controlzadores de motores de induccion_un analisis comparativo

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN

Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

CONTROLADORES DE MOTORES DE INDUCCIÓN:

UN ANÁLISIS COMPARATIVO

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

P R E S E N T A

MIGUEL ANGEL MÉNDEZ BOLIO

DIRECTOR DE TESIS: Dr. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMÍREZ

CO-DIRECTOR: M.C. PATRICIA CARATOZZOLO MARTELLITI

CUERNAVACA, MORELOS ABRIL 2001

Dedicatoria

Con todo mi amor para mi esposa Paola y mi hija Ana Paola,

a mis padres Juan Gregorio y María Esther,

y a mis queridos hermanos Juan Gregorio y Juan Esteban.

Agradecimientos A mis asesores, Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez y M.C. Patricia Caratozzolo Martelliti por haberme apoyado con sus conocimientos en el desarrollo de esta tesis. A mis revisores, Dr. Enrique Quintero Mármol-Márquez, Dr. Marco Antonio Oliver Salazar y M.I. Marino Sánchez Parra, por sus acertados consejos en el desarrollo de este trabajo de investigación. Muchas gracias. A todos mis profesores por compartir sus valiosos conocimientos conmigo. A mi esposa por su infinito amor, ternura y paciencia. A Mora Cervera por su cariño y comprensión. A mi tío Ariel por sus sabios consejos. A Juan R. Rejón por su apoyo incondicional. A Alejandro Cuevas Virués por su apoyo. A mis queridos amigos de generación: Margarita Paz, Alejandro López, Carlos Morcillo, Horacio Visairo, José Hoyo, Marco Contreras, Marco Rodríguez, René Vite y Roberto Galindo. Gracias por su amistad. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), a la Secretaría de Educación Pública (SEP) y al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por su apoyo económico y las facilidades que me brindaron.

A todos ustedes . . . . . GRACIAS.

ÍNDICE

Pág.

ÍNDICE I LISTA DE FIGURAS IV LISTA DE TABLAS VII SIMBOLOGÍA VIII CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1 1.1 Estado del arte 2 1.2 Justificación 4 1.3 Alcance 4 1.4 Aportación 4 1.5 Organización del trabajo de tesis 5 CAPÍTULO 2 ANÁLISIS, MODELADO Y SIMULACIÓN DIGITAL EN COMPUTADORA DE LA OPERACIÓN DEL MOTOR DE INDUCCIÓN TRIFÁSICO EN LAZO ABIERTO 7 2.1 Análisis dinámico del MI 7 2.2 Modelo trifásico del MI 12 2.3 Simulación digital en computadora de la operación del MI trifásico 15 CAPÍTULO 3 MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MARCOS DE REFERENCIA (MR) Y MODELO DE LA CARGA 18 3.1 Teoría del marco de referencia 18 3.2 Modelo del MI en su representación matemática fija al estator, modelo ‘ab’ 22 3.3 Modelo del MI en su representación matemática fija al rotor, modelo ‘dq’ 29 3.4 Modelo del MI en su representación matemática giratoria síncrona, modelo ‘gs’ 35 3.5 Modelo del MI basado en la formulación de Euler-Lagrange 37

3.5.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L) 37 3.5.2 Derivación Lagrangiana del modelo trifásico del MI 39 3.5.3 Modelo equivalente de 2φ 44

3.6 Modelo matemático de la carga (brazo de robot con un grado de libertad) 49

I

ÍNDICE

CAPÍTULO 4 CONTROL DEL MI BASADO EN CAMPO ORIENTADO 52 4.1 Planteamiento del problema 52 4.2 Diseño del controlador basado en campo orientado 53 4.3 Simulación de la operación del sistema resultante 57 CAPÍTULO 5 CONTROL DEL MI BASADO EN LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN 61 5.1 Planteamiento del problema 61 5.2 Diseño del controlador basado en linealización por

retroalimentación entrada-salida 62 5.3 Simulación de la operación del sistema resultante 68 5.4 Diseño del controlador basado en linealización por retroalimentación

entrada-salida empleando observadores de velocidad y flujo 71 5.5 Simulación de la operación del sistema resultante 78 CAPÍTULO 6 CONTROL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD 81 6.1 Planteamiento del problema 81 6.2 Diseño del controlador basado en la formulación de E-L, pasividad 82 6.3 Análisis de estabilidad de Lyapunov 89 6.4 Simulación de la operación del sistema resultante 95 CAPÍTULO 7 ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 98 7.1 Análisis del índice de desempeño 98 7.2 Análisis del tiempo de simulación 101 7.3 Análisis de las señales de entrada al MI, voltajes y corrientes 103 7.4 Conclusiones 106 REFERENCIAS 108

II

ÍNDICE

APÉNDICE A MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN DEL MI A-1 A.1 Estado del arte A-1 A.2 Modelos del MI en lazo abierto con carga constante A-3 A.3 Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante A-3 A.4 Modelos del MI en lazo abierto con carga variable A-4 A.5 Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable A-4 A.6 Instrucciones para simular los programas A-5 A.7 Desarrollo de un ejemplo de simulación A-8

III

LISTA DE FIGURAS

Pág. Figura 2-1 Máquina de inducción trifásica, simétrica, dos polos,

conectada en estrella. 9 Figura 2-2 Diagrama esquemático a bloques del modelo trifásico del MI. 13 Figura 2-3 Sistema trifásico de alimentación, voltajes de línea (izquierda);

par vs. velocidad (derecha). 16 Figura 2-4 Corriente en la fase ‘a’ del estator (izquierda) y

fase ‘a’ del rotor (derecha). 16 Figura 2-5 Corrientes de las fases a, b y c: estator (izquierda), rotor (derecha). 17 Figura 2-6 Par electromagnético (izquierda); velocidad del rotor (derecha). 17 Figura 3-1 Transformación para circuitos estacionarios representada

por relaciones trigonométricas. 21 Figura 3-2 Representación trigonométrica de la transformación de las

variables del rotor a las variables del estator. 23 Figura 3-3 Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘ab’ del MI. 28 Figura 3-4 Representación polar del vector de flujo del rotor. 29 Figura 3-5 Representación trigonométrica para la transformación de las

variables en el MR ‘ab’ a variables en el MR ‘dq’. 30 Figura 3-6 Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘dq’ del MI. 34 Figura 3-7 Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘gs’ del MI. 36 Figura 3-8 Diagrama esquemático a bloques del modelo basado

en la formulación de E-L del MI. 49 Figura 3.9 Representación gráfica del brazo de robot con un grado de libertad. 50 Figura 3-10 Trayectoria de posición deseada. 51 Figura 4-1 Diagrama a bloques del controlador por campo orientado para

el MI en el MR ‘dq’. 57 Figura 4-2 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘dq’ del MI,

ud (izquierda) y uq (derecha). 58 Figura 4-3 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘dq’,

id (izquierda) e iq (derecha). 59 Figura 4-4 Flujo de referencia vs. flujo real (izquierda);

par electromagnético de referencia vs. par real (derecha). 59 Figura 4-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia

vs. real (derecha). 60 Figura 4-6 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). 60 Figura 4-7 Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad. 60

IV

LISTA DE FIGURAS

Figura 5-1 Diagrama a bloques del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI en el MR ‘ab’ empleando el álgebra de Lie. 68

Figura 5-2 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI, ua (izquierda) y ub (derecha). 69

Figura 5-3 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, ia (izquierda) e ib (derecha). 69

Figura 5-4 Flujo de referencia al cuadrado vs. flujo real al cuadrado. 70 Figura 5-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia

vs. real (derecha). 70 Figura 5-6 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). 71 Figura 5-7 Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad. 71 Figura 5-8 Diagrama a bloques del controlador basado en linealización por

retroalimentación entrada-salida para el MI en el MR ‘ab’ empleando observadores. 77

Figura 5-9 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI, usa (izquierda) y usb (derecha). 78

Figura 5-10 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, isa (izquierda) e isb (derecha). 78

Figura 5-11 Flujo de referencia vs. real (izquierda); par electromagnético (derecha). 79 Figura 5-12 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia

vs. real (derecha). 79 Figura 5-13 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). 80 Figura 5-14 Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad. 80 Figura 6-1 Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el MI. 94 Figura 6-2 Voltajes de entrada al estator para el modelo basado en E-L,

u1 (izquierda) y u2 (derecha). 95 Figura 6-3 Corrientes de fase en el estator para el modelo basado en E-L,

ias (izquierda) e ibs (derecha), corrientes de referencia vs. reales. 95 Figura 6-4 Par electromagnético de referencia vs. real. 96 Figura 6-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia

vs. real (derecha). 96 Figura 6-6 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). 97 Figura 6-7 Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad. 97 Figura 7-1 Gráfica comparativa entre los índices de desempeño de los

controladores, para el error de la velocidad. 99 Figura 7-2 Diferentes acercamientos de la figura 7-1; (a) en esta gráfica

aún se observan los cuatro índices de desempeño; (b) en ésta sólo se aprecian los ITAE correspondientes al campo orientado, linealización con observadores y pasividad; (c) en esta gráfica sólo aparecen los ITAE de la linealización con observadores y el de pasividad. 100

V

LISTA DE FIGURAS

Figura 7-3 Gráfica de barras del ITAE para la velocidad, ver tabla 7-1

para a, b, c, d. 100 Figura 7-4 Gráfica circular que muestra el porcentaje de los tiempos de

simulación, ver tabla 7-2 para la identificación de a, b, c, d. 102 Figura 7-5 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos

del controlador basado en campo orientado. 103 Figura 7-6 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del

controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida. 104

Figura 7-7 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando observadores. 104

Figura 7-8 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en pasividad. 105

Figura A-1 Workspace de Matlab, página de inicio. A-5 Figura A-2 Programa de Simulink correspondiente a mod3fmi.mdl,

con sus respectivos osciloscopios. A-6 Figura A-3 Ventana para abrir y modificar los archivos de parámetros. A-7 Figura A-4 Ventana para modificar el archivo de parámetros. A-7 Figura A-5 Distribución de las carpetas que contienen los programas

de simulación. A-8 Figura A-6 Programa de Simulink correspondiente a sislinml.mdl,

con sus respectivos osciloscopios. A-8 Figura A-7 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI,

Ua (izquierda) y Ub (derecha). A-9 Figura A-8 Voltajes que entrega el controlador Va (izquierda), Vb (derecha). A-9 Figura A-9 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’,

ia (izquierda) e ib (derecha). A-9 Figura A-10 Flujos de fase en el rotor, PHIa (izquierda), PHIb (derecha). A-10 Figura A-11 Norma del flujo del rotor al cuadrado PHIref 2 vs. flujo real PHI 2. A-10 Figura A-12 Posición de referencia vs. real (izquierda), velocidad de

referencia vs. real (derecha). A-10 Figura A-13 Error de posición (izquierda), error de velocidad (derecha). A-10 Figura A-14 Índice de desempeño IAE de la posición (izquierda),

IAE de la velocidad (derecha). A-10 Figura A-15 Índice de desempeño ITAE de la posición (izquierda),

ITAE de la velocidad (derecha). A-11 Figura A-16 Voltajes y corrientes de alimentación trifásicos obtenidos al

aplicar la transformación de coordenadas inversa a los voltajes entregados por el controlador (figura A-8), Vabc (izquierda), Iabc (derecha). A-11

VI

LISTA DE TABLAS

LISTA DE TABLAS

Pág. Tabla 3-1 Marcos de referencia comúnmente utilizados. 22 Tabla 7-1 ITAE con el error de la velocidad para los diferentes controladores. 100 Tabla 7-2 Tiempo de simulación de los diferentes controladores. 101 Tabla 7-3 Tabla comparativa de las señales de entrada al MI, voltajes y corrientes. 105 Tabla A-I Modelos del MI en lazo abierto con carga constante. A-3 Tabla A-II Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante. A-3 Tabla A-III Modelos del MI en lazo abierto con carga variable. A-4 Tabla A-IV Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable. A-4

VII

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

En aplicaciones industriales de alto desempeño, donde se necesita un control preciso de la posición, velocidad y par, tradicionalmente se han utilizado servocontroles basados en motores de corriente directa (CD) y motores de pasos (stepper) ya que con ellos se obtienen buenas características de funcionamiento y además resultan ser más fáciles de controlar. Sin embargo, en el caso de los motores de CD se tienen problemas con el conmutador, sobre todo a velocidades elevadas, además de que no son utilizables en ambientes peligrosos, corrosivos o explosivos.

Actualmente, el motor de inducción tipo jaula de ardilla, es la máquina eléctrica más

utilizada en el ámbito industrial, debido a las ventajas que presenta sobre las demás, como son: bajo costo, mínima necesidad de mantenimiento, alta confiabilidad, robustez, capacidad de trabajar en ambientes sucios y explosivos. Tradicionalmente se han utilizado como motores de velocidad constante ya que no requieren un control preciso de velocidad. Sin embargo, gracias a los avances alcanzados en la electrónica de potencia y en la digital, en la teoría de control y en la de máquinas eléctricas, se han desarrollado sistemas impulsores de velocidad variable de alta precisión a costos razonables. Así, sus campos de aplicación crecen paulatinamente.

En la actualidad los servocontroles de máquinas de inducción de CA son competitivos y superan en muchas características a los de CD.

1

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

1.1 Estado del arte

El análisis completo del motor de inducción comprende la determinación de las fuerzas magnetomotrices (fmm) resultantes en el entrehierro de la máquina, las densidades de flujo magnético, los flujos magnéticos, los enlaces de flujo, el conocimiento de los parámetros de la máquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc. Una vez conocidos los parámetros físicos de la máquina, se plantearán las ecuaciones de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de estas se podrán determinar las demás variables de interés, como son las corrientes, el par electromagnético, la velocidad, etc.

También es necesario conocer el comportamiento del motor de inducción en sus

diferentes regímenes de operación (arranque, frenado, plena carga, etc. ), y una alternativa para lograrlo es el análisis, modelado y simulación digital de las diferentes condiciones de operación del motor. A continuación se presentan las características generales de las máquinas eléctricas, que requieren atención especial al diseñar un sistema de control: i) Su dinámica exhibe no linealidades significativas, ii) No todas las variables de estado son necesariamente medidas, iii) Los parámetros del sistema pueden variar significativamente de sus valores

nominales.

El diseño de controladores de alto desempeño para el motor de inducción es complicado debido a que no se puede medir el estado completo, además de ser un sistema subactuado, no lineal, acoplado y con parámetros variantes en el tiempo.

Existen diferentes métodos de control para el motor de inducción, entre ellos se encuentran: I. Control en régimen permanente

Considerados como los métodos clásicos, las variables de control básicas son la amplitud y la frecuencia de los voltajes y corrientes del estator, su ventaja principal radica en que se pueden aplicar las técnicas de control lineal en el diseño del controlador; como desventaja se tiene que el desempeño dinámico es variable, dependiendo de que tan cerca esté funcionando el motor del punto de operación supuesto y además que existan acoplamientos entre sus variables. Algunas técnicas usadas son:

a) control Voltaje/Frecuencia constante, b) control de la frecuencia de deslizamiento y corriente del estator.

2


II. Control no lineal

Las aplicaciones de alto desempeño demandadas por la industria requieren técnicas de control no lineal para alcanzar el funcionamiento deseado. Algunos métodos utilizados son:

II.1. Control vectorial Es un método de control estándar para máquinas de CA. Su objetivo principal es

hacer que el motor de inducción se comporte como uno de CD de excitación separada, con las variables par y flujo magnético desacopladas. Algunas técnicas usadas son: a) control por campo orientado, b) control directo del par y del vector de flujo de estator.

II.2. Control no lineal moderno

Estas técnicas utilizan el modelo no lineal del motor y se basan en la teoría de sistemas y tratan de demostrar formalmente características fundamentales del sistema de control. Algunos de los métodos utilizados son: a) Los basados en pasividad y moldeo de energía: utilizan la formulación Euler-Lagrange

(E-L) para el modelo del MI y aprovechan las propiedades físicas del sistema como la conservación de energía y la pasividad [Espinosa,93].

b) Los basados en la linealización por retroalimentación: consisten en transformar al sistema original no lineal en una relación lineal entre variables auxiliares de entrada y salida por medio de un lazo de retroalimentación no lineal interno y posteriormente se diseña un control lineal que asegure la estabilidad y el desempeño deseado del sistema lineal resultante [D’Attellis,92].

c) Los basados en el método backstepping: consisten en dividir al sistema total en subsistemas de menor orden, se elige uno y se le diseña un control por retroalimentación como si no existieran otras dinámicas y se obtiene un pseudocontrol; si no aparece la señal de control verdadera se repite el procedimiento hasta que aparezca [Isidori,89].

d) Los basados en el control de sistemas de estructura variable: utilizan el control en modos deslizantes [Isidori,89].

e) Entre otros métodos de control no lineal moderno se encuentran el robusto, redes neuronales, difuso, etc. [Hernandez,et.al.,97].

3


1.2 Justificación

En el cenidet se busca reforzar la línea de investigación de máquinas eléctricas, lo que capacitará a las futuras generaciones para enfrentar necesidades de la industria donde se requieren trayectorias controladas en forma precisa.

En este trabajo de tesis se aborda el estudio de los motores de inducción, de sus

diferentes métodos de control, así como la elaboración de programas computacionales (con la ayuda del paquete computacional Matlab/Simulink™) para la simulación digital de la operación de los diferentes esquemas de control analizados, reforzando también con esto la línea de investigación de sistemas no lineales.

1.3 Alcance

El alcance del trabajo de tesis consiste en modelar y simular las diferentes condiciones de operación del MI empleando la computadora como una herramienta poderosa.

También se desarrollan los programas computacionales para la simulación digital

del comportamiento de los controladores diseñados, cuyos resultados se emplean para llevar a cabo el análisis comparativo.

El análisis de los resultados obtenidos es de gran utilidad ya que se empleará como

base para un trabajo futuro de tesis. Por lo anterior, es importante considerar que el trabajo de tesis que se desarrolla

forma parte de una etapa previa a la construcción de un prototipo del controlador para el MI.

1.4 Aportación Este trabajo de tesis proporciona bases sólidas para la obtención de modelos matemáticos del MI, que son: a) Representación trifásica, que consiste en el sistema completo del MI incluyendo la

dependencia de las inductancias con la posición angular. b) Representaciones matemáticas ‘ab’, ‘dq’, ‘gs’, donde se emplea la

teoría del marco de referencia para la obtención de representaciones del MI más sencillas, ya que trabajar con el modelo completo de tres fases resulta muy complicado para su estudio.

c) Representación del MI en donde se emplea la formulación de E-L para la obtención del modelo, ya que este ofrece más ventajas que los anteriores como son la dependencia de las variables con la posición angular, lo que lo hace más completo.

4


Además se lleva a cabo un análisis comparativo entre tres diferentes estructuras de control (campo orientado, linealización por retroalimentación y pasividad).

De este tipo de resultados no se cuenta con ningún trabajo realizado en el cenidet, por lo que esta tesis forma parte de los cimientos y enriquece la línea de investigación de control de máquinas eléctricas y de control no lineal en las que se trabaja en este centro de investigación. Además, los resultados obtenidos se utilizarán como referencias básicas de una tesis futura, a nivel maestría, en la que se pretenderá implementar un prototipo de un controlador para el motor de inducción, partiendo de los resultados aquí obtenidos.

1.5 Organización del trabajo de tesis

En el trabajo de tesis se analizan tres estructuras de control para el MI y se llevan a cabo las simulaciones digitales correspondientes para poder evaluar sus índices de desempeño, características, ventajas, limitaciones y complejidad.

Es por esto, que el trabajo de tesis se organiza de la siguiente manera para presentar

de una forma clara la obtención del modelo del MI, sus diferentes representaciones matemáticas, así como sus controladores y sus resultados de simulación.

El capítulo 2 consiste en el análisis, modelado y simulación del MI trifásico, en el

que se realiza un análisis dinámico, se obtiene el modelo trifásico y también se presentan los resultados de simulación, con la ayuda del paquete computacional Matlab/Simulink™.

En el capítulo 3 se obtienen las representaciones matemáticas del MI en sus

diferentes marcos de referencia (MR) comenzando con una exposición breve de la teoría básica del marco de referencia. Inmediatamente se obtienen las diferentes representaciones del MI empleando la teoría del MR, siendo éstas: representación en el MR fijo al estator ‘ab’, MR fijo al rotor ‘dq’, MR giratorio síncrono ‘gs’, y la basada en la formulación de E-L. Para la obtención de esta última representación se parte del modelo trifásico del MI basado en la formulación E-L y se le aplica la transformación de Blondel (modelo αβ) para obtener la representación equivalente de dos fases que es con la que se diseña el controlador. Además, en este capítulo se presenta el modelo matemático de la carga que se emplea para la simulación de los controladores diseñados, esta carga es un brazo de robot con un grado de libertad.

En el capítulo 4 se diseña el controlador del MI basado en campo orientado. Se

presentan el planteamiento del problema de control y el método de diseño del controlador y además los resultados de simulación de su operación, obtenidos con el programa computacional.

5


El capítulo 5 presenta el diseño del control basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI. De la misma manera que en el capitulo 4, se expone el planteamiento del problema y también se muestran los resultados de simulación.

En el capítulo 6 se diseña el controlador basado en la formulación de E-L. Además,

nuevamente se plantea el problema de control y se exponen los resultados de simulación. Para concluir con el trabajo de tesis se presenta el capítulo 7 en el que se exponen

las observaciones sobre las diferentes estructuras de control estudiadas, el análisis comparativo de los resultados y las conclusiones.

Después del capítulo 7 se encuentran las referencias bibliográficas que se citan a lo largo del trabajo de tesis, ordenadas alfabéticamente. Para finalizar con el trabajo de tesis se proporciona un Apéndice en el que se detallan los pasos a seguir para el uso de los programas de simulación del MI desarrollados a lo largo de este trabajo de Tesis con la ayuda del paquete computacional Matlab/Simulink™.

6

Capítulo 2

ANÁLISIS, MODELADO Y SIMULACIÓN DIGITAL EN COMPUTADORA DE LA OPERACIÓN DEL MOTOR DE INDUCCIÓN TRIFÁSICO EN LAZO ABIERTO En éste capítulo se presenta el análisis, modelado y simulación digital en computadora de la operación del motor de inducción (MI) trifásico, esto representa una valiosa aportación ya que en la literatura tradicional es muy difícil encontrar las ecuaciones dinámicas del modelo trifásico del MI y más aún los resultados de simulación digital de dicho modelo. Por éste motivo el propósito principal del capítulo es presentar las ecuaciones dinámicas del MI trifásico al igual que los resultados de simulación considerando al sistema en lazo abierto y alimentado por una fuente trifásica convencional.

2.1 Análisis dinámico del MI

El análisis completo del motor de inducción comprende la determinación de las fuerzas magnetomotrices (fmm) resultantes en el entrehierro de la máquina, las densidades de flujo magnético, los enlaces de flujo, además del conocimiento de los parámetros de la máquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc.

7

CAPÍTULO 2 ANÁLISIS, MODELADO Y SIMULACIÓN DIGITAL EN COMPUTADORA DE LA OPERACIÓN DEL MI TRIFÁSICO EN L.A.

Una vez conocidos los parámetros físicos de la máquina se plantean las ecuaciones de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de estas se pueden determinar las demás variables de interés como son las corrientes, el par electromagnético, la velocidad, etc.

