Teorema de Routh-Hurwitz 1

Teorema de Routh- HurwitzEl teorema de Routh–Hürwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemas dinámicos.Tal criterio busca las raíces del denominador de la función de transferencia del sistema y las coloca en el semiplanoizquierdo o derecho, determinando así la estabilidad del mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado quetodos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.Este criterio solo vale si la función de transferencia del sistema está en lazo cerrado, si no lo esta, hay querealimentarlo haciendo:

ProcedimientoDado el sistema:

donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.

El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1, …, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh –Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismosigno, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema seráasintóticamente inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo comovariaciones de signo en la primera columna.

Ejemplo: G(s) =

Teorema de Routh-Hurwitz 2

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, elsistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.

DegeneracionesHay dos casos de degeneraciones:• En la primera, el primer elemento de una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva sustituyendo el 0 por “ε”

(número infinitesimalmente positivo), y se continua calculando. Luego a la hora de comprobar los cambios designo se deja el 0 que sustituimos y donde nos aparezca “ε” calculamos el limite cuando ε tiende a 0.

• En la segunda, toda una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva montando la polinomio auxiliar de la filainmediatamente superior a la que nos apareció la fila de ceros. A esta ecuación se le hace la derivada y lo que nosde se sustituye en la fila de ceros, pudiendo así continuar calculando. Al igual que en la anterior degeneración,para comprobar los cambios de signo se deja el 0 que nos apareció.

Si en el denominador de la función de transferencia del sistema tenemos una incógnita, se calcula de igual formatodo el criterio de Routh – Hürwitz y en las filas de la primera columna en la que nos aparezca la incógnita deberáser su resultado mayor a 0, resolvemos las inecuaciones y cogemos los resultados más restrictivos, siendo estos losque nos determinen que el sistema sea estable.Finalmente se puede comprobar haciendo Ruffini, y observaremos que en los que nos dio un 0 nos saldrá una par depolos complejos conjugados, si la parte real es negativa el par de polos complejos es estable, sino no se sabe si lo es.

Ejemplo primera degeneración: G(s) =

Teorema de Routh-Hurwitz 3

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 1, 0, -α, 3, con lo que por haber dos cambios de signo, elsistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.

Ejemplo segunda degeneración: G(s) =

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 3, 2, 0, 2, con lo que la fila 4 es un línea de ceros la cual indicauna oscilacion permanete,es decir en el limite de la estabilidad.

SYS en el limite de la estabilidad[editar]

En el limite de la estabilidad, a través del teorema de Routh podemos saber si el sistema se encuentra en otro estadoque no sea estable o inestable, y este es si se encuentras en el límete de la estabilidad, es decir se produce unaoscilacion mantenida,incluso en estado estacionario esta oscilacion se mantendrá.Esto se produce cuando en nuestar tabla de routh alguna linea se puede hacer 0 y no haya ningún cambio de signo ennuestra primera columna. En este caso el sistema se encuentra en el limite de la estabilidad, esto representa en elplano complejo dos polos conjugados en el eje imaginarios (sin parte real). Un polo doble en el origen (dobleintegrador) no seria nuestro caso,ya que un polo en el origen genera inestabilidad. Podemos hallar el lugar de estospolos a través del polinomio auxiliar que obtenemos de la fila superior a la de ceros.

Teorema de Routh-Hurwitz 4

Fuentes y contribuyentes del artículo 5

Fuentes y contribuyentes del artículoTeorema de Routh- Hurwitz  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35269181  Contribuyentes: Alfredobi, Antur, Farisori, Gafotas, José Ángel Fdez, Jtico, Juan Mayordomo,Marjorie Apel, SelitoSevilla, Super braulio, 8 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Criterio_de_Routh_00.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Criterio_de_Routh_00.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: José Antonio TorresArchivo:Criterio_de_Routh_05.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Criterio_de_Routh_05.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: José Antonio TorresArchivo:Criterio_de_Routh_01.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Criterio_de_Routh_01.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: José Antonio TorresArchivo:Criterio_de_Routh_02.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Criterio_de_Routh_02.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: José Antonio TorresArchivo:Criterio_de_Routh_03.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Criterio_de_Routh_03.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: José Antonio TorresArchivo:Criterio_de_Routh_04.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Criterio_de_Routh_04.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: José Antonio TorresArchivo:sys blinking.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sys_blinking.gif  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: jose angel fdez

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