CONTROLADOR PID HACIENDO USO DE HERRAMIENTAS DE SIMULACIÓN PARA EL

DESARROLLO Y ANÁLISIS DE LAS TÉCNICAS COMÚNMENTE UTILIZADAS EN LOS PROCESOS

DE DISEÑO EN ESTE TIPO DE APLICACIONES.

Jhon Alexander Díaz A.

Estudiante De IX Semestre

Universidad de Cundinamarca

Facultad de Ingeniería Electrónica

jade7700@gmail.com

1. INTRODUCCIÓN

En cuanto al tema se control se trata, el controlador

mas fácil de diseñar e implementar es el control

ON/OFF, sin embargo este tipo de control no es al

adecuado para la mayoría de sistemas, es por ello que

la mayoría de veces se habla de los controladores PID

ya que son muy sencillos, prácticos y muy efectivos.

Últimamente el diseño de este tipo de controladores se

ha vuelto una tarea muy sencilla gracias a la variedad

de software que se han creado específicamente para

estas aplicaciones, como es el caso de MatLab el cual

entre sus muchas aplicaciones tiene un toolbox

dedicado exclusivamente al control, además existen

otras herramientas que ayudan a realizar tareas

exhaustivas como los procesos de sintonización como

lo es el PIDWindup.

2. Planteamiento

Para este taller se ha definido que para la siguiente

función de transferencia hay que diseñar un

controlador PID.

2

1( )

0.6 1G s

S S

Los parámetros de diseño son los siguientes:

Tiempo de estabilización (Te) a menos del 80%

Máximo sobre-pico (Msp) 3%

Error en estado estacionario (Ess) de 0

3. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Para empezar con el diseño del controlador PID, lo

primero que se tiene que observar y analizar es el

comportamiento del sistema en lazo cerrado para así

conocer el sistema y proceder con la realización del

control de acuerdo a los parámetros establecidos. A

continuación en la figura 1 se muestra el diagrama de

bloques realizado en Simulink.

Figura 1. Sistema en lazo cerrado ante una entrada escalón

unitario

De a cuerdo a la simulación se obtuvo que la señal de

la salida presenta: Te=23 seg. Msp=50% y lo mas

importante posee un Ess=50% lo cual es muy malo. A

continuación en la grafica 1 se puede observar la señal

descrita (se asumió que la amplitud esta dada en

voltios).

Grafica 1. Comportamiento del sistema en lazo cerrado ante una

entrada escalón unitario.

Resumen: En el presente documento se presentan el desarrollo del primer del taller para una

electiva orientada al control, en dicho taller se realizará un controlador para una determinada

función de transferencia, esto con el fin de identificar como este tipo de controladores, siendo

los mas sencillos pueden llegar a controlar un sistema de forma optima, según los parámetros

que como diseñador se quieran conseguir.

Una vez identificado el comportamiento del sistema

en lazo cerrado se prosigue al diseño del controlador.

3.1. Controlador PID

Como primera medida se identificara si el sistema es

críticamente estable ante una ganancia “K” para

determinar si se puede utilizar el método de Ziegler-

Nichols en lazo cerrado para determinar los valores

iniciales del controlador PID, ya que por observación

de la grafica 1, se puede descartar el método Ziegler-

Nichols en lazo abierto ya que no tiene un

comportamiento en forma de “s”. A continuación se

muestra el modelo en diagrama de bloques para este

método.

Figura 2. Diagrama de bloques según el método de Ziegler-Nichols

en lazo cerrado

La guanacia K se determina por medio del método de

Routh-Hurwits, en donde la función de transferencia

del sistema esta dada por:

2

2

1

0.6 1( )

10.6 1

KS S

G sK

S S

2( )

0.6 (1 )

KG s

S S K

Aplicando Routh-Hurwits:

2

1

0

0 1

1 2

3 0

S K

S

S b b

Resolviendo:

0 2b K

1 0b

Por consiguiente K es estable para todos lo valores

positivos, es decir que el método de Ziegler-Nichols

en lazo cerrado no se puede usar. Por consiguiente se

utilizara el método de Astrom-Hagglund (AH) ya que

por observación de la grafica no aplica el método de

Kaiser-Rajka (KR) porque no tiene tiempo muerto. El

método de AH hace que el sistema este forzado a

oscilar por medio de un “relay” así como se muestra a

continuación.

Figura 3. Diagrama de bloques para el método de Astrom-

Hagglund

A continuación en la grafica 2, se muestra la respuesta

del sistema ante el “relay” de amplitud 8, en donde

hay que determinar los valores de “Pc”, “a” y “Kc”.

Grafica 2. Comportamiento del sistema haciendo uso del método de

Astrom-Hagglund

A continuación se hallan los valores correspondientes

para poder hallar los valores iniciales del controlador

PID (esto únicamente con fines académicos de

aprendizaje, ya que haciendo uso de la herramienta

PIDWindup este proceso se hace de una manera muy

facil).