Para la obtención de las ecuaciones se emplea una máquina de inducción trifásica, simétrica, de dos polos, conectada en estrella, tipo jaula de ardilla. Los devanados del estator son idénticos, están distribuidos en forma senoidal, desplazados 120º eléctricos entre sí, con un número equivalente de vueltas Ns, y resistencia Rs. Debido a que el devanado del rotor es del tipo jaula de ardilla, los conductores que forman el devanado están embutidos en el material ferromagnético del rotor y son conectados en corto circuito en sus extremos. Para este caso, se representan los devanados equivalentes y similares a los del estator, con Nr vueltas y resistencia Rr. Se supone que la máquina de inducción es lineal, es decir, no existe saturación del circuito magnético y que además la fuerza magnetomotriz (fmm) no contiene componentes armónicas. Desde luego éstas simplificaciones no permiten predecir con exactitud el comportamiento del MI en todos sus modos de operación; sin embargo, ésta representación simplificada nos proporciona resultados adecuados del comportamiento en la mayoría de las aplicaciones prácticas [Guerrero,94]. A continuación se presenta el esquema fundamental del MI que se está considerando; obsérvese la disposición física de los devanados del estator y del rotor cilíndrico, y el diagrama eléctrico de los mismos:

eje cs

eje bs

eje as

eje cr

eje br

eje ar

cs bs

as

crbr

arcs’

bs’

as’

cr’br’

ar’θ r

ω r

(a)

8


9

v bs

i bs

i cs

i as v as

v cs+

+

+

Ns

Ns

Ns

R s

R sR s v cr

i cr

i br

i arv ar

v br+

+

+

Nr

Nr

Nr

Rr

R rR r

(b)

Figura 2-1 Máquina de inducción trifásica, simétrica, dos polos, conectada en estrella, (a) diagrama esquemático; (b) diagrama eléctrico devanados de estator y rotor.

La inclinación intencional del circuito eléctrico de la derecha en la figura 2-1 (b) es con la finalidad de enfatizar el defasamiento existente entre estator y rotor.

En función de las variables de la máquina, las ecuaciones de voltaje del estator y del

rotor son:

abcrabcrrabcr

abcsabcssabcs

piRv

piRv

λ

λ

+⋅=

+⋅= _(2.1)

donde: abc : denotan las tres fases del MI,

s : denota a las variables y parámetros asociados al estator, r : denota a las variables y parámetros asociados al rotor, p : denota el operador de derivación (d/dt).

[ ][ crbrar

Tabcr

csbsasT

abcs

ffff

ffff

=

=

)(

)(

] _(2.2)

donde f : representa a cualquier variable eléctrica (v, i, τ, ...). Las matrices de resistencias Rs y Rr son diagonales, con los elementos de la diagonal iguales. Los enlaces de flujo (λ) para un sistema lineal son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

abcr

abcs

rT

sr

srs

abcr

abcs

ii

L)L(LL

λλ

_(2.3)

Las inductancias de los devanados expresadas en Henrios (H) son:


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

sslssmsm

smsslssm

smsmssls

s

LLLLLLLLLLLL

L _(2.4)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

rrlrrmrm

rmrrlrrm

rmrmrrlr

r

LLLLLLLLLLLL

L _(2.5)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅==

rrr

rrr

rrr

srT

rssr L

θπθπθ

πθθπθ

πθπθθ

cos3

2cos3

2cos

32coscos

32cos

32cos

32coscos

LL _(2.6)

donde:

Lls, Llr : inductancias de dispersión de los devanados de estator y rotor respectivamente,

Lss, Lrr : autoinductancias o inductancias propias de los devanados de estator y rotor respectivamente,

Lsm, Lrm : inductancias mutuas entre los devanados de estator y rotor respectivamente,

Lsr : valor pico de las inductancias mutuas estator-rotor. θr : desplazamiento angular eléctrico del rotor,

Las cuales se definen de la siguiente manera:

grssr

grrmgssm

grrrgsss

PNNL

PNLPNL

PNLPNL

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

==

32cos

32cos 22

22

ππ

donde Ns, Nr : número de vueltas en los devanados de estator y rotor

respectivamente, Pg : permeancia en el entrehierro. Como puede observarse de las matrices de inductancias, existe una dependencia con respecto a la posición angular, de ahí la complejidad para simular el sistema trifásico. Para obtener las ecuaciones dinámicas del subsistema eléctrico es necesario aplicar las leyes de Ohm y Faraday a cada uno de los devanados. En forma desarrollada se tienen las siguientes ecuaciones del motor de inducción [Ong,98].

10


Ecuaciones de voltaje en los devanados Ecuaciones de voltaje en los devanados de fase del estator: de fase del rotor:

dtdRiv

dtdRiv

dtdRiv

dtdRiv

dtdRiv

dtdRiv

crrcrcr

csscscs

brrbrbr

bssbsbs

arrarar

assasas

λλ

λλ

λλ

+=+=

+=+=

+=+=

_(2.7)

La ecuación del subsistema mecánico en términos del par electromagnético τe es,

Lrr

e Bdt

dJ τωωτ ++= :mecánicaEcuación _(2.8)

donde: J : inercia del rotor y de la carga en Kg⋅m2,

B : coeficiente de fricción viscosa en N m s/rad, ωr : velocidad angular del rotor en rad/s, τL : par resistente o par de la carga (N⋅m).

Su expresión en términos de las variables de la máquina se deriva de la energía almacenada en el campo magnético Wc. La relación entre la Wc y el τe en el MI es:

r

rjcrje

iWPiθ

θθτ

∂

∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

),(2

),( _(2.9)

donde P : número de polos de la MI,

τe : par electromagnético (positivo para la acción motor), Wc : coenergía asociada a la energía Wf en un sistema lineal. ij : vector de corrientes trifásicas en los devanados de estator y rotor.

Desarrollando la ecuación (2.8), y considerando que Ls y Lr no son funciones de θr, se obtiene el par en Newton⋅metros.

[ ] abcrsrr

Tabcse iLiP

⋅∂∂

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

θτ )(

2 _(2.10)

11


12

2.2 Modelo trifásico del MI

Las ecuaciones del subsistema eléctrico (2.7) se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:

dtdRiv λ

+= _(2.11)

donde : vector de corrientes de estator y rotor, [ T

crbrarcsbsas iiiiiii = ]

Li=λ : enlace de flujo (sistema lineal),

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

r

r

r

s

s

s

RR

RR

RR

R

000000000000000000000000000000

: matriz de resistencias de estator y rotor,

[ T

crbrarcsbsas vvvvvvv = ] : vector de voltajes de estator y rotor.

Es importante recordar que cómo se trata del MI tipo jaula de ardilla, entonces los voltajes del rotor son cero.

Obteniendo la derivada del enlace de flujo: dtdiLi

dtdL

dtd

+=λ _(2.12)

y sustituyendo esta expresión en (2.11) y al mismo tiempo despejando para dtdiL tenemos:

vidtdLRi

dtdiL +−−= _(2.13)

desarrollando el término dtdL mediante el empleo de la regla de la cadena sin alterar el sentido de la ecuación, dtdddLdtdL rr θθ ⋅= donde θr : es el desplazamiento angular del rotor,

rpr n

dtd ωθ

= : es la velocidad angular y

np : corresponde al número de pares de polos del MI.


Entonces la ecuación (2.13) se vuelve,

vinddLR

dtdiL rp

r

+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ω

θ _(2.14)

que corresponde a la representación en espacio de estado del modelo dinámico del MI.

Donde es la matriz de inductancias y cuyos elementos son las submatrices ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

rrs

srsLLLLL

(2.4), (2.5) y (2.6). Para el obtener el subsistema mecánico se cuenta con la ecuación (2.8) y con la ecuación que describe la velocidad angular, esto es:

rpr

Lrer

ndt

d

Bdt

dJ

ωθ

τωτω

=

−−= _(2.15)

Considerando las ecuaciones (2.14) y (2.15), sustituyendo las matrices y vectores correspondientes y realizando las operaciones necesarias, se obtiene el modelo dinámico en espacio de estado del MI trifásico, que cómo se ha venido mencionado, uno de los motivos por lo que no es común este modelo, es la dependencia con la posición angular del rotor (θr) que presentan sus inductancias, lo que lo hace muy complejo tanto para su análisis como para su implementación en paquetes computacionales. La siguiente figura muestra el diagrama esquemático del modelo trifásico del MI.

3 φ

Vab

Vbc

Vca

Modelo 3φdel MI tipo

jaula deardilla

ecs. 2.16τeθω

icsibsias

icribriar

τL

Figura 2-2 Diagrama esquemático a bloques del modelo trifásico del MI. donde Vab, Vbc, Vca son voltajes de línea. A continuación se presenta el modelo del MI trifásico, en el que se puede notar la complejidad que existe en las ecuaciones dinámicas debido al alto acoplamiento entre ellas.

13


Además es un sistema subactuado y también las inductancias dependen de la posición angular del rotor θr. Todo lo anterior hace a este modelo difícil de analizar y simular, pero con la ayuda de paquetes computacionales como Matlab/Simulink, este obstáculo puede ser superado.

⎥⎦⎤+−+++−+

⎢⎣⎡ +−−−+−−−⋅

+=

⎥⎦⎤+−−++++

⎢⎣⎡ +−−−−−+−⋅

+=

⎥⎦⎤+−++−++

⎢⎣⎡ +−−+−−−−⋅

+=

⎥⎦⎤++−+++−

⎢⎣⎡ −−−−+−−−⋅

+=

⎥⎦⎤++++−+−

⎢⎣⎡ −+−−−−−−⋅

+=

⎥⎦⎤+−++++−

⎢⎣⎡ −−−+−−−−⋅

+=

crcrrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas

brrmarrmcsrsrbsrsrasrsrrrlr

cr

brbrrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas

crrmarrmcsrsrbsrsrasrsrrrlr

br

ararrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas

crrmbrrmcsrsrbsrsrasrsrrrlr

ar

csrsrrpcrrsrrpbrrsrrparcss

crrsrbrrsrarrsrbssmassmssls

cs

bsrsrrpcrrsrrpbrrsrrparbss

crrsrbrrsrarrsrcssmassmssls

bs

asrsrrpcrrsrrpbrrsrrparass

crrsrbrrsrarrsrcssmbssmssls

as

viRLniLniLni

iLiLiLiLiLLLdt

di

viRLniLniLni

iLiLiLiLiLLLdt

di

viRLniLniLni

iLiLiLiLiLLLdt

di

vLniLniLniiR

iLiLiLiLiLLLdt

di

vLniLniLniiR

iLiLiLiLiLLLdt

di

vLniLniLniiR

iLiLiLiLiLLLdt

di

θωπθωπθω

θπθπθ

πθωθωπθω

πθθπθ

πθωπθωθω

πθπθθ

θωπθωπθω

θπθπθ

πθωθωπθω

πθθπθ

πθωπθωθω

πθπθθ

sen)3

2sen()3

2sen(

cos)3

2cos()3

2cos()(

1

)3

2sen(sen)3

2sen(

)3

2cos(cos)3

2cos()(

1

)3

2sen()3

2sen(sen

)3

2cos(3

2cos(cos)(

1

sen)3

2sen()3

2sen(

cos)3

2cos()3

2cos()(

1

)3

2sen(sen)3

2sen(

)3

2cos(cos)3

2cos()(

1

)3

2sen()3

2sen(sen

)3

2cos()3

2cos(cos)(

1

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

[ ] [ ]

[ ] ⎥⎦⎤−−++−−

⎢⎣⎡ −+++−++−⋅=

Lrbrcsarbscrasrsrp

arcscrbsbrasrsrpcrcsbrbsarasrsrpr

BiiiiiiLn

iiiiiiLniiiiiiLnJdt

d

τωπθ

πθθω

)3

2sen(2

)3

2sen(2sen21

rpr n

dtd ωθ

=

14


Lrr

e Bdt

dJ τωωτ ++= _(2.16)

2.3 Simulación digital en computadora de la operación del MI trifásico

Las ecuaciones (2.16) se emplean para la simulación del MI trifásico con la ayuda del paquete computacional Matlab/Simulink.

Los parámetros del MI empleados para la simulación se presentan a continuación: Para la simulación se considera un MI trifásico de dos polos, conectado en estrella, de 3 hp, 220 volts, 3600 rpm o 376.9911 rad/seg, con una carga constante.

32220

=Vp V : valor pico del voltaje de alimentación por fase,

f = 60 Hz : frecuencia de la fuente de alimentación, J = 0.013 kg m2 : inercia del rotor, τL = 1.5 N m : par de carga,

B = 0 rad

smN ⋅⋅ : coeficiente de fricción viscosa,

np = 1 : número de pares de polos, Lss = 0.0693121 H : autoinductancia de los devanados de estator, Lsm = - 0.03465605 H : inductancia mutua entre devanados de estator, Lrm = - 0.03465605 H : inductancia mutua entre devanados de rotor, Lrr = 0.0693121 H : autoinductancia de los devanados de rotor, Lls = 0.00200005 H : inductancia de dispersión en los devanados de estator, Llr = 0.00200005 H : inductancia de dispersión en los devanados de rotor, Lsr = 0.0693121 H : valor pico de las inductancias mutuas entre estator y rotor, Rs = 0.435 Ω, : resistencia de los devanados de estator, Rr = 0.816 Ω, : resistencia de los devanados de rotor, como se definieron anteriormente [Krause, et.al.,95]. El siguiente par de gráficas presenta los voltajes de línea del sistema trifásico, que como se puede observar se encuentran distribuidos senoidalmente con un defasamiento de 120º eléctricos entre sí y además se presenta el comportamiento del par vs. la velocidad

15


angular en la que el par tiende a un valor cercano a cero conforme la velocidad alcanza su valor síncrono.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Velocidad angular del rotor (rpm)

Par

ele

ctro

mag

nétic

o (N

m)

Figura 2-3 Sistema trifásico de alimentación, voltajes de línea (izquierda); par vs. velocidad (derecha). En la siguiente figura se presentan las corrientes de estator y rotor correspondientes a la fase ‘a’ donde salta a simple vista la diferencia en frecuencia de dichas señales, observándose que la corriente de estator es de mayor frecuencia que su correspondiente de rotor, esto se debe al factor de deslizamiento ‘s’.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 2-4 Corriente en la fase ‘a’ del estator (izquierda) y fase ‘a’ del rotor (derecha). A continuación se presentan las corrientes trifásicas de línea de estator y rotor con la finalidad de comparar el defasamiento de 120º eléctricos existente entre las corrientes de cada devanado, pues como se observó de la figura anterior las frecuencias entre las corrientes de estator y rotor son diferentes.

16


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-150

-100

-50

0

50

100

150

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo (seg)

Cor

rient

e (A

mp)

Figura 2-5 Corrientes de las fases a, b y c: estator (izquierda), rotor (derecha). Para finalizar con el capítulo se presenta el par electromagnético cuya magnitud es muy elevada al arranque del motor para luego estabilizarse conforme avanza el tiempo y la velocidad alcanza su valor síncrono. En la otra figura se observa el comportamiento de la velocidad, expresada en (rad/seg), que se estabiliza en un valor de 377 rad/seg (cercano al síncrono) en un tiempo de aproximadamente 0.18 segundos.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Tiempo (seg)

Par

ele

ctro

mag

nétic

o (N

m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Vel

ocid

ad (

rad/

seg)

Tiempo (seg)

Figura 2-6 Par electromagnético (izquierda); velocidad del rotor (derecha).

17

Capítulo 3

MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MARCOS DE REFERENCIA (MR) Y MODELO DE LA CARGA En éste capítulo se presenta el modelo del MI en sus diferentes representaciones matemáticas, empleando transformaciones geométricas de 3φ a 2φ con la finalidad de observar la simplicidad en el análisis y simulación de dichas representaciones en comparación con el modelo trifásico. Las diferentes representaciones matemáticas que se abordarán en el capítulo corresponden al MR fijo al estator (modelo ‘ab’), fijo al rotor (modelo ‘dq’) y el giratorio síncrono (modelo ‘gs’). También se obtendrá la representación matemática del MI basada en la formulación de E-L, obtenida mediante el análisis de energía del sistema.

3.1 Teoría del marco de referencia

Las ecuaciones de voltaje que describen el comportamiento del MI se establecieron en el capítulo 2, en donde se puede observar que algunas de las inductancias de la máquina están en función de la posición angular del rotor, por lo que los coeficientes de las ecuaciones diferenciales son variantes en el tiempo, excepto cuando el rotor está fijo. Para reducir la complejidad de estas ecuaciones diferenciales frecuentemente se emplea un cambio de variables que elimina la dependencia del tiempo de dichas inductancias.

18

CAPÍTULO 3 MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MR’s Y MODELO DE LA CARGA

Los cambios de variables más comunes y que hasta la fecha se continúan empleando son descritos a continuación: R. H. Park desarrolló una nueva aproximación al análisis de máquinas eléctricas, formulando un cambio de variables que, en efecto, reemplazaron a las variables (voltajes, corrientes y enlaces de flujo) asociadas con los devanados de estator de una máquina síncrona con variables asociadas a devanados giratorios ficticios con el rotor. Dicho de otra manera, Park transformó o refirió las variables de estator a un marco de referencia fijo en el rotor. H. C. Stanley empleó un cambio de variables en el análisis de las máquinas de inducción. Demostró que las inductancias variantes en el tiempo de las ecuaciones de voltaje de un MI, debido a circuitos eléctricos en movimiento relativo pueden ser eliminadas transformando las variables asociadas con los devanados del rotor a variables asociadas con devanados estacionarios ficticios. En éste caso las variables del rotor son transformadas a un marco de referencia fijo al estator. G. Kron introdujo un cambio de variables que elimina las inductancias variantes en el tiempo de un motor de inducción simétrico transformando tanto las variables de estator como las del rotor a un marco de referencia que gira en sincronismo con el campo magnético giratorio. Éste marco de referencia comúnmente se conoce como marco de referencia giratorio síncrono. D. S. Brereton empleó un cambio de variables que también elimina las inductancias variantes en el tiempo de una máquina de inducción simétrica, transformando las variables de estator a un marco de referencia fijo al rotor. Básicamente empleó la transformación de Park, pero aplicada a máquinas de inducción. P. C. Krause y C. H. Thomas unificaron los métodos anteriores, ya que observaron que se podía emplear una transformación general y así refirieron las variables del estator y del rotor a un marco de referencia arbitrario que puede estar fijo o girando a una velocidad arbitraria [Krause, et.al.,95]. Es importante observar que todas las transformaciones mencionadas se pueden obtener de la transformación general, asignándole una velocidad de rotación al marco de referencia. La transformación a un marco de referencia arbitrario es un simple cambio de variables y no necesita de interpretación física alguna, sin embargo, frecuentemente se visualiza por medio de relaciones trigonométricas entre las variables involucradas. A continuación se describe la transformación general, con un enfoque a circuitos eléctricos trifásicos (las variables tienen un defasamiento de 120º eléctricos entre sí). Un cambio de variables que logra la transformación de las variables trifásicas de los elementos de un circuito estacionario al marco de referencia arbitrario de dos fases se puede expresar como [Krause, et.al.,95]:

19


20

abcdq ff Κ=0 _(3.1) donde f : representa a cualquier sistema 3φ de variables eléctricas (voltajes, corrientes,

pares, enlaces de flujo, etc.) defasadas 120º eléctricos entre sí, abc : sistema de variables originales, dq0 : sistema de variables resultantes. _(3.2) ( ) [ T

qddq ffff 00 = ]] _(3.3) ( ) [ T

cbaabc ffff =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Κ

21

21

21

32sen

32sensen

32cos

32coscos

32 πζπζζ

πζπζζ

_(3.4)

la transformación inversa es:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Κ −

13

2sen3

2cos

13

2sen3

2cos

1sencos1

πζπζ

πζπζ

ζζ

_(3.5)

cθθζ += _(3.6)

_(3.7) ∫ +=t

d0

)0()( θξξωθ

_(3.8) ∫ +=t

ccc d0

)0()( θξξωθ

_(3.9) ∫ +=t

sss d0

)0()( θξξωθ

_(3.10) ∫ +=t

rrr d0

)0()( θξξωθ

La definición de símbolos y variables se presenta a continuación: θc : desplazamiento angular del conjunto de variables originales,

ωc : velocidad angular del conjunto de variables originales.


− Si las variables originales pertenecen a un circuito eléctrico estacionario, ωc = 0.

− Si pertenecen al circuito eléctrico del rotor, ωc sí existe y ahora ωc = ωr.

θ : desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de referencia arbitrario,

ω : velocidad angular del MR arbitrario, ξ : variable auxiliar de integración. La transformación general se puede utilizar con circuitos eléctricos específicos, considerando los valores apropiados de velocidad angular. Las relaciones trigonométricas entre las variables, se muestran a continuación:

f cs

f bs

f as

f ds

f qs

ω

θ

Figura 3-1 Transformación para circuitos estacionarios representada por relaciones trigonométricas.

Las nuevas variables fq y fd están defasadas 90º eléctricos y giran a una velocidad arbitraria ω. La variable f0 no está asociada con el MR arbitrario (MRA), sólo está asociada aritméticamente con las variables originales abc, independientemente de θ. La teoría del MRA tiene varias aplicaciones en el campo de la ingeniería eléctrica como son el análisis de maquinaria eléctrica, el análisis de sistemas eléctricos de potencia y el análisis de sistemas impulsores de velocidad variable; sin embargo, en éste trabajo se aplica al MI trifásico. Se debe tomar en cuenta que en condiciones normales de operación, los circuitos eléctricos trifásicos son balanceados y simétricos, lo que simplifica en gran medida las relaciones resultantes al hacer la transformación de variables. En el análisis anterior se ha hecho referencia a un MR arbitrario, donde la velocidad angular ω puede tener cualquier valor, sin embargo, existen otros marcos de referencia comúnmente utilizados por su conveniencia para aplicarlos a ciertas configuraciones de circuitos reales.

21


A continuación se muestra una tabla que presenta los MR más comunes [Krause,et.al.,95]. VELOCIDAD

DEL MR INTERPRETACIÓN VARIABLES TRANSFORMACIÓN

ω (arbitraria)

Variables de circuitos referidos al MR arbitrario

fdq0 ó fd, fq, f0

Κ

0 Variables de circuitos referidos al MR estacionario

fdq0s ó

fds, fq

s, f0 Κs

ωr Variables de circuitos referidos al MR fijo al rotor

fdq0r ó

fdr, fq

r, f0 Κr

ωe Variables de circuitos referidos al MR giratorio síncrono

fdq0e ó

fde, fq

e, f0 Κe

Tabla 3-1 Marcos de referencia comúnmente utilizados.

Los tres últimos MR que aparecen en la tabla 3-1 son los que se emplearan para obtener los modelos del MI como se mencionó al comienzo del capítulo. Las transformaciones para un MR específico se obtienen sustituyendo la velocidad apropiada ω del MR en la expresión de θ, y así se obtiene el desplazamiento angular. Se sugiere, para la mayoría de los casos, seleccionar el desplazamiento inicial θ (0) igual a cero, con lo que el cálculo del desplazamiento angular se simplifica para todos los MR.

