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CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
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CUADERNILLO DE
DERIVADAS CON CIR
(MATECHO)
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
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AUTOR DEL CUADERNILLO DE DERIVANDO CON CIR (MATECHO)
FORMACIÓN ACADÉMICA
PREGRADO: Lic. de Matemáticas de la Universidad Santiago de Cali.
POSGRADO: En Edumatica Universidad Autónoma De Colombia.
Especialización en pedagogía para el desarrollo del aprendizaje autónomo con la UNAD
Magister en informática educativa del 13 de marzo del 2003 con la universidad tecnológica metropolitana de chile
OTROS:
ESTUDIOS DE ESTADISTICA A NIVEL DE POSTGRADO EN LA UNIVERSIDAD DEL VALLE:
Para la comparación en nivel de postgrado de la universidad del valle.
Fundamental a nivel de postgrado universidad del valle.
Exploración de datos a nivel de postgrado en la universidad del valle.
PARTICIPACIONES
En programas de cualificación de un valle, seminarios de pedagogía en Univalle y Uceva y con profuturo en un curso de actualización en el área de sistemas.
Participación en seminarios como expositor y como asistente
INFORMACION LABORAL
Docente Universitario: Univalle, sede Tulua, Usaca( monitor) , Uceva ,Antonio Nariño. Unidad central del valle (Uceva)
Docente de secundaria: En Cali Luis Madina, Villegas, Santísima Trinidad, Divino niño, Consolación y en Tuluá, Jovita Santacoloma, Liceo Moderno, y actualmente en el gimnasio del pacifico
INTERNET
CANAL DE YOUTUBE: https://www.youtube.com/user/The26123
CON BLOG: : https://wordpress.com/pages/carlosivanrestrepo.wordpress.com
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GRACIAS
Primero le doy gracias a Dios
Luego a mis padres Enoc y Soledad por su esfuerzo
Y dedicación en mi crianza, y a mi esposa
Fanny Stella romero Macías por su paciencia al tiempo
Que no le dedico al realizar esta pequeña compilación
que espero que sea un orgullo para mis hijos Oscar y Sandra Giovanna Restrepo
y que sus hijos Juan Guillermo, Valeria y Victoria les sirva este módulo como
un ejemplo de vida en un futuro.
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PRESENTACION DEL MODULO WEB
En este trabajo intentamos relacionar las características de los escritos en internet sobre el manejo delas derivadas en el Cálculo de una variable utilizados a lo largo de la historia de las carreras de Ingeniería de la Facultad de Ciencias Exactas, con respecto a los contenidos fundamentales dadas en las de las universidades colombianas y de pronto hasta nivel mundial, con las particularidades del contexto matemático y pedagógico. He considerado para ello he vinculados los temas más importantes y concernientes a derivadas que han influido en el ámbito educativo en nuestro país. A partir de una revisión de los documentos de internet escritos por varios colegas he realizado una compilación con los documentos que nombro en webgrafia y adaptadas a los contenidos de la universidad en un contexto mundial en la enseñanza del cálculo.
A efecto de caracterizar los libros propuestos en la bibliografía de las asignaturas de Cálculo de una variable de las carreras de Ingeniería de esta Facultad, llevamos a cabo más bien una webgrafia para apoyar este trabajo con un análisis didáctico y epistemológico en torno al enfoque del concepto de derivada en cada uno de ellos, tratando de establecer las propuestas (implícitas o explícitas) del autor. Nos centramos en este concepto en virtud de su riqueza en el contexto de las aplicaciones ingenieriles.
Este módulo web presenta una metodología de enseñanza dominante en el periodo donde la atención se focalizaba en la presentación rigurosa de definiciones, propiedades y teoremas y la mecanización en la ejercitación a partir de largas listas de ejercicios análogos. Sin embargo, el hecho de que el modulo fuera o no fueran utilizados en el aula es de permitir una explicación agradable y lo libros rigurosos que hace que los estudiantes en pocas y raras ocasiones, los abran pues su lecturas son ladrillos mientras que este módulo web hará que el estudiante consulte asiduamente para contar con mayor cantidad de ejercicios tendientes a reforzar la aplicación directa de definiciones o propiedades y se pueda apoyar .en direcciones electrónicas que aparece en la web grafía pues es la base del tutorial pues sobre ella se soporta el material y algunas renovaciones que el autor le hace a dichos documentos
Lo único que espero que este módulo alcance en docentes y alumnos de Tuluá, y de Colombia en general que sea impactante y que ojalá pase fronteras y que mis nietos lo lleguen a usar como herramientas de trabajo y sea orgullosos de este modesto cuadernillo derivadas
El cuadernillo tiene como objetivo ser un instrumento de guía en clase para el docente, pues el ejercicio muchas veces se inicia se corta el proceso y luego se da la respuesta con el objetivo de que el estudiante lo continúe.
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CONTENIDOS
CAPITULO DERIVADA………………………………………………………………………………………………….…….8 INTERPRETACION GEOMETRICA…………………………………………………………………………...8
EJEMPLOS DE DERIVADAS APLICANDO LA DEFINICIÓN……………………………………………12
ZONA DE DESCANSO 1……………………………………………………………………………………...13
CAPITULO 2
REGLAS DE DERIVACIÓN PASO A PASO……………………………………………….……………….14
FORMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN……………………………………….……………… …….… .15
DERIVACIÓN DE FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y
EXPONENTES FRACCIONARIOS……………………………………...………………………………...…19
ZONA DE DESCANSO 2………………………………….………………..………………22 DERIVACIÓN APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA……...………………………………………..23
DERIVACION IMPLICITA………….……………………………………………………25 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES………………………………..29
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS ………………………………………………………………..……..32 ECUACIONES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA DERIVADA………………………………………………………………………………………………….….40
ZONA DE DESCANSO 3……………………………………………………………………………………..43
CAPITULO 3
TEOREMA DE L´HÔPITAL………………………………………………………………………...…..…….44
CAPITULO 4
RAZON DE CAMBIO……………………………………………………………………………………….….48
PROBLEMAS DE RAZON ..DE CAMBIO………………………………………….…………………….…53
ZONA DE DESCANSO 4…………………………………………………………………………………..….54
CAPITULO 5
MAXIMOS Y MINIMOS…………………………………………………………………………………..55
APLICACIONES DE LA DERIVADA…………………………………………………………………..…….55
SIMETRÍA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS……………………………………......……………56
SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN………………………………….……………………..……….……..56
PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX…………….………………………….……………………………57
PUNTO DE CORTE CON EL EJE OY…………………………………………………………………….…57
ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN………………………...………….59
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA………………………………..……59
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O SUCESIVAS…………………………………………..……….67
CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON EL CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA…69 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES……………..…….………………...74
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN……………………………………..………..…………….….76
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN…………………………………….……….…….….79
PROBLEMAS DE OPTIMIZACION…………………………………………..……………………..….……81
ZONA DE DESCANSO 4……………………………………………………………….…………....….…….86
ZONA DE EJERCICIOS RESUELTOS……………………………………………….………….….………90 ZONA DE JERCICIOS CON FORMULA Y DIRECTOS…………………………… ……………….….…90 LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES…………………………………………………………………91 DERIVADA CAMBIANDO VARIABLES Y APLICANDO FORMULAS……………………………….…91
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA…………………………………………………………..92
DERIVADA DE UNA FUNCION POTENCIAL……………………………....................93
DERIVADADE UNA FUNCION EXPONENCIAL CON BASE E………………………...94
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO SENO………………………………………………..…94
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO COSENO…………………………….………………..94
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO TANGENTE……………………………..……….……95
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO COTANGENTE…………………………………….…95
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO ARCO TANGENTE …………………………….…… 95
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO ARCO SENO…………………………………………..95
ZONAS DE EJERCICIOS RESUELTOS CON GRAFICAS……………………………………………….96
TABLAS DE
DERIVADAS……………………………………………………………………………………………..……102
DERIVANDO USANDO LA TABLA……………………………………………………………..…103
ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTA PARA PROBLEMAS DE RAZON DE
CAMBIO…………………………………………………………………………………………... 112
ZONAS DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION………………………………………………………….113
ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTAS CON GRAFICA……………………………………......114
ZONA DE EJERCICIOS DE DERIVADAS SIN RESPUESTA………………………………………......116
WEBGRAFIA……………………………………………………………………………………………….…126
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CAPITULO 1
Definición de Derivada
Es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se
le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una función esta representada
gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de
esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre
de Derivada
Esta línea, está colocada sobre el punto más extremo (superior o inferior) de la curva, por lo
que a su vez está determinando un límite al que la función llega, en relación al incremento que
consiga la variable estudiada por las alteraciones que reciba.
Se enuncia de primero todo lo relacionado con el campo matemático de la derivada ya que su
importancia a la hora de un cálculo o un gráfico es notable, es un concepto muy rico en el área
y muy usado por estudiantes de ingeniería, los cuales las emplean como herramienta de
cálculo para el estudio. Sin embargo, la palabra al ser utilizada como un adjetivo, describe una
situación en la que se denota él lugar o contexto de donde proviene algo.
Derivada, su etimología indica que señala la procedencia, el destino que tuvo y al conjugar al
futuro se podrían describir consecuencias de un acto. “El agua deriva de los manantiales”, “La
relección podría derivar mas caos” son ejemplos que confirman el concepto. Las
consecuencias son derivaciones de problemas.
.
https://conceptodefinicion.de/derivada/
LA DERIVADA
CALCULO INFINITESIMAL
Es el instrumento más importante para efectuar cálculos, se divide en: cálculo diferencial y
cálculo integral
Calculo diferencial. - Estudia la relación de incremento infinitamente pequeños de las variables
dependientes con respecto a las variables independientes de una función.
Calculo integral. - Es la operación inversa del cálculo diferencial es el estudio de las sumatoria
de las relaciones de los infinitamente pequeños variables dependientes e independientes de
una función.
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende
a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
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La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese
punto.
mt = f'(a)
Ejemplo
Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la
bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.
La segunda coordenada del punto la obtenemos sustituyendo el valor de a en la función f(x) =
x²
Incremento: Un incremento es cuando una variable pasa de un valor a otro valor, puede ser
positivo o negativo según la variable aumente o disminuya.
Así: se lee incremento de
Se lee incremento de
Se lee incremento de
)(xf
y
x
)(xf
y
x
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Si se incrementa la variable independiente de )(xf la variable dependiente también queda
incrementada.
Ejemplo:
Sea la función y = 2x2 + 3
Indicamos: Si se incrementa la variable independiente ∆x la variable dependiente queda
incrementada en y
3242
3)2(2
3)(2
2
2
2
xxxxyy
xxxxyy
xxyy
Si a esta expresión se la resta con la función original se tiene el valor del incremento y
-
Si a la diferencia anterior se le divide entre el incremento delta (x = ∆x) se le lleva al límite
cuando ∆x tiende a 0 a esta relación en el límite se la llama derivada.
x
xxx
x
y
224
x
x
x
xx
x
y
224
A esta última expresión se la lee derivada de y con respecto a x es decir xdx
dy4
La expresión:
x
xfxxf
x
y
)()( Cuando 0x
A esta expresión se la denomina cociente de incremento
x
xfxxf
xx
y
)()(
0
lim
h
xfhxf
hyf x
)()(
0
lim)(
Por tanto, una derivada es básicamente un límite y existirá en la medida que existe el límite,
para que exista una derivada es preciso que la función sea continua.
Ejemplo: Derivar por definición
3242 2 xxxxyyy 22x
3
224 xxxy
0//24
xxx
x
y
xx
y4
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Y = 3x – 1
Solución
h
xhx
hyf x
13313
0
lim)(
3)( yf x
Definición de derivada: La derivada de la función f en el punto x=a, llamada f prima de a se denota
por f’(a), si existe, es el valor del límite:
Si f’(a) es un número real, la función f es derivable en x=a. Si f’(a) no es un número real o el límite
no existe, la función f no es derivable en dicho punto.
Ejemplo: Calcular la derivada de f(x)=x2 en x=2:
Tasa de variación media: Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera
totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniéndose la
siguiente tabla:
En este caso, la posición y, se puede ver como una función f, que depende del tiempo x; es decir
y=f(x).
La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante 9 al instante
13.4 es:
En general, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b] se define como el
cociente:
Esta tasa puede ser positiva (creciente), negativa (decreciente) o nula (constante).
La tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a se obtiene, haciendo tender el
punto b al punto a, en la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b]; por tanto, la
tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a es
que es precisamente la derivada de la función f en el punto x=a. (en este límite consideramos b=a+h)
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Utilizamos la derivada como la variación de una función en un punto concreto, o en un instante de
tiempo, por eso se considera h como un incremento muy pequeño. Ejemplos de uso en el cálculo de
la velocidad y de la aceleración instantánea.
EJEMPLOS DE DERIVADAS APLICANDO LA DEFINICIÓN
Hallar la tasa de variación media de la función f(x)=x2+1 en el intervalo [0;3] y la tasa de variación
instantánea en el punto x=2.
Intervalo [a;a+h] luego f(a+h)=f(3)=32+1=10 y f(a)=f(0)=02+1=1
Calculamos f(x+h) sumando h a las x y respetando el exponente de la variable.
f(x+h)=(x+h)2+1=x2+2xh+h2+1, como nos piden en el punto x=2, podemos sustituir directamente
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ZONA DE DESCANSO 1
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS
Blaise Pascal (pronunciación en francés: /blɛz paskal/; Clermont-Ferrand, 19 de junio 1623 -
París, 19 de agosto de 1662) fue un polímata, matemático, físico, teólogo católico, filósofo y
escritor francés. Sus contribuciones a la matemática y a la historia natural incluyen el diseño y
construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones
sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío. Después de una
experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal se dedicó también a la filosofía y a la teología.
Pierre de Fermat Fue un jurista y matemático francés denominado por el historiador de
matemáticas escocés, y Joseph-Louis Lagrange afirmó claramente que consideraba a Fermat
como el inventor del cálculo.3
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Los_grandes_matem%C3%A1ticos
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CAPITULO 2
REGLAS DE DERIVACIÓN PASO A PASO
2.1 Reglas de derivación de funciones algebraicas.
Objetivos:
Obtendrá la derivada de una función aplicando incrementos (regla de los 4 pasos). Aplicara las
fórmulas de derivación de funciones algebraicas
Método de derivación por incremento (regla de los 4 pasos):
Este método de derivación está basado en la definición de derivada
x
xfxxfLim
x
yLimx'f
0x0x
. si vemos detenidamente la última notación, en ella está
basada la regla de los 4 pasos, que son los siguientes:
1. xxf . este paso nos indica que a todas las variables x les tenemos que sumar su
incremento en x ( xx ), por ejemplo si la función es x3xy 2 , al sumarle xx nos queda
xx3xxy2
, en otras palabras podemos decir que todas las x de la función se
cambiaran o sustituirán por xx . después de agregar los xx , tenemos que hacer las
opresiones algebraicas correspondientes, como desarrollar el cuadrado 2xx y la
multiplicación xx3 , en el caso del ejemplo dado.
2. xf . Este paso nos indica que a la función a la que se sumo el xx se le tiene que restar
ahora la función inicial que en este caso es x3x2 .
3. después de restar la función inicial, se factoriza la expresión y se divide todo entre x .
4. después de la división se aplica el x
yLim
0x
, con lo cual todas las expresiones que tengan
x se van a eliminar y lo que quede sera la derivada de nuestra función.
Ejercicios resueltos:
Hallar le derivada de la función x3xy 2 , aplicando la regla de los 4 pasos.
Sumando los incrementos de x:
x3x3xxx2xxx3xxyy 222
Restamos ahora la función inicial:
x3xxx2x3xx3x3xxx2xyyy2222
Ahora dividimos entre x , podemos hacerlo factorizando por termino común o simplemente
dividir termino por termino entre x
3xx2
x
x3xxx2
x
y 2
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Finalmente aplicamos el límite x
yLim
0x
a lo que nos quedó de la división.
32x
3xx2Lim
x
yLim
0x0x
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN: La palabra formula la abreviaremos con f
Formulas básicas de derivación
0Cdx
d ; Si c = constante f1
La derivada de una constante es igual a cero.
1xdx
d f2
La derivada de x con respecto a x es igual a la unidad.
CCxdx
d (f3)
La derivada de una constante, multiplicada por la variable x elevada a la uno, con respecto a x,
es igual a la constante.
1nn nxxdx
d f4
La derivada de x elevada a una potencia n, con respecto a x, es igual al producto de n por x
elevada a la n – 1.
1nn nCxCxdx
d f5
La derivada de una constante multiplicada por x elevada a la n, es igual al producto de n por la
constante por x elevada a la n – 1.
Ejercicios resueltos:
Hallar la derivada de las funciones que se dan a continuación:
1) 10y
Para expresar que estamos obteniendo la derivada de la función, a la derivada de y la
representaremos como y’ (ye prima).
De acuerdo con la fórmula 1 de derivación:
Si: 10y y’ = 0
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2) xy
De acuerdo con la fórmula 2 de derivación: Si: xy y’ = 1
3) x12y
De acuerdo con la fórmula 3 de derivación: Si: x12y y’ = 12
4) 6x12y
De acuerdo con la fórmula 5 de derivación: Si: 6x12y y’ = 16
x126
y’ = 5x72
5) 10x4x5x3y 23
De acuerdo con las formulas 1, 3, 4 y 5 de derivación:
Si: 10x4x5x3y 23 y’ = 4x10x9 2
Fórmulas de derivación de funciones que realizan operaciones algebraicas (suma, resta,
multiplicación y división)
Ahora nos enfocaremos a las derivadas un poco más complicadas, las que involucran
funciones que realizan operaciones algebraicas, empecemos por la suma y la resta:
i. ...(v)dx
d(u)
dx
d...)v(u
dx
d (suma y resta) f6
Para hallar las derivadas de funciones que nada más realizan operaciones de suma y resta, lo
único que tenemos que hacer es: sacar por separado la derivada de cada uno de los términos
de la función.
Aplicaremos la fórmula de derivada de sumas y restas cuando:
La función no está en forma de cociente.
En caso de que exista una raíz, esta no contiene más de dos términos.
Si los términos están agrupados en un paréntesis, este paréntesis no está elevado a un
exponente diferente de uno.
1. 15x9x8x2y 23
15dx
dx9
dx
dx8
dx
dx2
dx
dy 23 ´
159166 2/ xxxy
2. 150x90x18x20y 246
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150dx
dx90
dx
dx18
dx
dx20
dx
d´y 246
180x72x120xy 35'
ii. (u)dx
dv(v)
dx
du(uv)
dx
d (multiplicación) f7
Para obtener la derivada de un producto, debemos de empezar por definir quién es el término
u y quien es el termino v. una vez definidos estos términos debemos de seguir el siguiente
procedimiento:
Sustituir los valores de u y v en la fórmula de derivación.
Derivar las expresiones que tengan delante de si el operador diferencial dx
d
Realizar las operaciones algebraicas de simplificación (sumas, restas, multiplicaciones,
divisiones, etc.).
v
x3x4
u
5x8x3y 223
Sustituyendo en la fórmula:
5x8x3dx
dx3x4x3x4
dx
d5x8x3´y 232223
Derivando: x16x95x8x3dx
dY3x4x3x4
dx
d 2232 :
x16x9x3x43x85x8x3y 2223'
Multiplicando los paréntesis:
23342334 x48x27x64x3615x40x24x64x9x24y'
Reduciendo términos semejantes:
1540x72x92x60xy 234'
III)
0v,
v
(v)dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d
2
(división) f8
Para obtener la derivada de un cociente, al igual que en la multiplicación, primero tenemos que
ver quién es el termino u y quien es el termino v.
