control de un motor de cd mediante el uso de control inteligente

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROLINTELIGENTE

TESIS

Que para obtener el título de

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

PRESENTAN:

JULIETA AGUILERA MUÑOZDAVID HERNÁNDEZ PÉREZ

ASESORES:

DR. JULIO CESAR TOVAR RODRÍGUEZDR. CARLOS ROMÁN MARIACA GASPAR

DR. RODRIGO LÓPEZ CÁRDENAS

MÉXICO, D.F. a 07 de JUNIO 2012

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE AgradecimientosJ.A.M.

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AGRADECIMIENTOS

JULIETA AGUILERA MUÑOZ

Son tantos los sentimientos encontrados al ver concluida mi meta, que echando un vistazo para

atrás me doy cuenta que llegar hasta aquí no fue fácil, hubo desvelos, preocupaciones, tristezas,

enojos; pero también hubo alegrías, amor, aprendizaje, nuevos amigos, y sobre todo, ese apoyo

de las personas que sé que siempre estarán a mi lado.

A mis padres,

Por ser orgullosamente su hija, que me guiaron y motivaron en todo momento, que estuvieron

conmigo en cada desvelo, que me inculcaron todos los valores necesarios y por todo el apoyo que

me han brindado.

A mi hermano,

Por su preocupación, consejos y estar siempre al pendiente de mi madurez.

A mi novio,

Por estar conmigo en todo momento, apoyar mis decisiones, perdonar mis errores, aguantar mis

altibajos y sobre todo por darme tanto amor para seguir adelante superando los obstáculos.

A mis amigos,

Que siempre me han apoyado en las buenas y malas decisiones que he tomado, pero sobre todo

por todo el cariño y amor recibido.

A mis asesores,

Por su tiempo, paciencia, dedicación y comprensión.

Al IPN,

Por abrirme las puertas a esta maravillosa institución y cobijarme, pero sobre todo a la ESIME,

que me brindo todo lo necesario para llegar hasta aquí y a la que le debo el aprendizaje recibido.

GRACIAS…

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE AgradecimientosD.H.P.

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DAVID HERNÁNDEZ PÉREZ

“Reír a menudo y mucho; ganar el respeto de gente inteligente y el cariño de los niños, conseguir

el aprecio de críticos honestos y aguantar la traición de falsos amigos; apreciar la belleza, encontrar lo

mejor en los demás; dejar el mundo un poco mejor, sea con un niño saludable, una huerta, un libro o una

condición social remitida; saber que por lo menos una vida ha respirado mejor porque tú has vivido. Eso

es tener éxito”… Ralph Waldo Emerson

El que este trabajo haya sido iniciado y culminado es resultado de todos mis esfuerzos, desvelos y

sacrificios realizados. Pero es gracias a que nunca estuve solo y por tanto este trabajo se lo dedico a toda la

gente que me ha brindado su apoyo incondicional (Familiares, Amigos y Profesores, tanto los presentes

como a los que por una u otra circunstancia han quedado atrás más jamás en el olvido), ya que sin este,

esta meta nunca podría haber sido alcanzada… Este logro es de ustedes!!!

Gracias a todos…

A mi mamá,

Marisela, a quien debo todo incluyendo lo más valioso que tengo… la vida. Por tu infinito amor,

paciencia, comprensión, dedicación, ternura, por sacrificar tu vida en mí, por hacer de mi tu mejor

creación, por llenarme de orgullo y motivación así como por ser un modelo a seguir, por mostrarme el

camino hacia la superación en base al conocimiento, por tu amistad y confianza, por tu apoyo

incondicional, en fin, absolutamente todo te lo debo a ti y tu sola existencia se la agradezco a Dios pues

tenerte como madre ha sido su mejor regalo.

A mi familia,

Quiero agradecer profunda y sinceramente a todos: Agüe, Moña, Tio Rani, Tio George, Citlali;

por inspirarme y hacer de mí un hombre de bien con su apoyo moral que desde siempre me han brindado y

con el cual he logrado terminar una carrera profesional que junto con sus enseñanzas, amor y existencia

son para mí las mejores de las herencias.

A Dios y mi Niña,

Por brindarme su cuidado y protección día con día, por aportarme las herramientas necesarias para

lograr mis metas, por su amor y apoyo y sobre todo por permitirme terminar esta etapa de mi vida con

salud y bienestar.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE AgradecimientosD.H.P.

6

A mi novia,

July, por abrirme tu corazón y permitirme compartir a tu lado una de las mejores etapas de mi

vida, por apoyarme y estar conmigo en las buenas y en las malas, por impulsarme a ser mejor y

superarme, por tu gran amor y paciencia, por comprenderme, tolerar mis arranques, por festejar mis

aciertos y sufrir mis derrotas, por llenar de bellos momentos mi vida y mi paso por esta institución… Este

es el primero de nuestros logros y sueños realizados juntos mi vida!!!

A mis amigos,

En especial a Charly y a Arturo (Cheyenne), por su cariño, por estar ahí cuando más he necesitado

de ustedes, por compartir momentos de alegría, coraje y tristeza, por tolerar mis arranques, disculpar mis

errores y aceptarme tal como soy y por impulsarme a ser mejor día a día.

A mis profesores,

Por aportarme nuevos y valiosos conocimientos. En especial a nuestros directores de tesis los

Doctores Julio Tovar, Carlos Mariaca y Rodrigo López, por brindarnos el material necesario para la

realización de este trabajo y aún más, por su tiempo, apoyo, dedicación y amistad.

Al IPN y a la ESIME,

Por abrirme las puertas, darme una oportunidad en esta gran institución y brindarme los espacios

para concluir mis estudios de ingeniería y así superarme para servir a los demás.

Gracias a todos ustedes, pues son gente de éxito y con su ayuda también yo lo soy… Los AMO!!!

Dicen que toda gloria es efímera, sin embargo he aprendido de todos ustedes que para trascender

no solo basta con un solo logro, hay que luchar día a día para ser mejores y conseguir éxitos diarios.

Por último, a todos aquellos que lean este trabajo y pudieran encontrar una inspiración en él o bien

su contenido les sea de ayuda, de igual manera gracias pues habré cumplido mi cometido, recuerden que:

“Habrá dos fechas en tu tumba, todos tus amigos las leerán. Pero lo relevante será ese pequeño

guión entre ellas”… Kevin Welch.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE ÍndiceGeneral

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Índice General

Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Introducción a las redes neuronales artificiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1 Elementos de una red neuronal artificial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Función de salida o de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Topología de las redes neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Redes mono capa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Redes multicapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Mecanismo de aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Aprendizaje “corrección por error” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Aprendizaje Hebbiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Aprendizaje competitivo y cooperativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.4 Aprendizaje supervisado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.5 Aprendizaje no supervisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 El perceptrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.1 Ley de aprendizaje del perceptrón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 El perceptrón multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.1 Aprendizaje del PMC- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.1.1 Pasos para el cálculo del algoritmo BP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.2 Algoritmo BP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7 Método diagramático y red adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.1 Representación en diagramas de bloques de la RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7.2 La red adjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7.3 Deducción del algoritmo BP utilizando el método diagramático. . . . . . . . . . . . . . 36

1.8 Teorema universal de aproximación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Redes Neuronales Recurrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1 Red de Hopfield. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Red Neuronal Recurrente Entrenable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Propiedad de Observabilidad de la RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Propiedad de Controlabilidad de la RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.3 Aprendizaje de la RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.4 Estabilidad de la RNRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Identificación y control de sistemas utilizando RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1 Identificación de sistemas utilizando RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.1 Identificación de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.2 Identificación con Redes Neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.3 Identificación con Redes Neuronales Recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Control de un motor utilizando RNRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.1.1 Sistemas de control en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.1.2 Sistemas de control adaptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.1.3 Control adaptable directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE ÍndiceGeneral

8

3.2.2 Control adaptable usando redes neuronales recurrentes entrenables. . . . . . . . . 673.2.2.1 Control adaptable directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Simulaciones y Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1 Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1 Cálculo de los parámetros del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.2 Modelo matemático del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.3 Representación de la F.T. en Espacio de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.4 Controlabilidad y Observabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.5 Error en estado estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.6 Cambio de polos del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2 Control de velocidad del motor con PID (Simulación). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Control de velocidad del motor con Control Inteligente ‘RNRE’ (Simulación). . . . . . . . . 844.4 Control de velocidad del motor con PID (Pruebas físicas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Control de velocidad del motor con Control Inteligente ‘RNRE’ (Pruebas físicas). . . . . . 94

5 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Trabajos futuros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Apéndice A ”Motor”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iA.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iA.2 Motor de Corriente Directa (C.D.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iA.3 Funcionamiento de un motor de C.D. con escobillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Apéndice B ”Sensor”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiB.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiB.2 Sensores de desplazamiento y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

B.2.1 Sensores basados en efecto Hall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Apéndice C ”PWM”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vC.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vC.2 Funcionamiento del PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Apéndice D ”Control PID” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viD.1 Control Proporcional (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viD.2 Control Proporcional – Integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viD.3 Control Proporcional – Derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiD.4 Control Proporcional Integral Derivativo – (PID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Apéndice E ”Imágenes del sistema físico utilizado”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Apéndice F ”Diagramas de flujo de los programas en los microcontroladores”. . . . . . . . . . xi

Apéndice G ”Manuales de referencia y Hojas de especificaciones”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Índice deFiguras

9

Índice de Figuras

1.1 Modelo no lineal de una j-ésima neurona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Funciones de activación: (a) identidad, (b) escalón, (c) saturación, (d) sigmoide, (e)

tangente hiperbólica, (f) gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Red neuronal Mono capa conectada completamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Diferentes Topologías Multicapa de Redes Neuronales Artificiales. (a) Un

perceptrón multicapa (MLP) conectado completamente. (b) Un MLP modular. (c)

Una red recurrente conectada completamente. (d) Una red recurrente conectada

parcialmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Diagrama a bloques del aprendizaje supervisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Diagrama a bloques del aprendizaje no supervisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Diferentes arquitecturas de un PMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8 Detalles de una neurona j de la capa de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9 Propagación del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10 Gráfica de la conexión entre dos neuronas. La i-ésima neurona de la capa oculta

conectada a la j-ésima neurona de la capa de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.11 Descripción gráfica de las partes de una red neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.12 Diagrama de una RN de tres capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13 Red Adjunta deducida a partir de la Red Neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.14 Diagrama representativo de una RN y el esquema de la RA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 RN de Hopfield en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Ejemplo de RNRE con tres entradas, tres salidas y tres nodos en la capa oculta. . . . . . 42

2.3 (a) Diagrama a bloques de una RNRE. (b) Diagrama a bloques de la red adjunta de

una RNRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Modelos de Identificación. (a) Modelo I. (b) Modelo II. (c) Modelo III. (d) Modelo IV . . 60

3.2 Identificación dinámica de una planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Esquema básico de un sistema de control adaptable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Esquema de Control Adaptable Directo por Modelo de Referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Diagrama a bloques para un sistema de control directo adaptable de seguimiento de

trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6 Diagrama de bloques para un sistema de control adaptable directo utilizando tres

RNRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Motorreductor metálico con relación de engranaje 131:1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Dimensiones del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 (a), (b), (c), (d) y (e) Álgebra de bloques empleada desde el concepto básico de

máquina eléctrica para determinar la función de transferencia del motor. . . . . . . . . . . . 74

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Índice deFiguras

10

4.4 Función de transferencia del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Retroalimentación de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6 Control PID: (a), (b) comparación entre la señal de referencia y la señal de entrada . . . 81

4.7 Control PID: Señal de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.8 Control PID: (a) Error en estado estacionario, (b) Error cuadrático medio (RMS). . . . . . 83

4.9 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a), (b) Comparación entre la señal de

referencia y la señal de salida de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.10 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) Señal de Control ff, (b) Señal de

control fb. (c) Señal de control total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.11 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error instantáneo de Control. . . . . . . . . . . 87

4.12 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de control. . . . . . . 88


salida de la planta y la señal de identificación de la planta controlada. . . . . . . . . . . . . . 89

4.14 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) y (b) Estados identificados de la planta. 90

4.15 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error instantáneo de Identificación. . . . . . . 90

4.16 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de identificación. . 91

4.17 Control PID: (a), (b) comparación entre la señal de referencia y la señal de entrada . . . 93

4.18 Control PID: Error cuadrático medio (RMS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


referencia y la señal de salida de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.20 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) Señal de Control ff, (b) Señal de

control fb. (c) Señal de control total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.21 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de control. . . . . . . 97


salida de la planta y la señal de identificación de la planta controlada. . . . . . . . . . . . . . 98

4.23 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) y (b) Estados identificados de la planta. 99

4.24 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error instantáneo de Identificación. . . . . . . 100

4.25 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de identificación. . 100

A.1 Principio básico de funcionamiento de un motor de C.D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

A.2 Motor de cuatro polos, el campo magnético es producido por la corriente que fluye en

las bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

B.1 Efecto Hall en un semiconductor tipo “n”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

C.1 Regulación de Ancho de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

D.1 Sistema de control PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

E.1 Sistema físico en reposo y ubicación de sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

E.2 Sistema físico en funcionamiento a máxima capacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Generalidades

11

OBJETIVO

Controlar la velocidad de un motor de corriente directa utilizando redes neuronales recurrentes

entrenables para el desarrollo de plataformas de enseñanza para las materias de la especialidad de control

de la Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica (ICE).

JUSTIFICACIÓN

Se realizará el control de un motor de Corriente Directa con redes neuronales recurrentes para

compararlos con los de un sistema de control clásico (PID), esto, para observar las diferencias y

similitudes en cuanto a su funcionalidad y estabilidad. Además al tenerlo realizado físicamente se le podrá

dar utilidad en alguna aplicación de la vida cotidiana, así como para el desarrollo de plataformas

educativas que coadyuven en la enseñanza de las distintas materias de la especialidad de control.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En la actualidad, todo el entorno está ligado plenamente en cualquier aspecto al uso de motores (de

cualquier tipo), por lo que como estudiantes de ingeniería y con los conocimientos ya adquiridos y por

aprender, se quiere hacer una mejora en alguna aplicación.

Así, en un principio, se desea controlar la velocidad de un motor de Corriente Directa por medio de

un PID, se observará y se comprenderá su funcionamiento el cual será remplazado por un control

inteligente del tipo Red Neuronal Recurrente Entrenable.

Realizado el PID y la Red Neuronal Recurrente Entrenable se hará una comparación entre ambos

para determinar cuál y por qué funciona mejor en la planta, tomando en cuenta los criterios de precisión,

exactitud y velocidad de respuesta.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Capítulo 1

12

Capítulo 1, [25]

Introducción a las redes neuronales artificiales

En los últimos años de exploración en inteligencia artificial, los investigadores se han intrigado

por las redes neuronales. El concepto se basa vagamente en cómo pensamos que funciona el cerebro de un

animal. Un cerebro consiste en un sistema de células interconectadas, las cuales son, aparentemente,

responsables de los pensamientos, la memoria y la conciencia. Una red neuronal artificial puede verse

como una máquina diseñada originalmente para modelar la forma en que el sistema nervioso de un ser

vivo realiza una determinada tarea. Para lograr este objetivo, una red neuronal artificial está formada por

un conjunto de unidades de procesamiento interconectadas llamadas neuronas.

Cada neurona recibe como entrada un conjunto de señales discretas o continuas, las pondera e

integra, y transmite el resultado a las neuronas conectadas a ella. Cada conexión entre dos neuronas tiene

una determinada importancia asociada denominada peso sináptico o, simplemente, peso. En los pesos se

suele guardar la mayor parte del conocimiento que la red neuronal tiene sobre la tarea en cuestión. El

proceso mediante el cual se ajustan estos pesos para lograr un determinado objetivo se denomina

aprendizaje o entrenamiento y el procedimiento concreto utilizado para ello se conoce como algoritmo de

aprendizaje o algoritmo de entrenamiento. El ajuste de pesos es la principal forma de aprendizaje de las

redes neuronales. Las neuronas demuestran plasticidad: una habilidad de cambiar su respuesta a los

estímulos en el tiempo, o aprender; en una red neuronal artificial, se imitan estas habilidades por software,

[16].

Las redes neuronales destacan por su estructura fácilmente paralelizable y por su elevada

capacidad de generalización (capacidad de producir salidas correctas para entradas no vistas durante el

entrenamiento). Otras propiedades interesantes son:

Adaptabilidad. Las redes neuronales son capaces de reajustar sus pesos para adaptarse a cambios

en el entorno. Esto es especialmente útil cuando el entorno que suministra los datos de entrada es

no estacionario, es decir, algunas de sus propiedades varían con el tiempo.

Tolerancia ante fallos. Una red neuronal es tolerante ante fallos en el sentido de que los posibles

fallos operacionales en partes de la red solo afectan débilmente al rendimiento de ésta. Esta

propiedad es debida a la naturaleza distribuida de la información almacenada o procesada en la

red neuronal.

No linealidad. Una red neuronal puede ser lineal o no lineal. Esta última característica es muy

importante, especialmente si se intenta modelar sistemas generados mediante pautas no lineales.


13

Capacidad para aproximar mapeados no lineales mejor que otros esquemas (polinomios, etc.)

Capacidad para operar con datos numéricos y simbólicos simultáneamente.

Son aplicables a sistemas MIMO.

1.1 Elementos de una red neuronal artificial

Cualquier modelo de red neuronal consta de dispositivos elementales de proceso: las neuronas. A

partir de ellas, se puede generar representaciones específicas de tal forma que un estado conjunto de ellas

pueda significar una letra, un número o cualquier otro objeto. La neurona artificial pretende mimetizar las

características más importantes de las neuronas biológicas.

En el modelo más habitual de neurona se identifican cinco elementos básicos para la j-ésima neurona de

una red de tiempo discreto:

• Un conjunto de n señales de entrada, xi (t ) , i = 1,2,....,n , que suministran a la neurona los datos del

entorno; estos datos pueden ser externos a la red neuronal, pertenecientes a la salida de otras neuronas de

la red, o bien correspondientes a la salida anterior de la propia neurona.

Un conjunto de sinapsis, caracterizada cada una por un peso propio wij, i = 1,2,....,n . El peso wij

está asociado a la sinapsis que conecta la unidad i-ésima con la neurona j-ésima. Un valor constante llamado polarización o bias representado por b cuya presencia aumenta la

capacidad de procesamiento de la neurona y que eleva o reduce la entrada a la neurona, según seasu valor positivo o negativo.

Un sumador o integrador que suma las señales de entrada, ponderadas con sus respectivos pesos, y

el bias.

Una función de activación f que suele limitar la amplitud de la salida de la neurona.

Cada j-ésima neurona está caracterizada en cualquier instante por un valor numérico denominado valor o

estado de activación vj(t). Las señales moduladas que han llegado a la i-ésima unidad se combinan entre

ellas, generando así el estado actual de activación como lo muestra la siguiente ecuación:

1( ) ( )

m

j ij ii

v t w x t b(1.1)

( ) ( ( ))j i jy t f v t (1.2)


14

La figura 1.1 nos muestra el modelo no lineal de una neurona artificial, en base a los elementos

descritos anteriormente. La dinámica que rige la actualización de los estados de las unidades (evolución de

la red neuronal) suele ser de dos tipos: modo asíncrono y modo síncrono. En el primer caso, cada neurona

evalúa su estado continuamente, según les va llegando la información, y lo hacen de forma independiente.

