cuadernillo 7 - mt - 2014

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MATEMTICA CUADERNILLO 7 1

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Catlica de Chile. Prohibida su reproduccin total o parcial.

TEOREMA DE THALES FUNCIONES AFN Y LINEAL TRINGULO RECTNGULO

FUNCIN CUADRTICA

Alumno(a): Cdigo curso: Profesor(a): Sede:

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GUA N29

DIVISIN DE TRAZOS TEOREMA DE THALES DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA Divisin Interior Dados dos nmeros reales positivos m y n, dividir interiormente un trazo AB en la razn m : n, significa encontrar, en el interior del trazo AB , un punto P tal que:

Observacin. Si m n= se deduce automticamente que P es punto medio del trazo AB . Divisin Exterior Dados dos nmeros reales positivos m y n, dividir exteriormente un trazo AB en la razn m : n, significa encontrar en el exterior del trazo AB , o sea en la prolongacin del mismo, ms all de A o de B, un punto Q tal que AQ mQB n

= , para ello diferenciamos dos casos:

Teoremas

1) El punto interior que divide a un trazo dado en una razn dada es nico. 2) El punto exterior que divide a un trazo dado en una razn cualquiera,

distinta de uno, es nico.

A P B AP mPB n

=

m n

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Divisin Armnica Dados dos nmeros reales positivos m y n, dividir armnicamente un trazo AB en la razn m : n, significa encontrar dos puntos, uno en el interior (P) y el otro en el exterior (Q) del trazo AB , tales que: En otras palabras, dividir armnicamente un trazo AB en la razn m : n, significa dividirlo interior y exteriormente en una misma razn dada. Definicin Los puntos P y Q, que dividen armnicamente el trazo AB en una razn dada, se llaman puntos conjugados armnicos. Teorema Si P y Q son conjugados armnicos de A y B, entonces A y B tambin son conjugados armnicos con respecto a P y Q. TEOREMA DE APOLONIO En todo tringulo, la bisectriz de un ngulo interior y la del exterior adyacente dividen al lado opuesto armnicamente en la misma razn en que estn los lados que forman el ngulo. [A continuacin realizo una explicacin ms detallada de este teorema] Para entenderlo de mejor manera veamos el siguiente tringulo ABC. Supongamos que AC b= y que BC a= , entonces bajo el supuesto de que b a se tiene que CD es la bisectriz del ngulo interior ACB y CE es la bisectriz del ngulo exterior BCE, entonces:

|

A|

B|

P|

Q

AP AQ mPB QB n

= =

C

A B D E

AD AE bDB BE a

= =

b a

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TEOREMA DE THALES Dado un haz de al menos tres rectas paralelas, cortadas por dos transversales, las paralelas determinan en las transversales segmentos proporcionales.

As, si en la figura anterior, las rectas AA '

, BB'

, CC'

y DD'

son paralelas, entonces el Teorema de Thales nos dice que las longitudes de los segmentos en uno de los lados son proporcionales a las longitudes de los segmentos en el otro lado. Matemticamente se escribe as:

AB BC CDA 'B' B'C' C'D'

= =

COROLARIO DEL TEOREMA DE THALES Si los lados de un ngulo o sus prolongaciones se intersectan con un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en los lados del ngulo son proporcionales. En la figura, si L 1 // L 2 // L 3 // L 4 , entonces:

AP BPPF PE

= o bien AC BDCF DE

=

D D

C' C

B' A'

B A

L1

L2

L3

L4

A

C

F

P D

B

E

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TEOREMA PARTICULAR DE THALES Una recta paralela a un lado de un tringulo que intersecta a los otros dos, determina en estos ltimos segmentos proporcionales En la figura, ABC cualquiera, L // AB , M y N puntos de interseccin de L con los lados del tringulo.

CM CNMA NB

=

L N M

A B

C

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EJEMPLOS DE PROBLEMAS PUBLICADOS POR EL DEMRE Tiempo mximo: 20 minutos

Ejemplo N 1: Proceso de Admisin 2011. Publicacin del 24 de junio de 2010.

Se ubicar una estacin de gasolina P entre las ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las distancias de las ciudades a la gasolinera estn en la proporcin MP : PN = 2 : 3. Si la estacin de gasolina estar en lnea recta con las ciudades M y N, a qu distancia de la ciudad M quedar ubicada la estacin de gasolina? A) A 12 Km

B) A 24 Km

C) A 30 Km

D) A 36 Km

E) A 48 Km

Ejemplo N 2: Proceso de Admisin 2014.

Publicacin del 6 de junio de 2013.

En la figura, el punto B es tal que divide al trazo AD de manera que DA : DB 7 : 3= . Cul es la medida del segmento DB?

A) 3 cm

B) 9 cm

C) 27 cm

D) 48 cm

E) 15,4 cm

|

A|

B|

D

36 cm

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En la figura adjunta, AB //CD . Si CD mide el doble de AB , entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Los tringulos OAB y OCD son rectngulos.

II) Los tringulos OAB y OCD son semejantes.

III) = AC 2 OA

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III


En la figura, el punto R divide interiormente a PQ que mide t cm en la razn RP : RQ 2 : 5= . La medida del segmento RQ, en cm, es

A) 5t7

B) 7t5

C) t 2

D) t5

E) 2t7

D

B C

A O

|

P|

R|

Q

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En la figura, AC 24 cm= y AC : CD 2 : 3= . La medida del segmento CD es

A) 12 cm

B) 14,4 cm

C) 16 cm

D) 36 cm

E) ninguno de los valores anteriores.

Ejemplo N 6: Proceso de Admisin 2008. Publicacin del 17 de mayo de 2007.

En cul(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?