El procedimiento es el siguiente:
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Sustituimos en la formula los valores de u y v. Como en la formula se van a sustituir los
valores de dx
d(u) y
dx
d(v), podemos sacar estos valores antes de sustituirlos en la formula y
con esto, la derivación quedaría incluida en este paso.
En el denominador de la formula debe de ir el valor del termino v elevado al cuadrado, para no
estar repitiendo varias veces este valor, podemos escribir nada mas v2 en el denominador y
hasta el final sustituimos el valor v ya elevado al cuadrado. Esto se debe a que las operaciones
de reducción se realizan en el numerador y no en el denominador.
1. x3x2
5x3y
2
Pista
0v,
v
(v)dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d
2
Definimos los valores de u y v y de una vez sacamos sus derivadas ( udx
d y v
dx
d’):
3x4vdx
dv
3udx
du
x3x2
5x3y
2
Sustituyendo en la formula los valores de u, v, udx
d y v
dx
d:
2
2
v
3x45x33x3x2y
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES
22
2
3x2x
1520x6xy
2. 124
5382
2
xx
xxy Pista
0v,
v
(v)dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d
2
Definimos los valores de u y v y de una vez sacamos sus derivadas ( udx
d y v
dx
d’):
124
5382
2
xx
xxy
2x8vdx
dv
3x16udx
du
1x2x4
5x3x8y
2
2
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Sustituyendo en la formula los valores de u, v, udx
d y v
dx
d:
2
22
v
2x85x3x83x161x2x4y
ESTIMADO AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE
ES
22
2
12x4x
1520x6xy
3. 3x2
2x3y
Pista
0v,
v
(v)dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d
2
Definimos los valores de u y v y de una vez sacamos sus derivadas ( udx
d y v
dx
d’):
2vdx
dv
3udx
du
3x2
2x3y
Sustituyendo en la formula los valores de u, v, udx
d y v
dx
d:
2v
22x333x2y
IV) DERIVACIÓN DE FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y
EXPONENTES FRACCIONARIOS
Cuando tengamos que derivar funciones con variables con exponentes negativos,
fraccionarios o ambos, tenemos que recordar dos leyes de exponentes para expresiones
algebraicas
Para exponentes negativos: una expresión algebraica que esté actuando como factor en un
cociente, puede pasarse del numerador al denominador siempre y cuando le cambiemos el
signo al exponente de dicho factor.
Matemáticamente, lo anterior se representa así:
m
m
m
m
a
1aO
a
1a
Para exponentes fraccionarios: un exponente fraccionario nos representa o nos va a dar lugar
a un radical o raíz. esto quiere decir que una potencia de exponente fraccionario se puede
convertir en una raíz y viceversa, donde el numerador del exponente fraccionario se va a
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convertir en el exponente de la base dentro de la raíz y el denominador del exponente
fraccionario se va a convertir en el índice de la raíz.
Matemáticamente, lo anterior se represente así:
naa mn
m
Cuando la variable que queramos derivar se encuentre en el denominador, algunas veces para
no usar la fórmula de derivación de un cociente, podemos pasar nuestra variable al numerador
y con esto, podemos usar mejor la fórmula de derivada de una potencia.
Hallar el valor de las derivadas de las siguientes funciones, usando la fórmula de potencia y
procurando que el resultado no tenga exponentes negativos ni fraccionarios:
Ejemplos:
1. 432 x
1
x
1
x
1y
Como los términos solo están sumándose, entonces solo tenemos que hallar la derivada de
cada uno de los términos, todos van a llevar el mismo procedimiento.
Lo primero que haremos será pasar las variables del denominador al numerador, de acuerdo
con la ley del exponente negativo, al pasar el término al numerador, tenemos que cambiarle el
signo al exponente.
Pasando las variables al numerador la función nos queda: 432 xxxy
Observemos el ejemplo el exponente del primer término es –2 así que al restarle uno lo que
tenemos es –2 –1 = –3, esto sucederá siempre que derivemos a una variable con exponente
negativo.
La derivada nos queda: 543 x4x3x2y'
El resultado de la derivada es:
543 x
4
x
3
x
2y'
2. 32
3x3x9
x
8y
El procedimiento completo paso a paso es:
18xx
33y'
4 x18x33y'x9x11yx3x9x8yx3x9
x
8y 42332332
3
3. 4
7
2
3
3
4
xxxy
El procedimiento completo es:
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20
4 33x
4
7x
2
3x
3
4y' 4
3
2
1
3
1
4
7
2
3
3
4
x4
7x
2
3x
3
4y'xxxy
4
1
3
7
2
11
xxxy Derivando la función: 4
3
3
4
2
9
x4
1x
3
7x
2
11y'
Haremos ahora el proceso de formar los radicales, pero si observamos el tercer término, su
exponente es negativo, así que la diferencia que tendrá con los otros es que se le tiene que
aplicar la regla del exponente negativo, así que la raíz del tercer término ira en el denominador,
esto pasara con todas las x que queden con exponente negativo.
Formando los radicales:
4 3
3 49
x4
1x
3
7x
2
11y'
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21
ZONA DE DESCANSO 2
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de
1918) fue un matemático y lógico nacido en Rusia,1 aunque de ascendencia alemana y judía.2 Fue
inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas
modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz
de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Kurt Gödel o también Kurt Goedel : Se le considera uno de los lógicos más importantes de
todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y
filosófico del siglo XX. Se le conoce sobre todo por sus dos teoremas de la incompletitud,
publicados en 1931, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena. El
más célebre establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo
suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la
aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden
demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema, desarrolló una técnica
denominada ahora numeración de Gödel, que codifica expresiones formales como números
naturales.
TOMADO https://es.wikipedia.org/wiki/Los_grandes_matem%C3%A1ticos
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
22
2.2. DERIVACIÓN APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA
2.2.1 a) (u)dx
dmu)(u
dx
d 1mm (potencia) f9 regla de la cadena
Si y =(3x-1)2
Donde m=2 u =3x-1 y du/dx=3 entonces
)13(6)3()13(2)13( /12/2 XYXYXY
Se dice que es la derivada de parte externa por la derivada de la parte interna 2.2.2 APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA EN FUNCION DE U
Este tipo de derivadas relacionan a dos funciones dependientes que se tienen que derivar al
mismo tiempo. Estas funciones las vamos a denominar como la función u y la función y.
Como se dijo al principio, estas dos funciones son dependientes, la función u es dependiente
de la variable x mientras que la función y de la función u.
La fórmula para resolver una derivada de función de función es la siguiente:
dx
du
du
dy
dx
dy
Ejemplos:
Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena:
1. hallar la du
dy si y=3(7x2-5x)2 - (7x2-5x) entonces 3u2 – u y u = 7x2 – 5x
Como primer paso tenemos que derivar por separado cada una de las funciones que nos están
dando:
1u6du
dyuu3y 2 y 5x14
dx
dux5x7u 2
Sustituimos los valores de las derivadas obtenidas en la fórmula de derivada de la cadena y
después multiplicamos estas derivadas:
5x14u30xu84dx
dy5u30x14xu84
dx
dy5x141u6
dx
dy
Ahora se sustituyen las u que nos hayan quedado por su valor inicial (u = 7x2 – 5x):
dx
dy84x (7x2 – 5x ) – 30 ( 7x2 – 5x ) – 14x + 5
Después de la sustitución de los valores de u, lo que sigue a continuación son solamente
procedimientos algebraicos de reducción que van a variar de acuerdo al tipo de función que
nos den.
Multiplicamos los paréntesis.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
23
dx
dy 588x3 – 420x2 – 210x2 + 150x – 14x + 5
Reducimos los términos semejantes:
dx
dy588x3 – 630x2 + 136x + 5
2. y= 2(x+2)3 -1 entonces y = 2u3 - 1 y u = (x + 2 )
Derivando las funciones:
Y=2u3-1 y du/dx=1 dy/du =6u2
Sustituyendo en la fórmula de derivada de la regla de la cadena:
dx
dy( 6u2 ).1 y Multiplicando las derivadas obtenidas y Sustituyendo el valor inicial de u:
entonces dx
dy6(x + 2 )2
3. xySea entonces u=x
Derivando las funciones:
u2
1
du
dy
u2
1
du
dyu
2
1
du
dyuyuy
2
12
1
2
1
Du/dx=1
Sustituyendo en la fórmula de derivada de la regla de la cadena:
Dy/dx=(dy/du).(du/dx)
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS E INDIQUE CUAL SERIA LA
RESPUESTA
4. Derivar la siguiente función: - 3342 3x55x3y
La función que nos dan es una multiplicación de dos expresiones algebraicas, donde cada una
de las expresiones es una potencia.
Resolvamos el ejercicio como un producto:
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
24
3342
v
3x5
u
5x3y
Tomando como termino u a (3x+5) y como término v a 5X3+3, sustituimos estos valores en la
fórmula de derivada de un producto:
42333342 5x3dx
d3x53x5
dx
d5x3y'
Para obtener las derivadas de los términos 33 3x5 y 42 5x3 , usamos la fórmula de
derivada de una potencia, donde u van a ser los términos que están dentro de los paréntesis y
los valores de m van a ser 3 y 4 respectivamente .Saquemos la derivada de los términos
33 3x5 y 42 5x3
232 35x45x 22333 x153x533x5dx
d y 32 53x24x x65x345x3
dx
d 3242
Sustituyendo estos valores en la derivada del producto tenemos:
323323242 5x3x243x53x5x455x3y'
EL LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES
72x225x255x35x53xy' 242332
2.3 DERIVACIÓN IMPLÍCITAS
2.3.1 Derivadas De Funciones Implícitas
Objetivos
Obtendrá la derivada de una función implícita.
Hasta ahora solo hemos visto derivadas de funciones explicitas, pero también podemos
sacarles derivadas a las funciones implícitas.
Para obtener la derivada de funciones implícitas, podemos decir que tenemos un método a
seguir, que es el siguiente:
se derivan todos los términos de la función, no importando el tipo de variable que tengan, solo
que cuando derivemos un término de variable y, hay que agregarle al resultado de su derivada
la expresión y ’ o dx
dy.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
25
Los términos que no tengan la expresión y ’ o dx
dy, se pasaran al segundo miembro (lado
derecho) de la ecuación.
Se factorizan los términos que dejamos en el primer miembro de la ecuación, tomando como
termino común la expresión y ’ o dx
dy.
Todos los términos que quedan encerrados en el paréntesis, que esta multiplicado por y’ o dx
dy,
se pasan al segundo miembro. Como este paréntesis está multiplicando, pasara al segundo
miembro dividiendo.
Hay que revisar si la fracción que se nos forma en el segundo miembro se puede simplificar
por alguna factorización de su numerador y denominador, en caso de que esto no sea posible,
la fracción será el resultado de nuestra función implícita.
Ejercicios:
Obtener la derivada de las siguientes funciones implícitas:
1. – 3x2 + 5y + 8x + 9y4 = 0 para y se pone y´ o dx
dy, usaremos
dx
dy
Derivamos la función, cuando derivemos alguna y le agregaremos la expresión dx
dy:
– 6x + 5dx
dy + 8 + 36y3
dx
dy = 0
Cambiando de miembro a los términos que no tienen dx
dy
5dx
dy + 36 y3
dx
dy = 6x – 8
factorizando por termino común (dx
dy) ( 5 + 36 y3 ) ;
dx
dy´ = 6x – 8
Ahora despejamos a dx
dyentonces queda
336y5
86x
dx
dy
2. 4x3 – 8y4 – 9x2y4 = 0
El termino 9x2y4 tiene a la variable x y a la variable y, por lo que para obtener su derivada
tendremos que utilizar la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación, donde
u = 9x2 y v = y4.
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación:
( 9x2) dx
d (y4) + (y4) dx
d ( 9x2)
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
26
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial:
( 9x2) (4y3
dx
dy) + (y4) (18x)
Multiplicando los paréntesis de cada lado:
36x2y3
dx
dy + 18xy4
Ya que tenemos la derivada de este término, lo sustituimos y derivamos los otros términos de
la función implícita:
12x2 – 32y3
dx
dy – ( 18xy4 + 36x2y3
dx
dy ) = 0
el signo negativo que está delante del paréntesis, le va a cambiar de signo a los términos que
están dentro de él.
12x2 – 32y3
dx
dy – 18xy4 – 36x2y3
dx
dy = 0
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA Y LLEGARA A L RESPUESTA QUE ES
323
24
y18x16y
6x9xy
dx
dy
323
24
323
24
yx18y162
x6xy92
dx
dy
yx36y32
x12xy18
dx
dy
3. 10x3y3 + 9x2y4 – 5x3y2 = 4x2y3
Todos los términos tienen a la variable x y a la variable y, por lo que para obtener su derivada
tendremos que utilizar la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación.
Para 10x3y, tendremos que u = 10x3 y v = y3.
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación:
(10x3) dx
d (y3) + (y3)
dx
d (10x3)
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial:
(10x3) (3y2
dx
dy) + (y3) (30 x2)
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 30x3y2
dx
dy + 30x2y3
Para 9x2y4, tendremos que u = 9x2 y v = y4.
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación:
(9x2) dx
d (y4) + (y4)
dx
d (9x2)
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27
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: (9x2) (4y3
dx
dy) + (y4) (18x)
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 36x2y3
dx
dy + 18xy4
Para 5x3y2, tendremos que u = 5x3 y v = y2.
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación:
(5x3) dx
d (y2) + (y2)
dx
d (5x3)
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: (5x3) (2ydx
dy) + (y2) (15x2)
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 10x3ydx
dy + 15x2y2
Para 4x2y3, tendremos que u = 4x2 y v = y3.
Sustituyendo en la fórmula de derivada algebraica de la multiplicación:
4x2) dx
d (y3) + (y3)
dx
d (4x2)
Derivando los paréntesis que tienen adelante el operador diferencial: (4x2) (3y2
dx
dy) + (y3) (8x)
Multiplicando los paréntesis de cada lado: 12x2y2
dx
dy + 8xy3
Sustituimos los valores de nuestras derivadas en la función, las derivadas obtenidas del
termino 5x3y2, van a cambiar de signo, porque delante del termino hay un signo negativo.
30x3y2
dx
dy + 30x2y3+ 36x2y3
dx
dy + 18xy4´ – 15x2y2 – 10x3y
dx
dy = 8xy3 + 12x2y2
dx
dy
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE
ES
xyxxyxy
xyyxyy
dx
dy
12103630
151830822
322
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28
2.4 DERIVADAS LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
Objetivos:
Aplicara las fórmulas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas.
Derivadas de funciones trascendentales.
En las derivadas de funciones trascendentales, la parte complicada es obtener la derivada del
término u que está presente en dicha función, mientras más complicado sea este término u
más complicado será obtener el resultado de nuestra derivada.
En los siguientes ejercicios se detallan el uso de estas fórmulas para obtener la derivada de
una función trascendental.
Ejemplos:
LOGARÍTMICAS
1. 3x4Logy Pista
1a,0aQUESIEMPRE
elogu
udx
d
)u(logdx
daa
f10
La función que nos dan es logaritmo común, la fórmula para obtener su derivada es
1a,0aQUESIEMPRE
udx
delog
u
1)u(log
dx
daa
, también la podemos manejar como
1a,0aQUESIEMPRE
elogu
udx
d
)u(logdx
daa
en lo
personal la prefiero de esta forma, no importa cual se use el resultado será el mismo.
El procedimiento para hallar la derivada es el siguiente: el término u = 4x3, por lo que udx
d =
12x2. Para obtener la derivada, sustituimos udx
d en la derivada logaritmo común, esto quedara
dividido entre u y le agregamos la expresión log e, la fracción u
udx
d
debe de dividirse y con
eso tenemos ya el resultado de nuestra derivada.
2. 32 x5x16Logy = Pista
1a,0aQUESIEMPRE
elogu
udx
d
)u(logdx
daa
UN CONSEJO: HAZ LOS EJERCICIOS CON MUCHO AMOR, QUE DIOS TE
AYUDARA. RECUERDA A QUIEN DIOS TIENE NADA LE FALTA SOLO DIOS
BASTA.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
29
La función que nos dan es logaritmo común, la fórmula para obtener su derivada es
1a,0aQUESIEMPRE
elogu
udx
d
)u(logdx
daa
El termino u = 16x2 + 5x3 , por lo que 2
x15x32udx
d . Para obtener la derivada, sustituimos
udx
d en la derivada logaritmo común y copiamos todas las expresiones que lleva la respuesta
de esta derivada (log e).
eLog
x5x16
x15x32y'
32
2
Para simplificar el resultado, factorizamos por termino común al numerador y al denominador,
el termino común es x, al menos con esto logramos eliminar una x y reducir el exponente de
las variables.
eLog
5x16x
15x32y'
2
eLog
x5x16x
x1532xy'
2
3. y = ln 3x–2 Pista u
udx
d
)uIn(dx
d f11
La función es de tipo logaritmo natural. la fórmula para obtener su derivada es u
udx
d
)uIn(dx
d .
El termino u = 3x–2, por lo que udx
d= – 6x–3. Para obtener la derivada, sustituimos u
dx
d en la
derivada logarítmica natural y luego dividimos esto entre u: debemos revisar si la fracción que
nos resulte se puede simplificar.
2
3
x3
x6y'
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
x
2y'
EXPONENCIALES
4.
3x10ay Pista
u
dx
daIna)a(
dx
d uu f12
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30
la función es de tipo exponencial de base a. la fórmula que usaremos es
u
dx
daIna)a(
dx
d uu, que también la podemos expresar de la forma: aInau
dx
d)a(
dx
d uu
,
de preferencia podemos mandar el termino
u
dx
d de todas las fórmulas de derivación
trascendente al principio, pues de todas maneras al sustituirlas el último paso siempre es
mandar la expresión
u
dx
dal principio de la derivada, de aquí en adelante todas las fórmulas
de derivación ya tendrán este cambio cuando la mencionemos.
El término u es el exponente de la función, así que u = –10x3, por lo que udx
d–30x2. Para
obtener la derivada, sustituimos udx
d en la derivada exponencial de base a y copiamos todas
las expresiones que lleva la respuesta de esta derivada aInau.
aLna30xy'310x2
5. 3x72x16ay Pista
u
dx
daIna)a(
dx
d uu f12
La función es de tipo exponencial de base a. la fórmula que usaremos es:
aInaudx
d)a(
dx
d uu
El termino u = –16x2 + 7x3, por lo que udx
d –32x + 21x2. para obtener la derivada, sustituimos
udx
d en la derivada exponencial de base a y copiamos todas las expresiones que lleva la
respuesta de esta derivada.
aLna21x32xy'37x216x2
Debemos de tener cuidado con la respuesta ya que como udx
d tiene dos términos debemos
agruparlos en un paréntesis, ya que el resultado de la derivada debe de ser un producto, esto
lo tendremos que hacer siempre que udx
d tenga dos o más termino, cuando tiene un solo
termino no es necesario usar el paréntesis.
6. 72x9ey Pista
uu eudx
d)e(
dx
d
f13
La función es de tipo exponencial de base e. la fórmula que usaremos es uu eu
dx
d)e(
dx
d
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
31
El termino u = 9x2 + 7, por lo que udx
d18x. Para obtener la derivada, sustituimos u
dx
d en la
derivada exponencial de base e y la única expresión que se le añade a udx
d es la función
72x9e que es lo que teníamos al inicio.