En el caso síncrono, la información también llega de forma continua, pero los cambios se realizan de

forma simultánea, como si existiera un reloj interno que decidiera cuando deben cambiar su estado. Los

sistemas biológicos quedan probablemente entre ambas posibilidades.

Figura 1.1. Modelo no lineal de una j-ésima neurona.

1. 2 Función de salida o transferencia

La función de activación es la que define finalmente la salida de la neurona. Entre las unidades o

neuronas que forman una red neuronal artificial estas funciones de activación o transferencia forman un

conjunto de conexiones que unen unas neuronas con otras. Las funciones de activación más utilizadas

habitualmente son las siguientes:

1. Función identidad. Tiene la forma f (v) = v y se utiliza cuando no se desea acotar la salida de la

neurona, la figura 1.2 (a) nos representa esta función.2. Función escalón. La figura 1.2 (b) nos presenta la gráfica de una función escalón. Esta función

adopta la forma

1 0( )

1 0

si vf v

si v(1.3)

y proporciona una salida con dos posibles valores. Es habitual encontrársela con el nombre de función de

Heaviside.

FunciónSalida


15

3. Función saturación. La figura 1.2 (c) muestra la gráfica de una función de activación saturación,

cuya representación matemática se presenta a continuación:

1

( ) 1

si v c

f v si v c

av en otro caso

(1.4)

4. Función sigmoide. Las funciones sigmoideas son un conjunto de funciones crecientes, monótonas

y acotadas que provocan una transformación no lineal de su argumento. Una de las más utilizadas

es la función sigmoide definida por la siguiente ecuación, donde p es la pendiente de la función de

activación:

1f(v)=

1+exp(-pv)(1.5)

La función sigmoide está acotada entre 0 y 1, en la figura 1.2 (d) se muestra su representación.

5. Otra función sigmoidea es la función tangente hiperbólica:

1 exp( )( )1 exp( )

pvf v

pv(1.6)

La figura 1.2 (e) representa la gráfica de la función de activación tangente hiperbólica.

6. Función de base radial. La figura 1.2 (f) nos muestra un ejemplo de este tipo de funciones deactivación. Las más habituales son funciones gaussianas no monótonas del tipo

2

2( ) exp2

vf v (1.7)

donde define la anchura. La función alcanza su valor máximo cuando la entrada es cero.

(a) (b) (c)


16

(d) (e) (f)

Figura 1.2. Funciones de activación: (a) identidad, (b) escalón, (c) saturación, (d) sigmoide,(e) tangente hiperbólica, (f) gaussiana.

1.3 Topología de las redes neuronales

La topología o arquitectura de las redes neuronales consiste en la organización y disposición de las

neuronas en la red formando capas o agrupaciones de neuronas más o menos alejadas de la entrada y

salida de la red. En este sentido, los parámetros fundamentales de la red son: el número de capas, el

número de neuronas por capa, el grado de conectividad y el tipo de conexiones entre neuronas.

1.3.1 Redes mono-capa

En su forma más simple, una red neuronal tiene una capa de entrada y una capa de salida.

En las redes mono capa (1 capa) se establecen conexiones laterales entre las neuronas que

pertenecen a la única capa que constituye la red. También pueden existir conexiones auto-recurrentes

(salida de una neurona conectada a su propia entrada). Las redes de una sola capa se utilizan típicamente

en tareas relacionadas con auto-asociación; por ejemplo para regenerar informaciones de entrada que se

presentan a a red incompletas o distorsionadas. La figura 1.3 nos ilustra un ejemplo de esta topología con

5 nodos en la capa de entrada y cuatro en la capa de salida.

Figura 1.3 Red neuronal Mono-capa conectada completamente


17

1.3.2 Redes multicapa

Las redes multicapa son aquellas que disponen de conjuntos de neuronas agrupadas en varios

niveles o capas. Normalmente, todas las neuronas de una capa reciben señales de entrada de otra capa

anterior, más cercana a las entradas de la red, y envían señales de salida a una capa posterior, más cercana

a la salida de la red; a estas conexiones se les denomina conexiones hacia adelante o feed forward. Sin

embargo, en un gran número de estas redes también existe la posibilidad de conectar las salidas de las

neuronas de capas posteriores a las entradas de las capas anteriores, a estas conexiones se las denomina

conexiones hacia atrás o feed back.

Redes con conexiones hacia delante (feed forward)

En las redes feed forward, todas las señales neuronales se propagan hacia delante a través de las

capas de la red, no existen conexiones hacia atrás (ninguna salida de neuronas de una capa i se aplica a la

entrada de neuronas de la capa i − 1, i − 2 ) y normalmente tampoco auto-recurrentes (salida de una

neurona aplicada a su propia entrada), ni laterales (salida de una neurona aplicada a neuronas de la misma

capa). Las redes feed forward más conocidas son: Perceptrón, Adaline, Madaline, Drive-Reinforcement,

Back propagation. Todas ellas son especialmente útiles en aplicación de reconocimiento o clasificación de

patrones.

Redes con conexiones hacia atrás

En este tipo de redes circula información tanto adelante (forward), como hacia atrás (backward),

durante el funcionamiento de la red. En general en este tipo de conexiones, existen dos conjuntos de

pesos: los correspondientes a las conexiones feed forward de la primera capa (capa de entrada), hacia la

segunda (capa de salida), y los de las conexiones feed back de la segunda a la primera.

Los valores de los pesos de estos dos tipos de conexiones no tienen por qué coincidir, siendo

diferentes en la mayor parte de los casos. Algunas redes de este tipo tienen un funcionamiento basado en

lo que se conoce como resonancia, de tal forma que las informaciones en la primera y segundas capas

interactúan entre si hasta que alcanzan un estado estable. Este funcionamiento permite un mejor acceso a

las informaciones almacenadas en la red. También en este grupo de redes existen algunas que tienen

conexiones laterales entre neuronas de la misma capa. Estas conexiones se diseñan con conexiones

excitadas (con pesos positivos), permitiendo la cooperación entre neuronas, o como inhibidoras (con peso

negativo), estableciéndose una competición entre las neuronas correspondientes.


18

Los dos modelos de red feed forward/feed back de dos capas más conocidos son la red ART

(Adaptive Resonante Theory) y la red BAM (Bidirectional Associative Memory). Para ilustrar las

diferentes formas de conectividad presentamos la figura 1.4 en la que podemos visualizar 4 topologías de

redes diferentes: (a) Un Perceptrón multicapa (MLP) conectado completamente. (b) Un MLP modular. (c)

Una red recurrente conectada completamente. (d) Una red recurrente conectada parcialmente.

a) b)

c) d)

Figura 1.4 Diferentes Topologías Multicapa de Redes Neuronales Artificiales. (a) Un Perceptrón multicapa (MLP) conectadocompletamente. (b) Un MLP modular. (c) Una red recurrente conectada completamente. (d) Una red recurrente conectada

parcialmente.

1.4 Mecanismo de aprendizaje

El aprendizaje es el proceso por el cual una red neuronal modifica sus pesos en respuesta a una

información de entrada. Los cambios que se producen durante el proceso de aprendizaje se reducen a la

destrucción, modificación y creación de conexiones. En los modelos de redes neuronales artificiales, la

creación de una nueva conexión implica que el peso de la misma pasa a tener un valor distinto de cero.

Durante el proceso de aprendizaje, los pesos de las conexiones de la red sufren modificaciones,

por tanto se puede afirmar que este proceso ha terminado (la red ha aprendido), cuando los valores de los

pesos permanecen estables.

Un aspecto importante respecto al aprendizaje en las redes neuronales es el conocer cómo se

modifican los valores de los pesos; es decir, cuáles son los criterios que se siguen para cambiar el valor


19

asignado a las conexiones cuando se pretende que la red aprenda una nueva información.

Estos criterios determinan lo que se conoce como la regla de aprendizaje de la red. Otro factor que

debe ser considerado es la manera en la cual una red neuronal adopta un conjunto interconectado de

neuronas. En este último contexto se habla de un paradigma de aprendizaje, el cual se refiere a un modelo

del entorno en el que la red neuronal funciona. Los dos tipos de paradigmas que habitualmente se conocen

son: aprendizaje supervisado y aprendizaje no supervisado. La diferencia fundamental entre ambos tipos

de aprendizaje está en la existencia o no de un agente externo (supervisor) que controle el proceso de

aprendizaje de la red.

Otro criterio que se puede utilizar para diferenciar las reglas de aprendizaje se basa en considerar

si la red puede aprender durante su funcionamiento habitual o si el aprendizaje supone la desconexión de

la red; es decir su inhabilitación hasta que el proceso termine. En el primer caso, se trata de un aprendizaje

ON LINE, mientras que el segundo es lo que se conoce como aprendizaje OFF LINE.

En las redes con aprendizaje ON LINE no se distingue entre fase de entrenamiento y de operación,

de tal forma que los pesos varían dinámicamente siempre que se presente una nueva información al

sistema.

Cuando el aprendizaje es OFF LINE, se distingue entre una fase de aprendizaje o entrenamiento y

una fase de operación o funcionamiento, existiendo un conjunto de datos de entrenamiento y un conjunto

de datos de test o prueba que serán utilizados en la correspondiente fase. En estas redes, los pesos de las

conexiones permanecen fijos después que termina la etapa de entrenamiento de la red.

A continuación se presentan tres de las reglas de aprendizaje más populares: aprendizaje

“corrección por error”, aprendizaje Hebbiano, y, aprendizaje competitivo y cooperativo. Al final de estas

reglas, se exponen los dos fundamentales paradigmas de aprendizaje mencionados anteriormente:

aprendizaje supervisado, y aprendizaje no supervisado.

1.4.1 Aprendizaje “corrección por error”

Consiste en ajustar los pesos de las conexiones de la red en función de la diferencia entre los

valores deseados y los obtenidos den la salida de la red; es decir, en función del error cometido en la

salida.

Una regla o algoritmo simple de aprendizaje por corrección de error podría ser el siguiente:

( )( ) ( ) ji i n kw n y e n (1.8)


20

donde( ) ( ) ( ) k k ke n d n y n (1.9)

siendo Δwij la variación en el peso de la conexión entre las neuronas i y j ; y i (n) es la salida de la i-

ésima neurona, correspondiente a la entrada de la neurona j; dk (n) es el valor deseado para la j -ésima

neurona; yk (n) es la salida de la j -ésima neurona; η es el factor de aprendizaje (0 <η ≤1) que regula la

velocidad del aprendizaje.

Existen varios algoritmos de aprendizaje por corrección de error, por ejemplo la denominada regla

delta generalizada o algoritmo de retro propagación del error (error back propagation), también conocido

como regla LMS (Least-Mean-Square Error) multicapa. Se trata de una generalización de la regla delta

para poder aplicarla a redes con conexiones hacia adelante (feed forward) con capas o niveles internos u

ocultos de neuronas que no tienen relación con el exterior, [15].

1.4.2 Aprendizaje Hebbiano

Este tipo de aprendizaje se basa en el siguiente postulado formulado por Donald O. Hebb en 1949:

Cuando un axón de una celda A está suficientemente cerca cómo conseguir excitar una celda B y repetida

o persistentemente toma parte en su activación, algún proceso de crecimiento o cambio metabólico tiene

lugar en una o ambas celdas, de tal forma que la diferencia de A, cuando la celda a activar es B, aumenta.

Por celda, Hebb entiende un conjunto de neuronas fuertemente conexionadas a través de una intensidad o

magnitud de la conexión; es decir, el peso.

Se puede decir, por tanto, que el aprendizaje Hebbiano consiste básicamente en el ajuste de los

pesos de las conexiones de acuerdo con la correlación (multiplicación en el caso de valores binarios +1 y -

1) de los valores de activación (salidas) de las dos neuronas conectadas:

ij i jw y y (1.10)

Esta expresión corresponde a la idea de Hebb, puesto que si las dos unidades son activas

(positivas), se produce un reforzamiento de la conexión. Por el contrario, cuando una es activa y la otra

pasiva (negativa), se produce un debilitamiento de la conexión. Se trata de una regla de aprendizaje no

supervisado, pues la modificación de los pesos se realiza en función de los estados (salidas), de las

neuronas obtenidas tras la presentación de cierto estímulo (información de entrada de la red), sin tener en

cuenta si se deseaba obtener o no esos estados de activación.


21

1.4.3 Aprendizaje competitivo y cooperativo

En las redes con aprendizaje competitivo (y cooperativo), suele decirse que las neuronas compiten

(y cooperan), unas con otras con el fin de llevar a cabo una tarea dada. Con este tipo de aprendizaje, se

pretende que cuando se presente a la red cierta información de entrada, solo una de las neuronas de salida

de la red, o una por cierto grupo de neuronas, se active (alcance su valor de respuesta máximo). Por tanto,

las neuronas compiten por activarse, quedando finalmente una, o una por grupo, como neurona vencedora

(winner-take-all unit), quedando anuladas el resto, que son forzadas a sus valores de respuesta mínimos.

El objetivo de este aprendizaje es categorizar los datos que se introducen en la red. De esta forma,

las informaciones similares son clasificadas formando parte de la misma categoría, y por tanto deben

activar la misma neurona de salida. Las clases o categorías deben ser creadas por la propia red, puesto que

se trata de un aprendizaje no supervisado, a través de las correlaciones entre los datos de entrada, [16].

1.4.4 Aprendizaje supervisado

La técnica mayormente utilizada para realizar un aprendizaje supervisado consiste en ajustar los

pesos de la red en función de la diferencia entre los valores deseados y los obtenidos en la salida de la red;

es decir, una función de error cometido en la salida.

Existen varias formas de calcular el error y luego adaptar los pesos con la corrección

correspondiente. Una de las más implementadas utiliza una función que permite cuantificar el error global

cometido en cualquier momento durante el proceso de entrenamiento de la red, lo cual es importante, ya

que cuanto más información se tenga del error cometido, más rápido se puede aprender [Widrow & Hoff,

1960]. El error medio se expresa por la ecuación:

P N

(k) (k)global j j

k=1 j=1

1Error = y d

2P(1.11)

dónde:

N = Número de neuronas de salida.

P = Número de informaciones que debe aprender la red.

dj = Valor de salida deseado para la neurona j.

yj = Valor de salida obtenido para la neurona j.

k = patrón k-ésimo presentado a la red.


22

Por lo tanto, de lo que se trata es de encontrar unos pesos para las conexiones de la red que

minimicen esta función de error. Para ello, el ajuste de los pesos de las conexiones de la red se puede

hacer de forma proporcional a la variación relativa del error que se obtiene al variar el peso

correspondiente:

global

jiji

Errorw k

w(1.12)

dónde:

Δwji = Variación en el peso de la conexión entre las neuronas i y j.

Mediante este procedimiento, se llegan a obtener un conjunto de pesos con los que se consigue

minimizar el error medio, con la presentación de cada nuevo patrón de entrenamiento a la red.

1.4.5 Aprendizaje no supervisado

Las redes con aprendizaje no supervisado no requieren influencia externa para ajustar los pesos de

las conexiones entre sus neuronas. La red no recibe ninguna información por parte del entorno que le

indique si la salida generada en respuesta a una determinada entrada es o no es correcta; por ello, suele

decirse que estas redes son capaces de auto-organizarse. Estas redes deben encontrar las características,

regularidades, correlaciones o categorías que se puedan establecer entre los datos que se presentan en su

entrada.

En algunos casos, la salida representa el grado de familiaridad o similitud entre la información que

se le está presentando en la entrada y las informaciones que se le han mostrado hasta entonces (en el

pasado). En otro caso podría realizar una clusterización o establecimiento de patrones o categorías,

indicando la red a la salida a qué categoría pertenece la información presentada a la entrada, siendo la

propia red quien debe encontrar las categorías apropiadas a partir de las correlaciones entre las

informaciones presentadas. Una variación de esta categorización es el prototipado. En este caso, la red

obtiene ejemplares o prototipos representantes de las clases a las que pertenecen las informaciones de

entrada.

Finalmente, algunas redes con aprendizaje no supervisado lo que realizan es un mapeo de

características, obteniéndose en las neuronas de salida una disposición geométrica que representa un mapa

topográfico de las características de los datos de entrada, de tal forma que si se presentan a la red

informaciones similares, siempre sean afectadas neuronas de salida próximas entre sí, en la misma zona

del mapa.


23

Figura 1.5 Diagrama a bloques del aprendizaje supervisado

Figura 1.6 Diagrama a bloques del aprendizaje no supervisado.

1.5 El Perceptrón

El perceptrón es en realidad una neurona artificial conformada por los 5 elementos básicos

descritos en el apartado 1.1; esto es: un conjunto de señales de entrada, sinapsis, bias, un sumador o

integrador y, una función de activación. El modelo del perceptrón como lo conocemos es atribuido a

Rosenblatt [16]. Este modelo está dado por la siguiente expresión:

1( ) ( )

n

i ii

y f w k u k (1.13)

donde y , w , u , y k son definidos como se hizo anteriormente, para el caso del perceptrón f (⋅) es la

función escalón unitario.

El perceptrón fue desarrollado para ejecutar tareas de clasificación de patrones, esto lo hace

definiendo fronteras de decisión lineales, es decir, resuelve problemas de separabilidad de conjuntos

convexos.

Vector quedescribe el estado

del entornoRespuesta deseada

SupervisorEntorno

Sistema deAprendizaje

Respuesta actual

Salida de error

Vector quedescribe el estado

del entorno

Entorno Supervisor


24

1.5.1 Ley de aprendizaje del perceptrón

La ley de aprendizaje del perceptrón es un algoritmo conocido comúnmente como Algoritmo

LMS (Least Mean Square, por sus siglas en inglés), y es del tipo de aprendizaje “corrección por error”

descrito anteriormente. Para evaluar el desempeño de las RN se evalúa una función de costo que, para el

caso del perceptrón es:

21( ) ( )2J k e k (1.14)

donde e(k ) es el error en la k-ésima iteración generado por la diferencia en la salida de la RN y la salida

deseada. Por lo tanto en el aprendizaje lo que se desea es minimizar esta función con respecto a los pesosw, dado que en el ajuste de los pesos interviene el error diremos que el perceptrón es una RN con

aprendizaje supervisado. Veamos ahora como es que se obtiene esa ley de aprendizaje.

Derivemos J con respecto a cada uno de los pesos w i, i =1,2,...,m; donde m es el número de

entradas; el error es e = d − y , donde y es la salida del perceptrón y d es la salida deseada; f ´(⋅) , es la

primera derivada de la función de activación.

