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CONTROL DE SISTEMAS

DISCRETOS

CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS

Osear Reinoso Universidad Miguel Hemndez

Jos Mara Sebastin y Ziga Rafael Aracil Santoja

Universidad Politcnica de Madrid

Fernando Torres Medina Universidad de Alicante

MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICO NUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIAGO. SAO PAULO

AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARs SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR STo LOUIS TOKIO TORONTO

,

PROLOGO El control automtico de sistemas es actualmente una tecnologa imprescindible en una amplia varie-dad de procesos cotidianos, con especial importancia en el mundo industrial. Si inicialmente dicho control se realizaba mediante los ya clsicos bucles de control analgicos, el espectacular desarrollo de los computadores y dems sistemas digitales basados en ficroprocesadores, acaecido durante los ltimos treinta aos, ha propiciado su masiva utilizacin en tareas de controL Dichos compu-tadores penniten no slo resolver satisfactoriamente los problemas especficos de regulacin, en algunas ocasiones con un alto grado de complejidad, sino que posibilitan adems una amplia gama de funciones de supervisin y tratamiento de datos con un reducido coste adicional. Por tales motivos, los sistemas discretos de control fonnan parte fundamental del plan de estudios de numerosas escuelas de ingeniera de primer y segundo ciclo, as como de las facultades de ciencias. Normalmente, se estructura como un segundo curso de control, en el que se parte de los conoci-mientos previos aportados por el estudio de la teora de sistemas y seales, as como del control de sistemas continuos. Este libro est escrito de acuerdo con el contenido de dicho segundo curso y recoge una amplia variedad de problemas de complejidad creciente. Se ha procurado que los enun-ciados recojan un extenso abanico de situaciones que incluye tanto modelos tericos como sistemas reales, habiendo sido validada su resolucin mediante un software de simulacin. Desde el punto de vista educativo, es necesario destacar el primordial papel que ocupa la resolu-cin de problemas en la enseanza de materias cientficas y tcnicas. A lo largo de su resolucin, el alumno contrasta no slo el resultado final, sino tambin los conceptos y metodologa empleada. De aqu la importancia de la existencia de un texto con problemas resueltos que pennite, en una primera etapa de] aprendizaje, comprender y afianzar Jos conceptos tericos aprendidos para, posteriormen-te, realizar los problemas propuestos y contrastar Jos resultados finales. Ambos aspectos han sido tenidos en cuenta a la hora de elaborar este texto por parte de los autores. Existen en la actualidad, en el campo del control de sistemas discretos, varios textos de prestigio enfocados fundamental-mente al desarrollo exhaustivo y preciso de toda la fundamentacin terica con sus consiguientes demostraciones. Por ello, se ha considerado interesante introducir solamente en cada uno de los te-mas un resumen terico que sin nimo de ser un encuentro exhaustivo del lector con los contenidos puramente tericos y sus demostraciones, s que supone una gua que permite recordar los aspectos fundamentales para abordar con xito la resolucin de los problemas. El texto se ha dividido en trece captulos. Los tres primeros estn fundamentalmente orientados a recordar los conceptos matemticos en los que posterionnente se cimentarn los siguientes captulos. Es en el captulo primero el que aborda los conceptos de secuencias y sistemas discretos, permitiendo afianzar conceptos tales como respuesta de un sistema ante una secuencia de entrada, estabilidad de un sistema discreto y transformadas de Fourier y Laplace de una secuencia. La transfonnada Z es de especial importancia en Jos sistemas discretos, por lo que el segundo captulo se dedica a el1a, transfonnada Z de secuencias tipo, inversa, clculo, propiedades, etc. Ya en el captulo tres se plantean los conceptos de muestreo y reconstruccin de seales, planteando problemas en tomo al teorema de muestreo y al concepto de bloqueador y sus tipos.

v

VI PRLOGO

A continuacin, los captulos cuatro y cinco se dedican a los sistemas muestreados y la estabilidad de los sistemas discretos. Por primera vez aparece el concepto de realimentacin en el captulo cuarto, que versa tambin sobre sistema discreto equivalente y transfonnada Z modificada. La definicin y condiciones de estabilidad de sistemas discretos son tratadas en el quinto captulo a travs del criterio de Jury. Los siguientes captulos estn dedicados al anlisis. En el seis se repasan las respuestas temporales ante secuencias impulso y escaln, as como el concepto de sistema reducido equivalente. Es el sptimo captulo e] destinado a estudiar e] comportamiento esttico de los sistemas realimentados ante realimentacin unitaria y no unitaria, errores y tipo de un sistema. El captulo ocho abarca el comportamiento dinmico de los sistemas realimentados a travs de la tcnica del lugar de las races. Ya en el captulo noveno, se realiza el anlisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia, haciendo uso del criterio de Nyquist. Los cuatro ltimos captulos estn destinados al diseo de reguladores. En el dcimo a travs de la discretizacin de reguladores continuos~ por mtodos basados en la aproximacin de la evolucin temporal o la discretizacin de reguladores, considerando aspectos tales como la saturacin en el actuador o la correcta eleccin del perodo de muestreo. En el siguiente captulo, el onceavo, se estudia la fonna de aadir polos y ceros a la funcin de transferencia en bucle abierto para modificar los de bucle cerrado. Para ello, se emplea en este captulo como herramienta de diseo el lugar de las races. Ya en el captulo doce se aborda el diseo de reguladores algebraicos por el mtodo de asignacin de polos o por sntesis directa basada en el mtodo de Truxal. Finalmente, el ltimo captulo est destinado al diseo de reguladores de tiempo de mnimo. Los autores desean mostrar su agradecimiento a todas las personas que de alguna u otra fonna han colaborado en que este libro salga publicado. Sin el apoyo y las observaciones de otros profesores pertenecientes a la Universidad Miguel Hemndez de Elche, la Universidad Politcnica de Madrid y la Universidad de Alicante este libro no tendra el rigor y ]a amplitud actual. Adems, muchos de los problemas seleccionados han sido puestos en comn con alumnos pertenecientes a dichas universidades, lo que sin duda ha permitido valorar cules de los problemas propuestos resultan ms clarificadores para afianzar los conceptos del control de sistemas discretos. Confiamos en que los problemas seleccionados e incluidos en este libro sean de utilidad para los lectores que se embarcan en el estudio de los sistemas discretos. Asimismo, esperamos que, tras los procesos de revisin llevados a cabo, los inevitables errores que siempre aparecen se hayan visto reducidos al mnimo.

Los autores

~

Indice general

@ SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS 1. 1. Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entrada 1.2. Estabilidad de un sistema discreto (1) ............. . 1.3. Estabilidad de un sistema discreto (I1) ............ . 1.4. Convolucin discreta. Transfonnada de Fourier y de Lap]ace 1.5. Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la

secuencia de ponderacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Sistemas discretos: estudh? comparativo de la estabiJdad, ]a respuesta y ]a energa 1.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Problema propuesto . . . . . . ..... " .... 1.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Problema propuesto 1.11. Problema propuesto 1.12. Problema propuesto

() TRANSFORMADA Z 2.1. Transfonnada Z de secuencias tipo .............. . 2.2. Transfonnada Z inversa de una secuencia .... . 2.3. Funcin de transferencia de un sistema discreto ... .

Anlisis de una fundicin . . . . . . . . . . . .. . Evolucin de la poblacin de ballenas . . ........ . Explotacin de la madera en un bosque. . ... , ... . Evaluacin del stock en un almacn . . .. ...... . .... .. . .

1 5 7 8 9

10 11 15 15 15 16 16 17

19 21 24 25 28 32 35 38

2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.1 ]. 2.12. 2.13.

Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializacin y de la tasa de natalidad 4] Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema propuesto . . . . . . Problema propuesto . . . . Problema propuesto . . . . . . . . . . Problema propuesto . . . . . . . . .

2.14. Problema propuesto 2.15. Problema propuesto 2. ] 6. Problema propuesto

48 48 49 49 50 51 51 52

VII

VIII NDICE GENERAL

3. MUESTREO Y RECONSTRUCCIN DE SEALES 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10.

Diversas configuraciones de sistemas . . . .. ...... . . Bloqueador, sistema continuo y muestreador . . ., . . . . . Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (1) .. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (ll) ..... Existencia de funcin de transferencia Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto

4. SISTEMAS MUESTREADOS 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.

Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (1) Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (ll) . . Funcin de transferencia en Z modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema depsito-computador Influencia del captador en la funcin de transferencia de un sistema realimentado Problema propuesto .......... . Problema propuesto . . . . . ..... . Problema propuesto . . . . . ... . Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema propuesto .....

5. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS 5.1. Criterio de Jury (1) . . . . . . . . . . . . 5.2. Criterio de Jury en) . . . . . . . . . . . . . 5.3. Estabilidad en sistemas muestreados . . . . 5.4. Estabilidad en funcin del tiempo de clculo 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10.

Proceso de fabricacin . Problema propuesto Problema propuesto . . . . . Problema propuesto . . . . . Problema propuesto Problema propuesto .....

6. ANLISIS DINMICO DE SISTEMAS 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Respuesta temporal de sistemas discretos .. Sistema reducido equivalente (1) ... . Sistema reducido equivalente (ll) .... . Criterio de Jury y respuesta temporal ... . Identificacin de sistemas conociendo su respuesta. . Problema propuesto ................. .

53 59 60 62 65 69 70 73 74 75 76

77 80 82 84 87 91 93 94 94 94 95

97 99

101 102 105 107 109 110 110 111 111

113 119 121 123 125 129 131

NDICE GENERAL

6.7. 6.8. 6.9.

Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto

6.10. Problema propuesto

7. COMPORTAMIENTO ESTTICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 7.1. Error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8.

Sistemas con dinmica en la realimentacin .. Estabilidad y errores en rgimen pennanente . . Sistema de control de un barco ........ . Comportamiento esttico en sistemas con realimentacin constante . Errores y sistemas equivalentes de orden reducido Errores en un sistema multivariable. Problema propuesto . . . .

7.9. Problema propuesto 7.10. Problema propuesto

8. COMPORTAMIENTO DINMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 8.1. 8.2.

8.3.

8.4.

8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9.

Comportamiento esttico y dinmico al variar un polo . . . . . . . . . . Diferencia de comportamiento entre control continuo y discreto de un sistema con-tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamiento de un sistema muestreado en funcin de la ganancia y del perodo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamiento de un sistema muestreado en funcin del regulador y del perodo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Control de velocidad de un sistema fsico. . . .... . Problema propuesto . . . . . ...... . Prob1ema propuesto . . . . . . . . Problema propuesto .................... . Problema propuesto

9. CRITERIO DE NYQUIST 9.1. Criterio de estabilidad de Nyquist en un sistema discreto .. 9.2. Criterio de Nyquist con un polo en el camino. . . . . ... 9.3. Criterio de Nyquist con dos polos en el camino. . . . . . . 9.4. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1) ........ . 9.5. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11) ... . 9.6. Problema propuesto . . . . .,. . 9.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Problema propuesto . . . . . . '" . . . . .. . 9.9. Problema propuesto . . . . . ...... . 9.10. Problema propuesto . . . . . . . .. .

IX

132 133 133 134

137 140 141 144 146 149 151 155 158 ]59 159

163 166

169

173

177 179 184 184 186 186

189 191 193 195 199 201 206 207-207 208 210

x NDICE GENERAL

@DlSCRETIZACIN DE REGULADORES CONTINUOS 10.1. Discretizacin de un regulador por diversos mtodos ............... . 10.2. Comparacin de la estabilidad de un sistema en cadena cerrada utilizando un regu-

lador continuo y su equivalente discretizado ............. . 10.3. Comparacin entre un regulador continuo y el equivalente discretizado 10.4. Comparacin mtodos de discretizacin y perodos de muestreo .. 10.5. Regulador I-PD . . . . . . . . . . . . . . ........ . 10.6. Saturaciones de la accin de control . . . . . 10.7. Problema propuesto . . . . . ......... . 10.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ... . 10.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . .......... .

~DlSEO DE REGUL~DORES DISCRETOS MEDIANTE V LUGAR DE LAS RAICES

11.1. Clculo de un regulador discreto para obtener un error de posicin nulo. 11.2. Diseo de un regulador discreto mediante lugar de las races. . . . . . 11.3. Diseo de un regulador discreto en un sistema con seales retardadas ...... . 11.4. Regulador discreto con captador variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Control de un servomecanismo 11.6. Problema propuesto ........ . 11.7. Problema propuesto ............ . 11.8. Problema propuesto . . . . . . 11.9. Problema propuesto .......... . 11.10. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . .

(2:, DISEO DE REGULADORES ALGEBRAICOS \ / ,-.r 12.1. Diseo por asignacin de polos . . .

12.2. Diseo por sntesis directa (1) . . . . 12.3. Influencia de una falsa cancelacin . . . . . . . . . . 12.4. Diseo por sntesis directa (11) .... 12.5. Sntesis directa con seal de salida conocida ..... 12.6. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7. Problema propuesto . . . . . . . . . .. .... 12.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . 12.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ...

~ISEO DE REGULADORES DE TIEMPO MNIMO 13.1. Anulacin del error ante entrada escaln ..... . 13.2. Reguladores discretos .......... . 13.3. Anlisis regulador tiempo mnimo ........... . 13.4. Regulador discreto con captador variable . . 13.5. Reguladores discretos segn especificaciones .. 13.6. Regulador de tiempo mnimo con dinmica en la realimentacin

213 220

222 226 231 234 238 242 243 244

247 251 254 257 266 269 275 276 276 277 278

281 284 287 289 292 295 297 298 299 300

303 306 309 313 315 319 322

NDICE GENERAL

13.7. Problema propuesto 13.8. Problema propuesto 13.9. Problema propuesto 13.10. Problema propuesto 13.11. Problema propuesto 13.12. Problema propuesto 13.13. Problema propuesto

BIBLIOGRAFA

XI

324 325 325 326 327 328 329

331

,

Indice de figuras

( 1.1. ) 1.2. \1.3.

(I!:~: 1.6. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

2.6.

Sistema discreto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin. . . ..... Respuesta impulsional del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Secuencia de ponderacin {9k} del sistema y entrada considerada {Uk}. Secuencia de ponderacin {9k} y entrada del sistema {Uk}. . . ..... Sistema discreto.. . . . . . .

Mtodo de la divisin larga ... Funcionamiento de una fundicin. . . . . . . Diagrama de bloques de la fundicin. . . . . . . . . . Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibrio. Toneladas de madera ante una disminucin de un 10 % en la cantidad talada: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el nmero de toneladas: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . ...... . . . . .

2 4 9 9

16 17

25 29 30 34

37

38 2.7. Diagrama de bloques stock/ventas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... .. 40 2.8. Evolucin del stock tras la variacin de las ventas. . . . . . . . . . . . . 41 2.9. Diagrama de bloques general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 2.10. Diagrama de bloques P(z)/TN N(z). . . . . . . . . . . . . . . .. 44 2.11. Diagrama de bloques P(z) / I(z). . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 2.12. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando

nicamente la accin de la industrializacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 2.13. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando

nicamente la accin de T N N. . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Evolucin de la poblacin relativa ante las dos acciones .. 2.15. Seal de salida. .... . . . . . . . ...... .

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mdulo de la transfonnada de Fourier de una seal continua. . . . . Mdulo de la transfonnada de Fourier de una secuencia ...... . Sistema hbrido. . . . . . . . . . . . . . . o.

3.5. Bloqueador............. 3.6. Conjunto muestreador-bloqueador.

47 47 48

53 54 54 55 56 56

XIII

XIV NDICE DE FIGURAS

3.7. Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. . .. 57 3.8. Bloqueador de orden cero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 3.9. Bloqueador de orden cero en el dominio del tiempo yen el dominio de la frecuencia

IHo(w)l, (T == 71"). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.10. Bloqueador de orden uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Opciones de interconectar en serie los tres bloques. . ....... . 3.12. Seales de los sistemas vlidos: caso 1 (a), caso 4 (b) Y caso 5 (e). 3.13. Sistema propuesto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Transformada de Fourier de la seal de entrada. . .............. . 3.15. Transfonnada de Fourier a la salida del muestreador. . . . . . . . . .. . .. . 3.16. Transfonnada de Fourier de la seal de entrada U B(W) al sistema continuo G(w). 3.17. Respuesta en frecuencia de G(w) . .................... . 3.18. Mdu]o de ]a respuesta en frecuencia a la salida del sistema continuo. . .... . 3.19. Salida del sistema ante la entrada propuesta. . .. . 3.20. Diagrama de bloques considerado. . ........... . 3.21. Seal x(t) en funcin del tiempo .............. . 3.22. Muestreo de la seal x(t) con perodo T = 1,5 segundos. 3.23. Representacin grfica de y(t). . .... . 3.24. Muestreo de la seal u( t). . . . ... . 3.25. Diagrama de bloques inicial. ......... . 3.26. Sistema propuesto ........ . 3.27. Sistema muestreador-sistema continuo-bloqueador.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Sistema muestreado ................. . Estudio de sistemas muestreados con las tcnicas de los sistemas discretos .. Transfonnada Z modificada. ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema realimentado. . . . . . . . . Diagrama de bloques entrada/salida. Elemento a aadir a la salida ..... .

4.7. Diagrama de bloques correspondiente a la ecuacin 4.19. 4.8. Esquema tradicional de un diagrama de bloques realimentado. 4.9. Esquema de realimentacin .................. . 4.10. Control de caudal de un depsito mediante un computador. 4. l l. Diagrama simplificado del sistema propuesto. 4.12. Diagrama de bloques de la parte continua. . .... 4.13. Esquema de realimentacin .. 4.14. Sistema propuesto.. . . . . . . 4.15. Sistema propuesto ... 4. 16. Sistema propuesto .. 4.17. Sistema propuesto.. . .

5.1. Diagrama de bloques considerado.

58 61 62 63 63 64 64 64 65 66 66 67 67 68 69 71 74 75

77 78 79 80 81 81 83 84 85 88 90 90 92 94 94 95 95

99

NDICE DE FIGURAS

5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9.

Diagrama de bloques considerado. Diagrama de bloques considerado. . ..................... . Seal de salida w(t) tras el bloqueador y el bloque constante de ganancia 3. Diagrama de bloques considerado. . .......... . Diagrama de bloques de una empresa de fabricacin. Diagrama de bloques del sistema ............. . Sistema propuesto ... . Sistema propuesto ... .

5.10. Sistema propuesto ................... . 5.11. Diagrama de bloques. . ................. .

6.1. Respuesta impulsional de un sistema de pnmer orden para diferentes valores de la

xv

101 102 104 106 107 108 110 l lO 111 JII

posicin del polo (O < a < 1; a> l;a < -1; -1 < a < O) ............ 116 6.2. Respuesta ante escaln unitario de un sistema estable de primer orden (O < a < 1;

-1 < a < O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 6.3. 6.4. 6.5.

