CONCEPTOS DE CONVEXIDAD

Luis Ulfe Vega - Gustavo Solís Vargas

Objetivos

• Hallar la solución de un MPL usando el enfoque grafico

Definición: Función Lineal

Sea f x n: diremos que f es una función lineal si cumple:

i) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) ii) f( x) = f(x) Ejemplos:

i) f x x x x x x1 2 3 1 2 32 4, , (es lineal)

ii) g x x x x1 2 1 25 2, (es lineal)

iii) h x x x x x x1 2 3 12

22

32, , (no es lineal)

iv) f x x x x1 2 1 2, . (no es lineal)

Propiedad :

Si f x n: es una función lineal, entonces:

f x f xi ii

n

i ii

n

1 1

Definición.- Sea el PPL: MAX ct x s.a: Ax b x > 0

6 MAX x+y (x,y) Es Solución

s.a: Factible?

5 2x+3y 12 (1,2) si 2x+y 6 (3,0) si 4 x,y 0 (0,4) si (2,-1) no 3 (1.5,3) si (4,1) no 2 1 1 2 3 4 5 6 7

Espacio de Soluciones Factibles

x

y

Entonces diremos que x* es una solución factible, si cumple: Ax* b y x* 0 Asimismo, el siguiente conjunto

E x Ax b x / 0

se denomina espacio de Soluciones Factibles (conjunto formado por todas las soluciones factibles).

Definición: Combinación Convexa Dados dos puntos x1, x2 definimos su combinación convexa como sigue:

1 1 2 2 1 2

1 2

1

0

x x donde

,

Ejemplo: Sean los puntos X1 = (4,2); X2 = (6,8) Entonces su combinación convexa será: 1 X1 + 2 X2 = 1 (4,2) + 2 (6,8) Donde 1 + 2 = 1 ; 1 , 2 > 0 Si 1 =1/2 2 = 1/2

1

2(4,2) +

1

2(6,8) = (5,5)

Si 1 =2/3 2 = 1/3

2

34

1

36,8)

14

3( ,2) ( ,4

Gráficamente: La combinación convexa es el segmento que une los puntos dados.

(6,8)

(4,2)

Definición: Conjunto convexo

• Un conjunto A se dice que es convexo si la combinación convexa de cualquier par de puntos del conjunto está contenida en dicho conjunto.

si es convexo no es convexo si es convexo

no es convexo

Teorema 1: El espacio de soluciones factibles de un problema de programación lineal es un conjunto convexo. Demostración: Sabemos que el espacio de soluciones factibles (ESF) es:

0

0:

,

}0,/{

22

11

21

xbAx

xbAxentonces

Exxelegimos

xbAxxE

Su combinación convexa : Y = 1 X1 + 2 X2 donde: 1 + 2 = 1 1 , 2 > 0 AY = A ( 1X1 + 2 X2 ) = 1 AX1 + 2 AX2

1 b + 2 b = ( 1 + 2 )b = b

AYb

1 1

2 21 1 2 2

0

00 0

x

xx x Y

Y E combinacion convexa esta en E

E es un conjunto convexo

Y

Definición: Punto ExtremoSe denomina punto extremo de un conjunto a aquel punto que no puede ser expresado como combinación convexa de dos puntos distintos del conjunto. Observación: Generalización de la Combinación Convexa Cualquier solución factible se puede escribir como Combinación Convexa de los puntos extremos del espacio de soluciones factibles.

x1

_

x2

_

x2

x1

_

x3

_

x2

_

x1

_

x3

_

x4

_

x5

_

Combinación Convexa de dos puntos

Combinación Convexa de 3 puntos

Combinación Convexa de 5 puntos

x1

x2

x3

x4

x5

Puntos extremos son:

x x x x x1 2 3 4 5

, , , ,

los vértices de la figura

Tiene puntos extremos y son los que están en todo el borde

Teorema 2: Teorema Fundamental de la Programación Lineal

1) La función objetivo de un problema de Programación Lineal

(PPL) logra su valor máximo en uno de los puntos extremos de su espacio de soluciones factibles.

2) Si en cambio lo toma en dos puntos extremos entonces,

también lo toma en cualquier punto que sea Combinación Convexa de dichos puntos.

Definición: Sea el PPL: max f x

x E( ) entonces diremos que x* es una

solución óptima si se cumple que: max f x f x

x E( ) ( *) y se denomina valor

óptimo a f(x*)