3.2 Modelo del MI en su representación matemática fija al estator, modelo ‘ab’

Para obtener la representación matemática fija al estator, modelo ‘ab’ del MI es necesario aplicar la transformación de tres a dos fases (ecuación (3.1)) a las ecuaciones eléctricas del MI trifásico (2.16), y además se requiere que se seleccione la velocidad igual a cero para el MR, según la tabla 3-1, y además es necesario seleccionar para todos los casos a θ (0) = 0, con lo cual la matriz de transformación (3.4) se vuelve:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=Κ

31

31

31

31

310

31

31

32

s _(3.11)

22


Las ecuaciones dinámicas que se obtienen al aplicar la transformación, de tres a dos fases, a las ecuaciones eléctricas trifásicas son las siguientes [Marino, et.al.,93].

sbsb

sbs

sasa

sas

udt

diR

udt

diR

=+

=+

ψ

ψ

_(3.12)

0

0

=+

=+

′′

′′

dtd

iR

dtdiR

qrqrr

drdrr

ψ

ψ

_(3.13)

donde Rs, Rr : resistencias de estator y rotor respectivamente, isa, isb : corrientes en el marco ab del estator, ird’, irq’ : corrientes en el marco dq del rotor, ψ : enlaces de flujo total (sistema general), usa, usb : voltajes aplicados a los devanados ab del estator, s → variables del estator, r → variables del rotor, (a,b) → marco de referencia (MR) fijo en el estator, (d’, q’) → MR fijo al rotor que gira a una velocidad (eléctrica) npωr, np : número de pares de polos, ωr : velocidad angular del rotor. Por lo tanto las ecuaciones dinámicas del rotor y del estator se encuentran en sus respectivos MR, por lo cual será necesario expresar ambos sistemas de ecuaciones en el mismo MR con la finalidad de que las variables del rotor se encuentren referidas a las del estator, para éste caso se selecciona el MR fijo en el estator, eje de coordenadas ‘ab’, esto es posible mediante el empleo de la siguiente transformación:

q’

d’

b

a

δ

δ

Figura 3-2 Representación trigonométrica de la transformación de las variables de rotor a estator.

0)0( =→= δωδrpn

dtd _(3.14)

δ = desplazamiento angular eléctrico del nuevo MR.

23


A continuación se presentan las transformaciones de las variables del rotor a las variables del estator: rotor (npωr) → estator (vel = 0), obtenidas de la proyección de los ejes coordenados ortogonales d´q´ sobre los ejes ab y empleando las funciones trigonométricas básicas del seno y coseno del ángulo δ, (ver figura 3-2).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

′

′

qr

dr

rb

ra

ii

ii

δδδδ

cossensencos

_(3.15)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

′

′

qr

dr

rb

ra

ψψ

δδδδ

ψψ

cossensencos

_(3.16)

Empleando las transformaciones (3.15) y (3.16) y la ecuación (3.14) para sustituirlas en (3.12) y (3.13), se obtiene: de (3.15)

[ ] [ ]

[ ] [ ] δδδδδδδ

δδδδδδδ

cossensensensencossen

cossencoscoscossencos

2

2

qrdrrbqrdrrb

qrdrraqrdrra

iiiiii

iiiiii

′′′′

′′′′

+=⇒⋅+=

+

−=⇒⋅−=

δδ sencos rbradr iii +=⇒ ′ _(3.17) de (3.16) [ ] [ ]

[ ] [ ] δδψδψδψδδψδψψ

δδψδψδψδδψδψψ

cossensensensencossen

cossencoscoscossencos

2

2

qrdrrbqrdrrb

qrdrraqrdrra

′′′′

′′′′

+=⇒⋅+=

+

−=⇒⋅−=

δψδψψ sencos rbradr +=⇒ ′ _(3.18) Realizando unas operaciones similares para la obtención de (3.17) y (3.18), pero teniendo ahora como factores de (3.15) y (3.16) a los términos [ ] [ ][ ] [ ]δ

δcos

sen⋅−⋅

L

L , se tiene:

24


δδ cossen rbraqr iii +−=⇒ ′ _(3.19)

δψδψψ cossen rbraqr +−=⇒ ′ _(3.20) Sustituyendo las ecuaciones (3.17), (3.18), (3.19) y (3.20) en las ecuaciones

dinámicas del rotor (3.13) y realizando las operaciones que se describen a continuación, se tiene lo siguiente:

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]δδψδψδδ

δδψδψδδ

cos0cossencossen

sen0sencossencos

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =+−++−

+

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =+++

rbrarbrar

rbrarbrar

dtdiiR

dtdiiR

0=−+⇒ raprbrbr ndtdiR ωψψ _(3.21)

Si se consideran ahora como factores de las ecuaciones anteriores los siguientes

términos [ ] [ ][ ] [ ]δ

δsen

cos−⋅

⋅L

L

se obtiene la otra ecuación dinámica del rotor expresada en el MR del estator.

0=++⇒ rbprarar ndtdiR ωψψ _(3.22)

Y finalmente se obtienen las ecuaciones dinámicas del rotor expresadas en el MR

del estator.

0

0

=−+

=++

raprbrbr

rbprarar

ndtdiR

ndtdiR

ωψψ

ωψψ _(3.23)

Suponiendo un circuito magnético lineal, inductancias mutuas iguales, pérdidas en

el núcleo despreciables, se obtienen las siguientes ecuaciones magnéticas:

rbrsbrb

rarsara

rbsbssb

rasassa

iLMiiLMi

MiiLMiiL

+=+=+=+=

ψψψψ

_(3.24)

25


26

donde Ls : inductancia propia de los devanados de estator, Lr : inductancia propia de los devanados del rotor, M : inductancia mutua entre los devanados de estator y rotor (se suponen

constantes). De lo anterior se puede concluir que el propósito principal de la transformación de tres a dos fases, es decir el empleo del MR, es obtener una representación matemática del MI más sencilla para su análisis y simulación digital. Para un mejor manejo e identificación de las ecuaciones se pretende expresar las variables del estator con corrientes ( )basbsa iiii ,, ⇒ y las variables del rotor con flujos ( barbra )ψψψψ ,, ⇒ con la finalidad de eliminar los subíndices s y r.

Sustituyendo adecuadamente las ecuaciones (3.24) en las ecuaciones del estator (3.12) y del rotor (3.23), se tiene:

Devanado ‘a’ del estator:

( )

sarar

sar

ssas

sarasassas

udtd

LMi

dtd

LMLiR

uMiiLdtdiR

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=++

ψ2 _(3.25)

Devanado ‘b’ del estator:

( )

sbrbr

sbr

ssbs

sbrbsbssbs

udtd

LMi

dtd

LMLiR

uMiiLdtdiR

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=++

ψ2 _(3.26)

Devanado ‘a’ del rotor:

0

0

=++−

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

rbprasar

rra

r

r

rbprar

sarar

ndtdMi

LR

LR

ndtd

LMiR

ωψψψ

ωψψψ

_(3.27)


27

Devanado ‘b’ del rotor:

0

0

=−+−

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

raprbsbr

rrb

r

r

raprbr

sbrbr

ndtdMi

LR

LR

ndtd

LMiR

ωψψψ

ωψψψ

_(3.28)

Tomando en cuenta al subsistema mecánico se obtiene la ecuación del par

electromagnético, pero además considerando la ecuación 2.10 del par, aplicándole la transformación de 3 a 2φ (ec. 3.4) para las corrientes y agrupando términos con base en las ecuaciones 3.24, se tiene:

( sarbsbrar

pe ii

LMn

ψψτ −= ) _(3.29)

Nota: De aquí en adelante se considera que ω representa lo mismo que ωr. La ecuación dinámica del rotor en el MR ab es:

( )JJ

BiiJL

Mndt

d Lrsarbsbra

r

pr τωψψω−−−= _(3.30)

En la ecuación (3.30) se considera que el coeficiente de fricción viscosa B es igual a cero y ordenando las ecuaciones anteriores en forma de espacio de estado y siendo el vector de estados [ωr, ψra, ψrb, isa, isb], se tiene:

( )

sbr

rrb

r

rrarp

rb

sar

rrbrpra

r

rra

Lsarbsbra

r

pr

MiLR

LRn

dtd

MiLRn

LR

dtd

Jii

JLMn

dtd

+−=

+−−=

−−=

ψψωψ

ψωψψ

τψψω

sbs

sbrs

srrrb

rs

rra

rs

rpsb

sas

sars

srrrbr

rs

pra

rs

rsa

uL

iLL

RLRMLL

MRLL

Mndt

di

uL

iLL

RLRMLL

MnLL

MRdt

di

σσψ

σψ

σω

σσψω

σψ

σ

1

1

2

22

2

2

22

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+=

Como se mencionó anteriormente y con base en lo que se ha venido desarrollando, sabemos que isa, isb pertenecen al estator y que ψra, ψrb pertenecen al rotor, por lo tanto es evidente que no existe lugar a confusión y es posible eliminar los subíndices s y r, obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones dinámicas que corresponden al modelo ab del MI.


Modelo del MI en su representación matemática (MR) fija al estator, modelo ‘ab’.

( )

br

rb

r

rap

b

ar

rbpa

r

ra

Labba

r

p

MiLR

LRn

dtd

MiLRn

LR

dtd

Jii

JLMn

dtd

+−=

+−−=

−−=

ψωψψ

ωψψψ

τψψω

_(3.31)

bs

brs

srrb

rs

ra

rs

pb

as

ars

srrb

rs

pa

rs

ra

uL

iLL

RLRMLL

MRLL

Mndtdi

uL

iLL

RLRMLL

MnLL

MRdtdi

σσψ

σψ

σω

σσωψ

σψ

σ

1

1

2

22

2

2

22

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+=

La ecuación para el par electromagnético es: ( )abbar

pe ii

LMn

ψψτ −=

donde rs LL

M 2

1−=σ : es un parámetro auxiliar que depende de los parámetros de MI y que

se le conoce como factor de dispersión. ua, ub : voltajes aplicados a las fases a y b del estator, obtenidos de aplicar la

transformación de 3 a 2φ, se les ha eliminado el subíndice ‘s’ como se acordó anteriormente.

A continuación se presenta el diagrama esquemático del modelo ‘ab’ del MI.

3 φ

Vab

Vbc

Vcaub

uaTransf.

de

3 a 2 φ

Modelodel MIen MR

‘ab’

ψaψbiaibωτeτL

Figura 3-3 Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘ab’ del MI.

donde Vab, Vbc, Vca : voltajes de línea, fases a, b y c.

28


3.3 Modelo del MI en su representación matemática fija al rotor, modelo ‘dq’

Para obtener la representación matemática del MI fija al rotor, modelo ‘dq’, se puede aplicar la transformación general al modelo trifásico, tomando como velocidad del MR a ωr, como se observa en la tabla 3-1, pág. 22.

En este trabajo se obtendrá el modelo ‘dq’ partiendo de las ecuaciones dinámicas

obtenidas en el modelo ‘ab’ (3.31), cuyas variables se encuentran en el MR fijo al estator, por lo que será necesario emplear un cambio de coordenadas para obtener las variables en el MR fijo al rotor [Marino, et.al.,93].

Este cambio de coordenadas involucra la transformación de los vectores [ia ib],

[ψa ψb] en el MR fijo en el estator a vectores en un marco ‘dq’ que giran en sincronismo con el vector de flujo [ψa ψb]. Geométricamente se muestra la representación polar de ψa y ψb. ⎢ψ⎟ = magnitud del flujo del rotor, ρ = ángulo del flujo del rotor.

221 ;sen;cos; baba

a

btan ψψψψψρ

ψψρ

ψψρ +==== − _(3.32)

ψa

ρ

⎜ψ⎥ ψb

Figura 3-4 Representación polar del vector de flujo del rotor. A continuación se presenta el cambio de coordenadas que se necesita para referir las variables del estator al rotor.

29


qd

b

aρ

ρ

Figura 3-5 Representación trigonométrica para la transformación de las variables en el MR ‘ab’ a variables en el MR ‘dq’.

De la representación trigonométrica de la figura 3-5 se obtienen las siguientes transformaciones de coordenadas:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

b

a

q

d

ii

ii

ρρρρ

cossensencos

_(3.33)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

b

a

q

d

ψψ

ρρρρ

ψψ

cossensencos

_(3.34)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sb

sa

q

d

uu

uu

ρρρρ

cossensencos

_(3.35)

Desarrollando id (3.33) y sustituyendo las ecuaciones (3.32), se tiene:

dbbaab

ba

abad iiiiiiii =+

=+=+=ψ

ψψψψ

ψψρρ sencos

por lo tanto,

ψψψ bbaa

diii +

= _(3.36)

Desarrollando iq , ψd , ψq de manera análoga a como se desarrolló id, se tiene:

ψψψ abba

qiii −

= _(3.37)

30


ψψψψ =+= 22bad _(3.38)

0=qψ _(3.39)

Tomando en cuenta las ecuaciones anteriores se define la transformación no lineal de espacio de estado:

ψψψ

ψψψ

ψψρ

ψψψ

ωω

abbaq

bbaad

a

b

bad

iii

iii

tan

−=

+=

=

+=

=

−1

22

_(3.40)

También se define un nuevo conjunto de entradas obtenido al desarrollar (3.35).

ρρρρ

cossensencos

baq

bad

uuuuuu+−=+=

_(3.41)

Empleando la transformación no lineal (3.40) en las ecuaciones dinámicas del modelo ‘ab’ se tiene lo siguiente. Para la ecuación de la velocidad del sistema (3.31) se realizan las siguientes operaciones:

( )

{( )

Jii

Jii

Jii

dtd

L

i

abL

ab

ba

Labba

qd

τρρψμτψψ

ψψψμ

τψψμω

ψ

−−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=

444 3444 21sencos

por lo tanto

Ji

dtd L

qdτμψω

−= _(3.42)

donde r

p

JLMn

=μ : parámetro auxiliar.

31


Para la ecuación dinámica del flujo es necesario obtener la derivada de la ecuación (3.38):

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

+=

dtd

dtd

dtd

dtd

bb

aa

ba

bad

ψψψψψψ

ψψψ

ψ

222

122

22

43421

Empleando las ecuaciones (3.32) para seno y coseno, las ecuaciones (3.38 y 3.39),

sustituyendo las derivadas del flujo por sus ecuaciones dinámicas obtenidas en el modelo ‘ab’ (3.31) y realizando las operaciones necesarias de agrupación se tiene:

ddd Mi

dtd ααψψ

+−= _(3.43)

donde r

r

LR

=α : parámetro auxiliar.

Para obtener la ecuación dinámica del desplazamiento angular ρ del vector de flujo resultante se deriva la tercera ecuación de (3.40) resultando lo siguiente:

( )

22

1

1

1

a

ab

ba

a

b

a

b

dtd

dtd

tandtd

dtd

ψ

ψψψψ

ψψ

ψψρ

−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

Nuevamente empleando las ecuaciones (3.38 y 3.39), sustituyendo las derivadas del

flujo por sus ecuaciones dinámicas obtenidas en el modelo ‘ab’ (3.31) y realizando las operaciones necesarias de agrupación se tiene:

d

qp

iMn

dtd

ψαωρ

+= _(3.44)

De la ecuación anterior se puede concluir que, si ρ es el desplazamiento angular del

vector resultante ⎢ψ⎥ , entonces dtdρ es la velocidad angular de dicho vector.

32


Para obtener la ecuación dinámica de id, se deriva la ecuación que se obtiene al desarrollar la transformación (3.33), es decir,

( ) ( )

[ ] ρρρρρ

ρρρρρρ

ρρ

ρρ

sencoscossen

cossensencos

sencos

sencos

dtdi

dtdi

dtdii

dtdi

dtdi

dtdi

dtdi

iidtdi

dtd

iii

ba

i

ba

bb

aa

bad

bad

q

++⋅+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−+=

+=

+=

444 3444 21

Sustituyendo las derivadas de las corrientes por sus ecuaciones dinámicas obtenidas

en el modelo ‘ab’ (3.31), empleando las ecuaciones (3.36, 3.38 y 3.39) y la ecuación para ud en (3.41), y realizando las operaciones necesarias de agrupación se tiene:

ds

ddd

qpq

d uL

ii

Mnidtdi

σγαβψ

ψαω 12

+−++= _(3.45)

donde 2

22

,rs

rsr

rs LLRMRL

LLM

σγ

σβ +

== , son parámetros auxiliares.

Realizando operaciones similares a las que se emplearon para obtener id, se procede a obtener iq, partiendo del desarrollo de la transformación (3.33), es decir,

( ) ( )ρρ

ρρ

cossen

cossen

baq

baq

iidtdi

dtd

iii

+−=

+−=

con lo que se obtiene:

qs

qdpd

qdpd

q uL

inii

Mnidtdi

σγωβψ

ψαω 1

+−−−−= _(3.46)

El desplazamiento angular se puede obtener de la siguiente ecuación diferencial:

ωθ=

dtd _(3.47)

Agrupando las ecuaciones (3.42, 3.43, 3.44, 3.45, 3.46 y 3.47) se obtiene el modelo del MI en las nuevas coordenas ‘dq’, es decir, las ecuaciones dinámicas del

33


Modelo del MI en su representación matemática (MR) fija al rotor, modelo ‘dq’.

ωθψ

αωρ

σγωβψ

ψαω

σγαβψ

ψαω

ααψψ

τμψω

=

+=

+−−−−=

+−++=

+−=

−=

dtd

iMn

dtd

uL

inii

Mnidtdi

uL

ii

Mnidtdi

Midt

dJ

idtd

d

qp

qs

qdpd

qdpd

q

ds

ddd

qpq

d

ddd

Lqd

1

12

_(3.48)

De la ecuación de la velocidad (3.42) se obtiene la ecuación para el par

electromagnético que es: qdr

pe i

LMnψτ =

o en términos de los parámetros auxiliares se tiene: qde iJμψτ = Agrupando los parámetros auxiliares que dependen de los parámetros del MI, se tiene:

rsr

p

rs

rsr

rsr

r

LLM

JLMn

LLRMRL

LLM

LR 2

2

22

1,,,, −==+

=== σμσ

γσ

βα _(3.49)

A continuación se presenta el diagrama esquemático del modelo ‘dq’ del MI, los voltajes Vab, Vbc, Vca, ua, ub, ya se han definido anteriormente.

3 φ

Vab

Vbc

Vcaub

uaTransf.

de

3 a 2 φ

Modelodel MIen MR

‘dq’

ψdidiq

ω

τe

Transf.

de ‘ab’

a ‘dq’uq

ud

ρθ

ρ

Figura 3-6 Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘dq’ del MI.

34


3.4 Modelo del MI en su representación matemática giratoria síncrona, modelo ‘gs’

Mediante el empleo de la transformación general (3.4), es posible obtener el modelo giratorio síncrono ‘gs’ del MI, seleccionando a ωe como la velocidad del MR como puede observarse en la tabla 3-1. En este trabajo se obtendrá el modelo ‘gs’ partiendo de las ecuaciones dinámicas del modelo ‘ab’, con los mismos parámetros auxiliares que se definieron en el modelo ‘dq’ (3.49), considerando a εo como el desplazamiento angular del nuevo MR y a ωo como su velocidad, por lo que [Marino, et.al.,99]:

oo

dtd ωε

=

Para obtener las variables en el MR ‘gs’, se aplica la siguiente transformación que

realizará el cambio de coordenadas de las variables ‘ab’ a ‘gs’, que no es más que una proyección trigonométrica de los ejes coordenados similar a la presentada en la figura 3-5:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

b

a

oo

oo

q

d

ii

ii

εεεε

cossensencos

_(3.50)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

b

a

oo

oo

q

d

ψψ

εεεε

ψψ

cossensencos

_(3.51)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sb

sa

oo

oo

q

d

uu

uu

εεεε

cossensencos

_(3.52)

que representan las componentes de los vectores de corrientes de estator, flujos del rotor y voltajes de estator respectivamente, con respecto a un nuevo marco (d, q) giratorio a velocidad ωo variante en el tiempo e identificado por el ángulo εo. Empleando operaciones similares a las utilizadas para la obtención del modelo dq a partir del modelo ab, se obtendrán las nuevas coordenadas de estado ( )qdqd ii ,,,, ψψω y las nuevas coordenadas de control ( )qd uu , , por lo que las ecuaciones dinámicas (3.31) del modelo ‘ab’ del motor se transforman en el

35


Modelo del MI en su representación matemática (MR) giratoria síncrona, modelo ‘gs’.

oo

Ldqqd

qdpqs

qqopdq

dqpds

ddopqd

qdopqq

dqopdd

dtd

Jii

dtd

uniRiMnidtdi

uniRiMnidtdi

Mindt

d

Mindt

d

ωε

τψψμωσ

ωψβσ

αβψβαω

σωψβ

σαβψβαω

αψωωαψψ

αψωωαψψ

=

−−=

+−−+−−=

++−+−=

+−−−=

+−+−=

)(

1

1

)(

)(

_(3.53)

La ecuación para el par electromagnético es: ( )dqqde iiJ ψψμτ −= _(3.54) El diagrama esquemático del modelo ‘gs’ se presenta a continuación.

ψq

3 φ

Vab

Vbc

Vcaub

uaTransf.

de

3 a 2 φ

Modelodel MIen MR

‘gs’

ψd

idiqω

τe

Transf.

de ‘ab’

a ‘gs’uq

ud

εo

εo

ωo

Figura 3-7 Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘gs’ del MI. donde ωo = 2⋅π⋅f = 2⋅π⋅(60 Hz) = 377 rad/seg, velocidad síncrona.

36


3.5 Modelo del MI basado en la formulación de Euler-Lagrange

El objetivo de desarrollar la representación matemática del modelo del MI basada en la formulación de E-L es para poder implementar el controlador basado en pasividad y además éste modelo toma en cuenta la conservación de la energía que resulta de gran importancia en comparación con los otros modelos del MI.

Antes de comenzar con el desarrollo para la obtención del modelo basado en pasividad, se presenta la teoría básica de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

3.5.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L)

Para un tratamiento más exhaustivo de sistemas Euler-Lagrange se refiere al lector interesado a [Espinosa,93]. Considere un sistema S compuesto por m elementos ideales (no importa su naturaleza). Si no existe conexión alguna entre ellos, el comportamiento dinámico de S puede ser especificado completamente por m coordenadas básicas xi, i = 1, ... , m, y se dice que posee m grados de libertad. Si estos elementos ideales son interconectados de alguna manera, entonces su comportamiento se restringe y el número de grados de libertad es reducido a n donde n = m – r, siendo r las restricciones. Estas coordenadas independientes qi, i = 1, ... , n, son llamadas coordenadas generalizadas y establecen una representación del sistema completo, ya que las m coordenadas básicas pueden ser expresadas como funciones de ellas mismas

( ) miqqxx nii ,,1,,,1 LL == así el comportamiento dinámico de S puede ser representado solamente en términos de q. En particular, la co-energía cinética del sistema puede ser representada como mientras que la energía potencial como V(q), donde son vectores de coordenadas generalizadas.

),( qqT &

qq &,

Si se considera que el sistema S está en equilibrio y su comportamiento se expresa en términos de , aplicando el principio de D’Alembert, se obtiene la siguiente igualdad para las fuerzas que aparecen en el sistema

qq &,

niQq

qVq

qqTq

qqTdtd e

iiii

,,1,)(),(),(L

&

&

&==

∂∂

+∂

∂−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ _(3.55)

donde los primeros dos términos del lado izquierdo son fuerzas debidas a la energía cinética, el tercero corresponde a las fuerzas conservativas, es decir, derivables de la energía potencial, y el término del lado derecho son las fuerzas externas generalizadas.

