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CONVERGENCIA DE DISTRIBUCIONES DE RENTA EN LA UNIÓN EUROPEA1
CALLEALTA BARROSO, Fco. Javier
Departamento de Estadística, Estructura Económica y O.E.I.
Universidad de Alcalá
DIRECCIÓN PARA CORRESPONDENCIA:
Prof. Fco. Javier Callealta Barroso
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Plaza de la Victoria, 2.
28802 - Alcalá de Henares (Madrid)
España (Spain)
Teléfono: 0034 918854279 Fax: 0034 918854201
1 Este trabajo se enmarca dentro del Proyecto I+D+I del Ministerio de Ciencia y Tecnología ref.: SEC2002-00999. Los datos procedentes del Panel de Hogares de la Unión Europea (PHOGUE) se usan con permiso del contrato ECHP/15/00, que mantiene EUROSTAT con la Universidad de Alcalá.
CONVERGENCIA DE DISTRIBUCIONES DE RENTA EN LA UNIÓN EUROPEA
RESUMEN
En este trabajo se estudia la convergencia entre distribuciones personales de
renta disponible equivalente en los países de la Unión Europea, a lo largo del
período 1993-2000, a partir del análisis de sus relaciones de aproximación y
alejamiento. Para ello se introduce y emplea una nueva medida de disimilaridad
que, con origen en medidas de privación y suficiencia económicas, se encuentra
finalmente relacionada con la diferencia media de Gini para distribuciones de
ingresos. El análisis de las relaciones de aproximación y alejamiento entre las
distribuciones personales de renta disponible equivalente de los países se realiza a
partir de la consideración de sus trayectorias temporales en un espacio factorial,
óptimamente reducido para el análisis de sus diferencias, derivado mediante
técnicas de escalamiento multidimensional. Los datos analizados son los
proporcionados al respecto por el Panel de Hogares de la Unión Europea.
Palabras clave: Distribución Personal de la Renta, Convergencia, Unión Europea,
Diferencias individuales, Escalamiento Multidimensional.
Clasificación JEL: C4, I3, R1
1
I. INTRODUCCIÓN.
La distribución personal de ingresos ha sido objeto de estudio desde muy
diferentes perspectivas a lo largo de las últimas décadas. Desigualdad, pobreza,
privación, movilidad y convergencia son términos que caracterizan algunos de
éstas.
En este trabajo nos centramos sobre el objetivo de medir las diferencias que
pueden presentar diferentes distribuciones personales de ingreso, con la finalidad
de emplear tal medida como indicador de convergencia entre éstas.
La propia medición de las diferencias es ya en sí un problema importante
para el que no existe una única solución. Los diferentes aspectos de interés que
podemos observar en la distribución de ingresos personales de una población
explican la multiplicidad de instrumentos construidos para informarnos de cada uno
de esos aspectos. Así, desde los más sencillos estadísticos descriptivos de la
distribución hasta las más sofisticadas medidas de desigualdad y pobreza permiten
comparar poblaciones para algún aspecto concreto de éstas.
Sin embargo, lograda exitosamente la especialización informativa que sus
respectivos planteamientos pretenden, el empleo de estas medidas produce
resultados sesgados por su parcialidad, cuando lo que se pretende es medir de
forma global la diferencia resultante de la comparación de los individuos que
componen las distribuciones comparadas en todos sus aspectos. Así se puede
comparar la riqueza media de dos poblaciones a partir de sus medias, o la
desigualdad interna de las poblaciones comparando sus índices de concentración de
Gini; pero, por ejemplo, en aquel caso se está prescindiendo de la información
sobre las formas de las distribuciones (no olvidemos que una misma media se
puede conseguir de muy distintas formas), y en ésta se está prescindiendo de las
localizaciones de ambas distribuciones (no olvidemos que dos poblaciones muy
diferentes pueden tener similares índices de concentración, aunque una sea mucho
más rica que la otra).
Combinar indicadores de localización con indicadores de desigualdad es una
alternativa para tratar de evitar este problema. Así, puede ser considerado para
este propósito el indicador I=µ·G, siendo µ y G la correspondiente media y el índice
de concentración de Gini de la distribución considerada. Este índice I está
2
estrechamente relacionado con la diferencia media de Gini de una distribución a sí
misma2. ¿Podríamos, en consecuencia, emplear la diferencia media de Gini para
medir la diferencia entre distribuciones? Lamentablemente, ésta medida mide
desigualdad inter-poblacional3, y no proximidad4 o disimilaridad entre poblaciones
(obsérvese que la diferencia media de Gini de una población a otra idéntica a ella
no es nula, sino que vale dos veces el producto de su media por su índice de
concentración de Gini, como se deduce de la nota 2).
Consecuentemente con estos planteamientos, en este trabajo proponemos
en primer lugar una nueva medida de disimilaridad relacionada con la diferencia
media de Gini, intuitivamente interpretable y, por tanto, claramente informativa,
que puede ser empleada para medir la diferencia global resultante entre las
distribuciones comparadas.
Una vez propuesta ésta, nuestro objetivo es emplearla para tratar de
determinar el grado de acercamiento o convergencia que pudiera haber entre las
distribuciones personales de renta de distintas poblaciones a lo largo del tiempo.
En particular, y como aplicación de lo desarrollado en este trabajo, se
presenta el estudio realizado sobre la convergencia entre distribuciones personales
de renta disponible equivalente en los países de la Unión Europea, a lo largo del
período 1993-2000, según los datos proporcionados al respecto por el Panel de
Hogares de la Unión Europea.
Al tratar de abordar este problema, la complejidad del volumen de
información numérica se propaga cuadráticamente. El análisis dinámico del grado
2 Siendo ∆xy =E[|X-Y|] la diferencia media de Gini entre dos distribuciones X e Y, entonces, cuando están idénticamente distribuidas, vale I=µ·G =∆xy/2. 3 Cuando se generaliza para comparar dos distribuciones X e Y cualesquiera, ∆xy se relaciona con el
índice de desigualdad inter-poblacional de Gini, Gxy, y sus localizaciones µx y µy, siendo yx
xy
xyGµµ +
∆=
4 Empleamos el término proximidad como alusión genérica a medidas de disimilaridad o de similaridad, siguiendo la terminología empleada en Cuadras (1996). Particularmente, en este trabajo, nos centraremos en medidas de disimilaridad para comparar parejas de distribuciones (X,Y), definidas como funciones reales, que crecen con la diferencia y que cumplen las siguientes propiedades:
),(),()
0),()
XYdYXdb
YXdYXsia
=
=⇒=
Para una mayor información general sobre estas medidas, puede consultarse Everitt (1993).
3
de acercamiento o convergencia entre las poblaciones estudiadas no sólo requiere
medir la diferencia entre éstas en cada período, sino también a lo largo del tiempo.
Comparar p poblaciones a lo largo de t períodos, supone disponer de
2)1··(·
2· −
=
tptptp indicadores no triviales informativos de la proximidad entre los
diferentes comportamientos de las poblaciones en los distintos períodos, que
deberemos interpretar en términos comparativos.
Este generalmente alto número de indicadores informativos hace, pues,
imprescindible tratarlos previamente mediante alguna técnica que nos ayude a
simplificar la interpretación conjunta de los mismos. Para ello, proponemos la
aplicación de los modelos de escalamiento multidimensional que nos ayudarán a
comprender la evolución de las distribuciones en ciertos espacios factoriales
reducidos cuyo sistema de referencia trataremos igualmente de explicar.
En consecuencia, para el análisis de las relaciones de aproximación y
alejamiento (convergencia) entre las distribuciones personales de renta disponible
equivalente de los países observados se visualizarán sus respectivas trayectorias
temporales en dicho espacio factorial óptimamente reducido mediante técnicas de
escalamiento multidimensional, de acuerdo con las medidas de proximidad
previamente calculadas para éstas según la propuesta realizada en este trabajo.
Así pues, el problema planteado en este trabajo aborda una doble tarea: por
un lado la búsqueda de una nueva medida de disimilaridad, expresión informativa
del grado y calidad de las diferencias observadas entre las distribuciones en
estudio; y en segundo lugar, proponer una metodología sintetizadora para el
análisis de éstas medidas cuando se trata de analizar un conjunto de múltiples
poblaciones y a lo largo de un amplio número de periodos.
II. MEDICIÓN DE LA PROXIMIDAD ENTRE DISTRIBUCIONES DE INGRESO.
La medida que proponemos parte de la idea intuitiva de la �medida de
opulencia� 5 introducida en Dagum (1980), que allí denomina distancia d1, y que se
encuentra estrechamente relacionada con la diferencia media de Gini.
5 El concepto de �opulencia� introducido aquí por Dagum, se corresponde con el de �satisfacción� introducido por Hey y Lambert (1980). El concepto de �privación� se obtiene cambiando el papel que
4
Allí, Dagum establece que, si son µX y µY los ingresos medios de dos
poblaciones PX y PY cuyas distribuciones de ingresos vienen representadas por las
variables aleatorias X y Y con sendas funciones de distribución asociadas FX(·) y
FY(·) respectivamente, y si µX < µY , entonces la población PY es más opulenta que
la PX; y define su indicador económico de opulencia, d1,para esta situación, como
[ ] ∫ ∫∞
−=−−=0 01 )()()()()·(
y
XY xdFxyydFXYIXYEd
siendo
<=>
=−XYsiXYsiXYsi
XYI02/1
1)(
A pesar de la clara base intuitiva de la propuesta de Dagum, esta medida fue
criticada duramente en Shorrocks (1982), fundamentalmente por dos motivos:
a) Shorrocks considera la medida d1 dudosamente adecuada como medida de
opulencia relativa, por la posible inconsistencia entre su utilidad para medir
el grado de opulencia de una población sobre otra, y la presunción a priori
para éste cálculo de que una de ellas es más opulenta que la otra, basada
exclusivamente en sus ingresos medios.
b) Adicionalmente, considera que d1 no puede ser considerada una �medida de
distancia económica� ya que la medida d1 aplicada para comparar una
distribución con otra idéntica a ella no es nula, como lógicamente debería
ser. En su lugar, ésta vale el producto de su media por su índice de
concentración de Gini.