I) II) III)

A) Solo en I

B) Solo en II

C) Solo en III

D) Solo en II y en III

E) En I, en II y en III

L1

L2 x 10

15 8

L1 // L2

L1

L2

x 2 15

8

L1 // L2

L2

L3 x

8

15

10

L1 // L2 // L3

L1

|

A|

C|

D

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En la figura, el tringulo ABC es equiltero, los puntos M, F y T pertenecen a l y D es la interseccin de las rectas BC y MF. Si AM MB BT 10 cm= = = y CD 12 cm= , entonces la medida del segmento FC es

A) 30

cm11

B) 5 cm

C) 15

cm4

D) 6 cm

E) 60

cm11



En la figura, L // L y los puntos B, C, D, E, G y F son las intersecciones de las rectas AC, AE y AF con las rectas L y L, respectivamente. Cul de las siguientes igualdades es siempre verdadera?

A) AB ACBD CF

=

B) AB ACAD AF

=

C) BD CEDG EF

=

D) AB AGBD GD

=

E) AD GFAG DE

=

A

M

B T C D

F

L

L '

A

BD

G

CE

F

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En la figura adjunta, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como A) 1: 2

B) 1:3

C) 1: 4

D) 1:5

E) 1:6


El tringulo ABC est inscrito en la circunferencia de la figura, adems, el arco DA es congruente con el arco BE. Cul de las siguientes proporciones es siempre verdadera?

A) AB DMMN NE

=

B) CM CNCA CB

=

C) MA CMAB MN

=

D) CM CNMD NE

=

E) MN CNAB NB

=

RESPUESTAS CORRECTAS

1. B 3. B 5. A 7. E 9. D 2. C 4. A 6. D 8. C 10. B

A D B C

A B

C

D EM N

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EJERCICIOS PROPUESTOS Tiempo mximo: 40 minutos

1) Un trazo AB se divide interiormente por un punto P a razn 5 : 3. Si la

medida de AB es 41,6 cm, entonces el segmento AP, en centmetros,

mide

A) 5,2

B) 15,6

C) 26

D) 8,32

E) 13,86

2) Un segmento AB se divide interiormente por un punto P en la razn 1 : 4 . Si P est a la derecha de A, pero a la izquierda de B, entonces es

tambin cierto que:

I) P est a la izquierda del punto medio del segmento total. II) P est a la izquierda de B, pero a la derecha del punto medio del

segmento total. III) AP PB< . A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

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3) Un segmento AB se divide exteriormente en la razn a : b por el punto Q a la derecha de B como lo indica la figura adjunta. Si BQ p= ,

entonces, la longitud del segmento AB es

A) bpa

B) apb

C) a

p 1b

D) abp

E) a

1b

4) En la figura adjunta, AB //CD

. Si OA = 10 cm, AC = 8 cm y BD = 12 cm, entonces OB =

A) 9,6 cm

B) 10 cm

C) 14 cm

D) 15 cm

E) 16 cm

5) Si en el tringulo ABC de la figura adjunta, ED //BC , entonces el valor de EB es

A) 94

B) 3

C) 8

D) 16

E) 4

A B

C D

O

A

6 15

B

C D

E 10

|

A|

B|

Q

p

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6) Si en la figura, las rectas 1 2 3L , L y L son paralelas, entonces el valor de

x es

A) 203

B) 403

C) 253

D) 313

E) 52

7) Si en la figura, BC // DE y AB : AD 5 : 4= . Cunto mide el segmento

DE?

A) 24

B) 22

C) 21,5

D) 6

E) 37,5

8) En el ABC , rectngulo en B, las longitudes de AB , BC y BE , son 20 cm , 15 cm y 6 cm, respectivamente, entonces cul es la longitud

de DE? A) 8 cm

B) 9 cm

C) 10 cm

D) 12 cm

E) 15 cm

A

E

D

C B

1L

2L

3L

12

20

5

x

A

B C

D E

30

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9) En el tringulo ABC de la figura adjunta, MN//BC; MN = 3 cm ; BC = 4 cm ; AC = 10 cm. El valor de MC es

A) 1,5 cm

B) 2,5 cm

C) 3,5 cm

D) 7,5 cm

E) 8,5 cm

10) En la figura adjunta se cumple que CD

//AB

y las rectas AD y BC se

intersectan en O. Si OA = 12 cm, OD 18 cm= y CB = 35 cm, entonces el segmento OC mide

A) 12 cm

B) 14 cm

C) 15 cm

D) 16 cm

E) 21 cm

11) Si en la figura adjunta, MN // AB , el valor de x es

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

A

M

N

C

B

C D

O

A B

A

4

N M

B

C

2

x x + 3

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12) En la figura adjunta, AB //CD , las rectas BC y AD se intersectan en E, AD = 14 , ED = 4 , BE = x + 13 , EC x 4= + . El valor de BE es

A) 2 cm

B) 4 cm

C) 12 cm

D) 15 cm

E) 21 cm

13) Si en el tringulo ABC de la figura adjunta, DE // AB , entonces el valor

de AC es

A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

E) 18

14) En el tringulo ABC de la figura adjunta, EF // AB . Adems EF 5a= ,

AB 7a= y el rea del tringulo ABC es 98 cm2. El rea del tringulo EFC es

A) 35 cm2

B) 42 cm2

C) 49 cm2

D) 50 cm2

E) 56 cm2

D

C

E

A

B

B A

F E

C

A

E D

B

C

3x

x+2 3x2

4x1

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15) En el tringulo ABC , BC = 24 cm, AC = 32 cm, AD = 24 cm y CD es bisectriz del ACB , entonces el permetro del tringuloABC es

A) 18 cm

B) 16 cm

C) 96 cm

D) 98 cm

E) 80 cm

16) En el tringulo ABC de la figura, AB = 15 cm, BC = 15 cm, AC = 10 cm y CD es bisectriz del ACB , entonces DB =

A) 9 cm

B) 5 cm

C) 12 cm

D) 10 cm

E) 6 cm

17) En el tringulo ABC , CD es bisectriz del ngulo ACB, AD = 3 cm, AB 5cm= , AC x 4= + , BC x 2= + , entonces el permetro del tringulo ABC es

A) 12 cm

B) 15 cm

C) 17 cm

D) 14 cm

E) 25 cm

A D B

C

A D B

C

A D B

C

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18) Se tiene un segmento AB . Si T es un punto cualquiera sobre el trazo y existen dos puntos interiores P y Q, como lo indica la figura, de modo

que AP a TQPT b QB

= = con a b< , entonces, es siempre verdadero que

I) La razn entre los segmentos AP y TQ es igual a la razn entre

los segmentos PT y QB.

