Corriente continua (DC)

Corriente alterna (AC)

No varia con el tiempo

Varia con el tiempo en forma sinusoidal tanto el voltaje como la corriente

La corriente rms ( Irms ) es el valor de

corriente alterna que produciría en un resistor el mismo efecto de calentamiento que una corriente continua.

2máx

rms

II =

2máx

rms

VV =

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores rms de la corriente o la tensión.

Valor Eficaz (Rms)

• Éstos significan la misma cosa para los circuitos AC :– “voltaje de C.C. equivalente ”

– “voltaje eficaz ”

– “voltaje rms”– RMS = root mean square

max2

1VVVV rmseffequivalentDC ===

Corriente alterna en elementos de circuito

I.I. Corriente alterna en una resistenciaCorriente alterna en una resistencia

La tensión aplicada y la corriente están en fase

p 2 p 3 pwt

-10

-5

5

10V,I Circuito con R

I

V

tR

ti o ωεcos)( = tIti o ωcos)( =

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

R I=ε R Itcoso =ωε

tVtv o ωcos)( =

Notación fasorial

La corriente y el voltaje pueden representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

Podemos representar la caída de potencial en

una resistencia como un vector de módulo VR,

que forma un ángulo θ con el eje XEl valor instantáneo de la caída de tensión es la componente x del vector VR, que gira en sentido antihorario con una velocidad ω.

A cos(ωt-δ1) Fasor A ( )A

B cos(ωt-δ2) Fasor B ( )B BAC

+=

Uso de los fasoresCualquier función A cos(ωt-δ), será la componente x de un fasor que forma un ángulo (ωt-δ) con el eje x

Combinar cantidades sinusoidales con diferencias de fase utilizando fasores se convierte en una suma de vectores

Representación de fasor de voltaje AC y de la corriente

oinstantane voltaje cos0 →= tVv ω

Un fasor (vector rotatorio ) de longitud V 0 y una frecuencia ω tiene un componente en “x” igual al voltaje AC .

Un fasor similar puede representar la corriente.

El ángulo entre los fasores voltaje y corriente es el adelanto/retraso entre la corriente y el voltaje.

i = I0 cosωt Corriente instantanea

Relación De Fase

θ = ángulo de fase

• Para adelanto θ° v=Vpcos(ωt+θ)

• Para retraso θ° v=Vpcos(ωt-θ)

Circuito AC que contiene solamente la resistencia R

donde: VR0 = I0R

tIRiRvR

ωcos==

tVvRR

ωcos=tIi

RRωcos=

P = IrmsR 2

Cada medidor da valores rms

2maxV

Vrms = VVrms 7.702

100 ==

R

VI rms

rms= AI rms 95.2

24

7.70 ==

Una fuente de potencia de ca produce un voltaje máximo Vmáx = 100 V. Esta alimentación de potencia se conecta a un resistor de 24 Ω y se miden la corriente y el voltaje en el resistor con un amperímetro y un voltímetro de ca ideales, como en la figura. ¿Cuáles son los valores que registra cada medidor?

Ω6.184.102.8 =+=TotalR AR

VI

Totalcircuito 806.0

6.18

15 ===

RIP altavozaltavoz2

2

1= ( ) WPaltavoz 38.34.10806.02

1 2 =×=

Un amplificador de audio, representado por medio de la fuente de ca y de un resistor en la figura, entrega a un altavoz voltaje alterno a frecuencias de audio. Si el voltaje de salida tiene una amplitud de 15.0 V, R= 8.20 Ω, y el altavoz es equivalente a una resistencia de 10.4 Ω, ¿cuál es la potencia promedio en el tiempo que se le entrega?

Las tres lámparas están en paralelo

V

PII 1

21 == AII 25.1120

15021 ===

21

1 9625.1

120R

I

VR ==== Ω

AV

PI 833.0

120

10033 === Ω144

833.0

120

33 ===

I

VR

AIIII total 33.3833.025.125.1321 =++=++=

La figura muestra tres lámparas conectadas a un suministro de voltaje doméstico de 120 V ca (rms). Las lámparas 1 y 2 tienen focos de 150 W y la lámpara 3 tiene un foco de 100 W. Encuentre la corriente rms y la resistencia de cada foco.