729xe18xy'
2.5 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS OBJETIVO Aplicara las fórmulas de derivación de funciones trigonométricas
1. y = sen 10x3 Pista ucosudx
d)usen(
dx
d
f14
La función trigonométrica que nos están dando es la función seno, el termino u = 10x3, por lo
que udx
d= 30x2. Sustituimos u
dx
d en la fórmula de derivada de la función seno,
ucosudx
d)usen(
dx
d
, esta fórmula nos indica que la derivada de la función seno de u
cambia a función coseno de u al derivarla, así que la derivada nos da:
32 10xCos30xy'
2. y = cos 4x–3 Pista )()(cos senuudx
du
dx
d
f15
La función trigonométrica que nos están dando es la función coseno, el termino u = 4x-3, por lo
que udx
d= -12x-4. Sustituimos u
dx
d en la fórmula de derivada de la función coseno
)()(cos senuudx
du
dx
d
, esta fórmula nos indica que la derivada de la función coseno de u
cambia a función seno de u al derivarla, así que la derivada nos da:
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
34 x
4Sen
x
12y'
3. y = tan 20x2 Pista usecudx
d)u(tan
dx
d 2
f16
La función trigonométrica que nos están dando es la función tangente, el termino u = 20x2, por
lo que udx
d= 40x. Sustituimos u
dx
d en la fórmula de derivada de la función tangente
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
32
usecudx
d)u(tan
dx
d 2
, esta fórmula nos indica que la derivada de la función tangente de u
cambia a función secante cuadrada de u al derivarla, así que la derivada nos da:
y’ = 40x sec2 20x2
4. y = csc ( 50x3 + 7x ) Pista uCotuCscudx
d)uCsc(
dx
d
f17
La función trigonométrica que nos están dando es la función cosecante, el termino
x7x50u 3 , por lo que udx
d= 150x2 + 7. Sustituimos u
dx
d en la fórmula de derivada de la
función cosecante, uCotuCscudx
d)uCsc(
dx
d
, esta fórmula nos indica que la derivada de
la función cosecante de u cambia a función cosecante de u por cotangente de u, así que la
derivada nos da:
y’ = – (150x2 + 7 ) csc ( 50x3 + 7x ) cot ( 50x3 + 7x )
Ahora pasaremos a algo un poco más complejo llamémoslo combinación de fórmulas, así que
cuidado.
Podemos tener dos casos:
Que una de las funciones trascendentes no sea independiente, es decir que este dentro de la
otra.
En este caso las derivadas trascendentes pueden combinarse entre ellas, es decir en un
ejercicio de derivación podemos usar al mismo tiempo fórmulas de funciones logarítmicas,
exponenciales y trigonométricas.
Veamos algunos ejemplos de este tipo de derivación:
Derivar:
1.
3x10eSeny Pista ucosudx
d)usen(
dx
d
En este ejercicio tenemos dos funciones trascendentes, estas son una función trigonométrica
y una función exponencial. esta derivada pertenece al primer caso de combinación de
fórmulas, ya que la función exponencial está dentro de la función trigonométrica.
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función seno de u, donde 3x10eu , así que
usaremos la fórmula de la derivada de la función seno de u: ucosudx
d)usen(
dx
d
.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
33
Procedimiento: como 3x10eu tenemos que hallar u
dx
d, pero como u esta formada por una
función exponencial de base e, para poder hallar udx
dtenemos que usar la formula
uu eudx
d)e(
dx
d
, entonces:
Como: 3x10eu usando la formula
uu eudx
d)e(
dx
d
3x102 ex30udx
d
Ahora sustituimos udx
d que acabamos de obtener y
3x10eu en la fórmula de la derivada de la
función seno ucosudx
d)usen(
dx
d
, por lo que el resultado de la derivada de .
310x310x2 eCose30xy'
2. x3Lnay Pista aInau
dx
d)a(
dx
d uu
f18
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función exponencial de base a elevada a la u, donde x3Lnu , así que usaremos la fórmula de la derivada de la función exponencial de base
a elevada a la u, aInaudx
d)a(
dx
d uu
.
Procedimiento: como x3Lnu tenemos que hallar udx
d, pero como u está formada por una
función logaritmo natural de u, para poder hallar udx
dtenemos que usar la formula
u
udx
d
)uIn(dx
d , entonces:
Como: x3Lnu usando la formulau
udx
d
)uIn(dx
d
x
1u
dx
d
x3
3u
dx
d
Ahora sustituimos udx
d que acabamos de obtener y x3Lnu en la fórmula de la derivada de la
función exponencial de base a elevada a la u, aInaudx
d)a(
dx
d uu
., por lo que el resultado de
la derivada es .
aLnax
1y' 3xLn
3. y = tan ( ln 8x4 ) Pista usecudx
d)u(tan
dx
d 2
f19
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
34
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función tangente de u, donde u = ln 8x4, así
que usaremos la fórmula de la derivada de la función tangente de u, usecudx
d)u(tan
dx
d 2
.
Procedimiento: como u = ln 8x4 tenemos que hallar udx
d, pero como u está formada por una
función logaritmo natural de u, para poder hallar udx
dtenemos que usar la formula
u
udx
d
)uIn(dx
d , entonces:
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
42 8xLnSecx
4y'
4.x15Secey Pista
uu eudx
d)e(
dx
d
En este ejercicio también tenemos dos funciones trascendentes, estas son una función
exponencial y una función trigonométrica. Esta derivada pertenece al primer caso de
combinación de fórmulas, ya que la función trigonométrica está dentro de la función
exponencial.
Básicamente lo que tenemos que derivar es una función exponencial de base e elevado a la u,
donde u = sec 15x, así que usaremos la fórmula de la derivada de la función exponencial de
base e elevado a la u, uu eu
dx
d)e(
dx
d
.
Procedimiento: como u = sec 15x tenemos que hallar udx
d, pero como u está formada por una
función secante de u, para poder hallar udx
dtenemos que usar la formula
utgusecudx
d)u(sec
dx
d , entonces:
Como: u = sec 15x usando la formula utgusecudx
d)u(sec
dx
d x15tgx15sec15u
dx
d
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
15xSece15xtg15xsec15y'
5. ln cos 8x2 Pista u
udx
d
)uIn(dx
d
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
35
Lo que tenemos que hacer es derivar es una función logaritmo natural de u, donde 2x8Cosu ,
así que usaremos la fórmula de la derivada de la función logaritmo natural de u,
u
udx
d
)uIn(dx
d .
Procedimiento: como 2x8Cosu tenemos que hallar u
dx
d, pero como u está formada por una
función coseno de u, para poder hallar udx
dtenemos que usar la formula
usenudx
d)u(cos
dx
d
, entonces:
Como: 2x8Cosu usando la formula usenu
dx
d)u(cos
dx
d
2x8Senx16udx
d
28xTan16xy' (porque)
6. y = sen 4x – cos 15x2
Como las funciones están realizando una operación algebraica, tenemos que sacar la derivada
de esta operación algebraica, en este caso una diferencia, así que la fórmula que vamos a usar
es la de derivada de una suma o resta: ...)v(dx
d)u(
dx
d...)vu(
dx
d
Como dijimos la operación algebraica que tenemos es una diferencia, por lo que u = sen 4x y
v = cos 15x2. Para obtener la udx
d tenemos que utilizar la fórmula de derivada de la función
seno ucosudx
d)usen(
dx
d
, mientras que para obtener la v
dx
d tenemos que utilizar la formula
sacar la derivada de la función coseno usenudx
d)u(cos
dx
d
.
Como: u = sen 4x usando la formula ucosudx
d)usen(
dx
d
x4Cosx4u
dx
d
Como: v = cos 15x2 usando la formula vsenvdx
d)v(cos
dx
d
2x15Senx30v
dx
d .
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE
ES y’ = 4 cos 4x + 30x sen 15x2
7. y = tan 10x3 cos 20x2
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
36
La operación algebraica que tenemos es un producto, por lo que tendremos que utilizar la
fórmula de derivada algebraica de un producto )u(dx
dv)v(
dx
du)uv(
dx
d .
Como dijimos la operación algebraica que tenemos es un producto, por lo que 3x10Tanu y
2x20Cosv . Para obtener la udx
d tenemos que utilizar la fórmula de derivada de la función
tangente usecudx
d)u(tan
dx
d 2
, mientras que para obtener la v
dx
d tenemos que utilizar la
formula sacar la derivada de la función coseno usenudx
d)u(cos
dx
d
.
Como: 3x10Tanu usando la formula usecu
dx
d)u(tan
dx
d 2
322 x10secx30udx
d
Como: 2x20Cosv usando la formula usenu
dx
d)u(cos
dx
d
2x20Senx40v
dx
d .
Ahora sustituimos 3x10Tanu ,
322 x10secx30udx
d , 2x20Cosv y 2x20Senx40v
dx
d , en
nuestra fórmula de producto )u(dx
dv)v(
dx
du)uv(
dx
d con lo que obtenemos:
322223 x10secx30x20Cosx20Senx40x10Tany'
El AMIGO LECTOR CONTINUARA CON EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA
RESPUESTA QUE ES 233222 20xSen10xTan40x10xSec20xCos30xy'
8. RESOLVER x20Cot
ey
x4
0v,
v
)v(dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d2
La operación algebraica que tenemos es un cociente, por lo que tendremos que utilizar
la fórmula de derivada algebraica de un producto
0v,
v
)v(dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d2
.
Como dijimos la operación algebraica que tenemos es un cociente, por lo que x4eu y
x20Cotv . Para obtener la u
dx
d
tenemos que utilizar la fórmula de derivada de la función
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
37
exponencial de base e elevado a la u, uu eu
dx
d)e(
dx
d
., mientras que para obtener la v
dx
d
tenemos que utilizar la formula sacar la derivada de la función cotangente
uCscudx
d)uCot(
dx
d 2
.
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES
2
2x4x4
v
x20Csc20ee4x20Coty'
2. LA FUNCIÓN QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO COSENO
2u1
udx
d
)ucosarc(dx
d
. F22
Ejemplo: Sea )2
arccos(x
y
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores udx
d y u2.
el valor de x2
1u o x/2, por lo que el valor de
2
1u
dx
d y
222
2 x4
1ux
2
1u
.
De udx
d y u2 los sustituimos en la fórmula de la derivada de la función arco coseno
2u1
udx
d
)ucosarc(dx
d
. Por lo tanto
4
x1
2
1
y'
x4
11
2
1
y'2
2
Los términos que tenemos dentro de la raíz cuadrada, los sumamos siguiendo las reglas de la
suma de fracciones nos queda
4
x4
2
1
y'2
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGA A LA RESPUESTA QUE ES
2x4
1y'
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
38
y = arc cos x2 Pista 2u1
udx
d
)ucosarc(dx
d
f23
La función que tenemos para derivar es la función arco coseno 2u1
udx
d
)ucosarc(dx
d
.
El procedimiento que se sigue en este ejercicio para hallar la derivada de la función dada es el
siguiente:
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores que nos indica la
fórmula de la derivada función arco coseno, estos valores son udx
d y u2.
El valor de u = x2, por lo que el valor de u’ = 2x y u2 = (x2)2 u2 = x4
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
4x1
2xy'
3. y = arc tan 3x2 Pista 2u1
udx
d
)utanarc(dx
d
f24
La función que tenemos para derivar es la función arco tangente 2u1
udx
d
)utanarc(dx
d
.
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores udx
d y u2.
El valor de u = 3x2, por lo que el valor de udx
d = 6x y u2 = (3x2)2 u2 = 9x4.
Los valores de udx
d y u2 los sustituimos en la fórmula de la derivada de la función arco
tangente 2u1
udx
d
)utanarc(dx
d
.Por lo tanto 49x1
6xy'
4. x
3TanArcy Pista
2u1
udx
d
)utanarc(dx
d
La función que tenemos para derivar es la función arco tangente 2u1
udx
d
)utanarc(dx
d
.
Se define cual es el valor de u y a partir de este valor se sacan los valores de udx
d y u2.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
39
El valor de x
3u , es decir u = 3x–1, por lo que el valor de u
dx
d= –3x–2 es decir
2x
3u
dx
d y
2
22
2
x
9u
x
3u
.
los valores de udx
d y u2 los sustituimos en la fórmula de la derivada de la función arco
tangente 2u1
udx
d
)utanarc(dx
d
.
2
2
x
91
x
3
y'
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA
RESPUESTA QUE ES 9x
3y'
2
2.6 ECUACIONES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA DERIVADA
2.6.1 ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL
Objetivos:
Obtendrá la ecuación de la recta tangente y de la normal a una función en un punto dado.
Ecuación de la tangente y la normal
La derivada de una función geométricamente hablando es igual al valor de la pendiente de la
recta que es tangente a una curva en un punto dado de dicha curva.
Para hallar el valor de la pendiente de la función, tendremos que derivar a esta función y
sustituir el valor de x en el punto de tangencia p (x1 , y1).
Para obtener la ecuación de la recta tangente aplicaremos la fórmula de la ecuación de la
recta: y – y1 = m (x – x1)
Para obtener la ecuación de la recta normal aplicaremos la fórmula de la ecuación de la recta:
11 xxm
1yy
De donde m es la pendiente de la recta tangente, x1 y y1 son los valores del punto de tangencia.
Por definición la ecuación de la recta normal es perpendicular a la recta tangente, por eso es
que para obtenerla usamos el valor de la pendiente, pero de forma inversa y de signo
contrario.
Ejemplos:
Hallar el valor de la pendiente y las ecuaciones de la recta tangente y normal de las siguientes
funciones
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
40
1.- y = 3x2 + 5x – 2 en el punto (–2, 3)
Obteniendo la derivada de la función: y’ = 6x + 5
Usando la igualdad de derivada y pendiente: m = y’
Sustituyendo y’ en la fórmula de la pendiente: m = 6x + 5, como x = –2
Sustituyendo el valor de x: m = 6 (–2) + 5 = –12 + 5. Reduciendo términos: m = –7
Para obtener la ecuación de la recta tangente, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta:
y – 3 = –7 (x + 2) y simplificando nos queda: y – 3 = –7x – 14
Acomodando de acuerdo a la forma de la ecuación de la recta ax + by + c = 0 nos queda:
7x + y – 3 + 14 = 0 7x + y + 11 = 0
Para obtener la ecuación de la recta normal, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta,
solo que el valor que usaremos para la pendiente será: 7
1m :
2x7
13y
El 7 se cambia de miembro y pasara a multiplicar a la expresión y – 3, mientras que el 1
multiplicara a la expresión x + 2 entonces 7 (y – 3) = 1 (x + 2 )
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE
ES x – 7y + 23 = 0
2.- y = x y = 2
1
x p.t.( 4, – 2 )
Obteniendo la derivada de la función: x2
1'yxy 2
1
Usando la igualdad de derivada y pendiente: m = y´
Sustituyendo y’ en la fórmula de la pendiente: x2
1m y x = 4
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
41
Sustituyendo el valor de x: 4
1m
22
1m
42
1m
Para obtener la ecuación de la recta tangente, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta:
4x4
12y
Distribuyendo el valor de la pendiente: 4 (y + 2) = 1 (x – 4 )
EL LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES
x-4y-12=0 3.- y = sen x en el punto (0, 1)
Obteniendo la derivada de la función: y’ = cos x
Usando la igualdad de derivada y pendiente: m = y ’
Sustituyendo y’ en la fórmula de la pendiente:
m = cos x , como x = 0
Sustituyendo el valor de x podemos decir que m = cos 0
Hallando el valor del coseno de cero: m = 1
Para obtener la ecuación de la recta tangente, sustituimos x1, y1 y m en la ecuación de la recta:
y – 1 = 1( x – 0 ) entonces nos queda y – 1 = x
Acomodando de acuerdo a la forma de la ecuación de la recta ax + by + c = 0 nos queda:
x – y + 1 = 0
AMIGO LECTOR CONTINUA CON EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LA ECUACION DE LA NORMAL ES x + y – 1 = 0
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
42
ZONA DE DESCANSO 3
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS
Grigori "Grisha" Yákovlevich Perelmán , nacido el 13 de junio de 1966 en Leningrado, URSS
(actualmente San Petersburgo, Rusia), es un matemático ruso de ascendencia hebrea1 que ha hecho
contribuciones históricas a la geometría riemanniana y a la topología geométrica. En particular, ha
demostrado la conjetura de geometrización de Thurston, con lo que se ha logrado resolver la famosa
conjetura de Poincaré, propuesta en 1904 y considerada una de las hipótesis matemáticas más
importantes y difíciles de demostrar.
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS
Leonardo Pisano Blgollo : Vivió desde el 1170 al 1250 y es conocido por introducir la serie Fibonacci
en el occidente.
En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin
de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con
profundas conexiones en teoría de números.
Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer
matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de
las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de
Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann.
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Los_grandes_matem%C3%A1ticos
ACERTIJOS
1) Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de
una barca en la que solo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra
se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?
2) Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que
partió. ¿De qué color es el oso?
3) ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales?
4) Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una
habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación,
que esta inicialmente apagada. ¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz
recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo? Pista: El hombre tiene una linterna.
5) Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso
ligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrar la moneda diferente. TOMADO DE http://www.juegosdelogica.com/neuronas/acertijos2.htm
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
43
CAPITULO 3
TEOREMA DE L´HÔPITAL
HÔPITAL
Teorema de L´Hôpital
Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto entorno de a . Si
)(lim xfax
0)(lim
xgax
, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si existe )(
)(lim
xg
xf
ax
(finito o
infinito), existe también )(
)(lim
xg
xf
ax, y se cumple que:
)(
)(lim
xg
xf
ax=
)(
)(lim
xg
xf
ax
.
La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están definidas en
a , pero
)(lim xfax
0 y 0)(lim
xgax
.
Si 0)()( agaf , y )(xf y )(xg satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones f y
g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a )(
)(
cg
cf
, y obtenemos:
)(
)(lim
xg
xf
ax
=
)(
)(lim
xg
xf
ax
; aplicar
sucesivamente.
Ejemplo resuelto 1:
Calcular:
a) ee
xxxx
ln1lim
2
1 b)
30lim
x
xsenx
x
c)
34
23lim
23
23
1
xx
xx
x
Solución:
a) ee
xxxx
ln1lim
2
1
En este caso estamos ante la indeterminación 0
0, pues 0011)ln1(lim 22
1
xx
x, y
0)(lim 1
1
eeee x
x
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
ee
xxxx
ln1lim
2
1
)(
)ln1(lim
2
1 ee
xxxx ee
xx
xx
3
12
lim1
b) 30
limx
xsenx
x
=
20 3
cos1lim
x
x
x 6
1lim
6
1
6
)(lim
00
x
xsen
x
xsen
xx
c) 34
23lim
23
23
1
xx
xx
x=
5
3
83
63
83
63lim
2
2
1
xx
xx
x
Ejemplo resuelto 2:
Hallar:
x
xsen
x 1
4
lim
Solución:
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
44
x
xsen
x 1
4
lim
2
2
1
4cos.
4
lim
x
xxx
)4
cos4(limxx
4 41.4)4
(coslim xx
Cálculo de límites de la forma
El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de
)(lim xfax
)(lim xgax
=0 por
)(lim xfax
)(lim xgax
= , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.
Ejemplo resuelto 3:
Hallar:
a)
x
x
x 1
lnlim
0 b)
xx e
x 2
lim
Solución:
a) En este caso estamos ante la indeterminación
, pues,
x
xlnlim
0, y
xx
1lim
0.
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
x
x
x 1
lnlim
0= 0lim
1
1
lim2
0
2
0
x
x
x
xxx
b) xx e
x 2
lim
= xx e
x2lim 0
2lim
xx e
Existen otras formas indeterminadas, 0. e , que pueden transformarse en las formas 0
0
ó
, y aplicar la Regla de L´Hôpital.
