controldeprocesosv10 arturo rojas

CONTROL DE PROCESOS

PRACTICO Y AVANZADO

ARTURO ROJAS MORENO, Ph.D.

F Modelado de Procesos

F Sistemas de Instrumentacion

F Elementos Finales de Control

F Control PID SISO

F Estrategias de Control PID

F Sntesis de Controladores SISO y MIMO

F Control Fuzzy

F Programas fuente en MATLAB

TECSUP

II

CONTROL DE PROCESOS PRACTICO Y AVANZADO

Copyright c 2011 Arturo Rojas-Moreno. Todos los derechos reservados.

ISBN

Queda rigurosamente prohibida la reproduccion total o parcial de esta obra por cualquier

medio o procedimiento, sin la autorizacion escrita del propietario del Copyright.

A la Memoria de mis Padres

Indice general

III

Prefacio IX

1. Introduccion 1

1.1. Sistema de Control a Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Sistema de Control a Lazo Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Dinamica Lineal de los Elementos Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. El Proceso a Controlar 11

2.1. Procesos con Comportamiento Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Procesos de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Procesos de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Procesos Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Procesos con Tiempo Muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Procesos de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. El Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8. Modelo MIMO del Proceso Tanque Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.1. Descripcion del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.2. Modelo Dinamico No Lineal del Proceso . . . . . . . . . . . . . 30

2.8.3. Modelo Dinamico de Lagrange del Proceso . . . . . . . . . . . 33

2.8.4. Modelo Dinamico Lineal del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9. Respuesta Transitoria de los Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9.1. Respuesta al Escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9.2. Metodo del 28.3 % y 63.2 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9.3. Otras Respuestas al Escalon y al Impulso . . . . . . . . . . . . 37

2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3. El Sistema de Medicion 45

3.1. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1. Caractersticas Estaticas y Dinamicas . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Elementos Finales de Control 51

4.1. Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2. La Valvula de Control Automatica (VCA) . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1. Dimensionamiento de una VCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2. Carcterstica de una VCA Operando . . . . . . . . . . . . . . . 55

VI INDICE GENERAL

5. Control PID SISO 57

5.1. Sistema de Control SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Especificaciones de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.1. Especificaciones de Diseno en el Dominio del Tiempo . . . . . . 59

5.2.2. Especificaciones de Diseno en el Dominio de la Frecuencia . . . 61

5.3. Modos de Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1. La Banda Proporcional BP% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.2. Control Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.3. Control Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.4. Control Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.5. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4. Control de Dos Posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5. Estructuras del Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6. Metodos de Sintonizacion de Controladores PID . . . . . . . . . . . . 79

5.6.1. Metodos Basados en la Curva de Reaccion . . . . . . . . . . . . 79

5.6.2. Metodos a Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6.3. Metodos Basados en la Minimizacion de un Indice . . . . . . . 102

5.7. El Efecto Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.8. El Algoritmo PID Discreto Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6. Estrategias de Control 125

6.1. Control en Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2. Control de la Razon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3. Control Anticipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4. Control Override . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.5. Control Selectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6. Control de Rango Partido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.7. Control con Autosintonizacion de Parametros . . . . . . . . . . . . . . 140

6.8. Control Adaptativo con Modelo Referencial . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.9. Autosintonizacion con Reconocimiento de Patrones . . . . . . . . . . . 143

7. Sntesis de Controladores SISO y MIMO 147

7.1. Metodo de Dahlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.2. Control MIMO va Desacoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.2.1. No Interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.2.2. Exactitud Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.3. Control MIMO con Desacopladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4. Control MIMO empleando el Criterio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . 164

7.4.1. Procedimiento de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.4.2. El Criterio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

INDICE GENERAL VII

8. Control Predictivo 169

8.1. Control Predictivo Basado en Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.2. Principios del Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.3. El Modelo del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.4. El Controlador Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.4.1. Objetivo del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.4.2. Respuesta Libre y Respuesta Forzada . . . . . . . . . . . . . . 178

8.4.3. La Ley de Control SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.5. Procedimiento de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.6. Ejemplo de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.7. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9. Control Fuzzy 193

9.1. El Controlador Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.2. Diseno de Sistemas de Control Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.2.1. Control Fuzzy del Manipulador Robotico de 1GDL . . . . . . . 194

A. Sistemas Continuos 209

A.1. La Transformada Unilateral de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.1.1. Definicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.1.2. La Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 212

A.1.3. La Funcion de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.1.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

A.1.5. Algebra de Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

A.2. Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

A.2.1. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A.2.2. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

A.2.3. Determinantes y Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

A.2.4. Rango, Eigenvectores y Pseudoinversas . . . . . . . . . . . . . . 229

A.2.5. Diagonalizacion de Matrices y Formas Canonicas . . . . . . . . 234

A.3. Variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A.3.1. Ejemplo de Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A.3.2. Definicion de Variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

A.3.3. Matriz de Transferencia y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . 238

A.3.4. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

A.3.5. Solucion de la Ecuacion de Estado de SLITs Continuos . . . . 244

A.3.6. Formas Canonicas SISO en el Espacio de Estado . . . . . . . . 251

A.4. Discretizacion Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

A.5. Sistemas con Tiempo Muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

A.6. Linealizacion de Sistemas Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A.6.1. Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A.6.2. Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

A.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

VIII INDICE GENERAL

B. Fundamentos de MATLAB y Simulink 275B.1. Fundamentos de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

B.1.1. El Entorno de Trabajo de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 275B.1.2. Comandos y Funciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . 276B.1.3. Creacion de Archivos Tipo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278B.1.4. Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279B.1.5. Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286B.1.6. Matematica Simbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287B.1.7. Simulacion de un Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . . 289

B.2. Fundamentos de Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292B.2.1. Fundamentos del Software Simulink . . . . . . . . . . . . . . . 292B.2.2. Creacion de un Modelo Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

.Bibliografa 299

.Indice alfabetico 302

Prefacio

Esta publicacion esta dirigida a todos los profesionales, cientficos, especialistas yestudiantes interesados en familiarizarse con el modelado, la simulacion y el controlde procesos industriales. Tanto modelos lineales como no lineales se emplean en estapublicacion para representar la dinamica de los procesos tratados.

El libro se denomina Control de Procesos Practico y Avanzado porque su con-tenido abarca tanto temas relacionados con el diseno practico de sistemas de controlde una entrada y una salida empleando controladores PID (Proporcional IntegralDerivativo), as como tambien temas avanzados del control de procesos tales co-mo: Control PID multivariable, control de procesos empleando estrategias (cascada,razon, rango partido, anticipativo, selectivo) y control con inteligencia artificial (con-trol fuzzy y control neuronal).

En todos los Captulo que lo conforman, este libro usa intensivamente el software

MATLABr para el calculo, diseno y simulacion de sistemas de control de proce-

sos. Tambien se emplea el software Simulinkr, el cual trabaja dentro del entornoMATLAB. Simulink usa diagramas de bloques en su programacion. El Apendice B:Fundamentos de MATLAB y Simulink, es lectura primordial para los lectores pocofamiliarizados con estos programas.

Todos los programas empleados en este libro se pueden ejecutar sin problemasen versiones recientes de MATLAB. Estos programas fuente se pueden descargar delenlace Descargas de: www.ctlima.com.

Para asimilar sin dificultad el contenido de este libro, el lector requiere haber lle-vado los cursos de matematica, fsica y fundamentos de control automatico dictadosen una Universidad o Instituto. Sin embargo, se recomienda que el lector se remitaal Apendice A: Matematicas para el Control de Procesos, donde, empleando intensi-vamente la herramienta MATLAB, se hace un repaso de los topicos de matematicasrequeridos en el desarrollo de los Captulos de este libro.

El procedimiento de diseno de sistemas de control empleado en este libro com-prende basicamente: la formulacion del problema a resolver, el modelado del proceso,el diseno del algoritmo de control, y verificacion del sistema de control disenado vasimulacion.

Esta publicacion puede ser usada como:

Libro texto para cursos relacionados con el Control de Procesos.

Libro texto para cursos relacionados con el Control Avanzado de Procesos.

Libro de consulta en diferentes cursos de instrumentacion y control.

X Prefacio

Libro de consulta en temas relacionados con el diseno e implementacion desistemas de control.

La organizacion de este libro comprende los captulos siguientes:

Captulo 1: Introduccion. Este captulo presenta una introduccion sucinta so-bre los sistemas de control a lazo cerrado y a lazo abierto, describiendo brevementesus componentes. Antes de abordar los siguientes captulos se recomienda leer losApendices A y B.

Captulo 2: Sistemas de Instrumentacion. Algunos topicos relevantes de lossistemas de instrumentacion se tratan en este Captulo, incluyendo el calculo de pla-cas de orificio y el diseno de circuitos acondicionadores de senal.

Captulo 3: Elementos Finales de Control. Diferentes tipos de elementos decontrol final son descritos en este Captulo, que tambien incluye el calculo de valvulasde control.

Captulo 4: Modelado de Sistemas Lineales. En este captulo se elaboran ysimulan los modelos dinamicos de varios procesos de comportamiento lineal.

Captulo 5: Modelado de Sistemas No Lineales. Los modelos dinamicos nolineales de diversos procesos son desarrollados y simulados en este captulo.

Captulo 6: Control PID. El control PID (Proporcional Integral Derivativo)de procesos SISO (Single Input Single Output) es el mas usado en la industria. Porello, esta publicacion le dedica un Captulo.

Captulo 7: Control PID MIMO. Varios metodos de control PID aplicadosa procesos MIMO (Multiple Input Multiple Output), caracterizados por multiplesentradas y multiples salidas, se tratan en este captulo.

Captulo 8: Control Fuzzy. El control de procesos empleando inteligencia ar-tificial esta cobrando mayor importancia en la industria en razon a sus multiplesaplicaciones exitosas. Este Captulo trata sobre el control fuzzy (difuso o borroso), elcual es una tecnica de control inteligente.

Captulo 8: Control Neuronal. Este Captulo se ocupa del control neuronalde procesos, el cual es otra tecnica de control que emplea inteligencia artificial en sudiseno.

Apendice A: Matematica para el Control de Procesos. Este Apendicetrata algunos topicos de matematica aplicada que son necesarios para el mejor en-tendimiento de los captulos presentados. Se pone enfasis en la solucion de problemasmatematicos empleando software.

Apendice B: Fundamentos de MATLAB y Simulink. Este captulo se ocu-pa de la teora y aplicaciones del paquete MATLAB/SIMULINK.

XI

VIENEN AGRADECIMIENTOS.

Arturo Rojas Moreno, [email protected]

www.ctlima.com

Captulo 1

Introduccion

En este Captulo se hace un breve introduccion sobre los sistemas de control a lazocerrado y a lazo abierto, describiendo brevemente sus componentes e incluyendo ejemplosindustriales para reforzar la comprension de los conceptos. Tales componentes son: elproceso cuya variable de salida se desea controlar, el sistema de instrumentacion quesensa y transmite la variable a controlar, el controlador que procesa la desviacion entreel valor de la variable a controlar con respecto a una senal deseada con el proposito degenerar una senal de control, y el elemento de control final que recibe la senal generadapor el controlador para efectuar cambios en el proceso con la finalidad de que la desviacionanteriormente descrita se reduzca a cero.