Con relación al objetivo que perseguimos de medir la diferencia existente
entre dos distribuciones cualesquieras, la primera observación realizada por
Shorrocks relacionada con la propuesta de Dagum de prefijar necesariamente una
de las distribuciones como referencia (la de mayor media), una vez �establecido�
que ésta es la más opulenta, constituye, también para este fin, un inconveniente.
Desde la perspectiva de nuestro interés, el procedimiento de Dagum introduce una
juegan ambas poblaciones: la privación de X con respecto de Y se define igual a la opulencia de Y con respecto de X.
5
direccionalidad no deseable en medidas de proximidad que, generalmente, se
pretende que sean simétricas. De esta forma, la medida de disimilaridad, de
acuerdo con su opulencia, de la menos opulenta con respecto de la que lo es más
no estaría definida.
Sin embargo, considerando que la idea intuitiva que subyace en la medida
de Dagum informa adecuadamente de la diferencia económica existente entre dos
distribuciones en el sentido de la diferencia media de Gini, podemos reformular su
propuesta para que sirva a nuestro propósito como se desarrolla a continuación:
Reformulación de la Distancia d1 de Dagum y relaciones con la
diferencia media de Gini.
La diferencia media de Gini, ∆, puede descomponerse de la siguiente forma:
[ ] ( ) ( )( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]YXIYXEXYIXYEYXIXYEXYIXYE
XYIXYXYIXYEXYE
−−+−−=
=−−+−−=
=−−−+−−=−=∆
····
1··
siendo
≤>
=−XYsiXYsi
XYI01
)(
Por otra parte, atendiendo a las definiciones de opulencia y privación de una
población con respecto de otra, podemos decir que dos niveles de ingresos x e y de
las respectivas poblaciones PX y PY apoyan la tesis de �mayor opulencia de PY
respecto de PX� (recíprocamente �mayor privación de PX respecto de PY�) si y solo si
y>x; y en este caso, la cantidad con que este par de niveles comparados
contribuye a la posible mayor opulencia de PY respecto de PX en el sentido
empleado por Dagum (recíprocamente, a la privación de PX con respecto de PY)
puede ser evaluada por la diferencia y-x.
Análogamente, dos niveles de ingresos x e y de las respectivas poblaciones
PX y PY se dirá que apoyan la tesis de �mayor privación de PY respecto de PX�
(recíprocamente, �mayor opulencia de PX respecto de PY�) si y solo si y<x; y en
este caso, la cantidad con que este par de niveles comparados contribuye a la
posible mayor privación de PY respecto de PX en el sentido empleado por Dagum
6
(recíprocamente a la mayor opulencia de PX con respecto de PY) puede ser evaluada
por la diferencia x-y.
Estas consideraciones sugieren descomponer la diferencia media de Gini
como:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]YXIYXEXYIXYEdddd xyxyyxyx −−+−−=+=+=∆ +−−+ ··
siendo:
a) ( ) ( )[ ]XYIXYEdd xyyx −−== −+ · , la parte de ∆ debida a la opulencia media
de PY respecto de PX, y que evalúa la diferencia para el conjunto de casos
en que Y>X. Esta medida puede ser interpretada como la opulencia
(satisfacción) media de la población PY con respecto de los individuos de
PX de rentas inferiores (recíprocamente, privación media de la población
PX respecto de los individuos de PY de rentas superiores).
b) ( ) ( )[ ]YXIYXEdd xyyx −−== +− · , la parte de ∆ debida a la privación media
de PY respecto de PX, y que evalúa la diferencia para el conjunto de casos
en que X>Y. Esta medida puede ser interpretada como la opulencia
(satisfacción) media de la población PX con respecto de los individuos de
PY de rentas inferiores (recíprocamente, privación media de la población
PY respecto de los individuos de PX de rentas superiores).
Dadas estas dos definiciones, pueden comprobarse las siguientes
propiedades que las relacionan con la diferencia media de Gini y las medias de las
dos poblaciones comparadas.
[ ] −+−+ +=+=−=∆ xyxyyxyx ddddXYE :Gini de media Diferencia lacon Relaciones
( )[ ] ( )−+−+ −−=−=−=− xyxyyxyxXY ddddXYEµµ :medias las de Diferencia lacon Relaciones
Expresiones explícitas: 22
XYxyyx dd µµ −
+∆
== −+ ; 22
XYxyyx dd
µµ −−
∆== +−
Recorridos: ∆≤=≤ −+xyyx dd0 ; ∆≤=≤ +−
xyyx dd0
Con estas notaciones, la medida d1 de Dagum podría reformularse, menos
ambiguamente, como sigue:
7
{ }2222
,1XYyxyxyxyx
yxyx
ddddddmáxd
µµ −+
∆=
−+
+==
−+−+−+
o, equivalentemente:
{ }2222
,1XYxyxyxyxy
xyxy
ddddddmáxd
µµ −+
∆=
−+
+==
−+−+−+
encontrándose siempre esta media entre los límites:
∆≤−
+∆
=≤∆
≤222
0 1XYd
µµ
y llegando a tomar su valor máximo cs ó cs 1 YXYXd <>⇔∆=
Observamos que esta medida no es sino el promedio entre dos indicadores
de muy diferente naturaleza: XY µµ −∆ y . Mientras que XY µµ − resume la
diferencia media de riqueza, sin tener en cuenta la forma en que esta se distribuye
en sendas poblaciones, ∆ mide en términos absolutos, la desigualdad inter-
poblacional que aparece en la descomposición del índice de Gini de dos poblaciones
fusionadas6.
Con esta reformulación, se solventa el inconveniente de la asimetría o
unidireccionalidad que presentaba la medida de opulencia propuesta de Dagum
cuando pretendíamos emplearla como medida de disimilaridad entre las poblaciones
comparadas.
Sin embargo, la naturaleza de la medida de concentración que combina en
su cálculo impide que pueda ser considerada como una medida de disimilaridad
económica. Efectivamente, la medida d1 de una distribución X a otra igualmente
distribuida que ella no es nula, como lógicamente debería ser, sino que vale:
XX Gd ·21 µ=∆
=
6 En esta situación, al calcular el índice de Gini de la nueva población fusionada y eliminada la desigualdad debida a las que internamente presentaban ambas poblaciones por separado, la parte de
desigualdad debida a la interrelación de las dos poblaciones fundidas, es YX
xyGµµ +
∆= .
8
siendo GX su índice de concentración de Gini.
Por otra parte, la propuesta de distancia relativa, D1, que Dagum construye
a partir de ésta, conduce a considerar ahora:
∆
−=
∆−∆
∆−
=−
−= XY
d
dMindMaxdMind
Dµµ
2
2)()(
)( 1
11
111
Pero al relativizarla, 0≤D1≤1, alcanzándo el valor mínimo de 0 cuando las
medias de las distribuciones coincidan (independientemente de sus formas de
distribuir la riqueza), así como el máximo de 1 siempre y cuando cualquiera de las
variables, X ó Y, sea mayor (casi seguro) que la otra (independientemente de
dónde se encuentren situadas y de la distancia entre sus medias); lo que la hace
inadecuada a nuestro propósito.
Sin embargo, siguiendo con la lógica subyacente en la medida propuesta por
Dagum (la diferencia media de Gini entre subpoblaciones de las poblaciones
observadas) y tratando de resolver este problema que presenta para ser empleada
como medida de disimilaridad entre distribuciones económicas, como son en
nuestro caso las de ingresos, realizamos la siguiente propuesta de una nueva
medida de disimilaridad:
Introducción intuitiva a una nueva medida de disimilaridad.
Sean X e Y un par de variables independientes y absolutamente continuas
con funciones de densidad respectivas fX(x) y fY(y) definidas sobre ℜ.
Al comparar las poblaciones, representadas por sus respectivas
distribuciones de probabilidad (densidades), podemos observar que se pueden
extraer dos subpoblaciones de aquéllas perfectamente equiparables por sus
valores, y diferenciarlas claramente de otras dos subpoblaciones, una de cada
población de partida, perfectamente distinguibles por poseer valores �no
compensables� por ningún individuo de la otra, tal y como se refleja de forma
intuitiva en el gráfico 1.
