corrección examen final de cálculo iii, 23 de marzo de 2016

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Examen Final de Calculo III 1, 2, 3, 4 23 de marzo de 2016

Tabla de Respuestas

1.- (40 puntos) Hallar el valor de x(ln 2), sabiendo que x es la solucion del problema a valor inicial: x = 3x− 2y,y = 4x− 3y + 1,x(0) = 4, y(0) = 7.

Respuesta:Resolvemos primero el sistema (L) asociado al problema, comenzamos con (LH) asociado{

x = 3x− 2y,y = 4x− 3y

⇒(xy

)=

(3 −24 −3

)(xy

)(LHC)

Hallamos los valores propios de la matriz A asociada a (LHC).

p(λ) =

∣∣∣∣λ− 3 2−4 λ+ 3

∣∣∣∣ = λ2 − 9 + 8 = (λ− 1)(λ+ 1).

La familia generadora de soluciones esta dada por {et, e−t} y planteamos como solucion general

x = c11et + c12e

−t,y = c21e

t + c22e−t

Determinamos relaciones entre las constantes cij reemplazando en la primera ecuacion:

c11et − c12e

−t = (3c11 − 2c21)et + (3c12 − 2c22)e−t ⇒ c11 = c21 = c1, 2c11 = c22 = c2.

De donde la solucion general de (LH) asociado es

x = c1et + c2e

−t,y = c1e

t + 2c2e−t.

La solucion particular de (L), por tanteo da: x = 2, y = 3, por lo tanto la solucion general de (L) es

x = c1et + c2e

−t + 2,y = c1e

t + 2c2e−t + 3.

Por ultimo, determinamos los valores de c1 y c2 reemplazando las condiciones iniciales en la soluciongeneral:

x(0) = c1 + c2 + 2 = 4y(0) = c1 + 2c2 + 3 = 7.

⇒ c1 = 0, c2 = 2.

La solucion del problema a valor inicial es:

x = 2e−t + 2,y = 4e−t + 3.

Asi x(ln 2) = 2e− ln 2 + 2 = 1 + 2 = 3.

2.- (30 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la solucion del problema a valor inicial: y′′ − 2y′ + y = 4− 2t,y(0) = 2,y′(0) = −1.

Respuesta:Resolvemos la ecuacion lineal asociada al problema

y′′ − 2y′ + y = 2t− 4, (L)

comenzando con la ecuacion lineal homogenea asociada

y′′ − 2y′ + y = 0, (LHC)

cuyo polinomio caracterıstico es p(λ) = λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2. λ = 1 es una raız que se repite dosveces, de donde SF = {et, tet}.La solucion particular de la ecuacion (L) se la obtiene por tanteo, plantendo y = αt+ β. Derivando yreemplazando, obtenemos:

−2α+ (αt+ β) = 4− 2t⇒ α = −2, −2α+ β = 4⇒ α = −2, β = 0.

Solucion particular obtenida, y = −2t. La solucion general de la ecuacion (L) esta dada por

y = c1et + c2te

t − 2t.

Ahora hallamos los valores de las constantes c1 y c2 reemplazando las con diciones iniciales en lasolucion general.

y(0) = c1 = 2,y′(0) = c1 + c2 − 2 = −1,

⇒ c1 = 2, c2 = −1.

Solucion del problema a valor inicial y = 2et − tet − 2t, de donde y(2) = 2e2 − 2e2 − 4 = −4.

3.- (30 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial

(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:Intercambiamos roles entre la funcion incognita y con la variable independiente x. De esta manera

x′ =−2

yx+

ey

y2(L)

Resolvemos x′ = −2y x, x = ce−2 ln y = c

y2 . Encontramos una solucion particular por variacion de

constantes, planteando x = c(y)y2 . Derivamos y reemplazamos

c′

y2=ey

y2⇒ c′ = ey ⇒ c = ey.

De donde, solucion particular hallada x = ey

y2 . Solucion general xy2 = c+ ey.

2

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Examen Final de Calculo III 1 23 de marzo de 2016

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-


Respuesta:

a) x(ln 2) = 7, b) x(ln 2) = 11, c) x(ln 2) = 0,d) x(ln 2) = 5, e) x(ln 2) = 2, f) x(ln 2) = 3,g) Ninguna de las anteriores.


Respuesta:

a) y(2) = −3e2 + 4, b) y(2) = e2 + 1, c) y(2) = 0,d) y(2) = 2e2 − 3, e) y(2) = 3− e2, f) y(2) = −4,g) Ninguna de las anteriores.


(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) xy(x+ y)2 = c, b) y = 1 + lnx+ cx, c) xyex − ex = c,d) x3 ln y = c, e) lnx− 1

xy = c, f) xy2 = ey + c,

g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-


Respuesta:



Respuesta:

a) y(2) = e2 + 1, b) y(2) = 0, c) y(2) = 2e2 − 3,d) y(2) = 3− e2, e) y(2) = −4, f) y(2) = −3e2 + 4,g) Ninguna de las anteriores.


(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) y = 1 + lnx+ cx, b) xyex − ex = c, c) x3 ln y = c,d) lnx− 1

xy = c, e) xy2 = ey + c, f) xy(x+ y)2 = c,

g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-


Respuesta:



Respuesta:

a) y(2) = 0, b) y(2) = 2e2 − 3, c) y(2) = 3− e2,d) y(2) = −4, e) y(2) = −3e2 + 4, f) y(2) = e2 + 1,g) Ninguna de las anteriores.


(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) xyex − ex = c, b) x3 ln y = c, c) lnx− 1xy = c,

d) xy2 = ey + c, e) xy(x+ y)2 = c, f) y = 1 + lnx+ cx,g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-


Respuesta:



Respuesta:

a) y(2) = 2e2 − 3, b) y(2) = 3− e2, c) y(2) = −4,d) y(2) = −3e2 + 4, e) y(2) = e2 + 1, f) y(2) = 0,g) Ninguna de las anteriores.


(ey − 2xy)y′ = y2

Respuesta:

a) x3 ln y = c, b) lnx− 1xy = c, c) xy2 = ey + c,

d) xy(x+ y)2 = c, e) y = 1 + lnx+ cx, f) xyex − ex = c,g) Ninguna de las anteriores.

corrección examen final de cálculo iii, 23 de marzo de 2016

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