Circuito AC que contiene solamente la inductancia L

tIi ωcos=

dt

diLv

L= ( )tI

dt

dLvL ωcos=

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

0dtdI

L =−ε

dtdI

Ltcoso =ωε

Circuito AC que contiene solamente la inductancia L

El voltaje se adelanta 90º a la corriente

( )o

LLtVv 90cos

0+= ω

( )o

LtLIv 90cos += ωω

tLsenIvL ωω−=

Reactancia o impedancia inductiva

XL se llama la reactancia inductiva.

Asi como un resistor impide el flujo de cargas , un inductor impide también el flujo de cargas en una corriente alterna debido a la fem autoinducida.

V 0 = I0XL XL = ωL

Ejemplo Reactancia de una bobina.

Una bobina tiene una resistencia R = 1 Ω y una inductancia de 0.3 H. Determinar la corriente en la bobina si:

(a) se aplican 120-V dc;

(b) se aplican 120-V ac (rms) a 60.0 Hz.

AR

VI 120

1

120 ===

LIVL

ω=Lf

V

L

VI rmsL

πω 2

2==( ) AI 5.1

3.0602

1202 ==π

Ω3.135.7

100 ===I

VX L

( ) Hf

XXL LL 0424.0

502

3.13

2====

ππω

Ω405.2

100 ===I

VX L

srad

L

X L 9430424.0

40 ===ω

a)

b)

En un circuito de ca puramente inductivo, como en la figura, Vmax = 100 V. a) Si la corriente máxima es 7.5 A a 50 Hz, calcule la inductancia L. b) ¿A qué frecuencia angular ω la corriente máxima es 2.5 A?

XL = ωL

Circuito AC que contiene solamente un capacitor C

El voltaje retrasado a la corriente en 90º

tIdt

dqi ωcos==

tsenI

q ωω

=C

Cvq =

( )oC t

C

Iv 90cos0 −= ω

ω

( ) ( )∫∫ == dttcosIdttcosIq ωω

El voltaje retrasado con corriente en 90º

Circuito AC que contiene solamente un capacitor C

capacitiva Reactancia 1

CX

C ω=

( )oC t

C

Iv 90cos0 −= ω

ω CCXI

C

IV

0

0 ==ω

Ejemplo Reactancia del condensador. Cuáles son la corriente pico y rms en el circuito mostrado si C = 1.0 µ F y Vrms = 120 V? Calcular para f = 60 Hz

C

IV

C ω=

( ) CfVIC

π2= ( ) CfVIrms

π22=

( ) ( ) A.IMax

06401016021202 6 =×= −π

A..

.II Max

rms0450

411

0640

2===

( ) Cf

IV

C π2=

( ) VVV rms 3.282022max ===

maxmax CVQC

QVC =→=

( ) nCQ 77.23.281098 12max =×= −

Un capacitor de 98.0 pF está conectado a un suministro de potencia de 60.0 Hz que produce un voltaje rms de 20.0 V. ¿Cuál es la carga máxima que aparece en cualesquiera de las placas del capacitor?

a) ¿Para qué frecuencias lineales un capacitor de 22.0 μF tiene una reactancia por debajo de 175 Ω? b) Sobre este mismo intervalo de frecuencia, ¿cuál es la reactancia de un capacitor de 44.0 μF?

Relaciones RMSResistencia

rms

rms

I

VR =

Reactancia Capacitiva

fCI

VX

rms

rmsC π2

1==

Reactancia Inductiva

fLI

VX

rms

rmsL π2==

La unidad de la resistencia y de la reactancia es ohmios.

Potencia

Resistencia Capacitancia Inductancia

RIP rms2=

La energía disipada en un resistor se convierte al calor.

Crms XIP 2= Lrms XIP 2=

El condensador es un dispositivo de almacenaje de la energía.