9
Gráfico 1
De acuerdo con esta apreciación, para cualquier par de variables
absolutamente continuas X e Y objetos de comparación, podemos definir las
siguientes variables auxiliares:
a) Variable C representativa del comportamiento de las de subpoblaciones
�equiparables�; o subpoblaciones de PX y PY para las que se pueden
encontrar sendas subpoblaciones de la otra población con características
(valores de la variable) similares (comportamiento común para ambas
variables X e Y relacionado con la parte sombreada en el gráfico 1), y
cuya función de densidad vendría dada por:
( )
≤−
≤−=
−=
)()(,1
)(
)()(,1
)(
1)(),(
)(tftfsi
ptf
tftfsiptf
ptftfMin
tfXY
Y
YXX
YXC
siendo 1-p la proporción de cada una de las poblaciones de PX y PY que
es equiparable con una misma proporción de la otra:
{ } { }∫∫ >>+=−
)()(|)()(|)()(1
xfxfx Xyfyfy YXYYX
dxxfdyyfp
10
b) Variable X* representativa del comportamiento de la subpoblación
diferenciada para X; o subpoblación de PX complementaria a la
seleccionada como �equiparable� a otra de PY, con características
específicas de X y para la que no es posible encontrar otros elementos de
PY equiparables con los propios (relacionado con la parte izquierda no
sombreada en el gráfico 1). Su función de densidad vendría dada por:
{ }
≤
>−
=
=>−
=
)()(,0
)()(,)()(
)()(·)()(
)(*
xfxfsi
xfxfsip
xfxf
xfxfIp
xfxfxf
YX
YXYX
YXYX
X
donde ahora p representa la proporción de la población X que no es
equiparable a ninguna de la Y, y donde I{·} es la función indicadora de
la proposición entre llaves7.
c) Variable Y* representativa del comportamiento de la Subpoblación
diferenciada para Y; o subpoblación de PY complementaria a la
seleccionada como �equiparable� a otra de PX, con características
específicas de Y y para la que no es posible encontrar otros elementos de
PX equiparables con los propios (relacionado con la parte derecha no
sombreada en el gráfico 1). Su función de densidad vendría dada por:
{ }
≤
>−
=
=>−
=
)()(,0
)()(,)()(
)()(·)()(
)(*
yfyfsi
yfyfsip
yfyf
yfyfIp
yfyfyf
XY
XYXY
XYXY
Y
donde ahora p representa la proporción de la población Y que no es
equiparable a ninguna de la X.
7 La función indicadora para una proposición A vale { }
=falso es 0cierto es 1
AsiAsi
AI
11
Con estas definiciones, las variables originales pueden expresarse como
mixturas de las anteriores, como sigue:
)(·)()·1()( * xfpxfpxf XCX +−= ; )(·)()·1()( * yfpyfpyf YCY +−=
donde la variable C informa de las características de las subpoblaciones
seleccionadas como equiparables en ambas poblaciones X e Y, de proporción 1-p,
mientras que las variables X* e Y* informan de las subpoblaciones específicas, de
proporciones p, diferenciadas o no equiparables de sendas poblaciones comparadas
X e Y.
Algunas propiedades de estas distribuciones son:
a) La proporción de población diferenciada es: dttftfp YX ·)()(·21∫
∞+
∞−−=
b) Las medias de estas distribuciones auxiliares descomponen las medias de
las distribuciones originales, informando de las contribuciones a éstas de
cada subpoblación equiparable y específica:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]CEYEYECEXEXE +=+= ** ,
Consecuentemente, otras propiedades derivadas son las siguientes:
c) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]** YEYEXEXECE −=−=
d) [ ] [ ] [ ] [ ]YEXEYEXE −=− **
e) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]CEYEXEYEXE ·2** −+=+
Definición de la medida de disimilaridad propuesta.
A partir de esto, proponemos como medida de la disimilaridad entre dos
distribuciones X e Y, la diferencia media de Gini entre las distribuciones asociadas
X* e Y* de sus respectivas subpoblaciones diferenciadas, o no equiparables, según
12
las definiciones precedentes, ponderada por el producto de las proporciones que
estas representan de las poblaciones originales X e Y8.
[ ]( ) { }( ) { }∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−>−>−−=
=−=
dydxyfyfIyfyfxfxfIxfxfxy
XYEpYXd
XYXYYXYX ··)()(·)()(·)()(·)()(·
·),( **2
Propiedades de la medida de disimilaridad propuesta
a) ..0),( scYXYXd =⇔=
b) La medida d(X,Y) crece con la diferencia entre X e Y; es decir, crece
tanto con el aumento de la proporción que representan las
subpoblaciones diferenciadas o no equiparables de X e Y, como con el
aumento de la separación entre éstas.
c) La medida d(X,Y) es simétrica: [ ] ),(·),( **2 XYdYXEpYXd =−=
d) ∆≤≤ ),(0 YXd
e) XYYXdYXYX µµ −=∆=⇒<> ),( cs ó cs Si
f) esta medida de disimilaridad es invariante ante traslaciones comunes
para las variables comparadas; y se ve afectada proporcionalmente por
el factor de escala ante cambios de escalas comunes para las variables
comparadas.
Sin embargo, notemos que esta medida de disimilaridad, que mide
proximidad entre distribuciones en el sentido planteado, no cumple estrictamente la
propiedad triangular; por lo que no llega a ser estrictamente una medida de
distancia.9
8 Obsérvese que la introducción de la ponderación responde, en primer lugar, a nuestro interés de hacer que la medida sea lo más intuitiva posible (conduce a la evaluación directa de diferencias entre las subpoblaciones diferenciadas), a la vez que, en segundo lugar, a introducir en la expresión el efecto de la magnitud relativa de las poblaciones que son realmente específicas o no equiparables (peso de las proporciones de población no equiparables). 9 Basta comprobar que existen contraejemplos en la matriz de disimilaridades calculadas en la aplicación que se desarrolla en un apartado posterior. Uno de ellos es, por ejemplo, el que ocurre entre los países GER, BEL y FRA en 1993, para los que d(GER,FRA)=223 mientras que d(GER,BEL)=59 y d(BEL,FRA)=142.
13
III. ESTUDIO DE CASO: CONVERGENCIA DE DISTRIBUCIONES DE RENTA EN LA
UNIÓN EUROPEA
Conceptos y Fuentes.
Una vez introducida la medida de disimilaridad que emplearemos, nuestro
objetivo será aplicarla para analizar el grado de acercamiento o convergencia que
pudiera haber entre las distribuciones personales de ingresos de los países de la UE
a lo largo de los últimos años.
Para ello, se han empleado los datos de ingresos familiares del Panel de
Hogares de la Unión Europea (ECHP) entre 1994 y 2001, lo que garantiza que la
información proporcionada es homogénea a lo largo del tiempo y para los diferentes
países, permitiendo las comparaciones en el tiempo tanto transversalmente como
longitudinalmente.
Examinando los tamaños muestrales que inicialmente proporciona el ECHP
para cada año puede observarse que no se dispone de datos homogéneos para
Austria y Luxemburgo en el primer año (1994), para Finlandia en los dos primeros
(1994 y 1995), ni para Suecia en los 3 primeros años (1994-1996). Además, en
1997 se dejaron de recoger los cuestionarios originales del ECHP en Alemania,
Luxemburgo y Reino Unido, pasando a ser proporcionada la información exigida por
éste a partir de la información recogida en sus propios paneles nacionales
(respectivos SOEP, PSHELL y BHPS), habiéndose elegido estas series de datos para
preservar la homogeneidad longitudinal en estos países.
El concepto de ingreso usado como punto de partida es el de Ingreso
Disponible del Hogar (variable HI100), que incluye ingresos después de
transferencias y las deducciones de impuestos y contribuciones a la seguridad
social; y como en la recogida de esta información en el ECHP, los períodos de
referencia para los ingresos son el año anterior al de la realización de las
encuestas, serán éstos los que empleemos en este estudio.
Con el objeto de hacer comparables los ingresos considerados para los
distintos países y olas, estos ingresos han sido ajustados de acuerdo con los
diferentes poderes de compra de las distintas monedas nacionales, empleando para
14
ello las Paridades de Poder de Compra de cada año y moneda de la OECD
proporcionados igualmente por la ECHP (variables PPPyy, yy=93 a 00).
Y como el bienestar de los hogares no sólo depende de sus ingresos, sino
también de su tamaño y composición, hemos calculado finalmente, para cada ola
de la encuesta, la variable �Ingreso personal equivalente comparable� (disponible),
corrigiendo los ingresos disponibles del hogar, previamente ajustados por las
paridades de poder de compra en el año de referencia (anterior a cada ola),
mediante su división por el número de miembros equivalentes que resulta en cada
familia al aplicar la escala de equivalencia tradicional de la OECD10 (variable
HD004). Este �Ingreso personal equivalente comparable� ha sido asignado a todos
y cada uno de los miembros del mismo hogar asumiendo la hipótesis de que todos
los miembros de un mismo hogar disfrutan de un mismo nivel de bienestar
económico. Desde este enfoque, la unidad de análisis es el individuo; por lo que, en
cada ola, la variable �Ingreso personal equivalente comparable� así construida ha
sido ponderada por una variable �peso� construida como el producto del peso
(cross-section) del hogar (vaiable HG004) y el número de miembros del mismo
(variable HD001).