Parmetros en un sistema de segundo orden. . ......... . Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. . . . . . Respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada escaln.

6.6. Respuesta de un sistema de primer orden estable ante seal de entrada escaln

117 1 18 119

cuando a > O y cuando a < O. ........................... 121 6.7. Respuesta ante entrada escaln para los sistemas de primer orden G 1 (z) y G2 (z ). 122 6.8. Respuesta ante entrada escaln para los sistemas de segundo orden G3 {z), G4 {z)

y G5 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122 6.9. Respuesta ante entrada escaln para el sistema G (z) y para Gred (z). . 124 6.10. Respuesta ante escaln para el sistema G(z) y para el sistema Gred{z). . . . . 125 6.1 ] . Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125 6.12. Respuesta ante escaln del sistema equivalente de orden reducido Mred (z). . 128 6.13. Respuesta ante escaln para el sistema M{z) y para el sistema Mred (z). ..... 129 6.14. Diagrama de bloques considerado. 6.15. Seales de salida {Xk} e {Yk}. 6.16. Sistema propuesto.. . . 6.17. Sistema propuesto.. . 6.18. Sistema propuesto.. . . 6.19. Sistema propuesto ....

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7.

Sistema discreto realimentado unitariamente .. . Diagrama de bloques. . . . . . ...... . Diagrama de bloques. . ...... . Diagrama de bloques. . ...... . Diagrama de bloques modificado. . . Diagrama de bloques. . ...... . Sistema de control de rumbo de un barco.

129 130 132 133 133 134

137 139 140 141 142 144 146

XVI

7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 7.18.

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7.

\ 8.8. 8.9. 8.10.

1 8.11. I 8.12.

8.13. l 8.14. f

~ 8.15. ~ 8.16. 8.17. 8.18.

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11.

NDICE DE FIGURAS

Relacin rumbo-ngulo de1 motor. ..... . Actuador del timn. . ...................... . Actuador del timn para pequeas amplitudes.. ... . Diagrama de bloques para pequeas amplitudes. . . . . . Diagrama de bloques en bucle cerrado ........... . Parmetros de un sistema discreto de segundo orden. Sistema en bucle cerrado. . ...... . Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . Respuesta ante escaln unitario de G(z) . .... Homogeneizador de chocolate. . . . . Diagrama de bloques. . . . . . . .

Diagrama de bloques. Diagrama de bloques. Lugar de las races del sistema. Diagrama de bloques. . ..... Lugar de las races para el control continuo. Lugar de las races para el control continuo. Diagrama de bloques. . ..... Lugar de las races del sistema. Diagrama de bloques ..... . Lugar de las races del sistema. Sistema a estudiar. . . . . . . . . Diagrama de bloques del sistema. . . Diagrama de bloques simplificado. Lugar de las races del sistema. . . . Lugar de las races del sistema. . . Diagrama de bloques del sistema .... Diagrama de bloques del sistema. . . . Diagrama de bloques del sistema. .

Sistema muestreado realimentado. . .... Camino de Nyquist para sistemas discretos.

146 147 147 148 150 154 156 158 158 160 161

163 166 167 170 171 172 174 175 177 178 180 181 182 183 185 185 186 186

189 190

Diagrama de bloques considerado. . ......... " ., ~ . . . . . 191 Camino de Nyquist para el sistema de la Figura 9.3. . . . . 192 Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O Y para K < O. 193 Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Camino de Nyquist elegido para el sistema de la Figura 9.6 .... Fonna vectorial de ej8 - l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O .. Diagrama de bloques del sistema. . Camino de Nyquist seleccionado ................. .

194 195 196 196 197

NDICE DE FIGURAS XVII

~ ,

9.12. Detalle de los tramos II y IV. 9.13. Diagrama de Nyquist para el sistema .. . 9.14. Camino de Nyquist elegido ....... .

197 199 200

9.15. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist. ................ 201 9.16. Sistema multivariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201 9.17. Respuesta en frecuencia (mdulo y fase) de Xl! (a), X 12 (b), X 21 (c) Y X 22 (d).. 202 9.18. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI > 0,5

Y K 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204 9.19. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI = 1 Y

K 2 > 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.20. Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.21. Diagrama de Nyquist cuando se recorre el punto z = 1 por la izquierda. ..... 206 9.22. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.23. Diagrama de Nyquist para el sistema propuesto. . ..... . 9.24. Respuesta en frecuencia del sistema (mdulo y argumento) .. 9.25. Respuesta en frecuencia en el diagrama polar. 9.26. Diagrama de bloques. . ...... . 9.27. Camino de Nyquist para r 1. .. . ... 9.28. Camino de Nyquist r 2. . . . . . . . . . . 9.29. Camino de Nyquist r 4. . ........... . 9.30. Diagrama polar. . . . . .

207 208 209 209 210 210 211 211

{ 10.1. Sistema discreto de control. . . . . . . . . 213 213 214 214 217 218

\ 10.2. Sistema continuo de control. . . . .. .... . . . \ 10.3. Controlador discreto de un sistema continuo. . . ..... , 10.4. Aproximacin de la evolucin temporal de ambos sistemas. \ 10.5. Regulador PID continuo. . ................ .

JI0.6. Regulador I-PD. . ..................... . 10.7. Respuesta de ante entrada escaln del regulador continuo (a) y del regulador dis-

/ cretizado con la aproximacin del operador derivada T = 0,5 (b) Y con T = 0,033 \ seg. (c). ............................... ....... .

\ 10.8. Respuesta ante entrada escaln del regulador discretizado mediante la aproxima-J cin trapezoidal (b) T = 0,5 Y (e) T = 0,033 seg. . ............... . t 10.9. Respuesta ante entrada escaln del regu]ador discretizado obtenido mediante la equivalencia ante entrada escaln (b) T = 0,5 Y (c) T = 0,033 seg. i

" 10.10. Regulador continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! t i J

I \ , \

10.11. Regulador discreto del sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12. Lugar de las races del sistema en bucle abierto con regu]ador continuo: (a) cuando

< a < 1 Y (b) cuando a > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ 10.13. Lugar de ]as races del sistema diseretizado con aproximacin del operador deriva-

da cuando: (a) a < e- l y (b) a > e-l. . ..................... .

221

221

222 223 223

224

225

XVIII NDICE DE FIGURAS

l 10.14. Lugar de las races del sistema discreto con aproximacin trapezoidal cuando: (a) " 2-a -1 (b) 2-a -1 2+a > e y 2+a < e ......... ................. . 226

227 227 228 229 231 234 235

10.15. Sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.16. Lugar de las races para el sistema continuo. 10.17. Criterio del argumento. . . . . . . . . . o 10.18. Respuesta ante escaln unitano con regulador PIDo 10.19. Respuesta ante escaln unitario con regulador discretizado. 10.20. Diagrama de bloques propuesto. ... o 10.21. Seal de salida continua con el regulador R(s). . ... 10.22. Secuencia de salida con T == 0,2 sega . . . . . . . . . . . . . o 236 10.23. Secuencia de salida con T == 0,05 sega .......... o 236 10.24. Diagrama de bloques con la estructura I-PO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.25. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,2 sega .. o 237 10.26. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,05 sega 10.27. Sistema discreto de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237 238

10.28. Secuencia de salida (superior) y secuencia de control (inferior) ante escaln. 239 10.29. Secuencia de salida (superior), secuencia de control antes de saturacin (centro) y

secuencia de control despus de saturacin (inferior) ante entrada escaln. . . .. 240 10.30. Secuencia de salida (superior), secuencia de control (inferior) ante entrada escaln. 241 10.31. Secuencias de salida ante entrada escaln. . ....... . 10.32. Diagrama de bloques propuesto. . ....... . 10.33. Diagrama de bloques propuesto. ............. . 10.34. Variacin de la seal de salida ante perturbacin. . 10.35. Diagrama de bloques con el computador ..... .

11.1. Polo dominante del sistema. . . . . . . . 11.2. Diagrama de bloques entrada/salida. ..

242 243 244 245 245

I 11.3. Lugar de las races del sistema con regulador proporcional.

248 251 252 253 253 254 255 255 256 257 258 260 261 262 263 264 266

11.4. Criterio del argumento con el regulador. . ......... . 11.5. Lugar de las races del sistema con regulador po. . ... .

. 11.6. Respuesta ante escaln unitario con el regulador PO diseado. I

, 11.7. Diagrama de bloques entrada/salida. ......... . ......... . J 11.8. Lugar de las races para el sistema de la Figura 11.7. . . . . . . . . . . . . . I 11.9. Criterio del argumento. . . . . . . . . ............. .

11.10. Seal de salida ante entrada escaln unitario con el regulador diseado. . . 11.11. Diagrama de bloques entrada/salida. . ............. . 11.12. Lugar de las races para M 2 (z) . ................. . 11.13. Lugar de las races para M3 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 11.14. Respuesta del sistema con R( z) == 4, H 3 (s). ... . . . 11.15. Respuesta del sistema con R(z) == 4, H2 (s). . . ...... . 11.16. Posicin de polos y ceros en bucle abierto. 11.17. Diagrama de bloques entrada/salida. .....

NDICE DE FIGURAS

11.18. Diagrama de bloques entrada/salida. 11.19. Diagrama del servomecanismo a controlar. . 11.20. Diagrama de bloques del sistema ...... . 11.21. Lugar de las races del sistema. . . . . . . . 11.22. Respuesta ante entrada escaln con el regulador proporcionaL. 11.23. Principio del argumento para el clculo del cero del regulador. 11.24. Secuencia de salida con regulador PO. . ..... 11.25. Sistema a controlar. . . . . . . . . . . . . . . . 1 ] .26. Respuesta ante escaln con el regulador P D(z). 11.27. Control continuo. 11.28. Control discreto. . . 11.29. Sistema discreto.. . 11.30. Sistema discreto. . . 11.31. Respuesta ante entrada escaln ... 11.32. Diagrama de bloques propuesto. . ... 11.33. Secuencia de salida ante entrada escaln con el regulador propuesto.

