control ii, conceptos basicos

8/19/2019 Control II, conceptos basicos

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Universidad de Antioquia

Facultad de ingeniería

Departamento de ingeniería

eléctrica

Medellín

Profesor

!elson "ondo#o $spina

Por

"e%n Felipe &erna'Diego (ecerra (uritica'

Aar%n )osé *asadiegos $sorio'

*ontrol ++, -ra.a/o deconceptos.sicos

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Algo he aprendido en una larga vida: que toda nuestra ciencia,medida contra la realidad, es primitiva e infantil, y sin embargoes lo más precioso que tenemos.

4Al.ert 5instein


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Sistema Realimentado:

R1= 10

R2= 20

R3= 30

R4= 40

R5= 50

R6= 60

Planta:

G p (s )= (s+50)( s+10)

(s+60)( s+40)( s+30)( s+20) (1)

1 Sin controlador (KcGc=1), analice el comportamiento del sistema

identificando:

Para realizar el análisis del rango de estabilidad, sobreamortigamiento,

sbamortigamiento, oscilaci!n e inestabilidad del sistema, se realiz! n

análisis mediante el lgar geom"trico de ra#ces $%&R', este a partir de la

fnci!n de lazo abierto, con el ob(eti)o de intir más fácil la respesta del

sistema de lazo cerrado basándonos en *e los polos + ceros de lazo abierto

corresponden a los )alores *e toman las ra#ces de lazo cerrado cando p

)ar#a de cero a infinito-

.n la gráfica 1 se mestra el %&R de lazo abierto para la fnci!n G p (s ) .


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&rafica 1- %&/ sistema sin controlador

a Rango de estabilidad para variaciones de Kp.

primera )ista, lo más caracter#stico *e se nota de "ste lgar geom"trico

de ra#ces es *e para cal*ier )alor de la ganancia p $ 0


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&rafica 2-: respesta de fnci!n de lazo cerrado ante na entrada escal!n

)ariando p de 1 a 1000

8igra 2-: respesta de fnci!n de lazo cerrado ante na entrada escal!n

)ariando p de 1000 a 10000-


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8igra 3-: respesta de fnci!n de lazo cerrado ante na entrada escal!n

)ariando p de 9000 a 100000-

Para poder comprender los resltados + saber la raz!n de por*e el sistema

se )el)e más rápido cando se amenta la ganancia se izo n análisis m+

easti)o a cada smando del nmerador de la fnci!n de transferencia de

lazo abierto- continaci!n se mestran la fnci!n de lazo abierto sinfactorizar $ecaci!n 2'-

G p (s )= s

2+60 s+500(s+60)( s+40)( s+30)( s+20) $2'

.l paso sigiente *e se realiz! fe descomponer esta fnci!n en tres

diferentes a las *e se le izo n análisis por separado de s respesta de

lazo cerrado en el tiempo + como )ariaba "sta ante )ariaciones de p, perocomo el resltado etra;o se )e#a para ganancias grandes entonces se toma

na ganancia grande + se obser)a *e es lo *e pasa con cada na de las

fnciones, pero antes se mestra en la gráfica 4, el resltado con na

ganancia de 1-

G1 ( s)= s

2

(s+60)(s+40)( s+30)( s+20) $3'


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G2 ( s)= 60 s

(s+60)(s+40)( s+30)( s+20) $4'

G3 ( s)= 500

(s+60)(s+40)( s+30)( s+20) $5'

&ráfica 4: resltados de la ecaci!n de lazo cerrado para na gananciade 1-

%o *e se pede decir de la gráfica 4 es *e el resltado de la sma de

estas 3 fnciones nos da n tiempo de estabilizaci!n más o menos en 0,333

segndos $este tiempo se calcl! sacando n promedio entre los tiempos

mostrados en la gráfica 4'-

.n la gráfica 5 mostrada a continaci!n, se mestra el resltado de lasfnciones 3, 4 + 5 por separado para na ganancia p = 10000, *e como se

mencion! anteriormente mestra na respesta más rápida + con el análisis

del diagrama deber#a ser más lenta, esto es debido a *e al smar las 3

respestas, las deri)adas + los sobre picos se contraponen en algnos casos

lo *e ace *e el sistema se con)ierta en )ez de más lento e n sistema

más rápido


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&rafica 5: resltados de la ecaci!n de lazo cerrado para na ganancia de