Número de Casos Disponibles para la variable
�Ingreso Personal Equivalente Comparable� , por Países y Olas
ola 1
(1994)
ola 2
(1995)
ola 3
(1996)
ola 4
(1997)
ola 5
(1998)
ola 6
(1999)
ola 7
(2000)
ola 8
(2001)
Alemania (SOEP) 6163 6293 6207 6098 5891 5782 5619 5474
Austria 0 3365 3280 3130 2951 2809 2637 2535
Bélgica 3454 3341 3189 3009 2857 2684 2549 2322
Dinamarca 3478 3218 2950 2739 2504 2379 2273 2279
España 7142 6448 6132 5714 5438 5299 5047 4948
Finlandia 0 0 4138 4103 3917 3818 3101 3106
Francia 7108 6679 6554 6141 5849 5593 5332 5268
Grecia 5480 5173 4851 4543 4171 3952 3893 3895
Holanda 5139 5035 5097 5019 4922 4981 4974 4824
Irlanda 4036 3562 3164 2935 2723 2372 1944 1757
Italia 6915 7004 7026 6627 6478 6273 5989 5525
Luxemburgo (PSELL) 0 2976 2471 2651 2521 2550 2373 2428
Portugal 4787 4869 4807 4767 4666 4645 4606 4588
Reino Unido (BHPS) 5024 4987 4991 4958 4958 4914 4842 4749
Suecia 0 0 0 5286 5208 5165 5116 5085
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
10 La escala de equivalencia tradicional de la OECD asigna 1 al primer adulto, 0.7 a los demás adultos y 0.5 a los menores de 16 años.
15
Suma de Pesos de los Hogares de los Casos Disponibles para la variable
�Ingreso Personal Equivalente Comparable�, por Países y Olas
ola 1
(1994)
ola 2
(1995)
ola 3
(1996)
ola 4
(1997)
ola 5
(1998)
ola 6
(1999)
ola 7
(2000)
ola 8
(2001)
Alemania (SOEP) 6140 6280 6207 6125 5921 5812 5646 5506
Austria - 3366 3280 3133 2954 2809 2636 2539
Bélgica 3446 3341 3188 3012 2862 2689 2552 2331
Dinamarca 3478 3218 2950 2740 2505 2380 2276 2280
España 7146 6443 6121 5724 5442 5296 5032 4952
Finlandia - - 4139 4100 3918 3820 3099 3108
Francia 7113 6683 6564 6141 5853 5596 5333 5277
Grecia 5486 5173 4851 4544 4170 3954 3897 3891
Holanda 5152 5050 5114 5024 4929 4987 4978 4827
Irlanda 4038 3565 3164 2938 2725 2374 1947 1759
Italia 6894 6994 7024 6634 6498 6295 6004 5540
Luxemburgo (PSELL) - 2975 2471 2652 2522 2550 2373 2428
Portugal 4799 4868 4809 4780 4653 4655 4614 4592
Reino Unido (BHPS) 5028 4994 4989 4956 4967 4924 4852 4762
Suecia - - - 5807 5717 5667 5633 5568
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
Medias Ponderadas para la variable
�Ingreso Personal Equivalente Comparable� , por Países y Olas
ola 1
(1993)
ola 2
(1994)
ola 3
(1995)
ola 4
(1996)
ola 5
(1997)
ola 6
(1998)
ola 7
(1999)
ola 8
(2000)
Alemania (SOEP) 11478,57 11423,69 11959,18 12428,63 12726,80 13101,75 14011,95 15166,47
Austria - 11917,53 11886,83 12070,08 12159,50 12579,11 13685,78 14358,76
Bélgica 11803,46 11981,37 12056,03 12751,63 13208,79 13921,23 14094,14 14832,53
Dinamarca 11030,52 11721,53 12007,04 12857,81 13208,23 13856,25 14605,75 14981,82
España 7256,92 7246,20 7488,50 7881,31 8237,81 8649,84 9603,74 10409,29
Finlandia - - 9631,26 10031,13 10245,75 10602,56 10929,38 11798,98
Francia 11021,69 11052,49 11224,31 11357,76 12116,30 12673,20 12709,34 13548,86
Grecia 6149,41 6587,33 6884,26 7273,15 7759,45 7833,22 8562,69 8743,45
Holanda 10236,85 10481,78 11007,28 11467,33 12183,88 12988,93 13030,74 13287,05
Irlanda 7701,72 8849,24 9481,21 9614,04 10860,48 10671,70 10709,41 11615,97
Italia 8073,58 8651,30 8749,38 8887,25 9372,33 9883,21 10507,90 10605,21
Luxemburgo
(PSELL) - 18165,96 18369,43 19363,99 19536,53 20232,65 21931,27 23101,40
Portugal 5897,94 6270,47 6377,23 6719,41 7018,07 7431,96 7792,29 8619,49
Reino Unido (BHPS) 10150,90 11174,40 10851,99 12117,95 12827,69 12587,70 13574,01 14675,55
Suecia - - - 10220,30 10597,01 10649,64 11023,33 12040,68
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
Como resumen de este primer proceso, las tablas anteriores muestran, por
países y olas, los tamaños de muestras efectivas una vez eliminados los casos
16
cuyos datos no están disponibles o cuya variable �Ingreso personal equivalente
comparable� no puede ser calculada, las sumas agregadas de los pesos así
construidos y las respectivas estimaciones de las medias de la variable objeto de
estudio finalmente calculada.
Estimación no paramétrica de las distribuciones de ingreso.
Previamente a calcular la medida de disimilaridad propuesta entre las
distribuciones de �Ingreso personal equivalente comparable� (disponible), se ha
procedido a estimar de forma no paramétrica sus funciones de densidad mediante
núcleos (�kernels�) gaussianos univariantes, con anchos de banda óptimos, según
el procedimiento de Silverman (1986) para cada uno de los países y años
considerados. Para la estimación se ha empleado el procedimiento KDE de
SAS/STAT11; lo que nos ha permitido calcular las correspondientes estimaciones en
cada uno de los 601 puntos equiespaciados en que hemos dividido el recorrido
común considerado (de 0 a 60.000 unidades paritarias de compra) que se ha
prefijado para todas las distribuciones de ingresos de todos los países en las
distintas olas del panel12. Para su análisis se han obtenido los gráficos de las
funciones de densidad así estimadas, con el procedimiento GPLOT de SAS/GRAPH6.
En los gráficos de cada ola, �a grosso modo� y de forma casi constante, se
aprecian 4 comportamientos destacadamente diferentes:
En primer lugar, se observa cómo Luxemburgo posee una distribución de
ingresos personales equivalentes comparables claramente desplazada hacia la
derecha de las del resto de países, destacándose por sus mayores los ingresos
personales.
Hacia la parte media de los gráficos se distinguen otros dos grupos de
comportamientos diferenciados de países: los países nórdicos (Finlandia, Suecia y
Dinamarca) junto con Holanda presentan distribuciones más leptocúrticas,
11 SAS/STAT y SAS/GRAPH son productos registrados de SAS Institute Inc., Cary, NC, USA. 12 Las estimaciones que los núcleos estocásticos dan para las funciones de densidad reproducen pequeñas desviaciones para las estimaciones de las medias poblacionales. En el convencimiento de que los tamaños muestrales del ECHP han sido calculados más para obtener estimaciones paramétricas que para otra función, hemos procedido, en cada caso, a corregir muy levemente la correspondiente función de densidad reagrupando el 1% de probabilidad de la cola derecha en un único intervalo para el que se han determinado convenientemente su amplitud y marca de clase, de forma que su media reprodujera fielmente la correspondiente media estimada por el ECHP.
17
centralmente apuntadas, frente al resto de países centroeuropeos que presentan
mayor diversidad de sus tramos centrales de renta (si bien, Dinamarca y Holanda
se encuentran en una situación intermedia en cuanto a su grado de apuntamiento).
Por último, en la zona izquierda de los gráficos, los países tradicionalmente
considerados más pobres (Italia, Grecia, España, Portugal e Irlanda).
Sin embargo, si observamos la dinámica de estas distribuciones a lo largo
del tiempo, aunque estos patrones se conservan, se observa que, en general, las
distribuciones del conjunto de países de la UE parecen tender a acercarse entre sí,
tendiendo hacia un comportamiento común promedio en la zona central del gráfico,
con la clara excepción de Luxemburgo y las diferentes matizaciones
particularidades que podrían hacerse para cada país en cada momento.
Y si observamos los gráficos de las evoluciones de las distribuciones de cada
país a lo largo de las ocho olas, observamos un sistemático desplazamiento de
éstas hacia la derecha (tendencia a un mayor bienestar económico) con acusados
descensos de las densidades de probabilidad modales (tendencia a una mayor
diversidad de rentas y posiblemente a una mayor desigualdad) llegando a aparecer
en algunos casos, mesetas centrales en sus funciones de densidad e incluso un par
de modas relativas.
Trataremos en lo que sigue de precisar esta primera impresión, para lo que
analizaremos lo que nos dice la medida de disimilaridad propuesta calculada para
todas estas distribuciones.
Cálculo de las medidas de disimilaridad.
A partir de las estimaciones de las 120 funciones de densidad obtenidas
según se indica en el apartado anterior (realmente 113 ya que hay 7 no disponibles
de Austria, Luxemburgo, Finlandia y Suecia en algunos años) y que representaban
los comportamientos de los �Ingresos personales equivalentes comparables�
(disponibles) de los 15 países estudiados en los 8 años de la encuesta, se ha
procedido a evaluar la medida de disimilaridad propuesta para cada pareja
comparada. Para ello hemos empleado el programa SAS/IML13 con el que hemos
13 SAS/IML es producto registrado de SAS Institute Inc., Cary, NC, USA.
18
construido la matriz que recoge la totalidad de los coeficientes de disimilaridad
calculados entre todas ellas.
