Cuaderno 3Prof. Francisco Mejia Lima

Sayuri Chang Gallegos

Laboratorio de

Resolución de

Problemas

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Cuaderno 3

Modelos de ecuaciones de segundo grado

Introducción

En este cuaderno se trabajará con ecuaciones de segundo grado con una incógnita; es decir,

con aquellas ecuaciones que después de haber realizado las simplificaciones adecuadas,

poseen 2 como mayor exponente de la incógnita.

En primera instancia se resolverán algunas ecuaciones como paso necesario para

posteriormente, resolver problemas de aplicación en los negocios utilizando este tipo de

ecuaciones.

Problemas con ecuaciones de segundo grado

1. Suponga que el ingreso semanal “r” de una compañía está dado por la ecuación

siguiente:

r=-2p2+400p

En la ecuación anterior “p” es el precio del producto que vende la compañía.

Determine el precio del producto si el ingreso semanal es de $20,000.

r=−2 p2+400 p

20000=−2 p2+400 p

−2 p2+400 p−20000=0

Ahora podemos aplicar la formula general para resolver la ecuación:

x=−b±√b2−4ac2a

x=−400±√(400)2−4 (−2)(−20000)

2(−2)

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x=−400±√160000−160000−4

x=−400±√0−4

x=−400±−4

x1=100 , x2=−100 Correcto

Por lo tanto, como el precio no puede ser -100, el precio a tal ingreso semanal es $100.

2. Un inversionista compró cierto número de acciones por $240.00 Si hubiera comprado tres

acciones más por el mismo dinero, cada acción le hubiera costado $4.00 menos.

Determine el número de acciones que compró y el precio de las mismas.

240x

−4=( 240x+3 )

( 240x

−4)=( 240x+3 )

(x+3)( 240x

−4)=240

240−4 x+ 720x

−12=240

228−4 x+ 720x

=240

−4 x+ 720x

=240−228

x (−4 x+ 720x )=(12) x

−4 x2+720=12x

−4 x2−12x+720=0

Simplificamos la ecuación:

−4 x2−12 x+7204

=04

−x2−3 x+180=0

Ahora utilizamos la ecuación general para resolver:

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x=−b±√b2−4ac2a

x=−(−3)±√(−3)2−4 (−1)(180)

2(−1)

x=3±√9+720−2

x=3±√729−2

x=3±27−2

x1=−15 , y x2=12 Correcto

Por lo tanto se compraron 12 acciones, y cada acción cuesta 240/12= $20.

3. Se desea invertir $8,000.00 a una cierta tasa de interés durante un año. Al final del año

se desea reinvertir el capital y los intereses producidos, a una tasa igual a la primera más

un punto. Con esta nueva inversión se va a obtener una renta anual de $1,793.60.

Calcule la tasa inicial.

8000(1+ r100

)( r+1100 )=1793.60

8000(1+ r100

)( r+1100 )=1793.60

8000

(1+ r100

)( r+1100 )=0.2242

r2+1.01 r+0.01=0.2242

r2+1.01 r+0.01−0.2242=0

r2+1.01 r−0.2142=0

Aplicamos la formula general:

x=−b±√b2−4ac2a

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x=−(1.01)±√(1.01)2−4(−0.2142)

2(1)

x=−(1.01)±√1.0201+0.8568

2

x=−(1.01)±√1.8769

2

x=−1.01±1.372

x1=−2.38

2=−1.19 , x2=

0.362

=0.18

Por lo tanto, la tasa de interés inicial es de 18%. Correcto

4. Una tienda de abarrotes compró un lote de cajas de cereal en $1,800.00. Ocho cajas se

rompieron por lo que su contenido quedó inservible. El resto se vendió con un

incremento de $7.00 por caja y ganó en la operación $124.00. Determine el número de

cajas de cereal que compró la tienda de abarrotes y el precio de las mismas.

( 1800−8 pp )( p+7 )=1800+124

Donde p = precio de cada caja.

(1800−8 p ) ( p+7 )=1924 p

1800 p−8 p2+12600−56 p=1924 p

1800 p−8 p2+12600−56 p−1924 p=0

−8 p2−180 p+12600=0

Optamos por la factorización:

−8 p2−180 p+12600=0

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8 p2+180 p−126004

=04

2 p2+45 p−3150=0

( p−30)(2 p+105)=0

Por lo tanto p=$30 Correcto

Ahora para saber cuántas cajas se compraron, basta con dividir 1800/30= 60 cajas.

5. La compañía Agromex S.A. produce y vende costales de semillas. Si sus ingresos

mensuales son I=1600x-0.65x2 y sus costos fijos mensuales son de $32,000.00 más

$450.00 por cada costal.

a. Determine el número de costales de semillas que deberá vender Agromex S.A. para

no tener pérdidas ni ganancias.

Para saber la utilidad hay que considerar dos cosas: gastos e ingresos

La ecuación de gastos es G=32000+450 x

La ecuación de ingresos es I=1600 x−0.65 x2

La utilidad = I-G;

U=1600x−0.65x2−32000+450 x

U=2050x−0.65 x2−32000

U=−0.65 x2+2050 x−32000

Como se quiere que la utilidad sea 0; entonces tenemos que

−0.65 x2+2050x−32000=0

Aplicamos la formula general para determinar el valor de x;

x=−b±√b2−4ac2a

x=−2050±√(2050)2−4 (−0.65)(−32000)

2(−0.65)

x=−2050±√4202500−83200−1.3

x=−2050±√4119300−1.3

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x=−2050±2029.6058−1.3

x=−2050±2029.6058−1.3

=x1=15.53 , y x2=3169.378

semicorrecto en la ecuación de utilidad ( I – G) está correcta, pero al sustituir

la ecuación “G”, solo restaste el primer término y no el segundo

Eso quiere decir que prácticamente existen dos puntos de equilibrio, uno a x=15, y

uno a x= 3169; eso se observará en la siguiente gráfica.

b. Elabore las gráficas necesarias para obtener el punto de equilibrio. Correcto

para tu ecuación

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

-2000000

-1500000

-1000000

-500000

0

500000

1000000

1500000

2000000

Punto de equilibrio

Como se puede observar en la gráfica, los valores de x son demasiados, al igual que

los de y; es por eso que la gráfica se ve tan saturada.

La línea de morado claro muestra la función de costos que nos da el problema,

mientras que la curva de morado oscuro representa la función de utilidades.

Como se puede ver, existen dos puntos donde las dos curvas convergen, una es en

el punto aproximado de 15 y el otro en un punto aproximado a 2500, los cuales

representan los rangos donde no se obtiene perdida y específicamente el último

punto representa ganancias 9.

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Después de ese rango, la utilidad empieza a decrecer, por lo que es recomendable

mantenerse siempre dentro de dicho rango.

Indique los rangos de pérdidas y gana

El rango aproximado de ganancia se sitúa entre 16 y aproximadamente 2500,

mientras que el rango de perdidas va a partir de 2600 hasta menos -200,000

Cabe señalar que en el punto 3169 aún se obtienen utilidades, no obstante esta

utilidad es menor que los costos totales, por eso dicha curva en ese punto se

sitúa por debajo de la función de costos totales.

Para ver el procedimiento se anexa el archivo “Cuaderno de trabajo apoyo”, en Excel.

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