Si queremos calcular )().(lim xgxfax
y , 0)(lim
xfax
y
)(lim xgax
, entonces,
)().( xgxf =
)(
1
)(
xg
xf , y por tanto, )().(lim xgxf
ax=
)(
1
)(lim
xg
xf
ax, y ahora es de la forma
0
0.
Además, )().( xgxf =
)(
1
)(
xf
xg , y es un límite de la forma
.
En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones
anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´ Hôpital simplifique el proceso de
determinación del límite.
Ejemplo resuelto 4:
Calcular:
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
45
a) 22
0lnlim xx
x b)
xxx ln
1
1
1lim
1
Solución:
Observemos que 0lim 2
0
x
x, y
2
0lnlim x
xLuego, estamos ante una indeterminación del tipo
0. . Transformando,
22
0lnlim xx
x=
2
2
0 1
lnlim
x
x
x
4
2
0 2
2
lim
x
xx
x
x0lim 2
0
x
x
Observe que 22
0lnlim xx
x=
2
2
0
ln
1lim
x
x
x, pero esta transformación es menos recomendable en este
caso en particular, pues la derivada de 2ln
1
x es mucho más compleja que, simplemente, la derivada
de 2ln x .
b)
xxx ln
1
1
1lim
1
No existe una forma única de proceder para resolver indeterminaciones del tipo . En este caso,
se debe efectuar la resta:
xxx ln
1
1
1lim
1=
xx
xx
x ln)1(
)1(lnlim
1=
xx
xx
x ln)1(
)1lnlim
1
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA
QUE ES 1/2
Un caso en que la regla de L'Hôpital no es aplicable
Suponga que tenemos
Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple evaluación:
y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de L'Hôpital. ¿Qué
sucedería si no nos damos cuenta de ello o aun dándonos cuenta insistimos en aplicarla? En
ese caso haríamos lo siguiente:
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
46
Y esto es un error puesto que el límite es 8/7 y no 2.
EJERCICIOS: Calcular1) R/1/2 2) R/0
3) R/4/3 4) R/ 4
5) R/1/6 7) R/1/2
8) R/-1 9) R/0
10) R/0 11) R/ 0
12) R/e-6 13) R/1
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS: Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de
1789 - Sceaux, Lion, 23 de mayo de 1857) fue un matemático francés,1Cauchy ha sido uno de
los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, solo superado por Leonhard Euler, Paul
Erdős y Arthur Cayley con cerca de 800 publicaciones y siete trabajos; su investigación cubre
el conjunto de áreas matemáticas de la época. Fue pionero en análisis donde se le debe la
introducción de las funciones holomorfas, los criterios de convergencia de series y las series
de potencias. Sus trabajos sobre permutaciones fueron precursores de la teoría de grupos,
contribuyendo de manera medular a su desarrollo. En óptica se le atribuyen trabajos sobre la
propagación de ondas electromagnéticas.
TOMDO DE https://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
47
CAPITULO 4
RAZON DE CAMBIO
https://definicion.de/razon-de-cambio/
RAZÓN DE CAMBIO
El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con
relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de
cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a
cero. La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se
calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de
tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De
acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo
por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su
velocidad.
Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos
horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros por hora. Ese valor representa su velocidad,
ya que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo).
A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y
previsiones. Si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio para señalar
qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación.
Es importante resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos.
Razón de cambio promedio
La razón de cambio trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la
variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y una
cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos.
Así como en el ejemplo del coche que recorre 100 kilómetros en dos horas, los problemas que nos llevan a calcular la razón de cambio promedio arrojan resultados en los cuales se determina una
variación que no necesariamente existe en la realidad a cada momento; en otras palabras, no
sabemos si el coche ha mantenido esta velocidad a lo largo de las dos horas, sino que estimamos el
promedio de unidades de distancia al cual debió avanzar para completar dicho recorrido. Razón de cambio instantánea
La razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la
velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos
que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o,
desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva.
Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio instantánea podría resultar útil para conocer
el trayecto recorrido en un punto específico de las dos horas, que es el plazo de tiempo total analizado en el problema. A diferencia de la razón promedio, la instantánea tiene una visión muy
puntual, ya que busca conocer o corregir valores antes de que finalice el periodo.
A los que algún día se preguntaron: “¿Pero para qué carajo sirven las derivadas?”, aquí hay una
importante aplicación de ellas: En los problemas en que intervienen razones de cambio respecto al
tiempo de distintas variables que están relacionadas.
https://definicion.de/razon-de-cambio/
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48
PROBLEMAS DE RAZON DE CAMBIO
EJEMPLO 1:
Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de
100 centímetros cúbicos por segundo. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el diámetro
es de 50 cm?
Para solucionarlo:
1. Miramos las variables que intervienen. En éste caso, serían el volumen del globo y su radio, que
cambian con respecto a un tiempo t. 2. Miramos la información que nos dan, en éste caso sería la razón a la que cambia el volumen
respecto al tiempo:
3. Miramos las incógnitas, en éste caso, sería la razón con la que aumenta el radio del globo:
4. Hallamos una fórmula que relacione las variables, en éste problema, usaremos la fórmula del
volumen de la esfera:
Ahora, procedemos a derivar implícitamente con respecto al tiempo.
Reemplazamos la información dada, y despejamos la derivada del radio con respecto al tiempo:
Así es entonces, cuando llegamos a la conclusión de que el radio del globo está creciendo a razón de
0,013 cm/sg.
Ejemplo 2
En una circunferencia, sabemos que su radio aumenta a razón de 1 cm/s ¿Cuál es la razón de
cambio del área de la circunferencia cuando el radio sea igual a 5 cm?
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49
En este problema nos están diciendo que la razón de cambio del radio es de 1 cm/s. La razón de
cambio de una magnitud es su derivada con respecto al tiempo, por tanto:
Nos están preguntando la razón de cambio del área de la circunferencia cuando r=5 cm, es decir, la
derivada del área con respecto al tiempo:
En otras palabras, nos preguntan cuánto estará creciendo el área cuando el radio sea igual a 5 cm.
Ahora tenemos que encontrar una fórmula que relacione el área con el radio de la circunferencia, que
la tenemos en la fórmula del área de una circunferencia:
Como te he comentado antes, tanto el área como el radio no son valores constantes, sino que son
funciones que dependen del tiempo. Para hallar las variaciones de cada magnitud con el tiempo,
derivamos en ambos miembros de la ecuación con respecto a al tiempo y nos queda:
En el primer miembro, hemos derivado A con respecto a t, cuya derivada es dA/dt.
En el segundo, para derivar r con respecto a t, utilizamos la regla de la cadena (de fuera hacia
adentro): la derivada de r² es 2r y la multiplicamos por la derivada de r que es dr/dt.
Una vez hemos derivado, sustituimos los datos que nos da el enunciado: Si r=5 cm, entonces dr/dt=1
cm/s. Entonces podemos reemplazar en da/dt y queda
En esta expresión ya podemos calcular dA/dt teniendo en cuenta que el radio está en cm y y la razón
de cambio del radio está en cm/s. Si operamos teniendo en cuenta las unidades nos queda
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50
Y el resultado lo tendremos en cm²/s es
Ejemplo 3. El volumen de un cubo está cambiando a razón de 75 cm³/minuto.
a) Hallar la razón de cambio de su lado cuando mide 5 cm
b) Hallar la razón de cambio del área superficial cuando ésta es de 24 cm²
Apartado a:
Sabemos que el volumen cambia a razón de 75 cm cúbicos por minuto:
Y nos piden la razón de cambio de su lado cuando mide 5 cm:
La fórmula que relaciona el volumen con el lado “a” del cubo es:
Derivamos en ambos miembros de la ecuación:
Y sustituimos dV/dt y a por sus valores:
De donde podemos despejar da/dt:
Y queda:
Apartado b:
Al igual que en el apartado anterior, el volumen cambia a razón de 75 cm cúbicos por minuto:
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51
Y esta vez nos preguntan la razón de cambio del área superficial cuando ésta es de 24 cm²:
La fórmula que relaciona el área del cubo con el lado “a” del cubo es:
Derivando con respecto al tiempo a ambos lados de la ecuación, nos queda:
En esta ocasión no tenemos datos directamente ni de a ni de da/dt.. Sabemos que en el instante que
queremos calcular da/dt, el área es igual a 24, por tanto, en la ecuación anterior, sustituyendo A por
24, podemos obtener el valor de a:
Aún nos queda obtener el valor de da/dt, como tenemos el valor de a, lo vamos a calcular igual que
en el apartado anterior, a partir de la fórmula del volumen:
Derivamos con respecto al tiempo en ambos miembros de la igualdad:
Y sustituimos dV/dt y a por sus valores:
Despejamos da/dt:
Y calculamos su valor:
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES
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52
Ejemplo 4
Un obrero sostiene una cuerda de 36 m de longitud y al otro extremo hay un peso. La cuerda pasa
por una polea situada a 20 metros de altura. Si éste se aleja de la polea a razón de 5 m/s, ¿a qué
velocidad se eleva el peso cuando está a 10 metros por encima de la posición original?
Al inicio, el esquema del problema sería el siguiente:
El obrero se aleja de la polea a razón de 5 m/s, cuando z=10 m por tanto:
Por un lado, el enunciado nos dice que la longitud de la cuerda es de 36 m. La cuerda corresponde a
los lados z e y del triángulo, por tanto:
Por otro lado, por Pitágoras, relaciónanos los tres lados:
Como queremos relacionar la magnitud z (que es la distancia que se desplaza el peso) con la
magnitud x, que es la distancia que se desplaza el obrero, de la primera ecuación, podemos despejar
la y en función de z:
Y sustituir esta expresión de y en la expresión de Pitágoras:
Ahora derivamos a ambos lados del igual con respecto al tiempo:
Tenemos todos los datos, menos el valor de x.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
53
De la expresión obtenida a partir de Pitágoras, sustituimos la z por 10 y nos quedará una expresión
que sólo depende de x, de donde podemos obtener su valor:
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES
ZONA DE DESCANSO 4
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS
Lobachevski nació en Nizhni Nóvgorod Rusia el 1 de diciembre del año 1792. Lobachevski informó,
por primera vez, de su nueva geometría no euclidiana el 23 de febrero de 1826, con una conferencia
en la sesión de la Sección de ciencias físico-matemáticas de la Universidad de Kazán.
Niels Henrik Abel (Findö, Noruega, 5 de agosto de 1802 - Froland, Noruega, 6 de abril de 1829) fue
un matemático noruego, célebre fundamentalmente por haber probado en 1824 que no hay ninguna
fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados n ≥ 5 en términos de sus
coeficientes; y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que desarrolló un método general para la
construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica.
ZONA DE DESCANSO 4
En matemáticas mágicas le preguntaras al jugador que el numero que pensó le pides que haga las
operaciones descritas luego al final le pides la respuesta final, la entrega y tú le sumas uno y le darás
la respuesta.
Ejemplo la persona piensa en el 5, le dirás que le sume 3 da 8 lo multiplique por dos y le da 16 luego
que le reste 8 y le da 8 y luego lo divida entre 2 le dará 4, le dirás que te diga el resultado y el dirá 4
entonces siempre le sumas 1 y le diras que el número que pensó fue 5.
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54
CAPITULO 5
MAXIMOS Y MINIMOS
5.1CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
PROPÓSITO DE LA UNIDAD
EL ALUMNO:
Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función; mediante la aplicación de los
criterios de la primera y segunda derivada, analizando diferencialmente, los intervalos donde la
función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de
inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una
actitud reflexiva y de cooperación.
5.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.2.1
ESTUDIO DE FUNCIONES: DOMINIO, SIMETRÍAS, CORTES, ASÍNTOTAS. Ejercicio: En la siguiente imagen puedes ver la gráfica de las temperaturas a lo largo de un día en
una ciudad española. En el eje OX están representadas las horas del día y en el eje OY las
temperaturas en grados centígrados. Horas del día - Temperaturas (ºC)
(a) ¿Qué temperatura hizo a
las 0 horas? ¿Y a las 10
horas? ¿Son esos puntos
significativos?
(b) ¿Qué se podría afirmar
acerca del crecimiento y
decrecimiento de la
temperatura (monotonía)?
(c) ¿Se mantuvo constante la
temperatura en algún
intervalo del día? ¿Cuál fue
el valor de la temperatura en
dicho intervalo?
(d) ¿A qué hora se
alcanzaron las temperaturas
máximas y mínimas?
¿Cuáles fueron los valores de dichas temperaturas?
(e) ¿Son máximos/mínimos absolutos o relativos?
(f) ¿En qué tramo horario se alcanzaron temperaturas bajo cero? Solución: (a) A las 0 horas, 2ºC. A las 10 horas, 0ºC. Claro que son significativos. Son los puntos
de corte con los ejes. El primero es el punto de corte con el OY y el segundo con el eje OX.
(b) La temperatura va descendiendo hasta las 4 de la madrugada donde se alcanzan -5 ºC (cinco
grados bajo cero). Se mantiene constante desde las 4 hasta la 6, donde empieza a subir hasta las 16
horas cuando se alcanza una temperatura de 7ºC, comenzando a descender desde ese momento
hasta las 24 horas cuando se alcanza 1ºC.
Decrece en [0,4] y [16,24] - Constante en [4,6] - Crece en [6,16]
(c) Constante en [4,6]. Temperatura constante de -5ºC
(d) La máxima se alcanzó a las 16 horas con un valor de 7ºC. La mínima se alcanzó desde las 4 a las
6 de la madrugada con un valor de -5ºC
(e) Tanto el máximo como los mínimos son absolutos. No hay ninguna hora del día en las que se
alcancen temperaturas por encima y por debajo, respectivamente, que en esas horas.
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55
(f) Temperaturas bajo cero se alcanzaron desde un poco antes de la 1 de la madrugada hasta las 10
de la mañana.
Domin io de una f unción h t tp : / /www.v i tutor . com/f un/2/a_2.html
E l dominio es e l conjunto de elem entos que t i enen im agen.
Dominio de la función pol inómica entera
El dominio es R , cualqu ier núm ero rea l t i ene im agen.
E jem plo
f (x )= x 2 - 5x + 6 D=R
Dominio de la función racional
El domin io es R m enos l os v a lores que anulan a l denominador (no puede ex i st i r
un núm ero cuyo denominador sea cero) .
E jem plo
SIMETRÍA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:
f(−x) = f(x)
Ejemplo
SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN
Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:
f(−x) = −f(x)
Ejemplo
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56
PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación
resultante. Ejemplo
Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función:
PUNTO DE CORTE CON EL EJE OY
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).
Ejemplos
1. Hallar el punto de corte con el eje OY de la función:
2. Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:
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57
Ejercicio 1: Estudia el dominio, simetrías, cortes con los ejes y asíntotas de la función
Dominio
Simetría
Simetría respecto al origen, es decir, función impar. Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX:
Punto de corte con OY:
Asíntotas
No tiene asíntotas.
Ejercicio 2: Estudia el dominio, simetrías, cortes con los ejes y asíntotas de la función
Dominio
Simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX:
Punto de corte con OY:
Asíntotas
Asíntota horizontal
Asíntotas verticales.
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58
ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN.
1. De monótono, nada.
El crecimiento y el decrecimiento de una función es algo que ya
hemos estudiado antes ¿lo recuerdas? Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también
aumenta el valor de la función, f(x). Es decreciente, si al aumentar
el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se
"leen" de izquierda a derecha.
Atendiendo a la monotonía podemos clasificar las funciones en tres tipos. · Una función real f(x) es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x
y x', con x < x', se tiene que: · Una función real f(x) es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del
intervalo x y x', con x < x', se tiene que: · Una función real f(x) es constante en un intervalo si para todos los valores, x, del intervalo se
tiene que: (constante)
Aunque existen funciones que son crecientes, decrecientes o constantes en todo su dominio de
definición, lo más habitual es encontrarse con aquellas que tienen una combinación de todos los
tipos indicados.
Pero, no basta con conocer si una función crece o decrece. En ocasiones nos interesará conocer hasta dónde llega ese crecimiento y/o decrecimiento, si se alcanzan máximos/mínimos
absolutos, o si los valores obtenidos son extremos relativos, es decir, son grandes o pequeños,
sólo en comparación con los que tienen a su alrededor. MÁXIMOS Y MÍNIMOS (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA)
Para el caso de los máximos y mínimos relativos de una función, los podremos hallar siguiendo los
criterios de la primera derivada o la segunda derivada.
Los máximos y mínimos relativos de una función se localizan en los puntos de tangencia horizontal,
es decir en los puntos en los cuales la primera derivada de la función se anula, es decir, es igual a
cero. Por lo tanto: igualando a cero la primera derivada se obtiene una ecuación cuyas soluciones
contienen a los valores críticos.
f’(x) = 0
De acuerdo con las características de las funciones crecientes y decrecientes:
A) Antes de un mínimo la función es decreciente y después de él, la función es creciente, de lo que
se deduce que, si la función cambia de negativa a positiva, tendremos un mínimo.
B) Antes de un máximo la función es creciente y después de él, la función es decreciente, de lo que
se deduce que, si la función cambia de positiva a negativa, tendremos un máximo.
El procedimiento para calcular los máximos y mínimos relativos de una función, usando el criterio
de la primera derivada, es el siguiente:
1. Se saca la primera derivada de la función.
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59
2. Esta primera derivada se iguala a cero.
3. La ecuación igualada a cero se resuelve para x (generalmente por factorización). Los valores de
x que satisfagan a la ecuación, recibirán el nombre de valores críticos y es en ellos donde
probablemente se localizaran los máximos y mínimos de la función.
4. Una vez localizados los valores críticos, se realiza una pequeña recta numérica, la cual nos
servirá para escoger los valores vamos a utilizar para evaluar cada valor crítico. Vamos a tomar
un valor cualquiera anterior y uno posterior al valor crítico (de preferencia enteros) siempre y
cuando estos valores no rebasen a otro valor crítico.
5. Una vez definidos los valores que servirán para evaluar a los puntos críticos, estos valores se
sustituirán en la ecuación de la primera derivada (de preferencia en la ecuación factorizada), y de
acuerdo al signo obtenidos, se aplican los siguientes criterios:
A) Si la función cambia de positiva a negativa, entonces tendremos un máximo relativo en ese valor
crítico.
B) Si la función cambia de negativa a positiva, entonces tendremos un mínimo relativo en ese valor
crítico.
C) Si la función no presenta un cambio de signo, es decir que vaya de negativa a negativa o de
positiva a positiva, entonces en ese valor crítico no tendremos ni máximo ni mínimo.
6. Hasta este instante, ya sabemos en qué puntos se localizan los máximos y mínimos de la
función, pero no sabemos todavía cuál es el valor de cada uno, para hallar el valor, tanto del
máximo como del mínimo, tenemos que sustituir los valores críticos en la ecuación original, es
decir, en la ecuación que teníamos al principio antes de hacer la derivación.
Ejercicios resueltos:
Hallar los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones, aplicando el método de la
primera derivada:
1. F(x) = x3 + 3x2 – 9x + 3
Sacando la derivada de la función:
F’(x) = 3x2 + 6x – 9
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
3x2 + 6x – 9 = 0 3(x2 + 2x – 3) = 0 3 (x + 3) (x – 1) = 0
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = – 3 y x = 1.
Poniendo los valores críticos en el eje de las abscisas:
Evaluando el valor critico x = – 3
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –4 y como valor posterior x = –2
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60
Para hacer esta evaluación, lo que tenemos que hacer es sustituir primero 4x en la ecuación
3(x + 3) (x – 1).