Entonces:

( )

i

i i

e yf u

w w(1.15)

( )( ) ( )

i

i i

J W eg k e ef u (1.16)

El método del Gradiente Descendente o regla Delta, [5] nos dice que:

( 1) ( ) ( ) i ik k g k (1.17)

donde g (k) es el gradiente de J con respecto a wi (k) , es decir, g (k) = δJ /∂wi ; multiplicando por −1 nos

da la dirección de descenso y η es una constante positiva llamada tasa de aprendizaje. Entonces la

actualización de los pesos del perceptrón es:

( 1) ( ) ( ) `( ) ( ) i i ik k e k f u k (1.18)

En el proceso de entrenamiento, el perceptrón se expone a un conjunto de entrada, y los pesos de

la red son ajustados de forma que al final del entrenamiento se obtengan las salidas esperadas para cada

uno de estos patrones de entrada. La tabla 1.1 muestra un resumen del algoritmo LMS, la cual ilustra

claramente la simplicidad del algoritmo.


25

Tabla 1.1 Resumen del algoritmo LMS

1.- Se selecciona un vector de entrenamiento u(k) y una respuesta deseada d(k)

2.- Seleccionamos un parámetro de aprendizaje 0 < η <1

3.- Inicialización de los pesos wi(0) = valores aleatorios pequeños uniformemente distribuidos.

4.- Calculamos. Para k = 1,2,...,n tenemos que

( 1) ( ) ( ) `( ) ( )i i ik k e k f u k Donde

( ) ( ) ( )e k d k y k

1.6 El perceptrón multicapa

El perceptrón multicapa (PMC), [15], [16], [50] es un elemento muy importante en la evolución

de las RN, debido a que es una de las primeras RN’s propiamente dichas, su importancia queda manifiesta

en [19]. Un PMC es un arreglo de neuronas (perceptrones) en capas. Una capa es un conjunto de neuronas

que están conectadas al mismo vector de entradas y generan un vector de salida. Cuando la salida. Cuando

la salida de una capa es la entrada de otra capa entonces decimos que el arreglo obtenido es un PMC, a

diferencia del perceptrón, el PMC puede tener múltiples salidas.

La diferencia entre un perceptrón y un PMC radica precisamente en que un perceptrón es una red

de una sola capa, con su respectiva entrada y salida, que contrasta con la arquitectura del PMC, el cual, es

una red de al menos 2 capas, una de entrada y una salida. Cuando en un PMC se tienen más de dos capas

es decir, n +2 capas, decimos que el perceptrón tiene una capa de entrada, una de salida y un número n de

capas a las que llamaremos “ocultas”. La figura 1.7 muestra a dos perceptrones, el primero con una capa

oculta y el segundo con dos.

Figura 1.7 Diferentes arquitecturas de un PMC.


26

La estructura del PMC es una RN del tipo Feed Forward (RNFF), esto es, que el patrón de la

entrada se propaga hacia delante hasta la salida. Para aclarar este punto supóngase un elemento de entrada

ui (k) y un elemento de la matriz de pesos wij (k) entonces la propagación consiste en realizar el producto

ui(k)⋅wiJ (k) y sumarlo a los demás productos uJ ⋅wkl (k); i ≠ k , j ≠ l , de la misma capa obteniendo una

señal zm(k), la cual, después es introducida como argumento de la función f (⋅) formando una señal zm

(k), es decir, f (vm (k)) = zm (k) ; donde, f (⋅) es la función de activación y zm(k) es la m-ésima

componente del vector de entrada de la siguiente capa; este proceso continúa neurona por neurona, capa

por capa hasta obtener el vector de salida Y(k).

1.6.1 Aprendizaje del PMC

En el apartado 1.6.1 asentamos que el perceptrón tiene una ley de aprendizaje basada en el

algoritmo LMS. El algoritmo para el ajuste de los pesos del PMC es una derivación del LMS y se conoce

como “algoritmo de retro-propagación” o Back propagation (BP). Este algoritmo, como su nombre lo

indica, es una propagación hacia atrás de la señal de error, la cual se forma de la diferencia entre la señaldeseada y la salida de la RN; el(k) = dl(k)−yl(k). Recordemos que cuando se tenía un perceptrón simple se

tomaba el error e(k) y se implementaba en la ecuación (1.19) para actualizar los pesos. En este caso es

más complicado pues se tiene al menos dos vectores de pesos.

1.6.1.1 Pasos para el cálculo del algoritmo BP

En la aplicación del algoritmo BP, se distinguen dos pasos en el cálculo. El primero es llamado

paso hacia adelante, mientras que el segundo es llamado paso hacia atrás.

Paso hacia adelante

En el paso hacia delante los pesos sinápticos permanecen sin alteración a través de toda la red, y las

funciones de activación de la red son evaluadas neurona por neurona. La función de activación que

aparece a la salida de la neurona j es evaluada de la siguiente forma:

( ) ( ) j j jy k f k (1.19)

donde vj(k) es el estado de activación de la neurona j definido por:

0( ) ( ) ( )

m

j ji ii

v k w k y k (1.20)


27

donde m es el número total de entradas aplicadas a la neurona j y wji(k) es el peso sináptico entre laneurona j y la neurona i , y yi(k ) es la señal de entrada a la neurona j o bien, visto de otra manera es elvalor de la función de salida de la neurona i . Si la neurona j pertenece a la primera capada la red, la cualqueda expresada de la siguiente forma:

( ) ( )i iy k u k (1.21)

donde ui(k) es el i -ésimo elemento del vector de entrada. Por otro lado, si la neurona j pertenece a lacapa de salida de la red, m = mj y el índice j señala la j-ésima señal de salida de la red, la cual, quedaexpresada de la siguiente forma:

( ) ( )J Jy k o k (1.22)

donde oJ(k) es el j-ésimo elemento del vector de salida. Esta salida es comparada con la respuestadeseada dJ(k), obteniendo así, el error de salida eJ(k) para la j-ésima neurona de salida. En la fase delpaso hacia delante el cálculo comienza con la primera capa oculta que presenta el vector de entrada, ytermina con la capa de salida calculando la señal del error para cada neurona de esta capa.

Paso hacia atrás

El paso hacia atrás, por otro lado, comienza en la capa de salida pasando a las señales del error

hacia la izquierda a través de la red, capa por capa, y recursivamente calculando el gradiente local δ para

cada neurona. Para una neurona localizada en la capa de salida, δ es simplemente igual a la señal de error

multiplicada por la primera derivada de la función de activación de esta neurona. El cálculo recursivo es

continuado, capa por capa, propagando los cambios para todos los pesos sinápticos de la red.

1.6.2 Algoritmo BP

Las redes neuronales entrenadas por medio del algoritmo BP son poderosas herramientas para

reconocimiento de patrones, memoria asociativa y filtros adaptables [31], pero también se ha descubierto

que cualquier tipo de RN puede ser entrenada por este algoritmo y realizar tareas como identificación y

control, [18],[29], describamos ahora el algoritmo.

La señal de error de la j -ésima neurona de salida en la k -ésima iteración es definida por:

( ) ( ) ( )J J Je k d k y k (1.23)

El error cuadrático de la j-ésima neurona de salida en la k-ésima iteración es ½e2J(k), el error

cuadrático total de la salida J(k) está definido por:


28

21( ) ( )2

JJ C

J k e k (1.24)

donde C es el conjunto de todas las neuronas de salida. Sea N el número total de iteraciones; el error

medio cuadrático medio es obtenido sumando todos los J(k) y normalizando con respecto a N, es decir:

1

1 ( )

PROMk

J J kN

(1.25)

JPROM y J(k) son funciones de los pesos de la red. JPROM representa la función de costo total, por lo tantonuestro objetivo en el aprendizaje es ajustar los pesos tal que JPROM sea mínima. Para el ajuste de los pesosse utiliza el error instantáneo Ec. (1.24), que nos ayudará a crear una corrección que es proporcional algradiente descendente de la función J(k) .

La figura 1.8 describe la j-ésima neurona de una RN alimentada por la señal de salida yi(k) de lai-ésima neurona de la capa anterior. El estado de activación vJ(k) asociado con la j-ésima neurona esdefinido en la Ec. (1.21), donde m es el número total de entradas, y0= −1 es la entrada al umbral θJ

aplicado a la neurona j; y wij es el peso de la j-ésima neurona de la capa anterior. Por lo tanto, la salida dela j-ésima neurona en la iteración k es:

y ( ) ( ) j j jk f k (1.26)

donde f es la función de activación.

j-esima neurona

Figura 1.8 Detalles de una neurona j de la capa de salida.

El método BP aplica la corrección Δwij(k) a los pesos sinápticos que es proporcional a la derivadaparcial ∂J(k)/∂wij(k) Ec. (1.18). De acuerdo a la regla de la cadena tenemos:

wJi(k)

Y0=

yi(k)

ΘJ(k)

vJ(k) yJ(k)

dJ(k)

eJ(k)


29

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

j j j

ij j j j ij

J k e k y k kJ kw K e k y k y k w k

(1.27)

haciendo los cálculos pertinentes tenemos que:

( )( ) ( ) 1( ) ( )( ) ( )

´ ( ) ( )( ) ( )

jj

j j

j jj j i

j ij

e kJ ke k

e k y k

y k kf k y k

y k w k

donde f ’J(⋅) es la derivada de la j-ésima función de activación con respecto a su argumento.

Por lo tanto:

( ) ( ) ´ ( ) ( )( )

j j j iij

J ke k f k y k

w k(1.28)

La corrección Δwij(k) es definida como, [5]:

( )( )( )

ij

ij

J kw k

w k(1.29)

donde η es la tasa de aprendizaje, el signo (−) es debido a que se desea tener la dirección de máximodescenso para que el cambio de pesos reduzca el valor de J (k) .

Si δJ(k) es el gradiente local de la neurona de salida j, tenemos que:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

j jj

j j j j

e k y kJ k J kk

k e k y k k(1.30)

entonces

( ) ( ) ´ ( ) j j j jk e k f k (1.31)

por lo tanto

( ) ( ) ( ) ij j iw k k y k (1.32)

con lo que la actualización de los pesos de la capa de salida está dada por:

( 1) ( ) ( 1) ij ij ijw k w k w k (1.33)


30

donde α es la tasa del término momento de aprendizaje que es usado para eliminar oscilaciones en el error.

La figura 1.9 muestra el comportamiento del BP con respecto a las señales que intervienen.

Figura 1.9 Propagación del error.

Para los pesos de la capa de salida se utiliza la señal deseada y la salida de la red para generar el

error eJ(k) y obtener el gradiente local que nos ayude a actualizar los pesos. Cuando queremos actualizarlos pesos de las capas que no son de salida, el problema radica en que no contamos con una señal deseada,en consecuencia es imposible generar un error ei(k) y obtener el gradiente local en esa capa, entoncesutilizaremos el error de salida para retro propagarlo y obtener un estimado del error en las capas anterioresa la salida y así proporcionar un gradiente local que nos de la capacidad de actualizar los pesos de esascapas. Considere la situación descrita en la figura 1.10, la cual bosqueja una neurona j como un nodooculto en red.

De la ecuación (1.31) podemos definir el gradiente local δi(k) para una neurona oculta i como:

( )( )( )( ) ( )( ) ´ ( )( )

ii

i i

ii

y kJ kk

y k k

J kf k

y k

(1.34)

donde δi(k) es el gradiente de la i-ésima neurona; yi(k) es la salida de la i–ésima neurona; vi(k) es elestado de activación de la i-ésima neurona; fi(⋅) es la derivada de la i -ésima función de activación conrespecto a su argumento, todos pertenecen a la capa anterior a la de salida en la k-ésima iteración.

De la ecuación (1.25) se tiene que:


31

j

jj Ci i

eJe

y y(1.35)

aplicando la regla de la cadena:

j ij

j Ci i i

eJe

y y(1.36)

tomando las ecuaciones (1.24) y (1.27) se tiene ej = dj - fj (vj) con lo que:

´( )

j

j jj

ef (1.37)

Figura 1.10 Gráfica de la conexión entre dos neuronas. La i -ésima neurona de la capa oculta conectada a la j –ésima neurona de

la capa de salida.

derivando parcialmente la ecuación (1.21) con respecto a i y se obtiene:

iji

J wy

(1.38)

sustituyendo (1.37) y (1.38) en (1.39) se tiene

´ ( )j j j ijji

J e f wy

(1.39)

de (1.32) se sigue:

j ijji

J wy (1.40)

j-esima neuronai-esima neurona

Θi(k)

wij(k) vi(k) yi(k)

Θj(k)

wij(k) vj(k) yj(k)

di(k)


32

sustituyendo en la ecuación (1.35) se tiene que:

´( ) i i i j ijj

f w (1.41)

que es el gradiente local de una neurona que no es la capa de salida.

Por último se obtiene que la actualización de los pesos sinápticos para una neurona que no

pertenece a la capa de salida es:

li i lw y (1.42)

donde yl es la entrada a la i-ésima neurona de la capa que no es de salida y a su vez es la salida de la

l -ésima neurona de la capa anterior.

Una restricción para el uso de este algoritmo es que f (⋅) sea una función diferenciable, porejemplo en el caso de que f (v) = tanh (v) entonces f´(v ) = 1 − y2 , donde y = f (v) .

A pesar de que el uso del algoritmo BP es bastante difundido a veces, sin embargo, la deducción

de éste para algunas topologías de redes puede llegar a ser bastante compleja por el cálculo de las

numerosas derivadas parciales. En el siguiente apartado se presenta un método gráfico más directo y

sencillo para obtener las expresiones para actualizar los pesos de las redes.

1.7 Método diagramático y red adjunta, [49]

En varias ocasiones puede resultar muy tedioso o realmente difícil trabajar con redes neuronales

dependientes del tiempo porque pueden requerir numerosas expansiones en cadena y cuidadosas

manipulaciones de los términos, pues todo ello nos conduce a resultados erróneos. Este es un método

alternativo que pretende disminuir todos esos problemas mediante un conjunto de simples reglas de

manipulación de diagramas de bloques. Este método provee una manera bastante sencilla para derivar

algoritmos tan populares como el back propagation.

El método presentado en este apartado usa la teoría de flujos gráficos para construir y manipular

diagramas de bloque que representan RN. Esta teoría originalmente fue usada en el campo de los circuitos

eléctricos, en los 50´s. Esta propuesta consiste en representar la red neuronal mediante diagramas de

bloques y construir una red neuronal adjunta, la cual, directamente especifica la derivación de la fórmula

del gradiente.


33

En el BP se busca encontrar el conjunto de pesos que minimicen la función de costo J , es decir,encontrar ∂J /∂wji si tomamos en cuenta que ( ) ( )j ji i

i

v k w u k entonces:

j

ji j ji

dJ Jw w

(1.43)

para fines prácticos redefinimos

j

j

J(1.44)

y

ji

jNw

ji

Gw

(1.45)

dondeji

NwG es el jacobiano del vector v; entonces:

ji

Nj w

ji

JG

w(1.46)

1.7.1 Representación en diagramas de bloques de la RN.

Una RN puede ser representada en forma arbitraria como un diagrama de bloques cuyos

elementos esenciales son: sumador, puntos de bifurcación, funciones univaluadas como los pesos y las

funciones de activación, funciones multivaluadas y operadores de retardo. Un peso sináptico por ejemplo

puede ser visto como una línea de transmitancia. La neurona básica es una simple suma de transmitancias

lineales seguidas por una función sigmoidal. La figura 1.11 presenta una descripción gráfica detallada de

las partes de una RN.

Figura 1.11 Descripción gráfica de las partes de una red neuronal.

Señalde

entrada

wijSumador

Función deuna variable

(pesos)

Funciones de variasvariables (funciones

de activación)

Señalde

salida

1

i

m

x

x

x

l

i

n

y

y

y


34

A partir de esta relación es fácil representar cualquier RN gráficamente, por ejemplo sea la RN de

tres capas descrita por la siguiente ecuación.

3 3 3

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ; ( ) ( )

( ) ( ) ; ( ) ( )

( ) ( ) ; ( ) ( )

Y k F N k N k W Z k

Z k F N k N k W X k

X k F N k N k WU k

(1.47)

donde Y (k ) es la salida; F (⋅) es el vector de funciones de activación f (⋅) ; Ni (k) son los estados de

activación en la neurona de entrada, oculta y de salida; Wi i=1, 2, 3 son las matrices de pesos de la capade entrada, oculta y de salida; Z(k ) es el vector de salida de la capa oculta; X(k ) es la salida de laneurona de capa oculta; U(k ) es el vector de entrada a la RN. La gráfica que describe esta RN es lamostrada en la mostrada en la figura 1.12.

1.7.2 La red adjunta

Dada la representación gráfica de la RN y el objetivo de determinar el gradiente local, es decir la

Ec. (1.45), sólo necesitamos aplicar un conjunto de reglas simples para construir la RA y determinar el

gradiente en cuestión.

Figura 1.12 Diagrama de una RN de tres capas.

Reglas para la construcción de la red adjunta

1.- Puntos suma son reemplazados por puntos bifurcación

W1 N1f

f

f

f

f

f

f

f

f

W2 N2 N3W3y1

y1

y3

U1

u2

U3

xi

xj

yl

wi

wj

yl


35

2.- Puntos de bifurcación son reemplazados por puntos suma

3.- Funciones de una variable son reemplazadas por sus derivadas

Por ejemplo. Funciones de activación: yj = tanh (xi). En este caso, f´´(yj) = 1-x2, ó si yj = sigm (xi)

entonces f´(yj) = xi(1-xi).

4.- Las funciones Multivaluadas son reemplazadas por sus jacobianos.

Casos especiales

- Productos: yj = xixl en cuyo caso TFa l iG x x

- Redes neuronales: Una función multivaluada puede representar una red multicapa. En este caso,el producto

i

Fx yG puede ser obtenido por retro propagación de δy a través de la red sin la

necesidad de calculari

FxG

5.- Operadores de retardo son reemplazados por operadores de avance

6.- Los nodos an=yn salida en la red original se transforman en nodos de entrada en la red adjunta, dondela entrada es generalmente el error en

wl

yi

yj

yi

Yj

xl

yjxi wi yi

y0

yq

yp

xj

wj

xn

y0

yq

yp

xi

xj

xn

yq

ui

uj

y0 -ej

-ei

Redoriginal

Redadjunta


36

Este conjunto de reglas son un elemento importante para la construcción de la Red Adjunta, lacual propaga la señal e (k ) que corresponde al error de salida generado por la diferencia entre la salida dela RN y la señal deseada, entonces obtenemos el gradiente δj(k) necesario para la adaptación de los pesos.En la figura 1.13 se muestra la RA obtenida a partir de las reglas anteriores.

La RN y la RA en base a estas reglas son topológicamente equivalentes. La justificación teórica de

las reglas está dada en [49]. A modo de ejemplo mostramos la deducción de la regla BP por este método.

Figura 1.13 Red Adjunta deducida a partir de la Red Neuronal.

1.7.3 Deducción del algoritmo BP utilizando el método diagramático

En la figura 1.14 (a) es mostrada una neurona de capa oculta conectada a otras neuronas y también

se muestra una neurona de salida de una red multicapa. Sea vil la función de activación en la i -ésima

neurona de la l -ésima capa de la RN, 1 ≤ l ≤ L ; L es el número total de capas. El término (k ) se omite

por simplicidad.