12.1. Sistema discreto en bucle cerrado. 12.2. Sistema discreto.. . . . . . . . 12.3. Sistema discreto. . . 12.4. Sistema discreto .. 12.5. Sistema discreto. . . . 12.6. Sistema discreto.. . 12.7. Seal de salida deseada ante escaln unitario. 12.8. Diagrama de bloques del sistema ....... . 12.9. Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador proporcionaL ...... . 12.10. Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador por asignacin de polos. . 12.11. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12. Sistema propuesto.. . 12.13. Sistema propuesto.. . 12.14. Secuencia de salida ..

XIX

267 269 271 272 273 273 274 275 275 276 276 277 277 278 278 279

281 284 287 289 292 296 296 297 298 299 299 300 300 301

13.1. Sistema discreto en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . 303 13.2. Diagrama de bloques de un sistema hbrido. . . . . 305 13.3. Diagrama de bloques de un sistema hbrido. . . . . 307 13.4. Seal de salida del sistema ante entrada escaln con el regulador calculado. 308 13.5. Seal de error ante el regulador calculado en la primera etapa. . . 311 13.6. Seal de error y accin de control ante el regulador calculado. . . . . . . . . . 313 13.7. Sistema discreto con regulador discreto. ................... 313 13.8. Seal de salida ante entrada escaln con el regulador de tiempo mnimo calculado. 315 13.9. Diagrama de bloques entrada/salida. ........ .,. . . 315 13.10. Lugar de las races del sistema de la Figura 13.9. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3] 6

xx

13.11. Sistema propuesto ....... . 13.12. Lugar de las races del sistema. 13.13. Criterio del argumento. . ....... . 13.14. Sistema propuesto ....... . 13.15. Diagrama de bloques. . ... . 13.16. Diagrama de bloques en bucle cerrado .... . 13.17. Sistema en bucle cerrado. . ... . 13.18. Sistema en bucle cerrado. . ........ . 13.19. Valores para T == 1 seg .. . 13.20. Valores para T == 0,5 seg ....... . 13.21. Sistema en bucle cerrado. 13.22. Sistema en bucle cerrado. 13.23. Sistema en bucle cerrado.

NDICE DE FIGURAS

319 320 321 323 324 325 326 326 327 327 328 328 329

,

Indice de Tablas

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

. 2.1. : 2.2.

Respuesta ante entrada impulso .. Respuesta ante entrada escaln .. Secuencia de salida ante escaln Secuencia de salida ante entrada impulso .. Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin) Secuencia de saJida del sistema ..... .

Transformadas Z de secuencias bsicas. . Propiedades de la transfonnada Z . . . . .

? 2.3. Nivel de hierro en los cinco primeros das tras una reduccin de 10 kg. en el sumi-nistro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Variacin en la caza de ballenas ..... . 2.5. 2.6. 2.7.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

6.1.

Variacin en la caza de ballenas ..... Variacin de la poblacin entre 80 y 85 .. Variacin de la poblacin entre 80 y 85. Variables absolutas y relativas

Tabla de coeficientes de Jury .......... . Criterio de Jury para el sistema de la Figura 5.1 Criterio de Jury para el sistema Criterio de Jury para el sistema .......... .

Intervalo de pico y sobreosciJacin de los sistemas.

6 7 8 8

12 12

19 20

31 34 35 42 45

98 100 102 109

121 6.2. Intervalo de subida y de establecimiento para los tres sistemas de segundo orden. 121 6.3. eri terio de J ury para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... 126

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

9.1. 9.2.

Errores en estado pennanente en respuesta a diferentes entradas. Criterio de Jury ........ ., . . . . . . . . . . eriteno de Jury para el sistema . . . . . Tabla de Jury para el sistema ..... . Tabla de Juey para el sistema ..

Respuesta ante entrada impulso ...... . Mdulos y argumentos para el tramo I

139 144 145 151 155

]95 198

XXI

XXII

9.3. Mdulos y argumentos para el tramo TII .....

13.1. Criterio de Jury para el polinomio caracterstico

NDICE DE TABLAS

198

317

CAPTULO 1

SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS

.,

DEFINICION DE SECUENCIA

Una secuencia se puede definir como cualquier conjunto ordenado de elementos. La forma general de representar una secuencia es {Xk}, siendo k el ndice que indica el orden del elemento dentro de la secuencia:

(1.1 )

Secuencia impulso: {8k} = {l, 0, 0, 0, ... } (1.2)

Secuencia escaln unitario: {Uk} = {l,l,l,l,l, ... } (1.3)

Secuencia rampa: {rk} = {0,1,2,3,4,5, ... } (1.4)

PROPIEDADES DE LAS SECUENCIAS

Algunas propiedades caractersticas de las secuencias son las siguientes:

Una secuencia {Yk} es la secuencia retrasada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k

Yk = Uk-n (1.5)

Una secuencia {Yk} es la secuencia adelantada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k

(1.6)

Una secuencia {Yk} es suma de otras dos {Xk} {Vk} si (1.7)

1

2 Control de sistemas discretos

Una secuencia es {Yk} producto de otra {Xk} por una constante m si se cumple

(1.8)

Se dice que una secuencia {Xk} es acotada si existe un valor e tal que para cualquier k se cumple IXkl < c.

Energa de una secuencia {Xk}: (1.9)

n=-(X)

Se dice que una secuencia es secuencia temporizada cuando proviene del muestreo pendico (T) de una seaJ continua.

SISTEMAS DISCRETOS

Un sistema discreto (Figura 1.1) es un algoritmo que pennite transfonnar una secuencia de entrada { Uk} en otra secuencia de salida {Yk}.

Caractersticas de los sistemas:

{Uk} Sistema .. Discreto

{yJ ..

Figura 1.1. Sistema discreto.

(1.10)

Un sistema discreto es esttico cuando el elemento de la secuencia de salida de un cierto ndice depende nicamente del elemento de la secuencia de entrada del mismo ndice.

Un sistema discreto es dinmico cuando el elemento de la secuencia de salida de un cierto ndice es funcin de elementos de las secuencias de entrada y salida de ndices distintos al suyo.

Un sistema discreto dinmico es causal si el valor de un elemento de la secuencia de salida depende nicamente de los de sta de ndice menor y de los de la secuencia de entrada de ndice menor o igual.

Secuencias y sistemas discretos 3

Si la funcin que define cada elemento de la secuencia de salida es lineal, el sistema se deno-mina asimismo lineal:

Yk == alYk-1 + a2Yk-2 + .,. + anYk-n + bOUk + blUk-1 + ... + bmUk-m (l.ll)

Si los coeficientes ai, bi de la ecuacin previa (1.11) son independientes del tiempo, se dice que el sistema lineal es invariante. La ecuacin (1.11) usada para estudiar estos sistemas se denomina ECUACIN EN DIFERENCIAS.

,

SECUENCIA DE PONDERACION

Se denomina secuencia de ponderacin de un sistema a la secuencia de salida cuando la secuencia de entrada es una secuencia impulso. Se representa por {g k}. Conocida la secuencia de ponderacin de un sistema discreto, es posible detenninar la secuencia de salida de cualquier sistema ante una secuencia de entrada detenninada. AS, la secuencia de salida de un sistema ante una secuencia de entrada {Uk} ser:

n=~ n=~

{Yk} = L Un{gk-n}:::: {Uk} * {9k} == L 9n{Uk-n} == {9k} * {Uk} (] .12) n=-oo n=-~

donde * denota la operacin de convolucin entre dos secuencias. La secuencia de ponderacin es una manera de representar el comportamiento de un sistema discreto.

ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO

Un sistema discreto es estable si ante cualquier secuencia de entrada acotada la secuencia de salida es tambin acotada. Para que el sistema sea estable es necesario y suficiente que la secuencia de ponderacin sea absolutamente sumable:

n=oo

L 19n1 < 00 ( 1.13) n=-~

RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta en frecuencia de un sistema discreto caracterizado por su secuencia de ponderacin {9k} viene dada por:

k=oo Q(w) == L 9ke-jwkT (1.14)

k=-oo

donde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia de ponderacin.


TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SECUENCIA

La transformada de Fourier de una secuencia temporizada {x k} se define como: n ex>

X(w) = lm ~ xke-jwkT = ~ xke-jwkT n-+-oo L...,. L...,. ( 1.15)

k=-n k=-oo

donde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia temporizada. La transfonnada inversa de Fourier se define como:

T J1r/T Xk == - X(w)eiwkT dJJJ

27r -1r/T (1.16)

Una condicin suficiente para la convergencia de la transformada de Fourier es que la secuencia {Xk} sea absolutamente sumable:

00

( 1.17)

{yJ ..

Figura 1.2. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin.