II) Los segmentos PT y QB miden lo mismo.

III) AP < QB.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) Ninguna afirmacin es verdadera.

19) Se desea conocer la medida de un segmento AB que est dividido interiormente por un punto P. Para ello, es necesario saber que

(1) AP 2PB 3

=

(2) AP PB 5=

A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) o (2) E) Se requiere informacin adicional

|

A|

T|

B|

P|

Q

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20) Para que en la figura adjunta, se tenga que AO BOOD OC

= , debe cumplirse

necesariamente que: (1) 1 2//

(2) ABO ~ DCO

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) o (2)

E) Se requiere informacin adicional

A B

O

C D

1

2

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GUA N30

FUNCIN AFN Y FUNCIN LINEAL FUNCIN AFN Es una funcin de primer grado, del tipo:

f(x) = ax + b, con a y b reales y a distinto de cero. Su grfico es una recta cuya inclinacin depende del valor de a (la pendiente de la recta) y que pasa por el punto (0,b) . FUNCIN LINEAL Si b = 0, la funcin se llama funcin lineal: f(x) = ax, ( a 0 ). En este caso, la recta pasa por el origen.

x

y

b

f(x)

x

y f(x) = ax

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La tabla adjunta muestra los ahorros que posee Alicia, despus

de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero. Cul

grfico representa mejor esta situacin?

Semana 0 1 2 3 4 5

Ahorros en $ 20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000

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En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la poltica de asignacin de precios del supermercado es lineal, cul es el precio de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $400?

A) $ 600

B) $ 580

C) $ 547

D) $ 537

E) $ 530


Publicacin del 5 de octubre de 2005.

El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. Cul de las siguientes funciones representa la situacin descrita relacionando el nivel de agua y con el nmero de semanas x? A) y = 12 + 0,5x

B) y = 0,5 + 12x

C) y = 12 + 0,5x

D) y = 12 3,5x

E) y = 12 0,5x

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Un tcnico cobra un cargo fijo de $ 17.000 ms $ 1.500 por hora de trabajo. Cul de las siguientes funciones modela el cobro, en pesos, para un trabajo de n horas de este tcnico?

A) ( )g n 17.000n 1.500= + B) ( )f n 17.000 1.500n= + C) ( )h n 18.500n= D) ( )p n 17.000 1.500n= E) ( )q n n 18.500= +

Ejemplo N 5: Proceso de Admisin 2012. Publicacin del 7 de julio de 2011.

El costo total para fabricar sopaipillas incluye un costo fijo de $ 5.000 ms un costo de $ 80 por cada unidad. Cul de las siguientes funciones expresa el costo total (C), en pesos, para fabricar x sopaipillas? A) C 5.000 80x=

B) C 5.000 80x= +

C) C 5.000x 80= +

D) ( )C 5.000 x 80= + E) ( )C 5.000 80 x= +

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Ejemplo N 6: Proceso de Admisin 2012. Publicacin del 7 de julio de 2011.

Se pone a hervir agua que inicialmente estaba a una temperatura de 10 C. Si su temperatura sube uniformemente durante los primeros 7 minutos hasta alcanzar los 100 C, estabilizndose la temperatura despus de este tiempo, cul de los siguientes grficos representa mejor este fenmeno?

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Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base mensual de $ 180.000 ms $ 5.000 por artculo vendido. Si un vendedor vende x artculos en un mes, cul de las siguientes funciones

representa el sueldo ( )S x , que le pasa la empresa, en pesos?

A) ( )S x 180.000x 5.000= + B) ( )S x 5.000x 180.000= + C) ( )S x 185.000x= D) ( )S x 185.000 x= + E) ( )S x 5.000 x 180.000=


Una fbrica de lmparas tiene un costo fijo de produccin de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lmpara de $ 5.000.

Si x representa el nmero de lmparas producidas en un mes, cul de las siguientes expresiones representa la funcin costo

( )C x ? A) ( )C x x 1.005.000= + B) ( )C x 1.000.000x 5.000= + C) ( )C x 1.005.000x= D) ( )C x 5.000x 1.000.000= + E) ( ) ( )C x x 5.000 1.000.000= +

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Si ( )f x 5x= , entonces ( )5 f x es igual a

A) 125x B) 25x C) 2125x D) 225x E) ninguna de las expresiones anteriores.

Ejemplo N 10: Proceso de Admisin 2007 Publicacin del 1 de junio de 2006.

La tabla adjunta muestra la temperatura a distintas horas de un da de verano.

Tiempo (t) adistintas horas 8 10 12 14 16 18 20

Temperatura (T) en C 12 18 24 30 28 26 24

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La mxima temperatura se registra a las 14 horas. II) Para 8 t 14 , la temperatura de la tabla est dada por

( )T t 12 3t= + . III) Para 14 t 20 , la temperatura de la tabla est dada por

( ) ( )T t 30 t 14= .

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III


1. D 3. E 5. B 7. B 9. A 2. B 4. B 6. E 8. D 10. C

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1) En un parque de diversiones se cobra a cada persona $ 6.000 por la entrada, adems de $ 500 por cada vez que sube a un juego. Cul es la funcin C que permite calcular el dinero, en pesos, que se cobrar a cada persona que suba x veces a los juegos del parque?