37


Con la finalidad de generalizar esta formulación energética, se puede definir una nueva función como la diferencia entre la energía cinética y la potencial

)(),(),( qVqqTqq −= &&L _(3.56) Esta nueva función es conocida como el Lagrangiano y su uso en (3.55) produce las ecuaciones de Euler-Lagrange.

L

niQq

qqq

qqdtd e

iii

,,1,),(),(K

&

&

&==

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ LL

Esta idealización de las ecuaciones de equilibrio puede ser modificada para ser más

real si se introduce la función de disipación de Rayleigh , y se considera que las fuerzas externas generalizadas son de la forma

)(q&FeiQ

ii

ei q

qQQ&

&

∂∂

−=)(F

es decir, las fuerzas externas aplicadas a cada coordenada generalizada o grado de libertad menos las fuerzas de disipación. Bajo estas condiciones se obtiene la forma completa de las ecuaciones de Euler-Lagrange como

niQqq

qqq

qqq

dtd

iiii

,,1,)(),(),(K

&

&&

&

&==

∂∂

+∂

∂−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ FLL _(3.57)

donde Qi son las entradas o variables de control del sistema. En este contexto, se puede obtener una respuesta más general si se considera que solamente algunos grados de libertad pueden ser directamente controlados, i.e.

⎩⎨⎧

+==

=∂∂

+∂

∂−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂nmi

miQqq

qqq

qqq

dtd i

iii ,,10,,1)(),(),(K

K

&

&&

&

& FLL _(3.58)

con lo que se obtiene lo que se denota como sistema Lagrangiano de control. Las ecuaciones dinámicas que se obtienen del uso de (3.57) son las mismas que se obtienen de la aplicación de las leyes de Newton para sistemas mecánicos. Sin embargo, la ventaja del uso de (3.57), radica en el hecho de que sistemas compuestos por subsistemas de distintas naturalezas (e.g. electro-mecánicos) pueden ser abordados de la misma manera que los sistemas de una sola naturaleza. El atractivo de las ecuaciones de E-L es que en realidad no se debe alterar su estructura general para incluir las fuerzas de interacción entre los dos subsistemas.

38


39

3.5.2 Derivación Lagrangiana del modelo trifásico del MI

En esta sección se trabaja con el MI trifásico compuesto por tres devanados de estator fijos y tres devanados de rotor los cuales giran a una velocidad angular ω (ver figura 2-1). Se suponen devanados por fase senoidalmente distribuidos y fases idealmente simétricas. Además, el estator y el rotor son considerados concéntricos y el entrehierro entre ellos tiene una longitud radial constante. La permeabilidad de los núcleos se supone infinita y sin saturación; pérdidas en el entrehierro, partes terminales de los devanados y los efectos de las ranuras son despreciables. Se consideran además materiales magnéticos lineales. También se supone que los dos neutros de los circuitos de estator y rotor son aislados y que las terminales del rotor están en corto circuito internamente. El desarrollo que se presenta a continuación para la obtención del modelo trifásico a través de la aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.57) corresponde al presentado por [Espinosa,93]. Para una obtención general de las ecuaciones básicas del MI basadas en la formulación de E-L, se considera en principio, que se tienen n – 1 devanados de estator y rotor, siendo n el número de coordenadas generalizadas como se mencionó en la sección 3.5.1 y que para el caso del motor de tres fases, n = 7.

Bajo las consideraciones anteriores y mediante la aplicación de las leyes de Gauss y Ampere, se obtiene la siguiente relación lineal entre el vector de flujos y

el vector de corrientes , que contiene a las tres corrientes de estator y a las tres de rotor.

[ ]Tn 11 ,, −= λλλ K

[ Tne qqq 11 ,, −= &K&& ]

ene qqD &)(=λ

donde qn : posición angular del eje del motor,

De(qn) : matriz (n – 1 x n – 1) de inductancias (simétrica y definida positiva). Si se definen como coordenadas del sistema a las cargas de cada devanado qi, i = 1, . . ., n – 1, y la posición angular del rotor qn, se puede calcular la co-energía cinética de la parte eléctrica (con ´ denotando las variables auxiliares de integración) como

eneTe

n

i

q

iiie qqDqqdqi

&&&&&

)(21)(

1

10

=′′=∑∫−

=

λκ

mientras que la co-energía cinética de la parte mecánica es

2

21

nm qJ &=κ

donde J es la inercia rotacional del motor.


Si se considera que no existen efectos capacitivos en los devanados del motor y que la flecha es rígida, se puede concluir que la energía potencial del sistema es cero y por lo tanto el Lagrangiano está dado por

321&

4434421&&&&

me

neneTenne qJqqDqqqq

κκ

2

21)(

21),,( +=L _(3.59)

Además se considera que los términos de disipación en los devanados se deben únicamente a sus resistencias que tienen valores constantes, por lo tanto la función de disipación de Rayleigh para el subsistema eléctrico se puede escribir como

eeTeee qRqq &&&

21)( =F

con R = diag{R1, . . ., Rn – 1} (positiva definida). En el caso del subsistema mecánico su función de disipación está dada por

2

21)( nnm qBq && =F

con B el coeficiente de fricción viscosa, por lo que la función total de disipación del sistema es entonces

2

21

21),( nee

Tene qBqRqqq &&&&& +=F _(3.60)

Las fuerzas externas del sistema corresponden a los voltajes aplicados a los devanados, denotados por u = [u1, . . ., un – 1]T, y el par de carga − τL, el cual es en general una función no lineal de la posición y la velocidad.

Tomando en cuenta las coordenadas eléctricas y la derivada parcial de (3.59) con respecto a las corrientes , se obtiene eq&

enee

nne qqDq

qqq&

&

&&)(),,(

=∂

∂L

lo que implica

enn

neene

e

nne qqq

qDqqDq

qqqdtd

&&&

&&&

&&

∂∂

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ )()(),,(L

40


Debido a que no existe la dependencia de (3.59) con respecto a qe, y considerando la siguiente función

eee

ne qRq

qq&

&

&&=

∂∂ ),(F

las ecuaciones de equilibrio para la parte eléctrica están dadas por

uqRqqqWqqD eeennene =++ &&&&& )()( 1 _(3.61) donde

n

nen q

qDqW∂

∂=

)()(1

Empleando el mismo procedimiento, pero ahora con respecto al subsistema mecánico, se obtiene lo siguiente

nn

nne qJq

qqq&

&

&&=

∂∂ ),,(L

por lo que

nn

nne qJq

qqqdtd

&&&

&&=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂ ),,(L

Por otro lado, se tiene que

en

neTe

n

nne qq

qDqq

qqq&&

&&

∂∂

=∂

∂ )(21),,(L

y

nn

ne qBq

qq&

&

&&=

∂∂ ),(F

por lo tanto, la segunda ecuación para el subsistema mecánico del motor está dada por

),()(21

1 nnLnenTen qqqBqqWqqJ &&&&&& τ−=+− _(3.62)

donde se han empleado las definiciones anteriores.

41


De los análisis anteriores es posible suponer, sin pérdida de generalidad, que en la

ecuación (3.61) solamente los primeros 2

1−n términos son afectados directamente por

voltajes externos. Por lo tanto el conjunto completo de ecuaciones de equilibrio del MI es

uMqRqqqWqqD eeeennene =++ &&&&& )()( 1 _(3.63)

),(),( nnLnneen qqqBqqqJ &&&&& ττ −=+− _(3.64) donde

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ι=

=

−

0

)(21),(

21

1

n

e

enTenee

M

qqWqqq &&&τ

con 2

1−Ι n la matriz identidad de dimensión 2

12

1 −×

− nn y u el vector que contiene los 2

1−n

voltajes externos.

Note que como se esperaba, el modelo (3.63 y 3.64) es el modelo clásico

Lenn

ee

qBqJ

uqRdtd

ττ

λ

−=+

=+

&&&

&

que se obtiene de la aplicación de las leyes de Faraday, Ohm y Newton.

Para la determinación del modelo trifásico del MI, se considera el caso de un solo par de polos, debido a la facilidad con la que se presentarán dichas ecuaciones. En relación con las ecuaciones recién presentadas, se considerará que n = 7 (para el MI trifásico), por lo que 7q&=ω . Debido a que se trabaja con el MI tipo jaula de ardilla, solamente los devanados de estator son directamente afectados, por lo tanto la matriz de entrada es de la forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ι=

3

3

0eM

42


43

y el vector de entrada es , donde el superíndice 3 utilizado a lo largo de esta sección denota la naturaleza de las tres fases del sistema.

[ Tuuuu 33

32

31

3 ,,= ]

Nuevamente, considerando que n = 7, el vector de estados o de corrientes puede ser descrito como

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

33

32

31

33

32

31

3

33

r

r

r

s

s

s

r

se

qqqqqq

qq

q

&

&

&

&

&

&

&

&&

donde los subíndices s y r corresponden a las variables del estator y del rotor respectivamente. Para los términos disipativos del subsistema eléctrico, se supone que los tres devanados de estator y de rotor tienen el mismo valor de resistencia, denotados por Rs y Rr respectivamente. Con estas consideraciones la matriz de resistencias toma la siguiente forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ι

Ι=

33

333

00

r

se R

RR

Así, la estructura de la matriz de inductancias para el MI es de la forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ι

Ι=

37

737

3

)()(

)(r

Tsr

srse LqUL

qULLqD

donde Ls y Lr son las inductancias propias de estator y rotor respectivamente, Lsr es la inductancia mutua entre estator y rotor, y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−−+

=)cos()cos()cos(

)cos()cos()cos()cos()cos()cos(

)(

777

777

777

7

qqqqqqqqq

qUγγ

γγγγ

con 3

2πγ = .


Considerando lo anterior el modelo completo para el motor trifásico está dado por

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ι=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ι

Ι+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ι

Ι

33

32

31

3

3

3

3

33

3373

3

3721

71233

3

37

73

0

00

0)()(0

)()(

uuu

qq

RR

qqq

qWqW

Lqq

LqULqULL

r

s

r

s

r

ssr

r

s

rT

sr

srs

&

&&

&

&

&&

&&

_(3.65)

),(),( 777

377 qqqqqBqJ Lee &&&&& ττ −=+ _(3.66)

donde , y )()sen()sen()sen(

)sen()sen()sen()sen()sen()sen(

)( 721

777

777

777

712 qWqqq

qqqqqq

qW T=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−−+

=γγ

γγγγ

, es el par electromagnético generado. 3

7123

73 )(),( r

Tssree qqWqLqq &&& =τ

En la siguiente sección se presenta una transformación que permite obtener un modelo de orden reducido equivalente al modelo (3.65 y 3.66), con el que se trabajará para obtener el controlador basado en pasividad, en el capítulo 6.

3.5.3 Modelo equivalente de 2φ

La suposición de los neutros aislados en los circuitos de estator y rotor, que se hizo anteriormente, establece el hecho de que una de las corrientes de estator y una del rotor son redundantes en el modelo de 3φ. En esta sección, se explota esta característica con el objetivo de obtener un modelo equivalente de orden reducido. En este sentido, se introduce la conocida transformación de Blondel y se obtiene el modelo conocido como αβ , que será con el que se trabajará para el diseño del controlador. Modelo del MI basado en la formulación de E-L, modelo ‘αβ ’: transformación de Blondel

Considere los devanados de estator de un motor de inducción trifásico (fig. 2-1). Si se supone que son idénticos en las fases y distribuidos senoidalmente, entonces si se hacen pasar corrientes a través de ellos, también se obtendrán distribuciones senoidales de corriente en la periferia del estator. Estas distribuciones de corriente tienen factores idénticos llamados d y por lo tanto están dadas por

44


45

zss

zss

zss

aqd

aqd

aqd

33

33

32

32

31

31

)sen(

)sen(

)sen(

&

&

&

γθ

γθ

θ

−=ℑ

+=ℑ

=ℑ

donde : distribuciones de corriente 3φ. 3

siℑθ : posición angular con respecto a la cual la magnitud de la distribución es medida, az : vector unitario en el eje z, y

32πγ = .

Por lo tanto la distribución total de corriente del estator puede ser obtenida como la suma de las expresiones anteriores

( ) ([ ] zssssssT aqqqqqd )cos()sen()sen()sen()cos()cos( 33

32

33

32

31

3 θγγθγγ &&&&& +−−++=ℑ )

]

_(3.67)

donde se han empleado identidades trigonométricas para las funciones sen(⋅) y cos(⋅) de la suma de dos ángulos. Si ahora se considera una máquina de 2φ (como se muestra en la fig. 3-2, pág. 23) con sus devanados de estator en ejes ortogonales fijos α y β, y devanados de rotor también en ejes ortogonales pero girando a una velocidad angular ω (como en el caso del modelo ‘ab’), entonces de manera similar a la máquina de tres fases, se puede obtener la distribución total de corriente del estator como

[ zsssT aqqd )cos()sen( 21 θθ && −=ℑ _(3.68) donde se suponen factores de distribución iguales y la ausencia de superíndices indica variables de dos fases. Debido a que el objetivo es obtener un equivalente de 2φ para la máquina de 3φ, es claro que la distribución de corriente (3.68) debe ser igual a (3.67), por lo tanto las siguientes condiciones se deben cumplir

33

322

33

32

311

)sen()sen(

)cos()cos(

sss

ssss

qqq

qqqq&&&

&&&&

γγ

γγ

+−=

++=

De la expresión anterior se puede obtener, la transformación de Blondel que

relaciona variables de 3φ con variables equivalentes de 2φ como


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=)sen()sen(0)cos()cos(1

322

3 γγγγφ

φT _(3.69)

donde el término 2/3 se introduce con el objetivo de preservar la potencia. Es importante observar lo siguiente, la transformación (3.69) es equivalente a la obtenida en (3.4, pág. 20) utilizando argumentos de proyección de variables. De (3.4) se puede observar que la tercera fila produce la corriente de “secuencia cero”

)(31 3

332

310 ssss qqqq &&&& ++= , la cual, bajo las consideraciones hechas es cero.

Se puede demostrar, que si se toma la inversa de (3.4), es decir (3.5) y se elimina la columna de secuencia cero, se obtiene la transformación inversa de Blondel dada por

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

−

)sen()cos()sen()cos(

0112

3

γγγγφ

φT _(3.70)

Notando que el procedimiento anterior puede ser aplicado exactamente igual a los devanados de rotor, se puede establecer la siguiente transformación completa al vector de corrientes del MI trifásico.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

32

31

33

32

31

32

32

2

1

2

1

)sen()sen(00)cos()cos(1


32

r

r

r

s

s

s

x

x

r

r

s

s

qqqqqq

qqqq

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

γγγγ

γγγγ

mientras que los voltajes transformados están dados por

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000



32

00

33

32

31

32

32

2

1

uuu

uu

x

x

γγγγ

γγγγ

46


Aplicando las transformaciones anteriores al modelo de tres fases (3.65-3.66) y después de desarrollar las operaciones laboriosas pero fáciles que involucran identidades trigonométricas, se obtiene el modelo αβ del MI. Modelo αβ del MI basado en la formulación de E-L

uMqRqqqWqqD eeeeee =++ &&&&& 5515 )()( _(3.71)

),(21

55515 qqqBqWqqJ LeTe &&&&&& τ−=+− _(3.72)

donde { } [ ]Terse MRRdiagR 2222 0,,, Ι=ΙΙ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ℑ−ℑ

=∂

∂=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΙΙ

=ℑ−

ℑ

ℑ−

ℑ

00)(;)(

5

5

5

5

5

51

2

25 q

q

sre

rq

sr

qsrs

e ee

Lq

qDWLeL

eLLqD

y ℑ es la matriz antisimétrica de 2 x 2, T−ℑ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=ℑ

0110

En este caso representa la matriz exponencial 5qeℑ

55

)cos()sen()sen()cos(

55

55 qq T

eqqqq

e ℑ−ℑ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

y u = [u1, u2]T los voltajes de estator. Además, nótese que la coordenada mecánica es denotada por el subíndice 5 debido al hecho de que solo existen cuatro coordenadas eléctricas, las cuales están dadas por

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

2

1

r

r

s

s

r

se

qqqq

qq

q

&

&

&

&

&

&&

Finalmente eTeee qWqqq &&& 15 2

1),( =τ _(3.73)

47


es el par mecánico de origen eléctrico (electromagnético). Un hecho importante es la dependencia con respecto a la posición en el modelo anterior. Esto se debe a que las variables de estator no están representadas en el mismo marco de referencia que las variables de rotor (recuerde que mientras el primero está fijo, el segundo gira a una velocidad angular 5q&=ω ). Sin embargo, la gran ventaja que el modelo αβ presenta es que es una representación directa del motor “real”, i.e. su comportamiento es el mismo que el modelo trifásico, por lo tanto si un controlador es diseñado considerando este modelo, dicho controlador podrá ser directamente implementable en el modelo de 3φ. Una propiedad muy importante del modelo (3.71-3.72) es que, si se considera la ecuación de los flujos transformada

ee qqD &)( 5=λ y se calcula la energía total como

25555 2

1)(21),,( qJqqDqqqq ee

Tee &&&&& +=L

la aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.57) genera exactamente el modelo αβ dado por (3.71-3.72). Esto significa, que aunque la transformación (3.69) se aplique sobre las derivadas de las coordenadas generalizadas, estas preservarán potencia. Desarrollando las operaciones matriciales y algebraicas que se encuentran en el modelo αβ (3.71-3.72), y acomodando las ecuaciones obtenidas en forma de espacio de estado, se obtiene las siguientes ecuaciones dinámicas del modelo basado en E-L. Modelo αβ del MI basado en la formulación E-L (espacio de estado)

Jq

JBqq

JLqq

JLqnqq

JLqq

JLqnq

qLRqq

LLn

qLLqqq

LLn

qLLqq

qLRqq

LLn

qLLqqq

LLn

qLLqq

uL

qLRqq

LLn

qLLqqq

LLn

qLLqq

uL

qLRqq

LLn

qLLqqq

LLn

qLLqq

Lrs

srrs

srprs

srrs

srp

rr

rs

r

srps

r

srs

r

srps

r

srr

rr

rs

r

srps

r

srs

r

srps

r

srr

ss

s

sr

s

srpr

s

srr

s

srpr

s

srs

ss

s

sr

s

srpr

s

srr

s

srpr

s

srs

τ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

512215221155

2152525152

1251515251

22152525152

11251515251

)cos()sen(

)cos()sen(

)cos()sen(

1)cos()sen(

1)cos()sen(

&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

48


eTee qWq && 12

1=τ _(3.74)

donde los estados corresponden a las siguientes variables eléctricas y mecánicas:

[ ] [ ]Tbrarbsas

Trrsse iiiiqqqqqq ω== 52121 &&&&&& y además q5 = θ.

El diagrama esquemático del modelo basado en la formulación de E-L del MI se presenta a continuación.

3 φ

Vab

Vbc

Vcau2

u1Transf.

de

3 a 2 φ

Modelo delMI basado

enE-L

τeq5 =θq5 =ω.qr2 = ibr.qr1 = iar.qs2 = ibs.qs1 = ias.

τL

Figura 3-8 Diagrama esquemático a bloques del modelo basado en la formulación de E-L del MI.

3.6 Modelo matemático de la carga (brazo de robot con un grado de libertad)

Para todos los controladores que se diseñan más adelante se emplea la misma carga que consiste en un brazo de robot con un grado de libertad, diseñado con una barra de metal acoplada directamente a un extremo del eje del rotor y que se desea siga a una trayectoria de referencia específica [Dawson, et.al,98]. Modelo de la carga En esta sección se presenta el modelo de la carga (brazo de robot con un grado de libertad) con la definición de sus parámetros y sus parámetros auxiliares. Además se presenta la ecuación que describe la posición de referencia o deseada de la que se derivan la velocidad y aceleración deseadas.

El modelo de la carga y su descripción gráfica se presentan a continuación:

49


B0

B0

J

τ q

L0m

G

Figura 3.9 Representación gráfica del brazo de robot con un grado de libertad. El modelo que se presenta a continuación corresponde al brazo de robot, esta

ecuación contiene la dinámica de la carga y la del subsistema mecánico del MI.

τ=++ )sen(qNqBqM o &&& _(3.75) donde : posición, velocidad y aceleración de la carga respectivamente, qqq &&&,, Mo : inercia mecánica (incluyendo la inercia del rotor), N : masa de la carga y coeficiente de aceleración gravitacional, B : coeficiente de fricción viscosa. Se debe tomar en cuenta que los parámetros Mo, N, B de la ecuación (3.75) están definidos para incluir los efectos del coeficiente constante del par α2, τατ 2=e . Esto es, la ecuación (3.75) ha sido dividida por la constante α2. A continuación se definen los parámetros y parámetros auxiliares de la carga.

222

2

22 ,

2,

3,

ααααα ooo

or

ep BBmGLNmLJMLMn

==+== _(3.76)

donde J : inercia del rotor, m : masa del brazo de robot, m = 0.401 kg, Lo : longitud del brazo, Lo = 0.305 m,

Bo : coeficiente de fricción en la unión, rad

smNBo⋅⋅

= 015.0 ,

G : aceleración gravitacional, 281.9s

mkgG ⋅= .

50


Señales de posición, velocidad y aceleración de referencia El siguiente punto consiste en presentar la ecuación que describe el comportamiento de la señal de referencia de posición y a partir de la cual se obtendrán la velocidad y aceleración. A continuación se presentan las trayectorias de referencia (posición, velocidad y

aceleración respectivamente) para la carga donde

ddd qqq &&& ,,

dtqdqy

dtdqq d

dd

d

&&&& == .

( ) .1)5sen(2

31.0 radetq td

−−=π _(3.77)

Al desarrollar la primera y segunda derivada de la ecuación 3.77 se obtendrán las señales de velocidad y aceleración deseadas:

( ) ( ) ./3.0)5sen(2

1)5cos(2

5 33 1.021.0 segradettetq ttd

−− +−=ππ

& _(3.78)

( ) ( )( ) ./09.06.0)5sen(

2

3.0)5cos(51)5sen(2

25

21.041.0

1.021.0

33

33

segradettet

ettetq

tt

ttd

−−

−−

−+

++−−=

π

ππ

L

L&&

_(3.79)

La trayectoria de posición deseada se ilustra en la siguiente figura.

0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (seg)

Pos

ició

n (r

ad)

Figura 3-10 Trayectoria de posición deseada.

51

Capítulo 4

CONTROL DEL MI BASADO EN CAMPO ORIENTADO En este capítulo se diseña el control basado en campo orientado para el MI en el marco de referencia fijo al rotor, es decir, se trabajará con el modelo ‘dq’ del MI. También se presentan los resultados de simulación de dicho controlador actuando sobre el MI con la carga acoplada a su eje.

4.1 Planteamiento del problema

El problema de control se puede describir de la siguiente manera: se desea que el MI siga a una referencia de velocidad, teniendo acoplada una carga (brazo de robot) a su eje del rotor. Además, se desea que el motor alcance un valor constante de referencia para el flujo del rotor. Para el planteamiento del problema se propone el caso ideal: • Todos los estados están disponibles para medición, • Todos los parámetros del motor son conocidos y constantes, • La velocidad de referencia ωref es una función suave y acotada conocida, • Las resistencias de los devanados de estator Rs y rotor Rr se mantienen constantes y sin

variaciones.

