corrección segundo parcial de cálculo iii, 16 de marzo de 2016

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 16 de marzo de 2016

Tabla de Respuestas

1.- (40 puntos) Hallar el valor de x(ln 2), sabiendo que x es la solucion del problema a valor inicial: x = 3x− 2y + 1,y = 2x− 2y + 2,x(0) = 3, y(0) = 6.

Respuesta:Resolvemos primero el sistema (L) asociado al problema, comenzamos con (LH) asociado{

x = 3x− 2y,y = 2x− 2y

⇒(xy

)=

(3 −22 −2

)(xy

)(LHC)

Hallamos los valores propios de la matriz A asociada a (LHC).

p(λ) =

∣∣∣∣λ− 3 2−2 λ+ 2

∣∣∣∣ = λ2 − λ− 6 + 4 = (λ− 2)(λ+ 1).

La familia generadora de soluciones esta dada por {e2t, e−t} y planteamos como solucion general

x = c11e2t + c12e

−t,y = c21e

2t + c22e−t

Determinamos relaciones entre las constantes cij reemplazando en la primera ecuacion:

2c11e2t − c12e

−t = (3c11 − 2c21)e2t + (3c12 − 2c22)e−t ⇒ c11 = 2c21 = 2c1, 2c11 = c22 = c2.

De donde la solucion general de (LH) asociado es

x = 2c1e2t + c2e

−t,y = c1e

2t + 2c2e−t.

La solucion particular de (L), por tanteo da: x = 1, y = 2, por lo tanto la solucion general de (L) es

x = 2c1e2t + c2e

−t + 1,y = c1e

2t + 2c2e−t + 2.

Por ultimo, determinamos los valores de c1 y c2 reemplazando las condiciones iniciales en la soluciongeneral:

x(0) = 2c1 + c2 + 1 = 3y(0) = c1 + 2c2 + 2 = 6.

⇒ c1 = 0, c2 = 2.

La solucion del problema a valor inicial es:

x = 2e−t + 1,y = 4e−t + 2.

Asi x(ln 2) = 2e− ln 2 + 1 = 1 + 1 = 2.

2.- (30 puntos) Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general de la familia de curvas queparten del origen por el primer cuadrante, tales que el area bajo cada curva desde (0, 0) hasta (x, y) esigual a un tercio del area del rectangulo que tiene a esos puntos como vertices opuestos.Respuesta:

El area de la superficie encerrada por una de las curvas de lafamilia esta dada por

Area =

∫ x

0

y dx

que de acuerdo a los datos del problema es

(x, y)

Area =

∫ x

0

y dx =1

3xy

Derivando respecto a x, se obtiene

y =1

3y +

1

3xy′ ⇒ y′ =

2

xy ⇒ y = ce2 ln x

De donde, la ecuacion general de la familia de curvas es y = cx2 .

3.- (30 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion

(x3 + xy3) dx+ 3y2 dy = 0.

Respuesta:erificamos primero si la ecuacion admite primitiva o no.

∂

∂y(x3 + xy3) = 3xy2 6= ∂3y2

∂x= 0.

Resolvemos la ecuacion, por medio del factor integrante µ(x, y), lo que da

µ(x3 + xy3) dx+ 3µy2 dy = 0⇒ 3xy2µ+∂µ

∂y(x3 + xy3) = 3y2 ∂µ

∂x.

Suponemos que µ(x), lo que da

3xy2µ = 3y2µ′ ⇒ µ′ = xµ→ µ = ex2/2.

Obtenemos la ecuacion que admite primitiva

ex2/2(x3 + xy3) dx+ 3ex

2/2y2 dy = 0

Encontramos la primitiva

∂f

∂x(x, y) = 3ex

2/2y2 ⇒ f(x, y) = ex2/2y3 + c(x)⇒ c′(x) = ex

2/2x3,

Hallamos c(x) integrando por partes∫ex

2/2x3 dx = ex2/2x2 − 2

∫ex

2/2x dx = ex2/2x2 − 2ex

2/2

de donde la primitiva encontrada es

f(x, y) = ex2/2(x2 + y3 − 2)

y la solucion general es

ex2/2(x2 + y3 − 2) = c.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Segundo Parcial de Calculo III 1 16 de marzo de 2016

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.- f

2.- f

3.- f


Respuesta:

a) x(ln 2) = 3, b) x(ln 2) = 1, c) x(ln 2) = 0,d) x(ln 2) = 6, e) x(ln 2) = 4, f) x(ln 2) = 2,g) Ninguna de las anteriores.


a) x2 + y2 = c, b) xy2 = c, c) y = cx,d) y2 = cx, e) y3 − cx = 0, f) y = cx2,g) Ninguna de las anteriores.


(x3 + xy3) dx+ 3y2 dy = 0.

Respuesta:

a) exy(x+ y) = c, b) y2 = x4 + cx3, c) y(x3 + cx) = 3,

d) x(y3 − cy) = 3, e) ex+yxy = c, f) ex2/2(y3 + x2 − 2) = c,

g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.- e

2.- e

3.- e


Respuesta:



a) xy2 = c, b) y = cx, c) y2 = cx,d) y3 − cx = 0, e) y = cx2, f) x2 + y2 = c,g) Ninguna de las anteriores.


(x3 + xy3) dx+ 3y2 dy = 0.

Respuesta:

a) y2 = x4 + cx3, b) y(x3 + cx) = 3, c) x(y3 − cy) = 3,

d) ex+yxy = c, e) ex2/2(y3 + x2 − 2) = c, f) exy(x+ y) = c,













Tabla de Respuestas

1.- d

2.- d

3.- d


Respuesta:



a) y = cx, b) y2 = cx, c) y3 − cx = 0,d) y = cx2, e) x2 + y2 = c, f) xy2 = c,g) Ninguna de las anteriores.


(x3 + xy3) dx+ 3y2 dy = 0.

Respuesta:

a) y(x3 + cx) = 3, b) x(y3 − cy) = 3, c) ex+yxy = c,

d) ex2/2(y3 + x2 − 2) = c, e) exy(x+ y) = c, f) y2 = x4 + cx3,













Tabla de Respuestas

1.- c

2.- c

3.- c


Respuesta:



a) y2 = cx, b) y3 − cx = 0, c) y = cx2,d) x2 + y2 = c, e) xy2 = c, f) y = cx,g) Ninguna de las anteriores.


(x3 + xy3) dx+ 3y2 dy = 0.

Respuesta:

a) x(y3 − cy) = 3, b) ex+yxy = c, c) ex2/2(y3 + x2 − 2) = c,

d) exy(x+ y) = c, e) y2 = x4 + cx3, f) y(x3 + cx) = 3,g) Ninguna de las anteriores.

corrección segundo parcial de cálculo iii, 16 de marzo de 2016

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