CORTANTE BASALLa fuerza sísmica total en la base del edificio, cortante basal, se encuentra por medio del espectro de diseño (aceleración de respuesta de la edificación según su periodo de vibración) y el peso total de la edificación. (F=m*a, segunda Ley de Newton).La forma como responde el edificio a la aceleración inducida por el sismo determina la repartición de las fuerzas sísmicas tanto en la altura como en cada uno de los elementos estructurales que la conforman.Existen varios métodos para determinar esta repartición de fuerzas en altura, estos pueden ser simplificados, métodos estáticos equivalentes (fuerza horizontal equivalente, FHE) o mas completos como los métodos de análisis modal espectral.Independiente del método a usar se tienen también diferentes formas de considerar el modelo de la edificación. MODELO DE ANÁLISIS: El modelo de la estructura debe representar su geometría, dimensiones, apoyos, efectos de diafragma rígido si lo hay, los efectos de torsión por excentricidades entre el centro de rigidez y el centro de masa, y los efectos de carga axial por momentos de vuelco.El modelo de la edificación se puede hacer tridimensional o por pórticos planos. En el análisis por el método de la fuerza horizontal equivalente seguiremos el procedimiento de los pórticos planos para tener conciencia de la repartición de las fuerzas en los pórticos y del efecto de torsión. La norma recomienda que se diseñe la edificación para el 100% de la carga sísmica actuando en ambas direcciones principales perpendiculares del edificio no simultáneamente. Este requisito asegura que para cualquier dirección del sismo, la carga se puede descomponer en estas dos direcciones perpendiculares entre si y el edificio estaría en capacidad de soportarlo. Análisis por pórticos planos:La repartición de la fuerza sísmica en cada uno de los pórticos depende de si existe o no diafragma rígido en cada piso.En el caso de la presencia de un sistema de piso rígido en su plano, losa, estos pórticos no actúan independientes sino que conforman todo un sistema, por lo tanto las deformaciones deben ser compatibles entre ellos.

Para lograr la integridad en el análisis repartiremos las fuerzas sísmicas de acuerdo con un sistema que tenga en cuenta la rigidez de cada pórtico (ver http://estructuras.eia.edu.co/hormigonII/indehor2.html, análisis sísmico). ANÁLISIS POR PÓRTICOS PLANOS: Consiste en analizar cada pórtico por aparte como si la estructura fuera plana. La fuerza sísmica total de cada nivel se distribuye a los pórticos del sentido de análisis de acuerdo con la rigidez de cada pórtico considerando el efecto del diafragma rígido que hace que todos los pórticos tengan igual desplazamiento. Para la figura mostrada podemos repartir la fuerza sísmica total que actúa en el centro de rigidez de cada piso en cada uno de los pórticos así:Por equilibrio:

Por compatibilidad de deformaciones: diafragma rígido:

Por relaciones fuerza desplazamiento:

reemplazando en las ecuaciones de equilibrio:

pero sabemos que  , entonces la fuerza sísmica en el pórtico A en el nivel x es:

donde los términos ki/Σ kpiso representa la rigidez relativa de cada pórtico y corresponde a una fracción de la fuerza sísmica total, si sumamos los coeficientes de rigidez relativa de todos los pórticos en una dirección vemos que da 1.Con las rigideces relativas encontramos la distribución de la fuerza sísmica  proporcional a la rigidez de cada pórtico.

 

  

         

En el análisis anterior no consideramos efectos de rotación del diafragma rígido por posibles excentricidades entre el centro de rigidez y el centro de masa.

 CENTRO DE RIGIDEZ: es el punto con respecto al cual el edificio se mueve desplazándose como un todo, es el punto donde se pueden considerar concentradas las rigideces de todos los pórticos. Si el edificio presenta rotaciones estas serán con respecto a este punto.Existe línea de rigidez en el sentido X y línea de rigidez en el sentido Y, la intersección de ellas representa el centro de rigidez.  Las líneas de rigidez representan la línea de acción de la resultante de lasrigideces en cada sentido asumiendo que las rigideces de cada pórtico fueran fuerzas.Coordenadas del centro de rigidez:

También se puede expresar en función de la rigidez relativa de cada pórtico:

sabemos que xi= distancia del pórtico al eje coordenado Y. Igual para la coordenada Ycr.Para determinar el centro de rigidez necesitamos conocer la rigidez de cada pórtico. RIGIDES DE CADA PÓRTICO EN CADA PISO

La rigidez es la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario. Según esta definición si conocemos la deformación causada por una fuerza dada podemos obtener la rigidez:K=F/Δ

Para un pórtico de una edificación normal, la rigidez correspondería a una matriz que asocia las fuerzas aplicadas en cada grado de libertad con los desplazamientos de cada uno de ellos.  En estos casos la rigidez requerida es la de desplazamiento horizontal y se encontraría para cada piso en cada pórtico plano. Con la ayuda de un programa de análisis, corremos cada pórtico con la fuerza sísmica total repartida en cada piso según el método de la FHE. Determinamos los desplazamientos de cada piso (puede generar la opción de diafragma rígido en cada piso pero no es necesario si se cuenta con vigas axialmente rígidas en cada nivel), encontramos las derivas de piso como el desplazamiento del piso superior menos el desplazamiento del piso inferior, dividimos la fuerza sísmica acumulada de piso (por qué la acumulada) por la deriva y encontramos la rigidez de cada pórtico.

 Fuerza sísmica correspondiente a cada pórtico: Se calcula la rigidez relativa de cada pórtico en cada piso como:

la fuerza sísmica a cada pórtico es igual a la fuerza sísmica de piso por la rigidez relativa de cada pórtico.Ejemplo:  Se puede manejar el cálculo por medio de una tabla:  

SENTIDO CORTO

NIVEL FUERZAACUMULADO PORTICO A PORTICO B PORTICO C PORTICO D PORTICO E

DESPLAZAMIENTO DERIVA DESPLA

DERIVA DESPLA DERIVA DESPLA DERIVA DESPLA

6 19.2 19.2 0.18606 0.01625 0.20793 0.018 0.18606 0.01625 0.18606 0.01625 0.207935 14.11 33.31 0.16981 0.0255 0.18993 0.0282 0.16981 0.0255 0.16981 0.0255 0.189934 11.18 44.49 0.14431 0.03336 0.16172 0.037 0.14431 0.03336 0.14431 0.03336 0.161723 8.3 52.79 0.11095 0.03881 0.12472 0.0432 0.11095 0.03881 0.11095 0.03881 0.124722 5.5 58.29 0.07214 0.04046 0.08155 0.0454 0.07214 0.04046 0.07214 0.04046 0.081551 2.8 61.09 0.03168 0.03168 0.03615 0.0362 0.03168 0.03168 0.03168 0.03168 0.03615

RIGIDEZ

NIVEL TOTAL PORTICO A PORTICO B PORTICO C PORTICO D PORTICO ERELATIVA RELATIVA RELATIVA RELATIVA

6 6859.49 1181.538 0.172 1066.667 0.156 1181.538 0.172 1181.5385 0.17 1066.675 7586.67 1306.275 0.172 1180.787 0.156 1306.275 0.172 1306.2745 0.17 1180.794 7739.4 1333.633 0.172 1202.432 0.155 1333.633 0.172 1333.6331 0.17 1202.433 7886.55 1360.216 0.172 1222.84 0.155 1360.216 0.172 1360.2164 0.17 1222.842 8330.57 1440.682 0.173 1283.921 0.154 1440.682 0.173 1440.6822 0.17 1283.921 11093.2 1928.346 0.174 1689.903 0.152 1928.346 0.174 1928.346 0.17 1689.9

 RIGIDECES RELATIVAS PARA TORSIÓNSENTIDO CORTO Xcr= 11.25PORTICO X K d*k k*d^2 k*d/sumaA 0 0.172 -1.93857 21.8089 -0.03444B 5 0.155 -0.97103 6.06895 -0.01725C 10 0.172 -0.2154 0.26925 -0.00383D 12.5 0.172 0.215397 0.26925 0.003826E 17.5 0.155 0.971032 6.06895 0.017249F 22.5 0.172 1.938571 21.8089 0.034436suma 56.2942  FUERZA EN CADA PORTICOSENTIDO CORTO Xcr= 0 Xcm= 0 exc acci=