52

CAPÍTULO 4 CONTROL DEL MI BASADO EN CAMPO ORIENTADO

53

Considere a la velocidad de referencia ω como una función diferenciable, suave y acotada

Bajo estas condiciones diseñar una ley de control que asegure la estabilidad interna, l seguimiento de la velocidad de referencia y la regulación del flujo del rotor, es decir, que

el sistema en lazo cerrado satisfaga

limm

ref con primera derivada acotada y conocida, y el flujo de referencia del rotor como

una constante acotada ψref ≠ 0.

e

reftreftli ψψωω ==−

∞→∞)(,0)(

s ecuaciones dinámicas del I en un MR que gire con el vector de flujo del rotor. En estas nuevas coordenadas, se

Una desventaja del controlador por campo orientado de Blaschke es que el método ume

ientes irectas, como el caso del motor de CD, sino también debido a que existe un acoplamiento

magnitud del flujo. Lo anterior indica que xiste una correspondencia cercana a las máquinas de CD, con la componente directa del

indirecto, desarrollado por K. Hasse [Hasse,69].

→

4.2 Diseño del controlador basado en campo orientado

El control por campo orientado fue introducido por primera vez en 1971 por Felix Blaschke [Blaschke,72]. Este método consiste en reescribir laMobserva que si se mantiene constante la magnitud del flujo del rotor, entonces existirá una relación lineal entre las variables de salida (velocidad y flujo). as que la magnitud del flujo del rotor es regulada a un valor constante. Además, la relación entre la velocidad y el flujo del rotor sólo es asintóticamente desacoplada. Un motor de inducción de CA es mucho más difícil de controlar que el de CD, debiéndose no sólo al hecho de que tres voltajes y corrientes alternos de amplitud, frecuencia y fase variable tienen que ser entregados al motor en lugar de dos corrdentre todas las variables, las entradas de control y las cantidades internas del flujo y par. Además, las corrientes del rotor son inaccesibles en los motores tipo jaula de ardilla. Una vez que se ha aplicado la teoría del MR al MI trifásico, se tiene que en las corrientes de estator iS(t) existen dos componentes, una en cuadratura que contribuye al par y la otra componente directa que afecta a la evector de corriente del estator análoga a la corriente de campo y la componente en cuadratura análoga a la corriente de armadura.

Como se ha demostrado por Blaschke [Blaschke,72], los problemas de acoplamiento pueden ser superados por la orientación del campo.

Existen esencialmente dos métodos generales de control vectorial. Uno llamado el método directo, que fue desarrollado por F. Blaschke, y el otro, conocido como el método


54

En el método directo es posible medir “directamente” los flujos en el entrehierro, o pueden ser estimados a partir de las señales de voltaje y corriente en los devanados del stator. En el método indirecto los flujos sólo se pueden medir “indirectamente”, sensando

El diseño del controlador está basado en el modelo ‘dq’ del MI, es decir en el MR

El modelo ‘dq’ se obtuvo en la sección 3.3, ecuación 3.48, pág. 34 y se repite a ontinuación con la finalidad de facilitar su lectura.

ela posición y velocidad angular del rotor [Ong,98]. fijo al rotor. c

ωθψ

αωρ

σγωβψ

ψαω

σγαβψ

ψαω

ααψψ

τμψω

=

+=

+−−−−=

+−++=

+−=

−=

dtd

iMn

dtd

uL

inii

Mnidtdi

uL

ii

Mnidtdi

Midt

dJ

idtd

d

qp

qs

qdpd

qdpd

q

ds

ddd

qpq

d

ddd

Lqd

1

12

_(4.1)

el rotor,

ψd : flujo del rotor,

Para el diseño del controlador se elige una estructura más simple para las ecuaciones e corriente.

donde ρ : ángulo del flujo d ω : velocidad del rotor, id, iq : corrientes de estator. d

qqq

ddd

vidtdi

vidtdi

=+

=+

γ

γ

donde


qs

dpd

qdpdq

ds

dd

qpqd

uL

nii

Mniv

uL

iMniv

σωβψ

ψαω

σαβψ

ψαω

1

12

+−−−=

+++= _(4.2)

donde vd, vq son variables auxiliares en función de voltajes y corrientes de estator, velocidad y flujo de rotor, y que son conocidas como transformaciones no lineales de coordenadas. Despejando los voltajes de entrada ud, uq para obtener las entradas al sistema linealizado, las ecuaciones (4.2) se vuelven:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−=

d

dqdpdpqsq

d

qqpddsd

iiMinnvLu

iMinvLu

ψαωωψβσ

ψαωαβψσ

2

_(4.3)

Para poder desarrollar un algoritmo de control es necesario que las variables de estado: ω, ψd, id, iq, ρ estén disponibles para retroalimentarlas, esto significa que se debe poder medir ω, isa, isb, ira, irb, y luego calcular ψd, id, iq, ρ en tiempo real.

Sustituyendo en las ecuaciones de corriente del modelo ‘dq’ (4.1), las ecuaciones para vd y vq (4.2), se obtiene el modelo del sistema linealizado, en lazo cerrado:

ωθψ

αωρ

γ

γ

ααψψ

τμψω

=

+=

+−=

+−=

+−=

−=

dtd

iMn

dtd

vidtdi

vidtdi

Midt

dJ

idtd

d

qp

qqq

ddd

ddd

Lqd

_(4.4)

donde ( )2

qd ifv = y ( )qdq iifv ,= como se mencionó anteriormente.

55


Como puede observarse, el modelo (4.1) se transformó en (4.4) empleando la transformación por retroalimentación. Además, el sistema (4.4) tiene una estructura más simple ya que las dinámicas del flujo y de la corriente id son lineales y desacopladas; después de que el flujo se establezca a un valor constante pueden ser independientemente controladas por vd a través de un controlador PI (Proporcional+Integral), por lo que vd y vq se eligen de la siguiente manera

∫ −+−= dtKKv ddrefdddrefdd )()( 21 ψψψψ _(4.5) donde Kd1, Kd2 son ganancias del controlador. Una vez que la amplitud del flujo ψd ha sido regulada al valor de referencia constante ψdref, las dinámicas de la velocidad del rotor y la corriente iq también son lineales

qqq

Lqdref

vidtdi

Ji

dtd

+−=

−=

γ

τμψω

_(4.6)

y pueden ser independientemente controladas por vq, como por ejemplo con dos lazos de controladores PI anidados

qde

refqrefqref

erefqerefqq

iJ

dtKK

dtKKv

μψτ

ωωωωτ

ττττ

=

−+−=

−+−=

∫∫

)()(

)()(

43

21

_(4.7)

que como se observa de la ecuación (4.7) el par de referencia resulta de aplicar el controlador PI al error de la velocidad. Donde Kq1, Kq2, Kq3, Kq4 son las ganancias de los controladores. Si se definen como variables de salida ω y ψd, entonces: i) El control por campo orientado logra linealización entrada-salida asintótica y

desacoplamiento vía retroalimentación no lineal de estados. ii) Los controladores PI se usan para contrarrestar la variación de parámetros.

Como puede observarse, para llevar a cabo la implementación del controlador con las variables de salida recién definidas, fue necesario emplear un controlador PI para controlar el flujo y posteriormente se emplearon dos controladores PI anidados para poder controlar el par, el primer controlador PI funciona con el error en la velocidad y su salida se emplea como par de referencia para el segundo controlador PI que produce el voltaje vq a partir del error del par.

56


La idea de los controladores PI se debe principalmente a que primero se desea estabilizar el flujo ψd, para después poder controlar la velocidad ω.

El hecho de llevar al sistema a una forma lineal y desacoplada, hace que sea posible

emplear un esquema de control muy sencillo y con la ventaja adicional de que las variables de salida ya se encuentran desacopladas, como en el caso de un motor de CD.

A continuación se presenta el diagrama esquemático a bloques del controlador por

campo orientado, con el modelo ‘dq’ del MI.

Modelo

‘dq’

del MI.

Transf.de vdqa udq

ec. 4.3P IP I

P Ivd

vq

ud

uq

N.L.τ e

τ ref

+ _

+

+

_

_ωref

e1

e2

τ e

θ

idiqρ

ψ d

ψ dref

ψ d

ω

ωτ L

Figura 4-1 Diagrama a bloques del controlador por campo orientado para el MI en el MR ‘dq’.

En las ecuaciones que determinan a los controladores PI, sus ganancias se sintonizaron con los siguientes valores:

)( ddref ψψ − : Kd1 = 10,000; Kd2 = 100,000; )( edref ττ − : Kq1 = 15; Kq2 = 20; )( ωω −ref : Kq3 = 4; Kq4 = 20;

Esta sintonización se llevo a cabo de una manera heurística, partiendo de los valores proporcionados por [Marino, et.al.,93].

4.3 Simulación de la operación del sistema resultante

En los siguientes resultados es posible observar el comportamiento del flujo del rotor ψd, las corrientes del estator id, iq, el par electromagnético τe vs. el par de referencia τref, la velocidad ω del rotor vs. la velocidad de referencia ωref (en rad/seg) y las señales de entrada de alimentación ud y uq (ya controladas), para el modelo ‘dq’ del MI.

57


Existen algunas figuras en las que se encuentran dos variables en la misma gráfica, las cuales se identifican de la siguiente manera: Referencia Real

En los resultados sólo se analizará el índice de desempeño de la integral del producto del valor absoluto del error por el tiempo conocido como ITAE (de sus siglas en inglés) con el error de la velocidad, debido a que este es el índice de desempeño más empleado ya que presenta muchas ventajas sobre el IAE (integral del error absoluto), IE (integral del error), ITE (integral del producto del error por el tiempo), etc. Para el lector más interesado refiérase a [Graham-Lathrop,53].

∫∞⋅=

0)( dttetITAE _(4.8)

Además, como se mencionó, sólo se analizará el error de la velocidad ya que ésta

variable es la que se emplea con más frecuencia como entrada de referencia a los controladores que se analizan.

Los resultados que se presentan ya tienen incluida la dinámica de la carga (brazo de

robot, sección 3.6, capítulo 3). A continuación se presentan los voltajes de entrada al estator en los que se observa que el correspondiente al eje d se establece y se mantiene a un valor constante mientras que el otro voltaje se mantiene oscilando dentro de una determinada amplitud, debido a que el voltaje uq esta relacionado con la corriente iq como se puede ver en la ecuación 4.1 y a su vez iq esta relacionada con la velocidad ω y es importante recordar que ω sigue a la ωref del brazo de robot (sec. 3.6, ec. 3.78), de ahí la forma similar de la gráfica de uq con respecto a la velocidad del brazo de robot.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120

140

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Vol

taje

(V

olts

)

Tiempo (seg)

Figura 4-2 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘dq’ del MI, ud (izquierda) y uq (derecha).

58


En la siguiente figura se observa algo similar con las corrientes como sucedió con los voltajes ya que la corriente en el eje d se establece a un valor constante, mientras que iq no, esto debido a la ωref como se acaba de mencionar.

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

Tiempo (seg)

Cor

rient

e (A

mp)

0 1 2 3 4 5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 4-3 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘dq’, id (izquierda) e iq (derecha). En las gráficas que se presentan a continuación se puede apreciar el flujo de referencia vs. el flujo real, que se establece rápidamente a su valor de referencia (2 Wb) y además en la gráfica de la derecha se puede comparar el par real vs. el de referencia, observándose un buen seguimiento. Referencia Real

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

Flu

jo (

Wb)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (seg)

Par

(N

m)

Figura 4-4 Flujo de referencia vs. flujo real (izquierda); par electromagnético de referencia (generado por el PI) vs. par real (derecha).

A continuación se presentan las señales de referencia para la posición y velocidad comparadas con las señales reales, de donde se observa un seguimiento muy preciso. Referencia Real

59


0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Pos

ició

n (r

ad)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (

rad/

seg)

Figura 4-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha). La siguiente figura presenta el error de posición y velocidad los cuales se mantienen oscilando dentro de una amplitud constante después de un tiempo determinado.

0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

(rad

)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tiempo (seg)

(rad

/seg

)

Figura 4-6 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). Para finalizar con la simulación digital del sistema resultante se presenta la gráfica del índice de desempeño obtenida con el error de la velocidad, en la que se observa la magnitud de dicho índice.

0 1 2 3 4 50

500

1000

1500

Tiempo (seg)

Figura 4-7 Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad.

60

Capítulo 5

CONTROL DEL MI BASADO EN LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN En este capítulo se diseña el controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI. Para esta estructura de control se analizaron dos esquemas diferentes, uno emplea observadores de velocidad y flujo, y el otro emplea formalmente el álgebra de Lie. Además se presentan los resultados de la simulación digital de la operación del sistema resultante de ambos esquemas con la ayuda del paquete computacional Matlab/Simulink™. Las simulaciones digitales de dichos controladores tienen incluida la dinámica del brazo de robot.


Para la descripción del problema de control considere lo establecido en la sección 4.1 del capítulo 4 y además tómese el mismo caso ideal con las siguientes modificaciones. • En el caso del esquema de linealización que se basa en el álgebra de Lie es

necesario considerar a la velocidad de referencia ωref como una función diferenciable, suave y acotada con primera derivada acotada y conocida, y la norma al cuadrado para el flujo deseado del rotor como la constante 2

refψ = cte. > 0. Bajo estas condiciones se diseñará una ley de control de tal manera que el sistema en lazo cerrado satisfaga

61

CAPÍTULO 5 CONTROL DEL MI BASADO EN LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN

22,0)( reftreftlimlim ψψωω ==−

∞→∞→

donde 2⋅ es la norma Euclideana al cuadrado, con todas las señales uniformemente acotadas. Ahora bien, para el planteamiento del problema en el esquema de linealización que emplea observadores de velocidad y flujo, tome en cuenta lo propuesto en la misma sección del capítulo 4 con la modificación que a continuación se presenta. • Algunos estados no estarán disponibles para medición como son la velocidad y el flujo

del rotor.

Estos observadores tienen una dinámica que presenta una rápida convergencia a los valores de referencia. En [Verghese-Sanders,88] se demuestra que la retroalimentación correctiva se puede usar para agilizar la convergencia de los estimados de flujo y también se muestra que esto puede reducir la sensibilidad de las variables estimadas a la variación de los parámetros.

Bajo las mismas condiciones que las establecidas en la sección 4.1, diseñar una ley de control que asegure la estabilidad interna, el seguimiento a la velocidad de referencia y la regulación del flujo del rotor, es decir, que el sistema en lazo cerrado satisfaga

reftreftlimlim ψψωω ==−

∞→∞→)(,0)(

5.2 Diseño del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida

La linealización por retroalimentación consiste en transformar al sistema original no lineal en una relación lineal entre variables auxiliares de entrada y salida por medio de un lazo de retroalimentación no lineal interno y posteriormente se diseña un control lineal que asegure la estabilidad y el desempeño deseado del sistema lineal resultante [Marino, et.al.,93]. Es importante mencionar que no a todos los sistemas se les puede realizar la linealización por retroalimentación ya que esto dependerá de las salidas seleccionadas y que éstas satisfagan el grado relativo del sistema. En resumen [D’Attellis,92], un sistema no lineal con grado relativo r = n, puede ser transformado en un sistema lineal y controlable, a través de i) el cambio (local) de coordenadas z = Φ (x),

62


ii) la realimentación no lineal, [ ]vzbza

u +−= )()(

1 .

El cambio de coordenadas consiste de una sucesión de derivadas de Lie en la

dirección del campo vectorial definido por f(x). Para poder llevar a cabo lo anterior es necesario la existencia de una función h(x) respecto a la cual el sistema tiene grado relativo igual a la dimensión del espacio de estado (que el grado relativo sea igual a la dimensión del espacio de estado no siempre es necesario). Algunos de los trabajos realizados para el control de motores de inducción mediante el método de linealización por retroalimentación son [Chiasson,93], [Marino, et.al.,90] e [Isidori,89] entre otros. En [Marino, et.al.,93] se tiene como objetivo principal la obtención de un controlador adaptable basado en linealización por retroalimentación entrada-salida, de donde se tomará la idea y el concepto de la linealización por retroalimentación entrada–salida para aplicarlo al modelo del MI. Para llevar a cabo la linealización es importante mencionar que se parte del modelo del MI en el marco de referencia (MR) fijo al estator, modelo ‘ab’ (ec. 3.31, pág. 28). Dicho modelo se presenta a continuación para una lectura más rápida.

( )

br

rb

r

rap

b

ar

rbpa

r

ra

Labba

r

p

MiLR

LRn

dtd

MiLRn

LR

dtd

Jii

JLMn

dtd

+−=

+−−=

−−=

ψωψψ

ωψψψ

τψψω

_(5.1)

bs

brs

srrb

rs

ra

rs

pb

as

ars

srrb

rs

pa

rs

ra

uL

iLL

RLRMLL

MRLL

Mndtdi

uL

iLL

RLRMLL

MnLL

MRdtdi

σσψ

σψ

σω

σσωψ

σψ

σ

1

1

2

22

2

2

22

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+=

La ecuación para el par electromagnético es: ( )abbar

pe ii

LMn

ψψτ −=

El sistema (5.1) se puede reescribir en una forma más compacta que será con la que se trabajará para obtener la linealización por retroalimentación entrada-salida.

bbaa guguxfx ++= )(&

63


donde los vectores de campo son: ba ggf ,,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−+

+−+−−

−−

=

b

a

b

a

s

b

s

a

bbap

abpa

bbap

abpa

Labba

ii

xestadosdevector

L

g

L

g

inin

MinMinJ

ii

xf

ψψω

σσ

γαβψβωψγβωψαβψ

ααψωψαωψαψ

τψψμ

:

,

10000

,

0

1000

,

)(

)(

_(5.2)

donde: rsrs

rsr

r

r

rsr

p

LLM

LLRMRL

LR

LLM

JLMn 2

2

22

1,,,, −=+

==== σσ

γασ

βμ , son

conocidos como “parámetros auxiliares” y que dependen de los parámetros del MI. Desacoplamiento entrada – salida. La siguiente notación se usa para la derivada de Lie de la función de estado

a lo largo del vector de campo RRx n →:)(φ ( ))(,),()( 1 xfxfxf nL=

∑= ∂∂

=n

ii

if xf

xL

1)(φφ

De la misma forma definimos: _(5.3) ).( )1( φφ −= i

ffif LLL

Las salidas a controlar son la velocidad angular ω y la norma del flujo del rotor al

cuadrado . 22ba ψψ +

A continuación se define la transformación de coordenadas que se empleará

64


ρφψψ

ψψψαψψαφ

ψψψφ

ωτψψμφ

ωφ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=+++−==

=+==

=−−==

==

35

22224

22223

12

11

)(2)(2)(

)(

)()(

)(

a

b

bbaabaf

ba

Labbaf

tanarcy

iiMxLy

xyJ

iixLy

xy

&

&

_(5.4)

la cual es una relación unívoca (uno a uno) en el espacio { }0; 225 ≠+∈=Ω baRx ψψ , pero sólo para y3 > 0, -90º ≤ y5 ≤ 90º. La transformación inversa es [Marino, et.al.,93]:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

=

=

=

Jyy

Myyy

yi

Jyy

Myyy

yi

yy

yy

y

Lb

La

b

a

τμα

α

τμα

α

ψ

ψ

ω

2534

53

2534

53

53

53

1

)cos(12

2)sen(1

)sen(12

2)cos(1

)sen(

)cos(

_(5.5)

Tomando en cuenta las salidas del sistema y analizando el grado relativo del mismo, se observa que sí es posible linealizarlo, quedando su dinámica en el nuevo sistema de coordenadas, de la siguiente manera: Sistema linealizado

35

2222

4

43

1112

2

21

φ

φφφ

φφφ

f

bbfgbafgaf

abfgbafgaf

LyvuLLuLLLy

yyvuLLuLLLy

yy

=

=++=

=

=++=

=

&

&

&

&

&

_(5.6)

Desarrollando las derivadas de Lie expresadas en el sistema (5.6) se tiene:

65


66

s

bfgb

s

afga

s

afgb

s

bfga

babbaa

abbapbaf

bbaapabbabapf

LMLL

LMLL

LLL

LLL

iiMiiMM

iiMnML

iiniinL

σψαφ

σψαφ

σμψφ

σμψφ

αψψαγα

ψψωαψψβααφ

ψψωμψψγαμψψωμβφ

2;2;;

)(2))(26(

)(2))(24(

)())(()(

2211

22222

22222

2

221

2

===−=

++++−

−−+++=

+−−+−+−=

_(5.7)

La dinámica del ángulo del vector de flujo )(35 xy φρ == , obtenida de las ecuaciones dinámicas del modelo ‘dq’ (ec. 3.48, pág. 34) del MI es:

d

qp

iMn

dtd

dtd

dtdy

ψαωρφ

+=== 35 _(5.8)

y recordando el cambio de coordenadas de espacio de estado que se empleó para transformar el modelo ‘ab’ al modelo ‘dq’ (ecs. 3.37 y 3.38, pág. 30):

ψψψψψψψ

=+=−

= 22; badabba

qii

i

Sustituyendo este cambio de coordenadas en la dinámica del ángulo del flujo (5.8) y

tomando en cuenta la segunda y tercera ecuación del sistema (5.4), se obtiene:

3

25 )(yn

JyRndt

dy

p

Lrp

τω ++= _(5.9)

Sustituyendo el lado derecho de la segunda y cuarta ecuación del sistema (5.6) por va y vb respectivamente, se obtiene la linealización por retroalimentación entrada-salida para dicho sistema

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

bf

af

b

a

vLvL

xDuu

22

12

1 )(φφ

_(5.10)

donde es el nuevo vector de entradas y D(x) es la matriz de desacoplamiento definida de la siguiente manera

[ Tba vvv = ]


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

11)(φφφφ

fgbfga

fgbfga

LLLLLLLL

xD _(5.11)

Sustituyendo la linealización por retroalimentación entrada-salida (5.10) en el sistema linealizado (5.6), se obtiene el sistema en lazo cerrado en las nuevas coordenadas lineales (y’s). Sistema linealizado en lazo cerrado

)( 23

15

4

43

2

21

Lp

rp

b

a

Jyyn

Ryny

vyyyvyyy

τ++=

====

&

&

&

&

&

_(5.12)

Para obtener un ajuste asintótico de las señales de referencia deseadas

2

refref y ψω , las señales de entrada va y vb son diseñadas de la siguiente manera

( ) ( )[ ] 22222

2221

21

)()(2

)()(

refrefbabbaabrefbabb

refrefL

abbaarefaa

iiMkkv

Jiikkv

ψψψψψψαψψψ

ωωτψψμωω

&&&

&&&

+−+−+−−+−=

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−−−=

_(5.13)

donde (ka1, ka2) y (kb1, kb2) son parámetros constantes de diseño (ganancias), determinados para que el sistema sea lineal y desacoplado. Como puede observarse, las ecuaciones para va y vb (5.13), corresponden a la estructura de los controladores PD (Proporcional+Diferencial), además de contar con la ayuda de algunas variables conocidas como bias ( )2,

refref ψω &&&& , con la finalidad de obtener un rápido y buen seguimiento a las señales de referencia. Tomando en cuenta las ecuaciones (5.13) que se emplean para la generación de las señales de entrada (va y vb) al sistema linealizado (5.12), y las señales de referencia

2,refref ψω , se diseña el siguiente diagrama a bloques del sistema completo (modelo del

MI con el controlador), que se implementará con el programa computacional para su simulación digital.