Resumidamente, las diferencias que presentaban las distribuciones de
�Ingresos personales equivalentes comparables� (disponibles) de los 15 países en
los años inicial y final del periodo de estudio se presentan en las siguientes tablas:
Disimilaridades entre Países en el año inicial del ECHP
1.993 GER DK_ NL_ BEL LUX FRA UK_ IRL ITA GRE SPA POR AUS FIN SWE
GER 0 219 195 59 - 223 147 1.482 953 2.508 1.655 2.885 - - -
DK_ 219 0 215 202 - 449 484 1.332 1.064 2.447 1.712 2.964 - - -
NL_ 195 215 0 244 - 117 109 829 526 1.717 911 2.133 - - -
BEL 59 202 244 0 - 142 217 1.341 1.024 2.694 1.722 3.006 - - -
LUX - - - - - - - - - - - - - - -
FRA 223 449 117 142 - 0 82 947 533 1.842 1.072 2.192 - - -
UK_ 147 484 109 217 - 82 0 732 301 1.460 730 1.746 - - -
IRL 1.482 1.332 829 1.341 - 947 732 0 121 208 43 387 - - -
ITA 953 1.064 526 1.024 - 533 301 121 0 436 108 551 - - -
GRE 2.508 2.447 1.717 2.694 - 1.842 1.460 208 436 0 144 48 - - -
SPA 1.655 1.712 911 1.722 - 1.072 730 43 108 144 0 221 - - -
POR 2.885 2.964 2.133 3.006 - 2.192 1.746 387 551 48 221 0 - - -
AUS - - - - - - - - - - - - - - -
FIN - - - - - - - - - - - - - - -
SWE - - - - - - - - - - - - - - -
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
Disimilaridades entre Países en el año final del ECHP
2.000 GER DK_ NL_ BEL LUX FRA UK_ IRL ITA GRE SPA POR AUS FIN SWE
GER 0 93 243 45 2.665 158 153 765 1.411 3.002 1.583 3.533 90 688 592
DK_ 93 0 363 263 2.910 290 374 918 1.432 2.961 1.821 3.652 139 863 780
NL_ 243 363 0 96 4.016 35 111 212 439 1.484 674 1.903 130 165 110
BEL 45 263 96 0 3.388 103 112 657 1.078 2.553 1.453 3.062 86 573 488
LUX 2.665 2.910 4.016 3.388 0 4.024 3.039 6.004 7.029 9.403 7.382 9.843 3.222 6.042 5.407
FRA 158 290 35 103 4.024 0 114 250 514 1.587 755 1.993 93 240 203
UK_ 153 374 111 112 3.039 114 0 424 884 2.140 1.159 2.612 204 641 424
IRL 765 918 212 657 6.004 250 424 0 61 605 197 1.050 578 117 141
ITA 1.411 1.432 439 1.078 7.029 514 884 61 0 315 77 676 925 171 245
GRE 3.002 2.961 1.484 2.553 9.403 1.587 2.140 605 315 0 171 97 2.306 881 1.016
SPA 1.583 1.821 674 1.453 7.382 755 1.159 197 77 171 0 417 1.264 441 535
POR 3.533 3.652 1.903 3.062 9.843 1.993 2.612 1.050 676 97 417 0 2.750 1.463 1.639
AUS 90 139 130 86 3.222 93 204 578 925 2.306 1.264 2.750 0 505 433
FIN 688 863 165 573 6.042 240 641 117 171 881 441 1.463 505 0 25
SWE 592 780 110 488 5.407 203 424 141 245 1.016 535 1.639 433 25 0
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
Obviamente, no han podido ser calculadas las correspondientes medidas de
disimilaridad entre países cuya información no estaba disponible, lo que ya se ha
comentado ocurre para Austria, Luxemburgo, Finlandia y Suecia en 1993, Finlandia
19
y Suecia en 1994, y para Suecia en 1995; como queda patente en la tabla de
disimilaridades del año inicial.
Análisis directo de las medidas de disimilaridad.
De forma general, se observa un rango de disimilaridades muy variado
situándose entre unas pocas decenas de unidades paritarias de compra (43
unidades para España-Irlanda en 1993 ó 25 unidades en el caso de Finlandia-
Suecia en el 2000) hasta varios miles de unidades (9.843 unidades en el caso de
Luxemburgo-Portugal en el 2000).
Según la similitud que presentan sus distribuciones, la evolución en el
tiempo conduce a una clasificación de los países bastante compatible la literatura
económica sobre la marcha de estos países. Así, en el año 2000, como se deduce
del siguiente cuadro en el que hemos diferenciado con distinto tono de fondo los
diferentes niveles de proximidad, se habría llegado a los siguientes grupos de
países con distribuciones de ingresos más similares, donde algunos de estos países
podrían situarse alternativamente en varios grupos contiguos, si relajamos a un
menor nivel la exigencia sobre la similitud interna de los grupos: {Portugal-Grecia},
{España-Italia}, {Italia-Irlanda}, {Finlandia-Suecia}, {Holanda-Francia}, {Reino
Unido}, {Bélgica-Austria-Alemania}, {Alemania-Dinamarca}, {Luxemburgo};
Clasificación de Países en el año 2000, según sus disimilaridades
2000 LUX DK_ GER AUS BEL UK_ FRA NL_ SWE FIN IRL ITA SPA GRE PORLUX 0 2910 2665 3222 3388 3039 4024 4016 5407 6042 6004 7029 7382 9403 9843DK_ 2910 0 93 139 263 374 290 363 780 863 918 1432 1821 2961 3652GER 2665 93 0 90 45 153 158 243 592 688 765 1411 1583 3002 3533AUS 3222 139 90 0 86 204 93 130 433 505 578 925 1264 2306 2750BEL 3388 263 45 86 0 112 103 96 488 573 657 1078 1453 2553 3062UK_ 3039 374 153 204 112 0 114 111 424 641 424 884 1159 2140 2612FRA 4024 290 158 93 103 114 0 35 203 240 250 514 755 1587 1993NL_ 4016 363 243 130 96 111 35 0 110 165 212 439 674 1484 1903SWE 5407 780 592 433 488 424 203 110 0 25 141 245 535 1016 1639FIN 6042 863 688 505 573 641 240 165 25 0 117 171 441 881 1463IRL 6004 918 765 578 657 424 250 212 141 117 0 61 197 605 1050ITA 7029 1432 1411 925 1078 884 514 439 245 171 61 0 77 315 676 SPA 7382 1821 1583 1264 1453 1159 755 674 535 441 197 77 0 171 417 GRE 9403 2961 3002 2306 2553 2140 1587 1484 1016 881 605 315 171 0 97 POR 9843 3652 3533 2750 3062 2612 1993 1903 1639 1463 1050 676 417 97 0
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
Disimilaridad menor que 100 unidades Disimilaridad menor que 150 unidades Disimilaridad menor que 275 unidades
20
Si comparamos las disimilaridades del año final 2000 con las
correspondientes disimilaridades del año inicial 1993 podremos comprobar qué
países han acercado sus distribuciones y cuales han separado a lo largo de este
periodo. Así, para analizar la convergencia entre países, hemos calculado, en una
primera instancia y para cada par de países, unos indicadores de convergencia
resultantes del cociente de la disimilaridad que presentaban las distribuciones de
los dos países en el último año de la encuesta (X2000 e Y2000) y la que presentaban
las distribuciones de los dos países en el primer año de la encuesta (X1993 e Y1993).
),(),(),(
19931993
2000200020001993 YXd
YXdYXI =
De esta forma, un valor de 1 para este indicador mostraría que las
distribuciones comparadas permanecen con el mismo grado de proximidad, valores
mayores que 1 mostrarían alejamiento o divergencia entre las distribuciones de los
países comparados, y valorores menores que 1 mostrarían acercamiento o
convergencia entre éstas. Para los casos en que no se disponía de la medida de
disimilaridad, en los años 1993, 1994 y 1995, se imputó la misma medida de
disimilaridad que en el siguiente año en que se dispusiera del dato, obteniéndose el
resultado que se muestra en la siguiente tabla.
Indicadores de Convergencia entre países: periodo 1993-2000
Ingreso País LUX GER DK_ BEL UK_ AUS FRA NL_ SWE FIN IRL ITA SPA GRE POR23.101 LUX 1,03 1,19 1,56 1,09 1,43 1,48 1,18 1,14 1,30 1,18 1,37 1,07 1,21 1,1715.166 GER 1,03 0,42 0,77 1,04 3,13 0,71 1,24 1,47 1,22 0,52 1,48 0,96 1,20 1,2214.982 DK_ 1,19 0,42 1,30 0,77 0,67 0,65 1,69 1,19 1,46 0,69 1,35 1,06 1,21 1,2314.833 BEL 1,56 0,77 1,30 0,51 2,83 0,73 0,39 1,05 0,92 0,49 1,05 0,84 0,95 1,0214.676 UK_ 1,09 1,04 0,77 0,51 1,40 1,38 1,02 0,99 1,30 0,58 2,94 1,59 1,47 1,5014.359 AUS 1,43 3,13 0,67 2,83 1,40 1,03 0,54 1,82 0,98 0,55 1,01 0,66 1,00 0,9613.549 FRA 1,48 0,71 0,65 0,73 1,38 1,03 0,30 0,95 0,67 0,26 0,96 0,70 0,86 0,9113.287 NL_ 1,18 1,24 1,69 0,39 1,02 0,54 0,30 0,81 0,74 0,26 0,83 0,74 0,86 0,8912.041 SWE 1,14 1,47 1,19 1,05 0,99 1,82 0,95 0,81 0,99 0,26 0,67 0,55 0,85 0,9311.799 FIN 1,30 1,22 1,46 0,92 1,30 0,98 0,67 0,74 0,99 0,29 0,48 0,51 0,84 0,9911.616 IRL 1,18 0,52 0,69 0,49 0,58 0,55 0,26 0,26 0,26 0,29 0,50 4,64 2,92 2,7110.605 ITA 1,37 1,48 1,35 1,05 2,94 1,01 0,96 0,83 0,67 0,48 0,50 0,71 0,72 1,2310.409 SPA 1,07 0,96 1,06 0,84 1,59 0,66 0,70 0,74 0,55 0,51 4,64 0,71 1,18 1,888.743 GRE 1,21 1,20 1,21 0,95 1,47 1,00 0,86 0,86 0,85 0,84 2,92 0,72 1,18 2,038.619 POR 1,17 1,22 1,23 1,02 1,50 0,96 0,91 0,89 0,93 0,99 2,71 1,23 1,88 2,03
Fuente: Elaboración propia, a partir de los datos de la ECHP.