10000-

.n la gráfica 6 se mestra el resltado de la sma de las 3 fnciones *e

aparecen en la gráfica 5- al + como se pede obser)ar el resltado da na

estabilizaci!n en 0,15 segndos-

&rafica 6- Resltado de la sma de las 3 ecaciones &1, &2, &3-


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lgo importante *e a+ *e destacar es *e las )ariaciones en la )elocidad

son m+ pe*e;as cando se )ar#a la ganancia, lo *e nos permite decir *e

el sistema tal + como es, no podrá cambiar s )elocidad a menos de *e se le

agan cambios notorios en los polos + ceros-

.l anterior análisis se realiz! con respecto a la )elocidad del sistema sintener en centa si para los )alores de p *e lo acen sobreamortigado,

sbamortigado, cr#ticamente amortigado, oscilatorio o inestable- .sto se

izo en el análisis de estabilidad, debido a *e el sistema siempre será

estable-


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b Rango de p para el cal el sistema es:

i Sobreamortiguado. .n na sola figra grafi*e la respesta al

escal!n )ariando $5 )alores', en otra, la respesta al implso-

.pli*e s resltado-

Para na ganancia desde 0


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&rafica >- Respesta al implso + al escal!n, para la fnci!n detransferencia de lazo cerrado con ganancias dentro del rango

sobreamortigado-

continaci!n se procede a eliminar las deri)adas $)er ecaci!n ' + mirar

*e scede7 analizando las se;ales se pede apreciar *e ante la se;al

escal!n e implso se tiene n sistema *e se estabiliza más rápido a

medida *e la ganancia es más pe*e;a + tiene total sentido, pes paraganancias pe*e;as se tiene el polo más ale(ado del e(e imaginario, lo cal

dará más )elocidad al sistema-

C (s) R (s )

= K p

( s+60 ) ( s+40 ) (s+30 ) ( s+20 )+ K p(s+50)(s+10) $'

?e pede apreciar en la gráfica 9 el resltado de eliminar las deri)adas de

la fnci!n de transferencia de lazo cerrado + se )e el comportamiento

obtenido salmente ante la entrada al escal!n nitario + el implso nitariode n sistema sobreamortigado- %a amplitd de ambas gráficas concerdan

con lo esperado debido a *e ma+or ganancia se )a a tener ma+or amplitd

+a *e son de cierto modo directamente proporcionales en la fnci!n de

transferencia de lazo cerrado-


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?e pede obser)ar tambi"n en la gráfica 9, *e la respesta ante el escal!n

es predecible +a *e a menor ganancia más rápido se alcanza s estado

estable se tiene *e para =1 s estabilizaci!n ocrre en 0-1>3seg + para

=21 ocrre en 0-3>1seg7 esto se debe a *e para na menor ganancia se )a

a estar más ale(ado del e(e imaginario, lo mismo se pede decir para larespesta ante el implso nitario para na =1 se estabiliza el sistema en

0-25seg + para na =21 se estabiliza en 0-39 seg-

&rafica 9- ?istema de lazo cerrado sin deri)adas para ganancias *e acen

el sistema sobre amortigado-

ii Subamortiguado - .n na sola figra grafi*e la respesta al

escal!n )ariando $5 )alores', en otra, la respesta al implso-

.pli*e s resltado-

?eg@n el lgar geom"trico de ra#ces de nestro sistema, se tiene n polo

dominante con na dinámica sobreamortigada lo cal, al ser dominante +

)ariar el rango de )alores para la ganancia siempre )a a )er n dominio sobre

amortigado, para ciertos )alores de , el inter)alo en el *e se bica la

ganancia con dominio sobreamortigado es aproimadamente desde 0


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al amentar la ganancia se )a a estar tomando )alores para la ganancia

