2º Presente la definición y las matrices correspondientes de la Controlabilidad y Observabilidad y muestra un ejemplo de cálculo de cada caso

CONTROLABILIDAD:

El concepto de controlabilidad se puede enunciar con referencia al diagrama de bloques de la figura:

Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso, partiendo de un estado inicial cualquiera, se puede llevar a un estado final arbitrario en un tiempo finito también arbitrario, a través de alguna acción control no restringida u(t).

OBSERVABILIDAD:

La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que genera. La figura muestra esta idea:

La observabilidad se presenta conceptualmente como una idea complementaria a la de controlabilidad; si la controlabilidad estudia la relación entrada-estado, ahora se va a ver la relación estado-salida. Se verá en que sistemas es posible conocer el estado en base a la entrada y la salida.- Esencialmente un sistema es observable si cada variable de estado del sistema “afecta” alguna de las salidas. En otras palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre las variables de estados midiendo las salidas y las entradas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es completamente observable, o simplemente no observable.

Considere que un proceso lineal multivariable e invariante con el tiempo se describe mediante las siguientes ecuaciones dinámicas:

dx (t)dt

=Ax (t )+Bu (t )(1)

y (t )=Cx ( t )+Du (t )(2)

En donde:

x(t) es el vector de estado de (nx1)

u(t) es el vector de entrada o acción de control de (px1)

y(t) es el vector de salida de (qx1)

A, B, C y D las matrices de los coeficientes con dimensiones apropiadas. Dado un sistema situado en un estado inicial arbitrario x(t0), se dice que es Completamente controlable si puede ser llevado a otro estado X(tf) mediante un vector de entrada (señal de control) sin restricciones en un tiempo finito. El siguiente teorema demuestra que la condición de la controlabilidad depende solo de las matrices A y B. El teorema también proporciona un método de prueba para la controlabilidad del estado.

Teorema 1:

Para que la planta descripta por las ecuaciones de estado (1) sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz denominada de controlabilidad S, tenga rango máximo, es decir, n.

Snxnp= [B¿|A¿B|…∨(A¿)n−1B¿]Ejemplo:

Sea el sistema descrito por:

Teorema 2:

(Solo para sistemas SISO, lineales invariantes) “Para un sistema de simple entrada simple salida, (SISO), por ende: (q=p=1), descrito por la ecuación de estado (1), el par (A,B) será controlable si A y B están en la forma canónica controlable o son transformables a la misma mediante una transformación lineal de semejanza”. La prueba de la segunda parte del teorema es directa ya que como se especificó antes esta clase de transformación requiere que S tenga rango n, o sea no singular, para que exista P-1 pues P-1 = M-1.S-1. En cuanto a la primera parte del teorema se demuestra, si para este caso, la matriz S tiene siempre rango n. Si en la Función Canónica Controlable las matrices de la planta son A1 y B1, donde como se sabe:

Como se observa S será una matriz triangular inferior con la diagonal secundaria de unos, por ende el rango de S será (+1 o -1) dependiendo de n, por lo tanto su rango será siempre n y en consecuencia la planta en la F.C.C es controlable.

Ejemplo: Sea la planta en la F.C.C

Teorema 3:

“Para una planta descrita por la ecuación (1) si está en la F. C. Diagonal, el par [A,B] es controlable si la matriz B no tiene filas totalmente nulas. La demostración es evidente, pues las ecuaciones de estado están completamente desacopladas unas de otras y la única manera de que los estados sean “alcanzados” es que los mismos estén controlados directamente por al menos una entrada”. Por lo tanto si alguna fila de B tiene todos los elementos ceros, esto indica que la correspondiente variable de estado no será “alcanzada” por ninguna de las entradas. Si la planta es de una entrada solamente, ningún elemento de la columna de B debe ser nulo, evidentemente. El teorema no sería válido para plantas en las que la matriz A se puede diagonalizar aun cuando hay valores característicos repetidos, todos los valores característicos repetidos asociados a bloque de Jordán de orden 1x1 Esto se aclara con el teorema siguiente cuando hay valores característicos repetidos. Antes veremos el ejemplo siguiente:

Teorema 4:

Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordán asociado con cada valor propio múltiple, y dice: “Si A está en la forma canónica de Jordán el par [A, B] es controlable, si todos los elementos en las filas de B que correspondan a la última fila de cada bloque de Jordán no son cero. Se entiende que las filas de B que corresponden a los valores característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”. La prueba de este teorema es simple, ya que la última fila de cada bloque de Jordán corresponde a una ecuación de estado que está completamente desacoplada de las otras, por ende debe ser “alcanzada” por alguna entrada. Los elementos en las otras filas de B en cada bloque de Jordán, no necesitan ser diferentes de cero ya que los estados correspondientes están todavía acoplados a través de los números unos de los bloques de Jordán de la matriz A.

Ejemplo 4:

Una planta a controlar de cuarto orden tiene tres de sus cuatro valores característicos iguales: λ1= λ2 = λ3 = λ y λ4 diferente, y tiene una sola entrada. Supongamos que las matrices A y B son:

El teorema dice que b3 y b4 deben ser distintos de cero pero b1 y b2 pueden ser ceros y el sistema será controlable. Las ecuaciones de estado son:

El diagrama de estados sería el indicado en la figura. Como se puede apreciar b1 y b2 pueden ser nulos o no pero b3 y b4 deben ser distintos de cero para que la planta sea controlable.

8º Haga una breve síntesis de cómo usar el diagrama de Bode para analizar la estabilidad

Se basa en aplicar como entrada del componente a ensayar una señal senoidal U de amplitud constante y frecuencia variable. Para cada frecuencia, la respuesta Y será otra señal senoidal de la misma frecuencia pero con distinta amplitud y desfasada respecto de la señal de entrada U. El cociente entre la amplitud de la señal de salida y la amplitud de la señal de entrada es la ganancia del componente, pero no se representa esta ganancia sino el módulo (MdB) expresado en decibelios y se calcula como el logaritmo decimal de la ganancia multiplicado por 20. La frecuencia se expresa en radianes/segundo, siendo su relación con la frecuencia en hertzios:

Frecuencia (rad/seg) = frecuencia (Hz) / (2·Pi)

Al yo querer analizar un sistema mediante el diagrama de bode teniendo como dato la función de transferencia (G(s)) correspondiente puedo utilizar el Matlab para rápidamente obtener el diagrama de magnitud y fase de mi sistema, pero yo tendré dos posibles posibilidades de respuesta las cuales son:

Sistema estable Sistema inestable

Estabilidad:

La siguiente figura resume el concepto de estabilidad absoluta en un sistema identificado con una función de transferencia Gs y un controlador con una función de transferencia Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal senoidal A y consigna U igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B que es opuesta a la realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de signo en el nudo de señales.

En estas condiciones, el sistema convierte la señal A en otra señal Y que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y respecto de A no puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede cerrarse el lazo, uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por el contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces las señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura.

En estas condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo, resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que se iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A, resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa, ya que se iguala con B.