reducción a menos del 85% de la disimilaridad en 1993 reducción a menos del 90% de la disimilaridad en 1993 reducción a menos del 95% de la disimilaridad en 1993
21
Del examen conjunto de esta tabla y la anterior, se deduce que, en general,
existen grupos de países que han aproximado sus distribuciones de ingreso a lo
largo del periodo 1993-2000, si bien existen algunos que profundizan sus
diferencias. Así, podemos destacar:
a) El país con mayor ingreso medio equivalente y comparable, Luxemburgo,
presenta una distribución final de ingresos que se aleja claramente de las
del resto de países de la UE.
b) Los cuatro países que le siguen en ingreso medio, Alemania, Dinamarca,
Bélgica y Reino Unido, forman un grupo que, en general, han aproximado
sus distribuciones de ingreso; aunque con ciertas polarizaciones internas.
Así, Dinamarca con Alemania y Bélgica con Reino Unido, han reducido
respectivamente sus diferencias a aproximadamente la mitad de la que
presentaban inicialmente. Sin embargo, Alemania y Reino Unido mantienen
prácticamente sus diferencias, mientras que Bélgica y Dinamarca se han
alejado algo más.
c) Austria se ha alejado relativamente de los países anteriores, con la
excepción de Dinamarca, mientras que ésta, a su vez, se ha alejado de las
distribuciones de ingresos de los otros dos países nórdicos, Suecia y
Finlandia.
d) Estos dos países, Suecia y Finlandia, junto con Francia, Holanda, Irlanda e
Italia, han aproximado todos entre sí sus respectivas distribuciones de
ingreso.
e) De ellos, Irlanda es el país que más se aproxima a todos los países con
mayores ingresos medios que él, con la única excepción de Luxemburgo que
se separa de todos a mayor velocidad.
f) También España y Grecia (aunque más España, por lo que se distancia algo
de Grecia) se acercan a este último grupo de 6 Países, con la excepción de
Irlanda que parece evolucionar y alejarse más rápidamente.
g) Tanto España como Grecia distancian sus distribuciones de ingreso con
respecto de Portugal que parece posicionarse más lejos que lo que lo estaba
inicialmente de los países más ricos, acercándose tímidamente al grupo de 6
países indicados en el epígrafe d, cuando no mantiene prácticamente su
diferencia (con la excepción ya comentada de Irlanda).
Como parece deducirse de lo anterior, la mayor o menor proximidad entre
las distribuciones de ingresos de los países no sólo depende de la mejor o peor
22
marcha de las economías de los países, sino también del ritmo o velocidad con que
aquéllas se mueven. Por ello, no sólo nos interesa saber cómo han quedado, sino
que nos interesa aún más saber cómo se ha llegado a esa situación a lo largo del
tiempo: si las pautas de acercamiento o alejamiento se han mantenido
sostenidamente a lo largo del periodo o no, si todos los países caminan hacia un
patrón similar o no, si los caminos son relativamente parecidos o no, etc.
Así pues, con el objetivo de tener en cuenta la máxima información sobre la
trayectoria de los comportamientos aproximativos o de alejamiento entre estas
distribuciones de ingresos, se han considerado todas las disimilaridades calculadas
entre las distribuciones de los países en los diferentes años recogidos en la ECHP.
En consecuencia, se ha empleado completamente la matriz triangular de orden
(8x15)·(8x15) que recoge los (8x15+1)(8x15)/2=7260 coeficientes de disimilaridad
entre las distribuciones que presentaban los 15 países estudiados en los 8 años de
la encuesta.
Como vemos, la complejidad de la información numérica crece ya que, en
general, la medición de la diferencia entre los comportamientos de p poblaciones a
lo largo de t períodos, conduce a considerar
+=
+2
1···
2)1·( tp
tptp indicadores de
proximidad14 entre las p poblaciones en los t distintos períodos de tiempo, y que
deberemos interpretar en términos comparativos.
Aplicación del modelo ALSCAL de escalamiento multidimensional.
Para analizar estos resultados y llegar a comprender la evolución temporal
relativa de las distribuciones estudiadas, resulta muy conveniente tratar las
disimilaridades previamente calculadas mediante alguna técnica que nos ayude a la
interpretación conjunta de las mismas. Para ello, hemos empleado una técnica de
escalamiento multidimensional15 que nos proporcionará una representación de las
distribuciones de ingreso comparadas en cierto espacio factorial euclídeo de un
número reducido de dimensiones, óptimamente deducido de acuerdo con las
14
2
)1··(·
2· −
=
tptptp coeficientes de disimilaridad no triviales, si no consideramos los coeficientes nulos
resultantes de comparar las p·t distribuciones de los p países en los t periodos de tiempo, consigo mismo. 15 Los fundamentos del escalamiento multidimensional fueron puestos por Torgenson,W.S. (1958). Para una introducción a estos métodos, puede consultarse Kruskal,J.B & Wish,M (1978).
23
medidas de proximidad previamente calculadas entre éstas, cuyo sistema de
referencia trataremos igualmente de explicar, y donde el análisis de las relaciones
de aproximación y alejamiento (convergencia) entre las distribuciones personales
de renta disponible equivalente de los países observados se facilitará mediante la
visualización de sus respectivas trayectorias temporales.
Concretamente, para simplificar la interpretación de los coeficientes de
disimilaridad calculados entre las distribuciones de �Ingreso Personal Equivalente
Comparable� (disponible) de cada país en cada periodo de tiempo estudiado, se ha
empleado el modelo ALSCAL según el procedimiento establecido en Young,F.W.
Lewyckyj,R. y Takane,Y. (1986).
Este modelo tratará de encontrar, en cierto espacio p-dimensional, las
coordenadas representativas de cada una de las distribuciones de los países en
cada año de la encuesta (puntos) de forma que las distancias euclídeas entre cada
dos de estos puntos, dij, o alguna posible transformación monótona de éstas, T(dij),
reproduzcan lo más fielmente posible las disimilaridades realmente observadas, δij,
entre sus distribuciones representadas.
Para su estimación se ha empleado el procedimiento MDS de SAS/STAT16,
habiéndose probado varias transformaciones monótonas (identidad, afín, lineal,
potencial y monótona-escalonada), así como varias dimensiones del espacio
factorial de representación buscado (entre 1 y 6). El criterio de bondad de ajuste
empleado ha sido la medida de Stress-1 de Kruskal17 (�Badness of Fit Criterion� en
terminología del procedimiento MDS, cuando se seccionan las opciones Fit=1,
Formula=1 y Coef= Identity) cuya formulación es:
( ) 2/1
2
2
1
)(
−=
∑∑
ijij
ijijij dT
Sδ
δ
y, de acuerdo con él, se ha encontrado que en todos los espacios considerados, la
mejor aproximación siempre la proporcionó el modelo de transformación potencial:
( )pijijij dsdT ·)( =≅δ o equivalentemente, ( ) ( )ijij dps ·log)log(log +≅δ
16 SAS/STAT y SAS/GRAPH son productos registrados de SAS Institute Inc., Cary, NC, USA. 17 Kruskal caracteriza la bondad de ajuste del modelo en base a este criterio como sigue: 0=perfecto, 0.025=excelente, 0.05=bueno, 0.1=aceptable, 0.2 pobre.
24
Este modelo, para los diferentes espacios considerados de distintas
dimensiones, ha proporcionado los valores del criterio de bondad de ajuste que se
recogen en la siguiente tabla y que hemos representado en el siguiente gráfico
acodado:
Dimensiones Stress-1 de Kruskal 1 0.058921 2 0.028915 3 0.022431 4 0.020017 5 0.018404 6 0.017446
Crite
rio d
e Aju
ste
De acuerdo con estos resultados y siguiendo el principio de parsimonia, 2
dimensiones podrían ser suficientes para representar bastante bien la diversidad
reflejada en las disimilaridades calculadas; ó 3, si queremos calificar el ajuste de
�excelente� según la escala de Kruskal. Ampliar la dimensión del espacio de
representación a más de 3 dimensiones, aunque mejora en algo la bondad de
ajuste del modelo, no consigue mejorarla sustancialmente.