En la figura 1.8 (b) podemos observar la red adjunta construida a partir de las reglas descritas

anteriormente. Las ecuaciones para el cálculo del gradiente local δil pueden ahora ser deducidas

inmediatamente a partir de dicha figura.

f’

f’f’

f’

W1 W2f

f

f f

f

fv1

v2

v3 z3

z2

z1

y3

y2

y1

e3

e2

e1

d1

d2

d3

u1

u2

u3

e1

e2

e3

f’f’

W2


37

1 1

´( )

´( ) 1 1

li

ll l lii j ij

j

ef l L

f w l L(1.48)

el cual es el término deducido matemáticamente en la sección anterior. Como pudimos observar este

método es una alternativa bastante confiable y efectiva para encontrar los gradientes en RN de arquitectura

más complicada.

(a)

(b)Figura 1.14 Diagrama representativo de una RN y el esquema de la RA

1.8 Teorema universal de aproximación

Este teorema nos proporciona la justificación teórica para el uso de RN en la aproximación de

funciones.

Teorema 1.1: Sea f (⋅) una función continua, no constante, acotada y monótona creciente. Sea

Imo un hipercubo unitario de dimensión mo. El espacio de funciones continuas en Imo es denotado por

C(Imo). Entonces, dada cualquier función f ∈C(I mo) y ε > 0 , existe un entero M y conjuntos de

constantes reales αi , βi y wij donde i = 1,...,m1 y j,...,mo tal que definimos

01

011 1

( , , )

mm

m i ij j ii i

F X X f w x

como una realización aproximada de la función f (⋅) ; esto es,

0 01 1( , , ) ( , , ) m mF X X f X X

para todo x1, x2,…, xmo que yace en el espacio de entradas.


38

Capítulo 2, [25]

Redes Neuronales Recurrentes

En [29], [34], [46], [47], se describen modelos de RN usados para la predicción y control de

sistemas dinámicos. Como mencionamos en el capítulo anterior, las RN pueden derivarse en dos grupos

tomando en cuenta su estructura, RN feed forward (RNFF) (estáticas) y RN recurrentes (RNR). En las RN

estáticas su respuesta es independiente del tiempo. En consecuencia, una vez que se han ajustado sus

parámetros, la respuesta a una entrada determinada será la misma, no importando en que instante la

entrada se presente. Las RN estáticas son muy útiles en los problemas de clasificación de patrones y

aproximación de funciones porque constituyen aplicaciones no lineales entre el espacio de entradas al

espacio de salidas de las variables involucrada. En teoría, se tiene la certeza de que una red neuronal de

conexiones hacia delante con una capa oculta no lineal y una capa de salida lineal puede aproximar

cualquier función con el grado de precisión que se desee [18].

Sin embargo, existen problemas que necesitan de un sistema que tenga una respuesta que dependa

de su estado anterior. Y por tanto, requieren de estructuras que tengan una dinámica interna propia. Si la

respuesta de una red neuronal depende de su pasado se dice que es una red neuronal dinámica. Algunas

tareas para este tipo de RN son: la predicción de series, la identificación y el control de sistemas

dinámicos. Las RNR se han usado para mejorar el desempeño en problemas de clasificación que habían

sido resueltos por medio de RN estáticas. La ecuación de las RNR en tiempo continuo es la siguiente:

1

2

, ,

,

x f x u w

y g x w

(2.1)

donde x representa el estado de la RN, u la entrada externa, 1w y 2w son los parámetros de la red

(pesos), f es una función que representa la estructura de la red y g es una función que representa la

relación entre la salida y la entrada.

2.1 Red de Hopfield

La red de Hopfield es una de las redes neuronales dinámicas que más han sido estudiadas [11],

[18]. Consiste de dos capas, la de entrada y la de Hopfield. Cada nodo de la capa de entrada se conecta

directamente a un solo nodo de la capa de Hopfield. La capa de Hopfield consiste de un conjunto de

neuronas y un conjunto de elementos de retardo que forman un sistema retroalimentado de varios lazos

como se observa en la figura 2.1. La ecuación que representa la red de Hopfield es la siguiente [12]:


39

1

1j j

n

j ij i ji

x k f v k

v k w x k

(2.2)

donde f es una función de activación de tipo escalón, ix es el estado de la red, ijw son los pesos y j es

el umbral.

En esta red el número de lazos de retroalimentación es igual al número de neuronas. La salida de

cada neurona se pondera y retroalimenta a través de un elemento de retardo a cada una de las neuronas de

la red. La presencia de retroalimentación en esta red la hace interesante para las aplicaciones de modelado

y control de sistemas dinámicos [6].

Aprendizaje de la red de Hopfield

La red de Hopfield tiene un mecanismo de aprendizaje off-line. Por lo tanto, existe una etapa de

entrenamiento y otra de funcionamiento de la red. En la etapa de aprendizaje se fijan los valores de los

pesos en función de las informaciones que se pretenden almacenar en la red, una vez establecidos, la red

entra en funcionamiento.

Esta red utiliza un aprendizaje no supervisado de tipo Hebbiano, de tal forma que el peso de una

conexión entre neurona y neurona se obtiene mediante el producto de los componentes i -ésimo y

j -ésimo del vector que representa la información o patrón que debe almacenar.

Muchas de las investigaciones acerca de la estabilidad de las redes se basan en el establecimiento

de una función, denominada función de energía de la red, para representar los posibles estados (puntos de

equilibrio) de la red.

La función de energía de una red de Hopfield discreta tiene la siguiente forma:

01 1

12

n n

ij i j ii j

E w x x x

(2.3)

donde ijw es el peso de la conexión entre neurona y neurona, ix entrada de la neurona i , jx entrada de la

neurona j , i es el umbral. Cuando se presenta a la entrada de la red una nueva información, esta

evoluciona hasta alcanzar un mínimo de la función de energía, generando una salida estable.


40

Figura 2.1 RN de Hopfield en tiempo discreto

2.2 Red Neuronal Recurrente Entrenable

Muchos han sido los investigadores que han experimentado con diferentes arquitecturas de redesneuronales recurrentes (ver [36], [37], [21], [14], [51], entre otros). Por ejemplo la arquitectura Williams-Zipzer [17] permite a cualquier neurona de la red estar conectada a cualquier otra neurona dentro de lamisma red, esto implica que no necesariamente se trata de una red estática o recurrente. La estructuraJordan-Elman [14], [21] en cambio, es más específica ya que tiene una capa extra de neuronas que tomanlas activaciones existentes de la capa de neuronas ocultas y se retardan estos valores por un instante detiempo para después hacer una retroalimentación introduciendo estos valores como entradas adicionales alas neuronas de la capa oculta; en esta red se considera la retroalimentación unitaria, es decir, los pesos deretroalimentación no son entrenables. Ambas estructuras, aunque muy generales presentan algunasdesventajas, entre las más importantes algunos problemas de estabilidad y lenta convergencia.

En trabajos más recientes se han superado estas y otras desventajas, por ejemplo en [39] sepresenta detalladamente una estructura para el caso continuo que podría clasificarse como tipo Hopfield[17], el tipo más simple de esta estructura es considerándola sin capas ocultas, es decir únicamente concapas de entrada y salida.


41

A continuación se presenta la estructura de la red neuronal recurrente usada en este trabajo. Laestructura de esta red neuronal se basa en un modelo en variables de estado de un sistema no linealdiscreto. Es una red de estructura híbrida, es decir tiene una parte recurrente y una parte feed forward.Todos los parámetros de la red son entrenables a través de un algoritmo de tipo retro propagación delerror.

En los trabajos [4], [3], se presenta esta Red Neuronal Recurrente Entrenable (RNRE) con algunosresultados en los problemas de identificación de sistemas no lineales. Esta RNR está descrita por lassiguientes ecuaciones, ver la figura 2.2

1 ,X k AX k BU k (2.4)

,Z k f X k (2.5)

,Y k f CZ k (2.6)

,iA block diag A (2.7)

1A (2.8)

en donde X es el vector de estados de la red; U es el vector de entrada; y Y es el vector de salida;

Z es un vector auxiliar. Las dimensiones de estos vectores son , , p y , respectivamente. f es

un vector de funciones de activación.

Entre las posibles opciones para estas funciones se tienen la función sigmoide y la funcióntangente hiperbólica. La dimensión de este vector es la apropiada según sea para la capa interna de la red,o bien, para la capa de salida; A es una matriz diagonal por bloques. Los bloques corresponden a lasformas de Jordan de dimensión 1 1 y 2 2 ; iA es el bloque i -ésimo de A . La propiedad (2.8) esla condición de estabilidad de la RNRE indica que los elementos del espectro de A deben estar dentro delcírculo unitario. Esta condición garantiza la estabilidad en la fase de operación de la RN. Las matrices B

y C son los pesos de entrada y salida de la RNRE, respectivamente. Notar que este modelo de RNRE esparamétrico de manera que es útil para tareas de identificación y control de sistemas. En la siguientesección se citan resultados sobre las propiedades de controlabilidad y observabilidad de este modelo deRNRE.


42

Figura 2.2: Ejemplo de RNRE con tres entradas, tres salidas y tres nodos en la capa oculta.

2.2.1 Propiedad de Observabilidad de la RNRE

Una RN se dice observable si el estado de la red puede ser determinado para un conjunto finito de

entradas/salidas medibles. A continuación ofrecemos una prueba de la observabilidad local de la RNRE

con la idea de que este procedimiento sea aplicado dentro de la vecindad de un punto de equilibrio de la

red.

Teorema de observabilidad local [24]: “Sea la RNRE definida por (2.9) y (2.10), y sea su

versión linealizada alrededor del origen (i.e. punto de equilibrio) definida por las ecuaciones (2.9) y

(2.11). Si el sistema linealizado es observable, entonces la RNRE es localmente observable alrededor del

origen”.

Para demostrar este teorema es preciso hacer algunas consideraciones importantes, la primera

como ya se mencionó es limitarnos a una vecindad alrededor de un punto de equilibrio de la red.Un estado

de la red X se dice que es un punto de equilibrio de la ecuación (2.4) si, para una entrada u , se satisface

la condición:

Z-1

Z-1

Z-1


43

0AX BU

Sin pérdida de generalidad, podemos proponer 0X y 0U , en otras palabras, el punto de

equilibrio está representado por el origen (0,0).

También sin pérdida de generalidad, podemos simplificar el procedimiento limitándonos a el caso

una entrada – una salida, es decir un sistema SISO. Podemos reescribir las ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6)

de la siguiente forma:

1x k Ax k Bu k (2.9)

y k f Cf x k (2.10)

En donde B y C son ahora vectores de dimensión ( 1)n y (1 )n respectivamente, ( )u k es una

entrada escalar y ( )y k es una salida escalar. Puesto que f es continuamente diferenciable para las

funciones sigmoideas de las ecuaciones (1.5) y (1.6), podemos entonces linealizar la salida del sistema

descrita por la ecuación (2.10) mediante una expansión en series de Taylor alrededor del punto de

equilibrio (0,0).

En general podemos reescribir la ecuación (2.10) como se muestra a continuación:

( , )y g x u

entonces linealizando alrededor del estado de equilibrio (0, 0)sp mediante expansión en series de

Taylor tenemos que:

( , ) ( ) 0 0S S

sp p

g gg x u g p x u O

x u

donde O representa términos de orden superior, y como ( ) ( ) 0s sy p g p entonces tenemos que la

ecuación linealizada (despreciando los términos de orden superior) queda:

S Sp p

g gy x u

x u

pero como sp es el origen, entonces

0x x x

0u u u


44

quedando la ecuación linealizada (en notación matricial) como:

y Cx Du

donde

1S S

np p

g gC

x x

Sp

gD

u

En nuestro caso, de la ecuación (2.10) tenemos que 0Sp

gu

por lo tanto la ecuación

linealizada finalmente queda

y k Cx k (2.11)

entonces

y k Cx k

1 1y k Cx k

CAx k CBu k

1 21 3 2n ny k n CA x k CA Bu k CABu k n CBu k n

donde n es la dimensión del espacio de estados.

Entonces podemos afirmar que el sistema dado por (2.4) y (2.11) es observable [24] si

10 , ,...,T TT nM C CA CA

es de rango pleno. 0M es la matriz de observabilidad del sistema (2.4) y (2.11) y como estamos tratando

con sistemas SISO entonces 0M es de dimensión ( )n n .

Sea 1 , 1 , , 2T

nu k u k u k u k n una secuencia de entradas de la RNRE,


45

entonces dado un estado inicial x k , 1nu k genera la secuencia de salidas

, 1 , , 1T

ny k y k y k y k n . Y considerando el siguiente mapeo:

1 1, ,n n nF u k x k u k y k

donde 2 1 2 1: n nF . Entonces podemos expresar el Jacobiano de H con respecto a 1nu k y

x k , evaluado en el origen como se muestra a continuación:

1

1 10,0 0,0(0,0)

1

0,0 0,0

n n

n nobs

n n

u k y ku k u k

Ju k y kx k x k

(2.12)

Es un sencillo ejercicio verificar que el Jacobiano de ny k con respecto a x k , evaluado en el origen,

es igual a la matriz de observabilidad OM , es decir

0,0

nO

y kM

x k

entonces el Jacobiano de F con respecto a nu y x k evaluado en el origen es:

0,000

obsI S

JM

(2.13)

dondeI es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y S no tiene un interés de importancia.

Dado que (0,0) 0 0obsDet J Det I Det M Det M tenemos que si 0M es de rango pleno

(0,0)obsJ también lo tendrá.

Ahora recordemos el siguiente teorema:


46

Teorema de la función inversa [48]: Supongamos que 11 2, ,..., nh h h h C en un

conjunto abierto nQ , y sea T h Q . Si el determinante jacobiano 0J a en un punto

a Q , entonces existen dos conjuntos abiertos X Q y Y T y una función g unívocamente

determinada tal que:

a) a Q y h a Y

b) Y h X

c) h es uno a uno en X

d) g está definida en Y , g Y X y g h x x , x X

e) 1g C en Y

Aplicando este teorema al análisis anterior puesto que (0,0) 0 0obsDet J Det M donde 0M

es la matriz de observabilidad del sistema linealizado, entonces podemos decir que existe localmente un

mapeo inverso definido por:

11 1, ,n n nu k x k F u k y k

Esto quiere decir que en una vecindad del origen, x k es alguna una función no lineal de

1nu k e ny k , y que esa función no lineal es un observador de la RNRE. Entonces podemos

establecer formalmente que como el sistema linealizado de la red es observable, entonces la RNRE es

localmente observable dentro de una vecindad alrededor del origen [24].

2.2.2 Propiedad de Controlabilidad de la RNRE

Se dice que un sistema es controlable si desde cualquier estado inicial es posible alcanzar a

cualquier otro punto en el espacio de estados completo por medio de una entrada adecuada u . Aquí

nos referimos a controlabilidad local en una vecindad del punto de equilibrio. Supongamos sin pérdida de

generalidad que el origen es un estado de equilibrio, además, que la red es una RN con una entrada y una

salida (SISO).

De la ecuación (2.4) tenemos que:

1x k Ax k Bu k


47

entonces

1x k Ax k Bu k

2 1 1 1x k Ax k Bu k A Ax k Bu k Bu k

1 1 ... 1n nx k n A Bx n A Bu k n ABu k Bu k

donde n es la dimensión del espacio de estados.

Entonces podemos afirmar que el sistema (2.4) es controlable [24], si la matriz de controlabilidad

1 ,..., ,nCM A B AB B

es de rango n (es decir de rango pleno).

2.2.3 Aprendizaje de la RNRE

La ley de aprendizaje o regla ajuste de los pesos para la red neuronal recurrente, que se describe

por las ecuaciones (2.4) a (2.7), se obtiene por medio de retro propagación del error de salida (ver sección

(1.6.2). El procedimiento consiste en obtener los gradientes de cada nodo de la red y después aplicar el

algoritmo optimización por gradiente descendente para actualizar los pesos.

Sin embargo con el objetivo de disminuir la complejidad de este procedimiento utilizaremos la

herramienta del método diagramático y la red adjunta descrito en la sección (1.7).

El objetivo de la ley de aprendizaje es minimizar la suma de los cuadrados del error de salida:

2

1

1( ) ( ),

2

p

ii

E k e k

en donde ( ) ( ) ( ),di i ie k y k y k ( )d

iy k es el valor deseado en la i -ésima salida de la RNRE.

La actualización de los pesos de la RNRE se lleva a cabo por medio de la ecuación:

( 1) ( ) ( )w k w k w k (2.14)

en la que


48

( )( ) ( 1) ( ) ,

( )ij ij ijij

E kw k w k w k

w k

(2.15)

en donde ( )ijw k representa un peso de la RNRE; ( )( )ij

E kw k

es el gradiente del índice de desempeño de la red

con respecto al peso ijw que se va a ajustar; es la tasa de ajuste.

La ley de ajuste de los pesos de la red (2.15) actualiza el valor del peso en la dirección del mayor

descenso de la función de costo, esperando que al seguir este camino se alcance el punto en donde el peso

define un mínimo global para esta función. Sin embargo, este algoritmo tiene algunos problemas: durante

la actualización del peso puede caer en un mínimo local y estacionarse allí y, por tanto, no alcanzar el

punto mínimo global de la función; la lentitud de este algoritmo es otro problema, esto debido a que el

peso puede estar en una zona plana del gradiente, aquí las iteraciones del algoritmo implican sólo un

cambio pequeño del peso; otro defecto se produce en sistemas con poco amortiguamiento, al llegar a un

punto mínimo (local o global) el algoritmo tiende a oscilar alrededor de este. Una forma sencilla para

reducir estos efectos se logra con la ayuda de un término adicional a la ecuación (2.15) que le añade

amortiguamiento, se llama término momento [35]. La regla de ajuste de los pesos con este término es:

( )( ) ( 1) ( ) ( 1),

( )ij ij ij ijij

E kw k w k w k w k

w k

(2.16)

en donde es la tasa para el término momento. A la ecuación (2.16) se le conoce como regla delta

generalizada.

En [15] se da la siguiente explicación del término momento. Si la regla delta generalizada se

desarrolla como una serie para 0,..., ,k n se obtiene una ecuación de diferencias de primer orden para

( )ijw k , esto es:

0;k 0

0 ,0ij

ij

Ew

w

1;k

1 1 01 0 ,

1 1 0ij ijij ij ij

E E Ew w

w w w

2;k

22 2 1 01 1 ,

2 2 1 0ij ijij ij ij ij

E E E Ew w

w w w w


49

;k n

0

1 0; ( )

1 0

( ) ,

( )

nij

ij ij ij

nn r

r ij

E n E n Ek n w n

w n w n w

E rw r

entonces la expresión para el cambio de peso, ( )ijw n es una serie exponencial. Un requisito para la

convergencia es que el parámetro este entre los límites:

0 1a (2.17)

si a se le da un valor entre los límites (2.17), entonces se considera a la ecuación (2.16) como un

algoritmo de ajuste con tasa, o coeficiente, de aprendizaje variable. Si se toma a ( )1

( )ij

E rw r

para toda r , la

ganancia final del algoritmo es:

lim ( ) ,1ij

rw r

(2.18)

lo cual implica que si el algoritmo (2.16) está en una zona en donde ( )( )ij

E rw r

tiene un valor pequeño durante

varias iteraciones, la ganancia del algoritmo se incrementa exponencialmente hasta la ganancia

límite (2.18), esto acelera la variación de la ganancia para salir de tal situación, aumentando así su

velocidad. Sobre el límite de la ganancia, notar que si el valor de se toma de la forma:

1 , (2.19)

la ganancia final será 1, por esta razón la condición (2.19) es una regla para definir el valor de .