67


Sistema

Linealizado

Y’s

y1 P D+

_ω ref

ω

va

+_⎜ψ⎥ 2 ref

vb

Transformación

Inversa

de

Coordenadas

Y’s → ‘ab’

ωψ a

i a

i by5

y4y3y2

ψ b

P D

⎜ψ⎥ 2

22ba ψψ +

Figura 5-1 Diagrama a bloques del controlador basado en linealización por retroalimentación

entrada-salida para el MI en el MR ‘ab’ empleando el álgebra de Lie.


A continuación se presentan los resultados de la simulación digital de la operación del sistema resultante, en los que se pueden observar las mismas variables que las descritas en la sección 4.3 del capítulo 4.

Se hace la misma aclaración con respecto a las figuras en las que se encuentran dos variables dentro de la misma gráfica, las cuales se identifican de la siguiente manera: Referencia Real

De la misma forma y por las mismas razones que en el capítulo anterior, sólo se analiza el ITAE con el error de la velocidad.

Los siguientes resultados tienen incluida la dinámica del brazo de robot.

En la figura que se presenta a continuación se muestran los voltajes de entrada al estator que como puede observarse se mantienen oscilando a una amplitud constante después de cierto tiempo, aunque el voltaje en el eje a oscila dentro de un margen de amplitud más pequeño que el voltaje en b. Para obtener los voltajes ua, ub se empleó la transformación 5.10, partiendo de las señales va y vb entregadas por las ecuaciones 5.13.

68


0 1 2 3 4 5-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 1 2 3 4 5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Vol

taje

(V

olts

)

Tiempo (seg)

Figura 5-2 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI, ua (izquierda) y ub (derecha). Las corrientes de estator, como era de esperarse presentan un comportamiento muy similar a los voltajes de entrada al estator, estas corrientes se encuentran en la siguiente figura y también es posible observar la diferencia de amplitud entre ellas.

0 1 2 3 4 5-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (seg)

Cor

rient

e (A

mp)

0 1 2 3 4 5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 5-3 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, ia (izquierda) e ib (derecha). A continuación se presenta la norma del flujo de referencia al cuadrado vs. la real, observándose una rápida respuesta por parte del controlador para alcanzar a la referencia.

69


Referencia Real

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Tiempo (seg)

Flu

jo (

Wb2 )

Figura 5-4 Flujo de referencia al cuadrado vs. flujo real al cuadrado. En la siguiente figura se pueden visualizar la posición y velocidad de referencia vs. las reales, en donde el seguimiento no es tan preciso como en las respuestas presentadas por el controlador basado en campo orientado. Referencia Real

0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Pos

ició

n (r

ad)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (

rad/

seg)

Figura 5-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha). De nuevo se presentan en la siguiente figura los errores de posición y velocidad para obtener más adelante el índice de desempeño.

70


0 1 2 3 4 5-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

(rad

)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo (seg)

(rad

/seg

)

Figura 5-6 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). El índice de desempeño (ITAE) obtenido con las señales de error en la velocidad se presenta en la siguiente figura.

0 1 2 3 4 50

5000

10000

15000

Tiempo (seg)


5.4 Diseño del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando observadores de velocidad y flujo En ésta sección se diseña el control basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando el modelo de orden reducido (MOR), en el que se emplearán observadores de velocidad y flujo, ya que éstas variables no están disponibles para medición [Bodson,et.al.,94].

71


Para obtener el controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida se parte del modelo del MI en el MR fijo al rotor, es decir, se parte del modelo ‘dq’, sistema (3.48). Los controladores entrada-salida y campo orientado requieren una retroalimentación de estados completa, lo cual resulta muy complicado, pues como se observa en el sistema (5.1), en la mayoría de los casos prácticos, no se cuenta con los flujos del rotor ba ψψ , para medición. Modelo ‘dq’ del MI Partiendo del modelo (4.1) obtenido en la sección 4.2, se diseña el control basado en linealización entrada-salida, dicho modelo se presenta a continuación para facilitar la lectura.

0)cos()sen()sen()cos(

)cos()sen()sen()cos(

22

1

≡+−=

+=+=

+−=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

−

baq

babad

baq

bad

a

b

iiiiii

tan

ψρψρψψψψρψρψ

ρρρρ

ψψρ

ωω

_(5.14)

El nuevo conjunto de señales de entrada será: baq

bad

uuuuuu)cos()sen(

)sen()cos(ρρ

ρρ+−=

+=

En las nuevas coordenadas, el modelo ‘dq’ del MI que se obtuvo en el capítulo 3, sección 3.3, pág. 34 es:

72


ωθψ

αωρ

σγωβψ

ψαω

σγαβψ

ψαω

ααψψ

τμψω

=

+=

+−−−−=

+−++=

+−=

−=

dtd

iMn

dtd

uL

inii

Mnidtdi

uL

ii

Mnidtdi

Midt

dJ

idtd

d

qp

qs

qdpd

qdpd

q

ds

ddd

qpq

d

ddd

Lqd

1

12

_(5.15)

La ecuación para obtener el par electromagnético es: qde iJμψτ = ;

donde: rsrs

rsr

r

r

rsr

p

LLM

LLRMRL

LR

LLM

JLMn 2

2

22

1,,,, −=+

==== σσ

γασ

βμ , son

los “parámetros auxiliares” que dependen de los parámetros del MI como se mencionó anteriormente. En el sistema (5.15) se puede observar que las ecuaciones dinámicas de las corrientes id e iq, son no lineales por lo que es necesario un método común para reducir dichas no linealidades, que consiste en forzar al sistema a un modo de control de corriente, empleando lazos de ganancia de corriente.

Esto se logra con el empleo de controladores PI (controlador Proporcional+Integral) que trabajan con el error en las corrientes de estator, estos controladores obligan a que las corrientes id e iq sigan a sus señales de referencia correspondientes idr e iqr (donde el subíndice r indica que se trata de señales de referencia). Además, se asume que los controladores PI tienen una respuesta rápida, por lo que las corrientes de referencia idr e iqr pueden ser consideradas como las nuevas entradas al sistema (5.15), con lo que se obtiene el modelo de orden reducido que simplificará el diseño del controlador, las ecuaciones de los controladores se describen a continuación.

)()(

)()(

0

0

qqrqp

t

qqrqIq

ddrdp

t

ddrdId

iikdtiiku

iikdtiiku

−+−=

−+−=

∫

∫ _(5.16)

73


Modelo de orden reducido (MOR)

d

qrp

drdd

Lqrd

iMn

dtd

Midt

dJJ

Bidtddtd

ψαωρ

μαψψ

τωμψω

ωθ

+=

+−=

−−=

=

_(5.17)

El empleo del control por campo orientado consiste en usar la corriente idr para forzar al flujo dψ a que tienda a un valor de 00 dd Mi=ψ , constante. Una vez que 0dψ es constante, se observa en la segunda ecuación de (5.17), que existe una relación lineal entre la entrada iqr y la velocidad ω, ya que el término 0dμψ se comporta como un valor constante. También se observa que se han sustituido las corrientes id, iq por idr, iqr debido a que el controlador obliga rápidamente a que i → ir, por lo que estas corrientes serán las nuevas entradas del sistema. El control de la velocidad se logra a través de la entrada iqr, seleccionando rθ como la posición de referencia para el sistema, sabiendo que la velocidad y aceleración

dtd

dtd r

rr

rωαθω == , se obtienen de la posición de referencia, con lo que se tiene

02100 )()()( drrr

t

rqr kkdtki μψαωωθθθθ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−+−= ∫

que corresponde a la ecuación de un controlador PID (Proporcional+Integral+Derivativo) que trabaja con el error en la posición y además emplea la aceleración de referencia para una convergencia más rápida a la posición de referencia. Linealización entrada – salida El esquema de control por campo orientado sólo logra un desacoplamiento asintótico entre la velocidad ω y el flujo ψd, y este acoplamiento asintótico se elimina empleando un controlador por linealización entrada-salida.

A continuación se presentan las variables auxiliares que se sustituirán en el modelo de orden reducido (MOR), ecuaciones (5.17), para lograr la linealización entrada-salida.

74


,, 21 qrddr iuiu μψ== además

qrd iJJu μψ=2 es el par electromagnético, de donde se puede despejar d

qru

iμψ

2= .

Sustituyendo éstas variables auxiliares en el sistema (5.17) se obtiene el sistema

linealizado por retroalimentación entrada-salida: Modelo linealizado por retroalimentación entrada-salida

d

qrp

dd

L

iMn

dtd

Mudt

dJJ

Budtddtd

ψαωρ

μαψψ

τωω

ωθ

+=

+−=

−−=

=

1

2

_(5.18)

En este sistema se observa que las dinámicas del flujo están desacopladas de las dinámicas de la velocidad.

En resumen, con las entradas u1, u2 y las salidas ω y dψ , el sistema (5.18) es lineal desde las entradas hasta las salidas, ya que se ha alcanzado la linealización entrada-salida, pero el sistema completo sigue siendo no lineal pues la dinámica de ρ es no lineal. Las nuevas entradas u1, u2 pueden ser obtenidas de la siguiente manera, donde drψ es un flujo arbitrario de referencia.

rrr

t

rqrd

t

ddrIddrPdr

kkdtkiu

dtkkiu

αωωθθθθμψ

ψψψψ

+−+−+−==

−+−==

∫

∫)()()(

)()(

21002

01 _(5.19)

Como puede observarse, estas ecuaciones corresponde a un controlador PI para la generación de u1, y un controlador PID para u2.

75


Este algoritmo de control depende de que el lazo interno de control de corriente PI trabaje satisfactoriamente. Esto quiere decir, que dicho lazo debe tener el tiempo suficiente, así como una fuente de alimentación de voltaje adecuada para seguir a las corrientes de referencia.

En éste controlador es necesario “estimar” el flujo y la velocidad ya que en la práctica no se dispone de éstas variables, por lo que se requiere el empleo de los observadores de flujo y velocidad, que se presentarán más adelante.

La convergencia de la dinámica del error de estos observadores esta limitada por la constante de tiempo del rotor RRR RLT = . En [Verghese-Sanders,88] se han propuesto varias maneras que permiten la especificación de una razón de convergencia arbitraria. Observador de flujo A continuación se diseña un observador para ρ y otro para dψ , basados en el modelo ‘dq’ del MI. Los estimados para ρ y dψ son definidos como soluciones en tiempo real.

( )

( ))ˆsen()ˆcos(ˆ

ˆˆˆ

)ˆcos()ˆsen(ˆ

ˆ

ˆˆ

ρραψα

αψαψ

ρρψαω

ψαωρ

sbsad

ddd

sbsad

p

d

qp

iiM

iMdt

d

iiMn

iMn

dtd

++−=

+−=

+−+=

+=

_(5.20)

Observador de velocidad En un sistema de servocontrol de posición, típicamente se cuenta con una medición de la posición, i.e., de un encoder óptico, pero una medición de la velocidad no siempre esta disponible. Resulta ser una práctica común en la industria, calcular la velocidad a través de una diferenciación discreta de la salida de posición, entregada por un encoder óptico.

En las coordenadas del modelo en el MR fijo al rotor, la ecuación que gobierna la velocidad en un motor de inducción está dada por

JJBi

dtd L

qdτωμψω

−−=

de donde se puede obtener el siguiente observador de velocidad

76


)ˆ(ˆˆˆˆ

)ˆ(ˆˆ

2

1

θθτωψμω

θθωθ

−+−−=

−+=

oL

qd

o

kJJ

Bidtd

kdtd

_(5.21)

donde ko1 y ko2 son las ganancias del observador de velocidad. Las ganancias de los controladores que se emplearon para las simulaciones digitales se obtuvieron a partir de [Bodson,et.al.,94], y se presentan a continuación: • Regulador de flujo (PI idr = u1): kP = 1600, kI = 23000. • Regulador de posición, velocidad y aceleración (PID iqr, u2): k0 = 3.0x105, k1 = 5.5x104,

k2 = 125, los dos puntos anteriores corresponden a la ecuación 5.19. • Lazo de corriente (PI), ec. 5.16: ud: kdI = 9000, kdp = 15.

uq: kqI = 9000, kqp = 15. • Observador de velocidad, ec. 5.21: ko1 = 1.8x103, ko2 = 8x105. Tomando en cuenta todo lo que se ha desarrollado para la obtención del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida, a continuación se presenta el diagrama a bloques del sistema completo (MI–controlador) que se implementará en el programa computacional para su simulación digital.

Modelo

‘ab’

del MI

Transf .Inv . DQ

Transf .Direct .

DQ

Observadorde

Flujo

Observadorde

Velocidad

Lazo deCorriente

ud , uq

Regulador dePosición,

Velocidad yAceleración

Reguladorde Flujo

ua

ubuq

udisa

isb

θ

isa

isb

idiq

θ

iq

ρ

ψ d

ψ d

ψ d

ψ d

ψ d

ρρid

iq

iqr

idr

θ rω rα r

ψ d r

ω̂ω̂

ω̂

θ

Figura 5-8 Diagrama a bloques del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI en el MR ‘ab’ empleando observadores.

77



En los resultados que se presentan a continuación es posible observar el comportamiento del flujo del rotor ψd, las señales de entrada de alimentación ud y uq (voltajes ya controlados), las corrientes del estator id, iq, el par electromagnético τe vs. el par de referencia τref, la velocidad del rotor ω vs. la velocidad de referencia ωref (en rad/seg) del MI, entre otras. Nuevamente existen algunas figuras en las que se encuentran dos variables dentro de la misma gráfica, por lo que se identifican de la misma forma que las anteriores: Referencia Real De igual manera que en las simulaciones anteriores, sólo se analiza el ITAE con el error de la velocidad y además estos resultados ya cuentan con la dinámica de la carga. En la figura que se presenta enseguida se observan los voltajes de entrada al estator, los cuales se mantienen oscilando a una amplitud constante después de cierto tiempo, pero a diferencia de los presentados anteriormente, tienen una amplitud mucho mayor.

0 1 2 3 4 5-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 1 2 3 4 5

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Vol

taje

(V

olts

)

Tiempo (seg)

Figura 5-9 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI, usa (izquierda) y usb (derecha). Para las corrientes de estator se observa algo similar a los voltajes presentados en la figura anterior, incluyendo la mayor amplitud que tienen sobre las señales de corriente de los otros controladores.

0 1 2 3 4 5-50

0

50

100

150

200

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Tiempo (seg)

Cor

rient

e (A

mp)

Figura 5-10 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, isa (izquierda) e isb (derecha).

78


En la figura expuesta a continuación, es posible observar el flujo de referencia vs. el real y además el comportamiento del par electromagnético. De la gráfica del flujo es posible observar que el tiempo que emplea para alcanzar a su señal de referencia es mucho mayor que el empleado por el controlador diseñado en la sección 5.2 de este capítulo, ver figura 5-4, pág. 70. Referencia Real

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Flu

jo (

Wb)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo (seg)

Par

ele

ctro

mag

nétic

o (N

m)

Figura 5-11 Flujo de referencia vs. real (izquierda); par electromagnético (derecha).

En la siguiente figura es posible observar el comportamiento de la posición y velocidad de referencia vs. sus respectivas señales reales. Referencia Real

0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Pos

ició

n (r

ad)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (

rad/

seg)

Figura 5-12 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha).

79


También se presentan en la siguiente figura los errores correspondientes a la posición y velocidad, observando que tienen una menor magnitud que los obtenidos por el controlador diseñado en la sección 5.2, figura 5-6, pág. 71.

0 1 2 3 4 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

(rad

)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Tiempo (seg)

(rad

/seg

)

Figura 5-13 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). Para finalizar con este capítulo se presenta el índice de desempeño obtenido del error de la velocidad, en el que se puede observar una amplitud mucho menor que su correspondiente ITAE presentado en la figura 5-7 de este capítulo.

0 1 2 3 4 50

50

100

150

200

250

300

Tiempo (seg)


80

Capítulo 6

CONTROL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD En este capítulo se plantea el diseño del controlador basado en la formulación de Euler-Lagrange (E-L) para el modelo del MI.

Además se presentan los resultados de simulación del esquema basado en pasividad. Es importante recordar, que los resultados corresponden al comportamiento del MI con la carga acoplada al eje del rotor.


El problema de control se puede describir de la siguiente manera: igual que los otros controladores, se desea que el MI siga a una referencia de posición y velocidad, teniendo acoplada una carga (brazo de robot) a su eje del rotor. Para el esquema basado en pasividad se consideran las mismas suposiciones que las expuestas en el capítulo 4, con las siguientes modificaciones.

Considere a la velocidad de referencia ωref como una función diferenciable, suave y acotada con primera derivada acotada y conocida, y la norma deseada para el flujo del rotor como la constante ϑ > 0. Bajo estas condiciones se diseñará una ley de control que asegure la estabilidad interna, el seguimiento a la velocidad de referencia y la regulación de la norma del flujo del rotor, es decir, que el sistema en lazo cerrado satisfaga

ϑψωω ==−∞→∞→ rtreft

limlim ,0)(

81

CAPÍTULO 6 CONTROL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD

donde ⋅ es la norma Euclideana, con todas las señales uniformemente acotadas, y ϑ es el valor constante máximo que puede alcanzar el flujo del rotor.

6.2 Diseño del controlador basado en la formulación de E-L, pasividad

Empleando la formulación de E-L y asumiendo que una ley de control nominal, diseñada con el conocimiento de los parámetros de la planta, asegura la estabilidad exponencial del sistema en lazo cerrado con la ausencia de incertidumbre de los parámetros, se empleará la técnica de Lyapunov para encontrar una señal de retroalimentación adicional, que este unida a la señal de control para garantizar la estabilidad última uniforme en la presencia de incertidumbres, este procedimiento esta desarrollado en [Espinosa, 93]. La obtención detallada del modelo de la carga (brazo de robot con un grado de libertad) y la definición de sus variables y parámetros se presentó en el capítulo 3, sección 3.6, ahora sólo será necesaria una descripción y un desarrollo general.

τ=++ )(),()( qgqqqCqqM o &&&& _(6.1) donde Mo(q) : inercia,

),( qqC & : términos centrífugos, g(q) : par gravitacional, y τ : par del brazo de robot.

Existen algunas propiedades muy utilizadas de las dinámicas del brazo de robot que juegan un papel importante en el análisis de estabilidad, dichas propiedades son: Propiedad 1. La inercia Mo(q) debe ser definida positiva. Propiedad 2. La ecuación dinámica del robot (6.1) puede ser linealmente parametrizada

como pqqqYqgqqqCqqM o ),,()(),()( &&&&&&& ==++ τ donde es una función conocida y p es un vector de parámetros.

),,( qqqY &&&

La ecuación dinámica basada en la formulación E-L del subsistema mecánico del MI

es (igual que ec. 3.72, pág. 47):

LeTe BqWqJ τθθθ −=+− &&&&& )(

21

1 _(6.2)

donde J es el momento de inercia de la masa giratoria alrededor del eje de rotación,

B es el coeficiente de fricción viscosa, y τL es el par de carga.

82


83

El par electromagnético generado es: eTee qWq && )(

21

1 θτ = .

Si se añade al par de carga de la ec. 6.2, el par del brazo de robot de la ec. 6.1 se obtiene la ecuación dinámica del subsistema mecánico “combinado”, es decir, la ecuación incluye tanto la dinámica del brazo de robot (6.1) como la del motor (6.2). Para las ecuaciones desarrolladas en la sección 3.5 del capítulo 3 y para las ecuaciones obtenidas en (6.1 y 6.2), se considerará que q5 = θ, como puede observarse del modelo (3.74). [ ] [ ] mo qgqBqqCqJqM τ=++++ )(),()( &&&& _(6.3) definiendo [ ] [ ] Lemo yBqqCqqEJqMqD τττ −=+=+= ),(),(,)()( && , la ecuación mecánica combinada (6.3) que se obtiene es:

pqqqYqgqqqEqqDm ),,()(),()( &&&&&&& =++=τ _(6.4) Resolviendo la ecuación (6.3) para q se tiene: &&

[ mqgqqqEqDq τ+−−= − )(),()( 1 &&&& ] _(6.5)

Por simplicidad en la nomenclatura se entenderá de aquí en adelante que 5qq =

corresponde a la variable posición y 5qq && = a la variable velocidad. El error en el seguimiento de posición se puede definir como: dqqq −=~ , y la

velocidad de referencia como: qqq qdr~Γ−= && con 0>Γq como ganancia, por lo que el error

combinado de seguimiento es:

qqqqs qr~~ Γ+=−= &&& _(6.6)

el subíndice ‘d’ indica valores deseados de dichas variables. El controlador será diseñado para hacer que s(t) tienda a cero s(t) → 0 exponencialmente, así que 0)(~),(~ →tqtq & también tenderán exponencialmente a cero.

En términos del error combinado de seguimiento y despreciando el término gravitacional, la ecuación dinámica del sistema completo (6.4) es:

pqqqqYsqqEsqD rrm ),,,(),()( &&&&&& −=+ τ _(6.7)


84

donde )(),,,( qgqCqDpqqqqY rrrr ++= &&&&&&&

En el control del MI se considera a la norma Euclideana del flujo del rotor rλ como la salida regulada. El objetivo para éste controlador es diseñar una ley de control que asegure un seguimiento exponencial del par y la regulación del flujo del rotor, mientras se mantiene la estabilidad interna. Las señales de referencia son:

• Trayectoria deseada (posición) del brazo de robot, de la que se derivan la velocidad y aceleración deseadas.

• Par deseado τd, obtenido del desarrollo del subsistema mecánico.

• Flujo del rotor deseado λrd.

A continuación se desarrollarán las señales de referencia. Flujo deseado El vector del flujo deseado del rotor λrd se define a continuación:

[ ] [ ]Tdd

Tdrdrrd )sen()cos(21 ρϑρϑλλλ ==

por lo que )sen(,)cos( 21 ddrddr ρϑλρϑλ == _(6.8) donde ϑ es la amplitud máxima del flujo del rotor, y

ρd es la posición angular deseada del vector de flujo del rotor. Para obtener ρd, se tiene la siguiente representación polar de los flujos del rotor:

ρd

λ rd

λ r1d

λ r2d

de la representación polar se puede obtener que ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= drd tanarc 2λρ

⎠⎝ dr1λ

y además 2

221 drdrrd λλλ += .


Debido a que será necesario derivar ρd para las ecuaciones de los flujos deseados, se presenta a continuación la expresión para la derivada de ρd en términos del par electromagnético deseado τd, realizando las operaciones necesarias se tiene:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dr

drd tanarc

dtd

1

2

λλ

ρ&

dr

dR τϑ

ρ 2=& _(6.9)

Para obtener las ecuaciones de los flujos del rotor , se deriva la ecuación (6.8), esto es:

rdλ&

rddr

rdd

drd

Rdtd λτ

ϑλ

ρρ

ϑλ ℑ=→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2)sen(

)cos( & _(6.10)

donde y además se considera la siguiente condición inicial ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=ℑ

dr

drrd

2

1,0110

λλ

λ

0)0(;)0( 21 == drdr λϑλ , siendo Wbrd 2== λϑ , la amplitud máxima.

