caso particular de ecuaciones de segundo grado, en las que no existe eltérmino independiente . En ellas todos los términos dependen de la variableincógnita o, coloquialmente, tienen x , lo que les confiere también una
característica algebraica: el coeficiente c es nulo (c = 0). Tengamos:
Donde a = 3 y b = 9. En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos esdeclarar x como factor común de ambos términos:
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Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de losdos factores tiene que ser igual a 0. Así es que, o el primer factor (x) es igual acero (lo que constituye una de las soluciones), o lo es el segundo:
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y −3.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0
Son el caso más general de ecuaciones de segundo grado, en el que existen lostres términos: cuadrático, lineal e independiente. Los tres coeficientes a, b y cserán entonces no nulos o distintos de cero .
Si tenemos la ecuación cuadrática:
Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y
-3
Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las solucionesson números complejos.
Otro método
También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
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Si hallamos dos números m y n tales que al sumarlos y multiplicarlos entre síresulten coincidir respectivamente con −b y c, entonces la expresión:
será equivalente a:
siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6.
luego, la igualdad:
es equivalente a:
] Demostración
Partiendo de la igualdad:
operando, obtenemos:
Luego, para a = 1, resulta:
m y n son por lo tanto dos números cuya suma resulta igual a −b, y cuyo productocoincide con c.
Tipos de ecuación algebraica
Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, comopolinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipose llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresionesque no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4(y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresionesde una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.
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http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n