1.1. Sistema de Control a Lazo Cerrado

La Fig. 1.1 muestra el diagrama de bloques (la interrelacion entre sus compo-nentes) de un sistema de control a lazo cerrado. A continuacion vamos a describirsucintamente sus componentes.

Proceso

Disturbios

Sensor msTransmisor

yPV

Sistema de

MVe ur

SPrealimentacinControlador de

Algoritmode Control

Elemento finalde control

medicin

Fig. 1.1: Sistema de control a lazo cerrado.

El Proceso

El bloque proceso representa un cambio fsico o qumico de la materia. As tenemoslos procesos de calefaccion, enfriamiento, mezcla, fundicion, separacion, destilacion,

2 Introduccion

llenado y vaciado, evaporacion, coccion, entre otros. Los instrumentos son dispositivosque se emplean en los procesos para monitorearlos y controlarlos, lo cual se logramediante la medicion de algunas de sus caractersticas, tambien denominadas losparametros del proceso.

Algunos ejemplos de caractersticas del proceso son: capacitancia, inductancia,resistencia, voltaje, corriente, peso, presion, aceleracion, sonido, color, nivel, tempe-ratura, humedad, densidad, contenido de humedad, viscocidad, dimension, concen-tracion de pH, flujo, velocidad, espesor, gravedad especfica, entre otros. La variabley mostrada en Fig. 1.4, conocida tambien como PV (Process Variable), es la variablecontrolada o salida del proceso.

El Sistema de Medicion

Es comun que un proceso posea varios parametros que necesitan ser monitoreadassimultaneamente. Esto se logra por lo general, empleando un sistema de medicionpara cada parametro (ver Fig. 1.1). Cada sistema de medicion consta de un sensorque proporciona la (variable medida), y de un transmisor que cambia dicha variableen una senal estandarizada que pueda ser transmitida. La variable medida representaentonces la condicion actual de la variable controlada y.

En algunos casos, la variable medida y la variable controlada es la misma variable.Por ejemplo, la medicion y control de la variable velocidad de un motor DC (DirectCurrent). Sin embargo, en otros casos, la variable medida y la variable controladapueden ser diferentes. Este es el caso del control de nivel de un lquido en un tanque,que puede ser realizado midiendo la presion en el fondo del tanque. Es decir, en estecaso medimos presion para controlar nivel.

Senales estandarizadas que se emplean en el control de procesos son: 4 a 20 mA(miliamperio), 3 a 15 psi (libra por pulgada cuadrada) y 0.2 a 1 bar. Otros rangos desenales tambien son empleados: 0 a 10 V (volt), 10 a + 10 V, etc. El transmisortambien es conocido como convertidor, transductor, y en general como un acondi-cionador de senales. Si fuera necesario, un acondicionador de senal se puede disenarempleando opamps (amplificadores operacionales) en su implementacion.

En muchos casos, el sensor y el transmisor son parte de un solo instrumento. Lossistemas de medicion actuales tambien incluyen hardware para almacenar algoritmosy rutinas de calculo, y para el procesamiento de senales digitales empleando protoco-los industriales de comunicacion. Los sistemas de medicion inteligente reciben dichadenominacion, por que poseen la capacidad de procesamiento de senales.

En general, los sistema de medicion se aplican a los procesos para: indicar elvalor de una variable, registrar y almacenar los valores de una variable, controlar unavariable, fijar alarmas en los casos que una variable alcanza un determinado valor,y como enclavamiento; es decir, haciendo que una variable cause una accion cuandoalcance un valor previamente establecido.

El Controlador

Para lograr control en la Fig. 1.1, se requiere que el valor de la variable medidatienda a ser el valor de la senal de referencia r o SP (Set Point), que es la senaldeseada de la variable controlada. En otras palabras, en los sistemas de control a lazocerrado, las senales r e y son comparadas. La diferencia entre ellas es la senal de error

1.1 Sistema de Control a Lazo Cerrado 3

e, llamada tambien senal de desviacion. Cuando existe una desviacion, es necesarioactuar para eliminarla. Esta accion incluye el ajuste y la accion de una senal o fuerzade control u, denominada tambien la variable manipulada MV (Manipulated Vari-able), para minimizar el error; es decir, para hacer que la senal y siga a r, cumpliendociertas especificaciones de diseno (seccion 5.2).

Por ejemplo, la velocidad de un carro se controla comparando el valor indicadopor el velocmetro (la variable medida) con el valor lmite de la velocidad (la variabledeseada o SP). Si existe una desviacion, se tiene que ajustar mediante el pedal delacelerador una cierta cantidad de gas (la variable manipulada MV) para cambiar lavelocidad (la variable controlada o PV).

El bloque denominado controlador (ver la Fig. 1.1), es el que procesa la senal deerror e empleando un algoritmo de control, para generar la ley de control u que vahacia el elemento de control final. El agregado de la palabra realimentacion, que engeneral no es necesario, solo es para indicar en este caso que tal controlador formaparte de un sistema de control realimentado.

La funcion del controlador mostrado en la la Fig. 1.1 se logra llevando a cabotres pasos. El primero consiste en recopilar informacion acerca de la variable delproceso que se desea controlar. Luego, usar convenientemente dicha informacion paratomar una decision con relacion a la condicion del proceso. Finalmente, tomar unaaccion basada en tal decision, empleando para ello el elemento de control final. Esimportante anotar que para mantener el control, la recopilacion de informacion debede ser continua y permanentemente evaluada. Estas acciones aseguran que la variablecontrolada se mantenga en el valor deseado previamente establecido.

Considere el sistema de control de temperatura que posee la terma electrica de unavivienda, en donde la accion de control se realiza conectando o desconectando a la redla resistencia de calefaccion para aumentar o disminuir la temperatura del agua en laterma, correspondientemente. En un primer paso, un sensor de temperatura detectala temperatura actual y la compara con una temperatura de referencia previamenteestablecida. Como resultado de la comparacion, se decide que es necesario cambiar lacondicion del proceso: aumentar o disminuir la temperatura. Finalmente, se toma laaccion correspondiente: conectar la resistencia a la red para aumentar la temperaturadel agua, o desconectarla para disminuirla.

El control se puede realizar en forma manual o en forma automatica. En el controlmanual, la decision la realiza la persona, mientras que en el control automatico larealiza un dispositivo. La terma es un caso de control automatico de la temperatura,mientras que la conduccion de un carro para mantenerlo a una velocidad constante,es un caso de control manual.

El Elemento Final de Control (EFC)

El controlador genera una senal que por si misma no posee la potencia necesariapara provocar cambios en el proceso. Por tal razon, la senal de salida del controladorva hacia el elemento final de control (EFC), el cual s posee la capacidad de efectuarcambios en el proceso con el proposito de disminuir el error e = ry. Por consiguiente,el EFC es el hardware que implementa la decision tomada por el controlador.

La fuente de energa comun del EFC puede ser electrica, neumatica e hidraulica.Ejemplos de EFC electricos son los motores AC y DC, motores paso a paso, valvu-

4 Introduccion

las de control motoricas, solenoides, reles, entre otros. Entre los EFC hidraulicos yneumaticos tenemos: valvulas neumaticas, pistones hidraulicos y neumaticos, mo-tores hidraulicos y neumaticos, etc. Dependiendo del tipo de EFC, en muchos casossera necesario incluir un convertidor (o transmisor) de senal entre el controlador y elEFC, tal como se muestra en el ejemplo 1.1.

Los Disturbios

Ademas de la variable manipulada, otros factores pueden afectar la variable con-trolada. Por ejemplo, la velocidad del carro puede ser afectada por la resistencia delviento y por la calidad de la pista. Por otro lado, La temperatura del agua en la termapuede ser afectada por un mal aislamiento del tanque o por la cambiante temperaturadel entorno. En control de procesos, estos factores se denominan disturbios.

Para compensar la accion de los disturbios, se requiere de una continua circulacionde la informacion sobre el proceso. En el sistema de control a lazo cerrado de la Fig.1.1, la informacion fluye constantemente hacia los instrumentos. Tal informacion esdenotada como realimentacion. Todos los instrumentos y dispositivos que intervienenen el control de un proceso son referidos como el lazo de control realimentado.

Ejemplo 1.1

En el sistema de control de flujo mostrado en la Fig. 1.2(a), indicar sus componentesy las senales normalizadas. Este sistema emplea como sensor de flujo una placa deorificio para producir la cada de presion P = P1 P2, con la finalidad de teneruna medicion indirecta del flujo F, pues sabemos que tal flujo es proporcional a laraz cuadrada de P.

Solucion: Ver Fig. 1.3(b). Observar que se requiere un primer transmisor para re-alizar la operacion F = C

P , donde C es una constante de proporcionalidad, y

luego convertir esta operacion en una senal de corriente estandarizada (4 a 20 mA).El signo raz cuadrada a un costado del transmisor indica esta operacion. Notar tam-bien que ha sido necesario incluir un segundo transmisor para convertir 4 a 20 mA alrango de 3 a 15 psi, dado que el actuador de la valvula trabaja con senal neumaticaestandarizada.

Ejemplo 1.2

En el sistema de control de temperatura mostrado en la Fig. 1.3, indicar cual es lasenal disturbio y porque. Este sistema emplea como sensor una termoresistencia, cuyasalida es un valor de resistencia electrica, la cual es proporcional a la temperatura enel interior del tanque. Los valores de resistencia se convierten a senales estandarizadasde 4 a 20 mA mediante el transmisor. Observar que la valvula de control posee unactuador electrico porque trabaja con una senal de 4 a 20 mA. Esta senal alimenta aun motor DC (el actuador). El movimiento de rotacion del eje del motor se convierteen un movimiento de traslacion para hacer desplazar el eje de la valvula.

Solucion: El flujo del producto que ingresa al tanque constituye la senal de disturbio.Mientras mas brusca sea la variacion del flujo de producto, mayor sera la dificultadpara que la senal PV siga a la senal SP.

1.2 Sistema de Control a Lazo Abierto 5

TRANSMISORTRANSMISOR

CONTROLADOR

VLVULA NEUMTICAPLACA DE ORIFICIO

P1 P2

ACTUADORF

(a)

TRANSMISORTRANSMISOR

CONTROLADOR

P1

F

3 15 psi

4 20 mA

PROCESO

P2 EFC: VLVULA

NEUMTICADE CONTROLSENSOR: PLACA

DE ORIFICIO(b)

ACTUADOR

MVPV

SP4 20 mA 4 20 mA

P

Fig. 1.2: (a) Sistema de control de flujo. (b) Solucion al ejercicio 1.1.

