capitulo 7 estabilidad de los elementos...
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CAPITULO 7
ESTABILIDAD DE LOS ELEMENTOS LIBRES
Al momento de hacer la simulación del sistema para cualquier caso dado, se
puede ver que algunas veces los elementos libres compensan el desbalanceo del rotor y
otras no. En ciertas circunstancias, dependiendo del diseño de las máquinas, pueden ser
susceptible a la inestabilidad. Esto significa que se presentarán vibraciones ya sea que
existan o no existan efectos del desbalance, y esto resulta en altos niveles de ruido,
esfuerzos y reducción en la vida útil de la máquina debido a la presencia de fatiga. [14]
Para tener una idea clara sobre si el sistema es capaz de autobalancearse, se debe
hacer un análisis dinámico de los elementos libres en sus posiciones finales. Dicho
análisis se puede hacer si se conocen las fuerzas que actuán sobre los elementos libres.
Las estabilidad de las posiciones finales de los elementos libres [21] están regidas
por la ecuación:
0=⋅-∂
∂lk
a ijj
iP(7.1)
donde ijk es el símbolo de Kronecker. Para que las posiciones finales sean estables, las
raíces l de la determinante deben de tener una parte real negativa.
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7.1 Análisis matemático de la estabilidad del sistema con solo dos elementos
libres (n=2; uno en cada tambor)
Para poder continuar con el análisis es necesario conocer la derivada de la fuerza
de vibración con respecto a la posición del elemento libre. Pero, como la fuerza de
vibración es función de cada una de las amplitudes es también indispensable conocer sus
derivadas con respecto a la posición del elemento libre.
Antes de expresar las derivadas debe quedar claro que cuando los elementos
libres llegan a sus posiciones finales (es decir, cuando el sistema está balanceado),
Ac( )nff aa ,...,1 = As( )nff aa ,...,1 = 0. Por lo tanto:
˙˙˙˙˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍÍÍÍÍ
Î
È
∂
∂-
∂
∂-
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂-
∂
∂-
∂
∂-
∂
∂-
-=∂
∂
Q
Q
iij
s
iij
cii
j
sii
j
c
ij
syi
j
cyi
j
sxi
j
cx
iij
i
zA
senzA
senzA
zA
senAAA
senA
RmP
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
wa
yy
cos
cos
coscos
5.0 2 (7.2)
para i , j = 1,…,n.
A continuación es necesario conocer todos los elementos de la ecuación anterior:
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( )[ ]( ) ˜
¯ˆ
ÁËÊ ---
--=
∂
∂
222
22
ww
awaw
aMkBkk
senBksenkRmAs
xxzzxz
jxzzjxzjj
j
cx (7.3)
( )[ ]( ) ˜
¯ˆ
ÁËÊ ---
--=
∂
∂
222
22 coscos
ww
aaww
aMkBkk
zkBkRmAs
xxzzxz
jixzjxzzjj
j
sx (7.4)
( ) ˜¯ˆ
ÁËÊ ---
˙̊˘
ÍÎ
È-˜
¯ˆ
ÁËÊ -
=∂
∂
222
22
ww
aaww
ay
MkBkk
senksenzMkRmA
sxxzzxz
jxzjis
xjj
j
c (7.5)
( ) ˜¯ˆ
ÁËÊ ---
˙̊˘
ÍÎ
Ș¯ˆ
ÁËÊ --
=∂
∂
222
22 coscos
ww
awaw
ay
MkBkk
zMkkRmA
sxxzzxz
jis
xjxzjj
j
s (7.6)
( )[ ]( ) ˜
¯ˆ
ÁËÊ ---
--=
∂
∂
222
22 coscos
ww
aaww
aMkBkk
zkBkRmAs
yyzzyz
jiyzjyzzjj
j
cy (7.7)
90
( )[ ]( ) ˜
¯ˆ
ÁËÊ ---
--=
∂
∂
222
22
ww
aaww
aMkBkk
senzksenBkRmAs
yyzzyz
jiyzjyzzjj
j
sy (7.8)
( ) ˜¯ˆ
ÁËÊ ---
˙̊˘
ÍÎÈ
˜¯ˆ
ÁËÊ --
=∂
∂ Q
222
22 coscos
ww
awaw
aMkBkk
zMkkRmA
syyzzyz
jis
yjyzjj
j
c (7.9)
( ) ˜¯ˆ
ÁËÊ ---
˙̊˘
ÍÎÈ
˜¯ˆ
ÁËÊ -+
=∂
∂ Q
222
22
ww
awaw
aMkBkk
senzMksenkRmA
syyzzyz
jis
yjyzjj
j
s (7.10)
La determinante para sólo dos elementos libres queda definida como:
0
2
2
1
2
2
1
1
1
=
-∂
∂
∂
∂
∂
∂-
∂
∂
laa
al
a
PP
PP
(7.11)
A partir de la determinante, se obtiene la ecuación característica:
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01
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
12 =˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê
∂
∂
∂
∂-
∂
∂
∂
∂+
˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê
∂
∂-
∂
∂-⋅+
aaaaaall
PPPPPP(7.12)
esta ecuación tiene la forma 02 =+⋅+⋅ cba ll la cual se resuelve mediante la
fórmula general.
Según la ecuación característica se puede ver que se tienen dos soluciones para l .
a
acbb
2
42 -±-=l (7.13)
7.2 Intervalos de estabilidad
Como se puede ver, l puede ser un número real con parte imaginaria (si
acb 42 - < 0)
Los intervalos para los cuales las posiciones finales de los elementos libres se
consideran estables están definidos para aquellos valores de w que den como resultado
partes reales negativas de l . Esto quiere decir que existen ciertos intervalos de
velocidades del rotor para los cuales las posiciones finales serán estables y otros
intervalos que no lo serán, causando un aumento en las vibraciones del rotor.
En la figura 7.1 se pueden ver los intervalos de estabilidad para un sistema con
n=2 y mRMe 2= , donde m es la masa de un elemento libre y R el radio del tambor. Se
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debe aclarar que debido a que n=2 el sistema sólo es capaz de eliminar un valor
específico de Me . Como ya se sabe, el hecho de tener n=4, da la posibilidad de eliminar
más de un solo valor de desbalanceo estático. Lo mismo ocurre para Md y alguna
combinación cualquiera de ambos desbalanceos.
En la figura 7.2 se puede observar los intervalos de estabilidad para el mismo
sistema anterior con amortiguamiento y sin amortiguamiento, donde mzRMd 2= . z es
el valor absoluto de la distancia del centro del rotor al centro de un elemento libre
Figura 7.1 Intervalos de estabilidad con sólo Me.
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A partir de la figura anterior se puede ver que velocidades menores a 20 rad/s no
son estables, lo que significa que cualquier vibración generada crecerá en el tiempo. A
valores mayores de 20, el rotor es estable.
Figura 7.2 Intervalos de estabilidad con sólo Md
Se puede ver que el comportamiento es sumamente parecido con el de la figura
7.1. La diferencia se encuentra justo a los 20 rad/s en donde cada una de las gráficas tiene
un diferente valor (muy pequeño, pero a fin de cuentas distinto).
Por otro lado, debido al comportamiento similar, se tienen los mismos intervalos de
estabilidad.
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Figura 7.3 Intervalos de estabilidad con sólo Me y amortiguamiento
Figura 7.4 Intervalos de estabilidad con sólo Md y amortiguamiento
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Para todas las figuras anteriores se observa un comportamiento similar, en donde
a 20 rad/s se observa un pico. De antemano se sabe que a esa frecuencia se encuentra una
de las frecuancias naturales del sistema.
7.2.1 Intervalos de estabilidad con diferente rigidez en el sistema
Para este caso, el valor de rigidez de y es 4 veces el de x.
Figura 7.5 Intervalos de estabilidad con rigidez distinta sinamortiguamiento.