Considerando circuitos magnéticos lineales se obtiene ded qqD &)(=λ , a partir del cual se obtienen las ecuaciones del flujo del rotor:

rdrrd qR && −=λ _(6.11) donde es el vector de corrientes deseadas del rotor. rdq&

Separando los flujos de estator y rotor, se tiene:

rdrsdq

srrd

rdq

srsdssd

qLqeL

qeLqL&&

&&

+=

+=ℑ−

ℑ

λ

λ _(6.12)

Con las funciones o señales deseadas τd y λrd, se pueden obtener las corrientes de rotor y estator ( ) . sdrd qq && ,

85


86

Para obtener las corrientes del rotor se despeja de la ecuación (6.11) y se

sustituye de la ecuación (6.10), obteniéndose: rdq&

rdλ&

rdd

rdq λϑτ

ℑ−= 2& _(6.13)

Para encontrar las corrientes en el estator es necesario sustituir la ecuación (6.13) en la ecuación del flujo del rotor, que se obtiene de considerar los circuitos magnéticos lineales (segunda ecuación de 6.12), de donde se despeja para obtener sdq&

rdq

sr

dr

srsd e

LL

Lq λ

ϑτ ℑ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℑ+Ι= 22

1& _(6.14)

donde I2 es la matriz identidad de orden 2x2.

Sean [ las corrientes de referencia y ]Trd

Tsded qqq &&& = ede qqe && −= el error en el

seguimiento de corrientes para el motor. El controlador debe asegurar que 0=

∞→eim

tl , lo que implica que

ϑλττ ==∞→∞→ rtdmt

imyim ll .

La ecuación del subsistema eléctrico del MI se puede escribir de la siguiente manera

uMqRqqqCqqD eeeeeee =++ &&&&& ),()( _(6.15)

donde el subíndice e se utiliza para indicar que se trata del subsistema eléctrico,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ιℑ−

Ι=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ℑ= ℑ−

ℑ

2

2 0,

000

),(r

qsr

se

qsr

e RqeLR

RqeL

qqC&

&& .

Donde las matrices Ce y Re se han seleccionado de esta manera con la finalidad de que al aplicar el análisis de estabilidad de Lyapunov, se cumpla con la condición de que la derivada de la función candidata sea definida negativa, lográndose sí y sólo sí la matriz Ce sea antisimétrica como se analiza en detalle más adelante [Espinosa,93].

Ahora se expresa la ecuación del subsistema eléctrico (6.15) en términos del error de seguimiento de corrientes.


87

[ ]dee

edeedeedeeeee

uMuMqRqqqCqqDuMeReqqCeqD

−=++−=++ &&&&&&& ),()(),()(

_(6.16)

donde , es la señal de control deseada, que como se puede observar de (6.16) tiene la siguiente expresión:

[ Tddd uuu 21= ]

edeedeedede qRqqqCqqDuM &&&&& ++= ),()( _(6.17)

Despejando ud de (6.17) se obtiene el voltaje deseado de entrada al estator.

rdq

srsdsrdq

srsdsd qqeLqRqeLqLu &&&&&&& ℑℑ ℑ+Ι++= 2 _(6.18)

donde se obtienen al derivar (6.13) y (6.14) respectivamente, para lo cual será necesario obtener la derivada del par deseado

sdrd qyq &&&&

dτ& . Al derivar se obtiene: rdq&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dr

drd

dr

ridr

drd Rq

1

22

24

2

λλ

ϑτ

λλ

ϑτ &

&& _(6.19)

Y al derivar se obtiene: sdq&

( )

( )

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−=

sr

dr

srsr

drdrdr

sr

dr

srdrdr

drds

sr

dr

srdrdr

dr

sr

dr

srsr

drdrdrds

LL

Lq

LRqq

LR

LqqqLq

LR

LqqqL

LL

Lq

LRqqq

2221

22122

2212

22211

)sen()cos(

)cos()sen(

)sen()cos(

)cos()sen(

ϑτ

ϑτλλ

ϑτλλ

ϑτ

ϑτλλ

ϑτ

ϑτ

ϑτλλ

&&L

L&

&&

&L

L&&

&&

_(6.20)

Sustituyendo las ecuaciones (6.19) y (6.20) en la ecuación del voltaje deseado (6.18), y realizando las operaciones de agrupación necesarias se obtienen las siguientes señales de control:


( )( )[ ]

( )

( )

( )

( )( )[ ]

( ))sen()cos(

)sen()cos(1

)cos()sen(1

)cos()sen(

)sen()cos(1

)cos()sen(1

122

212

2

212

2

2

22

122

212

2

2

2

212

21

qqqL

qqLRqLLLRL

qqRqLLLRL

u

qqqL

qqRqLLLRL

qqLRqLLLRL

u

drdrdsr

drdrdrssdrsrdsr

drdrsdrsrrd

srd

drdrdsr

drdrsdrsrrd

sr

drdrdrssdrsrdsr

d

λλϑτ

λλτϑτστϑ

λλϑτϑστ

ϑ

λλϑτ

λλϑτϑ

στϑ

λλτϑτστϑ

++

+−++++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+

+−−+++=

&L

L&&L

L&

&L

L&L

L&&

_(6.21)

Una vez que se tienen las ecuaciones dinámicas deseadas del MI, se procede a encontrar los errores en las corrientes de estator, que son los que se emplean para la retroalimentación.

Estos errores se obtienen restando los estados deseados de los estados reales del sistema, esto es:

rotor. del velocidadlaen error :

,b'' faseestator de corriente laen error :

,a'' faseestator de corriente laen error :

5

222

111

d

dss

dss

qqe

qqe

qqe

&&

&&

&&

−=

−=

−=

Después de hallar los errores, se obtiene la señal de control que alimenta al modelo basado en la formulación E-L del MI, y que se encuentra restando la señal de error por la ganancia (Γe e), al voltaje deseado en el estator (ud), esto es: euu ed ⋅Γ−= . Descomponiendo la expresión anterior se tienen las señales de control del estator

2222

1111

euueuu

ed

ed

⋅−=⋅−=

γγ

donde 21 , ee γγ son los elementos de la diagonal de la matriz de ganancias . eΓ Nota: Estas señales de control se obtendrán de manera más formal cuando se aplique el análisis de estabilidad al subsistema eléctrico del MI.

88


89

A continuación se procede a obtener el par deseado τd y su derivada, para lo cual es necesario el análisis de estabilidad del subsistema mecánico. En éste caso se analiza el subsistema mecánico de forma general, es decir, la ecuación del subsistema mecánico no se encuentra combinada con la ecuación de la carga, esto con la finalidad de obtener un análisis general y cuyo resultado pueda aplicarse a cualquier tipo de carga. Continuando con el desarrollo para la obtención del controlador basado en pasividad, en la siguiente sección se presenta el análisis de estabilidad de Lyapunov para los subsistemas eléctrico y mecánico.

6.3 Análisis de estabilidad de Lyapunov

En ésta sección se emplea el análisis de estabilidad para los subsistemas mecánico y eléctrico, con la finalidad de obtener el par deseado τd, para lo cual es necesario tener en cuenta el error combinado de seguimiento Error de seguimiento de posición y velocidad: dd qqqqqq &&& −=−= ~,~ _(6.22) Velocidad de referencia: qqq qdr

~Γ−= && _(6.23) Error combinado de seguimiento: rr qqsqqs &&&&&&& −=−= , _(6.24)

Análisis de estabilidad del subsistema mecánico De aquí en adelante se definirá a D como la matriz de inercias combinadas que incluye la inercia del rotor y la de la carga. • Sistema mecánico: τ=++ )(qgqCqD &&& • Sistema mecánico de referencia: τ=++ )(qgqCqD rr &&&

Considerando los estados reales y de referencia, se procede a realizar la siguiente operación que no afecta al sistema mecánico original.

τ=+±+± )(qgqCqCqDqD rr &&&&&& _(6.25)

Tomando en cuenta (6.24), se agrupan los términos de la ecuación (6.25) de tal forma que la ecuación esté en función del error combinado de seguimiento, obteniéndose lo siguiente:

[ )(qgqCqDCssD rr ++−=+ &&&& ]τ _(6.26)


El término entre corchetes de la ecuación (6.26) se puede sustituir por , por lo tanto la ecuación dinámica del subsistema

mecánico, en función del error combinado de seguimiento ‘s’ es: )(),,,( qgqCqDpqqqqY rrrr ++= &&&&&&&

pqqqqYsqqCsqD rr ),,,(),()( &&&&&& −=+ τ _(6.27)

Para el análisis de estabilidad del subsistema mecánico se propone la siguiente

función candidata de Lyapunov: DssV Tm 2

1=

donde el subíndice m se utiliza para identificar que se trata del subsistema mecánico.

Obteniendo la derivada de la función candidata y realizando las operaciones de agrupación necesarias, se tiene:

sDsCssYpsV TTTm

&&21)( +−−= τ _(6.28)

por simplicidad Yp sustituye a . pqqqqY rr ),,,( &&&&

Agrupando los dos últimos términos del lado derecho de (6.28) se tiene:

, y para que efectivamente esta expresión sea cero, se debe cumplir que sea antisimétrica.

0)2( =− sCDsT &

CD 2−& Seleccionando a la matriz C de tal forma que los dos últimos términos de (6.28) sean cero, entonces se tiene que:

)( YpsV Tm −= τ& _(6.29)

Además, para que el sistema sea estable se debe cumplir que la derivada de la función candidata sea definida negativa, razón por la que se propone la siguiente sustitución mV&

sYp sΓ−=−τ _(6.30) donde es la matriz de ganancias, por lo que la ecuación (6.29) se transforma en

, lo que asegura que la función sea definida negativa como se requiere. sΓ

ssV sT

m Γ−=&

Despejando τ de la ecuación (6.30), se obtiene el par deseado τd del MI que es necesario para las ecuaciones del controlador. Por lo tanto, el par deseado es:

Ypssd +Γ−=τ _(6.31)

90


y ya que las ecuaciones dinámicas del controlador también necesitan la derivada del par deseado, se tiene:

pqqqqqYs rrrsd ),,,,( &&&&&&&&&& +Γ−=τ _(6.32)

Recordando que )(),,,( qgqCqDpqqqqY rrrr ++= &&&&&&& , entonces el par deseado y su derivada se pueden expresar de la siguiente manera

rrsd

rrsd

qCqDsqgqCqDs

&&&&&&&

&&&

++Γ−=+++Γ−=

ττ )(

_(6.33)

Sustituyendo la primera ecuación de (6.22) en (6.23) se tiene:

)( dqdr qqqq −Γ−= && _(6.34)

Obteniendo las derivadas de segundo y tercer orden de (6.34) necesarias para el par deseado y su derivada, se obtiene lo siguiente:

)(

)(

dqdr

dqdr

qqqq

qqqq&&&&&&&&&&

&&&&&&

−Γ−=

−Γ−= _(6.35)

donde son la posición, velocidad, aceleración y la derivada de la dddd qqqq &&&&&& ,,,

aceleración deseadas, o las entradas de referencia al sistema, las cuales se describieron en detalle en el capítulo 3, sección 3.6.

Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico Para realizar el análisis de estabilidad del subsistema eléctrico se definen las siguientes variables. qe : variables eléctricas (corrientes de estator y rotor). qed : variables eléctricas deseadas (corrientes de estator y rotor). El subsistema eléctrico que se definió en (6.15) es:

uMqRqqqCqqD eeeeeee =++ &&&&& ),()( y la ecuación del subsistema eléctrico deseado que también se definió en (6.17) es:

deedeedeede uMqRqqqCqqD =++ &&&&& ),()(

91


donde el subíndice e se refiere a las ecuaciones del subsistema eléctrico y el subíndice d se refiere a las variables deseadas. Definiendo la derivada del error en los estados como: ede qqe &&&&& −= y restando la ecuación (6.17) de la ecuación (6.15) se obtiene la ecuación dinámica del subsistema eléctrico en función del error de los estados.

)( deeee uuMeReCeD −=++& _(6.36) Para realizar el análisis de estabilidad del subsistema eléctrico se define la siguiente función candidata de Lyapunov en función del error:

eDeV eT

e 21

=

donde nuevamente el subíndice e se utiliza para identificar que se trata del subsistema eléctrico.

Obteniendo su derivada y realizando las operaciones de agrupación necesarias, se tiene:

eCDeeReuuMeV eeT

eT

deT

e )2()( −+−−= && _(6.37) en donde la expresión debe tener una Ce de tal forma que sea Antisimétrica, para lograr que todo el tercer término del lado derecho sea igual a cero, esto es,

.

)2( ee CD −&

0)2( =− eCDe eeT &

Para lograr lo anterior se definen las siguientes matrices:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℑ−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ℑ= ℑ−

ℑ

2

2 0,

000

ΙΙ

rq

sr

se

qsr

e RqeLR

RqeL

C&

&

Tomando en cuenta las matrices anteriores, el tercer término de (6.37) es cero y por lo tanto esta ecuación se reduce a:

eReuuMeV eT

deT

e −−= )(& _(6.38) que como se definió en el análisis de estabilidad del subsistema mecánico, la derivada de la función candidata debe ser definida negativa, para que el sistema sea estable.

92


Por esta razón al analizar la ecuación (6.38) se observa que el segundo término del lado derecho es negativo, por lo tanto sólo falta asegurar que el primer término del lado derecho también lo sea y con esto se estará garantizando que la derivada de la función candidata, sea definida negativa. eV&

Para que se pueda cumplir la condición de estabilidad se realiza la siguiente

sustitución:

)( dee uuMe −=Γ− _(6.39) sustituyendo la ecuación (6.39) en la (6.38), ésta se transforma en

eReeeV eT

eT

e −Γ−=& _(6.40)

Agrupando (6.40) se llega a que eReV eeT

e )( +Γ−=& , donde la matriz entre paréntesis debe ser simétrica. Para cumplir con esta condición será necesario aplicar el siguiente teorema a la matriz eR . Teorema: Si A es una matriz cuadrada, entonces [Lipschutz,92] i). A + AT es simétrica, ii). A – AT es antisimétrica, iii). A = B + C para alguna matriz simétrica B y alguna antisimétrica C. Aplicando este teorema a la matriz de interés se tiene que:

[ ] [ ]4342143421

icaAntisimétr

eTe

Simétrica

eT

ee RRRRR −++=21

21

Entonces para que sea definida negativa, se necesita que eV&

[ ] eeTeee RRR Γ++⇒+Γ

21 , sea definida positiva.

De la ecuación (6.39) se despeja la señal de entrada u obteniéndose:

euMuM edee Γ−= _(6.41)

93


Desarrollando las señales de entrada se obtienen las señales de control del estator como se

mencionó anteriormente. _(6.42) ⎩⎨⎧

⋅−=⋅−=

2222

1111

euueuu

ed

ed

γγ

donde: 1

22

4γ

ε+=Γ

o

sre

qL & : es una matriz de ganancias dinámicas que depende del

cuadrado de la velocidad, εo : es un parámetro de diseño (εo = 0.0001), γ1 : es una ganancia constante mayor que 0, (γ1 > 0).

Para la obtención detallada de la ganancia dinámica Γe, refiérase a [Espinosa-Ortega,94].

De este resultado se puede observar que la ganancia Γe ya no es un valor constante, sino que depende de la inductancia mutua y del cuadrado de la velocidad del motor.

A continuación se presenta el diagrama esquemático a bloques del controlador basado en pasividad, con el modelo del MI basado en la formulación de E-L.

ModelodelMI

basadoen

E-L

+

_γ e

e1

+_

u 1d

γ e ·e1

u1

+_

γ ee2

+_u 2d

u2

γ e ·e2

q = ω.qr2 = ibr.qr1 = iar.qs2 = ibs.qs1 = ias.Modelo delControladorbasado en

“pasividad”

ϑ = rdλ qs1d.

qs2d.

qs2d.

qs1d.

qs1.

qs2.

qd.qd..

qd u 1d

u 2d

τ e

Figura 6-1 Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el MI. Con las ecuaciones desarrolladas anteriormente y con el diagrama esquemático de la figura 6-1, se da por finalizado el diseño del controlador basado en pasividad.

Una de las ventajas de esta estructura de control radica en el hecho de que el par deseado τd se obtiene como resultado de aplicar el análisis de estabilidad de Lyapunov al subsistema mecánico.

94



En los siguientes resultados es posible observar el comportamiento de los voltajes de alimentación de entrada al modelo basado en pasividad, es decir, u1 y u2. También es posible observar las corrientes del estator ias, ibs, el par electromagnético τe vs. el par de referencia τref, la posición del rotor θ vs. la posición de referencia θref (en rad) y la velocidad ω del rotor vs. la velocidad de referencia ωref (en rad/seg). De la misma forma es posible observar el error en las señales de posición y velocidad, para después presentar el índice de desempeño ITAE.

De nuevo se hace la aclaración sobre algunas figuras en las que se encuentran dos variables en la misma gráfica, las cuales se identifican de la siguiente manera: Referencia Real

Los resultados que se presentan ya tienen incluida la dinámica de la carga, es decir,

las ecuaciones dinámicas del subsistema mecánico ya tienen incluidas las dinámicas del brazo de robot. En las siguientes dos figuras se presentan los voltajes y corrientes de entrada al estator para el modelo basado en la formulación de E-L, donde se observa la relación entre las formas de onda del voltaje y corriente de una misma fase, además, en las gráficas de las corrientes se hace una comparación entre variables reales y de referencia.

0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 1 2 3 4 5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Vol

taje

(V

olts

)

Tiempo (seg)

Figura 6-2 Voltajes de entrada al estator, modelo basado en E-L, u1 (izquierda) y u2 (derecha).

95


Referencia Real

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

Tiempo (seg)

Cor

rient

e (A

mp)

0 1 2 3 4 5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 6-3 Corrientes de fase en el estator para el modelo basado en E-L, ias (izquierda) e ibs (derecha), corrientes de referencia vs. reales.

En la siguiente figura se compara el par de referencia vs. par real, donde se observa una diferencia muy pequeña entre dichas señales. Referencia Real

0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (seg)

Par

ele

ctro

mag

nétic

o (N

m)

Figura 6-4 Par electromagnético de referencia vs. real. A continuación se presentan las señales de posición y velocidad en cuyas gráficas se comparan las señales reales vs. las de referencia.

96


Referencia Real

0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Pos

ició

n (r

ad)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (

rad/

seg)

Figura 6-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha). En las siguientes dos figuras se presentan el error en la posición y velocidad para después mostrar el índice de desempeño (ITAE) obtenido con el error de la velocidad.

0 1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

-7

(rad

)

Tiempo (seg) 0 1 2 3 4 5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-5

Tiempo (seg)

(rad

/seg

)

Figura 6-6 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha).

0 1 2 3 4 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Tiempo (seg)

97



98

Capítulo 7

ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES En este capítulo se analizan los resultados obtenidos de las diferentes estructuras de control diseñadas en los capítulos 4, 5 y 6 (campo orientado, linealización por retroalimentación entrada-salida, linealización por retroalimentación entrada-salida con observadores y pasividad). Dichos resultados se comparan mediante el empleo de tablas y gráficas en las que se presente de una manera clara el desempeño de cada controlador según el tipo de estructura empleada. El primer tópico que se analiza es el que corresponde al índice de desempeño seguido del tiempo de simulación que esta directamente ligado a la complejidad computacional del controlador y por último se analizan las señales de voltaje y corriente de entrada, que son las que el MI demanda para que pueda seguir a sus señales de referencia. Para finalizar con el capítulo y con el trabajo de tesis se presentarán las conclusiones obtenidas.

7.1 Análisis del índice de desempeño El índice de desempeño se obtiene a partir del error de la velocidad, así que la forma como se evalúa este parámetro es en virtud de qué controlador presenta un MENOR índice de desempeño (ITAE), siendo éste el que MEJOR siga a su señal de referencia (en este caso la velocidad deseada) [Graham-Lathrop,53].

98

CAPÍTULO 7 ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

A continuación se presentan, en una misma gráfica, los índices de desempeño (ITAE) de las cuatro estructuras de control analizadas: campo orientado, linealización entrada-salida, linealización entrada-salida con observadores y pasividad. Esto con la finalidad de llevar a cabo una comparación más precisa de su comportamiento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5000

10000

15000

Tiempo (seg)

ITAE

Campo orientado Linealización entrada-salida Linealización entrada-salida con observadores Pasividad

Figura 7-1 Gráfica comparativa entre los índices de desempeño de los controladores, para el error de la

velocidad. Como complemento se presentan unos acercamientos a la figura 7-1, en los cuales es posible visualizar el comportamiento del controlador basado en pasividad observándose que es el que presenta un menor índice de desempeño que las otras estructuras. La estructura que salta a simple vista es la basada en linealización entrada-salida que presenta el mayor índice de desempeño.

3 3.5 4 4.5 5

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tiempo (seg)

(a)

99


3.5 4 4.5 5-100

0

100

200

300

400

500

600

700

Tiempo (seg) 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

-100

-50

0

50

100

150

Tiempo (seg)

(b) (c)

Figura 7-2 Diferentes acercamientos de la figura 7-1; (a) en esta gráfica aún se observan los cuatro índices de desempeño; (b) en ésta sólo se aprecian los ITAE correspondientes al campo orientado, linealización con

observadores y pasividad; (c) en esta gráfica sólo aparecen los ITAE de la linealización con observadores y el de pasividad.

De manera cuantitativa se puede llevar a cabo una comparación más precisa de los índices de desempeño (ITAE) del error de la velocidad, numéricamente esto es:

CONTROLADOR ITAE (a) Campo orientado 1.4288 x 103 (b) Linealización entrada-salida 1.4166 x 104 (c) Linealización entrada-salida con observadores 266.1861 (d) Pasividad 0.0287

Tabla 7-1 ITAE con el error de la velocidad para los diferentes controladores.

Continuando con la comparación de los índices de desempeño, ahora se presenta una gráfica de barras, para una visualización más ágil.

02 0 0 04 0 0 06 0 0 08 0 0 0

1 0 0 0 01 2 0 0 01 4 0 0 01 6 0 0 0

I T A E

( a ) ( b ) ( c ) ( d )

C o n t r o la d o r e s

Figura 7-3 Gráfica de barras del ITAE para la velocidad, ver tabla 7-1 para a, b, c, d.

100


De ésta gráfica se ve que el controlador basado en pasividad es el que menor ITAE presenta. De lo que se puede observar en las figuras 7-1, 7-3 y de la tabla 7-1, se concluye que el controlador que tienen un mejor seguimiento a la velocidad de referencia es el basado en pasividad. A continuación se listan los controladores en orden de menor a mayor ITAE o lo que es equivalente de mejor a menor desempeño en el seguimiento de la velocidad de referencia. • Controlador basado en pasividad. (< ITAE) • Controlador basado en linealización entrada-salida con observadores. • Controlador basado en campo orientado. • Controlador basado en linealización entrada-salida. (> ITAE)

7.2 Análisis del tiempo de simulación Es importante considerar y analizar el tiempo de simulación de los programas implementados para los controladores, pues este tiempo se encuentra directamente relacionado con la complejidad de los cálculos computacionales de dichos programas y de los controladores, lo cual es de interés cuando se desee realizar la implementación práctica de algún controlador. Además, el tiempo de simulación toma mayor importancia en aplicaciones de tiempo real y resulta ser un factor importante a considerar en la elección del tipo de controlador a emplear. En la tabla 7-2 se listan los controladores con sus respectivos tiempos de simulación, es importante remarcar que todos los controladores se simularon durante el mismo tiempo (5 seg.) y empleando las mismas características como son, el paso de integración (0.0001) y el método de integración (ode23s (Stiff/Mod. Rosenbrock)).