A) C(x) = (500 + 6.000)x

B) C(x) = ( )1 500 x 6.000x

+

C) C(x) = 500 + 6.000x

D) C(x) = 500x + 6.000

E) C(x) = 6.000

500x

+

2) Un caracol que se encuentra en la pared de un edificio est a 1,5 metros de altura. Si en un momento determinado comienza a subir por una vertical a razn de 7,5 cm por cada minuto, cul es la funcin que expresa la altura h, en metros, a la que se encontrar el caracol dentro de t minutos?

A) h(t) = 7,5 + 1,5t

B) h(t) = 1,5 + 7,5t

C) h(t) = 1,5 + 0,075t

D) h(t) = (1,5 + 0,0075)t

E) h(t) = 0,075 + 1,5t

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3) La siguiente grfica muestra el registro mensual del dinero total T(x) que tuvo Mara en el banco, a lo largo de 3 aos desde el momento en que abri su cuenta de ahorro. Si ella depositaba cada mes $ 3.000 en esa cuenta, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Abri la cuenta con $ 2.000.

II) A los 17 meses tena exactamente $ 51.000.

III) La funcin T(x) = 3.000 + 2.000x.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

4) Si ( )f x qx p= + , con p y q nmeros reales y q 0 , entonces

pf q

q

=

A) 2q p

B) 2p

qq

C) 2q

D) 2p

q pq

+

E) 0

2.000

0 17 1

T(x) Dinero total

x N de meses

36

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5) Una compaa de telfonos cobra mensualmente $ 7.000 por arriendo de equipos y $ 45 por minuto en cada llamada. Cuntos minutos us un consumidor cuya cuenta mensual asciende a $ 26.440?

A) 743

B) 622

C) 532

D) 432

E) 332

6) Jorge caminar hoy 3 km y decide que cada semana agregar a su

recorrido 1,5 km. En cuntas semanas ms correra 22,5 km? A) En 16 semanas.

B) En 15 semanas.

C) En 14 semanas.

D) En 13 semanas.

E) En 12 semanas.

7) Cul de las afirmaciones siguientes es siempre verdadera respecto de

la funcin afn?

A) Su dominio son los nmeros reales no negativos.

B) Su recorrido son los nmeros reales.

C) Es una funcin creciente en todo su dominio.

D) Es una funcin de segundo grado.

E) Tiene un mnimo valor.

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8) En cul de las siguientes alternativas, las variables tienen una relacin

definida por una funcin lineal?

A) Volumen de una esfera Radio de la esfera

B) Diagonal de un cuadrado Lado del cuadrado

C) Volumen de un cilindro Radio de la base del cilindro

D) Lado de un cuadrado rea del cuadrado

E) rea de un crculo Radio del crculo

9) El grfico siguiente podra corresponder al de la funcin A) f(x) = x 1 B) f(x) = x 2 + C) f(x) = 2x 1

D) f(x) = 1

x 23

+

E) f(x) = 1

x2

10) Si la funcin real ( )f x px 5= es tal que ( )f 2 9= , entonces ( )f 2 = A) 7

B) 19

C) 2

D) 9

E) 3

x

y

0

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11) El aire de un colchn inflable est saliendo por un orificio a razn de 0,5 litros por minuto. Si inicialmente el colchn tena 309 litros, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La funcin que expresa la cantidad de aire, en litros, que

queda en el colchn a los x minutos es ( )f x 309 0,5x= . II) El colchn tarda

3092

minutos en quedar sin aire.

III) La funcin que expresa la cantidad de aire que ha salido del colchn a los x minutos es lineal.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

12) Con respecto a la funcin real ( ) 1f x x3

= , cul(es) de las siguientes

proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La funcin es lineal.

II) ( ) 1f 0,2512

= .

III) La preimagen de tres es uno.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

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13) Si ( ) ( )2 2f x a b a b x= + , con a y b nmeros reales distintos de cero y distintos entre s, cul es la imagen de

1a b

?

A) 2b

B) 0

C) 2 2a b a b

a b+

D) 22b

E) 22a

14) El Club Cuerpo Sano tiene dos planes de pago. El plan 1 es una cuota anual de $ 100.000, ms $ 2.000 por hora de uso de una cancha. El plan 2 es una cuota anual de $ 250.000 sin cargo por el uso de la cancha. Cuntas horas debe jugar Francisco al ao para que el costo del plan 1 sea igual al costo del plan 2?

A) 150

B) 100

C) 75

D) 50

E) 25

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15) L(x) es una funcin afn con L(4) = 2 y L(1) = 12

.Para encontrar L(x)

podemos resolver el sistema

A) 4a b 2

2a 2b 1+ =

+ =

B) 2a b 41

a b 12

+ =

+ =

C) 4a 4b 2

1a b

2

+ =

+ =

D) a 4b 2

2a 2b 1+ =

=

E)

1a 4b 2

41

a b2

+ =

+ =

16) Si la funcin afn f cumple con ( ) ( )f 6 f 3 4 = , entonces su grfico tiene pendiente igual a

A) 34

B) 43

C) 2

D) 3

E) 4

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17) El largo de un rectngulo es el doble del ancho. La funcin que permite

calcular el permetro del rectngulo si se conoce su ancho x es

A) f(x) = 2x

B) f(x) = 4x

C) f(x) = 6x

D) f(x) = 8x

E) f(x) = 10x

18) Cul(es) de las siguientes tablas de datos podra(n) corresponder a una

funcin afn?

I) II) III)

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

x f(x) 4 6 5 13 6 20 7 27

x f(x) 2 4 3 9 4 16 5 25

x f(x) 0 5 5 4 10 3 15 2

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19) Se puede determinar que f es una funcin afn si se sabe que:

(1) Su grfico es una recta con pendiente positiva que corta al

eje y en un valor negativo.

(2) Su grfico pasa por los puntos ( )P 2, 0 y ( )Q 0, 5 .