Al hacer esta sustitución en el primer paréntesis nos da –1 y en segundo nos da –5, de estos
resultados lo único que nos interesa es el signo de cada resultado, ya que estos signos son los que
vamos a multiplicar para ver cómo es la función antes del valor crítico, si negativa o positiva.
Lo mismo se hará con x = –2, ya que con esto sabremos cómo es la función después del valor
crítico, si positiva o negativa.
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
Evaluando el valor critico x = 1
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –2 y como valor posterior x = 2
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
Sustituyendo los valores críticos en la función inicial 3x9x3xf(x) 23 , hallamos el valor del
máximo y del mínimo relativo.
Sustituyendo x = –3:
F(–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 9(–3) + 3
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA
Para x = –3, tenemos un máximo = 30
Escribiéndolo como un par ordenado seria: max = (–3, 30)
Para x = 1, tenemos un mínimo = – 2
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = ( 1, –2).
2. 8x6x2
1x
3
1y 23
Sacando la primera derivada de la función: Y’ = x2 + x – 6
Igualando y’ a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
X2 + x – 6 = 0 ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0
Por lo que los valores críticos son: X = – 3 y x = 2
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
61
Poniendo los valores críticos en el eje de las abscisas:
Evaluando el valor critico x = – 3
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –4 y como valor posterior x = –2
Evaluando el valor critico x = 2
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –2 y como valor posterior x = 3
Sustituyendo los valores críticos en la función inicial 8x6x2
1x
3
1y 23 , hallamos el valor del
máximo y del mínimo relativo.
Sustituyendo x = –3:
83632
13
3
13y
23
Desarrollando exponentes: 83692
127
3
13y
Efectuando multiplicaciones: 8182
9
3
273y
Simplificando fracciones: 8182
993y
Reduciendo cantidades enteras: 2
9173y
Realizando la suma: 2
433y
Sustituyendo ahora x = 2:
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
62
ESTIMADO AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE
ES
La respuesta del ejercicio es:
Para x = –3, tenemos un máximo = 2
43
Escribiéndolo como un par ordenado seria:
2
433,
Para x = 2, tenemos un mínimo = 3
2
Escribiéndolo como un par ordenado seria:
3
22,
3. F(x) = 6x4 – 8x3
Sacando la derivada de la función: F’(x) = 24x3 – 24x2
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
24x3 – 24x2 = 0 24x2 (x – 1) = 0
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = 0 y x = 1.
Poniendo los valores críticos en el eje de las abscisas:
Evaluando el valor critico x = 0
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –1 y como valor posterior x = 2
1, es decir x = 0.5.
En este ejercicio, para evaluar al valor critico x = 0, nos vemos en la necesidad de tomar una
cantidad fraccionaria como valor posterior, esto se debe a que no podemos tomar al uno, ya que éste
es un valor crítico y como para evaluar a un valor crítico, no debemos de rebasar a otro, no podemos
tomar a los números que están a la derecha del uno para evaluar a x = 0.
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA QUE LA RESPUESTA ES
Para x = 1, tenemos un mínimo = – 2
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (1, –2).
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63
4. Y = x4 – 4x3 – 8x2 + 48x + 10
Sacando la derivada de la función: Y’ = 4x3 – 12x2 – 16x + 48
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
4x3 – 12x2 – 16x + 48 = 0 (4x3 – 12x2) + (– 16x + 48) = 0 4x2(x – 3) – 16(x – 3) = 0
(4x2 – 16) (x – 3) = 0 (2x + 4) (2x – 4) (x – 3) = 0
La factorización que se realiza para este ejercicio es la factorización por agrupamiento.
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = – 2, x = 2 y x = 3
Poniendo los valores críticos en el eje de las abscisas:
Evaluando el valor critico x = – 2
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –3 y como valor posterior x = 0
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
Evaluando el valor critico x = 2
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = 0 y como valor posterior x = 2
5 o x = 2.5
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES Para x = – 2, tenemos un mínimo = – 70
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (– 2, – 70).
Para x = 2, tenemos un máximo = 58
Escribiéndolo como un par ordenado seria: max = (2, 58)
Para x = 3, tenemos un mínimo = 55
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = ( 3, 55).
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64
5. F(x) = x2 – 10x – 3
Sacando la derivada de la función: F’(x) = 2x – 10
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
2x – 10 = 0 2(x – 5) = 0
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = 5
Poniendo los valores críticos en el eje de las abscisas:
Evaluando el valor critico x = 5
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = 4 y como valor posterior x = 6
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
Sustituyendo los valores críticos en la función inicial 3x10xf(x) 2 , hallamos el valor del mínimo
relativo.
Sustituyendo x = 5:
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES Para x = 5, tenemos un mínimo = – 28
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (5, –28).
6. Y = x4 – 8x2 + 10
Sacando la derivada de la función: Y’ = 4x3 – 16x
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
4x3 – 16x = 0 4x(x2 – 4) = 0 4x(x + 2) (x – 2) = 0
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = 0, x = –2 y x = 2
Poniendo los valores críticos en el eje de las abscisas:
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
65
Evaluando el valor critico x = – 2
Los valores que tomaremos para hacer la evaluación de este valor crítico serán:
Como valor anterior: x = –3 y como valor posterior x = –1
Los procedimientos de sustitución y evaluación nos llevan a:
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES Para x = – 2, tenemos un mínimo = – 6
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (– 2, – 6).
Para x = 0, tenemos un máximo = 10
Escribiéndolo como un par ordenado seria: max = (0, 10)
Para x = 2, tenemos un mínimo = – 6
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = ( 2, – 6).
NOTAS IMPORTANTES
Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una función respecto
a su crecimiento o decrecimiento.
Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces es:
Creciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)
Decreciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)
Función f(x) Derivada f ' (x)
Creciente Positiva
Decreciente Negativa
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66
Ejercicio 1: Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de:
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Máximos
5.3. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Objetivos:
1. Obtendrá derivadas de orden superior de funciones algebraicas. (máximo y’’’’). (po, ea)
2. Obtendrá derivadas de orden superior de funciones trascendentes. (máximo y’’’’) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O SUCESIVAS
Hemos visto que, en general, la derivada de una función de x es también una función de x. Puede
ocurrir que esta función sea también derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se
llama la segunda derivada de la función primitiva. Análogamente, la derivada de la segunda derivada
se llama la tercera derivada, y axial, sucesivamente, hasta la enésima derivada.
Este tipo de derivadas se conoce también como derivadas sucesivas, para obtener el resultado de
estas derivadas tenemos que derivar varias veces la función que nos están dando.
Ejemplos:
Hallar el orden de derivada que se pide en cada función:
1.- hallar y’’’, si x2ey
Sacando primera derivada: Y’ = 2 x2e
Sacando segunda derivada: Y’’ = 2 ( 2 x2e ) = 4 x2e
Sacando tercera derivada Y’’’ = 2 ( 4 2xe ) = 8 2xe
2.- hallar y’’’’, si y = 4x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 3x
Sacando primera derivada: Y’ = 20x4 – 12x3 + 12x2 – 10x + 3
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67
Sacando segunda derivada: Y’’ = 80x3 – 36x2 + 24x – 10
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
Y’’’’ = 480x – 72
Los ejercicios anteriores fueron muy sencillos porque solo se usaron derivadas de funciones
algebraicas o trascendentales por separado, pero también se pueden utilizar derivadas algebraicas y
trascendentales en un mismo ejercicio como en el ejercicio que sigue a continuación:
3.- hallar y’’, si y = sen 8x3
Para obtener la primera derivada utilizamos la fórmula de la derivada de la función seno:
Y’ = 24x2 cos 8x3
Para sacar la segunda derivada tenemos que utilizar dos fórmulas, la fórmula de la derivada
algebraica de la multiplicación )u(dx
dv)v(
dx
du)uv(
dx
d y la formula de la derivada de la función
coseno uSenudx
duCos
dx
d
Sustituyendo en nuestra formula de producto )u(dx
dv)v(
dx
du)uv(
dx
d :
Y’’ = ( 24x2 )
dx
d ( cos 8x3 ) + ( cos 8x3 ) dx
d ( 24x2 )
Derivando los paréntesis que tienen adelante al operador diferencial dx
d, para derivar la expresión
cos 8x3 usamos la fórmula de la derivada del coseno uSenudx
duCos
dx
d
Y’’ = (24x2 )( – 24x2 sen 8x3 ) + ( cos 8x3 )( 48x )
Multiplicando las expresiones que no dependen de ninguna función trigonométrica y colocándolos
delante de cada término:
Y’’ = – 576x4 sen 8x3 + 48x cos 8x3
Factorizando la expresión por término común:
Y’’ = 48x (–12x3 sen 8x3 + cos 8x3)
También podemos tener derivadas sucesivas en funciones con variables con exponentes
fraccionarios:
4.- hallar y’’’’, si 6
25
7
10
3
5
x4x8x3y
Sacando primera derivada: 6
19
7
3
3
2
6
19
7
3
3
2
x3
50x
7
80x5yx4
6
25x8
7
10x3
3
5y ''
Sacando segunda derivada:
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68
6
13
7
4
3
1
6
13
7
4
3
1
x18
950x
49
240x
3
10yx
3
50
6
19x
7
80
7
3x5
3
2y ''''
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
6
7 183 7x
648
86450
x2401
10560
x27
´40y ''''
5.4 CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON EL CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA
Objetivos:
1. Calculara los valores máximos y mínimos relativos de una función, aplicando el criterio de la segunda derivada. Criterio de la segunda derivada:
Como se mencionó en el subtema anterior, los máximos y mínimos relativos de una función, los
podemos obtener aplicando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada. En este
subtema veremos cómo se obtienen los máximos y mínimos relativos de una función aplicando el
criterio de la segunda derivada.
De acuerdo con la concavidad de una curva, el máximo relativo, se encuentra en algún punto de la
curva en donde esta es convexa. Por el contrario, para el punto donde se localiza el mínimo relativo,
la curva es cóncava. De acuerdo a los criterios y propiedades de la concavidad, se establece la
siguiente propiedad:
Sea f una función tal que su primera y segunda derivada existan en x = c. Para la curva de f:
A) Existe un máximo relativo en x = c si: 0(c)''fY0(c)'f
B) Existe un máximo relativo en x = c si: 0(c)''fY0(c)'f
El procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos de una función, aplicando el criterio
de la segunda derivada, es el siguiente:
1. Se saca la primera derivada de la función.
2. Esta primera derivada se iguala a cero.
3. La ecuación igualada a cero se resuelve para x (generalmente por factorización). Los valores de
x que satisfagan a la ecuación, recibirán el nombre de valores críticos y es en ellos donde
probablemente se localizaran los máximos y mínimos de la función
4. Una vez localizados los valores críticos, se saca la segunda derivada de la función.
5. Ya que tenemos la segunda derivada de la función, en ella vamos a sustituir los valores críticos
que encontramos. Del resultado de la sustitución, lo único que nos va a interesar es el signo de la
cantidad y en base al signo, aplicaremos los siguientes criterios:
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69
A. Si el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada es menor que cero, es
decir, es negativa, entonces en ese valor critico tendremos un máximo.
B. Si el resultado de la sustitución del valor crítico en la segunda derivada es mayor que cero, es
decir, es positiva, entonces en ese valor crítico tendremos un mínimo.
C. Si el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada es igual a cero, entonces
en ese valor critico no tendremos ni máximo ni mínimo.
Hasta este instante, ya sabemos en qué puntos se localizan los máximos y mínimos de la función,
pero no sabemos todavía cuál es el valor de cada uno, para hallar el valor, tanto del máximo como
del mínimo, tenemos que sustituir los valores críticos en la ecuación original, es decir, en la
ecuación que teníamos al principio antes de hacer la derivación.
Si comparamos los dos métodos de máximos y mínimos relativos, veremos que la única
diferencia está en la forma de cómo evaluar los valores críticos, para saber si en ellos hay un
máximo, mínimo o si no hay ni máximo ni mínimo.
No importa que método usemos, debemos de obtener el mismo resultado en nuestros ejercicios,
prueba de ello es que se volverán a resolver, por el criterio de la segunda derivada, los mismos
ejercicios que se usaron para explicar el criterio de la primera derivada.
Ejercicios resueltos:
Hallar los máximos y los mínimos de las siguientes funciones, aplicando ahora el criterio de la
segunda derivada.
1. F(x) = x3 + 3x2 – 9x + 3
Sacando la primera derivada de la función: F’(x) = 3x2 + 6x – 9
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
3x2 + 6x – 9 = 0 3(x2 + 2x – 3) = 0 3 (x + 3) (x – 1) = 0
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = – 3 y x = 1.
Hasta aquí, hemos hecho lo mismo que cuando usamos el criterio de la primera derivada, pero en
lo que vamos a hacer ahora es donde son diferentes estos dos criterios.
Sacamos ahora la segunda derivada de la función: F’’(x) = 6x + 6
Para evaluar los puntos críticos, tenemos que sustituirlos en la ecuación de la segunda derivada
que acabamos de obtener.
Evaluando el valor critico x = – 3
F’’(– 3) = 6(– 3) + 6 f’’(– 3) = –18 + 6 f’’(– 3) = – 6 f’’(– 3) = –
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
negativa, entonces en x = –3, tendremos un máximo relativo.
Evaluando el valor critico x = 1
F’’(1) = 6(1) + 6 f’’(1) = 6 + 6 f’’(1) = 12 f’’(1) = +
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70
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
negativa, entonces en x = 1, tendremos un máximo relativo.
Para hallar el valor del máximo y mínimo relativo, hacemos otra vez lo mismo que en el criterio de la
primera derivada, sustituir los valores críticos en la función inicial.
Sustituyendo los valores críticos en la función inicial 3x9x3xf(x) 23 , hallamos el valor del
máximo y del mínimo relativo.
Sustituyendo x = –3:
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
Para x = –3, tenemos un máximo = 30
Escribiéndolo como un par ordenado seria: máx. = (–3, 30)
Para x = 1, tenemos un mínimo = – 2
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = ( 1, –2).
2. 8x6x2
1x
3
1y 23
Sacando la primera derivada de la función: Y’ = x2 + x – 6
Igualando y’ a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
X2 + x – 6 = 0 ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0
Por lo que los valores críticos son: x = – 3 y x = 2
Sacamos ahora la segunda derivada de la función: Y’’ = 2x + 1
Evaluando el valor critico x = – 3
Y’’(– 3) = 2(– 3) + 1 y’’(– 3) = – 6 + 1 y’’(– 3) = – 5 y’’(– 3) = –
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
negativa, entonces en x = –3, tendremos un máximo relativo.
Evaluando el valor critico x = 2
Y’’(2) = 2(2) + 1 y’’(2) = 4 + 1 y’’(2) = 5 y’’(2) = +
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
positiva, entonces en x = 2, tendremos un mínimo relativo.
Sustituyendo los valores críticos en la función inicial 8x6x2
1x
3
1y 23 , hallamos el valor del
máximo y del mínimo relativo.
Sustituyendo x = –3: entonces 83632
13
3
13y
23
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71
Desarrollando exponentes: 83692
127
3
13y
Efectuando multiplicaciones: 8182
9
3
273y
Simplificando fracciones: 8182
993y
Reduciendo cantidades enteras: 2
9173y
Realizando la suma: 2
433y
Sustituyendo ahora x = 2:
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA QUE ES
Para x = –3, tenemos un máximo = 2
43
Escribiéndolo como un par ordenado seria:
2
433,
Para x = 2, tenemos un mínimo = 3
2
Escribiéndolo como un par ordenado seria:
3
22,
3. Y = x4 – 4x3 – 8x2 + 48x + 10
Sacando la primera derivada de la función: Y’ = 4x3 – 12x2 – 16x + 48
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
La factorización que se realiza para este ejercicio es la factorización por agrupamiento.
De acuerdo a la factorización, los valores críticos son x = – 2, x = 2 y x = 3
Sacamos ahora la segunda derivada de la función:
Y’’ = 12x2 – 24x – 16
Evaluando el valor critico x = – 2
Y’’(– 2) = 12(– 2)2 – 24(– 2) – 16 y’’(– 2) = 12(4) – 24(– 2) – 16
y’’(– 2) = 48 + 48 – 16 y’’(– 2) = 80 y’’(– 2) = +
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72
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
positiva, entonces en x = – 2, tendremos un mínimo relativo.
Evaluando el valor critico x = 2
Y’’(2) = 12(2)2 – 24(2) – 16 y’’(2) = 12(4) – 24(2) – 16 y’’(2) = 48 – 48 – 16
y’’( 2) = – 16 y’’(2) = –
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
negativa, entonces en x = –3, tendremos un máximo relativo.
Evaluando el valor critico x = 3
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LA RESPUESTA ES
Para x = – 2, tenemos un mínimo = – 70
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (– 2, – 70).
Para x = 2, tenemos un máximo = 58
Escribiéndolo como un par ordenado seria: max = (2, 58)
Para x = 3, tenemos un mínimo = 55
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = ( 3, 55).
4. F(x) = x2 – 10x – 3
Sacando la primera derivada de la función:
F’(x) = 2x – 10
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
2x – 10 = 0 2(x – 5) = 0
De acuerdo a la factorización, solo tenemos un valor crítico: x = 5
Sacamos ahora la segunda derivada de la función:
F’’(x) = 2
Evaluando el valor critico x = 5
F’’(5) = 2 f’’(5) = +
Como el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada nos da una cantidad
positiva, entonces en x = 5, tendremos un mínimo relativo
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73
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LA RESPUESTA ES
Para x = 5, tenemos un mínimo = – 28
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (5, –28).
5. Y = x4 – 8x2 + 10
Sacando la primera derivada de la función:
Y’ = 4x3 – 16x
Igualando la primera derivada a cero y factorizando para hallar los valores críticos:
4x3 – 16x = 0 4x(x2 – 4) = 0 4x(x + 2) (x – 2) = 0
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LA RESPUESTA ES
La respuesta del ejercicio es:
Para x = – 2, tenemos un mínimo = – 6
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (– 2, – 6).
Para x = 0, tenemos un máximo = 10
Escribiéndolo como un par ordenado seria: máx. = (0, 10)
Para x = 2, tenemos un mínimo = – 6
Escribiéndolo como un par ordenado seria: min = (2, – 6).
5.5 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Objetivos:
1. Hallara los intervalos en donde una función polinómica “y”, es creciente o decreciente FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
De acuerdo a su primera derivada una función es creciente, en un punto dado, si el valor de la
primera derivad es positivo, y es decreciente si el valor de la misma primera derivada es negativo en
ese punto dado.
Por ello el procedimiento para determinar los intervalos en que una función es creciente o
decreciente es el siguiente (en los primeros pasos es muy parecido a la obtención de máximos):
1. Se saca la primera derivada de la función.
2. Esta primera derivada se iguala a cero.
3. La ecuación igualada a cero se resuelve para x (generalmente por factorización). Tendremos así
los valores críticos y a partir de ellos formaremos intervalos (esta es la parte parecida a la obtención
de los máximos y mínimos).
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
74
4. Una vez localizados los valores críticos, formaremos intervalos de valores que estarán
delimitados por los valores críticos. La cantidad de intervalos que se formen dependerá de la cantidad
de valores críticos que tenga la función, por ejemplo, si tiene solo un punto crítico, formaremos dos
intervalos, si tiene 2 puntos críticos formaremos 3 intervalos si tiene 3 puntos críticos formaremos 4
intervalos y así sucesivamente. Otros ejemplos más prácticos son los siguientes:
A. Si tenemos un solo valor crítico, por ejemplo, en x =2, formaremos dos intervalos, uno que ser el
de los números menores de dos (x < 2) y el de los numero mayores de 2 (x > 2).