comple(as con(gadas-


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%as componentes sbamortigadas son dadas en parte gracias a las

deri)adas de segndo orden, primer orden + orden cero, *e se encentra

en el sistema como a continaci!n se mestra en la gráfica 10-

&rafica 10- Respesta al escal!n para las diferentes deri)adas del sistema

para n p=3000-

?e pede )er en la gráfica 11 n comportamiento *e +a eplicamos

anteriormente en el nmeral a- + es *e este no concerda con lo esperado

salmente, para n ma+or )alor de la ganancia se )a a estar más cerca del

e(e imaginario lo cal nos )a a dar menos )elocidad al sistema, pero a

contrario de esto, a ma+or ganancia menos )elocidad7 este comportamiento

se debe a las deri)adas *e tiene el sistema, analizando las respestas ante

las entradas se tiene *e ante la entrada al escal!n nitario el sistema para

na ganancia =30500 el sistema se estabiliza en 0,139 segndosaproimadamente + para na ganancia = 500 la estabilizaci!n se da en 0,2

segndos aproimadamente- %o mismo scede ante la respesta al implso,

lo cal no concerda con lo esperado + )isto en el %&R, además se tiene *e

a ma+or ganancia ma+or )a a ser ma+or el sobrepico-


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!val"e el error de estado estacionario del sistema, para cada caso,

identi#icando los coe#icientes est$ticos de posici%n, velocidad &

aceleraci%n. 'oinciden con la respuesta del sistema ante las seales de

entrada correspondientes* !+pliue.

!rror a la posici%n.

aso sobreamortiguado: para el error de estado estacionario se tiene la

epresi!n ess=1/(1+k ) , e)alando en cada )alor de la ganancia obtenemos

los sigientes resltados

-alor de laganancia

!rror /0

i#erencia de la

salida con respecto alescal%n, basado en el

error.

1 99,96 10,9996 = 0,000341

6 99,9 10,999 = 0,0020>

11 99,62 10,9962 = 0,003>05

16 99,44 10,9944 = 0,005524

21 99,2 10,992 = 0,0024

abla 1- .rror de posici!n en caso sobreamortigado-

&rafica 13- Respesta de error de posici!n caso sobreamortigado-

l comparar los resltados epestos en la tabla 1 con lo mostrado en la

gráfica 13, se nota *e los resltados son aproimadamente igales, con


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nas pe*e;as diferencias *e son casados por las aproimaciones tomadas

con la calcladora-

aso subamortiguado: con la misma epresi!n del estado estacionario se

obtiene la sigiente gráfica:

-alor de la

ganancia!rror /0

i#erencia de la

salida con respecto

al escal%n, basado

en el error.

00 >5,20 10,>520 = 0,149

7000 26,4 10,264 = 0,353

100 15,6 10,156 = 0,>433

28000 11,13 10,1113 = 0,>>>8000 >,62 10,0>6 = 0,913

abla 2- .rror de posici!n en caso sbamortigado-

&rafica 14- Respesta de error de posici!n caso sbamortigado-

.n este caso tambi"n se pede obser)ar *e los resltados concerdan en el

programa como en la teor#a-

Para los errores de )elocidad + aceleraci!n del sistema obtenemos *e

ess=∞ , debido a *e para n sistema tipo catro *e es el caso de nestro

sistema, el coeficiente estatico de )elocidad $)' + aceleraci!n $a' soncero7 + por consigiente debido a *e la ecaci!n del error de estado


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estacionario esess=1/ K v +

ess=1/ K a - .n las gráficas 15 + 16 se )e la

respesta para los errores de )elocidad + de aceleraci!n respecti)amente,

esto para diferentes )alores de p-

&rafica 15- Respesta para el error de )elocidad para p igal a 21 + a >000-

&rafica 15- Respesta para el error de aceleraci!n para p igal a 21 + a

>000-


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c ?i a la fnci!n de transferencia de la2o abierto del sistema se le