33.11 32.28 0.31Pc

0.02378 0.023830.023

2a

Para determinar Kc se hace uso de la siguiente

formula, en donde “d” es la amplitud del “relay”

4 dKc

a

Entonces se tiene que el valor de Kc es:

4 8442.8

0.023Kc

De esta manera ya se pueden obtener lo parámetros

para el PID haciendo uso de la tabla de Ziegler-

Nichols, la cual se muestra a continuación:

Tabla 1. Forma de hallar las contantes Kp Ti Td

Pero también hay que tener en cuenta la ecuación de

un control PID.

0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

td

U t Kp e t e t d t Td e tTi dt

Remplazando los valores obtenidos según la tabla se

tienen los siguientes valores:

Kp = 0.6*442.8 = 265.68

Ti = 0.5*0.31 = 0.155

Td = 0.31/8 = 0.038

A continuación se muestra la grafica obtenida del

controlador PID con los parámetros de inicio.

Grafica 3. Sistema con el controlador PID sin sintonizar.

A de mas de la señal obtenida a la salida del sistema

también hay que ver la señal a la salida del

controlador ya que esta es muy importante a la hora de

la implementación del controlador. En este caso se

presenta que mediante los parámetros de inicio la

salida del controlador presenta un pico de voltaje de

250V lo cual es absurdo (ver grafica 4), por

consiguiente a la hora de la sintonización hay que

procurar que esta amplitud no sobrepase los 5V y que

se cumplan las especificaciones de diseño.

Grafica 4. Señal de salida del controlador

RECOMENDACIÓN: Si se esta utilizando MatLab 2010 tener

especial cuidado a la hora de utilizar el bloque PID en Simulink ya

que a diferencia de las versiones anteriores que venían configuradas por defecto, las ultimas versiones del software traen

aplicaciones que las demás no tienen, por consiguiente hay que

configurar todo, es decir hay que configurar desde que tipo de controlador se quiere, si un paralelo o un ideal (configurarlo como

ideal) hasta el orden del filtro. Por consiguiente se recomienda si

no se esta muy familiarizado con el software o este tipo de aplicaciones, lo mejor es utilizar las versiones anteriores a la 2010,

sin embargo las versiones anteriores pueden presentar algunos inconvenientes (mas adelante se mencionaran).

Ahora se intenta sintonizar el controlador lo mejor

posible para que cumpla con los parámetros de diseño

estipulados al principio. Una forma practica para

realizar la sintonización del controlador es haciendo

uso del software PIDWindup.

Una vez realizada la sintonización se obtuvieron los

siguientes valores:

Kp = 0.66 Ti = 1.21 Td = 1.25

Es decir:

P=0.66 I=0.66/1.21 D=0.66*1.25

Y la grafica resultante con PIDWindup fue la

siguiente:

Grafica 4. Sistema con el controlador PID sintonizado en base a los

parámetros de diseño con la aplicación PIDWindup

Como se puede observar en la grafica anterior, se

presenta el comportamiento del sistema con el PID así

como la salida del controlador, en donde la salida del

controlador no excede la referencia con el fin de no

dañar el actuador y asegurarse de que el sistema pueda

responder a esa amplitud que por lo general es un

voltaje, por otra parte se obtuvo un Msp del 0% un

Ess=0% y un Te=4.5 Seg. Con esto se puede decir que

se cumplieron a cabalidad con los parámetros de

diseño establecidos.

Sin embargo al llevar estos resultados a MatLab no

coinciden, sin embargo es una buena aproximación a

lo que se quiere obtener, por consiguiente la

sintonización resulta mas amena o menos exhaustiva.

Sin a embargo es en este punto en donde entran en

conflicto las versiones de MatLab y la aplicación

PIDWindup (esta ultima por lo que se ha

mencionado). Es por ello que en este documento se

han decidido dar unos “tips” para la utilización y

obtención de un diseño optimo.

Los inconvenientes comienzan con las últimas

versiones de MatLab (ML) ya que por la

recomendación que se cito anteriormente, se puede

obtener una salida o respuesta del sistema coherente

(ver grafica 6) a comparación de las versiones

anteriores, sin embargo al observar la salida del

controlador se obtienen señales con amplitudes muy

elevadas (que personalmente no lo logre solucionar),

así como se observa en la grafica 5. Por otro lado se

dice que en las últimas versiones de ML se tiene una

respuesta más coherente ya que se simulo el

controlador por medio de Simulink y por medio de

comandos con las dos versiones de ML (2007 y 2010)

y el resultado fue que por medio de comandos con las

dos versiones se obtuvo el mismo resultado (hasta

aquí ningún problema), pero al contrastar los

resultados obtenidos con Simulink fueron diferentes,

sin embargo la versión 2010 de ML coincidía con los

resultados obtenidos por medio de comandos (ver

grafica 7).

Grafica 5. Salida del controlador PID por medio de Simulink.