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




20) Se puede determinar el valor total a pagar de una cuenta de telefona

celular, sabiendo que el consumo del mes fue de 342 minutos, si se

sabe que:

(1) El valor de la cuenta para 70 minutos es de $ 24.100.

(2) El valor total est definido por una funcin afn y el cargo

fijo es de $ 22.000.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




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GUA N31

PROPORCIONALIDAD EN EL TRINGULO RECTNGULO SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRINGULO RECTNGULO Teorema En todo tringulo rectngulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al tringulo en otros dos que son semejantes entre s y semejantes al tringulo original. En un tringulo ABC, rectngulo en C, como el de la figura adjunta, se tiene: CD AB , CD = h c , DB = p y AD = q (notacin universal). Los segmentos en que la altura h c divide a la hipotenusa se denotan universalmente por p y q, siendo p el segmento adyacente al vrtice B y q el segmento adyacente al vrtice A.

En la figura anterior se cumple que: ACD CBD ABC (A.A.) De las semejanzas anteriores se deducen los siguientes teoremas. Teorema de Euclides de la Altura

En todo tringulo rectngulo, la altura relativa a la hipotenusa es media

proporcional geomtrica entre las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa.

2ch p q= , adems c

a bh

c

=

A B

C

D

a b hc

q p

c

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Geomtricamente este teorema significa que el cuadrado construido sobre la altura es equivalente o tiene la misma rea que el rectngulo cuyos lados son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Teorema de Euclides del Cateto

En todo tringulo rectngulo, cada cateto es media proporcional geomtrica entre su proyeccin sobre la hipotenusa y la hipotenusa entera.

2a c p= y 2b c q=

Geomtricamente este teorema significa que el cuadrado construido sobre cada uno de los catetos es equivalente o tiene la misma rea que el rectngulo cuyos lados son la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto sobre la hipotenusa.

A

C

B

E

b

D

q H

F G

c

A

a

H

I

C

E

D B

G

c

p

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TEOREMA PARTICULAR DE PITGORAS En todo tringulo rectngulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

c2 = a2 + b2 Recproco del Teorema Particular de Pitgoras: Si en un tringulo, el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los

cuadrados de los otros lados, entonces el tringulo es rectngulo.

D

I

H

G F

C

B A

E

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NMEROS PITAGRICOS (TROS PITAGRICOS) Definicin Un tro de nmeros enteros positivos (a, b, c) se dice que son nmeros pitagricos si y solo si satisfacen la ecuacin: c2 = a2 + b2. Tales nmeros pueden servir como medidas de los lados de un tringulo rectngulo. Ejemplos: La tabla que se muestra a continuacin contiene los nmeros pitagricos de uso ms frecuente. En ella, los catetos del tringulo rectngulo estn representados por a y b, y la hipotenusa por c.

a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37

Observacin: Se puede demostrar que los mltiplos naturales de un tro

pitagrico, tambin constituyen un tro pitagrico. Tomemos el caso del

primer tro pitagrico, en general se cumple que 3n, 4n y 5n (con n un

nmero natural), componen otro tro pitagrico, por ejemplo 6, 8, y 10

corresponden a 3 2 , 4 2 , 5 2 .

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Publicacin del 6 de junio de 2013. Cul de los siguientes tros de nmeros NO es pitagrico? A) 18, 24, 30 B) 9, 12, 15 C) 15, 20, 25 D) 12, 16, 24 E) 5, 12, 13

Ejemplo N 2: Proceso de Admisin 2006. Publicacin del 16 de noviembre de 2005.

En la figura adjunta, el tringulo ABC es rectngulo en C. Si p 4q 1

= y p q 10+ = , entonces cul(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) a b 6 5+ =

II) h 4=

III) El rea del tringulo ABC = 20

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

A D B

C

p q

b a h

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En el ABC de la figura, E es el punto medio de AB y D est en el segmento AE. Cul es la medida del segmento DE? A) 1,4 cm

B) 0,6 cm

C) 2,5 cm

D) 3,6 cm

E) 4,4 cm



La figura representa la fachada de una casa vista de frente y la techumbre tiene forma de tringulo rectngulo. Si la altura (h)

de la techumbre es 45

de la altura (y) del muro de la casa, cul

es la altura del muro?

A) 4 6

m5

B) 5 6

m4

C) 7,5 m

D) 4,8 m

E) No se puede determinar, faltan datos.

A B

C

D |E

6 cm 8 cm

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En la figura, los tringulos AOC y DOB son rectngulos en O, 1

AO4

= cm, 1

OB2

= cm, 3

OC5

= cm, 13

DB10

= cm y 6

OD5

= . Si

los puntos P, O y Q son colineales, con P en AC y Q en DB , entonces la medida del segmento PQ es

A) 613

cm

B) 318

cm

C) 1320

cm

D) 913

cm

E) 1813

cm


Publicacin del 4 de agosto de 2004.

En la figura adjunta, AB es el dimetro de la semicircunferencia

de centro O, DC AB , entonces cul(es) de las afirmaciones siguientes es (son) siempre correcta(s)?

I) x : z z : y= II) x : z z :(x y)= + III) x : y y : z= A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguna de ellas.

z

B C

D

O A

x y

Q

P

O

D

C

B A

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En el rectngulo de la figura el punto G est en AB y F en la diagonal AC . Si AD 4 cm= , AG 6 cm= y AB 2AD= , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 6 : GF 2 : BC=

II) FC 5 cm= III) ACD ~ FAG

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III



Las medidas de los lados de un tringulo son a, b y c, donde c es

el lado mayor. Para que el tringulo sea rectngulo debe ocurrir

que

A) a b y c 2a= =

B) c a b= +

C) 2 2a c b=

D) ( )2 2a b c+ = E) c a b= +

A G B

F

CD

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En un tringulo ABC rectngulo en C cuya hipotenusa mide p, la medida de la proyeccin de un cateto sobre ella es m. Cul de las siguientes expresiones siempre representa al cuadrado de la medida del otro cateto?