Agua caliente

Transmisor

Controlador

Producto

Sensor(ohm)

420 mAPV

420 mAMV

SP420 mA

Fig. 1.3: Sistema de control de temperatura.

1.2. Sistema de Control a Lazo Abierto

La Fig. 1.4 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control a lazoabierto, donde podemos observar que no existe un lazo de realimentacion. Dicho lazosi esta presente en el sistema de control de la Fig. 1.1.

Cuando el controlador de la Fig. 1.4 se reemplaza, por ejemplo, por un PLC(Programmable Logic Controller), entonces el sistema de control a lazo abierto se

6 Introduccion

Controladoranticipativo Proceso

u

TransmisorSensor ms

Disturbios

yPV

r

SP MV

Sistema deInstrumentacin

Elemento finalde control

Fig. 1.4: Sistemas de control a lazo abierto.

convierte en un mando programable, el cual se emplea en la industria en muchastareas de automatizacion que tienen que ver principalmente con aperturas y cierrestemporizados de valvulas y otros actuadores. La programacion de los tiempos de laentrada en operacion de los compresores que conforman un sistema de generacion deaire comprimido, es un ejemplo tpico de mando programable.

El control a lazo abierto de la Fig. 1.1 se convierte en un sistema de controlanticipativo, cuando el controlador es del tipo anticipativo. En esta clase de control,los sensores miden los valores de los disturbios, mientras que la variable manipulada(la senal de control) se ajusta antes de que ocurran cambios en la variable controlada.

La estrategia de control anticipativo se trata en detalle en la seccion 6.3. Sinembargo, cabe mencionar que este esquema de control presenta ventajas y desventajascomparado con el control realimentado. Por una parte, es deseable porque evita laocurrencia de errores antes de que se reflejen en la variable controlada. Sin embargo,para lograr aquello, se requiere de un analisis dinamico complejo de los disturbiospara que la estrategia de control trabaje efectivamente. Solo en muy pocos casos enla industria, el control anticipativo es relevante.

Existen otras estrategias de control, ademas del control anticipativo, tales comocontrol de la razon de dos variables, control en cascada, control de rango partido ycontrol selectivo, todas las cuales seran abordadas en detalle en el Captulo 6.

Ejemplo 1.3

La Fig. 1.5 muestra un tanque empleado en la industria para el soplado (transporte)de un producto en forma de polvo. En dicha Fig., LT y PT son transmisores paramedir el nivel del producto y la presion dentro del tanque, respectivamente. Esteejemplo es un caso tpico de mando programable, el cual se implementa con un PLCy valvulas ONOFF (de apertura y cierre). La apertura y cierre de tales valvulasse realiza con un programa elaborado para tal proposito. Este programa se puedeelaborar empleando diversos metodos. Uno de los mas populares es el metodo de laescalera. No es proposito de este libro entrar en detalles de este metodo de progra-macion.

Luego de elaborado y probado el programa, este se almacena en la memoria delPLC. Para el caso que nos ocupa, tal programa satisface la siguiente secuencia logica:

ESTADO 0 (REPOSO): V2 OFF

ESTADO 1 (LLENAR PRODUCTO): V1 ON

ESTADO 2 (TANQUE LLENO): LT MAXIMO, V1 OFF, V2 OFF, V3 ON

1.3 Dinamica Lineal de los Elementos Ideales 7

ESTADO 3 (TRANSPORTAR PRODUCTO): PT MAXIMO, V4 ON, V5 ON

ESTADO 4 (SOPLAR NITROGENO): PT MINIMA, V3 OFF, V4 OFF

ESTADO 5 (DESFOGUE/REPOSO): V2 ON, V5 OFF

LT

PT

V3

V5

V4 V1

V2

DESFOGUETRANSPORTE

SOPLADOINFERIOR

SOPLADOADICIONAL

ENTRADA DEPRODUCTO

Fig. 1.5: Tanque del ejemplo 1.3 para el soplado de un producto.

1.3. Dinamica Lineal de los Elementos Ideales

La Tabla 1.1 describe los modelos dinamicos lineales de los elementos ideales,mientras que la Fig. 1.6 muestra los smbolos de los mismos. Tal informacion es degran utilidad porque explica el comportamiento fsico de los diversos elementos queson parte de los procesos. Las unidades de medida empleadas corresponden al SistemaInternacional, la cual usaremos a lo largo de los captulos, salvo indicaciones expresas.De todas formas, siempre estan disponibles las tablas de conversion de unidades. Enla Tabla 1.1, la energa se expresa en J (joule), la potencia en W (watt) y el tiempot en s (segundos).

La Fig. 1.6(a) muestra la inductancia electrica L en H (henrio), en donde secumple que la diferencia de potencial v21 = v2 v1 en V (volt) es proporcional a lavariacion de la corriente i en A (ampere) con respecto al tiempo.

La Fig. 1.6(b) ilustra el resorte traslacional de constante K, en donde la variacionde velocidad v21 en m/s es proporcional a la variacion de la fuerza f en N (newton)con respecto al tiempo. Teniendo en cuenta que v21 = dx21/dt donde x21 = x2 x1es el cambio de posicion, es facil demostrar que f=Kx21. Por ello, K esta en N/m.

La Fig. 1.6(c) muestra el resorte rotacional de constante K en Nm/rad, en dondeel cambio de velocidad angular 21 en rad/s es proporcional a la variacion del torquecon respecto al tiempo dT/dt en Nm/s (newtonmetro/segundo). Considerando que

8 Introduccion

Tabla 1.1: Modelos dinamicos para elementos ideales.

Almacenador Elemento Ecuacion Energa E oo disipador fsico descriptiva potencia PAlmacenador Inductancia

inductivo electrica L v21 = Ldidt E =

12Li

2

Almacenador Resorte

inductivo traslacional v21 =1K

dfdt E =

12

F 2

K

Almacenador Resorte

inductivo rotacional 21 =1K

dTdt E =

12

F 2

K

Almacenador Inercia

inductivo fludica p21 = Idqdt E =

12Iq

2

Almacenador Capacitancia

capacitivo electrica i = C dv21dt E =12Cv

221

Almacenador

capacitivo Masa f = M dvdt E =12Mv

2

Almacenador Momento

capacitivo de Inercia T = J ddt E =12J

2


capacitivo fludica q21 = Cfdp21dt E =

12Cfp

22


capacitivo termica q = CtdTdt E = CtT

Disipador Resistenciade energa electrica i = 1Rv21 P = 1Rv221Disipador Amortiguadorde energa traslacional f = Bv21 P = Bv221Disipador Amortiguadorde energa rotacional T = B21 P = B221Disipador Resistenciade energa fludica q = 1Rf p21 P =

1Rf

p221

Disipador Resistenciade energa termica q = 1Rt T21 P = 1Rt T21

1.3 Dinamica Lineal de los Elementos Ideales 9

Kf

21 TT K

C

Li

v v 2

iv 1 v2

f

fM

(g)(e) (f)

p1p2 q 2q 1

C f

(h)

v

J T

q T C t iR

v1 v2

1 T T 2ff B

(i) (j) (k) (l)

p1I

p2q

2T1 Tq

R t

(n)(m)

B

v2v

(a) (b) (c) (d)

1 21

v2v1

q p2p 1Rf

Fig. 1.6: Smbolos de los elementos ideales.

21 = d21/dt donde 21 en rad es el cambio de posicion angular, es facil demostrarque T = K21. Por ello, K esta en Nm/rad.

En la Fig. 1.6(d) se cumple que el cambio de presion p21 en N/m2 es proporcional

a la variacion del flujo q en m3/s con respecto al tiempo. La constante de propor-cionalidad I es la inercia fludica, la cual posee las unidades Ns2/m5 puesto que lainercia fludica se expresa como:

I =p21

dq/dt

La Fig. 1.6(e) ilustra la capacitancia electrica C en F (faradio), en donde lacorriente i en A (ampere) que circula a traves de C es proporcional a la diferencia depotencial v21 en V (volt) con respecto al tiempo.

La Fig. 1.6(f) muestra la masa M en kg (kilogramo), en donde la fuerza f en N(newton) que actua sobre M produce la aceleracion a=dv/dt en m/s2, donde v enm/s es la velocidad de la masa M.

En la Fig. 1.6(g) se cumple que el torque de torsion T en Nm es proporcional ala aceleracion angular = d/dt en rad/s2. La constante de proporcionalidad J enNms2/rad se denomina momento de inercia y es caracterstico para cada cuerpodependiendo de su forma.

El flujo q en m/s3 de un fluido que existe en un conducto o recipiente (ver Fig.1.6(h)), es proporcional a la cada o cambio de presion p21 con respecto al tiempo.La proporcionalidad mencionada define a la capacitancia fludica Cf en m

5/N.

El flujo de calor q en J/s (joule/segundo) que circula en un conducto, es propor-cional al cambio de temperatura T en grados K (kelvin) con respecto al tiempo. La

10 Introduccion

proporcionalidad mencionada define a la capacitancia termica Ct en J/K, la cual semuestra en la Fig. 1.6(i).

La Fig. 1.6(j) muestra una resistencia electrica R en (ohm), en donde la corrientei en A es proporcional a la cada de voltaje v21. Notar que la proporcionalidad es lainversa de R, la cual se denomina conductancia G=1/R y su unidad es f (mho).

La fuerza f en N que se ejerce en el amortiguador traslacional mostrado en laFig. 1.6(k), es proporcional al cambio de velocidad v21. La proporcionalidad B sedenomina la constante de friccion viscosa traslacional, cuya unidad es Ns/m.

El torque T en Nm que se ejerce en el amortiguador rotacional mostrado en laFig. 1.6(l), es proporcional al cambio de velocidad angular 21. La proporcionalidadB se denomina la constante de friccion viscosa rotacional, cuya unidad es Nms/rad.

La resistencia fludica Rf se define como la variacion de la presion p21 en unconducto o recipiente, con respecto al flujo q del fluido en m3/s, tal como se muestraen la Fig. 1.6(m). Por ello, Rf = p21/q se expresa en Ns/m

5.De igual manera, la resistencia termica Rt se define como la variacion de la tem-

peratura T21 en grados K (kelvin) en un conducto, con respecto al flujo q de caloren J/s, tal como se observa en la Fig. 1.6(n). Por ello, Rt posee las unidades K/J.

Captulo 2

El Proceso a Controlar

La dinamica de una gran variedad de procesos a ser controlados se puede describirmediante un conjunto de ecuaciones diferenciales. Tal descripcion matematica se ob-tiene aplicando las leyes de la fsicas y de la qumica en dicho proceso, tales como laconservacion de la energa y las leyes de Newton.