B. Si tenemos dos valores críticos, por ejemplo, en x = 2 y en x = 4, formaremos tres intervalos, el
primero lo formaran los números menores de dos (x < 2), el segundo lo formaran los numero que
están comprendidos entre el 2 y el 4 (2 < x < 4) y el tercero lo formaran los numero mayores de 4
(x > 4).
5. Una vez formados los intervalos vamos a tomar al azar un numero de cada intervalo y los
números seleccionados sustituimos en la ecuación de la primera derivada, para que de acuerdo al
resultado apliquemos los siguientes criterios:
D. Si el resultado de la sustitución del valor critico en la primera derivada es menor que cero, es
decir, es negativa, entonces en ese intervalo la función es decreciente.
E. Si el resultado de la sustitución del valor crítico en la primera derivada es mayor que cero, es
decir, es positiva, entonces en ese intervalo la función es creciente.
Ejercicios resueltos:
1. Determina los intervalos en los cuales la función 2x3xy 3 es creciente y decreciente.
Empezamos por sacar la primera derivada de la función
3x3y 2'
Ahora igualamos la 'y a cero y resolvemos la ecuación para hallar los valores críticos.
1x1x1x3
3x3x303x3 2222
En este caso no fue necesario factorizar, pero no se confíen, serán pocas las veces que no se
factorice.
Como los valores críticos son x = 1 y x = –1, entonces los intervalos que formaremos son:
X < –1, –1 < x < 1 y x > 1.
Seleccionemos ahora un valor de cada uno de los intervalos.
Para x < –1, usaremos x = –2, para –1 < x < 1, usaremos x = 0 y finalmente para x > 1, usaremos x
= 2.
Ahora vamos a sustituir los números seleccionados en la ecuación de 'y .
Sustituyendo x = –2
92y3122y3432y3232y '''' 2
El resultado es positivo así que la función es creciente en el intervalo x < –1
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75
Sustituyendo x = 0
30y3030y '' 2
El resultado es negativo así que la función es decreciente en el intervalo –1 < x < 1
Sustituyendo x = 2
92y3122y3432y3232y '''' 2
El resultado es positivo así que la función es creciente en el intervalo x > 1
5.6 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Objetivos:
1. Definirá los conceptos de arco cóncavo hacia arriba (cóncavo) y cóncavo hacia abajo (convexo)
y punto de inflexión.
2. Identificara las condiciones que debe de tener una función para ser cóncava o convexa en un
intervalo y para que exista un punto de inflexión
3. Hallara los intervalos de concavidad de una función polinómica dada.
4. Hallara el(los) punto(s) de inflexión de una función polinómica dada.
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.
Un arco de curva y = f(x) es cóncavo, si en cada uno de sus puntos está situado por encima de la tangente o si en algún intervalo determinado por los puntos de inflexión f’’(x) > 0.
un arco de curva y = f(x) es convexo, si en cada uno de sus puntos está situado por debajo de la tangente o si en algún intervalo determinado por los puntos de inflexión f’’(x) < 0.
Convexa cóncava
(máximo) (mínimo)
Es un punto en el cual la curva cambia de cóncava a convexa o viceversa. De acuerdo a la figura,
los puntos b,s y c son puntos de inflexión.
Los puntos de inflexión nos van a servir para determinar los intervalos de concavidad de la curva,
axial como también los puntos críticos o valores críticos que no sirvieron para determinar los máximos
y mínimos.
Una curva tiene un punto de inflexión si en ese punto f’’(x) = 0.
Para obtener el punto de inflexión de una curva, a la función se le saca su segunda derivada y se
iguala a cero, los valores de x que resuelvan a esta ecuación serán los valores críticos para los
puntos de inflexión y si sustituimos estos valores críticos en la función inicial, hallaremos los puntos
críticos de los puntos de inflexión.
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76
En la siguiente grafica se señalan donde se encuentran los máximos y mínimos relativos y el punto
de inflexión de una función cualquiera.
Donde:
A = máximo relativo
B = punto de inflexión
C = mínimo relativo
Por ello el procedimiento para determinar los intervalos en que una función es creciente o
decreciente es el siguiente (en los primeros pasos es muy parecido a la obtención de máximos):
1. Se saca la primera y la segunda derivada de la función.
2. Esta segunda derivada se iguala a cero.
3. La ecuación igualada a cero se resuelve para x (generalmente por factorización). Tendremos así
los valores críticos y a partir de ellos formaremos intervalos (esta es la parte parecida a la
obtención de los máximos y mínimos).
4. Una vez localizados los valores críticos, formaremos intervalos de valores que estarán
delimitados por los valores críticos. La cantidad de intervalos que se formen dependerá de la
cantidad de valores críticos que tenga la función, por ejemplo, si tiene solo un punto crítico,
formaremos dos intervalos, si tiene 2 puntos críticos formaremos 3 intervalos si tiene 3 puntos
críticos formaremos 4 intervalos y así sucesivamente. Otros ejemplos mas prácticos son los
siguientes:
A) Si tenemos un solo valor crítico, por ejemplo, en x =2, formaremos dos
intervalos, uno que ser el de los números menores de dos (x < 2) y el de los
numero mayores de 2 (x > 2).
B) Si tenemos dos valores críticos, por ejemplo, en x = 2 y en x = 4,
formaremos tres intervalos, el primero lo formaran los números menores de
dos (x < 2), el segundo lo formaran los numero que están comprendidos
entre el 2 y el 4 (2 < x < 4) y el tercero lo formaran los numero mayores de 4
(x > 4).
5. Una vez formados los intervalos vamos a tomar al azar un numero de cada intervalo y los
números seleccionados sustituimos en la ecuación de la segunda derivada, para que de acuerdo
al resultado apliquemos los siguientes criterios:
A. Si el resultado de la sustitución del valor critico en la segunda derivada es menor que cero, es
decir, es negativa, entonces en ese intervalo la función es cóncava hacia abajo.
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
77
B. Si el resultado de la sustitución del valor crítico en la primera derivada es mayor que cero, es
decir, es positiva, entonces en ese intervalo la función es cóncava hacia arriba.
Para hallar el punto de inflexión se sustituye el valor en que la segunda derivada dio cero (valor
critico) en la ecuación original, debemos de checar si en ese punto existe cambio de concavidad, si lo
hay entonces tenemos un punto de inflexión.
Ejercicios resueltos:
EJERCICIO 1 Calcula los intervalos en que la curva 1x6x3x2y 23 es cóncava hacia arriba y
cóncava hacia abajo.
Sacamos la primera y segunda derivada de la función.
6x6y6x6x6y1x6x3x2y ''' 223
Igualamos a cero esta ecuación y la resolvemos para hallar los valores críticos.
1x6
6x6x606x6
Como solo tenemos un valor crítico, solo formamos dos intervalos, x < 1 y x > 1.
Para verificar el intervalo x < 1, usaremos x = 0 y para verificar el intervalo x > 1, usaremos x = 2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la segunda derivada: 60y6060y ''''
El resultado nos queda negativo, eso quiere decir que la función es cóncava hacia abajo en el
intervalo x < 1, entonces 62y6122y6262y ''''''
El resultado nos queda positivo, eso quiere decir que la función es cóncava hacia arriba en el
intervalo x > 1
2. Determina el punto de inflexión de la función 7x2xy 34
Sacamos la primera y segunda derivada de la función.
x12x12yx6x4y7x2xy 22334 '''
Igualamos a cero esta ecuación y la resolvemos para hallar los valores críticos.
EL AMIGO LECTOR CONTINUARA EL EJERCICIO Y LLEGARA A LA RESPUESTA QUE ES: Las coordenadas de los puntos de inflexión son (0, –7) y (–1, –8)
Ejercicio 2: Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de f(x) = x3 – 3x + 2
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78
5.7REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.
Ejercicio 1: Representa la gráfica de la función f(x)=x3-6x2+9x+5.
1) Determinar si es continua
2) Si es simétrica con respecto al eje Y y con respecto al origen de coordenadas
3) Si tiene asíntotas
4) Cortes con el eje X y Y
5) Intervalos donde crece y decrece
6) Los puntos de máximo y mínimo relativo aplicando criterio de la primera derivada
7) Hallar los puntos de inflexión.
8) Hallar máximo y mínimo relativo analizando la segunda derivada
9) Determine el intervalo o los intervalos donde es cóncava hacia arriba o hacia abajo
10) Realice el grafico
Desarrollo
1) R/ f(x) es una función polinómica y todas las funciones polinómicas son derivables y por tanto
continuas en todo R.
2)Determinar si es simétrica con respecto al eje Y y con respecto al origen de coordenadas
F(-x) = (-X)3-6(-X)2+9(-X)+5=-X3-6X-9(X)+5 como f(x) f(-x) entonces no es simétrica con respecto al
eje Y y con respecto al origen tampoco es simétrica puesto que f(x) -f(x)
No es simétrica con respecto al eje Y y al origen de coordenadas
3) Determinar si tiene asíntotas:
R/ Al ser una función polinómica, no tiene asíntotas, pero podemos estudiar sus ramas infinitas, es
decir, calcular los límites de la función cuando x→-∞ y cuando x→+∞.
En este caso tenemos que y .
4) Puntos de cortes con el eje X y el eje Y. Para calcular los puntos de corte con los ejes hacemos lo
siguiente:
Punto de corte con el eje Y: x=0, f(0)=03-6·02+9·0+5=5. Luego f(x) corta al eje Y en el punto (0,5).
- Punto de corte con el eje X: f(x)=0; x3-6x2+9x+5=0.
Calcular las soluciones de esta ecuación de tercer grado no es sencillo, a no ser que tengamos una
calculadora gráfica o un programa como GeoGebra o conozcamos de métodos numéricos.
5) Intervalos donde crece y decrece: Para calcular donde crece y decrece hallamos los puntos críticos
y para eso hacemos la primera derivada: igual a cero
Estudiamos los valores donde se anula la primera derivada, es decir:
Los valores que anulan la primera derivada, en este caso son las soluciones de la ecuación de
segundo grado, . Y realizo una tabla de análisis
Intervalo Intervalo intervalo
)1;( (1,3) (3,∞)
Sea x=0 f/(x) =+9 positiva Sea x=2 f/(x)=-3 negativo Sea X=4 f/(x)=+9
Crece + Decrece- crece
6) Determine cuáles son los máximos y mínimos relativos aplicando criterios de primera derivada
Tomo los puntos críticos x=1 y x=3 y los reemplazo en la ecuación original obteniendo el punto (1,9)
si x= 3 entonces el punto es (1,5)
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79
Intervalo Intervalo Máximo
relativo
Intervalo intervalo Mínimo
relativo
)1;( (1,3) (1,3) (3,∞)
Sea x=0 f/(x)
=+9 positiva
Sea x=2
f/(x)=-3
negativo
[1;9] Sea x=2
f/(x)=-3
negativo
Sea X=4
f/(x)=+9
[3;5]
Crece + Decrece- [1;9] Decrece- Crece + [3;5]
7) Hallar puntos de inflexión. Se hace la segunda derivada igual a cero
entonces f//(x) =6x-12 y como f//=0 entonces 6x-12= 0 entonces x=2 lo sustituyo en f(x)=x3-6x2+9x+5. Haciendo x=2 o sea que f(2) = 7 o sea que el punto de inflexión es
(2;]7)
8) Determine el máximo y el mínimo relativo a través del análisis de la segunda derivada
Tenemos a y a como candidatos a máximos y mínimos.
A continuación, calculo la segunda derivada: .
Sustituyo los valores candidatos en la segunda derivada y observo si el resultado es mayor o menor
que cero.
Como la segunda derivada en x=1 es negativa, tenemos un máximo en el punto (1, f (1)) = (1,9).
Como la segunda derivada en x=3 es positiva, tenemos un mínimo en el punto (3, f (3)) = (3,5).
9) Hallar la concavidad
Como solo tenemos valores crítico, solo formamos
intervalos, x < 1; 1<x<3 ; y x > 3
Para verificar el intervalo x < 1, usaremos x = 0 y
para verificar el intervalo x > 1, usaremos x = 2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la
segunda derivada:
f//(x)=6(0)-12=-12
El resultado nos queda negativo, eso quiere decir que la función es cóncava hacia abajo en el intervalo
x < 1
En el intervalo de 1 a 3 tomaremos x=2,5 y lo
reemplazo en la segunda derivada
f//(2)= 6(2,5)-12 =14-12=2
Como el resultado nos queda positivo, eso quiere decir que la función es cóncava hacia arriba en el
intervalo1<x<3 y si x>3 tomo x=4 entonces f(4) =6(4)-
12 o sea es cóncava hacia arriba.
10) Realizar el grafico
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80
Ejercicio 2: Representa la función 593)( 23 xxxxf , indicando:
a) Los puntos de intersección con los ejes.
b) Los puntos singulares o críticos
Solución:
a) Los puntos de intersección con los ejes.
Corte con el eje OX: 593)( 23 xxxxf =0 | 1 3 -9 5
1 |___1__4_-5
| 1 4 -5 |0
1 |___1__5_
1 5 |0
593)( 23 xxxxf =(x-1)(x-1)(x+5)x=1(doble); x=-5 )0,1(1P ; P2(-5,0)
Corte con el eje OY: x=0 )5,0(550.90.30)0( 3
23 Pf
b) Los puntos singulares o críticos
0963)(' 2 xxxf2
42
2
1242032)(' 2
xxxxf ; x=-3; x=1
)32,3(3252727275)3(9)3(3)3()3( 23 Pf
)0,1(051.91.31)1( 23 Pf
AMIGO LECTOR OBSERVA LA GRAFICA Y DETERMINA
a) En que intervalos crece y decrece
b) Encuentre los máximos y mínimos relativos analizando la segunda derivada
c) Hallar los puntos de inflexión
d) Determinar los intervalos de concavidad
e) Ubica en la gráfica los máximos y mínimos relativos, el punto de inflexión y verifica si la gráfica
dada es correcta
5.8 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
Los siguientes problemas resueltos son problemas de optimización mediante cálculo diferencial básico. Para resolverlos, se precisa derivar y aplicar el criterio de la primera derivada.
Para resolver los siguientes problemas optimización de cálculo diferencial básico, utilizaremos el siguiente método:
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81
1. Plantear la función ff que debe optimizarse (maximizar o minimizar). 2. Calcular la derivada de la función ff. 3. Buscar los puntos críticos de ff igualando a 0 la derivada f′f′.
EJEMPLO1: Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.
Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L debe medir entre 2 y 3 cm (2≤L≤3).
Solución
Si a es el ancho de la caja, h es su altura y p es su profundidad, entonces su volumen es
Al cortar los cuatro cuadrados de lado L, el ancho de la caja es
La profundidad es
Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado:
Luego el volumen de la caja en función de L es (paso 1)
Derivamos la función volumen (paso 2):
Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos (paso 3):
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82
Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los intervalos (paso 4):
Escogemos los puntos x=1 del primer intervalo, x=3 del segundo intervalo y x=8 del tercero:
Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en el segundo y creciente en el tercero:
Pero el lado L debe medir entre 2 y 3, es decir, debe ser
Como en el intervalo [2.11,3] la función es decreciente, el volumen será máximo para L=2.11cm, Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser
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83
Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen es 192.45cm192.45cm2.
Ejemplo 2 Las ganancias diarias en miles de dólares de una empresa petrolera son
si 0≤x<150
si 15≥x siendo x el número de barriles de 1000L que se producen. Calcular cuántos barriles deben producirse para maximizar las ganancias teniendo en cuenta que no se pueden extraer más de 35000L diarios.
Calculamos la derivada de las dos funciones:
Igualamos ambas funciones a 0 para buscar los puntos críticos:
Representamos la recta real y los tres puntos críticos y estudiamos el signo de la derivada (teniendo en cuenta que en x=15 cambia la función, por lo que añadimos también este punto):
Para estudiar el signo tomamos los puntos arbitrarios 5, 10, 16, 25 y 32:
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84
Luego, de izquierda a derecha, la función es creciente, decreciente, creciente, decreciente y creciente.
Los puntos críticos x=8 y x=20 son máximos, pero tenemos que tener en cuenta que a partir de x=30 la función es creciente. Como no se pueden extraer más de 35000L diarios, debemos exigir que x≤35.
Al ser la función creciente en el intervalo [30,35] , también tenemos que considerar x=35 como un máximo. Al tener tres máximos, debemos calcular el valor de la función en cada uno de ellos para escoger el mayor:
Por tanto, las ganancias son máximas cuando se producen 20 ó 35 barriles.
TOMADO DE : https://www.matesfacil.com/BAC/optimizar/problemas-resueltos-optimizar-
extremos-maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html
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85
ZONA DE DESCANSO 4
NOTAS DE GRANDES MATEMATICOS
Évariste Galois nació en Bourg-la-Reine, una ciudad a las afueras de París. Siendo todavía
estudiante del Louis-le-Grand, Galois logró publicar su primer trabajo (una demostración de
un teorema sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dio con la clave para
resolver un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo
(las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin embargo, sus
avances más notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teoría nueva cuyas
aplicaciones desbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de
grupos.
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
George Boole [buːl] (Lincoln, Lincolnshire, Inglaterra, 2 de noviembre de 1815 -
Ballintemple, Condado de Cork, Irlanda, 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y lógico
británico. Como inventor del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética
computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las
Ciencias de la Computación
TOMADO DE https://es.wikipedia.org/wiki/George_Boole
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86
RESUMEN DEL TUTORIAL DERIVANDO CON MATECHO -TUTORIALWEB
RESUMEN DE FORMULAS
1) 0Cdx
d ; Si c = constante f1
La derivada de una constante es igual a cero. 2) 1xdx
d f2
La derivada de x con respecto a x es igual a la unidad. 3) CCxdx
d (f3)
La derivada de una constante, multiplicada por la variable x elevada a la uno, con respecto a x,
es igual a la constante. 4) 1nn nxx
dx
d f4
La derivada de x elevada a una potencia n, con respecto a x, es igual al producto de n por x
elevada a la n – 1. 5) 1nn nCxCx
dx
d f5
La derivada de una constante multiplicada por x elevada a la n, es igual al producto de n por la
constante por x elevada a la n – 1.
6) ...(v)dx
d(u)
dx
d...)v(u
dx
d (suma y resta) f6
Para hallar las derivadas de funciones que nada más realizan operaciones de suma y resta, lo
único que tenemos que hacer es: sacar por separado la derivada de cada uno de los términos
de la función.
7) (u)dx
dv(v)
dx
du(uv)
dx
d (multiplicación) f7
La primera sin derivar por la derivada de la segunda más la segunda sin derivar por la derivada
de la primera también se puede decir la derivada de la primera por la segunda sin derivar mas
la derivada de la segunda por la primera sin derivar, o sea
uvdx
dvu
dx
dvu
dx
d
)().( ENTONCES
8)
0v,
v
(v)dx
duu
dx
dv
v
u
dx
d
2
(división) f8
La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador sin derivar
menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar todo lo anterior sobre el
cuadrado del denominador
9)REGLA DE LA CADENA
a) (u)dx
dmu)(u
dx
d 1mm (potencia) f9 regla de la cadena
Se dice que es la derivada de parte externa por la derivada de la parte interna
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87
b) APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA EN FUNCION DE U
Este tipo de derivadas relacionan a dos funciones dependientes que se tienen que derivar al
mismo tiempo. Estas funciones las vamos a denominar como la función u y la función y.