Relacin fundamental de los sistemas discretos. En un sistema discreto (Figura 1.2), la transfor-mada de Founer de la secuencia de salida y (w) es igual al producto de la respuesta en fre-cuencia del sistema 9 (w) por la transformada de Fourier de la secuencia de entrada U (w ):

Y(w) == Q(w)U(w) ( 1.18)

Frmula de ParsevaI. Pennite calcular la energa de una secuencia a partir de la transfonnada de Fourier de ]a misma:

( 1.19)

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA SECUENCIA

La transformada de Lap]ace de una secuencia {Xk} tal que Xk == O para k < O se define como: ex:>

X(s) = LXke-skT (1.20) k=O


siendo s == a + JW una variable compleja. Para que la transformada de Laplace converja (condicin suficiente) debe cumplir (depende de a):

(X) L IXke-ukTI < 00 k=O

(1.21 )

Esta expresin se denomina condicin de convergencia absoluta y depende de a. Igualmente, se denomina abscisa de convergencia absoluta, (fe, al nfimo de los valores a E ~ que satisfacen la anterior condicin de convergencia. El dominio de convergencia absoluta es el semi plano complejo definido por los puntos s E e con parte real mayor que (fe. La convergencia de la transfonnada de Laplace est asegurada en su dominio de convergencia absoluta, pero puede converger en un dominio ms amplio. La transformada de Laplace de una secuencia es una funcin peridica respecto a la parte imaginaria de perodo 2.;:

21r X(s + r j ) = X(s)

La transformada inversa de Laplace se define para todo (J E ~ que verifique:

como;

L IXke-ukTI < 00 k=O

T U+7rj /T Xk == -2 . X(s)eskT ds

'Ir] u-7rj/T

1.1 Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entrada

Para el sistema defi nido por: Yk == Yk-l - O,5Yk-2 + Uk-2

l. Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia impulso.

2. Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia escaln.

(1.22)

(1.23 )

( 1.24)

(1.25)


Solucin 1.1 Los apartados solicitados son:

1. Para calcular la respuesta directamente se construye la Tabla 1.1, donde { k} es la secuencia impulso y {9k} es la seal de salida. Dado que la seal de entrada es la secuencia impulso, esta seal de salida ser la secuencia de ponderacin.

I k I k I k-2 I 9k-2 I 9k-l I 9k o 1 O O O O 1 O O O O O 2 O 1 O O 1 3 O O O 1 1 4 O O 1 1 0,5 5 O O 1 0,5 O 6 O O 0,5 O -1/4 7 O O O -1/4 -1/4 8 O O -1/4 -1/4 -1/8 9 O O -1/4 -1/8 O 10 O O -1/8 O 11]6

Tabla 1 l. Respuesta ante entrada impulso

Por tanto, la respuesta del sistema es la secuencia de ponderacin:

{9k} == {D;O; 1; 1;0,5;0; -1/4; -1/4; -1/8;0; 1/16;0; ... } (1.26)

2. Igualmente, se construye la Tabla 1.2 para obtener la respuesta del sistema {Yk} ante entrada escaln {Uk} de fonna directa. Tambin es posible obtener la respuesta mediante el uso de la convolucin discreta:

00

{Yk} == L 9n{Uk-n} (1.27) n=-oo

teniendo en cuenta la secuencia de ponderacin {9k} dada en 1.26, se tiene:

00

Yo L 9nU O-n == 90Uo == O (1.28) n=-(X)

00

Yl L 9nU l-n == 90U l + 91UO == O (1.29) n=-oo

00

Y2 L 9nU 2-n == 90U 2 + 91 Ul + 92U O == 1 ( 1.30) n=-(X)

Secuencias y sistemas di seretos 7

k Uk Uk-2 Yk-2 Yk-l I Yk o 1 O O O O 1 1 O O O O 2 1 1 O O 1 3 1 1 O 1 2 4 1 1 1 2 2,5 5 1 1 2 2,5 2,5 6 1 1 2,5 2,5 2,25 7 1 1 2,5 2,25 2 8 1 1 2,25 2 1,875 9 1 1 2 1,875 1,875 10 1 1 1,875 1,875 1,9375

Tabla 1.2. Respuesta ante entrada escaln

CX)

Y3 - L 9nU3-n = 90U 3 + 92U l + gl U2 + 93U O = 2 (1.31 ) n=-oo

n=-oo

( 1.32)

y as sucesivamente. Como se puede apreciar, los resultados son coincidentes independiente-mente del mtodo empleado.

1.2 Estabilidad de un sistema discreto (1) Dada la ecuacin en diferencias:

Yk == -3Yk-l - 2Yk-2 + Uk (1.33)

obtener la secuencia de salida {Yk} cuando la secuencia de entrada es {Uk} - {lk}. Deducir la estabilidad del sistema.

Solucin 1.2 En primer lugar, la secuencia {Yk} se puede obtener a partir de la Tabla 1.3. Observando la secuencia de salida, se puede deducir la siguiente ley:

Yo - 1

Yk -2Yk-l Yk - -2Yk-l + 1

(k impar) (k par) (1.34)


I k I Uk Yk-2 Yk-l Yk o I O O I 1 I O 1 -2 2 I I -2 5 3 1 -2 5 -10 4 I 5 -lO 21 5 1 -10 21 -42

Tabla l.3. Secuencia de salida ante escaln

k k I 9k-2 I 9k-l I 9k O I O O I 1 O O 1 -3 2 O I -3 7 3 O -3 7 -15 4 O 7 -15 31 5 O -15 31 -63

Tabla 1.4. Secuencia de salida ante entrada impulso

que al tender k a 00, la secuencia de salida tendera tambin a oo. Por tanto, el sistema es inestable. Tambin se puede deducir hallando {9k}, que se encuentra en la Tabla 1.4. Se observa que:

00

( 1.35) n=-oo

no est acotado. Se cumplir:

lm 9n =1= O ( 1.36) n-oo

por lo que resultar un sistema inestable.

1.3 Estabilidad de un sistema discreto (11)

Un sistema tiene por respuesta impulsionalla representada en la Figura 1.3. Discutir su estabilidad.

Solucin 1.3 Se aprecia que no es estable dado que:

lm 9n =1= O ( 1.37) n--+oo


0,8

0,6

04

0,2

o~------------------------------------.. o 2 3 4 5 6 1 8 9 10 Figura] 3 Respuesta impulsional del sistema.

condicin necesana, y:

(1.38)

condicin necesaria y suficiente.

1.4 Convolucin discreta. Transformada de Fourier y de Laplace

Para un sistema cuya secuencia de ponderacin es {9k}, hallar la respuesta de] sistema ante la entra-da {Uk} (Figura 1.4). Calcular igualmente las transfonnadas de Fourier y Laplace de dicha salida.

{gk} 2 2

1

1 2 3 --+---

1 2 3 -1

-1

Figura] .4. Secuencia de ponderacin {gk} del sistema y entrada considerada {Uk}.


Solucin 1.4 Mediante la aplicacin de la convolucin discreta, se tiene:

CXJ

{Yk} == L 9n{Uk-n} n=-CXJ

Se obtiene para los tnninos de {Yk}: CXJ

Yo L 9n UO-n == 90U o == - 2 n=-CXJ

CXJ

Yl L 9nU l-n == 91 U O + 90U l = 5 n=-CXJ

CXJ

L 9nU2-n == 92U O + 9U + 90U 2 == O n=-CXJ

CXJ

Y3 L 9nU 3-n == 93U O + 92U + 9U2 + 90U 3 == -1 n=-CXJ

CXJ

Y4 L 9nU4-n == 94U O + 93U + 92U 2 + 91U 3 + 90U 4 == O n=-CXJ

CXJ

L 9nU5-n == O n=-CXJ

por tanto: {Yk} == { - 2; 5; O; 1; O; ... }

Para hallar la transfonnada de Fourier se aplica la siguiente fnnula:

CXJ

Y(w) == L Yke-jwkT == -2 + 5e-jwT - e- jw3T k=-CXJ

y para la transfonnada de Laplace:

CXJ

Y(s) == LYke- SkT == -2 + 5e-sT _ e-3sT k=O

(1.39)

( 1.40)

(1.41)

( 1.42)

( 1.43)

(1.44)

( 1.45)

(1.46)

(1.47)

(1.48)

(1.49)

1.5 Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la secuencia de ponderacin

Un sistema responde ante una secuencia escaln unitario con la secuencia:

{013444" .} , , , , , , (1.50)


Obtener el valor de los elementos de la secuencia de salida ante la entrada {2, 2, 1}.

Solucin 1.5 Ante escaln, la seal de salida es:

{Yk} ~ {O;1;3;4;4;4; ... } La respuesta impulsionaJ, por tanto, ser:

{gk} = {O; 1; 2; 1; O; O; ... } Si la entrada es {Uk} = {2, 2, 1}, la salida {Yk} se puede obtener a partir de:

{Yk} = {Uk} * {9k} Descomponemos {Uk} en funcin de {k}:

Entonces:

{Yk} 2{O;1;2;1;0;0; ... } +2{O;O;1;2;1;O, ... } + 1{O;O;O;1;2;1; ... } {O;2;6;7;4;1;O;O; ... }

(] .51)

(1.52)

(1.53)

(1.54)

( 1.55)

1.6 Sistemas discretos: estudio comparativo de la estabilidad, la respuesta y la ,

energIa

Dado el sistema discreto definido por la ecuacin en diferencias:

y siendo { Uk} = {O; 1; -1; 1/4; O; O; ... }

Se pide:

1. Estudiar la estabilidad del sistema.

2. Calcular la respuesta del sistema:

a) Directamente. b) Utilizando la convolucin discreta. e) A travs de la transfonnada de Fourier. d) A travs de la transformada de Laplace.

3. Calcular la energa de la secuencia de salida:

(1.56)

(1.57)


a) Directamente. b) Utilizando la fnnula de ParsevaL

Solucin 1.6 Los apartados solicitados son:

l. Para calcular la estabilidad, hallamos la respuesta ante entrada secuencia impulso. Para ello, se construye la Tabla 1.5, siendo {k} la secuencia impulso y {9k} la salida del sistema ante entr-ada escaln o secuencia de ponderacin.