A) pm B) 2 2p m

C) ( )2p m D) ( )2pm E) 2p pm



En la figura, el tringulo ABC es rectngulo en C. Es posible determinar la medida del segmento AC si: (1) El pie de la perpendicular CDest a 16 m de B. (2) El pie de la perpendicular CDest a 6 m de A. A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) o (2) E) Se requiere informacin adicional


1. D 3. A 5. D 7. D 9. E 2. E 4. B 6. A 8. C 10. C

D

C

B A

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1) En el tringulo ABC de la figura adjunta, rectngulo en A, la medida

del lado AB es

A) 2

B) 2

C) 1

D) 2

E) 2

2) De acuerdo a los datos en la figura adjunta, el valor de x es A) 157

B) 138

C) 1210

D) 11

E) 15

3) El tringulo ABC de la figura es rectngulo en C. Si CD es la altura

respecto de la hipotenusa, AC = 6 cm y BC = 12 cm, entonces la medida del segmento AD es

A) 6 5 cm

B) 3 5 cm

C) 2 5 cm

D) 6

55

cm

E) 2

53

cm

x

2

C

B A

2 2

C

B A

x 9 12

C

B A D

6 12

x

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4) El permetro de la figura adjunta es

A) 28 cm

B) 32 cm

C) 36 cm

D) 37 cm

E) 39 cm

5) Si en la figura adjunta, BD DC 6 cm= = y AB 2 BC= , cul es la longitud de AD?

A) 6 2 cm

B) 9 cm

C) 12 cm

D) 12 2 cm

E) 18 cm

6) En la figura adjunta, ABCD y CEFG son cuadrados. Si el rea de CEFG

es 36 cm2, cul es el rea de ABCD?

A) 6 cm2

B) 6 2 cm2

C) 9 cm2

D) 18 cm2

E) 24 cm2

3 cm

4 cm 12 cm

A B

C D

A

C

B E

D F 45

G

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7) En la figura ABC es rectngulo en C y CD es la altura respecto de la hipotenusa. Si AC 40 cm= , AD 32 cm= , DB x= y CD y= , entonces y x =

A) 6 cm

B) 8 cm

C) 16 cm D) 18 cm

E) 24 cm

8) Si MNPQ es un rectngulo y QR MP , entonces, de acuerdo a los datos

de la figura, QR =

A) 2 2

2 2

m nm n+

B) 2 2m nmn

+

C) 2 2

mn

m n+

D) 2 2mn

m n+

E) 2 2m nmn

+

9) La altura respecto de la hipotenusa de un tringulo rectngulo divide a

sta en dos segmentos cuyas longitudes son entre s como 1:9 . Si la longitud de la altura es 9 cm, entonces la longitud de la hipotenusa es

A) 10 cm B) 20 cm C) 30 cm D) 40 cm E) 50 cm

y

C

B A D x 32 cm

40 cm

Q P

N M

R

m

n

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10) En la figura adjunta, AC 8 cm= , BC 4 cm= y BD 7= . Cul es la

longitud de AB? A) 4 2 cm

B) 4 3 cm

C) 4 5 cm

D) 74 cm

E) 4 7 cm 11) Si todos los tringulos de la figura son rectngulos e issceles y

OA 1 cm= , entonces la longitud de EO es

A) 4 2 cm B) 4 cm

C) 3 2 cm D) 3 cm

E) 2 2 cm 12) En la figura adjunta, el ABC es equiltero de permetro 24 cm,

AD 8 3 cm= y AB //DE . Cul es el permetro del cuadriltero DECA?

A) ( )12 3 3+ cm B) ( )8 6 3+ cm C) ( )4 17 7 3+ cm D) 72 3 cm

E) ( )8 3 11 3+ cm

C

B A

D

A 1

D C

B

E O

E D

C

B A

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13) Si el tringulo ABC de la figura adjunta, es rectngulo en el vrtice C,

entonces cul(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) ( ) ( ) ( )+ =2 2 2AC BC AB II) ( ) ( ) ( ) ( )+ = +2 2 2 2BE AD AB ED III) = CE DB CD EA

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

14) Las siguientes opciones presentan tros de lados de un tringulo

cualquiera, con cul(es) de ellas es posible formar siempre un

tringulo rectngulo?

I) 5, 12 y 13.

II) 18, 24 y 30.

III) 4, 5 y 6.

A) Solo con I

B) Solo con II

C) Solo con I y con II

D) Solo con I y con III

E) Solo con II y con III

E D

B A

C

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15) La altura correspondiente a la hipotenusa de un tringulo rectngulo divide a sta en segmentos cuyas longitudes son 6 cm y 21 cm, cules son las longitudes de los catetos?

A) 9 2 cm y 9 7 cm B) 3 6 cm y 3 21 cm C) 16 cm y 56 cm D) 3 14 cm y 6 cm E) 3 14 cm y 21 cm 16) En un tringulo ABC rectngulo en C, se traza la altura CD

correspondiente a la hipotenusa AB . Cul de las siguientes alternativas es falsa?

A) El ortocentro del tringulo coincide con el vrtice C.

B) ( )2AC AD AD DB= + C) AC CB CD AB =

D) 2 2 2AD CD AC+ =

E) 2AD DB CD =

17) De acuerdo a los datos de la figura adjunta, cul(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AC 5= cm

II) ADC 90=

III) BCD 90=

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

A

D

C

B

3 cm

2 cm

2 cm

3 cm

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18) Si en la figura adjunta, el tringulo PQR es rectngulo en R y

RQ 6 cm= , entonces la longitud de RS es

A) 3 2 cm

B) 3 3 cm

C) 3 6 cm

D) 3 7 cm

E) 3 10 cm

19) En el tringulo ABC de la figura adjunta, rectngulo en C, se puede

determinar el valor de 2 2a b+ si se sabe que:

(1) =p 3 cm y =q 4 cm (2) = ca b 7 h A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




q D p

B A

b a

C

ch

q p

R

Q S P 30

45

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20) Si en la figura adjunta se cumple que =AD DC , se puede afirmar que

el tringulo ABC es rectngulo en C si:

(1) El tringulo ADC es rectngulo en D.