Para construir un modelo adecuado para propositos de control, se requiere conocerbien la dinamica del proceso. No siempre es mejor que un modelo sea lo mas exactoposible a su comportamiento dinamico. Tener en cuenta que mientras mas complejo seael modelo, mas dificultoso sera el analisis y diseno del sistema de control. Lo recomendablees que el modelo del proceso mantenga las caractersticas dinamicas de interes para elrango de operacion del sistema de control a disenar.

En este captulo se determinan los modelos dinamicos de varios procesos con trespropositos fundamentales. El primero, para que sirvan como una fuente de datos desalida para poder construir curvas de reaccion; el segundo, para que su dinamica seausada en el diseno de controladores avanzados; por ultimo, para verificar la funcionalidaddel controlador actuando sobre el proceso.

2.1. Procesos con Comportamiento Proporcional

Un proceso SISO con comportamiento proporcional se caracteriza por poseer unaFT constante (ver Tabla 2.8), es decir, su salida y(t) es proporcional a su entradau(t):

y(t) = Kpu(t) (2.1)

donde Kp es la ganancia proporcional del proceso. Los dos siguientes procesos poseencomportamiento proporcional.

Flujo en una Tubera

La Fig. 2.1(a) muestra un tramo de tubera seccion uniforme por donde circula unflujo y, cuya magnitud esta gobernada por la abertura u de la valvula de control. Lasletras FI (Flow Indication) dentro del crculo indican la presencia de un instrumentode indicacion de flujo.

La respuesta al escalon (su curva de reaccion a lazo abierto) del proceso flujo seilustra en la Fig. 2.1(b). Considerese que para un tiempo t1, el flujo que pasa por

12 El Proceso a Controlar

la valvula es y1 = A1v, donde A1 es la seccion transversal correspondiente a laabertura u1 de la valvula, v es la velocidad del flujo considerada constante y es ladensidad lquido, tambien considerada constante. Para un tiempo t2, incrementamosla abertura de la valvula de u1 a u2. Consecuentemente, el flujo aumenta de y1 a y2 =A2v, sin experimentar retardo, donde A2 es la seccion transversal correspondientea la abertura u2. La ganancia proporcional del proceso flujo es entonces:

Kp =y

u=

y2 y1u2 u1 (2.2)

En el dominio de Laplace, la expresion generica de la FT del proceso flujo toma laforma:

y(s) = Kp u(s) (2.3)

donde s es el operador de Laplace.

y tt 1

t t 21

y

u

1

u

2

1

u

y

t

t

FIu

2

(b)

Vlvulade control

(a)

u

2yy

Fig. 2.1: (a) Proceso flujo. (b) Respuesta al escalon (curva de reaccion a lazo abierto)del proceso flujo.

Ejemplo 2.1

Determinar la ganancia proporcional del proceso flujo mostrado en la Fig. 2.1(a),sabiendo que el recorrido total de la valvula es de 10 mm y que el maximo flujo quepuede pasar por la tubera es de 10 L/min (L: litro). Asumir que el cambio de flujoy a traves de la valvula es proporcional al cambio de abertura de valvula u.

Solucion.- La proporcionalidad se refiere a que y = Kpu. Empleando la ecuacion(2.2), la ganancia Kp se calcula como:

Kp =y

u=

y2 y1u2 u1 =

10 010 0 = 1

L

min mm

Flujo en una Faja de Transporte

La Fig. 2.2 muestra una faja transportando un flujo de material granulado y. cuyamagnitud esta gobernada por la velocidad u en el eje de salida de una caja reductora.

2.2 Procesos de Primer Orden 13

Observar que un motor es el que hace girar los ejes de entrada y de salida de dichacaja.

La respuesta al escalon mostrado en la Fig. 2.1(b) tambien se aplica al procesoflujo de granos. Considerese que para un tiempo t1, el flujo que pasa por la bandaes y1, correspondiente a la velocidad u1 fijada en la caja reductora. Para un tiempot2, incrementamos la velocidad de salida de la caja reductora, fijandola de u1 a u2.Consecuentemente, el flujo aumenta de y1 a y2, sin experimentar retardo. Entonces,la ganancia proporcional del proceso flujo de granos es la misma obtenida en (2.2) yla correspondiente FT esta dada por (2.3).

Motorreduccin

Caja de uBanda transportadora

y

Silo de material

Fig. 2.2: Proceso flujo de granos sobre una banda de transporte.

2.2. Procesos de Primer Orden

Un procesos SISO de primer orden se caracterizan por poseer una FT que poseeuna parte proporcional Kp mas un retardo de primer orden

1Ts+1 (ver Tabla 2.8); es

decir, su salida y(s) esta relacionada con su entrada u(s) como sigue:

y(s) =Kp

Ts + 1u(s) (2.4)

donde Kp es la ganancia proporcional del proceso y T es la constante de tiempo. Lossiguientes procesos son de primer orden.

Nivel en un Tanque Cerrado

La Fig. 2.3 muestra un tanque cerrado de seccion uniforme S, en el cual ingresaun flujo de agua qC y sale otro flujo qD a traves de un orificio ubicado en la basedel tanque. La Tabla 2.1 describe las variables y parametros en juego. Aplicandobalance de masas en el tanque se tiene que el cambio de volumen de agua acumuladoen el interior del tanque se puede modelar como:

Sdh

dt= Sh = qC qD (2.5)

donde h es la altura del agua y Sh es el cambio de volumen de agua en el tiempo tdentro del tanque. Para variaciones pequenas de h y asumiendo que el flujo de salida


h

qC

Dq

SRebose

Fig. 2.3: Proceso tanque cerrado con orificio de salida en la base y tubera de rebose.

Tabla 2.1: Parametros y variables del proceso nivel en un tanque cerrado.

Smbolo Descripcion Valor Unid.

dS Diametro del tanque 0.2 m

S Seccion circular del tanque 0.0314 m2

h Nivel del agua m

h Nivel del agua en estado estacionario 0.4 m

qC Flujo de agua fra hacia el tanque m3/s

qC Estado estacionario de qC 1.66104 m3/sqD Flujo de salida desde el tanque m

3/s

qD Estado estacionario de qD 2.16104 m3/sRh Resistencia hidraulica del tanque: Rh = h/qD s/m

2

qD es laminar, entonces:

qD =h

Rh(2.6)

donde Rh es la resistencia hidraulica del tanque, la cual se puede determinar de [13]:

Rh =h

qD(2.7)

donde h y qD son los valores en estado estacionario de h y qD respectivamente.Reemplazando (2.6) en (2.44), se obtiene la ecuacion de estado lineal del nivel:

h = 1RhS

h +1

SqC (2.8)

En el dominio de Laplace: h = s h h(0), donde s es el operador de Laplace. Si setiene en cuenta que h(0) = 0 (requisito indispensable para hallar la FT del proceso),


(2.8) toma la forma:

h(s)

qC(s)=

RhSRhs + 1

h(s) =Rh

SRhs + 1qC(s) (2.9)

Asumiendo que el flujo de entrada es un escalon de amplitud A, entonces, su trans-formada de Laplace es: qC(s) = A/s. Por consiguiente, de (2.9) se obtiene:

h(s) =RhA

s(SRhs + 1)(2.10)

Aplicando los teoremas del valor inicial y del valor final en h(s), los valores inicial yfinal de h(t) resultan:

lmt0

h(t) = lms sh(s) = 0 lmth(t) = lmso sh(s) = RhA

La curva de reaccion a lazo abierto del nivel h se determina resolviendo (2.8) o (2.10).Vamos a intentar tres soluciones. Para una primera solucion, descomponemos (2.10)en fracciones parciales:

h(s) =RhA

s(SRhs + 1)= RhA

[1

s 1

(s + 1SRh )

]Tomando transformada inversa de Laplace a cada termino de h(s) se obtiene:

h(t) = RhA[1 e

1SRh

t]

(2.11)

Los valores inicial y final de h(t) resultan:

lmt0

h(t) = 0 lmtinf

h(t) = RhA

Notar que estos valores coinciden con los hallados empleando (2.10).La segunda forma de hallar h(t) es empleando matematica simbolica, tal como se

ilustra en el siguiente programa denominado nivel1simb.m:

% nivel1simb.m DETERMINACION DE h(t) USANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

clear all; close all; clc; syms s Rh A S;

h=ilaplace(Rh*A*(1/s - 1/(s + 1/(S*Rh)))); pretty(simplify(h))

La tercera forma de hallar h(t) es mediante un programa en MATLAB, el cual tam-bien grafica la curva de reaccion. Este programa requiere la ecuacion de diferenciadel proceso nivel. Para ello se debe de discretizar la ecuacion de estado dada en (2.8)como sigue:

h(k + 1) h(k)T

= 1RhS

h(k) +1

SqC(k)

h(k + 1) = h(k) + T

( 1

RhSh(k) +

1

SqC(k)

)h = h + T

( 1

RhSh +

1

SqC

)donde k = t/T es el tiempo discreto y T es el tiempo de muestreo. La ultima notaciones mas conveniente para programacion en tiempo real. Ejecutar el programa curvah.mpara obtener la curva de reaccion de la Fig. 2.4.


% curvah.m CURVA DE REACCION DEL NIVEL DEL AGUA EN EL TANQUE CERRADO

clear all; close all; clc;

% PARAMETROS DEL PROCESO TANQUE CERRADO

S=0.0314; hbar=0.5; qCbar=1.666e-4; qDbar=2.16e-4; Rh=hbar/qDbar;

h=0; T=1; M=500; % PERIODO DE MUESTREO Y NUMERO DE MUESTRAS M

for k=1:M; QC(k)=qCbar; h=h+T*(-(1/(Rh*S))*h+(1/S)*qCbar); H(k)=h; end

ejet = linspace(0,M*T,M);

subplot(2,1,1), plot(ejet,QC*6e4); grid % CONVERSION A L/min

ylabel(Flujo qC [L/min]), xlabel(TIEMPO [s])

subplot(2,1,2), plot(ejet,H); grid, ylabel(NIVEL [m]),

xlabel(TIEMPO [s]), print -f -deps curvah % GENERA FIGURA curvah.eps

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5008.5

9

9.5

10

10.5

11

qC [L

/h]

TIEMPO [s]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

NIV

EL [m

]

TIEMPO [s]

Fig. 2.4: Proceso nivel en un tanque cerrado.

Temperatura en un Tanque con Agitador

La Fig. 2.5 muestra un proceso termico: temperatura en un tanque con agitador. Aeste tanque ingresa un flujo q a una temperatura Ti y sale el mismo flujo q pero a unatemperatura To. Asumiendo cero perdidas se va a demostrar que la FT Ti(s)/To(s)es de primer orden. La Tabla 2.2 describe las variables y parametros en juego.