I k I k I gk-l I 9k o 1 O 1 1 O 1 1/2 2 O 1/2 1/4 3 O 1/4 1/8 4 O 1/8 1/16 5 O 1/16 1/32

Tabla 1 5 Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin)

De esta forma: {gk} = {1;1/2;1/4;1/8;1/16; ... }

y como se cumple que: LI9kl < 00

se puede deducir que el sistema es estable.

(1.58)

(1.59)

2. a) Para calcular la respuesta directamente, se fonna la Tabla 1.6, donde {Uk} es la secuencia de entrada e {y k} es la secuencia de salida.

I k I Uk I Yk-l I Yk o O O O 1 I O 1 2 -J 1 -1/2 3 1/4 -1/2 O 4 O O O 5 O O O

Tabla l 6. Secuencia de salida del sistema

Por tanto: {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... } (1.60)


b) Tambin se puede calcular mediante la convolucin discreta: ex:>

{Yk} = L gn{Uk-n} n=-ex:>

y dando valores a k se tiene:

Yo -

Yl

Y2

Y3

Y4

Por tanto:

ex:>

L 9nUo-n=10==0 n=-ex:>

ex:>

L gnUl-n = 1 . 1 + 1/2 . O = 1 n=-ex:>

ex:>

L gnU2-n = n=-ex:>

1 . (-1) + 1/21 + 1/4 O = -1/2 ex:>

L 9nU 3-n = n=-ex:>

1 . 1/4 + 1/2 . (-1) + 1/4 1 + 1/16 . O = O 00

L 9nu3-n = n=-oo

1 . O + 1/2 1/4 + 1/4 . (-1) + 1/8 . 1 + 1/16 . O = O

{Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... }

(1.61)

(1.62)

( 1.63)

(1.64)

( 1.65)

(1.66)

(1.67)

e) La respuesta del sistema tambin se puede obtener a travs de la transformada de Fourier. Para ello, se debe hallar Q(w) y U(w).

00

Q(w) L 9ke-jwkT = k=-(X)

leo + 1/2e-jwT + 1/4e-2jwT + 1/8e-3jwT + ... == 1-0 2

1 - 1/2e-jwT 2 - e- jwT (1.68)

ex:>

U(w) L uke-jwkT = e- jwT - e-2jwT + 1/4e-3jwT (1.69) k=-oo

Por tanto:

y(w) Q(w) . U(w) ==


2. . (e-iwT _ e-2jwT + 1/4e-3jWT ) == 2 - e-JwT

_ e- jwT _ 1/2e-2jwT ( 1.70) De aqu se deduce que:

{Yk} = {O; 1; -1/2;0;0; ... } (1.71) d) Tambin se puede obtener a travs de la transfonnada de Laplace. Para ello) se ha de

calcular Q(s) y U(s). 00

g(s) - L9ke,skT == k==O

leo + 1/2e-sT + 1/4e-2sT + 1/8e-3sT + ... == 1-0 2

1 - 1/2e-sT 2 - e-sT (1.72)

00

U(s) == L Uke-sT == e-sT - e-2sT + 1/4e-3sT (1.73) k=O

Pudindose obtener, por tanto:

Y(s) - 9(s), U(s) = 2

___ . (e-sT _ e-2sT + 1/4e-3ST ) == 2 - e-sT

_ e- sT _ 1/2e-2sT (1.74) Luego 1

{Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... } (1.75) 3. a) En este apartado se pide calcular la energa de la secuencia de salida. El primer mtodo

a aplicar es mediante clculo directo:

L 2 1 5 E == IYk I == 1 + - = -4 4 (1.76) b) En segundo lugar se va a obtener la energa mediante la aplicacin de la fnnula de

Parseval:

E - 1 J1I" - Y(w) Y(-w)dw = 21r -1f

~ J1I" (e- jWT - 1/2e-2jwT ) . (e jwT - 1/2e2jwT ) dw = 27r -1f

~ J1I" (5/4 - 1/2ejwT - 1/2e-jWT ) dw = 27r -11"

_ ~ [~w]1f _ ~ [ei.WT ]1I" + ~ [eJ.WT ]1I" _ ~ (1.77) 27l' 4 -1f 47r JT -11" 471" JT -11" 4

1 Tambin se podra haber aplicado Yk = 2T . I.U +i1T//TT Y(s)eskT ds. 1t] U-J1r


1.7 Problema propuesto

Dada la ecuacin en diferencias: 311

Yk == -Yk 1 - -Yk 2 + Uk - -Uk 1 4 - 8 - 2- ( 1.78)

Obtener la secuencia de salida {y k} cuando la secuencia de entrada es {Uk} == {O; 1; 1; 1; 1; ... }.

Solucin 1.7 La secuencia de salida es:

{Yk} == {O; 1; 1,25; 1,312; 1,328; 1,332; 1,333; ... } (1.79)


Calcular la secuencia de ponderacin del sistema definido por:

(1.80)

Estudiar su estabilidad.

Solucin 1.8 La secuencia de ponderacin es:

{gk} == {1;3; 11;39; 139;495; 1763; ... } (1.81 ) El sistema es inestable.


Utilizando la convolucin discreta, hallar la respuesta del sistema cuya secuencia de ponderacin es {gk} ante la entrada { Uk} Y calcular la energa de dicha respuesta.

Solucin 1.9 La respuesta del sistema es:

{Yk} == {O; 2; 1; O; O; O; O; ... } ( 1.82)


{g~J { lit} 25 .. --"'T""" --

12

2t

15 0,8

06

04 05

02

o - -

.... o ..... _- --

. ..a __ L-o 05 1 15 2 2,5 3 3,5 4 45 5 o 05 1 15 2 2,5 3 35 4 45 5

k k

Figura 1.5. Secuencia de ponderacin {gk} y entrada del sistema {Uk}.

La energa es 5.


Estudiar la estabilidad y la respuesta 3.Qte entrada escaln de un sistema cuya secuencia de pondera-cin es:

{gk} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; ... } (1.83) Solucin 1.10 El sistema es inestable, pues: -

00

Ignl ~ 00 ( 1.84) n=O

La seal de salida es:

{Yk} = {1; 1,5; 1,833; 2,083; 2,283; 2,450; 2,592; 2,71 7; ... } ( 1.85)


Un sistema discreto tiene la siguiente secuencia de ponderacin:

(1.86)

Se pide:

1 . Aplicar el teorema de convolucin para obtener la secuencia de salida {Yk} ante una entrada { Uk} == {1; 1; -1; -1}.


2. Funcin de transferencia G (z) y ecuacin en diferencias. 3. aplicar los teoremas del valor inicial y final para calcular ]os valores inicial y final de la seal

de salida {Yk} cuando ]a seal de entrada {Uk} es un escaln unitarIo.

Solucin 1.11

l.

2.

3.


{Yk} = {l; 3; 2; -2; -3: -l}

G(z) = (z + 1)2 z2

Yk = uk + 2Uk-l + Uk-2

Yo = 1

YOCl = 4

( 1.87)

(1.88)

( 1.89)

Dado el sistema representado en la Figura 1.6, calcular la secuencia de salida {Yk} si la secuencia de entrada es la secuencia impulso. Discutir la estabilidad del sistema.

Figura I 6. Sistema discreto.

Solucin 1.12

{Yk} = {1;1;1;1;1;1; ... } (1.92) El sistema es inestable dado que la secuencia de ponderacin no es una suma finita.

,

CAPITULO 2

TRANSFORMADA Z

DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA Z La transfonnada Z de una secuencia temporizada {Xk} se define como:

00

X(z) == Z[{Xk}] = L Xk Z - k (2.1 ) k=-oo

Las transfonnadas de Fourier y de Lap]ace se relacionan con la transfonnada Z mediante z := ejwT y Z :::: esT, respectivamente.

TRANSFORMADAS Z BSICAS Las transformadas Z de algunas secuencias bsicas se encuentran en la Tabla 2.1.

{k} == {l;O;O;O;O; ... } {Uk} == {1; 1; 1; 1; 1; ... }

{Xk} = {1;a;a2 ;a3 ;a4 ; ... } {Xk} == KT = {O;T; 2T; 3T; 4T; ... }

{Xk} = (KT)2 = {O; T 2 ; 4T2 ; 9T2 ; 16T2 ; .. . } {Xk} == e-aKT == {1; e-aT ; e- 2aT ; e-3aT ; e-4aT ; ... }

6(z) = 1 U(z) = z~l X(z) == _z

z-a

X(z) == Tz ~Z-1)2 X( ) - T z(z+l)

Z - (z-1)3 X(z) == z_ez- aT

Tabla 2.1. Transformadas Z de secuencias bsicas

19


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Las propiedades fundamentales de la transfonnada Z se encuentran resumidas en la Tabla 2.2.