(2) AD = DB

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




D

B

A C

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GUA N32

FUNCIN CUADRTICA

Una funcin cuadrtica es una funcin polinomial de segundo grado, del tipo:

f(x) = ax2 + bx + c con a, b, c nmeros reales y a 0

Ejemplos: ( ) 2f x 2x 3x 1= + ; ( ) 2g x x 2x= + ; ( ) 2h x x 1= . El grfico de una funcin cuadrtica es una curva llamada PARBOLA. La siguiente figura muestra el grfico de la funcin ( ) 2f x x 2x 1= .

El Dominio de estas funciones es todo .

El Recorrido de estas funciones es 24ac b

, 4a

+

si a > 0, y

24ac b

, 4a

si a < 0.

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Caractersticas Principales de la parbola: Tiene simetra respecto de una recta llamada Eje de Simetra cuya

ecuacin es: b

x2a

= .

Tiene un punto llamado Vrtice y cuyas coordenadas son 2b 4ac b

,2a 4a

,

o bien b b

,f2a 2a

.

Intersecta al eje y en el punto de coordenadas ( )0,c .

Intersecta al eje x en los puntos ( )1x ,0 y ( )2x ,0 , donde 1x y 2x son las races o soluciones de la ecuacin 2ax bx c 0+ + = .

En el vrtice la funcin puede tener un valor mnimo o un valor mximo segn sea a 0> o a 0< , respectivamente:

Aqu a > 0. Las ramas de la parbola abren hacia arriba y

24ac b4a

es un mnimo de la

funcin (ordenada del vrtice).

Aqu a < 0. Las ramas de la parbola abren hacia abajo y

24ac b4a

es un mximo de la

funcin (ordenada del vrtice).

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El nmero de intersecciones de la parbola con el eje x depende del discriminante:

2b 4ac = : Si 0 > la parbola corta al eje x en dos puntos distintos: Si 0 = la parbola corta al eje x en un punto:

Si 0 < la parbola no corta al eje x:

a 0>

a 0>

a 0>

a 0<

a 0<

a 0<

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Forma cannica Al desplazar el grfico de 2y ax= h unidades en sentido horizontal y k unidades en sentido vertical, obtenemos el grfico de la funcin

( )2y a x h k= + Su vrtice es el punto ( )V h,k El eje de simetra es la recta de ecuacin x = h A la forma cannica se llega completando cuadrado de binomio. As, la funcin ( ) 2f x ax bx c= + + se puede escribir en la forma

( )2 2b 4ac b

f x a x2a 4a

= +

.

Forma factorizada La funcin ( ) 2f x ax bx c= + + tambin se puede escribir en la forma

( ) ( ) ( )1 2f x a x x x x= , siendo 1x y 2x las races de la ecuacin 2ax bx c 0+ + = . Por la simetra de la curva, el vrtice tiene abscisa igual a

1 2x x2+

.

2y ax=

( )2y a x h k= +

h

k

1x 2x

1 2x x2+

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Considere la funcin f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los nmeros reales. El menor valor que alcanza la funcin es A) 5 B) 3 C) 2 D) 0 E) 1


Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las funciones de la forma ( ) 2f x x p= , con dominio en los nmeros reales? I) Si p > 0, entonces la grfica de f intersecta al eje x

en un solo punto.

II) Si p < 0, entonces la grfica de f no intersecta al eje

x.

III) Si p < 0, entonces la ordenada del punto donde la

grfica de f intersecta al eje y es positiva.

A) Solo en I B) Solo en II C) Solo en III D) Solo en I y en II E) Solo en I y en III

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Ejemplo N 3: Proceso de Admisin 2013. Publicacin del 14 de junio de 2012

En la figura se muestran dos parbolas de tal manera que una es la simtrica de la otra con respecto al eje x. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) p c 0+ =

II) m 0 y a 0> <

III) ( ) ( )g 1 f 1 =

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III


Si ( ) 2f x x= , entonces ( ) ( ) ( )f a b f a f b es igual a

A) 0

B) 22ab 2b

C) 24b

D) 2ab

E) 22b

x

y g(x)=ax2+bx+c

f(x)=mx2+tx+p

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Sea la funcin f definida por ( ) 2f x x 2ax 1= + , con a 0 y dominio en el conjunto de los nmeros reales. El valor de x donde la funcin alcanza su valor mnimo es A) 1

B) 23a 1

C) a

D) 2a 1

E) a


Considere la parbola ( )21y x 12

= . Cul(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La parbola se abre hacia arriba.

II) Su vrtice se encuentra en (1 , 0).

III) Su eje de simetra es x = 1.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

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Ejemplo N 7: Proceso de Admisin 2012. Publicacin del 7 de julio 2011.

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la funcin f(x) = ax2 + bx + c?

I) Si a < 0, entonces la grfica de la funcin es una parbola que se abre hacia abajo.

II) La grfica de la funcin intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0 , c).

III) Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una funcin afn.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III


Publicacin del 7 de diciembre de 2006.

Cules deben ser los valores de P y Q para que la parbola de ecuacin 2y Px 3x Q= + intersecte al eje y en el punto ( )0, 4 e intersecte al eje x en el punto ( ) 4, 0 ? P Q A) 1 0

B) 3 4

C) 1 4

D) 1 4

E) 1 4

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Cul de los siguientes grficos representa mejor la funcin

( ) ( )2f x x 1 1= + + ?

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Ejemplo N 10: Proceso de Admisin 2011. Publicacin del 24 de junio 2010.