CONTROLADOR TIEMPO DE SIMULACIÓN (a) Campo orientado 4 min. 32 seg. = 4.53 min. (b) Linealización entrada-salida 6 min. 00 seg. = 6.00 min. (c) Linealización entrada-salida con observadores 7 min. 42 seg. = 7.7 min. (d) Pasividad 13 min. 28 seg. = 13.46 min.

Tabla 7-2 Tiempo de simulación de los diferentes controladores.

101


Para reforzar las comparaciones hechas en la tabla 7-2 se presenta la siguiente gráfica circular en la que se encuentra el porcentaje de los tiempos de simulación.

(a)14%

(b)19%

(c)24%

(d)43%

Figura 7-4 Gráfica circular que muestra el porcentaje de los tiempos de simulación,

ver tabla 7-2 para la identificación de a, b, c, d.

De los resultados obtenidos en la tabla 7-2 y en la figura 7-4, se puede concluir que el controlador que emplea menos tiempo para llevar a cabo la simulación es el basado en campo orientado. Esto implica que dicho controlador requiere de menos esfuerzos computacionales, lo que resulta ser de mucha utilidad para su implementación. A continuación se listan los controladores en orden de menor a mayor tiempo de simulación, lo que significa de menor a mayor esfuerzos computacionales, es decir, existe una relación directa entre el tiempo de simulación y la complejidad de los cálculos computacionales como se mencionó. • Controlador basado en campo orientado. (< tiempo de simulación) • Controlador basado en linealización entrada-salida. • Controlador basado en linealización entrada-salida con observadores. • Controlador basado en pasividad. (> tiempo de simulación) El control basado en pasividad emplea el mayor tiempo de simulación debido a que se obtiene el par deseado y su derivada a partir del análisis de estabilidad de Lyapunov y además es necesario obtener la aceleración del eje del rotor, ver ecuaciones (6.31 y 6.32). Otro punto a tomar en consideración es que trabaja con el modelo completo del MI a diferencia de los otros controladores que utilizan el modelo de orden reducido. Para verificar la complejidad computacional que implica el controlador basado en pasividad, revisar las ecuaciones que resultan de su diseño (capítulo 6, sección 6.2).

102


7.3 Análisis de las señales de entrada al MI, voltajes y corrientes Realizar una comparación con respecto a las señales de entrada al MI (voltaje y corriente) resulta ser complicado, pues no se cuenta con un parámetro específico, como en los casos anteriores, a partir del cual se pueda determinar que contralor presenta un mejor comportamiento sobre los demás. Por esta razón se describen algunos de los puntos que se toman en cuenta para analizar las señales de voltaje y corriente y así obtener una comparación entre los controladores antes mencionados. Los puntos que se toman en cuenta para realizar el análisis de las señales de voltaje y corriente son: • Nivel máximo del sobretiro al arranque de la simulación, • Tiempo de estabilización, • Amplitud en estado estable, • Forma de onda de la señal, • Defasamiento de las señales trifásicas (voltajes y corrientes).

Los puntos listados arriba son los tópicos que se consideran para realizar las comparaciones con las señales trifásicas de voltaje y corriente que se obtienen al aplicar la transformación inversa de 2 a 3 fases a las señales de control, mediante la matriz de transformación correspondiente (ecuación 3.5). La siguiente gráfica corresponde a las señales trifásicas de voltaje y corriente obtenidas del controlador basado en campo orientado. Fase ‘a’ Fase ‘b’ Fase ‘c’

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100

-50

0

50

100

150

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-40

-20

0

20

40

60

80

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 7-5 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en campo orientado.

103


En la siguiente gráfica se pueden observar las señales trifásicas de voltaje y corriente obtenidas del controlador basado en linealización entrada-salida. Fase ‘a’ Fase ‘b’ Fase ‘c’

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100

-50

0

50

100

150

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (seg)

Cor

rient

e (A

mp)

Figura 7-6 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida.

En la siguiente figura se han graficado las señales trifásicas de voltaje y corriente correspondientes al controlador basado en linealización entrada-salida empleando observadores. Fase ‘a’ Fase ‘b’ Fase ‘c’

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 7-7 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando observadores.

Para finalizar con esta sección, se presentan las señales trifásicas de voltaje y corriente obtenidas del controlador basado en pasividad.

104


Fase ‘a’ Fase ‘b’ Fase ‘c’

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (seg)

Vol

taje

(V

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Cor

rient

e (A

mp)

Tiempo (seg)

Figura 7-8 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en pasividad.

Del análisis de las figuras 7-5 a la 7-8 y tomando en cuenta los puntos a evaluar antes citados, se puede determinar qué controlador presenta un mejor desempeño con respecto a las señales de voltaje y corriente. Esto da como resultado la siguiente lista donde se observa en primer lugar, al controlador que mejores características de voltaje y corriente presenta y hasta el final se observa al que tiene un menor desempeño de las mismas señales. • Controlador basado en pasividad. • Controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida. • Controlador basado en campo orientado. • Controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida con

observadores.

A continuación se presenta una tabla para comparar los puntos expuestos en la sección 7.3 y que determina, de una manera más clara, las ventajas que algún controlador pueda tener sobre los demás. C. O. L. R. E-S L. R. E-S O. PASIVIDAD

Sobretiro al +125, -60 V +70, -30 V +70, -30 V +25, -12 V arranque +75, -38 A +48, -23 A +25, -15 A +18, -8 A

Tiempo de est. 2.5 seg 2.5 seg 2.5 seg 2.5 seg Amplitud en ± 25 V ± 25 V ± 300 V ± 24 V

estado estable ± 25 A ± 25 A ± 175 A ± 24 A Formas de onda reproducibles reproducibles reproducibles reproducibles Defasamientos 120 º 120 º 120 º 120 º

Tabla 7-3 Tabla comparativa de las señales de entrada al MI, voltajes y corrientes.

105


7.4 Conclusiones El controlador basado en campo orientado presenta algunas ventajas como son esfuerzos computacionales reducidos, corto tiempo de simulación, simplicidad para la implementación; pero una de sus principales desventajas radica en que dicha estructura de control sólo logra un desacoplamiento asintótico entre las variables de entrada o de referencia, en este caso dichas variables son: velocidad y flujo.

Una de las desventajas que presenta el controlador basado en linealización entrada-salida empleando observadores es precisamente la necesidad de utilizar los observadores, ya que los estados observados presentan un error en comparación con los estados reales. También se observa en las gráficas de voltaje y corriente de dicho controlador (figura 7-7), que se requiere una magnitud de voltaje y corriente mayores a las requeridas por los otros controladores.

Una de las ventajas más importantes que ofrece el controlador basado en pasividad

es que no requiere la medición completa de los estados, pues sólo se retroalimentan las corrientes de estator y la velocidad. Además no necesita de observadores a diferencia del controlador basado en linealización entrada-salida que si los requiere. Con respecto a los tiempos de simulación salta a la vista el tiempo que emplea el controlador basado en pasividad, pero esto tiene una justificación, la cual se fundamenta en que los dos controladores basados en linealización por retroalimentación entrada-salida trabajan con el modelo de orden reducido del MI, es decir, emplean lazos de ganancia de corriente a diferencia del controlador basado en pasividad que trabaja con el modelo de orden completo. Además de lo anterior, también es necesario calcular la aceleración del motor ya que es necesaria para la obtención de la derivada del par deseado que se emplea como referencia. Estos puntos citados se reflejan directamente en el tiempo de simulación ya que es necesario realizar más cálculos computacionales, los cuales hacen más lento al controlador. El control por campo orientado y por pasividad resultan ser muy atractivos en la práctica y prueba de ello son los resultados obtenidos donde se destacan sus ventajas como son el bajo ITAE y tiempo de simulación (este último parámetro aplica sólo para el caso del campo orientado). Para finalizar con el análisis de los controladores en general, resulta complicado hablar de que alguna estructura de control presenta un mejor desempeño que otra, ya que esta apreciación dependerá de las necesidades que demande la aplicación y será ésta quien determine que estructura de control es la que mejor satisface sus necesidades, por ejemplo, si la aplicación requiere de un control convencional y no necesita de mucha precisión, entonces dicha tarea puede ser desempeñada perfectamente con el controlador basado en campo orientado. Por el contrario, si la aplicación es demandante y se desea una excelente precisión sin importar la complejidad del controlador, entonces se recomienda el empleo del controlador basado en pasividad.

106


Otra aplicación, que es necesario mencionar, es aquella en la que los estados no están disponibles para medición (comúnmente la velocidad), por lo tanto es necesario el empleo de observadores para las corrientes del rotor y construir dichos estados aplicando una acción de control sobre ellos. Como puede concluirse de lo mencionado arriba, para el empleo de algún controlador en particular, influye en gran medida el tipo de aplicación en la que se vaya a emplear. Se tiene contemplado en un trabajo futuro de tesis considerar las variaciones de los parámetros en el modelo del MI como son, por citar algunas, las variaciones en los valores de las resistencias de estator y rotor debidas al calentamiento de sus devanados. Dentro de otros trabajos futuros se visualiza la construcción de un prototipo de controlador para el MI en un banco de pruebas. En ese trabajo futuro de tesis se propone realizar comparaciones experimentales para comprobar y verificar: a). El correcto modelado y desarrollo de los controladores, b). La validación y efectiva comparación de los resultados de simulación

respecto a los resultados experimentales. Entre las aportaciones que este trabajo de tesis ofrece al CENIDET destacan las bases sólidas para la obtención de modelos matemáticos del MI así como el análisis comparativo entre tres diferentes estructuras de control, formando con esto los cimientos y enriqueciendo las líneas de investigación de máquinas eléctricas y control no lineal.

107

Apéndice A MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN DEL MI

A.1 Estado del arte

Este manual describe cómo emplear los programas basados en Matlab/Simulink, para la simulación del modelo del MI trifásico y sus diferentes representaciones matemáticas en los marcos de referencia, que se diseñaron en el trabajo de tesis “Controladores de Motores de Inducción: Un Análisis Comparativo”. Las diferentes representaciones matemáticas del modelo del MI desarrollados en este trabajo son: • MR fijo al estator, modelo ‘ab’, • MR fijo al rotor, modelo ‘dq’, • MR giratorio síncrono, modelo ‘gs’, • Basado en la formulación de Euler-Lagrange (pasividad).

Además se desarrollaron los programas para la simulación de los sistemas completos, es decir, el modelo del MI incluyendo los controladores respectivos, los cuales son: • Controlador basado en campo orientado, • Controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando

álgebra de Lie, • Controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando

observadores de velocidad y flujo, Controlador basado en la representación de Euler-Lagrange (EL), pasividad. •

Además, todos los programas para los modelos del MI se diseñaron de dos maneras,

en una se toma en cuenta la carga (brazo de robot) y en la otra se considera una carga que orresponde a un valor constante. c

A-1

MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN DEL MI

Por lo tanto, los programas se pueden clasificar de la siguiente manera: Lazo Abierto, Lazo Cerrado, Con Carga Variable, Con Carga Constante, que se describen a continuación. Los programas clasificados como Lazo Abierto comprenden a aquellos programas que sólo contienen al modelo del MI y sus diferentes representaciones matemáticas (MR). También existen los programas en Lazo Cerrado que comprenden a los modelos del MI que incluyen al controlador respectivo. Otra de las clasificaciones consideradas es Con Carga Variable, que se caracteriza por aquellos programas en los cuales se ha tomado en cuenta el brazo de robot con un grado de libertad como carga y la otra clasificación es Con Carga Constante que corresponde a los modelos en los que se ha considerado un valor constante como carga.

Resumiendo lo anterior la clasificación de los programas para los modelos del MI queda de la siguiente manera:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

Variable CargaCon Constante CargaCon

Cerrado Lazo

Variable CargaCon Constante CargaCon

Abierto Lazo

MI del Modelos

abreviados de la siguiente manera en las carpetas del CD de programas: • Modelos del MI en lazo abierto con carga constante: Modelos LA con CC • Modelos del MI en lazo abierto con carga variable : Modelos LA con CV • Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante: Modelos LC con CC • Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable: Modelos LC con CV También es importante mencionar que cada programa de Simulink requiere de un programa en el que se encuentran los parámetros de MI que se simulará, de aquí la importancia de mencionarlos, además de ser éstos programas los archivos ejecutables para cada simulación, llamados “archivos de parámetros”. A continuación se describen los programas (archivos de parámetros y Simulink) de cada uno de los modelos del MI dependiendo de la clasificación a la que pertenezca.

A-2


A.2 Modelos del MI en lazo abierto con carga constante En esta sección se presentan los modelos del MI en lazo abierto y con carga constante, para lo cual se presenta la siguiente tabla en la que se encuentran el archivo de parámetros, los programas de Simulink y la descripción de cada programa. ARCHIVO DE

PARÁMETROS PROGRAMAS

MATLAB/SIMULINKDESCRIPCIÓN

trefasa.m mod3fmi.mdl Modelo dinámico del MI trifásico. mot2fa.m mod2fab.mdl Modelo del MI en el MR fijo al Estator, modelo ‘ab’.

mot2faq.m mod2fdq.mdl Modelo del MI en el MR fijo al Rotor, modelo ‘dq’. mot2fgs.m mod2fgs.mdl Modelo del MI en el MR Giratorio Síncrono, modelo ‘gs’. motpas.m modpasii.mdl Modelo del MI basado en Pasividad.

Tabla A-I Modelos del MI en lazo abierto con carga constante.

A.3 Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante En esta sección se presentan los programas para los modelos del MI en lazo cerrado, es decir, el modelo con su controlador, tomando en cuenta una carga constante. Los programas que se desarrollaron corresponden a los siguientes controladores: basado en campo orientado, basado en linealización entrada-salida empleando álgebra de Lie, basado en linealización entrada-salida empleando observadores de velocidad y flujo, y el basado en pasividad. A continuación se presenta la tabla en la que se describen dichos programas. ARCHIVO DE



mdqctr.m mdqctrl.mdl Controlador del MI basado en Campo Orientado para el modelo ‘dq’.

sislin.m sislinma.mdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-Salida empleando Álgebra de Lie.

mot2fabo.m linrebod.mdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-Salida empleando Observadores de Velocidad y Flujo.

motpasd1.m mocopas1.mdl Controlador del MI basado en Pasividad.

Tabla A-II Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante.

A-3


A.4 Modelos del MI en lazo abierto con carga variable En esta sección se presentan los programas para los modelos del MI en lazo abierto, pero ahora tomando en cuenta al brazo de robot como una carga variable. También se presenta una tabla en la que es posible observar los archivos de parámetros, los programas de Simulink/Matlab y la descripción de cada programa. ARCHIVO DE



trefasal.m mod3fmil.mdl Modelo dinámico del MI trifásico. mot2fal.m Mod2fabl.mdl Modelo del MI en el MR fijo al Estator, modelo ‘ab’. mot2faql.m Mod2fdql.mdl Modelo del MI en el MR fijo al Rotor, modelo ‘dq’. mot2fgsl.m Mod2fgsl.mdl Modelo del MI en el MR Giratorio Síncrono, modelo ‘gs’. motpasm.m Modpasim.mdl Modelo del MI basado en Pasividad.

Tabla A-III Modelos del MI en lazo abierto con carga variable.

A.5 Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable Para finalizar con la presentación de los programas se tiene a los modelos del MI en lazo cerrado considerando al brazo de robot como carga. Los programas desarrollados corresponden a los mismos controladores descritos en la sección con carga constante, estos son: basado en campo orientado, basado en linealización entrada-salida empleando álgebra de Lie, basado en linealización entrada-salida empleando observadores de velocidad y flujo, y el basado en pasividad. De la misma manera que en las otras configuraciones, se presenta la tabla descriptiva de dichos programas. ARCHIVO DE



mdqctl.m mdqctrll.mdl Controlador del MI basado en Campo Orientado para el modelo ‘dq’.

sislinl.m sislinml.mdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-Salida empleando Álgebra de Lie.

mo2fabol.m linrebol.mdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-Salida empleando Observadores de Velocidad y Flujo.

motpasd4.m mocopas4.mdl Controlador del MI basado en Pasividad.

Tabla A-IV Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable.

A-4


A.6 Instrucciones para simular los programas En esta sección se describen los pasos a seguir para llevar a cabo la simulación de cualquiera de los modelos descritos en las secciones anteriores. 1. El primer paso a realizar es identificar el modelo que se desea simular, refiérase a las tablas I, II, III y IV para seleccionar el nombre del archivo de parámetros que corresponde al modelo adecuado. 2. Una vez que se ha identificado y seleccionado el programa, es necesario abrir el paquete computacional Matlab. En caso de no existir dicho paquete en la computadora personal (PC) que se está utilizando, podrá encontrar el archivo de instalación, localizado dentro de la carpeta Matlab del disco de programas proporcionado con este manual. La versión de Matlab es la 5.3. 3. Después de instalar Matlab (en el caso necesario), deberá de Copiar del CD proporcionado y Pegar el o los archivos que se deseen simular, teniendo cuidado de pegar tanto el archivo de parámetros como el programa Matlab/Simulink, en el directorio C:\Matlab5.1\bin, creado por el archivo de instalación de Matlab. Es decir, si desea simular el modelo dinámico del MI trifásico sin carga (Tabla I), deberá Pegar en la dirección C:\Matlab5.1\bin los archivos trefasa.m y mod3fmi.mdl. 4. Una vez abierto el paquete computacional Matlab, lo primero que se visualiza es el llamado “Workspace” como se muestra a continuación:

Figura A-1 Workspace de Matlab, página de inicio.

A-5


Dentro del Workspace se debe escribir el nombre del “archivo de parámetros” seleccionado y que corresponde al modelo que se desea simular, por ejemplo escriba: trefasa SIN la extensión .m y oprima la tecla Enter, e inmediatamente se abrirá el archivo de Simulink correspondiente a dicho modelo, junto con las ventanas de los osciloscopios que desplegarán alguna variable en particular según se hayan seleccionado. Lo que se observará después de escribir el nombre del archivo de parámetros es:

Figura A-2 Programa de Simulink correspondiente a mod3fmi.mdl, con sus respectivos osciloscopios.

5. En la figura 2 se puede observar que existe un menú en la parte superior de la

pantalla, seleccione el menú Simulation y haga clic en Start. Enseguida, abra cualquiera de las ventanas de los osciloscopios y observará que el programa esta simulando el modelo seleccionado. Espere a que termine de simular para observar las demás variables (osciloscopios).

Cuando termine de observar las variables deseadas y ya no desee simular de nuevo el programa cierre la ventana principal de Simulink (figura 2) haciendo clic en el botón correspondiente para realizar esta acción. Con esto se estará en disposición de simular un nuevo programa, para lo cual realice los pasos del 1 al 5.

En caso de que se desee modificar los parámetros del MI de algunos de los programas, realice lo siguiente:

6. En el workspace de Matlab (figura 1), seleccione el menú File y haga clic en Open, con lo que aparecerá la siguiente ventana en la que deberá de proporcionar la ruta correcta (i.e. D:\Modelos LA con CV) donde se encuentran los archivos de parámetros (extensión .m) y seleccionar el que desea modificar.

A-6


Figura A-3 Ventana para abrir y modificar los archivos de parámetros. Después de proporcionar la ruta correcta y seleccionar el archivo de parámetros deseado, haga clic en Abrir y se visualizará la siguiente ventana (que corresponde al editor de archivos .m de Matlab), i.e. si quisiera abrir el archivo de parámetros llamado trefasa.m, lo que vería es lo siguiente:

Figura A-4 Ventana para modificar el archivo de parámetros. Una vez modificado el programa de archivo de parámetros, guárdelo (en el menú File, haga clic en Save) y si desea simularlo repita los pasos del 1 al 5.

A-7


La forma como se encuentran distribuidas las carpetas en el disco compacto (CD), donde se encuentran los programas de simulación, se presenta a continuación.

Figura A-5 Distribución de las carpetas que contienen los programas de simulación. A.7 Desarrollo de un ejemplo de simulación En esta sección se lleva a cabo una simulación del programa sislinl.m, que corresponde al controlador del MI basado en linealización entrada-salida empleando el álgebra de Lie, ver tabla IV, a manera de ejemplo.

1. Se simulará el programa sislinl.m 2. Se ejecuta el programa computacional Matlab. 3. Copiar del CD proporcionado, los archivos sislinl.m y sislinml.mdl al

directorio “bin” de Matlab, (C:\Matlab5.3\bin\ ). 4. Dentro del Workspace se escribe el nombre del “archivo de parámetros”,

oprima la tecla Enter e inmediatamente se visualizará la siguiente ventana de simulink.

Figura A-6 Programa de Simulink correspondiente a sislinml.mdl, con sus respectivos osciloscopios.

A-8


5. A continuación, en el menú Simulation se hace clic en Start para comenzar la simulación, y después de que el tiempo de simulación se termine, se abrirán los osciloscopios (como referencia para saber cuando ha terminado la simulación se recomienda abrir cualquiera de los osciloscopios disponibles, en la barra de tareas, para observar el termino de la simulación).

Para finalizar con este ejemplo se presentarán las gráficas (osciloscopios) obtenidas de la simulación del programa seleccionado. Observación: el fondo de los osciloscopios presentados aquí es blanco, aunque el fondo de los que se obtienen de la simulación es blanco, esto se debe a que se hicieron ajustes para que al imprimir este documento sea posible observar las señales dentro de dichos osciloscopios.

Para las siguientes gráficas en donde existen dos colores, estas se identifican de la siguiente manera: el color azul corresponde a las señales de “referencia” y el color verde a las señales “reales”.

Referencia Real

Figura A-7 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI, Ua (izquierda) y Ub (derecha).

Figura A-8 Voltajes que entrega el controlador Va (izquierda), Vb (derecha).

Figura A-9 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, ia (izquierda) e ib (derecha).

A-9


Figura A-10 Flujos de fase en el rotor, PHIa (izquierda), PHIb (derecha).

Referencia Real

Figura A-11 Norma del flujo del rotor al cuadrado PHIref2 vs. flujo real PHI2.

Referencia Real

Figura A-12 Posición de referencia vs. real (izquierda), velocidad de referencia vs. real (derecha).

Figura A-13 Error de posición (izquierda), error de velocidad (derecha).

Figura A-14 Índice de desempeño IAE de la posición (izquierda), IAE de la velocidad (derecha).

A-10


Figura A-15 Índice de desempeño ITAE de la posición (izquierda), ITAE de la velocidad (derecha).

Figura A-16 Voltajes y corrientes de alimentación trifásicos obtenidos al aplicar la transformación de coordenadas inversa a los voltajes entregados por el controlador (figura A-8), Vabc (izquierda), Iabc (derecha).

Para finalizar con la simulación, cierre la ventana correspondiente al programa de simulink, es decir sislinml.mdl, con lo que se estará listo para simular un nuevo programa. Con esto se llega al término de este manual, para mayor información sobre alguna duda específica sobre los programas, contactar a: Ing. Miguel A. Méndez Bolio e-mail: [email protected]

A-11

mailto:[email protected]

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controlzadores de motores de induccion_un analisis comparativo

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