Durante el ciclo la energía se almacena temporalmente en el campo eléctrico.

Por lo tanto, la potencia no es una potencia verdadera sino potencia reactiva llamada en unidades de voltio-amperio-reactivo (VAR).

El inductor es un dispositivo de almacenaje de la energía.

Durante el ciclo AC la energía se almacena temporalmente en el campo magnético

La potencia no es potencia verdadero sino reactiva en unidades VAR.

Impedancia Z de un circuito

Es la relación de la amplitud de voltaje en un circuito a la amplitud de corriente en el circuito

I

VZ =

CfX C π2

1= ( ) ( ) Ω812 1033.1

1020602

1 ×=×

= −πCX

22CXRZ += ( ) ( ) Ω82823 1033.11033.11050 ×=×+×=Z

AZ

VI 5

8 1077.31033.1

5000 −×=×

== personapersona IRV =

( ) VVpersona 88.110501077.3 35 =×××= −

Una persona está trabajando cerca del secundario de un transformador, como se muestra en la figura. El voltaje primario es 120 V a 60 Hz. La capacitancia Ci, que es la capacitancia entre la mano y el devanado secundario, es 20.0 pF. Suponiendo que la persona tiene una resistencia de cuerpo a tierra Re = 50.0 k Ω. determine el voltaje rms a través del cuerpo. Sugerencia: Redibuje el circuito con el secundario del tranformador como una fuente de ca simple.

Circuito RLC en Serie

Solamente una corriente en la conexión de serie utilizada como referencia.

VR e I están en fase , VL adelanta la corriente en 90º y VC se retrasa a la corriente en 90º

Voltaje total - los fasores se suman de la misma manera que los vectores.

( ) 222

0

0

CLR

LCR

VVVV

VVVV

−+=

++=

La misma relación para valores RMS

( )

( ) 22

222

CL

rmsrms

CLRrms

XXRZ

ZIV

VVVV

−+=

=−+=

Impedancia en ohms.

Z

ELICE

Factor de Potencia, Potencia Real y reactiva

ZIV rmsrms =

Factor de potencia = pf =cos φ

WcosφrmsrmsVIP =

Solamente los elementos resistivos disipan energía.

Los elementos reactivos almacenan energía temporalmente en una parte del ciclo AC . Esta energía se devuelve en otra parte del ciclo .

Sin embargo, las fuente de energía y otros equipos tal como transformadores deben poder manejar el VA máximo requerido .

( ) 22CL XXRZ −+=

R

XX CL −=φtan

VAR sinφrmsrmsR VIP =

RL

Q 0

0

00

ωω

ω =∆

=

f0 frecuencia de resonancia

La fuente de voltaje en la figura tiene una salida V = (100 V) cos( 1000t ). Determine a) la corriente en el circuito y b) la potencia suministrada por la fuente, c) Muestre que la potencia disipada en el resistor es igual a la potencia suministrada por la fuente.

XL = ωL XL = 1000(50x10-3)=50Ω

1

CX C ω

= ( ) Ω=×

= − 20 10501000

16CX

( ) 22CL XXRZ −+=

( ) Ω=−+= 50205040 22Z

La fuente de voltaje en la figura tiene una salida V = (100 V) cos( 1000t ). Determine a) la corriente en el circuito y b) la potencia suministrada por la fuente, c) Muestre que la potencia disipada en el resistor es igual a la potencia suministrada por la fuente.

ZIV rmsrms =

R

XX CL −=φtan

AZ

VI 2

50

100maxmax ===

o9.3640

2050tan 1 =

−= −φ

cosIVP φ2

1= W.cosP 8093610022

1 =×=

RIP 2

02

1= ( ) WP 804022

1 2 ==

Ω=×= 5005.01000LX

Ω=××

= − 200100.51000

16CX

( ) 22CL XXRZ −+= ( ) ( ) Ω500200500400 22 =−+=Z

Z

VI max

max = AI 2.0500

100max ==

RIP 2max2

1= ( ) WP 0.84002.02

1 2 ==

Un voltaje de ca de la forma v = (100 V) sen(1000t) se aplica a un circuito RLC en serie. Si R = 400 Ω, C= 5.0 μ F, y L = 0.50 H, encuentre la corriente máxima y la potencia promedio disipada en el circuito.

