corrección primer parcial de cálculo iii, 27 de enero de 2015

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 27 de enero de 2016

Tabla de Respuestas

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la solucion del problema a valor inicial: y′′ − 2y′ + y = x2 − 4x+ 1,y(0) = 3,y′(0) = 2.

Respuesta:Resolvemos la ecuacion lineal asociada al problema

y′′ − 2y′ + y = x2 − 4x− 1, (L)

comenzando con la ecuacion lineal homogenea asociada

y′′ − 2y′ + y = 0, (LHC)

cuyo polinomio caracterıstico es p(λ) = λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2. λ = 1 es una raız que se repite dosveces, de donde SF = {ex, xex}.La solucion particular de la ecuacion (L) se la obtiene por tanteo, plantendo y = αx2+βx+γ. Derivandoy reemplazando, obtenemos:

2α−2(2αx+β)+(αx2+βx+γ) = x2−4x+1⇒ α = 1, −4α+β = −4, 2α−2β+γ = 1⇒ α = 1, β = 0, γ = −1

Solucion particular obtenida, y = x2 − 1. La solucion general de la ecuacion (L) esta dada por

y = c1ex + c2xe

x + x2 − 1.

Ahora hallamos los valores de las constantes c1 y c2 reemplazando las condiciones iniciales en la soluciongeneral.

y(0) = c1 − 1 = 3,y′(0) = c1 + c2 = 2,

⇒ c1 = 4, c2 = −2.

Solucion del problema a valor inicial y = 4ex − xet + x2 − 1, de donde y(2) = 4e2 − 4e2 + 4− 1 = 3.

2.- (30 puntos) Resolver el problema

yy′′ = y2y′ + (y′)2, y = −1

2e y′ = 1 para x = 0.

Respuesta:Reducimos el orden, planteando y′(x) = u(y). Derivamos y′′ = u′y′ = uu′. Reemplazamos en laecuacion diferencial del problema

yuu′ = y2u+ u2, u(−1

2) = 1⇒ yu′ = y2 + u⇒ u′ =

1

yu+ y ⇒ u = cy + y2

Reemplazamos la condicion inicial 1 = − 12c+ 1

4 , c = − 32 , de donde

y′ = −3

2y + y2,⇒ y′

y(y − 32 )

= 1.

Integramos

−2

3ln y +

2

3ln(y − 3

2) = x+ d⇒ ln

(y − 3

2

y

)=

3

2x+ d⇒

y − 32

y= de

32x.

Reemplazamos la condicion inicial y(0) = − 12 , lo que da d = 4. La solucion del problema esta dada por

2y − 3 = 8e3x/2

3.- (30 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial

(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:Intercambiamos roles entre la funcion incognita y con la variable independiente x. De esta manera

x′ =−2

yx+

ey

y2(L)

Resolvemos x′ = −2y x, x = ce−2 ln y = c

y2 . Encontramos una solucion particular por variacion de

constantes, planteando x = c(y)y2 . Derivamos y reemplazamos

c′

y2=ey

y2⇒ c′ = ey ⇒ c = ey.

De donde, solucion particular hallada x = ey

y2 . Solucion general xy2 = c+ ey.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 1 27 de enero de 2016

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.- f

2.- f

3.- f


Respuesta:

a) y(2) = −3e2 + 4, b) y(2) = e2 + 1, c) y(2) = 0,d) y(2) = 2e2 − 3, e) y(2) = 3− e2, f) y(2) = 3,g) Ninguna de las anteriores.


yy′′ = y2y′ + (y′)2, y = −1

2e y′ = 1 para x = 0.

Respuesta:

a) y = − ln(2e−x − 1), b) y = 2e−x, c) xy2 = x+ y3,

d) y = 3 lnx+ ex, e) y = 12x

2 − ln(x2 + c1) + 2, f) 2y − 3 = 8ye32x,

g) Ninguna de las anteriores.


(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) xy(x+ y)2 = c, b) y = 1 + lnx+ cx, c) xyex − ex = c,d) x3 ln y = c, e) lnx− 1

xy = c, f) xy2 = ey + c,













Tabla de Respuestas

1.- e

2.- e

3.- e


Respuesta:

a) y(2) = −3e2 + 4, b) y(2) = e2 + 1, c) y(2) = 0,d) y(2) = 2e2 − 3, e) y(2) = 3, f) y(2) = 3− e2,g) Ninguna de las anteriores.


yy′′ = y2y′ + (y′)2, y = −1

2e y′ = 1 para x = 0.

Respuesta:

a) y = − ln(2e−x − 1), b) y = 2e−x, c) xy2 = x+ y3,

d) y = 3 lnx+ ex, e) 2y − 3 = 8ye32x, f) y = 1

2x2 − ln(x2 + c1) + 2,



(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) xy(x+ y)2 = c, b) y = 1 + lnx+ cx, c) xyex − ex = c,d) x3 ln y = c, e) xy2 = ey + c, f) lnx− 1

xy = c,













Tabla de Respuestas

1.- d

2.- d

3.- d


Respuesta:

a) y(2) = 0, b) y(2) = 2e2 − 3, c) y(2) = 3− e2,d) y(2) = 3, e) y(2) = −3e2 + 4, f) y(2) = e2 + 1,g) Ninguna de las anteriores.


yy′′ = y2y′ + (y′)2, y = −1

2e y′ = 1 para x = 0.

Respuesta:

a) xy2 = x+ y3, b) y = 3 lnx+ ex, c) y = 12x

2 − ln(x2 + c1) + 2,

d) 2y − 3 = 8ye32x, e) y = − ln(2e−x − 1), f) y = 2e−x,



(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) xyex − ex = c, b) x3 ln y = c, c) lnx− 1xy = c,

d) xy2 = ey + c, e) xy(x+ y)2 = c, f) y = 1 + lnx+ cx,g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.- c

2.- c

3.- c


Respuesta:

a) y(2) = 2e2 − 3, b) y(2) = 3− e2, c) y(2) = 3,d) y(2) = −3e2 + 4, e) y(2) = e2 + 1, f) y(2) = 0,g) Ninguna de las anteriores.


yy′′ = y2y′ + (y′)2, y = −1

2e y′ = 1 para x = 0.

Respuesta:

a) y = 3 lnx+ ex, b) y = 12x

2 − ln(x2 + c1) + 2, c) 2y − 3 = 8ye32x,

d) y = − ln(2e−x − 1), e) y = 2e−x, f) xy2 = x+ y3,g) Ninguna de las anteriores.


(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) x3 ln y = c, b) lnx− 1xy = c, c) xy2 = ey + c,

d) xy(x+ y)2 = c, e) y = 1 + lnx+ cx, f) xyex − ex = c,g) Ninguna de las anteriores.

corrección primer parcial de cálculo iii, 27 de enero de 2015

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