Asumiendo que el lquido en el tanque se agita uniformemente, que los flujosvolumetricos de entrada y de salida, la densidad y capacidad calorfica del lquidoson todos constantes, y que el proceso es adiabatico (sin perdidas) debido a que eltanque posee buen aislamiento, entonces, la ecuacion del balance de energa es:

qCpTi qCpTo = V Cv dTodt

(2.12)

En el dominio de Laplace s, (2.12) resulta:

qCpTi(s) qCpTo(s) = V Cv (sTo To(0))


Ti

qT

q

Fig. 2.5: Proceso temperatura en un tanque con agitador.

Tabla 2.2: Parametros y variables del proceso temperatura en un tanque con agitador.

Smbolo Descripcion Unidades

q Flujo de entrada y de salida m3/s

Densidad del lquido en q kg/m3

Cp Capacidad calorfica a presion constanteJ

kg K

Cv Capacidad calorfica a volumen constanteJ

kg K

V Volumen del lquido en el tanque m3

Ti Temperatura del flujo de entradaoC

To Temperatura del flujo de salidaoC

Sabemos que la determinacion de la FT de cualquier proceso requiere que todas lascondiciones iniciales sean nulas. En el caso que nos ocupa, tal requerimiento se cumplesi: To(0) = 0. Por lo tanto, su correspondiente FT To(s)/Ti(s) resulta:

To(s)

Ti(s)=

1

s + 1 =

V CvqCp

(2.13)

La curva de reaccion del proceso con Ti(s) = A/s, la cual es semejante al graficoinferior de la Fig. 2.4, posee la forma:

To(t) = A (1 et )

la cual se halla ejecutando el programa en matematica simbolica temp1simb.m, dondetau = :

% temp1simb.m DETERMINACION DE To(t) USANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

clear all; close all; clc; syms s tau A;

To = ilaplace(A/(s*(tau*s+1))); pretty(simplify(To))


2.3. Procesos de Segundo Orden

Circuito con Opamps

La Fig. 2.6 muestra un seguidor de voltaje y dos amplificadores operacionales(opamps) inversores conectados en cascada. La ganancia del seguidor de voltaje esuno. Las ganancias de los amplificadores son respectivamente:

Vx(s)

Vi(s)=

1sC1

R1 +1

sC1

Vo(s)

Vx(s)=

1sC2

R2 +1

sC2

Este proceso es de segundo orden porque:

Vo(s)

Vi(s)=

1

(R1C1s + 1)(R2C2s + 1)

Vo

Seguidor de voltaje Opampinversor inversor

Opamp

R RC

C C

C1 1

2

22

Vx

1

ViVi

Fig. 2.6: Proceso de segundo orden con opamps.

Tanques en Cascada

La Fig. 2.7 muestra dos tanques unidos por una tubera. Los parametros y va-riables de este proceso se describen en la Tabla 2.3. Las ecuaciones dinamicas quegobiernan este sistema son:

q1 =h1 h2

R1C1

dh1dt

= q q1

q2 =h2R2

C2dh2dt

= q1 q2Pasando al dominio de Laplace con condiciones iniciales nulas, se obtiene:

q1(s =h1(s) h2(s)

R1C1sh1(s) = q(s) q1(s)

q2(s) =h2(s)

R2C2sh2(s) = q1(s) q2(s)

Si la entrada es q(s) y la salida es q2(s), entonces:

q2(s)

q(s)=

1

R1C1R2C2s2 + (R1C1 + R2C2 + R2C1)s + 1

2.3 Procesos de Segundo Orden 19

Tabla 2.3: Parametros y variables del proceso temperatura en un tanque con agitador.

Smbolo Descripcion Unidades

q, q1, q2 Flujos de entrada, intermedio y de salidam3

s

R1, R2 Resistencias hidraulicass

m2

C1, C2 Capacitancias hidraulicas m2

h1, h2 Niveles en los tanques m2

q

q1

h h1 2R R1 2

q 2

Fig. 2.7: Proceso de segundo orden con tanques en cascada.

Indicador con Nucleo de Fierro Movil

La Fig. 2.8 muestra un indicador con nucleo de fierro movil, donde K es la con-stante del resorte, B es la constante de viscocidad del amortiguador, M es la masadel nucleo de fierro encerrado por la bobina, y u es la corriente que circula por labobina. La fuerza electromagnetica Kmu producida por u produce un movimientoy en el nucleo, cuya direccion y magnitud depende de la direccion y magnitud dela corriente u. El movimiento y, que es tambien el desplazamiento del indicador, esproporcional a la corriente u. La ecuacion que gobierna el movimiento del nucleo es:

Kmu = Ky + Bdy

dt+ M

d2y

dt2

En el dominio de Laplace y con condiciones iniciales nulas, la ecuacion anterior re-sulta:

Kmu(s) = Ky(s) + Bsy(s) + Ms2y(s)

La FT y(s)/u(s) toma la forma:

y(s)

u(s)=

KmM

s2 + BM s +KM

=Kp

s2 + 2ns + 2n

Kp =KmM

=B

2

KMn =

K

M


t

t

u

y

BAmortiguador

KResorte

BobinaM

Corriente

u

y

u o u

yoy

Escala

uo

yo

Fig. 2.8: Indicador con nucleo de fierro movil.

2.4. Procesos Integrales

Llenado de un Tanque

La Fig. 2.9 muestra un tanque de seccion A que esta siendo llenado por un flujou de entrada. Solo cuando el tanque alcanza un nivel maximo, entonces se prende labomba de vaciado. El volumen acumulado en el tanque es:

Ady

dt= u

En el dominio de Laplace: Asy(s) = u(s). Por lo tanto, la FT de este proceso es:

y(s)

u(s)=

Kps

Kp =1

A

y(t)u(t)

y(t)

u

y

o

o

t

t

t

t

1

1

y(t)

Flujo u(t)

Bomba

Fig. 2.9: Llenado de un tanque.

2.5 Procesos con Tiempo Muerto 21

Satelite

El satelite mostrado en la Fig. 2.10 se puede modelar como:

J = u

donde J es el momento de inercia del satelite, es el angulo de inclinacion y u esel torque generado por los impulsores para corregir el angulo de inclinacion. En eldominio de Laplace, el modelo del satelite toma la forma: Js2(s) = u(s). Luego, laFT del satelite es un doble integrador:

(s)

u(s)=

Kps2

Kp =1

J

Por otro lado, si seleccionamos como variables de estado x1 = y x2 = , entonceslas ecuaciones de estado del proceso resultan: x1 = x2 y x2 = u/J , mientras que lasalida es: y = x1. En forma matricial:[

x1x2

]=

[0 10 0

] [x1x2

]+

[01J

]u

y = [1 0]

[x1x2

]

uJ

Fig. 2.10: Esquema simplificado de un satelite.

2.5. Procesos con Tiempo Muerto

Faja de Transporte con Tiempo Muerto

La Fig. 2.11 muestra una faja transportando granos. Observar que en el intervalot0 hasta t1, el flujo de granos y0 es producido por la abertura u0 de la valvulade cuchilla. En el tiempo t1 se incrementa la abertura de la valvula en un u, locual se traduce en un incremento del flujo en un y, solo cuando dicho incrementorecorra la distancia L. Sabemos que la faja se mueve a una velocidad constante v.Por consiguiente, el tiempo muerto que demora el flujo y en recorrer L es:

Tt =L

v


La FT de este proceso resulta entonces:

y(s)

u(s)= Kpe

Tts Kp =y

u

Velocidad wconstante

r

u + u

L

v = wru

Vlvla decuchilla

Motor

u

u(t)

u

y(t)

yo

o

t t

tt

1

1

Tt

t

t

y

0

0

Fig. 2.11: Faja de transporte con tiempo muerto.

Flujos en Tuberas con Tiempo Muerto

La Fig. 2.12 muestra dos flujos y1(t) e y2(t) que circulan por dos tuberas queluego se juntan en una sola, en la cual se ha instalado un sensor de PH. En la tuberacomun de longitud L, el flujo suma y(t) = y1(t) + y2(t) circula a una velocidad v.Hasta el tiempo t1, las aberturas de valvulas [u1]o y [u2]o dejan circular un flujo de yo.En el tiempo t1 se incrementan las aberturas de las valvulas en un u1(t) y u2(t),respectivamente, lo cual se traduce en un incremento del flujo total en un y(t). Esteincremento de flujo debe de recorrer una distancia L para que sea detectado por elsensor de PH. Por lo tanto, el tiempo muerto que demora el flujo y(t) en recorrerL es:

Tt =L

v

La FT de este proceso toma la forma:

y(s)

u1(s)= Kpe

Tts Kp =y

u1 + u2

2.6. Procesos de Orden Superior

Proceso de Enfriamiento de Tercer Orden

En la Fig. 2.13(a), Qc es el flujo de agua a una temperatura Tc que ingresa a lacamisa de enfriamiento del tanque, con el proposito de enfriar el flujo q constante queingresa al tanque a una temperatura Ti. Este flujo abandona el tanque por desbordea una temperatura T . La pared metalica del tanque se encuentra a una temperatura

2.6 Procesos de Orden Superior 23

Sensor de PH

L

Flujo y(t) auna velocidad

v constante

Flujo u (t)1

Flujo u (t)2

u (t)t

[u ]o2 2

ty

y(t)y(t)

u (t)2

u (t)1t

[u ]o1

u (t)1

Tt

o

Fig. 2.12: Flujos en tuberas con tiempo muerto.

ci

i

qc

t

t

t

t

t

TCCamisa deenfriamiento

Tanque metlicoProducto

Agua fraq

CTC

iT

qT

q

Rebose

(a)

(b)

1s+1

1s+1

1s+1

K

K

1

2

3K

4K5K

6K

7K

123

C

m

c

Tm

Fig. 2.13: Proceso de enfriamiento.

Tm. El modelo de este proceso fue extrado de [28]. La Tabla 2.4 muestra las variablesy parametros del proceso.

El balance de energa en el flujo que se procesa se expresa como:

qCpTi hiAiT + hiAiTm qCpT = V Cv dTdt

(2.14)


Tabla 2.4: Parametros y variables del proceso de enfriamiento en un tanque concamisa de enfriamiento. En la Tabla, C.T.C. significa Coeficiente de TransferenciaCalorfica.