,

Nombre Linealidad

Desplazamiento Desplazamiento

Multiplicacin por una exponencial Diferenciacin

Convolucin de secuencias Teorema del valor inicial Teorema del valor final

Descripcin

Z[a{Xk} + t1{Yk}] = aZ[{xk}] + ,BZ[{Yk}] Z[{Xk-n}] = z-n Z[{Xk}]

Z[{Xk+n}] = ZnZ[{Xk}] - ~:Ol XiZn-i Z[{akxk}] =: X(a- 1 z) d~X(z) = -z-lZ[kxkJ

Y(z) = G(z)U(z) Residuo en a = f(a) z-a

El residuo de un polo de multiplicidad m se puede calcular como:

/(z). 1 [dm - 1/(Z)] X(z) = (z _ a)m => Residuo en a = (m - 1)' dzm- I z=a

(2.3)

(2.4)

2. Si las secuencias tienen nicamente tnninos de ndice positivo (dominio de convergencia Izl > 1/ p), se puede usar el mtodo de la divisin larga. Para obtenerla, se expresa la trans-fonnada Z como el cociente de los polinomios en Z-l y se dividen:

N(z-1) 00 -k X(z) = D(Z-l) = ~XkZ (2.5)

Transfonnada Z 21

3. Descomposicin en fracciones simples:

(2.6)

FUNCIN DE TRANSFERENCIA EN Z La funcin de transferencia en Z de un sistema definido por la ecuacin en diferencias:

(2.7)

es: G(z) = Y(z) = bo + b1z-1 + ... + bmz-m

U(z) 1 + alz-1 + ... + anz-n (2.8)

2.1 Transformada Z de secuencias tipo

Encontrar la transfonnada Z de las siguientes secuencias:

l. Secuencia impulso {k} = {1; O; O; O; ... }. 2. Secuencia escaln {Uk} = {1; 1; 1; 1; ... }. 3. Secuencia rampa {Tk} = {O; 1; 2; 3; ... }.

a) Directamente. b) A partir de la anterior.

4. Secuencia parablica {Pk} = {O; 1; 4; 9; ... }: a) Directamente. b) A partir de la anterior.

5. Secuencia exponencial { ek} = {O; O; O; O; e; 2e2 ; 3e3 ; .. . }.


Solucin 2.1 Se tiene:

l. Para la secuencia impulso se tiene:

00

6(z) == 2: 8n z-n == 1z-o + OZ-l + OZ-2 + ... == 1 n=-(X)

2. Para la secuencia escaln: 00

"'" -n -1 -2 1 U(z) == ~ UnZ == 1 + z + z + ... == 1 _ z-l n=-oo

siempre y cuando se cumpla Iz-11 < 1. 3. Para la secuencia rampa se tienen dos posibilidades:

a) Directamente: ex)

z z-l

(2.9)

(2.10)

R(z) == 2: rnz-n == 0+ z-l + 2z-2 + 3z-3 + ... (2.11) n=-(X)

Fonnando:

zR(z) - R(z) 1+2 -1+3-2 + -1 2-2 3-3 Z Z ... -z - z - z ... == 1 + Z-l + Z-2 + z-3 + ... == z

z-l

siempre y cuando se cumpla Iz-11 < 1. Por tanto: R(z) == _l ___ z_ == z

z - 1 z - 1 (z - 1)2

b) A partir de la anterior, se sabe que:

dX(z) = -z-l Z[{kXk}] dz

A partir de una sencilla modificacin de la secuencia escaln:

{Xk} = {1;1;1;1;1; ... } {O;1;2;3;4;5; ... } = {rk}

Haciendo uso de la ecuacin 2. 14, se tiene:

dX(z) Z[{kXk}] = Z[{rk}] = -z dz

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Transformada Z 23

y dado que se conoce la transformada Z de la secuencia escaln X(z), dada por la ecuacin 2.10, se tiene:

luego

X(z) dX(z)

dz

z z-l (z-l)-z

(z - 1)2 -1

(z - 1)2

-1 z R(z) = Z[{rdl = -z (z _ 1)2 - (z - 1)2

4. Para la secuencia parablica se presentan dos posibilidades:

a) Directamente: 00

(2.17)

(2.18)

p{z) == L pnz-n == 0+ Z-l + 4z-2 + 9z- 3 + ... (2.19) n=-oo

Al fonnar: (z - 1)2 p(z) = (z2 - 2z + l)p(z)

evaluando esta expresin a partir de la ecuacin 2.19, se tiene:

(2.20)

(z2 - 2z + l)p(z) == z + 2 + 2z- 1 + 2z-2 + 2z-3 + ... (2.21) (z2 - 2z + l)p(z) == z + 2(1 + Z-1 + Z-2 + z-3 + ... ) == z + 2 z (2.22)

z-l siempre y cuando se cumpla Iz- 11 < 1. Despejando,

(z) = z(z + 1) p (z - 1)3 (2.23)

b) A partir de las expresiones anteriores, se hace uso de ]a misma propiedad 2. 14. Si se expresa:

{O;1;2;3;4; ... } { kr k} == {O; 1; 4; 9; 16; ... }

Al igual que en el caso precedente 2.16:

dR(z) pez) == Z[ {krk}] == Z[{Pk}] == -z dz

(2.24)

(2.25)

De esta fonna, conociendo cuanto vale R( z), calculado en el apartado previo 2.18, se puede obtener su derivada:

dR(z) (z - 1)2 - 2z(z - 1) dz (z - 1)4

z+l (z - 1)3

con lo que se obtiene la transformada Z de la secuencia pedida:

[ Z+l] z(z+l) pez) = Z[{pdl = -z - (z _ 1)3 = (z - 1)3

(2.26)

(2.27)


5. Para la secuencia exponencial {ek} == {O, O, O, O, e, 2e2, 3e3, ... } se hace uso de la siguiente propiedad:

(2.28) Si se halla en primer lugar la transfonnada Z de la secuencia {tk} == {O, e, 2e2, 3e3, ... }, se puede expresar Z [ { t k }] =:: Z [ { ek r k} ], siendo r { t k} la secuencia rampa cuya transformada Z se ha hallado anteriormente, obteniendo la expresin dada por la ecuacin 2.13. De esta forma se tiene:

(2.29)

Para obtener la transfonnada Z de {ek} basta con desplazar los tres instantes de muestreo, obteniendo la expresin definitiva:

2.2 Transformada Z inversa de una secuencia

Hallar la transformada Z inversa de: z

U(z) = (z _ 1)2 para el dominio de convergencia Iz- 11 < 1 por los siguientes mtodos:

]. Mtodo de los residuos.

2. Mtodo de la divisin larga.


1. Por el mtodo de los residuos, se parte de la conocida expresin:

Un == L Residuos[U(z)zn-l] polos intenores a e

(2.30)

(2.31 )

(2.32)

siendo e una curva que rodea al origen y que se encuentre en el dominio de convergencia. La expresin 2.31 tiene un polo doble cuyo residuo ser:

U(z)zn-l (z - 1)2 Residuo == 1 d n [n n-l] 1! dz z == l! Z z=l == n (2.33)

Por tanto, la secuencia ser la dada por Un == n, es decir, {Un} == {O; 1; 2; 3; 4; ... }, que es la secuencia rampa.

Transfonnada Z 25

2. Al emplear el mtodo de la divisin larga, se expresan los numeradores y denominadores como potencias de Z-I, ya que el dominio es de la fonna Iz- 11 < 1. AS, se tiene:

-1 U( -1) __ z __ Z == (Z-1 _ 1)2 1 - 2z- 1 + Z-2 (2.34)

con lo que ya se puede efectuar la divisin. A medida que se realiza ]a divisin, se obtiene como cociente los coeficientes que fonnan la secuencia requerida (Figura 2.1), quedando la secuencia de salida de ]a fonna {un} == {O; 1; 2; 3; 4; .. }:

-1 Z

_Z-I +2z-2 _Z-3

+ 2z-2 _Z-3

- 2z-2 +4z-3 - 2z-4

+3z-3 -2z-4 -3z-3 +6z-4 -3z-5

4z-4 -3z-5

Figura 2.1. Mtodo de la divisin larga.

2.3 Funcin de transferencia de un sistema discreto

Dado el sistema discreto definido por la siguiente ecuacin en diferencias:

Yk - Yk-l + O,16Yk-2 == Uk-2

1. Calcular su funcin de transferencia.

2. Calcular el valor inicial y final de su respuesta ante escaln:

a) Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. b) Calculando la antitransfonnada.

(2.35)



l. La ecuacin en diferencias se cumple para cualquier valor de k, por lo que tambin la cum-plirn las secuencias. Hallando la transformada Z de cada secuencia y empleando las siguien-tes equivalencias:

{Yk} ----+ Y(z) {Yk-l} ----+ z-ly(Z) {Yk-2} ----? z-2y(z) {Uk-2} ----+ z-2U(z) (2.36)

Aplicando esta transfonnacin a la ecuacin 2.35, se tiene:

(2.37)

obteniendo como funcin de transferencia

G z _ Y(z) _ z-2 ( ) - U(z) - 1 - Z-1 + O,16z- 2 (2.38)

2. Para calcular el valor inicial y final se presentan dos posibilidades:

a) La transformada Z del escaln es: z 1

U(z) == --1 == 1 -1 Z - - z

(2.39)

Por las propiedades de la transfonnada Z se pueden detenninar los valores de inicio y fin de la respuesta del sistema ante una entrada en escaln siempre y cuando el sistema sea estable:

Yo lm Y(z) == lm G(z)U(z) = z-+oo Z-+OO

-2 1 lm z . == O

Z-+OO 1 - Z-l + O,16z-2 1 - Z-l (2.40)

Yoo lm [(1 - z-l )Y(z)] == lm [(1 - z-l )G(z)U(z)] == z-+l z-+l

-2 1 lm(l - Z-l) Z . 1 == 6,25 z-+l 1 - Z-l + O,16z- 2 1 - z-

(2.41 )

si el radio de convergencia es Izl > p, con p < 1. b) La transfonnada inversa se puede calcular por tres mtodos: la frmula de los residuos,

mediante la descomposicin en fracciones simples y por el mtodo de la divisin larga.