El término momento también ayuda a reducir el efecto que ocurre cuando

( )( )ij

E rw r

cambia de signo

de manera alternada. Si se define a

( )

( ),( )ij

E kA k

w ky se obtiene la transformada Z de la ecuación (2.21), se

tiene:

( ),

( )ijW z z

A z z

(2.20)


50

es decir que la variación del peso ( )ijW z y el gradiente de la función de costo, ( )A z , presenta un

comportamiento de un filtro pasa-bajos, lo cual significa que si el gradiente de la función de costo cambia

de forma alternada de signo, entre más rápido sea este cambio, menor es el efecto sobre la variación del

peso, amortiguando de esta forma las oscilaciones alrededor de un punto mínimo.

De lo anterior se concluye que el término momento (2.16) es útil para acelerar el aprendizaje y

estabilizar el comportamiento de la regla delta (2.15).

Ahora bien, la actualización de los pesos en cada una de las capas de la RNRE puede ser obtenida

siguiendo el diagrama a bloques de la red adjunta de la RNRE (ver figura 2.3), construida utilizando el

método diagramático [49] revisado en el capítulo anterior.

Figura 2.3 (a) Diagrama a bloques de una RNRE. (b) Diagrama a bloques de la red adjunta de una RNRE

Definamos la n n matriz diagonal jacobiana: ´ ´ ;if y k diag f y k 1,...,i l .

Por lo que el 1l vector del error de salida amplificado es dado por la siguiente ecuación:

q-1

A

CB

(a)

(b)

q+1CT BT

A


51

1 é k f y k e k (2.21)

y la actualización de los pesos de la matriz de salida es:

1TC e k z k (2.22)

la actualización de los pesos de los elementos de la matriz de pesos de la capa oculta, para el modelo en

tiempo discreto de la RNRE, es realizado de la siguiente manera, [35]:

íj i i ja C e k f z k x k (2.23)

íj i i jb C e k f z k u k (2.24)

donde ija es la actualización del peso ij -ésimo elemento de la matriz general de pesos A bajo

aprendizaje; iC es el i -ésimo vector renglón, tomado de la matriz transpuesta TC ; e k es el vector

del error de salida amplificado; if z k es el i -ésimo elemento del vector de la primera derivada de la

función de activación, el cual es expresado como función del vector de salida de la primera capa oculta

z k ; jx k es el j -ésimo elemento del vector de estado x k ; ijb es la actualización del peso del

ij -ésimo elemento de la matriz de aprendizaje B ; ju k es el i -ésimo elemento del vector de entrada

u k . La forma matricial de estas dos ecuaciones puede ser obtenida introduciendo algunas matrices y

vectores auxiliares como a continuación se muestra.

Definiendo el 1n vector de error, el cual aparece en la salida de la capa oculta, como:

2 1Te k C e k (2.25)

definiendo también la n n matriz diagonal jacobiana:

´ ´ , 1,...,i if z k diag f z k i n (2.26)

por lo que el 1n vector de error de salida transformado es dado por la siguiente ecuación:

3 2 é k e k f z k (2.27)

y la matriz de corrección de pesos de la matriz general de pesos A es:


52

3TA e k x k (2.28)

Si la matriz A es una matriz diagonal, ; 1,..., ; 1ii iiA diag A i n A (condición de

estabilidad impuesta), y la diagonal de esta matriz es un 1n vector, denotado por vA , entonces la

actualización de los pesos de este vector es la siguiente:

3vA e k x k (2.29)

la operación se define como el producto de cada uno de los elementos de igual índice k para formar

un nuevo elemento con el mismo índice k en el vector resultado. Ambos vectores deben tener la misma

dimensión 1n

La actualización de la n m matriz de pesos de entrada B , es la siguiente:

3TB e k u k (2.30)

2.2.4 Estabilidad de la RNRE [30]

Es muy importante y fundamental el concepto de estabilidad en cuanto a RNR’s se refiere. La

prueba de estabilidad que se presenta a continuación es en el sentido de Lyapunov. Sea la RNRE descrita

por las ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6);

1 ,X k AX k BU k

,Z k f X k

,Y k f CZ k

y considere la planta no lineal descrita por las siguientes ecuaciones [29]:

1 ( , )k k kx g x u (2.31)

( , )k k ky h x u (2.32)

Las funciones no lineales de la planta y las funciones de activación de la RNRE cumplen con las

siguientes consideraciones:


53

Suposición 1. La planta dinámica es localmente Lipschitz, entonces las funciones g , h son tales

que

0 1: , kg g g g g g g x (2.33)

0 1: , kh h h h h h h x (2.34)

Suposición 2. Las funciones de activación f de la RNRE tienen la siguiente aproximación en

series de Taylor

( )( ) ( )

ff f

(2.35)

con el término es acotado por

22

2L (2.36)

el error de aproximación es definido como

ˆk k ke y y (2.37)

1 1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( , )k k k k k k k ke y y f C x f Cx h x u (2.38)

ahora definamos el error de estimación del estado como

ˆk k kx x (2.39)

1 1 1ˆk k kx x ˆ( ) ( ) ( , )k k k k k k k kf A x B u f Ax Bu g x u (2.40)

entonces el error de aproximación y el error de estimación de estado son acotados.

Si se cumplen las condiciones anteriores, el algoritmo para la actualización de los pesos de la

RNRE está dado por las ecuaciones (2.14) y (2.16), y reescribiéndolas de la siguiente manera tenemos:

1 1k k k kW W W W (2.41)


54

Definamos una función candidata de Lyapunov

2 2 2

k k k kL A B C ;2 2 2

1 1 1 1k k k kL A B C (2.42)

Si el algoritmo de aprendizaje para la actualización de los pesos está dado por (2.41) entonces

tenemos que:

2 2 22 2 22 21 1 1 1

2 2 22 2 22 21 1 1

2 2 22 2 22 21 1 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

L A A A tr A A tr A A tr A A

B B B tr B B tr B B tr B B

C C C tr C C tr C C tr C C

(2.43)

considerando las leyes de actualización de las matrices A , B y C dadas por las ecuaciones (2.22),

(2.28) y (2.30) tenemos que:

3 3 1 3 3 1

3 3 1 3 3 1

3 3 3

2 2 2 22 22 21 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2

T T T T T Tk k k k k k k k k k k k k k k

T T T T T Tk k k k k k k k k k k k k k k k k k k

T T Tk k k k k k k

L L e x e u e z e x e u e z

tr A e x B e u C e z tr A e x B e u C e z

tr e x e x e u e 3 1 11 1 T T Tk k k k ku e z e z

(2.44)

Ahora debido a la definición de error dada en las ecuaciones (2.37) y (2.38), sacando a éste como

término común, usando propiedades de la traza y utilizando una propiedad de desigualdad establecida en

[39], pueden ser obtenidas las siguientes sentencias:

2 2 2 22 2 1max 3 max 5

2 2 2 22 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 max 3 max 5 1

ˆ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2) )

ˆ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2) )

T T T T Tk k k k k k k k k k k k

T T T T Tk k k k k k k k k k k

L f z C f y x f z C f y u f y z e

f z C f y x f z C f y u f y z e d

2 2

1k k kL e e d (2.45)

Donde las dinámicas no modeladas, perturbaciones, errores de aproximación están representados

por el término d como se muestra a continuación:

1 1 146 6 3 1 2

2 2 2 2 2 22 2 2 21 1 1 1 1:

k k k k k k k k k k kd e e e e (2.46)


55

La ecuación (2.45) nos permite establecer el siguiente teorema, cuya demostración se ha

presentado:

Teorema de estabilidad [30]: Sea la RNRE con una estructura canónica de Jordan, [59],

descrita por las ecuaciones (2.4), (2.5), (2.6) y (2.7); y el modelo de la planta no lineal dado por las

ecuaciones (2.31) y (2.32). Y aplicando el algoritmo BP para la actualización de las matrices de pesos

kA , kB y kC dado por la ecuación (2.41), con parámetros de aprendizaje y derivados utilizando la

siguiente función de Lyapunov (ecuación (2.42))

222 ~~~kkkk CBJL

Entonces el error de identificación es Acotado.

2 21k k kL e e d

donde los parámetros de aprendizaje y son acotados como se muestra a continuación:

0 1 ; 0 1


56

Capítulo 3, [25]

Identificación y control de sistemas utilizando RN

3.1 Identificación de sistemas utilizando RN

Para realizar el control Mediante una Red Neuronal es necesario construir un modelo matemático

en el espacio de estados de la planta a controlar para, posteriormente, hacer una identificación paramétrica

y utilizar estos resultados en el diseño del controlador. La identificación del sistema es un proceso

fundamental previo al control del o los procesos que se lleven a cabo por la planta, ya que nos permite

obtener información medular del comportamiento del sistema, el cual, hasta antes de la identificación

aparece ante nosotros como una “caja negra”. El objetivo de la identificación es conocer los estados y

parámetros de la estructura de la planta, así como obtener un modelo que tenga un comportamiento

aproximado a esta.

El uso de las redes neuronales para la identificación de sistemas se ha extendido de manera

importante debido a que permiten aproximar una gran variedad de clases de funciones no lineales con

suficiente precisión, haciendo de ellas las principales candidatas para utilizarse en modelos dinámicos,

para la representación de plantas no lineales.

3.1.1 Identificación de sistemas

La caracterización e identificación son problemas fundamentales en la teoría de sistemas. El

problema de caracterización consiste en la representación matemática de un sistema; el modelo de un

sistema es expresado como un operador P de un espacio de entrada U a un espacio de salida Y y el

objetivo es caracterizar la clase P a la cual P pertenece. Dada la clase P y el hecho que P P , el

problema de identificación es determinar la clase ˆ P P tal que P aproxime a P en algún sentido

deseado.


57

El problema de reconocimiento de patrones es un ejemplo típico de identificación de sistemas

estáticos. En estos problemas, conjuntos compactos niU R son mapeados a elementos m

iy R ;

1,2,...,i en el espacio de salida por una función de decisiónP . Los elementos de iU denotan los

vectores de patrones correspondientes a la clase iy . En sistemas dinámicos, el operadorP , que representa

a una planta dada, es definido implícitamente por el par de entrada-salida de las funciones del tiempo ( )u t ,

( )y t , [0, )t T . En ambos casos el objetivo es determinar P tal que

ˆˆ ( ) ( ) ,y y P u P u u U (3.1)

para algún 0 deseado y con una norma apropiadamente definida en el espacio de salida (denotada

). En la ecuación (3.1) ˆ ˆ( )P u y denota la salida del modelo de identificación de ahí que

y y e , donde e es el error de salida generado por P y la salida observada y .

En el campo de los sistemas lineales invariantes en el tiempo con parámetros desconocidos la

obtención de modelos de identificación ha sido bastante bien estudiada, por ejemplo:

Sea

1 ( ) ( )

( )

x k A k Bu k

y k Cx k

(3.2)

una planta SISO controlable y observable, la matriz A y los vectores B y C pueden ser elegidos de tal

forma que la ecuación (3.2), puede ser escrita como:

1 1

0 0

1n m

p i ji j

y k y k i u k j

(3.3)

donde i y j son parámetros constantes desconocidos. Esto implica que la salida al tiempo 1k es

una combinación de sus entradas y salidas pasadas.

La ecuación (3.3) motiva la construcción de los siguientes modelos de identificación, [29]:


58

Modelo Paralelo

La salida de este modelo al tiempo 1k es una combinación lineal de sus entradas y salidas

pasadas como se muestra a continuación:

1 1

0 0

ˆˆ ˆ ˆ1 ( ) ( )n m

i ji j

y k k y k i k u k j

(3.4)

donde i , 0,1,..., 1i n y j , 0,1,..., 1j m son parámetros ajustables.

Modelo Serie-Paralelo

La salida de este modelo al tiempo 1k es una combinación lineal de sus entradas y salidas

pasadas de la planta como se muestra a continuación:

1 1

0 0

ˆˆ ˆ1 ( ) ( )n m

i ji j

y k k y k i k u k j

(3.5)

donde i , 0,1,..., 1i n y j , 0,1,..., 1j m son parámetros ajustables.

3.1.2 Identificación con Redes Neuronales

Ha sido extensa la aplicación de las redes neuronales en el campo de la identificación gracias a su

capacidad en la aproximación de funciones, [6], [11], [13], [20], [29], [10], entre muchos otros.

En [29] son presentadas cuatro estructuras de sistemas no lineales básicas, las cuales son descritas

a continuación, aunque se han dado para sistemas SISO es posible generalizar para el caso multivariable.

Modelo I:

1

0

1 , 1 ,..., 1n

ii

y k y k i g u k u k u k m

Modelo II:

1

0

1 , 1 ,..., 1m

ii

y k f y k y k y k n u k i


59

Modelo III:

1 , 1 ,..., 1 , 1 ,..., 1y k f y k y k y k n g u k u k u k m

Modelo IV:

1 , 1 ,..., 1 ; 1 ,..., 1y k f y k y k y k n u k u k m

donde u k y y k representan la entrada y salida de la plantas SISO al tiempo k , y m n . En la

figura 3.1 se muestran el conjunto de modelos. Las funciones : nf en los modelos I y II y

: n mf en IV, así como : mg en I y III son asumidas a ser funciones diferenciables en

sus argumentos. En los cuatro modelos, la salida de la planta al tiempo 1k depende de sus entradas y

salidas pasadas. La dependencia de y k i , 0,1,..., 1i n es lineal para el modelo I, mientras que

en el modelo II la dependencia lineal es con respecto u k j , 0,1,..., 1j m . En el modelo III la

dependencia no lineal con respecto a y k i y u k i es separable. En el modelo IV se tiene

también una dependencia no lineal con respecto a y k i y u k i , y se considera como una

subsuma de los modelos I-III. Si una planta no lineal no puede ser descrita por la ecuación (3.2) y es

observable, entonces esta puede ser representada por alguno de los modelos. A pesar de ser más general el

modelo IV es analíticamente menos tratable y por lo tanto para aplicaciones prácticas es preferible

cualquiera de los otros modelos.

Tomando estos modelos como referencia se puede hacer identificación utilizando RN. Supóngase

desconocidas las funciones f y g entonces una RN es aplicada para identificar las funciones dadas. Es

posible que una sola RN sea capaz de identificar las dos funciones, en otras palabras, empleando una RN

con múltiples entradas y múltiples salidas. Más adelante se mostrará mediante resultados en simulación la

prueba de esta afirmación. En base a lo anterior los modelos de identificación I-IV son representados de la

siguiente forma:

Modelo IRN:

1

0

1 , 1 ,..., 1n

ii

y k y k i N u k u k u k m


60

(d)

(b)(a)

(c)

Modelo IIRN:

1

0

1 , 1 ,..., 1m

ii

y k N y k y k y k n u k i

Modelo IIIRN:

1 21 , 1 ,..., 1 , 1 ,..., 1y k N y k y k y k n N u k u k u k m

Modelo IVRN:

1 , 1 ,..., 1 ; , 1 , 1y k N y k y k y k n u k u k u k m

donde N , 1N y 2N representan RN.

Figura 3.1 Modelos de Identificación. (a) Modelo I. (b) Modelo II. (c) Modelo III. (d) Modelo IV.


61

Estos modelos IRN-IVRN representados en esta forma asumen que las respectivas RN son del

tipo RNFF como el PMC, sin embargo también es posible utilizar RNR en lugar de éstas. Las estructuras

anteriormente mostradas son útiles para una clase de sistemas bien definidos, en los cuales, se tiene cierto

conocimiento de su estructura, lo cual, hace limitado su uso, especialmente, en sistemas no lineales.

3.1.3 Identificación con Redes Neuronales Recurrentes

Existen diferentes arquitecturas y procedimientos para identificar sistemas utilizando redes

neuronales recurrentes. Trabajos como [20], [44], [45] distinguen la gran aplicabilidad de las RNR en

tareas de identificación, sin embargo, experimentan ciertas limitaciones como lo es el conocimiento del

orden del sistema, o como en [46] en donde se muestra una RNR que es capaz de identificar con un

esquema paralelo, pero no genera sus estados. La RNRE además de ser capaz de generar su propio estado,

el cual es retroalimentado, no está sujeta a consideraciones del orden del sistema. El procedimiento que

utilizamos para entrenar una red neuronal con la finalidad de representar la dinámica de una planta se

conoce como modelado directo, el cual se ilustra en la figura 3.1. En este esquema de identificación la red

neuronal se conecta en paralelo con la planta y el error de identificacióne , el cual, se forma con la

diferencia que existe entre la salida real y la salida estimada, es decir ˆikE Y Y . Este error de

identificación es el que se utiliza para alimentar al algoritmo de aprendizaje de la red neuronal para

actualizar los pesos, esto con la finalidad de que y se aproxime a py .

Figura 3.2 Identificación dinámica de una planta.

Planta

RNR

Algoritmo de

Aprendizaje

Perturbaciones


62

Esta es una estructura de aprendizaje supervisado clásica en donde el tutor, en este caso la planta,

proporciona los valores deseados directamente en el sistema coordenado de la red neuronal.

3.2 Control de un motor utilizando RNRE

En esta sección de la tesis se abordarán los fundamentos básicos del control de sistemas utilizandoRNRE, los tipos de control que existen en esta modalidad, topologías y ejemplos de su desempeño.

El uso de Redes neuronales en el control de sistemas no es novedoso [2], [3], [18]; sin embargo,su implementación no es tan popular en aplicaciones industriales, debido a que el controlador clásico PIDha respondido con eficacia a la mayoría de éstas. A pesar de ello las RN han demostrado un desempeñosobresaliente en el control de ciertos sistemas particulares, como por ejemplo los sistemas MIMO. En estaocasión, se hará la comparación entre controladores clásicos y neuronales para un motor.

3.2.1 Sistemas de control

La teoría de control trata del análisis y síntesis de sistemas dinámicos en el cual una o más variablescumplen ciertas condiciones. Sea el sistema no lineal

1 ,x k x k u k (3.6)

y k x k

donde : n m n y : n son funciones suaves que se asumen conocidas. El problemade control es diseñar un controlador que genere una señal de control u k basado en toda la informacióndisponible al instante k . En el campo de los sistemas lineales existe un vasto conocimiento en técnicas decontrol, sin embargo, para sistemas no lineales esto no es así.

Un problema muy común en Control Automático es proporcionar una entrada de control correctade tal forma que una planta no lineal sea llevada de un estado inicial ox hasta un estado final o deseado

dx . La forma en que usualmente se resuelve el problema es linealizando la planta alrededor de un ciertonúmero de puntos de operación, construir un modelo lineal de espacio de estados en esos puntos deoperación y entonces construir un controlador, pero para plantas no lineales es requerido un esfuerzocomputacional importante.


63

3.2.1.1 Sistemas de control en el espacio de estados

En la teoría de control clásico, solo se consideran importantes las señales de entrada, de salida yde error; el análisis y diseño se efectúan utilizando funciones de transferencia junto con una serie detécnicas gráficas como los diagramas de lugar de las raíces y de bode [32].