NIVEL Fsismi Mt1 Mt2PORTICO A

mas exc meno exc k*Fs Fs torso1Fs torso2

Fsism. Total

1 1921 2190 -2190 331 -75 752 1410 1608 -1608 243 197 -113 1118 1274 -1274 193 156 1624 830 947 -947 143 116 05 550 626 -626 95 77 06 279 318 -318 48 39 0

suma 6108 6963 -6963 1053   Con los datos obtenidos se puede hacer una verificación preliminar (falta considerar efectos de rotación) de la deriva máxima de piso:

, ver capítulo A.6 de la NSR-98.Se sabe que F=k*Δ, se conoce fuerza de cada piso (acumulada), se conoce rigidez de cada piso (suma de rigideces de los pórticos en cada piso), se

determina la deriva de piso. Si su edificio no cumple con este requisito se debe rigidizar aumentando secciones de vigas, columnas o el modulo de elasticidad del material. Efectos de rotación: Cuando el centro de masa de la edificación no coincide con el centro de rotación o rigidez se produce un momento torsor en cada piso. Por efectos de seguridad, la norma exige considerar en el análisis una excentricidad accidental del 5% de la longitud total del edificio en la dirección perpendicular a la dirección de estudio adicional a la excentricidad real.Los efectos del momento torsor se descomponen en pares de fuerzas en los pórticos planos, en unos disminuye la fuerza sísmica y en otros la aumenta. Cuando los efectos de torsión tienden a disminuir la fuerza sísmica de un pórtico no se corrigen las fuerzas sísmicas de diseño en ese pórtico.  Cálculo de la excentricidad de piso: Se determina tanto en X como en Y  Ver A.3.6.7

;  Excentricidad accidental: 5% de L

 Momento torsor generado en cada piso:

; se calcula para la dirección de análisis y tanto sumando como restando e accidental. Distribución de los efectos de torsión en cada pórtico y por piso:

; donde ki es la rigidez de cada pórtico y di es la distancia perpendicular de cada pórtico al centro de rigidez. Note que pórticos con distancia cero no toman fuerza por efectos de torsión. Fuerza sísmica de diseño para cada pórtico en cada piso:Se suma la fuerza por efectos de desplazamientos y la fuerza por efectos de rotación. El análisis se realiza tanto para el sentido positivo como para el negativo. Sismo en X y sismo en –X, por lo tanto se debe calcular la fuerza sísmica de diseño para cada sentido considerando efectos de traslación y rotación. Para todos estos cálculos se recomienda construir una hoja de cálculo.

 Una vez definidas las fuerzas sísmicas para cada pórtico, se analiza y se determinan fuerzas internas, desplazamientos y derivas en cada uno.Se verifica la deriva máxima de piso y si no cumple se debe rigidizar el edificio (ver A.6)Cuando se trabaja con modelos tridimensionales la deriva total se determina sumando vectorialmente las componentes de deriva en X y deriva en Y tanto para efectos de traslación como de rotación. Para el taller se ha seleccionado solo un sentido de análisis por lo tanto se debe entregar (ya sea por medios magnéticos o en papel) los cálculos de la fuerza sísmica de diseño en cada pórtico y los resultados del análisis sísmicos con la verificación de derivas en cada piso.En el mismo modelo entrar las cargas verticales sobre las vigas (las calculadas en el diseño de la losa) como un tipo de carga diferente a la de sismo. Entregar grafica de momentos de diseño para este tipo de carga y grafica de momentos de diseño para la carga sísmica tanto en el sentido positivo como negativo.  Fecha de entrega: Octubre 14 Análisis modal espectral:Este análisis se realizará por medio del programa SAP2000.Modelar la edificación en sap. Modelo tridimensional.  También se podría hacer por el método de la batería (uniendo todos los pórticos planos, en fila, por medio de elementos muy rígidos axialmente pero con poca rigidez a flexión).Seguir todos los pasos descritos en http://estructuras.eia.edu.co/hormigonII/indehor2.html  talleres, análisis modal. Fecha de entrega: Octubre 27 Análisis combinando cargas verticales con cargas sísmicas:Revisar las combinaciones exigidas por la norma y para el modelo de pórticos planos determinar las cargas de diseño y las envolventes de momentos, cortante y axiales. Se realiza a mano para una viga y para una columna y se verifican resultados con lo obtenido en Sap 2000.