Así, el modelo ha sido finalmente ajustado en 3 dimensiones para la
transformación logarítmico lineal, obteniéndose la siguiente solución óptima para la
que se representa su Diagrama de Shepard asociado:
( ) 963,1·9,234 ijij d≅δ o equivalentemente, ( ) ( )ijij d·log963,1)9,234log(log +≅δ
25
Según se puede ver, el Diagrama de Shepard18 confirma la bondad del
ajuste alcanzado, apuntando hacia un elevado coeficiente de correlación entre las
disimilaridades originalmente observadas y las trasformaciones de las
correspondientes distancias reproducidas por las coordenadas obtenidas por el
modelo; una vez calculada esta correlación lineal, toma efectivamente el valor de
1.00 con precisión de dos decimales.
Como consecuencia, se han obtenido las coordenadas resultantes, en el
espacio factorial óptimo, para cada distribución de ingresos de cada país en cada
año de la encuesta, que pasaremos a analizar a continuación.
Representaciones de las trayectorias, a lo largo de los años, de las
distribuciones de ingreso de los países en el espacio factorial.
Uniendo consecutivamente las coordenadas que un determinado país
presenta en los sucesivos años de la encuesta, podemos visualizar la trayectoria de
su comportamiento y analizarla comparativamente con las de los demás. Para ello,
a continuación representamos dichas trayectorias en el plano de proyección
formado por sus dos principales dimensiones.
Según la nueva medida de disimilaridad propuesta
18 Representación gráfica de los pares (T(dij), δij) unidos ordenadamente de menor a mayor δij
26
De una primera ojeada, se observa cómo la práctica totalidad de los países
presentan un movimiento bastante sostenido, en el período 1993-2000, de derecha
a izquierda a lo largo de la 1ª dimensión, desde sus posiciones en el año inicial
hasta sus posiciones en el año final indicadas en el gráfico por el indicativo del país
seguido de 00.
Análogamente se observa también a primera vista otro movimiento
generalizado de concentración de las posiciones de los países, a medida que avanza
el tiempo, hacia posiciones cercanas al eje de referencia de la 1ª dimensión; es
decir, hacia valores cercanos a cero en la 2ª dimensión. Sólo se observan 2
excepciones a esta regla: Reino Unido que parece aumentar un poco su coordenada
en esta dimensión, aunque permaneciendo en niveles relativamente bajos (+0.29),
y Luxemburgo que fuga de la zona donde se sitúan las trayectorias del resto de
países, caminando justo en sentido contrario para esta 2ª dimensión. Y aunque
este movimiento es generalizado con las excepciones señaladas, cabe sin embargo
distinguir 5 grupos de países que terminan el periodo estudiado en sendos niveles
de valores bastante distintos: Luxemburgo (+2.28), Portugal (+0,68), Reino Unido
(+0,29), Suecia y Finlandia (-0.59 y �0.65 respectivamente) y el resto de países
(entre �0.20 y +0.10).
Interpretación de las dimensiones del espacio factorial
Como es nuestra intención realizar el análisis para la nube de puntos
completa en sus 3 dimensiones, a partir de sus proyecciones bidimensionales sobre
cada dos de ellas, trataremos de profundizar en la interpretación estadístico-
económica de las mismas para comprender mejor lo que mostrarán estos gráficos.
Para ello, se han calculado las correlaciones que presentan las dimensiones
del espacio factorial considerado con las siguientes variables descriptivas: media
aritmética (media), cuantiles de órdenes 0.001, 0.01, �,0.99, 0.999 (P_001, P_01,
P_05, P_10, P_25, P_50, P_75, P_90, P_95, P_99, P_999), cocientes de estos
cuantiles y la media aritmética (Pr_001, Pr_01, Pr_05, Pr_10, Pr_25, Pr_50, Pr_75,
Pr_90, Pr_95, Pr_99, Pr_999), desviación típica (dt), rango o recorrido (rango),
recorrido inter-cuantílico P_25-P_001 (r1), recorrido inter-cuantílico P_50-P_25
(r2), recorrido inter-cuantílico P_75-P_50 (r3), recorrido inter-cuantílico P_999-
P_75 (r4), coeficiente de variación de Pearson (cvar), cocientes de los anteriores
27
recorridos inter-cuantílicos y la mediana (rr1, rr2, rr3, rr4), distancia media de Gini
(dmgini), índice de concentración de Gini (igini) y cuadrado del coeficiente de
variación de Pearson (cvar2).
La representación gráfica de dichas variables descriptivas, en función de sus
correlaciones con las dimensiones del espacio factorial, nos permitirá profundizar en
el significado intuitivo de las mismas. Y para no hacer innecesariamente densas
estas representaciones gráficas, sólo se representan aquellas variables descriptivas
para las que al menos una de las correlaciones con alguna dimensión representada
es superior a 0.4.
Así, en el gráfico siguiente, se representan las variables descriptivas en las
dos primeras dimensiones.
Podemos ver que la dimensión 1ª se encuentra alta y negativamente
correlacionada (correlaciones cercanas a �1) principalmente con la práctica
totalidad de medidas de localización, tanto absolutas y como relativas, así como
con medidas de dispersión como la distancia media de Gini y la desviación típica; y
adicionalmente, también se encuentra correlacionada positivamente con el índice
de concentración de Gini; por lo que un país se situará tanto más a la izquierda en
el gráfico cuanto más se desplace a la derecha la totalidad de su distribución de
28
ingresos proporcionando mayores ingresos medios (cuanto más riqueza reparta), lo
que suele ir acompañado de mayor dispersión de la distribución, y cuanto menor
sea la desigualdad en la misma (cuanto más equitativo sea el reparto). En
consecuencia, la primera dimensión puede ser interpretada análogamente a un
indicador de bienestar económico o de �nivel de vida-renta�19 que pesa
conjuntamente el nivel de riqueza general de la población y el grado de igualdad en
su reparto.
Si ahora nos fijamos en la segunda dimensión, vemos que sus correlaciones
con las variables descriptivas no son demasiado altas, por lo que su interpretación
podría ser un tanto aventurada. En cualquier caso, la variable estadística más
correlacionada con ella es el índice de correlación de Gini (positivamente), aunque
también lo están positivamente las razones con respecto de la media de los
percentiles bajos, y negativamente las razones con respecto de la media de los
percentiles altos. Por tanto, esta dimensión clasifica las distribuciones de ingresos
de los distintos países posicionando en los valores más positivos a aquéllas que
teniendo una mayor concentración de sus percentiles alrededor de su media
consiguen tener altos grados de desigualdad. Y recíprocamente, coloca en los
valores más negativos a aquellas distribuciones que presentando una mayor
separación de sus percentiles alrededor de su media consiguen tener bajos grados
de desigualdad. Consecuentemente, esta dimensión parece que nos habla de la
contribución a la desigualdad de la cola derecha de la distribución. Valores más
positivos marcan a países donde la cola derecha tiene un mayor peso relativo sobre
la desigualdad para compensar la mayor igualdad del resto de la distribución; y
viceversa.
Para interpretar la tercera dimensión, observemos el correspondiente gráfico
de las variables descriptivas en el plano de proyección sobre las dimensiones 1 y 3.
Observamos que, como ocurría con la segunda, las correlaciones con la tercera
dimensión no son altas, siendo por tanto su interpretación un tanto arriesgada;
pero, en todo caso, las mayores correlaciones en valor absoluto son negativas y se
corresponden con indicadores de dispersión, especialmente relativa, y de
desigualdad, mientras que presentan correlaciones positivas todos los indicadores
19 La familia de �indicadores de nivel de vida-renta� introducido en Pena et al. (1996) se define como producto de la media de la distribución de ingresos por el complemento a 1 de un índice de desigualdad normalizado, y es un caso particular de la clase más amplia de indicadores de bienestar económico introducida por Blackorby y Donaldson (1978).
29
de localización, especialmente las razones de los presentiles bajos con respecto de
la media. Además observamos que esta dimensión está prácticamente
incorrelacionada con la media.
Así esta dimensión clasifica a las distribuciones de ingreso de los países
situando en valores más positivos a aquéllas que presentando una mayor
separación respecto de la media de los percentiles superiores a ella, así como una
menor separación respecto de la media de los percentiles inferiores a ella,
consiguen una menor desigualdad y una menor dispersión; lo que consigen a base
de estructurar su cola izquierda y su zona central de una forma más uniforme
(llegándose a presentar a veces mesetas, más de una moda relativa,...),
propiciando así un amplio abanico de ingresos en las zonas centrales de la
distribución para el que hay relativamente poca diferencia proporcional en el
número de sus perceptores. Y recíprocamente, sitúa en valores más negativos a
aquellas distribuciones que presentando una mayor separación respecto de la
media de los percentiles inferiores a ella y un mayor acercamiento a la media de los
percentiles superiores a ella, consiguen una mayor desigualdad y una mayor
dispersión; lo que consiguen a base de estructurar su cola izquierda y su zona
central de una forma más acampanada y asimétrica, donde la proporción del
número de perceptores por tramos de ingreso depende relativamente más de la
magnitud de los ingresos en esos tramos. Consecuentemente, esta dimensión
30
parece informarnos de la contribución a la desigualdad de las clases bajas, medias
y medias-altas, o de la estructura de ingresos de estas clases.
En resumen, mientras que la dimensión 1ª habla de bienestar económico en
el sentido de nivel de vida-renta, fundamentalmente marcado por los ingresos
medios de las poblaciones, las dimensiones 2 y 3 tratan de hablar de las diferentes
formas de poseer estos niveles con distintas formas de reparto interno de la riqueza
(distintas formas de obtener niveles parecidos de bienestar económico global con
diferentes formas de desigualdad interna).
Análisis de las trayectorias de las distribuciones de ingresos.