La desventaja principal de la teoría de control convencional, es que en general, solo se aplica asistemas lineales invariantes en el tiempo, con una entrada una salida. A veces resulta inútil para sistemasvariantes en el tiempo, sistemas no lineales y sistemas MIMO. Entonces las técnicas convencionales, notienen aplicación en sistemas de control óptimo o adaptable, que en su mayoría son variantes en el tiempoy/o no lineales.

En el método de espacio de estados se pueden diseñar sistemas con los polos en lazo cerradodeseados. O sistemas de control óptimos respecto a índices de desempeño determinados e incluircondiciones iniciales en caso de que sean necesarias, no obstante se requiere una descripción matemáticaprecisa de la dinámica del sistema en contraste con los métodos convencionales donde, por ejemplo, lascurvas experimentales de respuesta en frecuencia que no tiene exactitud suficiente, se puede incorporar aldiseño sin sus descripciones matemáticas.

3.2.1.2 Sistemas de control adaptable

Uno de los métodos de control más usados en el espacio de estados es el control adaptable ya quees un método versátil ante situaciones de cambio en los parámetros de la planta y/o desconocimiento delos mismos.

Considere primero el caso cuando los parámetros del modelo dinámico de la planta sondesconocidos pero constantes. En tal caso, mientras la estructura del controlador puede no depender engeneral de los parámetros de la planta, el correcto ajuste del controlador no puede ser hecho sin elconocimiento de tales valores. Las técnicas de control adaptable [1], [23], [26], [42], proveen unprocedimiento de sintonización en lazo cerrado para los parámetros del controlador. En tales casos elefecto de la adaptación desaparece con el tiempo, y cambios en la operación provoca un nuevo comienzoen el proceso de adaptación.

Considera ahora el caso en el que los parámetros del modelo de la planta cambian aleatoriamenteen el tiempo. Esto ocurre porque las condiciones ambientales cambian o porque hemos consideradomodelos lineales de sistemas no lineales. Estas situaciones también ocurren cuando los parámetros delsistema varían lentamente. El control adaptable es considerado cuando un gran cambio, del que no se tieneconocimiento, en los parámetros de la planta, ocurre de modo que se tenga un nivel de desempeño


64

aceptable del controlador y éste se mantenga. En tales casos la adaptación puede ser continua.

El desconocimiento y variaciones no medidas de los parámetros del proceso degradan eldesempeño de sistema de control. Similarmente a las perturbaciones actuando sobre las variables decontrol, uno puede considerar que las variaciones en los parámetros del proceso son causadas porperturbaciones actuando sobre los parámetros. Estas perturbaciones en los parámetros pueden afectar eldesempeño del sistema de control.

Figura 3.3: Esquema básico de un sistema de control adaptable.

Asociado a la figura 3.3 podemos considerar la siguiente definición de sistema de control

adaptable, donde el mecanismo de adaptación en un algoritmo que calcula los componentes del gradientede la función de costo con respecto a los parámetros de ajuste.

Definición 3.2.1: “Un control adaptable mide un cierto índice de desempeño del sistema decontrol usando las entradas, los estados las salidas y las perturbaciones conocidas. De la comparacióndel índice de desempeño medido con otro deseado, el mecanismo de adaptación modifica los parámetrosdel controlador ajustable y/o genera un control auxiliar tal que mantenga el índice de desempeño medidocercano del deseado”.

Mientras el control por retroalimentación convencional es orientado primeramente a laeliminación de los efectos de las perturbaciones sobre las variables de control, el control adaptable esorientado hacia la eliminación de los efectos sobre el desempeño del sistema de control cuando existenvariaciones de los parámetros de la planta. Un controlador adaptable puede ser interpretado como uncontrol por retroalimentación donde la variable de control es el índice de desempeño.

El control adaptable se fundamenta en la siguiente hipótesis: “Para cualesquiera valores posiblesde los parámetros del modelo de una planta existe un controlador con una estructura fija y complejidadtal, que el desempeño especificado puede ser alcanzado con valores apropiados en los parámetros decontrol [23]”. Así pues, para sistemas discretos así como para sistemas continuos, lineales ambos, leyes de

+

Perturbaciones

ControlAdaptable Planta

Mecanismode

Adaptación

Referencia


65

control estables pueden ser determinadas si está disponible información concerniente a la función detransferencia de la planta. En el caso de sistemas no lineales es necesario ver que el controlador tiene losgrados de libertad necesarios para alcanzar el objetivo deseado, es decir, primero mostrar que existe paracada valor de parámetros de la planta la matriz de parámetros óptimos del controlador, y segundodeterminar leyes de control estables que ajusten a los parámetros del controlador conforme el error decontrol tiende a cero [29].

Como vemos la forma en que los parámetros del controlador se adapten es de vital importancia, enla figura 3.3 el mecanismo de adaptación es relativo a este aspecto. Un método usado para este propósitose basa en la teoría del gradiente descendente, igual que la regla delta utilizada para actualizar los pesos deuna RN se busca minimizar un índice de desempeño, esto es, si el error e es el generado por la diferenciaentre la señal de referencia dy y a salida de la planta y , de y y y los parámetros del controlador,el índice de desempeño o función de costo es

212e (3.7)

Buscamos reducir al máximo este criterio, para esto modificamos los en dirección negativa algradiente de , esto es que

(3.8)

que es igual a la forma en que adaptamos los pesos de la RN con el BP, es llamada constante deentrenamiento. Esta representa la forma más sencilla e adaptar los parámetros, pero existen otros métodosmás complicados como es el caso del uso de la función de Lyapunov [38], [43].

Así pues la ecuación que describe un control adaptable en tiempo discreto es la siguiente:

1 2, ,..., ,nu k r k (3.9)

1i ik k

(3.10)

donde 1: n m es una función lineal y i son los parámetros del controlador.

Según Astrom [1], este esquema de control proporciona ciertas ventajas como:

No es necesario conocer exactamente el modelo del sistema. Puede ser aplicado a sistemas no lineales. La adaptación es buena si es pequeña.


66

Existen cuatro diferentes formas en que se implementa el control adaptable, estas son: I) ControlAdaptable en Lazo Abierto [42], II) Control Adaptable Directo, III) Control Adaptable Indirecto [29] yIV) Control Adaptable con Modelo Interno [29], [27]. En este capítulo abordaremos únicamente elControl Adaptable Directo pues es el que se aplicará para nuestro sistema.

3.2.1.3 Control adaptable directo

En el control adaptable directo, los parámetros del controlador son ajustados directamente parareducir cierto índice de desempeño. En muchos casos, el desempeño deseado del control adaptable directopuede ser especificado en términos de las características de un sistema dinámico el cual es una realizaciónde la conducta deseada del sistema en lazo cerrado. En estos casos, el controlador es diseñado tal que paraun modelo de una planta dada, el sistema en lazo cerrado tiene las características de la dinámica buscadadel sistema.

Establecido lo anterior, el diseño de un control adaptable directo puede ser equivalentementeformulado como en la figura 3.4. El modelo de referencia de esta figura es una realización del sistema condesempeño deseado. La construcción del control es ahora hecho de tal forma que:

1. El error entre la salida de la planta y la del modelo de referencia sean idénticamente cero paracondiciones iniciales iguales.

2. Un error inicial debe desaparecer con una cierta dinámica.

Entonces cuando los parámetros de la planta son desconocidos o cambian con el tiempo, de modo quese alcance o se mantenga un desempeño dado, se debe tomar en cuenta un esquema de Control AdaptableDirecto por Modelo de Referencia y es mostrado en la figura 3.4 [18], [23], [29].

Figura 3.4 Esquema de Control Adaptable Directo por Modelo de Referencia.

Este esquema es basado en la observación de que el error de la planta y el modelo de referencia es

una medición de la diferencia entre el desempeño real y el deseado. Esta información es usada por el

ControlAdaptable Planta

Mecanismo deAdaptación

Referencia

Modelo deReferencia


67

mecanismo de adaptación para directamente ajustar los parámetros del controlador en tiempo real de talforma que el error entre la planta y el modelo de referencia tienda a cero.

La ecuación que describe el Control Adaptable Directo en tiempo discreto, cuando la adaptaciónes realizada utilizando la regla delta es:

1 2, ,..., ,nu k r k (3.11)

i ik k

(3.12)

donde u es la señal de control, es una función no lineal, son los parámetros del controlador, r es la

señal de referencia, e es el error generado por la diferencia entre la salida de la planta y la señal de

referencia, es el índice de desempeño y es la constante de entrenamiento. Nótese que las ecuaciones

3.11 y 3.12 son similares a las ecuaciones 3.9 y 3.10, esto se debe a que el control adaptable directo es el

esquema de control adaptable más usado.

A pesar de su elegancia, el uso del control adaptable directo es limitado por la hipótesis relativa alsubyacente diseño lineal en el caso de parámetros conocidos. Mientras el desempeño en muchos casospuede ser especificado en términos de un modelo de referencia, las condiciones para la existencia de unposible control permitiendo que el modelo de referencia actúe en lazo cerrado son restrictivas. Una de laslimitaciones básicas es la suposición de tener el modelo de la planta ceros estables en todos los casos, elcual en tiempo discreto es bastante restrictivo, [23].

3.2.2 Control adaptable usando redes neuronales recurrentes entrenables

Por definición un esquema de control que use redes neuronales es un control adaptable, ya que lared neuronal siempre ajusta sus pesos tratando de minimizar un cierto índice de desempeño. En contrastecon los sistemas lineales para los que existe una extensa teoría sobre control adaptable [28], muy poco seha investigado respecto al control adaptable de sistemas no lineales. Recientemente las redes neuronales sehan dado a conocer como unas poderosas herramientas en el aprendizaje de la dinámica de sistemas nolineales. Debido a su paralelismo masivo, rápida adaptación e inherente capacidad de aproximación, [15],las RN han concentrado a un gran número de científicos e investigadores, especialmente en el área deidentificación y control. En la literatura uno puede encontrar trabajos interesantes sobre este tema, [10],[9]. A continuación se presentan dos esquemas de control adaptable.


68

3.2.2.1 Control adaptable directo, [3]

La figura 3.5 muestra el esquema de control directo adaptable utilizando dos redes RNRE. LaRNRE-1 es un identificador (estimador) de los estados de la planta que se usan como entradas a la red decontrol RNRE-2 tiene una segunda entrada que es la señal de referencia. El error de identificación ie sirvepara ajustar los parámetros de la RNRE-1, mientras que el error de control ce sirve para ajustar losparámetros de la RNRE-2. Cabe mencionar que este diagrama, así como los anteriores y precedentes estánplasmados desde un punto de vista SISO, pudiéndose adecuar a sistemas MIMO sin ninguna dificultad,simplemente cambiando las señales simples de entrada y salida por vectores de entrada y salida.

Figura 3.5 Diagrama a bloques para un sistema de control directo adaptable de seguimiento de trayectoria.

Teniendo en cuenta lo anterior podemos obtener una expresión para el control. Consideremos un

sistema definido por la siguiente ecuación.

1 ,x k x k u k

y k x k

(3.13)

donde x es el estado de la planta, y es la salida y u la entrada; y son funciones continuas

diferenciables y sin pérdida de generalidad asumimos que son, cualquiera de las dos, lineales o no lineales.Entonces dada la RNRE definida por la ecuaciones (2.9), (2.10) y (2.11), podemos decir que para unsistema de la forma (3.13) una entrada de control está dada por:

1

,

c c

c

c

i

x k Ax k Bv k

z k f x k

y k f Cx k

v k r k x k

(3.14)

IdentificadorEstados

RNRE-2 PLANTA

RNRE-1Controlador


69

donde cx , A , B y C son el estado y las matrices de pesos ajustables respectivamente; ix es el vector deestados de la red de identificación; u y r son la señal de control y la señal de referencia respectivamente;o equivalentemente

,

, ,

c

c i

u k N x k v k

u k N x k r k x k

(3.15)

donde N representa una RNRE. En la figura 3.5 se muestra el esquema de este tipo de control usandoRNRE.

El esquema de control mostrado en la figura 3.5 representa el control adaptable directo usando unaRNRE como controlador. La RNRE-1 ajusta sus pesos para obtener una señal y tal que y k y k ,donde y es la salida de la planta y y la salida del sistema aproximado, los pesos de la RNRE-1 sonajustados en línea utilizando el error de identificación ie k y k y k . La RNRE-2 ajusta suspesos para obtener una señal u k tal que y k r k , donde y es la salida de la planta y r señal dereferencia. Los pesos de la RNRE-2 son ajustados en línea usando el error de control

ce k r k y k .

En la figura 3.6 se presenta el esquema de control directo adaptable utilizando tres RNRE. Dos deellas forman parte del controlador, y la tercera es un identificador (estimador) de los estados de la plantaque se usan como entrada de una de las redes de control. De esta forma el control estará formado por unaparte feed forward, dependiente de la trayectoria de referencia, y otra parte feed back, dependiente de losestados que genera el identificador neuronal.

La ley de control está dada por la suma siguiente:

( ) ( )ff fbU k u k u k (3.16)

donde ffu k ya ha sido definida previamente por la ecuación (3.8), es decir:

1 1 ,ff cu k N x k r k (3.17)

donde 1N es el control generado por la RNRE-2, que depende de la señal de referencia.

La expresión para fbu k es una variación de la ecuación (3.10), pues en este caso

iv k x k , quedando la expresión como se muestra a continuación:


70

2 2

2 2

,

,

fb c

fb c i

u k N x k v k

u k N x k x k

(3.18)

donde 2N es el control de retroalimentación generado por la RNRE-3, y depende del vector de estadosgenerado por la red de identificación.

Sustituyendo la ecuación (3.12) en la ecuación (3.11) obtendremos la siguiente expresión:

1 1 2 2, ,c c iU k N x k r k N x k x k (3.19)

Tanto las RNRE’s de control 2 y 3 como la RNRE de identificación están definidas por lasecuaciones (2.9), (2.10) y (2.11). La RNRE-1 ajusta sus pesos para obtener una señal y tal que

y k y k , donde y es la salida de la planta y y la salida del sistema aproximado, los pesos de laRNRE-1 son ajustados en línea utilizando el error de identificación ie k y k y k . La RNRE-2 yla RNRE-3 ajustan sus pesos para obtener una señal U k tal que y k r k , donde y es la salida dela planta y r señal de referencia. Los pesos de la RNRE-2 y la RNRE-3 son ajustados en línea usando elerror de control ce k r k y k .

Figura 3.6 Diagrama de bloques para un sistema de control adaptable directo utilizando tres RNRE.

RNRE-2 PLANTA

RNRE-1

IdentificadorRNRE-3


71

CAPÍTULO 4

Simulaciones y resultados

En este apartado se presentan los resultados tanto de simulación como prácticos de los dos

diferentes esquemas de control (PID y RNRE), aplicados a nuestra planta, así como los cálculos y

procedimientos que fueron necesarios para el desarrollo de este sistema.

4.1 Motor

4.1.1 Cálculo de los parámetros del motor

Primeramente se compró el motor de C.D. que vamos a utilizar:

Figura 4.1 Motorreductor metálico con relación de engranaje 131:1.

Rango de voltaje de operación: 6 a 12Vdc.

Características a 12Vdc:

-Velocidad: 80RPM.

-Corriente sin carga:300mA

-Corriente máxima: 5A

-Torque máximo: 18 Kg-cm (250oz-in).

Características a 6Vdc:

-Velocidad: 40RPM.

-Corriente sin carga:250mA

-Corriente máxima: 2.5A

-Torque máximo: 9 Kg-cm (125oz-in).

Dimensiones: 37D x 57L mm

Peso: 193gramos

Largo del eje: 12mm en forma de "D".

Dimensiones (mm) : 26.5 mm


72

Figura 4.2 Dimensiones del motor

Encoder

Es un codificador de dos canales de efecto hall, se utiliza para detectar la rotación de un disco

magnético en una protuberancia posterior del eje del motor.

Proporciona una resolución de 64 conteos por revolución del eje del motor, lo que corresponde a

8384 conteos por revolución del eje de salida de la caja de cambios.

Sensor requiere una tensión de entrada, entre 3.5 y 20 V y dibuja un máximo de 10 mA. Las

salidas A y B son ondas cuadradas de 0 V a Vcc aproximadamente 90 º fuera de fase. La

frecuencia de las transiciones que le dice a la velocidad del motor, y el orden de las transiciones

que indica la dirección. Contando tanto los flancos de subida y la caída tanto de las salidas A y B,

es posible obtener 64 conteos por revolución del eje del motor. Utilizando sólo un solo borde de

un canal de resultados en 16 conteos por revolución del eje del motor, por lo que la frecuencia de

la salida de un osciloscopio en la captura anterior es 16 veces la frecuencia de giro del motor.

Ya teniendo nuestro motor, se calcularon todos los parámetros necesarios para calcular el modelo

matemático de este.

Se midió la resistencia de la armadura (resistencia interna) y la inductancia del motor, dando como

resultado los valores presentados a continuación:

Cabe mencionar que en el caso de la resistencia de la armadura, fue necesario realizar varias

mediciones y tomar el promedio debido al efecto que producen las escobillas en el sistema al realizar la

medición de este parámetro.


73

RESISTENCIA INTERNA A 6 V

1.- 5.9 Ω

2.- 6.0 Ω

3.- 3.6 Ω

4.- 7.0 Ω

5.- 5.6 Ω

6.- 5.1 Ω

7.- 4.6 Ω

8.- 5.7 Ω

9.- 5.6 Ω

10.- 4.9 Ω

PROMEDIO: 5.4 Ω

RESISTENCIA INTERNA A 12 V

1.- 10.3 Ω

2.- 8.0 Ω

3.- 7.2 Ω

4.- 8.8 Ω

5.- 9.3 Ω

6.- 7.5 Ω

7.- 10.3 Ω

8.- 11.5 Ω

9.- 11.2 Ω

10.- 10.4 Ω

PROMEDIO: 7.97 Ω

INDUCTANCIA: 1.602 mH

4.1.2 Modelo matemático del motor

Partiendo de:

-+ W(s)

Kb

KT

(b)

-+

-+ W(s)

Kb

KT

T

(a)


74

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1 ( )( ) 1 ( )

( ) ( ) ( )

T TT

a a m a a ma a m T

T T b a a m T b a a m T bb

a a m a a m a a m

K KK

R sL J s R sL J sR sL J s K

K K K R sL J s K K R sL J s K KK

R sL J s R sL J s R sL J s

Dividiendo entre LaJm:

Figura 4.3 (a), (b), (c), (d) y (e) Álgebra de bloques empleada desde el concepto básico de máquina eléctrica para determinar lafunción de transferencia del motor.

Donde:

Va = 12 V

ia = 300 mA

ω= 80 rpm

em= 12 V

Tg= 250 oz in

La= 1.602 mH

Ra= 7.97 Ω

Kb= = 0.15 V

KT= = 833.33

Jm= 20.7 oz in s2

-+G(s)

W(s)

Kb

(c)

W(s)G(S)

(d)

W(s)G(s)

(e)


75

Figura 4.4 Función de transferencia del motor

Una vez obtenida nuestra función de transferencia, se calculan los siguientes polos:

P1= -0.76

P2= -4974.27

al encontrarse ambos polos en el semiplano izquierdo, se determina que el sistema es estable.