*ita el polo más pr!imo al e(e imaginario, Cen *" )ar#a la dinámica

del sistemaD .pli*e claramente-

G p= ( s+50 ) (s+10)(s+60 ) (s+40 ) ( s+30)

&rafica 16- %gar geom"trico de ra#ces cando a la fnci!n original de lazo

abierto se le *ita el polo más cercano al e(e imaginario-


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l eliminarle el polo más cercano al e(e imaginario de lazo abierto se

pede obser)ar en el %&R *e cambia la dinámica del sistema, +a *e se le

elimina el sbamortigamiento al sistema, pero a+ *e tener claro *e

cando se tiene ganancias pe*e;as las deri)as del sistema tendrán n

efecto +a *e agregan n sobre pico *e con respecto a la entrada delsistema no es m+ notorio, +a *e de por si para ganancias pe*e;as se

tienen errores m+ grandes, *e es lo mismo *e pasaba cando se ten#a el

polo +a *e en ese caso para ganancias pe*e;as se tienen errores m+

grandes- Eon respecto a la )elocidad podemos notar *e el sistema se

)ol)erá más lento a medida *e amenta la ganancia +a *e el polo en 30 se

)a a dirigir acia el cero en 10 lo cal )el)e el sistema n poco más lento,

se tiene algo m+ crioso + es *e de ne)o el sistema se )el)e más rápido

a medida *e amenta la ganancia, pero al igal *e como se eplic! anterior

mente esto se pede deber a las deri)adas *e se tienen in)olcradas en eldenominador, pero esos cambios en la )elocidad son m+ pe*e;os para

diferentes ganancias-

d ?i a la fnci!n de transferencia de la2o cerrado , para =1 se le

*ita el polo más ale(ado $a la iz*ierda' del e(e imaginario, en *"

)ar#a la dinámica del sistema, Cse pede despreciarD .pli*e s

respesta con base en la repesta al escal!n-

Para responder esta pregnta primero debemos encontrar la fnci!n de

transferencia de lazo cerrado-

C s

R s= KG p

1+ KG p= G p

1+G p=

(s+50)( s+10)(s+60)( s+40)( s+30)( s+20)

1+ (s+50)(s+10)

(s+60)(s+40)( s+30)( s+20)

C s

Rs=

(s+50)(s+10)(s+60)( s+50)( s+30)( s+20)+(s+50)( s+10)

Para encontrar las ra#ces del nmerador o sea los polos de lazo cerrado setiliz! el programa de Fatlab, con el ob(eti)o de simplificar el cálclo, lo

*e se realiz! se pede obser)ar en la imagen 1-


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Gmagen 1- Procedimiento para encontrar los polos de lazo cerrado-

proimando algnos )alores se tiene:

G p= (s+50)( s+10)

(s+60)( s+50)( s+30)( s+20)

/onde el polo más ale(ado al e(e imaginario es el de s = 60

l e)alar la ne)a planta $sin polo' ante la entrada escal!n + graficándola

(nto a la respesta de la planta original $con polo' se obtiene lo sigiente:


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&rafica 1- Respesta ante el escal!n para el sistema de lazo cerrado con +

sin el polo más le(ano al e(e imaginario-

Eomo se obser)a la dinámica del sistema si tiene n cambio notorio, +a *e la

amplitd en el estado estacionario tiene grandes diferencias, inclsi)e la

)elocidad de estabilizaci!n tambi"n tiene cambios con polo + sin polo,

tambi"n se tiene n sobre pico mco ma+or cando se tiene el polo *e

cando no se tiene, por tanto comparando estas con(etras se permite decir

*e al *itar el polo la respesta me(ora, dependiendo de la aplicaci!n-


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e Para cada no de los casos del nmeral b, eli(a n )alor de

representati)o + e)al@a, mediante el diagrama de ode, la

estabilidad del sistema- C?e pede identificar algna relaci!n entre

la dinámica del sistema + los márgenes de 8ase + de &ananciaD

Para el caso del sistema sobreamortiguado se elige na p igal a 21,

mientras *e para el caso subamortiguado tomamos na p igal a 15500-

Sobreamortiguado (Kp=31)