Como se dijo al principio, estas dos funciones son dependientes, la función u es dependiente
de la variable x mientras que la función y de la función u.
La fórmula para resolver una derivada de función de función es la siguiente:
dx
du
du
dy
dx
dy
10) FORMULAS DE ALGUNAS DERIVADAS TRASCENDENTALES
1) Derivada de un logaritmo común en cualquier base
1a,0aQUESIEMPRE
elogu
udx
d
)u(logdx
daa
2) Derivada de un logaritmo natural
u
dx
d
u
1)uIn(
dx
d
3)Si la función es de tipo exponencial de base a. la fórmula que usaremos es
u
dx
daIna)a(
dx
d uu, que también la podemos expresar de la forma: aInau
dx
d)a(
dx
d uu
,
de preferencia podemos mandar el termino
u
dx
d de todas las fórmulas de derivación
trascendente al principio, pues de todas maneras al sustituirlas el último paso siempre es
mandar la expresión
u
dx
dal principio de la derivada, de aquí en adelante todas las fórmulas
de derivación ya tendrán este cambio cuando la mencionemos.
4) Si la función es de tipo exponencial de base e. la fórmula que usaremos es
uu eudx
d)e(
dx
d
11) FORMULAS TRIGONOMETRICAS
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88
12) FUNCIONES INVERSAS
13)PROBLEMAS DE OPTIMIZACION: Se recomienda mirar la pagina
http://www.daviddelgado.blogsek.es/files/2017/05/Problemas-de-Optimizacion-MAT-
1BAT.pdf cuyo objetivo es que el lector profundice en análisis de problemas de optimización.
ACERTIJOS
1) El alcalde de una cárcel informa que dejara salir de la prisión a una persona al azar para celebrar que hace 25 años que es alcalde. Eligen a un hombre y le dicen que quedara libre si saca de dentro de una caja una bola blanca, habiendo dentro 9 bolas negras y solo 1 blanca. El prisionero se entera por un chivatazo que el alcalde pondrá todas las bolas de color negro, al día siguiente le hace el juego, y el prisionero sale en libertad. ¿Cómo ha conseguido salir de la cárcel si todas las bolas eran negras? 2) Un lechero tiene un cántaro de 8 litros lleno de leche, y dos más de 5 y de 3 litros. Un cliente le pide exactamente 4 litros. ¿Cómo puede calcular los cuatro litros y dárselos en el cántaro de 5 litros?
3) Tres hermanos se reparten la herencia de su padre que está formada por 35 caballos y en el testamento el padre dejo escrito que el mayor se quedara con la mitad de la herencia, el mediano con la tercera parte y el más pequeño con la novena parte Como las divisiones no eran exactas estos no se ponían de acuerdo, por lo que decidieron consultar con un viejo matemático que les propuso lo siguiente: Puesto que 35 caballos no se pueden dividir exactamente por la mitad, ni por la tercera parte ni por la novena, yo os regalo el mío, ahora tenéis 36 caballos por lo que los tres saldréis ganando. Tu por ser el mayor te llevaras la mitad de 36, es decir 18 caballos. Tu por ser el mediano la tercera parte, 12 caballos. Y tu por ser el pequeño según los deseos de tu padre, la novena parte, 4 caballos. Ahora ya tenéis los tres vuestra herencia, y como 18+12+4=34 ahora sobran dos caballos, por lo que yo recupero el mío y me quedo también con el otro por resolver vuestro problema. ¿Cómo es esto posible?
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89
ZONA DE EJERCICIOS
1) ZONA DE EJERCICIOS RESUELTOS CON FORMULA Y DIRECTOS
APLICACIÓN DE LAS FORMULAS DE DERIVADAS
Derivada de una función potencial: Forma simple, en algunas se saltan pasos. Por favor descubrir y
escribir los procesos que faltan para llegar a la solución.
POTENCIAS
Sigue recordando:
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
)()( xgxfy )´()´(´ xgxfy
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las
funciones
Ejercicio nº 1) Sol
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
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90
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
)()( xgxfy )´().()().´(´ xgxfxgxfy
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por
la segunda función más la primera función por la derivada de la segunda función
Ejercicio nº 1) Solución:
Ejercicio nº 2) Solución:
)(
)(
xg
xfy
)(
)´().()´().(´
2 xg
xgxfxfxgy
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del
numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la
función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 1) Solución:
Ejercicio nº 2) RESOLVER
Solución:
DERIVADAS CAMBIANDO VARIABLE Y APLICANDO FORMULAS
AVISO
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que estamos
representando es una función que depende de la variable x, y que realmente se debe escribir
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple. Realizar el ejercicio identificando u
xuy ln u
uy
´´
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91
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la
función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
LOGARITMOS
Recuerda de la ESO:
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo
de a
Aplique primero la propiedad anterior y luego derive y si la respuesta tiene exponentes negativos se
invita al lector buscar la operación correspondiente que elimine ese exponente negativo simplificando
la respuesta hasta donde sea posible
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE E: FORMA COMPUESTA xuey
xueuy ´
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a
dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función. Derivar hallando u
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
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92
DERIVADAS
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL: Derivar identificando a u
Ejercicio:1
1142.)1(7)´(:
1)(
262
72
xxxxxfSolución
xxf
Ejercicio:2
8/78/1
8
1)´(;:
)(
xxfxxfSolución
xxf
Ejercicio:3
)24(2)12cos().12(412cos.2.12.2)´(:
12)( 2
xsenxxsenxxsenxfSolución
xsenxf
Ejercicio:4
)(
)cos()24(cos.12..2)´(:
)(
23
2232
22
xxsen
xxxxxxxxsenxfSolución
xxsenxf
Ejercicio:5
Ejercicio:5
13cos13cot2
313cos313cot
2
1)´(:
13cot)(
22
1
22
1
2/1
xecxgxecxgxfSolución
xgxf
Ej
Ejercicio:6
xecxgxecxgxfSolución
xgxf
22
3
22
3
2/1
coscot2
1coscot
2
1)´(:
cot)(
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: Derivar
Ejercicio 1:
Solución:
Ejercicio 2.
Solución:
rxuyr
1´´
rxuuy
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93
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE EL NÚMERO E
Ejercicio1.
Solución1:
Ejercicio2.
Solución2:
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE DISTINTA DEL NÚMERO E
Ejercicio1.
Solución1:
Ejercicio2.
Solución2:
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO SENO
Derivar Ejercicio:1
6lncos.6
1)´(:
6ln)(
xx
xfSolución
xsenxf
Ejercicio:2
tgxx
xfSolución
xtgsenxf
cos.cos
1)´(:
)(
2
Ejercicio:5
7272462
6272724
725
1cos1.170
2171cos.15)´(:
1)(
xxsenxx
xxxxsenxfSolución
xsenxf
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO COSENO
Derivar
Ejercicio:1
222
22
22
63263663)63cos().63(12
63363263cos.2)´(:
63cos)(
xsenxxsenxx
xsenxxxfSolución
xxf
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94
Ejercicio:2
xxsenxx
xxfSolución
xxxf
2
2
2
4ln.4
18)´(:
4lncos)(
Ejercicio: 3
4444
4
2222
2
33323.33.2)´(:
3cos)(
xxxx
x
senxLsenLxxfSolución
xf
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO TANGENTE: Derivar
Ejercicio1.
Solución:
Ejercicio2.
Solución:
Ejercicio3.
Solución:
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO COTANGENTE: Derivar
Ejercicio:1
xecxgxfSolución
xgxf
2cos222cot1)´(:
2cot)(
22
Ejercicio:2
726726
7
63cos632163cos3637)´(:
63cot)(
xecxxecxxfSolución
xgxf
Ejercicio:3
223
2
cos2)´(:
cot)(
xecxxfSolución
xgxf
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TIPO ARCO SENO: Derivar
Ejercicio 1.
Solución2:
Ejercicio 2.
Solución3:
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95
ZONA DE EJERCICIOS RESUELTOS DE GRAFICAS
Ejercicio
Los ejercicios de funciones que están a continuación se deben hallar.
a. Dominio b. Extremos o puntos crít icos c) La monotonía es decir en que
intervalos es creciente o decreciente d) La gráfica de la función
GRAFICAR
Dominio: Puesto que la función es polinómica, el dominio es todos los reales: x∈R
Extremos: La derivada es
Buscamos los puntos que anulan la derivada
Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es
El signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada es
Puesto que se trata de una parábola, el mínimo, que corresponde al vértice, es un mínimo absoluto.
Monotonía:
Estudiamos el signo de la primera derivada en
Escogemos cualquier punto de cada uno de los intervalos
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96
La función es decreciente en el primer intervalo y creciente en el segundo.
La gráfica de la función es
2. GRAFICAR
Dominio: Puesto que la función es polinómica, el dominio es todos los reales.
Extremos: Desarrollamos el producto para calcular la derivada:
Buscamos los puntos que anulan la derivada (puntos críticos)
ESTIMADO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LOS PUNTOS CRÍTICOS
SON
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97
Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es
Estudiamos el signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada son
Los extremos son relativos (no absolutos) ya que la función no está acotada (los límites de la función
son infinito).
Monotonía
A la izquierda del mínimo y a la derecha del máximo la función es decreciente (derivada primera
negativa).
A la derecha del mínimo y a la izquierda del máximo la función es creciente (derivada primera
positiva).
Podemos estudiar el signo en los intervalos que en los que dividen los extremos el dominio de la
función para comprobarlo.
La gráfica de la función es
3) GRAFICAR
Dominio: Puesto que es una función racional, el dominio son todos los puntos que no anulen el
denominador. Éstos son
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98
Por tanto, el dominio es
Extremos: La derivada es
Buscamos los puntos que anulan la derivada
Estudiamos si los puntos críticos son extremos.
AMIGO LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y ENCONTRARAS QUE LA SEGUNDA DERIVADA ES
Y EL LECTOR CONTINUA EL EJERCICIO Y ENCONTRO QUE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN ES
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99
4) GRAFICAR
Dominio: Puesto que la función es polinómica, el dominio es todos los reales.
Extremos: La derivada es
Buscamos los puntos en los que se anula
Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es
El signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada son
No es un mínimo absoluto ya que cuando x >1 la función decrece y no está acotada.
Para saber si x = 1 es un extremo, estudiamos la monotonía en sus lados.
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100
Monotonía: Estudiamos el signo de la primera derivada en
Por tanto, en x = 1 hay un máximo, que no es absoluto ya que
La gráfica de la función es
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101
CUADERNILLO DE DERIVADAS PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO DERIVANDO CON CIR ( MATECHO )
102
DERIVADAS USANDO LA TABLA Ejemplos básicos de aplicación de la tabla:
Función constante: f(x)=k siendo k un número real, f’(x)=0
Función Identidad: f(x)=x ; f’(x)=1
Producto por una constante: (a f(x))’= a f’(x)
Potencial simple: f(x)=xa ; f’(x) = a xa-1
Aplicamos la Regla de la Cadena, desde la estructura más exterior a la más interior,
obteniendo f’(x)=8x3
Como son sumas y restas de funciones, derivamos cada uno de los sumandos
Preparamos la función expresándola en forma de potencia
Como las raíces son potencias, podemos derivarla aplicando la fórmula de la derivada de una
raíz o pasarlas a potencia y derivarlas como una potencia.
Como raíz
Como potencia
Derivadas de Funciones Compuestas
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103
Transformamos la función en
Tipo Irracional
Tipo Exponencial
Tipo Logarítmico
CUALQUIER BASE:
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104
TRIGONOMÉTRICAS
ARCO SENO Y ARCO COSENO, SÓLO SE DIFERENCIAN EN EL SIGNO DE LA DERIVADA.
ARCO TANGENTE
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105
TIPO EXPONENCIAL
Tipo potencial-exponencial, una función f elevada a otra función g, se resuelven tomando
logaritmos neperianos y derivando los dos miembros de la expresión resultante. Escribimos
y=f(x) para una mejor comprensión.
Tomando logaritmos nos queda
TIPO FUNCION COMPUESTA
AMIGO LECTOR REALIZA EL EJERCICIO Y LLEGARAS A LA RESPUESTA DADA.
A)
B) Solución
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ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTA- ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTA
Amigo lector deberás realizar un proceso correcto para obtener la respuesta
EJERCICIO 1: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) x
xxf1
)( 3 b) 323
3)(2
3 xx
xxg
c) 3
2
3
2
5
3)(
25
xx
xh d) xxx
xi32
2
1)(
3
SOLUCION
a)2
2 13)('
xxxf b) 2
3
29)(' 2 xxxg
c) 3
43)(' 4 x
xxh d) xxxx
xs2
36
2
1)('
42
EJERCICIO 2: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) xxxf ln.)( 4 b) xxxg cos.)( c) 13
3)(
x
xxh d)
1)(
x
xxi
SOLUCION
a) 33 ln.4)(' xxxxf b)
x
senxxxxg
2
.2cos)('
c) 2)13(
3)('
xxh d)
2)1(2
1)('
xxxi
EJERCICIO 3
Hallar la derivada
1) R/ f/(x)=
2) R/
3) R/
EJERCICIO 4: DERIVA LAS FUNCIONES EXPONENCIALES:
R/
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2. R/
3. R/
4. R/
EJERCICIOS 5
CALCULA LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS:
1) R/
2) R/
3) R/
4) R/
5) R/
6) ) RECORDAR QUE XSECXTAN 221
R/
EJERCICIOS 6:
CALCULA LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
1)
R/
2) R/
3) R/
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4) R/ f/(x)=
5) R/
6) R/ f/(X)=
7) R/ f/(x)=
EJERCICIO 7: Calcula la derivada de las funciones t r igonométr icas inv ersas:
1) R/
2) R/ f/(x)=
3) R/ / f/(x)=
EJERCICIO 8
DERIVAR POR LA REGLA DE LA CADENA LAS FUNCIONES
RECORDAR QUE XSECXTAN 221
1) xxf sec)(/
2)
R/
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EJERCICIO 9: DERIVA LAS FUNCIONES POTENCIALES-EXPONENCIALES:
1)
R/
2)
R/
3)
R/f/(x)=
Ejercicio 10. Deriv ar implíci tamente:
1) R/
2)
R/
Ejercicio 11
a) Calcular la deriv ada de la función f (x ) = x ² + 4x − 5 en x = 1.R/6
b) Calcular deriv ada de f (x ) = x ² − x + 1 en x = −1, x = 0 y x = 1.
R/ f ' (−1) = 2(−1) − 1 = −3 f ' (0) = 2(0) − 1 = −1 y f ' (1) = 2(1) − 1 = 1
Ejercicio 12
Graficar aplicando los criterios de la primera y segunda derivada
1) f(x) = x³ − 3x + 2 R/ Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
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2) R/ Máximo (− 1, − 2) Mínimo (1, 2)
3)
R/ Máximos: (− 1, − 13) , (2, − 13) Mínimo (0, 3)
4)
R/
5)
R/
13) EJERCICIOS CON RESPUESTA DE LA RECTA TANGENTE Y LA NORMAL
Amigo lector al resolver el ejercicio confróntala con la respuesta dada
1) Dada la parábola f(x) = x², hal lar los puntos en los que la recta
tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
R/
2) Dada la curv a de ecuación f (x ) = 2x² − 3x − 1, hal la las coordenadas de los
puntos de dicha curv a en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de
45° R/
3) Determinar los v alores del parámetro b, para qué las tangentes a la curv a de la
función f (x ) = b²x ³ + bx² + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean
paralelas. R/ b = 0 b = −2/9
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4) Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX. R/A (3, −22) B (−1, 10)
5) Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hal lar el punto de tangencia. R / (1, 1)
6) Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x³ + 13x² + x +1, para
los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX
R/P (0, 4) Q (−2, 4) R (13/4, 1621/256)
7) Hal lar el área del t r iángulo determinado por los ejes de coordenadas y la
tangente a la curv a xy = 1 en el punto x = 1.
8) Dada la ecuación 9x²+ y²= 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea
paralela a la recta de ecuación 3x − y + 7 = 0.
R/
9) ¿En qué punto de la curv a y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une
los puntos (1, 0) y (e, 1)? Sugerencia: La pendiente de la cuerda t iene que ser
igual a la deriv ada de la función.
R/
10) Dada la función f (x ) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que
la curv a pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a el las en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas a los ejes de abscisas. R/a = − 2 /9 b = −
1 /3 c = 4/3 d = 31/9
EJERCICIO 14 : ZONA DE EJERCICIOS CON RESPUESTA PARA PROBLEMAS
DE RAZON DE CAMBIO
1) Un avión vuela por una trayectoria que le llevará a la vertical de una estación de radar. Si S está
creciendo a razón de 400 millas/h cuando s=10 millas, ¿Cuál es la velocidad del avión? R/
dx/dt=500millas /hora
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2) En un laboratorio estudian el comportamiento de una partícula. Los científicos han encontrado que
la velocidad de la partícula la pueden describir mediante la función: v(x)=3x5+8x3+3x-2-1/2x-3 donde x
es el tiempo en segundos. Tomando en cuenta que la derivada de la función v(x) es igual a la función
de la aceleración de la partícula, ¿Cuál será la aceleración de la partícula a los 2 segundos?
R/335.3437mts/seg2
3) Un globo se está inflando con una bomba que le inyecta aire. Considerando que el globo tiene
una forma esférica, ¿cómo crece el volumen del globo cuando su radio es de 3 cm? R/ En
palabras, el volumen del globo crece 36 cm por cada centímetro que crece el radio del
globo cuando éste es de 3 cm.
4) Un pueblo con 50 personas de población tiene un almacén de agua potable de 120,000 litros. Se
espera que no llueva sino hasta dentro de 4 meses. Si cada persona utiliza 80 litros de agua potable diariamente para sus necesidades básicas (lavar ropa, trastos, bañarse, etc.) pero el sistema de tuberías que usan se daña con el tiempo y eso ocasiona fugas de agua potable, además de la que se evapora al ambiente de manera natural. Ellos han calculado que el volumen de agua que se descarga del almacén diariamente se puede calcular con la fórmula:
donde es el número de litros de agua y es el tiempo medido en días. ¿A qué rapidez disminuye el
volumen de agua a los 25 días? R/ En palabras, el día 25 utilizan 4,002.5 litros de agua por día.
EJERCICIO 15
ZONAS DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
1) Obtener el t r iángulo isósceles de área máxima inscr i to en un círculo de radio
12 cm.
R/
2) Un tr iángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira al rededor de su al tura
engendrando un cono. ¿Qué v alor debe darse a la base para que el
volumen del cono sea máximo? R/
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3) Se pretende fabricar una lata de conserv a ci l índr ica (con tapa) de 1 l i t ro de
capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se ut i l ice el mínimo
posible de metal?
R/
4) Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del
cuadrado del pr imero más el séx tuplo del cuadrado del segundo sea un
mínimo.
R/
5) Se t iene un alambre de 1 m de longi tud y se desea div idi rlo en dos t rozos
para formar con uno de el los un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longi tud que se ha de dar a cada uno de los t rozos para que la
suma de las áreas del cí rculo y del cuadrado sea mínima.
R/
EJERCICIO 16
ZONAS DE GRAFICAS
GRAFICAS APLICANDO CRITERIOS DE LA DERIVADA: EL LECTOR DEBERA APLICAR LOS
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA Y VERIFICAR EL GRAFICO QUE DAN
COMO RESPUESTA.
