UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFacultad de Ciencias Naturales y Matematica

Escuela Profesional de MatematicaLista de problemas de Investigacion de Operaciones I

Profesor: Pascual F. Onofre Mayta. Semestre Academico: 2010-B.Parte I

1. Determinar todas las soluciones basicas del siguiente sistema

x1 + x2 + x3 + x4 2x5 = 4x1 2x2 + x4 x5 = 3

2. Considerese el sistema Ax = b, en donde A = [a1,a2, . . . ,an] es una matriz m n de rango m. Sea xcualquier solucion de este sistema. Empezando con x construir una solucion basica.

3. Decir cuales de los siguientes conjuntos son convexos y cuales no lo son.

(a){

(x1, x2)/x21 + x

22 1

}(b)

{(x1, x2, x3)

/x21 + x

22 1 , x1 x3 2

}(c) {(x1, x2) /x1 = 1, |x2| 4}

4. Demostrar que el conjunto de las soluciones factibles del siguiente programa lineal forma un conjunto convexo

max cxs.a Ax = b

x 0

5. Determinar todos los puntos extremos del siguiente conjunto poliedrico

X = {(x1, x2, x3) /x1 + x2 + x3 1, x1 + 2x2 4, x1, x2, x3 0}

6. Determinar los puntos extremos de la region factible definida por las siguientes desigualdades:

x1 + x2 + x3 5x1 + x2 + 2x3 6

x1, x2x3 0

(Sugerencia: Introduzcanse variables de holgura y considerese las soluciones basicas del sistema resultante)

7. Demostrar que un conjunto poliedrico X es acotado si, y solo si, no tiene direcciones.

8. Determinar todos los puntos extremos y las direcciones extremas del siguiente conjunto poliedrico

X = {(x1, x2, x3, x4) /x1, x2, x3, x4 0, x1 + x2 + x3 = 1, x2 + x4 = 2}

Representar x =(1, 32 ,

12 ,

12

)como una combinacion convexa de los puntos extremos de X mas una combi-

nacion lineal no negativa de las direcciones extremas de X.

9. Sea A =

1 10 21 4

y c = (1, 4). Cual de los siguientes dos sistemas tiene solucion?Sistema 1 : Ax 0 cx > 0Sistema 2 : wA = c w 0

1

10. Considerese el siguiente problema, en donde A es una matriz m n :min cxs.a Ax = b

x 0Sea x una solucion optima, demostrar que existe un vector w tal que

wA c(wA c) x = 0

Estas son las condiciones de optimalidad de Kuhn-Tucker de la programacion lineal.

Parte II.

1. Maximizar y minimizar la funcion objetivo z = x + 5y, sujeta a las restricciones

x + 4y 12, x 8, x + y 2, x 0, y 0

2. Una pareja de jubilados ha acumulado 30 000 dolares que desean invertir en valores de renta fija. Su corredorles recomienda invertir en dos obligaciones: una AAA que produce 12%; y una B+ que paga 15%. Despuesde algunas consideraciones, la pareja decide invertir cuando mucho 12 000 dolares en la obligacion calificadaB+ y al menos 6 000 en la AAA. Tambien desean que la cantidad invertida en la obligacion AAA excedao sea igual a la cantidad invertida en la obligacion B+. Cual debe ser la recomendacion del corredor si lapareja desea (lo que es muy natural) maximizar su rendimiento de la inversion?

3. Un hospital esta realizando estudios de ingeniera industrial para optimizar los recursos con que cuenta. Unade las principales preocupaciones del director del hospital es el area de personal, ya que no esta del todoconvencido con el numero de enfermeras que laboran en la seccion de emergencias. Por tal motivo, ordenoun estudio estadstico, el cual arrojo los siguientes resultados:

Numero mnimoHora requerido de enfermeras0 a 4 404 a 8 808 a 12 10012 a 16 7016 a 20 12020 a 24 50

Cada enfermera, de acuerdo con la Ley Federal del Trabajo, debe trabajar 8 horas consecutivas por da.

Formule como un modelo de PL el problema de contratar el mnimo numero de enfermeras que cumplan conlos requerimientos arriba citados.

4. Una compania cortadora de carton recibio tres ordenes para cortar rollos a las medidas que se muestran acontinuacion

Orden Ancho (metros) Largo (metros)A 0.50 1 000B 0.70 3 000C 0.90 2 000

Esta empresa compra el carton para ser cortado en dos anchos estandar: 1 y 2 metros y posteriormente locorta de acuerdo con lo que cada orden requiere. Los rollos estandar no tienen una longitud definida, dadoque para propositos practicos el carton puede pegarse para cumplir con el largo requerido.

Formule el problema como un modelo de PL para determinar los patrones optimos de corte que minimizen eldesperdicio como un modelo de PL (todo sobrante menor de 0.50 metros de ancho se considera desperdicio)

2

5. Dado el siguiente problemamax z = 2x1 + x2s.a 2x1 + 4x2 8

x1 + x2 5x1 + x2 = 3x1, x2 0

(a) Encuentre la solucion optima.(b) Identifique el tipo de solucion.(c) Identifique las variables basicas y las no basicas.(d) Encuentre todos los puntos extremos.

6. Resolver el siguiente problema por el metodo simplex empezando con la solucion basica factible(x1, x2) = (4, 0).

max z = x1 + 2x2

s.a3x1 + 4x2 = 123x1 x2 = 12x1, x2 0

7. Resolver el siguiente problema:max z = 5x1 + 4x2

s.a

x1 + 2x2 62x1 x2 45x1 + 3x2 15x1, x2 0

(a) Graficamente(b) Por el metodo simplex.

8. Resuelva el siguiente problema utilizando el metodo simplex tabular.

max z = 4x1 + 6x2

s.a

2x1 + 3x2 66x1 + x2 122x1 + 2x2 2x1, x2 0

9. Resuelva el siguiente problema utilizando el metodo simplex tabular. Tome en cuenta x3, x4 y x5 en la SBFde inicio

max z = 4x1 + 2x2 + 3x3

s.a

6x1 + 3x2 + 3x3 = 93x1 x4 = 04x1 + 2x2 + x5 = 8x1, x2, x3, x4, x5 0

10. Resuelva el siguiente problema utilizando el metodo simplex.

max z = x1 2x2 + x3

s.a

x1 + x2 + x3 122x1 + x2 x3 6x1 + 3x2 9x1, x2, x3 0

Hecho en LATEX

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