(2010)

Grafica 6. Sistema con el controlador PID sintonizado en base a los

parámetros de diseño con la aplicación PIDWindup, pasado a

MatLab (2007 y 2010) con comandos

Grafica 7. Sistema con el controlador PID sintonizado en base a los

parámetros de diseño con la aplicación PIDWindup, pasado a

MatLab (2010) por medio de Simulink.

Pero como ya se menciono, utilizando Simulink de

ML 2007 la señal resultante no estaba muy acorde con

los resultados vistos en las dos graficas anteriores, a

continuación se puede ver esto.

Grafica 8. Sistema con el controlador PID sintonizado en base a los

parámetros de diseño con la aplicación PIDWindup, pasado a MatLab (2010) por medio de Simulink.

Aunque la respuesta de ML 2007 concuerde un poco

mas con los resultados del PIDWindup (a

comparación de los resultados de las dos graficas

anteriores) se prefiere confiar mas en los hechos

(contrastación códigos y simulink) claro que esta es la

opinión del autor de este documento, cada quien

puede tener su punto de vista y trabajar como quiera,

estas son unas recomendaciones.

Aunque la versión 2007 de ML no es muy eficiente en

cuento a lo que se acabó de ver, es mucho mas

confiable en cuanto a la señal de salida del

controlador, ya que no arroja esos valores tan elevados

como se vio en la grafica 5, a continuación se observa

el resultado obtenido mediante esta versión.

Grafica 9. Salida del controlador PID por medio de Simulink.

(2007)

En base a lo anterior se ha decidido trabajar con

código y para ver la salida del controlador utilizar la

versión 2007 de ML.

Por consiguiente lo valores del controlador

sintonizado son los siguientes:

P=2.5 I=2.5/0.65 D=2.5*1.5

La grafica resultante es la siguiente:

Grafica 10. Sistema con el controlador PID sintonizado de acuerdo

a los parámetros de diseño.

Como se puede observar en la grafica anterior se

obtuvo un Msp del 0% un Ess=0% y un Te=0.92 Seg.

Y la salida del controlador se muestra a continuación:

Grafica 11. Salida del controlador PID sintonizado

Como se puede ver el diseño del controlador se realizo

de manera optima, ya que se cumplen a cabalidad con

los criterios de diseño y la salida del controlador no

excede los 5V, este ultimo depende de como se va a

implementar el controlador ya que lo que importa es

que el elemento pueda brindar el voltaje, se habla por

lo general de 5V ya que comúnmente se trabaja con

microcontroladores y estos el máximo voltaje que

brindan son 5V.

Comúnmente una de las pruebas que se hace para

verificar el funcionamiento del controlador son las

perturbaciones, observa a continuación como actúa el

sistema ante una perturbación (se utilizo otra

sintonización para poder trabajar con simulink ya que

por código no es posible o no se tiene el conocimiento

de como ingresar las perturbaciones).

Grafica 12. Salida del controlador PID sintonizado para simulink

ante una permutación de 0.5V

Como se puede observar un controlador PID reacciona

ante una perturbación como si se tratara de un escalón

de entrada, es decir tiende a estabilizarse según los

parámetros establecidos para el controlador.

4. CONCLUSIONES

El uso de herramientas o software para el diseño y

análisis de estas aplicaciones, son de gran ayuda ya

que permiten ver como se comporta el sistema y para

poder diseñar un controlador de acuerdo a unos

parámetros requeridos, sin embargo hay que saber

utilizar estas herramientas ya que si se hace un mal

uso de ellas se llegara a hacer un mal diseño y perder

todo el trabajo realizado.

El diseño de controladores PID es una tarea

relativamente sencilla pero que puede a llegar a ser

tediosa, más que todo al momento de sintonizar el

controlador para que funcione como se quiere, sin

embargo es uno de los controladores mas fáciles de

diseñar e implementar que presentan un control muy

bueno, ya que como se pudo ver en el ejemplo

trabajado en el documento se logro disminuir el

tiempo de estabilización a casi el 90% con respecto al

sistema en lazo cerrado, aunque esto puede variar si se

llegase a implementar el sistema, ya que mechas veces

dependiendo de la naturaleza del mismo, el sistema no

puede reaccionar tan rápido como se estipula en la

parte teórica, por ello también es importante

conocerlo. Por otro lado se pudo ver que se paso de un

error en estado estacionario del 50% al 0% lo cual es

muy bueno en cualquier sistema, ya que lo que

siempre se busca es que se siga la señal deseada o

setpoint.

Bibliografía

[1] Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Sistemas De

Control Moderno, decima edición, Pearson, 2005.

[2] Virginia Mazzone, Controladores PID, Control

Automático 1, Automatización y Control Industrial

Universidad Nacional de Quilmes, Marzo 2002,

disponible en la página de internet:

http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/ca

ut1/Apuntes/PID.pdf

[3] Ing. Mauricio Améstegui Moreno, Universidad

Mayor De San Andrés La Paz – Bolivia, apuntes de

control PID, archivo pdf, disponible en la página de

internet:

http://jvr33.free.fr/pdf_laser/03_electronique/Control

%20Pid.pdf