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En la figura anterior se puede ver como ahora ya ha cambiado el comportamiento
del sistema. Los intervalos de estabilidad ahora son: 21-39 rad/s y 48 en adelante. Se
debe tener precaución en el valor de 48 rad/s especialmente, debido a que ahora esta
velocidad es una de sus frecuencias relativas.
Cabe mencionar el detalle de que ahora se tuvieron dos intervalos y no sólo uno
como anteriormente había sido.
Figura 7.6 Intervalos de estabilidad con rigidez distinta conamortiguamiento
En esta ocasión se tiene un comportamiento sumamente parecido a las primeras 4 figuras
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de ésta capítulo. La diferencia es que ahora 31 rad/s funciona como frecuencia natural del
sistema debido a el cambio en la rigidez y en el amortiguamiento.
7.3 Criterio de Routh – Hurwitz
El criterio de Routh – Hurwitz es un método para determinar si la ecuación de
frecuencias de un sistema dinámico contiene o no raíces con partes reales positivas. Si
existen partes reales positivas en cualquier raíz, el sistema será inestable en la velocidad
analizada, debido a cualquier perturbación en las posiciones finales de los elementos
libres producirá una respuesta que crecerá en el tiempo.
Este método es utilizado en esta tesis para poder comparar los resultados
anteriores de las gráficas con los valores a obtener por medio del método de Routh –
Hurwitz.
La manera en que se debe escribir la ecuación de frecuencias para poder llevar a
cabo el método es: [18]
0... 12
22
21
1 =+++++ --
-- o
mm
mm
mm aaaaaa lllll (7.14)
Para que no existan partes reales positivas, se deben cumplir dos condiciones:
(1) Todos los coeficientes de la ecuación de frecuencias deben de tener el mismo
signo, y
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(2) Cada miembro de la secuencia de determinantes R1, R2,…, Rn-1 que se definen
más adelante, deben de ser positivos:
R1= oa (7.15)
R2= 23
1
aa
aa o (7.16)
R3=
345
123
01 0
aaa
aaa
aa
… etc (7.17)
Ahora, que el método ha sido definido, es necesario confirmar si los valores
obtenidos en la gráfica wvslambda como estables o no estables. Para esto, primero
se deben calcular los valores de las frecuencias naturales para saber si los mínimos (o
valores extremos de las gráficas) son correctos.
s
rad
M
kxkx2021
1 =+
=w
(7.18)
s
rad
M
zkxzkx27
222
211
2 =+
=w (7.19)
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Ya que han sido obtenidas las frecuencias naturales para cuando sólo existe
desbalanceo estático ( )1w y para cuando sólo existe desbalanceo dinámico ( )2w , es
tiempo de aplicar el método.
7.3.1 Criterio de Routh – Hurwitz con sólo desbalanceo estático presente
Para llevar a cabo el método se analizaron 4 velocidades, s
rad100,40,20,10=w .
Los coeficientes na se obtienen de la ecuación:
01
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
12 =˜˜¯
ˆÁÁË
Ê
∂
∂
∂
∂-
∂
∂
∂
∂+˜
˜¯
ˆÁÁË
Ê
∂
∂+
∂
∂⋅-
aaaaaall
PPPPPP(7.20)
Para s
rad10=w :
(1) 2a +, 1a - y 0a +
(2) R1= oa = 0
Para s
rad20=w :
(1) 2a +, 1a + y 0a +
(2) R1= oa = 0
100
Para s
rad40=w :
(1) 2a +, 1a + y 0a +
(2) R1= oa = 1.2656e-6
Para s
rad100=w :
(1) 2a +, 1a + y 0a +
(2) R1= oa = 3.1017e-5
Los 4 valores probados con el criterio corresponden con la figura 7.1. Se puede
ver que los 4 valores analizados al ser comparados con los valores de la figura, dan
buenos resultados, esto significa que los resultados concuerdan con los obtenidos en las
gráficas de intervalos de estabilidad.
Por lo tanto, si se buscara sólo saber si un valor específico de w es estable o no,
lo más recomendable utilizar el criterio de Routh-Hurwitz.