/ebido *e para realizar el analicis de estabilidad de n sistema por medio

del diagrama de bode este se debe graficar, para la fnci!n de

transferencia de lazo abierto, *e es lo *e se pede obser)ar en la gráfica

1>- Para el )alor de ganancia seleccionado se tiene *e el )alor *e margen

de fase + margen de ganancia del sistema son infinitos, esto debido a *e la

respesta de la magnitd nnca crza por 0 + la del ánglo nnca crza por

1>0, lo cal indica *e no a+ )alor para el margen de ganancia ni para el

margen de fase los cales den inestabilidad al sistema, tiene relaci!n con el

%&R pes como se mencion! anteriormente ning@n )alor de p )a a

inestabilizar este-

&rafica 1>- /iagrama de bode de lazo abierto para el sistema

sobreamortigado


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Subamortiguado (Kp=14455)

al + como se pede )er en la gráfica 19, ante na ganancia = 15500 se

tiene c!mo respesta *e para el margen de ganancia no a+ n )alor *e me

lle)e a desestabilizar el sistema, pero si a+ n )alor ante el margen de fase

para desestabilizar el sistema el cal es 42,2 grados- .sto es algo *e no se

pedo notar con el análisis al %gar geom"trico de ra#ces debido a *e esta

respesta es para la fase + mientras *e el %&R nos mestra es la respesta

para el cambio en la ganancia-

&rafica 19- /iagrama de bode de lazo abierto para el sistema

sbamortigado


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# Para el )alor de definido en el nmeral 4-

i grafi*e el diagrama de ode del sistema + analice s

comportamiento en frecencia-

/ebido a *e en el sistema presentado no t)imos na respesta inestablepara ning@n )alor de p, la cal es la pedida en este nmeral, se disidi! elegir

n )alor de p para el cal el sistema fera sbamortigado, es decir con

p=15500-

Ha *e la dinámica del sistema mediante este diagrama se )e es con la

fnci!n de lazo cerrado entonces se realiz! el cálclo de esta, lo *e da por

resltado la sigiente ecaci!n-

C s

Rs=

15500∗(s+50)( s+10)(s+60) (s+50) (s+30) ( s+20 )+15500∗(s+50)( s+10)

Eomo se pede obser)ar en la gráfica 20, el sistema tiene n

comportamiento m+ com@n, el cal es el de pasa ba(os pero con na pe*e;a

atenaci!n, esto lo ace en las frecencias *e se encentran asta 50

radIs, lego a na frecencia de 133 radIs amenta la amplitd en 2,2 db,esto es debido a *e el sistema tiene n comportamiento sbamortigado7

lego de esa ganancia positi)a en la magnitd, cada )ez *e se amenta más

la frecencia se )a a atenar la respesta del sistema7 tambi"n se tiene *e

para ba(as frecencias el sistema no desfasa, lego tal + como se esperaba

para cando se tiene el obre pico en la ganancia se tiene n el crce por 90

en el desfase, lego para frecencias m+ altas el desfase es de 1>0

grados-


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&rafica 20- /iagrama de bode para p=15500

ii eli(a 3 frecencias representati)as $epli*e s elecci!n' +

grafi*e la respesta del sistema ante se;ales sinodales a dica

frecencias- nalice-

%as frecencias *e se tomaron para graficar las respesta del sistema

ante se;ales senos son 3.07 , 133 + 7.25∗103

, debido a *e son

)alores en los *e se tienen cambios en los comportamientos o son estados

m+ representati)os-

control ii, conceptos basicos

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