Posteriormente se realiza el cálculo de ξ:

2 ξ ωn = 4975.03ξ= 40.51

40.51 > 1∴ el sistema es sobre amortiguado

4.1.3 Representación de la F.T. en Espacio de Estados

Para obtener la forma canónica controlable, es necesario partir de la función de

transferencia:

Y(s) =2

158.52

4975.03 3769.29s s (4.1)

teniendo que:

A0 = 3769.29

A1 = 4975.03

n = 2

b0 = 158.52

m = 0

por lo tanto m < n

G(s) W(s)


76

Y la forma canónica controlable quedaría:

1 1

2 0 1 2

0 1 0

1

X Xu

X A A X

1

0

2

0X

y bX

1 1

2 2

0 1 0

3769.29 4975.03 1

X Xu

X X

1

2

158.52 0X

yX

4.1.4 Controlabilidad y Observabilidad

Para saber que nuestro sistema es controlable realizamos lo siguiente.

Partiendo de la ecuación 4.3 y sabiendo que la matriz de controlabilidad (Q) está definida como:

2 1 nQ B AB A B A B

Se tiene que la matriz de controlabilidad del sistema es:

1 4975.03

0 1Q

donde su det ≠ 0 y es de rango = 2 ∴ si es controlable.

Ahora, para saber que el sistema es observable se realizó lo siguiente partiendo de la

ecuación 4.3, sabiendo que la matriz de observabilidad (O) está definida como:

2

1n

C

CA

O CA

CA

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)


77

Se tiene que la matriz de observabilidad del sistema es:

158.52 00

0 158.52

Donde su det ≠ 0 y es de rango = 2 ∴ si es observable.

4.1.5 Error en estado estacionario

Sabiendo que:

ℓss =

0

1 12

1lims

sGo s

(4.8)

ℓss =

0

12

1lims Go

(4.9)

donde:

Go = Gc (s) G(s) (4.10)

Go =

2 T

a m m a T b

KKiKp Kds

s s L J sJ R K K(4.11)

Go =

2

152.38

4975.03 3769.42

KiKp Kds

s s s(4.12)

Go =

2

2

152.38

4975.03 3769.42

Kps Ki Kds

s s s(4.13)

Go =

2

2

152.38( )

( 4975.03 3769.42)

Kps Ki Kds

s s s(4.14)

ℓss =

2

2

0

12

152.38( ) 1

( 4975.03 3769.42)

lims Kps Ki Kds

s s s

(4.15)

(4.7)


78

ℓss =

2 2

2

0

12

( 4975.03 3769.42) 152.38( )

( 4975.03 3769.42)

lims s s s Kps Ki Kds

s s s

(4.16)

ℓss =

2

2 20

12 ( 4975.03 3769.42)

( 4975.03 3769.42) 152.38( lims

s s s

s s s Kps Ki Kds(4.17)

ℓss = (4.18)

4.1.6 Cambio de polos del sistema

Para cambiar los polos del sistema, se parte de la ecuación 4.3:

1 1

2 2

0 1 0

3769.29 4975.03 1

X Xu

X X

1

2

158.52 0X

yX

sabiendo que los polos del sistema son:

1

0.76s

1

4974.27s

el polinomio característico deseado es:

2 3 2 0s s

la matriz retroalimentada deseada es:

0 1

2 3rA A Bk

(4.19)

(4.20)


79

20 0 1 1

det 3 20 2 3 2 3r

s sSI A s s

s s

donde k es la matriz incógnita:

1 2

0 1 0 0 1

3769.29 4975.03 1 2 3k k

1 2

0 1 0 0 0 1

3769.29 4975.03 2 3k k

1 2

0 1 0 1

3769.29 4975.03 2 3k k

donde:

1

3769.29 2k

2

4975.03 3k

1

3767.29k

2

4972.03k

3767.29 4972.03k

Figura 4.5 Retroalimentación de estado

01 - -

++ y(t)( )

[3767.29 4972.03]

[158.52 0]∫0 1−3769.29 −4975.03

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)


80

4.2 Control de velocidad del motor con PID (Simulación)

Proponiendo Ki: 2.4

Kp = Ki Ti (4.25)

Kp = (2.4) (1.5416)

Kp = 3.7

Kd = Td Kp (4.26)

Kd = (2.7x10-6) (3.7)

Kd = 0.0001

Cabe señalar que todas las variables anteriores pueden modificar sus valores sin

necesariamente estar relacionadas una con las otras dado que se debe realizar un ajuste de los mismos

hasta obtener los resultados deseados a la salida del sistema controlado. Estos valores fueron los que

mejor se adaptaron al sistema utilizado en este apartado.

Para controlar la velocidad del motor antes descrito bajo este enfoque, se utilizó el esquema

de control mostrado en la figura D.1, haciendo uso de la planta descrita en la figura 4.5 y con señal

de entrada dada por la siguiente expresión:

r (k ) = WN (Tm , p, s ) = WN ( 25,[0.25],[2, 3,5, 1, 4]) (4.27)

donde WN (⋅) es una señal de ruido blanco con parámetros Tm, p y s . Se trata de secuencias de

pulsos de amplitud variable acotada por el intervalo [−0.5, 0.5].

Todas las simulaciones se realizaron en MATLAB® Simulink™ en tiempo continuo, el tiempo

de duración de la simulación fue de 1 minuto.

Las figura 4.6 (a) muestra la señal de referencia (azul) y la salida de la planta (roja)

controlada, y la figura 4.6 (b) muestra las mismas señales pero en un intervalo de tiempo menor para

apreciar a manera de “zoom” el control del sistema en los primeros instantes de tiempo. La figura 4.7

muestra la señal de control y por último las figuras 4.8 (a) y 4.8 (b) muestran el error en estado

estacionario y el Error Cuadrático Medio de control (el cual presenta un desempeño aceptable menor

al 2.4% del error), respectivamente.


81

Figura 4.6 Control PID: (a), (b) Comparación entre la señal de referencia y la señal de salida de la planta.

(a)

0 100 200 300 400 500 600

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo

ReferenciavsSalida

Comparación de Control

ReferenciaSalida

(b)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo

ReferenciavsSalida

Comparación de Control

ReferenciaSalida


82

Figura 4.7 Control PID: Señal de control.

0 100 200 300 400 500 600

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo

Error

Error en Estado Estacionario

(a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

SeñaldeControl

Señal de Control


83

Figura 4.8 Control PID: (a) Error en estado estacionario, (b) Error cuadrático medio de control.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1Error Cuadrático Medio

Tiempo

ErrorCuadráticoMedio

(b)


84

4.3 Control de velocidad del motor con Control Inteligente ‘RNRE’ (Simulación)

El segundo esquema de control empleado para controlar la planta antes mencionada fue el

Control Adaptable Directo utilizando tres RNRE´s, una de ellas para la identificación de los estados y

las otras dos para llevar a cabo las tareas de control, el cual quedará dividido en dos partes (uc = uff

+ ufb ), como se mostrará más adelante, para tal efecto se construyó el sistema mostrado en la figura

3.6. La topología de la RNRE de control Feedforward es (1,3,1) es decir tiene 1 entradas, 3 neuronas

en la capa oculta y 1 neuronas en la capa de salida, los parámetros de aprendizaje fueron: ηC1 = 0.01,

αC1 = 0; La topología de la RNRE de control Feedback es (3,10,1) es decir tiene 3 entradas,

10 neuronas en la capa oculta y 1 neuronas en la capa de salida, los parámetros de aprendizaje fueron:

αC2 = 0, ηC2 = 0.001; La topología de las RNRE de identificación es (1,3,1) es decir tiene 1 entradas,

3 neuronas en la capa oculta y 1 neuronas en la capa de salida, los parámetros de aprendizaje fueron:

αi = 0.001, ηi = 0.7; el tiempo de muestreo utilizado en todos los casos fue Ts = 0.01 minutos, las

funciones de activación de las redes son del tipo tangente hiperbólica; la identificación y el control del

sistema fue realizado en tiempo real, aprovechando las características de las RNRE; el tiempo de

duración de la simulación fue de 2:30 minutos. La señal utilizada como referencia es la misma

utilizada en el esquema de control anterior, descrito por la ecuación 4.27:

r (k ) = WN (Tm , p, s ) = WN ( 25,[0.25],[2, 3,5, 1, 4])

Todas las simulaciones se realizaron en MATLAB® Simulink™ en tiempo discreto.

La figura 4.9 (a) muestra la señal de referencia (azul) y la salida de la planta (roja) controlada, la

figura 4.9 (b) muestra la misma señal pro en un intervalo de tiempo menor a manera de “zoom” para

apreciar de manera más clara el control del sistema en los primeros instantes de tiempo; La figura 4.10 (a),

4.10 (b), 4.10 (c) muestran las señales de control; La figura 4.11, muestra el error instantáneo de control,

podemos observar que este error es acotado, lo cual indica que el sistema es estable; La figura 4.12

muestra el ECM de control, el cual presenta un desempeño aceptable menor al 3.03% del error. La figura

4.13(a) muestra la señal de salida de la planta (azul) controlada y la de identificación (roja) de la planta

controlada, la figura 4.13 (b) muestra las mismas señales pero en un intervalo de tiempo menor para

apreciar a manera de “zoom” la comparación de identificación en los primeros instantes de tiempo; Las

figuras 4.14 (a) y (b) muestra los estados identificados de la planta, con diferencia de intervalos de tiempo

para su mejor observación; La figura 4.15 muestra el error instantáneo de identificación para la salida de

la planta y finalmente la figura 4.16 muestra el ECM de identificación el cual presenta un desempeño

aceptable menor al 0.54% del error.


85

Figura 4.9 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a), (b) Comparación entre la señal de referencia y la señal de salida de laplanta.

0 5000 10000 15000

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo

ReferenciavsSalida

COMPARACIÓN DE CONTROL

ReferenciaSalida

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Tiempo

RefvsSalida


ReferenciaSalida

(a)

(b)


86

0 5000 10000 15000

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo

Señaldecontrolff

SEÑAL DE CONTROL I (FEEDFORWARD)

0 5000 10000 15000-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Tiempo

Señaldecontolfb

SEÑAL DE CONTROL II (FEEDBACK)

(a)

(b)


87

Figura 4.10 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) Señal de Control ff, (b) Señal de control fb. (c) Señal de control total.

Figura 4.11 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error instantáneo de Control.

0 5000 10000 15000

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiepo

Señaldecontroltotal

SEÑAL DE CONTROL TOTAL

0 5000 10000 15000

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo

Errorinstantáneo

ERROR INSTANTÁNEO DE CONTROL

(c)


88

Figura 4.12 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de control.

0 5000 10000 150000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Tiempo

ErrorMedioCuadrático

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE CONTROL

0 5000 10000 15000-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo

SeñaldelaplantavsSeñaldeidentificación

COMPARACIÓN DEL IDENTIFICADOR

PlantaIdentificador

(a)


89

Figura 4.13 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a), (b) Comparación entre la señal de salida de la planta y la señal de

identificación de la planta controlada.

2 4 6 8 10 12 14-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo

SeñaldelaplantavsSeñaldeidentificación


PlantaIdentidicador

0 5000 10000 15000

-0.1

-0.05

0

0.05

Tiempo

Estados

ESTADOS IDENTIFICADOS

x1(k)x2(k)x3(k)

(b)

(a)


90

Figura 4.14 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) y (b) Estados identificados de la planta.

Figura 4.15 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error instantáneo de Identificación.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo

Estados


x1(k)x2(k)x3(k)

0 5000 10000 15000-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Tiempo

ErrorInstantáneo

ERROR INSTANTÁNEO DEL IDENTIFICADOR

(b)


91

Figura 4.16 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de identificación.

0 5000 10000 150000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Tiempo


ERROR MEDIO CUADRÁTICO DEL IDENTIFICADOR


92

4.4 Control de velocidad del motor con PID (Pruebas físicas)

Para controlar la velocidad de la planta real bajo este enfoque, se utilizó nuevamente el esquema

de control mostrado en la figura D.1, con los valores siguientes en el PID:

Kp = 3.7

Ki = 2.4

Kd = 0.0001

Y utilizando una señal de entrada continua de 0.65.

Todas las pruebas se realizaron en MATLAB® Simulink™ en tiempo continuo, el tiempo de

duración de la simulación fue de 3:20 minutos.

Las figura 4.17 (a) muestra la señal de referencia (azul) y la salida de la planta (roja) controlada, y

la figura 4.17 (b) muestra las mismas señales pero en un intervalo de tiempo menor para apreciar a manera

de “zoom” el control del sistema en los primeros instantes de tiempo y por último la figura 4.18 muestra el

Error Cuadrático Medio de control (el cual presenta un desempeño aceptable menor al 4% del error),

respectivamente.

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

ReferenciavsSalida



93

Figura 4.17 Control PID: (a), (b) Comparación entre la señal de referencia y la señal de salida de la planta.

Figura 4.18 Control PID: Error cuadrático medio de control.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Referencia

ERROR MEDIO CUARÁTICO DE CONTROL

(b)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

ReferenciavsSalida



94

4.5 Control de velocidad del motor con Control Inteligente ‘RNRE’ (Pruebas físicas)

El segundo esquema de control empleado para controlar la planta real fue al igual que en el

apartado de simulación, el Control Adaptable Directo utilizando tres RNRE´s, una de ellas para la

identificación de los estados y las otras dos para llevar a cabo las tareas de control, el cual quedará

dividido en dos partes (uc = uff + ufb ), como se mostrará más adelante, para tal efecto se construyó el

sistema mostrado en la figura 3.6. La topología de la RNRE de control Feedforward es (1,3,1) es decir

tiene 1 entradas, 3 neuronas en la capa oculta y 1 neuronas en la capa de salida, los parámetros de

aprendizaje fueron: ηC1 = 0.01, αC1 = 0; La topología de la RNRE de control Feedback es (3,10,1) es

decir tiene 3 entradas, 10 neuronas en la capa oculta y 1 neuronas en la capa de salida, los parámetros de

aprendizaje fueron: αC2 = 0, ηC2 = 0.001; La topología de las RNRE de identificación es (1,3,1) es decir

tiene 1 entradas, 3 neuronas en la capa oculta y 1 neuronas en la capa de salida, los parámetros de

aprendizaje fueron: αi = 0.001, ηi = 0.7; el tiempo de muestreo utilizado en todos los casos fue Ts =

0.01 minutos, las funciones de activación de las redes son del tipo tangente hiperbólica; la identificación

y el control del sistema fue realizado en tiempo real, aprovechando las características de las RNRE; el

tiempo de duración de la simulación fue de 1:40 minutos. La señal utilizada como referencia es la misma

utilizada en el esquema de control anterior, una señal continua de 0.65.

Todas las simulaciones se realizaron en MATLAB® Simulink™ en tiempo discreto.

La figura 4.19 (a) muestra la señal de referencia (azul) y la salida de la planta (roja) controlada, la

figura 4.19 (b) muestra la misma señal pro en un intervalo de tiempo menor a manera de “zoom” para

apreciar de manera más clara el control del sistema en los primeros instantes de tiempo; La figura 4.20 (a),

4.20 (b), 4.20 (c) muestran las señales de control; La figura 4.21, muestra el error instantáneo de control,

podemos observar que este error es acotado, lo cual indica que el sistema es estable; La figura 4.22(a)

muestra la señal de salida de la planta (azul) controlada y la de identificación (roja) de la planta

controlada, la figura 4.22 (b) muestra las mismas señales pero en un intervalo de tiempo menor para

apreciar a manera de “zoom” la comparación de identificación en los primeros instantes de tiempo; Las

figuras 4.23 (a) y (b) muestra los estados identificados de la planta, con diferencia de intervalos de tiempo

para su mejor observación; La figura 4.24 muestra el error instantáneo de identificación para la salida de

la planta y finalmente la figura 4.25 muestra el ECM de identificación el cual presenta un desempeño

aceptable menor al 0.54% del error.


95

Figura 4.19 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a), (b) Comparación entre la señal de referencia y la señal de salida de la

planta

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

ReferenciavsControl


ReferenciaSalida

(b)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

ReferenciavsControl


ReferenciaSalida


96

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Referencia

SEÑAL DE CONTROL I (FEED FORWARD)

(b)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo

Referencia

SEÑAL DE CONTROL II (FEED BACK)


97

Figura 4.20 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) Señal de Control ff, (b) Señal de control fb. (c) Señal de control total.

Figura 4.21 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de control.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo


ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE CONTROL

(c)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo

Referencia

CONTROL TOTAL


98

Figura 4.22 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a), (b) Comparación entre la señal de salida de la planta y la señal de

identificación de la planta controlada.

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

PlantavsIdentificador


PlantaIdentificador

(b)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

PlantavsIdentificador


PlantaIdentificador


99

Figura 4.23 Control directo adaptable con tres RNRE´s: (a) y (b) Estados identificados de la planta.

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo

Referencia


x1(k)x2(k)x3(k)

(b)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo

Referencia


x1(k)x2(k)x3(k)


100

Figura 4.24 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error instantáneo de Identificación.

Figura 4.25 Control directo adaptable con tres RNRE´s: Error Cuadrático Medio de identificación.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

ErrorInstantáneo

ERROR INSTANTÁNEO DEL IDENTIFICADOR

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Tiempo


ERROR CUADRÁTICO MEDIO DEL IDENTIFICADOR


101

CAPÍTULO 5

Conclusiones

La descripción del sistema, el cual es el ejemplo central de este trabajo se presentó en el capítulo4. Se obtuvo el modelo matemático de un motor de corriente directa aplicando técnicas de simplificación,cambio de polos y representación es espacio de estados. Al evaluar el modelo resultante se obtuvorespuestas bastante aproximadas a las que se obtendrían de un sistema real, además de que permitióconocer la dinámica interna del sistema.

Las Redes Neuronales Artificiales son poderosas herramientas para la identificación y el controlde sistemas. Para poderlas ocupar correctamente y obtener buenos resultados mediante su implementaciónes fundamental conocer y manejar los conceptos básicos de los elementos que las conforman, lastopologías y los diferentes tipos de aprendizaje que existen, los cuales son tratados brevemente a lo largode este trabajo. También se presentó el método diagramático para poder derivar los algoritmos deaprendizaje como el BP de una forma más sencilla.

Todas las simulaciones y resultados presentados en este trabajo se realizaron utilizando RNRE,debido a las ventajas que presentan sobre otro tipo de redes estáticas. En los capítulos 2 y 3 se hapresentado una teoría general acerca de las RN, abarcando tópicos importantes como lo son las topologías,estructura, controlabilidad, observabilidad, aprendizaje y estabilidad. La marcada limitación queexperimentan las RN estáticas en cuanto a no poseer dinámica en su estructura y el tener que requerir unagran cantidad de neuronas para llevar a cabo la mayoría de los procesos son sus mayores desventajas antelas RNR.