Cul de las siguientes funciones representa mejor a la parbola

de la figura?

A) 2f(x) ( x 2)=

B) 2g(x) x 4=

C) 2h(x) ( x 2)=

D) 2m(x) (2 x)=

E) 2n(x) ( x 2)= +


1. B 3. C 5. E 7. E 9. D 2. D 4. D 6. E 8. C 10. A

4

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1) Cul de los siguientes grficos tiene asociada una ecuacin cuadrtica

con discriminante negativo? A) B) C) D) E)

2) Si el siguiente grfico representa la funcin ( ) 2f x px qx m= + + ,

entonces cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) p > 0 y q > 0

B) p > 0 y m < 0

C) p < 0 y q < 0

D) p < 0 y m > 0

E) q > 0 y m > 0

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

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3) La ecuacin del eje de simetra de la parbola ( )2y 3 x 1 4= + es A) x 3 0 =

B) x 1 0 =

C) x 4 0+ =

D) x 1 0+ =

E) x 4 0 =

4) El eje de simetra y el mayor valor que alcanza la parbola ( ) ( )y x 3 x 5= + son, respectivamente,

A) x 1= e y 16=

B) x 1= e y 12=

C) x 4= e y 9=

D) x 4= e y 18=

E) x 8= e y 33=

5) El grfico de la funcin 2y 2x 6x 5= + es simtrico respecto de la recta

A) 3

x2

=

B) x 3=

C) 2

x3

=

D) y 3=

E) y x=

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6) En relacin a las grficas de las funciones ( ) 2f x x 1= , ( ) 2g x x 5= y ( ) ( )2h x x 5 1= , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) g(x) equivale a desplazar 4 unidades hacia abajo f(x).

II) h(x) equivale a desplazar 5 unidades hacia la izquierda f(x).

III) f(x), g(x) y h(x) cortan al eje x en dos puntos distintos cada

una.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 7) Si m > 0 , cul de los siguientes corresponde al grfico de

( )2y x m= + ?

A) B) C)

D) E)

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8) Cul(es) de los siguientes puntos pertenece(n) al grfico de la funcin

( ) 2f x x 1= + ? I) ( ) 0, 1 II) ( ) 1, 0 III) ( ) 1, 0

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

9) Cul de los siguientes grficos corresponde al de la funcin

( ) ( )2f x 2 x 2= ? A) B) C)

D) E)

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10) Cul de las siguientes funciones se grafica como una parbola que tiene su vrtice en ( ) 4, 1 ?

A) ( )2y 6 x 4 1= B) ( )2y 2 x 4 1= + C) ( )2y 3 x 4 1= + D) ( )2y x 1 4= + E) ( )2y 4 x 1 4= + 11) Cul de las siguientes funciones representa mejor a la grfica dada?

A) ( ) ( )y 3 x x 5= B) ( ) ( )y x 5 x 3= + C) ( ) ( )y x 5 x 3= + D) ( ) ( )y x 5 x 3= + E) ( ) ( )y x 5 x 3= +

12) Cul es el valor mximo de la funcin real ( ) ( )2f x 3 x 4= + ? A) 13

B) 4

C) 3

D) 4

E) La funcin no tiene mximo.

y

x 5 3

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13) El grfico de la funcin f(x) 2(x 1)(x 2)= + est representado en

A) B)

C) D)

E)

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14) Un agricultor establece que si el precio al que vende cada caja de uvas es x dlares, su ganancia diaria, en dlares, estar dada por:

( ) 2G x 10x 100x 210= +

A qu precio, en dlares, deber vender cada caja de uvas para obtener la mxima ganancia?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

15) Para la funcin ( ) ( )2f x a x m n= + , con dominio en los nmeros reales, con a, m y n nmeros reales distintos de cero, cuyo vrtice est en

( )4, 2 e intersecta al eje y en t, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) Si a > 0, entonces la parbola podra intersectar en dos puntos

al eje x.

II) m = 4 y n = 2.

III) Si a = 2, entonces t = 30.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

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16) La ecuacin de la parbola que tiene vrtice en el punto ( )2,3 y que pasa por el punto ( )3,5 es

A) 2y 2x 8x 11= +

B) 2y 2x 8x 11= + +

C) 2y 2x 8x 11= +

D) 2y 2x 8x 11= +

E) 2y 2x 8x 11= +

17) Dada la funcin ( ) 2f x 2x 4x 5= + , con dominio en el conjunto de los nmeros reales, cul de las alternativas es FALSA?

A) El mximo valor que alcanza la funcin es 3.

B) Su eje de simetra es x 1= .

C) Sus ramas se orientan hacia abajo.

D) Intersecta al eje x en dos puntos distintos.

E) Es creciente en , 1 .

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18) Para las funciones ( ) 2f x 2x 1= , ( ) 2g x 2x 8x= + y ( ) 2h x 2x bx 1= + , con b un nmero real, es FALSO que

A) f(x) y g(x) tienen la misma forma.

B) para cualquier valor de b, las funciones f y h intersectan al eje y en

1.

C) la parbola representada por g(x) pasa por el punto (0, 0).

D) f(x) es simtrica de g(x) con respecto al eje x 1= .

E) si b = 0, entonces h(x) es el reflejo de f(x) con respecto al eje x.

19) La altura de una pelota en vuelo est dada por ( ) 2h t At Bt= , con t 0> . Se puede determinar la altura mxima que alcanza la pelota si se conoce que:

(1) El grfico de ( )h t es simtrico respecto de la recta de ecuacin t 5= .

(2) ( )h 1 18=

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




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20) Se puede determinar la ecuacin de una parbola de la forma

( ) 2f x ax bx c= + + , si se sabe que:

(1) Pasa por los puntos ( ) 0, 0 y ( ) 8, 0 . (2) Tiene un mnimo valor en el punto ( ) 4, 12 .

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




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cuadernillo 7 - mt - 2014

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