Qc, Qc, qc Flujo de agua actual, estable y residual m3/s

q Flujo actual del producto que ingresa m3/s

Densidad de q kg/m3

c Densidad de Qc kg/m3

m Densidad de la pared de metal del tanque kg/m3

Cp Capacidad calorfica de qJ

kgKCv Capacidad calorfica en el tanque

JkgK

Cvm Capacidad calorfica del metal de la paredJ

kgKV Volumen del producto en el tanque m3

Vm Volumen de la pared de metal del tanque m3

T, T , t Temp. actual, estable y residual de q K

Tci, T ci, tci Temp. actual, estable y residual de Qc K

Ti, T i, ti Temp. actual, estable y residual de q K

Tm, Tm, tm Temp. actual, estable y residual del metal K

hi C.T.C. de la cara interna del tanqueJ

m2sKho C.T.C. de la cara externa del tanque

Jm2sK

Ai Area interna de transferencia de calor m2

Ao Area externa de transferencia de calor m2

La ecuacion (2.14) tambien es valida para el estado estacionario:

qCpT i hiAiT + hiAiTm qCpT = V Cv dTdt

(2.15)

Restando (2.15) de (2.14) y teniendo en cuenta que ti = Ti T i, tm = Tm Tm yt = T T , entonces el modelo lineal residual de (2.14) resulta:

qCpti hiAit + hiAitm qCpt = V Cv dtdt

(2.16)

Pasando (2.16) al dominio de Laplace y operando, se obtiene:

t(s) =K1

1s + 1ti(s) +

K21s + 1

tm(s) (2.17)

K1 =qCp

qCp + hiAiK2 =

hiA iqCp + hiAi

1 =V Cp

qCp + hiAi

2.6 Procesos de Orden Superior 25

El balance de energa para la pared del tanque se formula como:

hiAi(T Tm) hoAo(Tm Tc) = VmmCVmdTmdt

(2.18)

Como en el caso anterior y sabiendo que tc = Tc T c, se encuentra:

hiAi(t tm) hoAo(tm tc) = VmmCVmdtmdt

tm(s) =K3

2s + 1t(s) +

K42s + 1

tc(s) (2.19)

K3 =hiAi

hiAi + hoAoK4 =

hoAohiAi + hoAo

2 =VmmCvm

hiAi + hoAo

El balance de energa en la camisa de enfriamiento se formula como:

QccCpTci + hoAo(Tm Tc)QccCpTc = VccCvdTcdt

(2.20)

La ecuacion (2.20) es no lineal debido a los productos QcTci y QcTc, los cuales sepueden linealizar siguiendo el procedimiento de la subseccion A.6.1, ejemplo A.49,sabiendo que: qc = Qc Qc. Esto es:

QcTci = QcT ci + T ciqc + Qctci

QcTc = QcT c + T cqc + Qctc (2.21)

Reemplazando las ecuaciones de (2.21) en (2.20) se obtiene:

cCp(QcT ci +T ciqc+Qctci)+hoAo(TmTc)cCp(QcT c+T cqc+Qctc) = VccCvdTcdt

(2.22)En el estado estacionario todas las variables residuales son nulas. Por consiguiente,(2.22) toma la forma:

cCpQcT ci + hoAo(Tm T c) cCpQcT c = VccCvdT cdt

(2.23)

Restando (2.22) de (2.22) y pasando la resultante al dominio de Laplace se obtiene:

tc(s) =K5

3s + 1tci +

K63s + 1

tm +K7

3s + 1qc (2.24)

K5 =QccCphoAo

hoAo + QccCp K6 =hoAo

hoAo + QccCp

K7 =cCp(T c T ci)hoAo + QccCp

3 =VccCp

hoAo + QccCp

La Fig. 2.13(b) muestra el diagrama de bloques del proceso construido con las ecua-ciones (2.17), (2.20) y (2.24).


2.7. El Motor DC

La Fig. 2.14(a) muestra el circuito equivalente de un motor DC (direct current),donde Rf , Lf , If y Vf son la resistencia, la inductancia, la corriente y el voltaje decampo respectivamente, Ra, La, Ia y Va son la resistencia, la inductancia, la corrientey el voltaje de armadura respectivamente, Tm, TL y Td son el torque motor, el torquede carga y el torque de disturbio respectivamente, Km es la constante de motor, Kbes la constante contraelectromotriz, es la velocidad angular, es la posicion angulardel eje, J es el momento de inercia del motor mas carga y B es la constante de fricciondel motor mas carga.

mK

mK1s

1J

Kb

Bs

V

I

L

a

a

a

Ra

BJ

R

LV

I

f

f

f f

(a)

(b)

(c)

R f Lf s1 1

s

1J s

VfTdT

LTm

Campo

B

cargaMotor ms

Motor mscarga

V

bV

b

fI

LT

TArmadura

VaRa Las

1I m mTd

Fig. 2.14: (a) Circuito equivalente del motor DC. (b) Motor DC controlado por campo.(c) Motor DC controlado por armadura.

Motor DC Controlado por el Campo

Cuando el motor DC esta controlado por el campo, entonces la corriente de campoIf es variable, mientras que la corriente de armadura Ia permanece constante. Lasecuaciones en el dominio de Laplace que rigen la dinamica del motor CC en este casoson:

Vf (s) = (Rf + Lfs)If (s)

Tm(s) = KmIf (s) = TL(s) + Td(s)

TL(s) = Js(s) + B(s) (s) = s(s)

2.7 El Motor DC 27

El diagrama de bloques para este caso se muestra en la Fig. 2.14(b). Considerandoque el torque de disturbio Td es despreciable, la FT resulta:

Gp(s) =(s)

Vf (s)=

Kms(Js + B)(Lfs + Rf )

(2.25)

Si la inductancia de campo Lf es suficientemente pequena, entonces la FT para laposicion y para la velocidad angular toman la forma:

Gp(s) =(s)

Vf (s)= K

s(s + 1)

Gp(s) =(s)

Vf (s)= K

s + 1 =

J

BK =

KmRfB

(2.26)

Motor DC Controlado por la Armadura

Si el motor DC esta controlado por la armadura, entonces la corriente de armadu-ra Ia es variable, mientras que la corriente de campo If permanece constante. Lasecuaciones en el dominio de Laplace que rigen la dinamica del motor DC en este casoson:

Va(s) = (Ra + Las)Ia(s) + Vb(s) Vb(s) = Kb(s)

Tm(s) = KmIa(s) = TL(s) + Td(s)

TL(s) = Js(s) + B(s)

(s) = s(s) (2.27)

El diagrama de bloques para esta situacion se muestra en la Fig. 2.14(c). Asumiendoque el torque de disturbio Td es despreciable, la FT resulta:

Gp(s) =(s)

Va(s)=

Kms[(Ra + Las)(Js + B) + KbKm]

(2.28)

Si la inductancia de armadura La es suficientemente pequena, entonces la FT parala posicion y para la velocidad angular toman la forma:

Gp(s) =(s)

Va(s)= K

s(s + 1)

Gp(s) =(s)

Va(s)= K

s + 1; K =

KmRaB + KbKm

; =RaJ

RaB + KbKm(2.29)

Notar que tanto para el motor controlado por campo como por armadura, las FTspara y para dadas en (2.26) y (2.29) poseen la misma estructura cuando sedesprecia ya sea Lf o La.

Modelo en el Espacio de Estado

En ingeniera de control se emplea mas el motor CC controlado por armaduradebido a la inherente realimentacion que presenta en este caso. Por tal razon nosocuparemos del modelo en el espacio de estado para este motor. Si seleccionamos


como variables de estado x1 = , x2 = y x3 = Ia y asumimos que Td = 0 en (2.27),se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden:

x1 = x2 x2 = BJ

x2 +KmJ

x3 x3 = KbLa

x3 +1

LaVa

Si se elige como salida la posicion y = x1 y se designa a Va como la entrada u, laforma matricial de la ecuacion de estado resulta:

x = Ax + Bu y = Cx (2.30) x1x2x3

= 1 0 00 BJ KmJ

0 KbLa RaLa

+ 00

1La

u y = [ 1 0 0 ] x1x2

x3

Si se considera que la inductancia de armadura La es despreciable, entonces podemosusar las FTs dadas en (2.29). Para el caso posicion , seleccionemos x1 = y x2 = como las variables de estado del motor, y = como la salida y u = Va como lasenal de entrada. Se deja como ejercicio demostrar que partiendo de la primera FTde (2.29), la representacion en el espacio de estado resulta:

x = Ax + Bu y = Cx (2.31)[x1x2

]=

[0 10 1

]+

[0K

]u y =

[1 0

] [ x1x2

]Para el caso velocidad angular , seleccionemos x = y = como la variable de estadoy a la vez salida y u = Va como la senal de entrada. Se deja como ejercicio demostrarque partiendo de la segunda FT de (2.29), la representacion en el espacio de estadotoma la forma:

x = Ax + Bu y = Cx (2.32)

A = 1

B =K

C = 1

2.8. Modelo MIMO del Proceso Tanque Cerrado

2.8.1. Descripcion del Proceso

El proceso tanque cerrado con agua estudiado aqu se muestra en la Fig. 2.15. LaFig. 2.16 ilustra el esquema para estudio de este proceso, donde se observa que losflujos de agua fra qC y de agua caliente qC se mezclan en el interior del tanque con elproposito de producir el flujo de salida qC a una temperatura . Por consiguiente, elproceso tanque con agua es multivariable cuadrado debido a que posee dos entradas:los flujos qC y qH , y dos salidas: el nivel h del agua dentro del tanque y la temperatura que se asume uniforme en el interior del tanque.

El objetivo del sistema de control a disenar, es determinar adecuadas fuerzas decontrol qC y qH con la capacidad de estabilizar las salidas controladas h y , cumplien-do ciertas especificaciones de diseno previamente establecidas. La manipulacion delas fuerzas de control se realizan mediante dos valvulas de control neumaticas, mien-tras que el transmisor de nivel LT y el transmisor de temperatura TT se ocupan demedir y transmitir el nivel y la temperatura respectivamente. La Tabla 2.5 describelas variables y los parametros valorados del proceso tanque cerrado con agua.

2.8 Modelo MIMO del Proceso Tanque Cerrado 29

Tabla 2.5: Parametros, variables y smbolos del sistema tanque con agua.


dA Diametro del tanque 0.2 m

A Seccion circular del tanque 0.0314 m2

h Nivel del agua m

h Nivel del agua en estado estacionario 0.4 m

qC Flujo de agua fra hacia el tanque m3/s

qC Estado estacionario de qC 1.66104 m3/sqH Flujo de agua caliente hacia el tanque m

3/s

qH Estado estacionario de qH 0.5104 m3/sqD Flujo de salida desde el tanque m

3/s

qD Estado estacionario de qD 2.16104 m3/sRh Resistencia hidraulica del tanque: Rh = h/qD s/m

2

g Aceleracion de la gravedad 9.81 m/s2

C Temperatura del flujo qC 20 +270 K

H Temperatura del flujo qH 50 +270 K

Temperatura del flujo qD y en el tanque K

Estado estacionario de 35+270 K

C Densidad del agua para qC 998 kg/m3

H Densidad del agua para qH 988 kg/m3

D Densidad del agua para qD 996 kg/m3

d Diametro del orificio de la placa en qD 6.5 mm

D Diametro de la placa de orificio en qD 15.9 mm

Cp Calor especfico del agua 4186.8J

kg K

H Calor entregado por qH J/s

T Calor del agua en el interior del tanque J/s

D Calor que toma el flujo de salida qD J/s

C Calor que trae consigo qC J/s

LT Transmisor de nivel

TT Transmisor de temperatura

FT Transmisor de flujo

PT Transmisor de presion


Fig. 2.15: Sistema tanque con agua.