Con estas interpretaciones de las dimensiones del espacio en el que se
observa la mayor parte de la variabilidad entre las distribuciones de ingreso de los
países considerados en los años observados por el ECHP, pasamos a analizar las
trayectorias que ésos han seguido a lo largo de estos años, a partir de las
representaciones a mayor escala (sin Luxemburgo) que presentamos a continuación
en los 3 planos de proyección formados con cada dos de las 3 dimensiones
consideradas.
Según la nueva medida de disimilaridad propuesta
31
Según la nueva medida de disimilaridad propuesta
Según la nueva medida de disimilaridad propuesta
32
De la observación de estos 3 gráficos podemos deducir las siguientes
matizaciones sobre el análisis que ya realizamos de la tabla de Indicadores de
Convergencia algunas páginas antes:
a) Todos los países muestran un movimiento bastante sostenido hacia la
izquierda (posiciones de mayor bienestar económico o nivel de vida-renta).
Sólo Reino Unido parece haber tenido algunos pequeños contratiempos en
los años 1995 y 1998, compensados largamente por su evolución en el resto
del periodo.
b) El país con mayor ingreso medio equivalente y comparable, Luxemburgo,
presenta una distribución final de ingresos que se aleja claramente de las
del resto de países de la UE, tanto por desigualdad debida al gran peso de
su cola derecha (dimensión 2) como por su claramente mayor media de
ingresos que compensa esta mayor desigualdad y le lleva a tener el mayor
nivel de vida-renta de la UE (dimensión 1).
c) Las polarizaciones internas en el grupo de países convergentes de Alemania,
Dinamarca, Bélgica y Reino Unido, detectadas en el análisis de los
indicadores de convergencia, se deben a que, aunque Dinamarca con
Alemania y Bélgica con Reino Unido convergen a unos niveles de vida-renta
(dimensión 1) muy parecidos, sin embargo difieren en la forma de reparto
de su riqueza; en concreto, en la dimensión 3 (desigualdad debida a las
zonas baja y central de sus distribuciones) en el primer caso, y en la
dimensión 2 (desigualdad debida a la cola derecha de la distribución) en el
segundo caso.
d) Al margen del excepcional comportamiento de la distribución de ingresos de
Luxemburgo, bastante diferente al del resto de distribuciones de ingresos de
la UE, prácticamente todos los países (con la excepción de Reino Unido)
tienden a valores promedios (valores cercanos a cero) en su segunda
dimensión tendiendo a converger por tanto a un modelo único del tipo de
desigualdad que caracteriza esta dimensión, con una cola derecha de peso
medio.
e) Sin embargo, Reino Unido aumenta, ligera pero sostenidamente, su valor
sobre esta 2ª dimensión desde 1996, manteniéndose finalmente en valores
en torno al +0,30).
f) En cualquier caso, en el camino de esta convergencia en cuanto a la
desigualdad caracterizada por la segunda dimensión (pesadez de la cola
33
derecha), al final del período analizado nos encontramos con diferentes
estados de acercamiento mutuo: Luxemburgo (+2.28), Portugal (+0,68),
Reino Unido (+0,29), Suecia y Finlandia (-0.59 y �0.65 respectivamente,
en torno al valor �0,60) y el resto de países (entre �0.20 y +0.10), donde
valores más positivos indican mayores pesos relativos de las colas derechas.
g) Aunque Austria se ha alejado relativamente de Alemania y Bélgica, este
alejamiento se debe a sus diferentes comportamientos en la dimensión 3
(desigualdad debida a las zonas baja y central de sus distribuciones) ya que,
en términos de las dimensiones 1 y 2 partían de situaciones próximas en el
primer año y sólo se han separado muy ligeramente en términos absolutos.
h) Con respecto a la dimensión 1, la dimensión 3 parece tomar forma de �U�,
decreciendo cuando los niveles de bienestar económico de los países son
más bajos (a mediad que crece la desigualdad como consecuencia de la
estructura de ingresos de las zonas bajas y medias de la distribución) y
volviendo a crecer cuando el bienestar económico es alto (decreciendo la
desigualdad como consecuencia de la estructura de ingresos de las zonas
bajas y medias de la distribución) para la mayoría de países. Sin embargo,
como excepciones, Bélgica y Reino Unido disminuyen su valor tras
correcciones en esta dimensión en el año 1997, mientras que Suecia y
Finlandia se mantienen estables en sus niveles.
i) Dinamarca, Suecia y Finlandia comparten tendencias en el crecimiento en
las dos primeras dimensiones hacia el modelo de distribución que podríamos
llamar �centro-europeo�, si bien con más ímpetu en el caso danés (crece
más en bienestar económico y en desigualdad según la dimensión 2ª (peso
de su cola derecha), lo que le hace alejarse más de las otras. Sin embargo,
en Suecia y Finlandia también crece, además, la desigualdad en las capas
medias y bajas de la distribución (3ª dimensión), mientras que en
Dinamarca la desigualdad global se compensa algo con la mayor equidad en
estas capas.
j) Francia, Holanda, Irlanda e Italia han aproximado todos entre sí sus
respectivas distribuciones de ingreso con niveles de desigualdad
aproximadamente similares en las dos dimensiones 2ª Y 3ª. Y aunque las
disimilaridades finales en la dimensión 2ª siguen aún siendo mayores que
las de estos 4 países, Suecia y Finlandia tienden a converger con ellos.
k) Partiendo de niveles de desigualdad altos en la dimensión 2ª, Irlanda,
España y Grecia han disminuido ésta a niveles medios europeos; no
ocurriendo lo mismo con la desigualdad asociada a la dimensión 3ª para la
34
que la desigualdad de la zona media-baja crece, si bien en Irlanda cambia
su tendencia en 1995-96. En cualquier caso, Irlanda es el país que más se
aproxima todos los países con mayores ingresos medios que él, no sólo en
bienestar económico sino también en niveles de desigualdad, con la única
excepción de Luxemburgo que se separa de todos a mayor velocidad.
l) También España y Grecia (aunque más España) se acercan al grupo de
Suecia, Finlandia, Francia, Holanda, Irlanda e Italia (aunque Irlanda se ha
acercado al resto más rápidamente y ensancha su distancia con aquéllos);
pero el crecimiento de la desigualdad en la dimensión 3ª para España la
lleva a niveles de desigualdad en sus clases medias y bajas superiores a la
media de la UE.
m) Tanto España como Grecia distancian sus distribuciones de ingreso con
respecto de Portugal que, aunque reduce la desigualdad en la dimensión 2 y
la aumenta en la dimensión 3, mantiene, en ambas dimensiones, niveles de
desigualdad superiores a la media de la UE; y parece posicionarse aún más
lejos que lo que lo estaba inicialmente de los países más ricos en cuanto a
bienestar económico, acercándose tímidamente al grupo de 6 países antes
referido, con la excepción ya comentada de Irlanda.
IV. CONCLUSIONES
Partiendo de la problemática propuesta realizada en Dagum (1980) para
medir la distancia entre distribuciones de ingresos, en este trabajo hemos
introducido una nueva medida de disimilaridad, basada en la diferencia media de
Gini, que permite comparar la proximidad de aquéllas.
Para comprobar su validez hemos calculado las correspondientes medidas de
disimilaridad entre todas las distribuciones anuales de ingresos personales
equivalentes comparables (disponibles) en los países de la UE, construidas a partir
de los datos de su Panel de Hogares entre 1994 y 2001, para proceder a su
análisis.
El análisis de cada una de las tablas anuales de disimilaridades entre países
así calculadas, permite describir la situación relativa de los países en cada año,
habiéndose analizado, como más inmediata, la del último año de referencia para los
ingresos (2000), estableciéndose los grupos de países más similares en dicho año.
35
Dado que este resultado es la consecuencia de todo un proceso evolutivo a
través del tiempo, la comparación de una tabla de disimilaridades anual con la de
otro año permite analizar la transformación sufrida en ese intervalo de tiempo. En
este sentido, y como exponente de la transformación sufrida por los países en el
periodo estudiado, hemos comparado la situación del año final 2000 con la del año
inicial 1993, determinado los grupos de países que han aproximado sus
distribuciones (convergentes) y los que las han alejado (divergentes), extrayendo
algunas consecuencias particulares en base a las magnitudes de las relaciones de
aproximación y alejamiento de los distintos países.
Sin embargo esta comparativa estática ignora la dinámica del proceso, la
evolución de los países para llegar a la transformación finalmente constatada, y no
refleja las posibles fuentes de diversidad que pueden explicar los diferentes
comportamientos de las distribuciones de ingresos estudiadas. Por ello, se ha
aplicado el modelo ALSCAL de escalamiento multidimensional como medio de
determinar, primeramente, cuáles son las diferentes dimensiones en las que se
manifiestan las diferencias entre las distribuciones (determinándose de forma
resumida que son fundamentalmente tres: nivel de vida-renta, desigualdad debida
a la pesadez de la cola derecha y desigualdad debida a las clases bajas y medias de
las distribuciones); y describir, en segundo lugar, las trayectorias que siguieron en
ese espacio las distribuciones de los países considerados.
Las conclusiones derivadas de este análisis aplicado sobre la dinámica
general y particular del conjunto de países estudiados, se recogen relacionadas en
los apartados �Análisis directo de las medidas de disimilaridad� y �Análisis de las
trayectorias de las distribuciones de ingresos�; por lo que se remite a ellas al lector,
en aras de no repetirlas nuevamente aquí.
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