AYUDA: https://www.matesfacil.com/resueltos-extremos.htm
Función 1:
R/
R/
Función 2
R/
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Función 3
R/ La gráfica de la función es
ACERTIJO
Tres hermanos se reparten la herencia de su padre que está formada por 17 vacas y en el testamento el padre dejo escrito que el mayor se quedara con la mitad de la herencia, el mediano con la tercera parte y el más pequeño con la novena parte
Como las divisiones no eran exactas estos no se ponían de acuerdo, por lo que decidieron
consultar a matecho que les propuso lo siguiente:
Puesto que 17 vacas no se pueden dividir exactamente por la mitad, ni por la tercera
parte ni por la novena, yo os regalo el mío, ahora tenéis 36 vacas por lo que los tres
saldréis ganando. Tu por ser el mayor te llevaras la mitad de 18, es decir 9 vacas. Tu por
ser el mediano la tercera parte, vacas es decir 6. Y tú por ser el pequeño según los
deseos de tu padre, la novena parte, 2 vacas.
Ahora ya tenéis los tres vuestra herencia, y como 9+6+2 ahora sobra una vaca, por lo
que yo recupero el mío y me quedo también con el otro por resolver vuestro problema.
¿Cómo es esto posible?
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ZONA DE EJERCICIOS DE DERIVADAS SIN RESPUESTA
Aquí hallaras la respuesta y tu conocimiento dirá si tu respuesta es correcta o no
NOTAS HOMBRES MATEMATICAS
LEIBNITZ- el padre del calculotz-
DIOFANTO fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos
GAUUS fue el primero en utilizar el nombre de números complejos. Gauss define las matemáticas como la reina de las ciencias, y la aritmética como la reina de las matemáticas. Desde joven hizo grandes descubrimientos matemáticos escribiendo su primera obra a los 21 años. Antes de los 24 introdujo la constante gravitacional gaussiana, transformándose en uno de los genios matemáticos de la historia.
GALILEO GALILEI nació en pisa (italia), el 15 de febrero de 1564. galileo fue el pionero del método científico experimental y el primero en utilizar un telescopio refrector, con el que hizo importantes descubrimientos astronómicos.
Leonhard Euler: Es considerado el matemático más grande de la historia por introducir la notación matemática y el concepto de función
TOMADO DE https://www.vix.com/es/btg/curiosidades/5200/los-10-matematicos-mas-
grandes-de-la-historia
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2) Hallar la derivada de:
3) Hallar la derivada de
a) b) c)
d) e)
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EJERCICIO 8
Derivar implicitamente
EJERCICIO 9
Resolver
1) Determine la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a. 525163)( 34 xxxxf b. 52 8516)( xxxf c. )83()( 2 xsenxf
d. 2
4 153)(
x
xxf
e. xxxf cos)( 2 f. ))1(tan()( 2 xsenxf
g. x
xxxf
15)(
23 h. )cos(1)53()( 2xxxxf i.
x
senxxxf
tan)(
3
2) Encuentre una ecuación para la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en el
origen.
3) Un rectángulo tiene lados x y y . Si y depende de x de la siguiente forma: 212 xy y a
los t segundos 2/1)( ttx ,
a. Encuentre la tasa de variación instantánea del área del rectángulo a los 25 segundos,
utilizando la regla de la cadena.
b. Determine la función que dé el área del rectángulo en función del tiempo. Determine con esta
función la tasa la de variación instantánea del área a los 25 segundos.
4) Una piscina de base rectangular con área 482m y profundidad 8m, comienza a llenarse con
rapidez constante. La altura de lo que falta por llenar se modela mediante la función tth
5
18)( ,
t en horas.
a. Determine la función )(tQ que mide los metros cúbicos que faltan por llenar.
b. Encuentre la tasa de variación instantánea de las funciones )(th y )(tQ al cabo de 5 horas.
c. ¿Qué relación existe entre las funciones derivadas de )(th y )(tQ ?
5) Si la recta tangente a )(xfy en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentre )4(')4( fyf
6) Grafique una función para la cual 1)2('0)1(',3)0(',0)0( fyfff
7) Si xxxf 53)( 2 encuentre )2('f y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la
función en el punto (2,2)
8) Para las siguientes funciones halle dx
dy y calcule la derivada en el punto que se indica
)1,1(;2))1,2(;4))(())1,8(;5) 3323
2
3
2
xyyxcxyxyxbyxa
9) Probar que la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente a una curva) en cualquier punto
de la circunferencia 222 ryx pasa por el origen.
10) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia 2522 yx en los
puntos (4,3) y (-3,4)
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11) DERIVE IMPLICITAMENTE
6)
12) En los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función que se indica aplicando la regla de
la cadena:
13) En los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la función dada
EJERCICIO 10
REGLA DE LA CADENA
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12)
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EJERCICIO 11 Hallar la segunda derivada la función dada y simplificar el resultado hasta donde sea posible.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7 8.
9. 10.
11. 12.
13 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
EJERCICIOS 12
Encontrar
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
EJERCICIO 13
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Encontrar la derivada de la función dada:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
EJERCICIO 14
Resolver ejercicios de la ecuación de la recta tg a la curva
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1) La gráf ica de la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13).
siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectr iz del
pr imer cuadrante. Hal lar el valo r numérico de a, b y c.
2) Hal lar los coef icientes de la ecuación y = ax² + bx + c, sabiendo que su gráf ica
pasa por (0, 3) y por (2, 1). , y en este úl t imo punto su tangente t iene de pendiente
3.
3) Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la c urv a f (x ) = ln tg 2x en
el punto de absci sa: x = π/8
4) Dada la función f (x ) = tg x, hal lar el ángulo que forma la recta tangente a la
gráf ica de la función f (x ) en el origen, con el eje de abscisas.
5) Dada la ecuación 9x² + y²= 18, hal lar la ecuación de la recta tangente
que sea paralela a la recta de ecuación 3x − y + 7 = 0.
EJERCICIO 15
PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
1) Hal lar las dimensiones del mayor rectángulo inscr i to en un t r iángulo
isósceles que t iene por base 10 cm y por al tura 15 cm.
2) Hal lar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que
t iene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su v olumen ha de
ser 9 m³, su al tura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para
la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared later al
3)Recortando conv enientemente en cada esquina de una lámina de
cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y
doblando conv enientemente, se construye una caja. Calcular x para
que v olumen de dicha caja sea máx imo.
4) Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes
superior e inferior de 2 cm de al tura y márgenes laterales de 1 cm de
anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la
superf ic ie del papel .
5) El benef icio neto mensual , en mi l lones de euros, de una empresa q ue
f abr ica autobuses v iene dado por la función:B(x)= 1.2x − (0.1x)³ donde
x es el número de autobuses fabricados en un mes. a) Calcula la
producción mensual que hacen máx imo el benef icio. b) El benef icio
máx imo correspondiente a dicha producción.
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EJERCICIO 16
GRAFICAR APLICANDO CRITERIOS DE PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA
Función 1 Función 2
Función 3. Función 4.
NOTAS DE HOMBRES MATEMATICOS
Pitágoras de Samos: Es uno de los grandes matemáticos de la Grecia moderna que vivió del 570 a 495 AC. Es conocido por haber creado el teorema de Pitágoras y la trigonometría
Andrew Wiles :. El Último Teorema de Fermat que probó Wiles dice que ningún positivo entero puede satisfacer la fórmula a^n+b^n=c^n siendo n más grande que 2.
Isaac Newton y Wilhelm Leibniz; Se dice que Newton es el inventor del cálculo debido a su obra Principia Mathematica, pero a veces se le da el crédito a Leibniz,
Leonardo Pisano Blgollo: Vivió desde el 1170 al 1250 y es conocido por introducir la serie Fibonacci
Alan Turing: Creó el test Turing que todavía se utiliza para evaluar la inteligencia de las
computadoras.
René Descartes: Conocido por su frase “Cogito Ergo Sum” (Pienso, luego existo), fue un filósofo, físico y matemático francés. Desarrolló la geometría cartesiana y su uso del álgebra.
Euclides: Vivió alrededor del 300 AC y es considerado el padre de la geometría.
Bernhard Riemann: Si bien es conocido por varios teoremas que llevan su nombre, el más famoso es la Hipótesis de Riemann, un problema sobre la distribución de los números primos.
TOMADO DE https://www.vix.com/es/btg/curiosidades/5200/los-10-matematicos-mas-
grandes-de-la-historia
NOTAS DE MUJERES MATEMATICAS HIPATÍA Nació alrededor del año 370 y murió en el 415 d.C. Hipatía hija de Teón, uno de los
hombres más sabios de Alejandría, es la primera mujer nombrada en la historia de las matemáticas.
Hipatía es recordada por sus comentarios acerca de la obra de Arquímedes, y por haber remplazado
a su padre en su cátedra en la escuela de Alejandría.
Así pues, en el año 415 fue martirizada y asesinada por un grupo de cristianos fanáticos encabezados por unos monjes.
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MARÍA GAETANA AGNESI: María G. Agnesi nació en Milán en 1718, y murió también en Milán en 1799, fue una distinguida lingüista, matemática y filósofa; remplazó a su padre en la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bologna cuando éste estuvo enfermo, y fue la primera mujer en ocupar una cátedra de matemáticas. En 1748, se publicó su libro "Instituzioni Analithe" sobre cálculo diferencial, que fue muy popular; se tradujo a muchos idiomas y se usó en Europa durante muchos años.
Fue conocida también como La Bruja de Agnesi por confundir en su libro la palabra versoria (nombre latino de la curva de una función), por versiera otra palabra que significa abuela del diablo o bruja, de ahí viene el nombre adoptado también por la curva; La Bruja de Agnesi, cuya ecuación es :
SOPHIE GERMAIN Sophie Germain nació en 1776 en París y murió también en París en 1831. Empezó a introducirse en las matemáticas a los 13 años en la biblioteca de su padre, tras leer cómo murió Arquímedes a manos de un soldado al no responderle cuando estaba ensimismado con un problema, esto la decidió a conocer las matemáticas cuando pensó ¿qué cosa tan maravillosa podía abstraer a una persona hasta dejarse matar?
Al ser mujer tuvo muchas dificultades, la primera en su propia familia. A los 18 años quiso entrar en "L'Ecole Polytechnique", pero no admitían a mujeres. A través de unos amigos que le pasaban los apuntes de las clases, al final del semestre Shopie presentó una memoria con un nombre masculino, "M. LeBlanc". El profesor Lagrange, uno de los más importantes matemáticos de la época quedó impresionado por la calidad del trabajo de "Monsieur LeBlanc" (Monsieur es "señor" en francés) y quiso conocerlo personalmente. Cuando vio que se trataba de una joven quedó muy sorprendido, pero reaccionó bien y pese a ser mujer, la introdujo en su círculo de investigadores
Mary Fairfax Greig Somerville (1780-1872) nació un 26 de diciembre. Matemática y
astrónoma
AUGUSTA ADA LOVELACE: A los 14 años quedó paralítica por lo que dedicó muchas horas al estudio y a la lectura. Esta decidió dedicarse a las matemáticas.
Nació en Florencia, Gran Ducado de Toscana el 12 de mayo de 1820 y murió en Londres el13 de agosto de 1910), fue una enfermera, escritora y estadística británica, considerada pionera de la enfermería moderna y creadora del primer modelo conceptual de enfermería. Se destacó desde muy joven en matemáticas, y aplicó sus conocimientos de estadística a la epidemiología y a la estadística sanitaria.
TOMADO DE https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/mujeres/mujer.htm
EMMY AMALIE NOETHER Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlange, Baviera, Alemania. Murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pensilvania, USA. Emmy Noether es conocida por su contribución al álgebra abstracta. Estudió alemán, inglés, francés, aritmética y empezó clases de
piano y demostró interés por la danza. Después de sus brillantes estudios lo natural hubiera sido
que obtuviese una plaza como profesora e investigadora en la universidad, pero no pudo ser ¡por ser mujer! Estuvo un tiempo trabajando con su padre
SOF'JA ALEKSADROVNA JANOVSKAJA Nació el 31 de Enero de 1896 en Polonia y murió el 24 de Octubre de 1966 en Moscú.Su trabajo en lógica matemática tuvo importancia en el desarrollo de la misma en la antigua Unión Soviética.
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124
La historia de las matemáticas fue otro tema que trató Janovskaja e hizo diversas publicaciones. (Geometría de Descartes, matemáticas egipcias, paradoja de Zenón de Elea,... etc).
Mary Cartwright : Su gran aporte es el conocido teorema de Cartwright, sobre máximos de funciones, resultó fundamental para el estudio de funciones relacionadas con fractales. Fue la primera mujer en conseguir la medalla Sylvester, la primera en ser miembro de la Royal Society y también la primera mujer que fue presidenta de la London Mathematical Society.
Katherine Johnson (y demás “Figuras Ocultas”) :La aeronáutica le debe mucho a esta matemática afroamericana nacida en 1918. Contratada por la NASA, su tremenda exactitud en los cálculos le permitió calcular la trayectoria del viaje del Apolo 11 a la Luna.
María Wonenburger: María, gallega de nacimiento, Su carrera matemática se desarrolla principalmente en Estados Unidos y Canadá, y sus aportaciones se centran en teoría de grupos y en álgebras de Lie.
Maryam Mirzakhani: Esta matemática iraní pasa por ser nada menos que la primera mujer en conseguir la medalla Fields (en 2014), el trabajo de Mirzakhani se centra principalmente en geometría hiperbólica, teoría ergódica, geometría simpléctica y espacios de Teichmüller
Julia Robinson: Esta matemática estadounidense, nacida en 1919, Las aportaciones de Julia Robinson se centran en las ecuaciones diofánticas.
Tomado de https://elpais.com/elpais/2017/03/08/el_aleph/1488970880_865812.html
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WEBGRAFIA UTILIZADA PARA EL CUADERNILLO DE CLASE DERIVANDO CON CIR
( MATECHO)
1) https://javiermora722.files.wordpress.com/2009/06/unidad-2.doc
2) https://www.vitutor.com/fun/4/b_e1.html
3)https://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/05/26/un-problema-de-razones-de-cambio-
relacionadas/
4)http:/ /profe-alexz.blogspot.com/2011/05/razones-de-cambio-problemas-
resueltos.html
5) https://javiermora722.files.wordpress.com/2009/06/unidad-3.doc
6)https://ekuatio.com/razones-de-cambio-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/
7)https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/1%C2%BABach%20Cienc/Ejercicios%20de%20der
ivadas2.pdf
8)sosa.solucionesdeingenio.com/wp-content/uploads/.../Aplicacion-de-la-drivada.doc
9)https://www.matesfacil.com/resueltos-extremos.htm
10)ht tp : / /www.v i tu tor. com /fun/2/a_2.html
11)ht tp : / /www. runayupay.org/publ i caciones/Problem as%20de%20m atem %C3%A1
t i ca%20apl i cada%20a%20la%20admin i st raci%C3%B3n%20y%20econom %C3%AD
a%20978-9942-28-872-1.pdf
12)ht tps: / /www.v i tutor . com/f un/4/k_t10.html
13): https://www.google.com/search?q=ACERTIJOS+MATEMATICOS (DIRECCION
UTILIZADA PARA ZONAS DE DESACANSO)
14) https://www.vitutor.com/fun/4/k_p7.html
15)https://www.matesfacil.com/BAC/optimizar/problemas-resueltos-optimizar-extremos-
maximo-minimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html
16)https://www.vitutor.com/fun/5/b_a1.html
17)https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/razon-de-cambio/
18)https://madaedu.files.wordpress.com/2009/07/derivadas-resueltas-paso-a-paso.doc
19) https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/r29178.doc 20) ma1111.pbworks.com/f/Regla+de+L´Hopital.doc
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BIOGRAFIA RECOMENDADA
Balbás, A.; Gil, J. A. (1990): "Programación Matemática". AC, Madrid. Balbás, A.; Gil, J. A.; Gutiérrez, S. (1990): “Análisis matemático para la Economía II”. AC,
Madrid. Blanco, S.; García, P.; Del Pozo, E. (2001): "Matemáticas empresariales II (Enfoque teórico-
práctico)". Editorial AC. Bombal, F.; Rodríguez, L.; Vera, G. (1987): "Problemas de Análisis Matemático 3. Cálculo
integral". Editorial AC. Bugrov, Ya S.; Nikolski, S.M. (1984): "Matemáticas superiores. Cálculo diferencial e integral".
Mir Moscú. Calculo diferencial e integral de Frank Ayres Jr colección shaum
Cálculo / por Víctor Albis y Yu Takeuchi Cálculo con geometría analítica Swokowski Edwards, C. H. Jr.; Penney, David E.: (1996): "Cálculo con Geometría Analítica". Prentice
Hall. Enríquez (): "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas. Granville (): "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas. Guerrero Casas, F. Mª (1994): "Curso de optimización. Programación matemática". Ariel
Economía, Barcelona. Goldstein, Larry J.; Lay, David C.; Schneider, David K. (1992): "Calculus and its Applications".
6th edition. Prentice Hall International Paperback Edition. "Manual de Cálculo Diferencial e Integral para la Economía y la Empresa". Pirámide, Madrid. Kleppner (): "Curso rápido de cálculo diferencial e integral". Limusa, Trillas. El Cálculo (7ma Edición) de Louis Leithold Piskunov, N. (1983): "Cálculo diferencial e integral (2 tomos)". 6ª edición. Mir Moscú. Stewart, James (1999): "Cálculo. Transcendentes tempranas". 4ª edición. Thomson. Stewart, James (2001): "Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas". 4ª edición.
Thomson. Stewart, James (2001): "Cálculo multivariable". 4ª edición. Thomson. Thomas, George B.; Finney, Ross L. (2000): "Cálculo. Varias variables". Addison Wesley. Wonnacott (): "Aplicaciones del cálculo diferencial e integral". Limusa, Trillas. Zill, D. G. (1987): "Cálculo con Geometría analítica". Díaz de Santos.
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ANEXO APLICACIONES A LA
FISICA 1) La ecuación de un mov imiento rect i l íneo es: e(t ) = t ³ − 27t . ¿En qué momento la
velocidad en nula? Hal lar la aceleración en ese instante. R/a(−3) = −18a(3) = 18
2) La relación entre la distancia recorr ida en metros por un móv i l y el t iempo en
segundos es e(t ) = 6t² . Calcular:
a) la v elocidad media entre t = 1 y t = 4.R/
b) La v elocidad instantánea en t = 1. R/
3) Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un mi l lón de
bacter ias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La funci ón que
representa la población de la colonia al v ar iar el t iempo (expresado en meses)
v iene dada por:
Verif icar que la población es función cont inua del t iempo R//si es cont inua
b) Calcular la tasa de v ariación media de la población en los interv alos
[0, 2] y [0, 4] TVM=1.59X106
C) Calcular la tasa de v ariación instantánea en t = 4.
R/
4) Una población bacter iana t iene un crecimiento dado por la función p(t ) = 5000
+ 1000t² , siendo t el t iempo metido en horas. Se pide:
a) La v elocidad media de crecimi ento.
Sugerencia R/
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b) La v elocidad instantánea de crecimiento. R/ 200t
c) La v elocidad de crecimiento instantáneo para t 0 = 10 horas. R/2000
5) La ecuación de un mov imiento ci rcular es: φ(t ) = ½t². ¿Cuál es la v elocidad y
la aceleración angulares al cabo de siete segundos?
Velocidad angular= 7 y aceleración angular= 1
6) Un observ ador se encuentra a 2000 m de lanzamiento de la torre de un
cohete. Cuando éste despega v ert icalmente mide la v ariación del ángulo Φ(t) que
f orma la l ínea v isual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función
del t iempo transcurr ido. Sabiendo que Φ'(t ) = Π/3, se pide:
a) ¿Cuál es la al tura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
R/