2.8.2. Modelo Dinamico No Lineal del Proceso

Balance de Masas

Aplicando balance de masas en el tanque, el cambio de volumen de agua acumu-lado en su interior se modela como:

Adh

dt= Ah = qC + qH qD (2.33)

donde A es la seccion del tanque, h es la altura del agua, Ah es el cambio de volumende agua en el tiempo t, qC (agua fra) y qH (agua caliente) son los flujos de entradaal tanque y qD (agua calentada) es el flujo de salida, el cual se calcula de [14]:

qD = CEpi

4d2

2Dp = a

h; a = CEpi

4d2D

2g (2.34)

donde hemos usado el hecho de que la cada de presion p en la tubera de diametroD provocada por la placa de orificio de diametro d se expresa como:

p = Dgh

En la expresion (2.34), g es la aceleracion de la gravedad, C = 0.6 es el coeficientede descarga del orificio, D es la densidad del agua a una temperatura , = d/D es


TT

LT

PT

FT

FT

FT= Transmisor de FlujoPT= Transmisor de Presin

LT= Transmisor de NivelTT = Transmisor de Temperatura

Drenaje

Agua Caliente

Agua Fra

Rebose

Fig. 2.16: Esquema de estudio del sistema tanque con agua.

una relacion igual a 0.41 y E es una constante de correccion del valor del flujo debidoa consideraciones geometricas, el cual se expresa como:

E = (1 4)1/2

Despejando h de (2.33), la ecuacion de estado para la variable de estado nivel tomala forma:

h = aA

h +

1

AqC +

1

AqH (2.35)

Los valores de las densidades del agua en funcion de la temperatura se pueden obtenerde figura 2.17.

Balance de Energa Termica

El balance de energa termica dentro del tanque se formula como:

T = D + C + H (2.36)

donde H es calor entregado por el flujo de agua caliente qH , T es el calor delagua en el interior del tanque, D es el calor que toma el flujo de salida qD y Ces el calor que trae consigo el flujo de entrada de agua fra qC . Cabe anotar que seesta despreciando el calor que se libera al exterior del tanque debido a que tal tanquees cerrado y suficientemente aislado. Las relaciones que gobiernan los flujos calorficosdescritos anteriormente son:

T = AhDCpd

dt= AhDCp


0 10 20 30 50 6040980

985

990

995

1000

1005

TEMPERATURA C

DENSIDAD Kg/m 3

Fig. 2.17: Valores de la densidad del agua versus la temperatura.

C = CpCCqC

H = CpHHqH

D = CpD qD = CpD a

h (2.37)

Los parametros que aparecen en (2.37) se describen en la tabla 2.5. Observar que seasume un valor constante para el calor especfico del agua Cp. La ecuacion de estadode la variable de estado temperatura se obtiene despejando ddt = de (2.36):

= aAh

h +CCDA

qCh

+HHDA

qHh

(2.38)

Definamos las siguientes fuerzas de control o variables manipuladas: u1 = qC ,u2 = qH y las siguientes variables de estado: x1 = h, x2 = y juntando las ecuaciones(2.35) y (2.38), la ecuacion de estado que describe la dinamica del proceso tanquecerrado con agua se formula como:

x = f(x,u) (2.39)

x =

[x1x2

]=

[h

]x =

[x1x2

]u =

[u1u2

]=

[qCqD

]

f =

[f1

f2

]=

aA

x1 +

1Au1 +

1Au2

aA x2x1 +CCDA

u1x1

+ HHDAu2x1

Dado que las variables de estado son las variables medidas del proceso, entonces laecuacion de salida posee la siguiente expresion:

y = Cx (2.40)


y =

[y1y2

]=

[x1x2

]C =

[1 00 1

]

2.8.3. Modelo Dinamico de Lagrange del Proceso

El modelo dinamico de Lagrange del proceso tanque cerrado con agua se obtienereordenado las ecuaciones de (2.39) en la forma siguiente:

u1 + u2 = Ax1 + a

x1

CCu1 + HHu2 = DAx1x2 + Da

x1 x2

Por consiguiente:[1 1

cC HH

] [u1u2

]=

[A 00 DAx1

] [x1x2

]+

[a

x1Da

x1 x2

]Operando en la ultima ecuacion, es facil demostrar que el modelo dinamico de La-grange del proceso toma la forma:

u = P x + d (2.41)

P =1

(HH CC)[

HHA DAx1CCA DAx1

]

d =1

(HH CC)[

HHa

x1 Dax1 x2CCax1 + Dax1 x2

]

2.8.4. Modelo Dinamico Lineal del Proceso

La placa de orificio instalada en la tubera del flujo de salida qD produce un flujoturbulento que para variaciones pequenas del nivel h se puede aproximar como [13]:

qD =2h

Rh(2.42)

donde Rh es la resistencia hidraulica del tanque, la cual se puede determinar de [13]:

Rh =h

qD(2.43)

donde h y qD son los valores en estado estacionario de h y qD respectivamente.Reemplazando (2.42) en (2.35), se obtiene la ecuacion lineal de estado del nivel:

h = 2RhA

h +1

AqC +

1

AqH (2.44)

En funcion de las variables de estado definidas anteriormente, (2.44) toma la forma:

x1 = 2RhA

x1 +1

Au1 +

1

Au2 (2.45)


Asumiendo que la variacion del nivel h es mnima, entonces podemos hacer lassiguientes sustituciones en la ecuacion de estado (2.38) correspondiente a la tempe-ratura en el tanque:

h = h qD = a

h = a

h = qD

donde el valor estacionario qD se calcula de (2.42). Tales reemplazos nos permitenobtener la siguiente descripcion lineal de la dinamica de la temperatura:

= qDAhD

+CC

hDqC +

HH

AhDqH (2.46)

Empleando las variables de estado definidas anteriormente, (2.46) toma la forma:

x2 = qDAhD

x2 +CC

AhDu1 +

HH

AhDu2 (2.47)

La ecuacion de estado lineal del proceso se obtiene juntando las ecuaciones (2.45) y(2.47):

x = Ax + Bu (2.48)

x =

[x1x2

]=

[h

]u =

[u1u2

]=

[qCqH

]

A =

2RhA 00 qD

AhD

B = 1A 1A

CCAhD

HHAhD

La ecuacion de salida es la misma expresion dada en (2.40).

2.9. Respuesta Transitoria de los Procesos

2.9.1. Respuesta al Escalon

Asumamos que la respuesta de un sistema (su curva de reaccion) a una entradatipo escalon posee la forma mostrada en la Fig. 2.18, el cual es el caso en muchossistemas industriales denominados autoregulados. Observar en la Fig. 2.18 que larespuesta y0 en el tiempo t1 se debe a la entrada tipo escalon u0. Cuando la senalescalon de entrada cambia de u0 a u1, entonces se produce la curva de reaccion y(t)mostrada, la cual empieza en t1. Este tipo de respuesta se puede aproximar medianteuna FT de primer orden en cascada con una FT del tiempo muerto:

Gp(s) =y(s)

u(s)=

Kp(Ts + 1)

es Kp =y1 y0u1 u0 (2.49)

donde Kp es la ganancia proporcional, T es el retardo de primer orden o la constantede tiempo y es el tiempo muerto o retardo puro. Los parametros T y se obtienengraficamente trazando una tangente que toque el punto de tangencia (P.T.) sobre lacurva de reaccion.

La curva de reaccion mostrada en la Fig. 2.18 tambien se puede aproximar me-diante una FT de orden n de la forma:

G(s) =y(s)

u(s)=

Kp(Tns + 1)n

Kp =y1 y0u1 u0 (2.50)

Los parametros n y Tn de (2.50) se determinan empleando la Tabla 2.6.

2.9 Respuesta Transitoria de los Procesos 35

u

u

0

1

u

t t0 1 t t0 t1

y

y

y0

1

T t

Ts + 1

e syu P.T.

autoreguladoProceso

PK

Fig. 2.18: Curva de reaccion de un sistema.

Tabla 2.6: Determinacion de los parametro n y Tn de (2.50).

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

/T 0.104 0.218 0.320 0.410 0.493 0.591 0.641 0.709 0.775

Tn/T 0.368 0.270 0.224 0.195 0.175 0.151 0.148 0.140 0.132

Ejemplo 2.2

Determinar dos modelos dinamicos que describan el comportamiento velocidad fre-nada de un motor DC a partir de su curva de reaccion, semejante a la mostrada en laFig. 2.18. Esta curva se obtuvo manipulando la entrada u del sistema, un generadorde voltaje continuo. Los datos ledos fueron: u0 = 10 V, u1 = 20 V, y0 = 400 rpm,y1 = 600 rpm, el tiempo muerto = 2 s y T = 9.2 s. Determinar la ganancia nor-malizada del sistema sabiendo que la entrada maxima de voltaje es 40 V y el rangodel instrumento de medicion de rpm a la salida es de 0 a 1000 rpm.

Solucion: El primer modelo dinamico se halla con la ecuacion (2.49) donde = 2 sy T = 9.2 s:

G(s) =y(s)

u(s)=

Kp(Ts + 1)

es Kp =y1 y0u1 u0 =

600 40020 10 = 20

rpm

V

El segundo modelo dinamico se refiere a la ecuacion (2.50). Con los datos propor-cionados en el ejemplo se obtiene: /T = 0.217. Empleando la Tabla 2.6 se puededeterminar: n = 3 y Tn/T = 0.270, lo que implica: Tn = 2.484 s. La FT resulta:

G(s) =y(s)

u(s)=

Kp(Tns + 1)n

=20

(2.484s + 1)3

La ganancia normalizada Kpn se determina de:

Kpn =600400100002010400

=0.2

0.5= 0.4


Caso Especial

Para el caso especial:0 < /T < 0.104

la dinamica del sistema autoregulado se puede aproximar mediante la siguiente FTde segundo orden:

G(s) =Y (s)

U(s)=

KP(T1s + 1)(T2s + 1)

KP =y1 y0u1 u0 (2.51)

donde T1 y T2 son dos constantes de tiempo que se relacionan mediante la ecuacion:

T1 = kT2 k > 1

La constante k se determina usando la Tabla 2.7.

Tabla 2.7: Determinacion de los parametro T1 y T2 de (2.51).

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

/T 0.094 0.090 0.085 0.080 0.075 0.069 0.064 0.058 0.053

T1/T 0.238 0.175 0.140 0.120 0.107 0.097 0.088 0.081 0.074

Ejemplo 2.3

Determinar el modelo que describa la dinamica de un sistema mecatronico de veloci-dad a partir de su curva de reaccion, semejante a la mostrada en la Fig. 2.18. En estecaso, los datos ledos fueron: u0 = 5 V, u1 = 15 V, y0 = 200 rpm, y1 = 300 rpm, = 2 s, T = 22 s.