La identificación es de gran importancia e interés para el control de procesos, ya que permiteobtener información del comportamiento del sistema, por lo que es necesario conocer las herramientaspara poder llevar a cabo esta tarea. Tales elementos son dados a conocer en el capítulo 5; en dichocapítulo, quedó de manifiesto el poder de adaptación que tiene la RNRE para la identificación de sistemas,en donde se mostró que la RNRE se puede adaptar a condiciones y fenómenos externos al modelado de laplanta como lo son retardos en la alimentación del sistema. La RNRE utilizada fue capaz de hacer elseguimiento de la salida y la identificación paramétrica del sistema con excelentes resultados.

Finalmente el objetivo más importante de este trabajo fue alcanzado: el control del sistemapropuesto; como sabemos, existen diferentes esquemas y topologías para llevar a cabo esta tarea, elprincipal enfoque fue desarrollar un esquema de control adaptable directo utilizando 3 RNRE´s, estodebido a su sencillez de operación y a que utiliza una RNRE para sintetizar la ley de control. Losresultados obtenidos de las simulaciones fueron bastante satisfactorios, pues se propusieron diversos tipos


102

de señales de referencia y la RNRE de control fue capaz de adaptarse a todas ellas con una velocidadconsiderable, pudiéndose realizar todos los experimentos en tiempo real, únicamente se documentó un tipode entrada pues es la que se muestra más interesante y difícil de realizar para el sistema al finalizar laspruebas.

Este sistema se comparó en funcionamiento con el de un controlador clásico muy difundido, elPID; y aunque éste presento muy buenos resultados en la salida de la planta y el error es más pequeño,este no dista tanto en valores entre un esquema de control y otro. Al observar los resultados entre ambosesquemas, se hace énfasis en la utilización de las RN’s pues el PID si muestra una significativa ventaja enprecisión y exactitud en el control de un sistema como este pero es necesario conocer todos los parámetrosde la planta para su correcto y adecuado funcionamiento así como que únicamente funciona para esaplanta en específico y por el contrario en un sistema en donde se apliquen las RN’s como se hizo en estecaso, puede ser aplicable a casi cualquier sistema incluso del tipo MIMO (con algunas modificaciones enla topología de las redes), obteniendo satisfactorios resultados con errores menores al 4%.

Los resultados de este trabajo serán enviados a algunos congresos y estarán a la espera de sufutura publicación.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE TrabajosFuturos

103

Trabajos futuros

Debido a los buenos resultados obtenidos en este trabajo, a futuro y como primer paso se

pretenderá ajustar este sistema para el control de 2 o incluso 3 variables: Velocidad (que hasta el

momento ya se tiene), Posición y/o aceleración, para así poder llevar este sistema a una aplicación real que

beneficie en algún aspecto de la vida o bien aporte algo a la ciencia y tecnología en nuestro país

principalmente, por ejemplo controlando varios motores se podría realizar un brazo mecánico de precisión

o incluso podría aplicarse para controlar el movimiento de una prótesis en el cuerpo humano, etc.

Por otra parte, al realizar estudios de posgrado en esta área será bastante interesante ahondar en el

control de sistemas multivariables con retardo utilizando RNR´s y encontrar matemáticamente un criterio

que nos permita conocer hasta donde es posible llevar la estabilidad y el control del sistema.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Bibliografía

104

Bibliografía

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[3]Baruch, I., Garrido, R., Flores, J. M., “Redes Neuronales para la identificación y control desistemas no lineales”, Científica, No. 14, Marzo-Abril 1999, ESIME, pp. 39-45.

[4]Baruch, I., Gorcheva, E y Garrido, R., “Redes Neuronales para la identificación de objetos nolineales”, Científica, No. 14, Marzo-Abril 1999, ESIME, pp. 39-45.

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[9]Chen, Fu-C., “Back-Propagation Neural Networks for nonlinear self-tunning Adaptive control”,IEEE Control Syst. Mag., Vol. 10, No. 3, 1990. pp. 44-48.

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CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice A

i

APÉNDICE A

Motor

A.1 Definición, [8], [40]

Los motores eléctricos son máquinas eléctricas rotatorias que transforman la energía eléctrica en

energía mecánica. Se pueden clasificar en dos grandes grupos: los motores de Corriente Directa (CD) y los

motores de Corriente Alterna (CA).

Los motores eléctricos son los más ágiles de todos en lo que respecta a variación de potencia y

pueden pasar instantáneamente desde la posición de reposo a la de funcionamiento al máximo.

Estos motores se fabrican en potencias que varían desde una pequeña fracción de caballo hasta

varios miles, y con una amplia variedad de velocidades, que pueden ser fijas, ajustables o variables.

La conversión de energía en un motor eléctrico se debe a la interacción entre una corriente eléctrica

circulante dentro de un devanado de cobre y un campo magnético formado entre dos polos opuestos de un

imán. El motor aprovecha este tipo de fuerza para hacer girar un eje, transformándose así la energía

eléctrica en movimiento mecánico.

Los dos componentes básicos de todo motor eléctrico son el rotor y el estator.

El rotor es una pieza giratoria, un electroimán móvil, con varios salientes laterales, que llevan cada

uno a su alrededor un embobinado por el que pasa la corriente eléctrica. El estator, situado alrededor del

rotor, es un electroimán fijo, cubierto con un aislante. Al igual que el rotor, dispone de una serie de

salientes con embobinados eléctricos por los que circula la corriente.

A.2 Funcionamiento de un motor de Corriente Directa (C.D.), [40], [41]

Cuando una corriente fluye a través de un circuito de alambre conductor que puede rotar y se

encuentra dentro de un campo magnético, el circuito experimentará una fuerza en aquellas partes que se

encuentran en ángulo recto al campo magnético, haciendo que el circuito gire hasta alcanzar una posición

vertical (Figura A1). Para que el circuito continúe su giro, es necesario que la corriente que fluye a través

de él invierta su flujo.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice A

ii

Figura A1. Principio básico de funcionamiento de un motor de C.D.

A.3 Motor de C.D. con escobillas, [41]

En un motor de C.D. con escobillas el circuito de alambre se transforma en un conjunto de bobinas

montadas en las ranuras de un material magnético cilíndrico llamado armadura o rotor, (Figura A2).La

armadura, se coloca dentro del campo magnético producido por los polos del campo y se encuentra libre

para girar. Cada bobina de la armadura es conectada a través de contactos eléctricos a los segmentos

adyacentes de un anillo segmentado llamado conmutador.

Figura A2. Motor de cuatro polos, el campo magnético es producido por la corriente que fluye en las bobinas.

Los contactos eléctricos se hacen a través de contactos de carbón llamados escobillas. El

conmutador invierte la corriente de cada bobina, según la armadura se mueva entre los polos del campo,

esto para asegurar que la armadura sigua girando en la misma dirección. La dirección de rotación de un

motor de C.D. se puede cambiar invirtiendo la corriente de la armadura o la corriente del campo.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice B

iii

APÉNDICE B

Sensor

B.1 Definición

Un sensor es un dispositivo eléctrico y/o mecánico que transforma una magnitud física en un valor

que puede ser medido.

La información que es suministrada al sensor debe ser preparada de manera que pueda ser tratada y

procesada. Así, el sensor provee una señal que es interpretable para el usuario o el sistema que lo utiliza.

Las características de construcción de un sensor lo harán idóneo para una aplicación determinada y

por ello existe una gran variedad de tipos de sensores.

B.2 Sensores de desplazamiento y rotación

Los sensores de desplazamiento y rotación permiten medir, con respecto a un punto de referencia, la

distancia lineal o el ángulo que se ha movido un elemento de un sistema. Para ello cuentan con un sistema de

medición que les permite convertir un desplazamiento, ya sea lineal o rotacional, a un nivel de tensión que

permitirá evaluar la cantidad de desplazamiento.

B.2.1 Sensores basados en efecto Hall [22]

Los sensores de efecto Hall utilizan la presencia de un campo magnético para generar cambios en la

corriente que circula por un semiconductor y así proporcionar un determinado nivel de tensión.

En la (figura B1), se muestra una placa de metal semiconductor tipo “n” que conduce una corriente

eléctrica. Cuando el semiconductor es inmerso en un campo magnético, se genera un campo eléctrico,

debido a que las cargas en el semiconductor se polarizan. El campo eléctrico generado compensa al campo

magnético que se ejerce sobre el semiconductor.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice B

iv

Figura B1. Efecto Hall en un semiconductor tipo “n”.

La polarización de cargas en los extremos del semiconductor genera una diferencia de potencial V,

cuyo valor está dado por la siguiente ecuación.

V= KH( )( ) (B.1)

Donde: KH es una constante denominada coeficiente Hall.Bf es la densidad de flujo magnético.i es la intensidad de la corriente que fluye por el semiconductor.d es el grosor del conductor.

En este tipo de sensores la variación en la intensidad del flujo magnético en presencia de una

intensidad de corriente constante, provocará una variación en la diferencia de potencial a consecuencia del

efecto Hall, pudiendo determinar de ésta manera un desplazamiento o proximidad de un objeto.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice C

v

APÉNDICE C

PWM, [7]

C.1 Definición

La modulación por anchura de pulsos (PWM, del inglés pulse – width modulation) es una técnica

de modulación en la que se modifica el ciclo de trabajo de una señal periódica para, entre otras cosas,

variar la velocidad de un motor.

C.2 Funcionamiento del PWM

La Regulación por Ancho de Pulso de un motor de C.D. está basada en el hecho de que si se recorta

la corriente de alimentación en forma de una onda cuadrada, la energía que recibe el motor disminuirá de

manera proporcional a la relación entre la parte alta (habilita corriente) y baja (cero corriente) del ciclo de

la onda cuadrada. Controlando esta relación se logra variar la velocidad del motor de una manera bastante

aceptable.

Figura C1. Regulación de Ancho de Pulsos

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice D

vi

APÉNDICE D

Control PID

D.1 Control Proporcional (P), [32]

El controlador de tipo continuo más simple utilizado en los sistemas realimentados es el

controlador proporcional (P).

Con un controlador proporcional la acción correctiva, o acción de control, es proporcional al error

del proceso, es decir, proporcional a la diferencia entre la referencia y la variable medida. La relación

lineal entre el error y la señal de salida del controlador se puede expresar por medio de la siguiente

ecuación:

p pP K E (D.1)

Donde: P es la señal de salida del controladorKp es la ganancia proporcionalEp es el error del proceso (referencia menos variable medida).

El controlador proporcional no puede eliminar completamente el error del proceso. Esto se debe a

que para mantener la señal de salida del controlador con un valor dado, se requiere un error de régimen.

Generalmente, a este error se le llama desviación proporcional o error en estado estacionario, y representa

la principal desventaja de los controladores proporcionales.

Se puede ayudar a hacer mínimo el error en estado estacionario, aumentando en lo posible la

ganancia proporcional. Lamentablemente, incrementando la ganancia proporcional, también se aumenta la

tendencia hacia la inestabilidad. En realidad, cuando la ganancia es muy elevada, el controlador presenta

oscilaciones alrededor de la referencia. Por lo tanto, aumentar la ganancia proporcional no es una

solución ideal para eliminar el error de estabilidad de un proceso.

D.2 Control Proporcional - Integral (PI), [32]

Uno de los métodos para eliminar el error en estado estacionario en un sistema de control, que

cuenta únicamente con un controlador proporcional, es agregando una desviación en la salida del

controlador.


vii

Para que el error del proceso resulte nulo, el valor de esa desviación se ajusta manualmente con el

valor nominal de la carga.

Este método suele llamarse reposición manual. Cuando se agrega una desviación en la salida del

controlador, la forma de la ecuación que relaciona el error del proceso y la señal de salida del controlador,

se transforma en:

P=KpEp +Po (D.2)

Dónde: Po es la desviación en la salida del controlador.

Este método para eliminar el error del proceso funciona para una carga dada. Si ésta cambia, ese

error ya no es cero. Por lo tanto, este método se puede emplear en los sistemas de control de procesos en

que el valor medio de la carga es constante.

El método por el cual conseguimos incluir un término que varíe de acuerdo al tamaño y duración

del error en estado estacionario, es utilizar una acción integral, la cual permite acumular la diferencia

existente entre la variable de proceso y la referencia durante el tiempo que dura el error.

La acción integral nos permite corregir el error en estado estacionario, con ciertas limitantes, talescomo la tendencia a oscilaciones o inestabilidad.

D.3 Control Proporcional – Derivativo (PD), [32]

El control derivativo responde a la rapidez de cambio de error y puede producir una corrección

significativa antes de que la magnitud real del error sea grande. Por esta razón se dice que el control

derivativo se anticipa al error e inicia una prematura corrección del error, sin embargo, a pesar de su

utilidad no puede usarse solo, porque no responde a un error en estado estable, por lo tanto, debe usarse

en combinación con otras acciones de control.

Acción Derivativa= kd( ) (D.3)

donde: ( ) es un cambio en el error.

Kd es la ganancia del control derivativo.

Algunas de sus características principales son que tiene efecto únicamente en la parte transitoria,

por eso disminuye las oscilaciones, estabilizándose más rápido; se basa en la pendiente del error; en

estado estable nunca actúa y por eso nunca se encuentra un control derivativo solo; entre otras.


viii

D.4 Control Proporcional Integral Derivativo (PID), [32], [33]

Se le denomina de esta forma a un proceso controlado por un sistema de compensación en lazo

cerrado, basado en un regulador de acciones proporcional, integral y derivativo o PID, de tal forma que se

logran características dinámicas estables, o dicho de otra forma se logra que el sistema responda a

cambios en sus variables en una forma estable.

En el regulador PD, es reducido el sobrepaso inicial, y se consiguen buenas características en

cuanto a tiempo de respuesta, pero se sigue, teniendo problemas en reducir el error en estado estacionario.

Con el regulador PI, se consigue corregir el error en estado estacionario, pero el efecto integral

puede provocar un sobrepaso aún más elevado que el producido por un regulador P solamente,

aunque con la sintonía adecuada se pueden obtener buenas características de respuesta.

En el caso del regulador PID, se logra un equilibrio entre tiempo de respuesta, corrección del error

en estado estacionario y un aceptable grado de sobrepaso inicial, por lo que el regulador PID, combina las

buenas características de cada una de las acciones de regulación.

Figura D.1 Sistema de control PID

En la figura anterior (D.1), se muestra el diagrama a bloques de un sistema controlado mediante el

enfoque de control PID, sin embargo, este diagrama es aplicable para todos los tipos de control antes

mencionados, sustituyendo el bloque de PID por el control deseado.

+ PID Planta-u(k) y(k)

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice E

ix

APÉNDICE E

Imágenes del sistema físico utilizado

En las siguientes imágenes se ilustra el sistema físico construido así como todos las partes que loconforman.

1. Alimentación: Batería Kapton recargable de 12 V a 4 A.

2.- Adquisición de Datos: DAQ NI-USB 6008

3.- Planta a Controlar: Motorreductor 131:1 con Encoder Marca Pololu, Mod.1447

4.- Circuitería: Conformada por 2 Microcontroladores Texas MSP430G2553 programados y electrónicadiscreta convencional para el correcto funcionamiento del sistema.

5.- Gráfica: Display genérico 16X2 caracteres

PC para visualización del comportamiento del sistema y análisis de gráficas mediante el softwareMatLab Simulink (No se muestra en las imágenes).

Figura E.1 Sistema físico en reposo y ubicación de sus partes.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice E

x

Figura E.2 Sistema físico en funcionamiento a máxima capacidad.

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice F

xi

APÉNDICE F

Diagramas de flujo de los programas en los microcontroladores

Frecuencímetro y LCD

o RUTINA PARA DESPLEGAR LETRERO EN EL LCD (IMP_LET)

o ENVÍO DE DATOS AL LCD (DATO_LCD)

Si

No

RET

LETRA APUNTADO R15

POR R4, R4= R4 + 1

DATO = 0

CALL #DATO_LCD

CALL #IMP_LET

INICIO

RET

RS = 1 (P1.0 = 1)

CALL#ENVIO_4BITS

ESPERA 40s

INICIO


xii

o RUTINA PARA ENVIAR 8 BITS A TRAVÉS DE UN BUS DE 4 BITS (ENVIO_4BITS)

o RUTINA DE SERVICIO DE INTERRUPCION (P1_ISR)

RET

TOMAR BYTE ALTO R15

MANDARLO A P1OUT(LCD)

DAR PULSO A LINEA E(P1.3)

INICIO

MANDARLO A P1OUT(LCD)

TOMAR BYTE BAJO R15

DAR PULSO A LINEA E(P1.3)

No

Si

RET

PULSOS =

PULSOS <

CLRPULSOS

PULSOS2 =PULSOS2 + 1

INICI

BORRAR BANDERAP1IFG


xiii

o INT_CCR0

RET

DETENER INT P1

PARA EL TIMER

INICIO

PULSOS2 DAC (P2OUT)

PULSOS2 = 2 x PULSOS2

CALL #BIN_A_BCD

PULSOS2 DATO

CALL #IMP_DATOS

CLR PULSOS2

ACTIVA INTERRUPCIÓN P1IE

BORRAR BANDERA P1IFG


xiv

o SUBRUTINA DE IMPRIMIR DATOS (IMP_DATOS)

RET

#2 #CMD_LCD

#LETRERO2 R4CALL #IMP_LET

INICIO

#C6 CMD_LCD

’ ‘, R15CALL #DATO_LCD

DMILAR R15CALL #DATO_LCD

UMILAR R15CALL #DATO_LCD

CENTENA R15CALL #DATO_LCD

DECENA R15CALL #DATO_LCD

UNIDAD R15CALL #DATO_LCD

’ ‘, R15CALL #DATO_LCD

‘R’ A R15CALL #DATO_LCD

‘M’ A R15CALL #DATO_LCD

‘P’ A R15CALL #DATO_LCD

Continúa

Continúa


xv

Si

Si

No

No

Si

No

No

Si

RETI

#30h UNIDAD#30h DECENA

#30h CENTENA#30h UMILLAR#30h DMILLAR

DATO > 0?

#10000 DATO

INICIO

DMILLAR =DMILLAR +1

#10000 DATO

UMILLAR =UMILLAR +1DATO > 0?

No

CENTENA =CENTENA +1

DATO + UNIDAD = UNIDAD

QUITA CEROS A LAIZQUIERDA EXCEPTO LA

UNIDAD

DATO > 0? UNIDAD =UNIDAD +1

#10000 DATO

#10000 DATO

DATO > 0?

o SUBRUTINA QUE CONVIERTE DE BINARIO A BCD (BIN_A_BCD)

CONTROL DE UN MOTOR DE CD MEDIANTE EL USO DE CONTROL INTELIGENTE Apéndice G

xvi

APÉNDICE G

Manuales de Referencia y hojas de especificaciones

Microcontrolador Texas Instruments “MSP430G2553”


xvii


xviii

Tarjeta de adquisición de datos National Instruments “NI-USB 6008”


xix


xx

Convertidor Analógico a Digital “DAC 0830 LNC”


xxi


xxii

LCD 16X2


xxiii


xxiv

Regulador de Voltaje a 5V. ¨L7805CV¨


xxv


xxvi


xxvii

Regulador de Voltaje a 3.3V. ¨LF33CV¨


xxviii


xxix


xxx

Transistor tipo Darlington ¨TIP110¨

control de un motor de cd mediante el uso de control inteligente

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