XL = ωL

1

CX C ω

=

Un resistor de 80 Ω, un inductor de 200 mH y un capacitor de 0.150 μF se conectan en paralelo a través de una fuente de 120 V (rms) que opera a 374 rad/s. a) Calcule la corriente rms en el resistor, inductor y capacitor b) Cuál es la corriente rms entregada por la fuente , c) Cuál es la frecuencia resonante del circuito

Hallar la corriente máxima y el ángulo de desfase. Hallar también la potencia media suministrada por la f.em. Datos: Vo = 100 V, R= 1 Ω, L=0.003 H, C=0.002 F, ω=120π rad/s

a

c

biL iC

iR

Nodo bLCR

iiii +==0

( )CVibcC

ω=

=

LVi

bcL ω1

−=

LCVi

bc ωω 1

0

LVCVi

bcbc ωω 1

0−=

==

CiXiV

CCCC ω1

( )LiXiV LLLL ω==

i0

222

0 bcabVVV +=Fasores se suman

como vectores

2

2

022

0

2

01

−

+=

LC

iRiV

ωω

−

+= 2

22

0

2

01

1

LC

RiV

ωω

−

+

=

2

2

0

0

1

1

LC

R

Vi

ωω

φcos2

1VIP =R

Z

IR

IZ

V

V

ab

bc ===φtan

RL

C

−

= ωω

φ

1

tan

EJERCICIOS DE REPASO

1. Una batería de diferencia de potencial constante E es conectada a dos resistores y dos inductores idénticos de la manera como se muestra en la figura. Inicialmente, no circula corriente en ninguna parte del circuito. Al instante t=0, el interruptor en la parta baja del circuito se cierra.

a) Inmediatamente después que el interruptor es cerrado, ¿cuál es la corriente IR! a través del resistor R1?

PROBLEMA

En la figura R1 = 60.0 Ω, R2 = 40.0 Ω, L= 0.400 H, C = 5.00 µF y Vrms =240 V. ¿Cuál es la potencia que suministra la fuente en el límite donde:

a) la frecuencia ω de la fuente es muy grande.

b) ω es muy pequeña.

LX L ω= Si ω ∞→Entonces XL ∞→ Y la corriente en R1 es

cero.

( )Ω

==∴0.40

240 2

2

2 V

R

VP

rms WP 1440=

00 Si →⇒→ LXω ∞→CXy

La corriente en R2 es cero y

( )Ω

==60

240 2

1

2 V

R

VP

rms WP 960=

PROBLEMA

En cierto circuito L-R-C en serie, R = 300 Ω, L = 0.400 H y C = 6.00x10-8 F. Cuando la fuente de ca funciona a la frecuencia de operación del circuito, la amplitud de corriente es de 0.500 A.

b) ¿Cuál es la amplitud del voltaje de la fuente?

c) ¿Cuál es la amplitud de voltaje entre los extremos del resistor, del inductor y del capacitor?

d) ¿Cuál es la potencia promedio que la fuente suministra?

SOLUCION

a) A la frecuencia de resonancia Z = R

IRIZV == VAV 150300500.0 =Ω×= VIRVb 150 ) ==

LX L ω=C

LXX CL ωω 1=⇒=

LC

12 =ωLC

1=ω

LC

LX L =

CLX L = Ω=

×= − 2582

1000.6

400.08

HX L

Ω=×

= − 25821000.6

400.08

HX L

Ω×== 2582500.0 AIXV LLVVL 1291=

CX C ω

1=C

L

C

LCX C == Ω= 2582CX VIXV CC 1291==

RIVIPc 2

2

1cos

2

1 ) == φ En resonancia cosΦ = 1

( ) ( )Ω= 300500.0 2AP

WP 5.37=

LC

1=ω