Solucion: El modelo dinamico se refiere a la ecuacion (2.51). Dado que /T = 0.09,empleando la Tabla 2.51 se determina que k = 2 y T1/T = 0.175, lo que implica queT1 = 3.85 s y T2 = kT1 = 7.7 s. Como KP = (300200)/(155) = 10 rpm/V, la FTpedida es:

G(s) =Y (s)

U(s)=

KP(T1s + 1)(T2s + 1)

=10

(3.85s + 1)(7.7s + 1)

2.9.2. Metodo del 28.3% y 63.2%

La Fig. 2.19 muestra la curva de reaccion para el metodo 28.3 % y 63.2 %. En estemetodo se determinan los tiempos t28.3 % y t63.2 % correspondientes a las magnitudes0.283y y 0.632y, respectivamente. En base a estos valores, los parametros de laFT dada en la ecuacion (2.49) se determinan de:

T = 1.5(t63.2 % t28.3 %) = t63.2 % T (2.52)

2.9 Respuesta Transitoria de los Procesos 37

u

u

0

1

u

t t0 1 t t0 t1

y

y

y0

1y0.632 y

t

0.283 y

t

t 63.2%

28.3

Ts + 1e s

yautoregulado

Proceso

PKu

u

Fig. 2.19: Curva de reaccion para el metodo 28.3 % y 63.2 %.

2.9.3. Otras Respuestas al Escalon y al Impulso

Los sistemas autoregulados presentan una respuesta finita (constante o cero) aentradas de prueba escalon o impulso. Sabemos que cuando la entrada u(t) es unescalon o un impulso de magnitud A, sus correspondientes transformadas de Laplaceson u(s) = A/s y u(s) = A respectivamente.

El siguiente proceso de segundo orden se emplea para explicar las especificacionesde diseno en el dominio del tiempo como veremos en la siguiente seccion. La FT deeste sistema es:

Gp(s) =y(s)

r(s)=

2ns2 + 2ns + 2n

(2.53)

donde n es conocida como la frecuencia natural de oscilacion y es el coeficiente deamortiguamiento. Cuando r(s) = A/s (entrada tipo escalon de magnitud A), y(s) en(2.53) toma la forma:

y(s) =A2n

s(s2 + 2ns + 2n)(2.54)

Tomando la transformada inversa de Laplace (formula (31) de la Tabla A.1) se ob-tiene:

y(t) = A

[1 n

dentsen(dt + )

](2.55)

La Fig. 2.20 (grafico superior izquierda) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de. Notar que para 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada. La transformadainversa de laplace de (2.54) para 1 se obtiene empleando la formula (32) de laTabla A.1.

Cuando u(s) = A (entrada tipo impulso), y(s) en la ecuacion (2.53) se formulacomo:

y(s) =A2n

s2 + 2ns + 2n(2.56)

Tomando la transformada inversa de Laplace (formula (29) de la Tabla A.1) resulta:

y(t) =A2nd

entsen dt (2.57)

La Fig. 2.20 (grafico superior derecha) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de. Notar tambien que para 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada.


Una forma alternativa de (2.53) incluye un tiempo muerto . Esto es:

G(s) =y(s)

u(s)=

2

s2 + 2s + 2es (2.58)

Para una entrada tipo escalon (u(s) = A/s) en (2.58) y aplicando la propiedad (5)de la Tabla A.2 en (2.55), se obtiene la respuesta y(t) al escalon correspondiente a(2.58):

y(t) = A

{1 n

den(t)sen[d(t ) + ]

}(2.59)

La Fig. 2.20 (grafico inferior izquierda) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de. De nuevo, notar que para 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada.

Si la entrada es un impulso (u(s) = A) en (2.58) y aplicando la propiedad (5)de la Tabla A.2 en (2.57), se obtiene la respuesta al impulso y(t) correspondiente a(2.58):

y(t) =A2nd

en(t)sen d(t ) (2.60)

La Fig. 2.20 (grafico superior derecha) muestra y(t) para A = 1 y varios valores de .Notar que para 1 la respuesta se vuelve sobreamortiguada. Para obtener la Fig.2.20, ejecutar el programa r1.m listado abajo.

% r1.m RESPUESTAS AL ESCALON Y AL IMPULSO DE PROCESOS AUTOREGULADOS

clear all; close all; clc; wn=3; tau=2; s=tf(s);

subplot(221), for z=[0.2:0.4:1.8]; G1=wn^2/(s^2+2*z*wn*s+wn^2);

step(G1), hold on, end

subplot(222), for z=[0.2:0.4:1.8]; G2=wn^2/(s^2+2*z*wn*s+wn^2);

impulse(G2), hold on, end

subplot(223), for z=[0.2:0.4:1.8]; G3=wn^2*exp(-tau*s)/(s^2+2*z*wn*s+wn^2);

step(G3), hold on, end

subplot(224), for z=[0.2:0.4:1.8]; G4=wn^2*exp(-tau*s)/(s^2+2*z*wn*s+wn^2);

impulse(G4), hold on, end, print -deps -f r1

Respuesta al Escalon en Procesos No Autoregulados

Procesos no autoregulados, como es el caso de la posicion angular del eje de unmotor de CC, o el aumento del nivel de un lquido dentro de un tanque sin tubera desalida, poseen una respuesta al escalon no finita, tal como se ilustra en la Fig. 2.21.La dinamica de tales procesos se puede modelar como:

Gp(s) =Kps

es R = Kp (2.61)

donde es el tiempo muerto, R es la razon de reaccion unitaria y Kp es la gananciaproporcional. Los parametros R y se obtienen graficamente, tal como se ilustra enla Fig. 2.21.

A manera de resumen, la Tabla 2.8 muestra la FT (funcion de transferencia) devarios procesos en funcion de su comportamiento.

2.10 Problemas 39

0 5 100

0.5

1

1.5

2

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 102

0

2

4

Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 100

0.5

1

1.5

2

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 102

0

2

4

Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

0.2 0.2

0.2 0.2

11.8 1.8

1 1.8 1.8

Fig. 2.20: Respuestas al escalon y al impulso de procesos de segundo orden en funciondel parametro .

yu

Procesono autoregulado

R t

es

s

A

u y

K

R = K

p

p

Fig. 2.21: Respuesta al escalon de un proceso no autoregulado.

2.10. Problemas

Problema 2.1 Amplificador de Opamps

La Fig. 2.22 muestra un amplificador un seguidor de voltaje y dos opamps inversores.Demostrar que este proceso es proporcional con ganancia Kp = Rf/Ri, donde Rf ,Ri y R son resistencias.


Tabla 2.8: FT (Funcion de Transferencia) de varios procesos en funcion de su com-portamiento, donde es el tiempo muerto. Otras combinaciones son posibles.

Proceso FT Proceso FT

Proporcional (P) Kp Primer ordenKp

Ts+1

Integral (I)Kps Segundo orden

Kp(T1s+1)(T2s+1)

(primera forma)

DoblementeKps2

Segundo ordenKp

(Ts+1)2

integral (segunda forma)

Proporcional Kp

(1 + 1Tis

)Segundo orden

2n

s2+2s+2n

integral (PI) (tercera forma)

Proporcional Kp (1 + Tds) De orden nKp

(T1s+1)(Tns+1)derivativo (PD) (primera forma)

P + I + D Kp

(1 + 1Tis + Tds

)De orden n

Kp(Ts+1)n

(segunda forma)

Proporcional con Kpes 2do orden con Kp(T1s+1)(T2s+1) e

s

tiempo muerto (1a forma)

Integral conKps e

s 2do orden con 2n

s2+2s+2nes

tiempo muerto (2a forma)

1er orden conKp

Ts+1 es 2do orden con

2ns

s2+2s+2nes

tiempo muerto y derivativo

Vin

VoRRRf

Ri

Seguidorde voltaje

Opampinversor

Opampinversor

Fig. 2.22: Circuito con opamps.

Problema 2.2 Turbina

La Fig. 8.11 muestra una turbina de agua unido a un generador electrico. De-mostrar que:

M(s)

(s)=

KpTs + 1

2.10 Problemas 41

donde M(s) es el momento rotacional generado por la turbina gracias a la acciondel flujo de agua, (s) es la velocidad angular del generador y T su correspondienteconstante de tiempo. Asumir conocido cualquier otro parametro necesario.

Generadorelctrico

Entrada de agua

M

Desague

Turbina

Fig. 2.23: Generador accionado por una turbina de agua.

Problema 2.3 Proceso Tanque Cerrado

En la subseccion 2.8.1 se determinaron el modelo de Lagrange y la ecuacion de estadodel proceso tanque cerrado con agua. Ahora consideremos que se desea controlar elflujo de salida qD = a

h y la temperatura en el tanque . Las fuerzas de control (las

entradas), siguen siendo las mismas: qC y qH . Determinar la ecuacion de estado y elmodelo de Lagrange del proceso para esta situacion.

Problema 2.4 Tanque para Gas

La Fig. 2.24 muestra un tanque de almacenamiento de gas. Demostrar que:

Po(s)

Pi(s)=

1

Ts + 1T = RC

donde Po es la presion del gas dentro del recipiente, Pi es la presion del gas de entrada,R = (Pi Po)/Q es el la resistencia neumatica, Q es el caudal del gas, C = dm/dp(variacion de la masa con respecto a la variacion de la presion) es la capacitancianeumatica, m = V es la masa del gas, V es el volumen del tanque, es la densidaddel gas y T = RC es la constante de tiempo. Se sabe ademas que la capacitancia Cmultiplicada por la variacion de la presion de salida dPo, es igual al gas Q anadidoal recipiente en un diferencial de tiempo dt.

Problema 2.5 Proceso Mecanico

La Fig. 2.25 muestra una proceso mecanico traslacional, donde M es la masa deun cuerpo que esta accionado por una fuerza u. A esta accion se le oponen la fuerzafK = Kx en el resorte y la fuerza de perdidas fB = Bv en el amortiguador, donde K


Pi

Po

R

C

Q

Fig. 2.24: Tanque almacenador de gas.

es la constante del resorte, B es la constante de perdidas, v = dx/dt es la velocidadde la masa M y x su posicion. La ecuacion dinamica de este proceso es:

Mdv

dt= u fK fB

Determine la FT v(s)/u(s) y la ecuacion matricial de estado del proceso sabiendoque x1 = v, x2 = fK , mientras que la salida es: y = x1/K.

B

K

f

f B

K M

v

x

u

Fig. 2.25: Proceso mecanico traslacional.

Problema 2.6 Sistema de Plataformas

La Fig. 2.26 muestra dos plataformas P1 y P2 de masas m1 y m2 acopladas porresorte y amortiguador. El sistema de plataformas descrito tiene como entradas decontrol las senales u1 y u2 generadas por dos actuadores. Las senales de

controldeprocesosv10 arturo rojas

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