Transfonnada Z 27

Mediante la fnnula de los residuos se tiene:

Yn = Residuos[Y(Z)Zn-l] (2.42) polos intenores a G

siendo e una curva que rodea al origen y se encuentra en el dominio de convergen-cia. Lo primero ser, pues, calcular la respuesta ante entrada escaln.

Vez) Z-2

G(z)U(z) = 1 _ z-l + 0,16z-2 z

(z - 0,2)(z -0,8)(z - 1)

z

z-1

Si se halla la secuencia por la fnnula de los residuos, se tiene:

se tiene:

Yn = [(Z-0,~;(z-1)L=o,2 + [(Z-0,~;(z-1)L=o,8 + + [(z - 0,8;~Z - 0,2) ] z=l - 2,08 . 0,2n - 8,33 . O,8n + 6,25

Yo Yoo 6,25

Mediante la descomposicin en fracciones simples,

z 1 A B e Y(z) ==. = + + --z - 1 z2 - Z + 16 z - 1 z - 0,2 z - 0,8

que se puede resolver igualando los numeradores:

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

z == A(z - 0,2)(z - 0,8) + B(z - 1)(z - 0,8) + C(z - 1)(z - 0,2) (2.47)

1 z=l ~ A== - =625 (2.48) O 16 ' ,

Z = 0,2 ::::} B = 0,2 = 041 (2.49) 048 ' ,

Z == 0,8 C= 0,8 (2.50) ::::}

-O 12 = -6,66 ,

(2.51)

De esta forma, la transformada Z de la secuencia de salida ser:

Y(z) = 6,25 + 0,41 6,66 z-l z-02 z-08 , , (2.52)


Puesto que z / (z - a) es la transformada Z de la secuencia {a k}, con k mayor o igual que cero, se tiene la siguiente expresin para la secuencia de salida:

Z 1 Z Z Y(z) = 6,25z- 1 1 + O,41z- O 2 - 6,66z-1 O 8

z- z- , z- , (2.53)

Yn == 6,25 . 1 n-1 + 0,41 . 0,2n - 1 - 6,66 . O,8n - 1 (2.54) si n > l. Y como en el caso anterior (ecuacin 2.45):

Yo Yoo 6,25 (2.55)

Por el mtodo de la divisin larga:

Y(z) Z-2 ~-----_._-1 - z-1 + 0,16z-2 z

z -1 z-2

1 - 2z- 1 + 1,16z-2 - 0,16z- 3 Z-2 + 2z-3 + 2,84z-4 + 3,52z-5 + ... (2.56)

Permite calcular cmodamente el valor iniciaJ, pero no as el valor final.

2.4 Anlisis de una fundicin

Se desea analizar la produccin de hierro de una fundicin. El esquema de funcionamiento de la misma se muestra en la Figura 2.2. La fundicin tiene como caractersticas:

El proceso de fundicin tiene un rendimiento del 80 %.

Los residuos pueden tratarse para reconvertirse en materia prima.

Existe un suministro diario de materia prima (hierro).

Cada da se deteriora un 25 % de la materia prima por corrosin.

Cada da se tratan los residuos producidos el da anterior.

Admitiendo como vanables las siguientes:

fk Hierro fundido el da k (medido en kg.) Pk Piezas fabricadas el da k (medido en kg.)

tk Residuos tratados el da k (producidos el da k - 1)

Transfonnada Z 29

800/0 piezas

-------~ ~UNDICION J Materia Prima

200/0 residuos

TRATAMIENTOl RESIDUOS _J

Figura 2.2. FuncionamIento de una fundicin

hk Kg. de materia prima (hierro) aJ final del da k

Sk Suministro de hierro el da k (medido en kg.)

Se pide:

]. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a produccin de hierro en la fundicin.

2. Linealizar dichas ecuaciones en tomo a un punto de equilibno dado por un suministro de 500 kg. de hierro al da y una fabricacin de 300 kg. de piezas al da.

3. Representar el diagrama de bloques teniendo como entradas e] suministro de material y la demanda de piezas fabricadas y como saJida ]a materia en stock.

4. Calcular la funcin de transferencia entre el stock de hierro y el suministro diario de material.

5. Calcular el valor que tomar en rgimen permanente el nivel de hierro en stock si el suministro diario aumenta en 20 kg.

6. Calcular la secuencia de valores que tomar el nivel de hierro en stock durante los cinco pri-meros das despus de que el suministro de hierro se reduzca en 10 kg.



l. Las ecuaciones en diferencias del sistema que se deducen a partir de las condiciones del pro-blema son las siguientes:

hk hk - 1 - 0,25hk + Sk - fk + tk O,81k Pk

o,2fk-l (2.57)

2. En primer lugar, es necesario calcular el punto de equilibrio del sistema. En equilibrio, los valores en el instante k - 1 sern iguales a los valores en el instante k. Por tanto:

ho ho - 0,25ho + So - lo + to 0,8/0 Po 0,2/0 - to (2.58)

AS, en equilibrio, se tiene:

ho 800 kg. lo 375 kg. to 75 kg. (2.59)

3. Puesto que las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema son ya lineales, la trans-formada Z de estas ecuaciones ser:

H(z) O,8F(z)

0,2z- 1 F(z)

Z-1 H(z) - 0,25H(z) + 8(z) - F(z) + T(z) P(z) T(z)

El diagrama de bloques se muestra en la Figura 2.3.

S(z) + +: z Vez) R(z) 1,25z-1 ....

.1 O~21 pez) 1,25 T(z) .. F(z)

Figura 2.3. Diagrama de bloques de la fundicin.

4. Para el clculo de la funcin de transferencia entre el stock y el suministro de material se considerar constante la cantidad de piezas fabricadas diariamente; por tanto, su valor incre-mental (con respecto al punto de equilibrio) ser nulo. En estas condiciones, la funcin de transferencia solicitada es:

H(z) 8(z)

1 (2.61) 1,25-z- 1

Transformada Z 31

5. En estas condiciones, la variable de entrada ser un escaln de 20 unidades:

Por tanto:

8(z) _ 20 - 1 - Z-1

1 H(z) = 20 1- z-1 1,25 - z-1

(2.62)

(2.63)

Para obtener el vaJor en rgimen permanente aplicaremos el teorema del valor final (dado que el sistema es estable):

lm hk == lm [(1 - Z-1) . H(z)] = 80 k-HX) z-+1

(2.64)

Dado que la secuencia est representada respecto a su punto de equilibrio, que es de 800 kg., la cantidad de hierro en stock ser:

hec == 800 + 80 == 880 (2.65)

6. En este caso, la variable de entrada se corresponder con un escaln de -10 unidades. Por tanto:

H(z) = -10 1- Z-1

1 1,25 - Z-1

Para obtener la secuencia de valores, se calcula la transfonnada Z inversa:

h - Z-1 [ -10 ] k - (1 - z-1 )(1,25 - z-l)

Calculando la transfonnada Z inversa por reduccin a fracciones simples, se obtiene:

hk == 32 . O,8k - 40

(2.66)

(2.67)

(2.68)

Por tanto, en los cinco primeros das se obtienen los valores representados en la Tabla 2.3.

Da hk respecto equilibrio I hk global I o -8 792 kg. 1 -14,4 785,6 kg. 2 -195 , 780,5 kg. 3 -23,5 776,4 kg. 4 -26,9 773,1 kg. 5 -295 , 770,5 kg.

Tabla 2.3. Nivel de hierro en los cinco pnmeros das tras una reduccin de 10 kg. en el suministro


2.5 Evolucin de la poblacin de ballenas

Se supone que el nmero de ballenas que nacen a lo largo de un ao depende nicamente de la poblacin existente a principios de dicho ao, P, segn la ecuacin:

(2.69) Asimismo, el nmero de fallecimientos naturales durante un ao depende de la poblacin existente a principios de ese ao segn la ecuacin:

(2.70) La caza de ballenas ocasiona a ]0 largo del ao un nmero de fallecimientos directamente propor-cional a la poblacin existente a primeros de ao y al nmero de balleneros, B, existente:

J == 10-4 P B (2.71) Se pide:

1. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a evolucin de la poblacin de las ballenas de un ao a otro.

2. Linealizar dichas ecuaciones y hallar un modelo lineal sabiendo que la poblacin actual es de 10.000 ballenas.

3. Hallar la funcin de transferencia en Z que relaciona el nmero de ballenas con el nmero de balleneros.

4. Obtener la evolucin de la poblacin de ballenas si se prohibiese bruscamente ]a caza de ballenas cuando la poblacin es de 10.000.

Datos: Al == -8.000; A 2 == 4.000; a = 0,69 . 10-4 ; b == 1,38 . 10-4 ; e == 4.000; B 1 == 0,875 . 10-2 ; B 2 == 1,7 .10-6


]. Para establecer las ecuaciones en diferencias se denominar Pk a la poblacin de ballenas existente a comienzos de un ao. Al ao siguiente, existir una poblacin de ballenas igual a la de] ao anterior ms los nacimientos producidos a 10 largo del ao menos el nmero de fallecimientos naturales y menos el nmero de ballenas cazadas, es decir:

donde:

A 1e-aPk + A2e-bPk + e B1Pk + B2Pf 10-4 Pk B k

(2.72)

(2.73)

Transformada Z 33

2. Se Jinealizan las anteriores ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, definido por Po 10.000. En este punto de equilibrio, las ecuaciones se expresan como:

Po Po + No - Mo - Jo No Ale-aPo + A2e-bPo + e Mo B 1PO + B2P~ Jo 10-4PoBo

Al resolver este sistema, se obtienen unos valores de las variables en equilibrio:

No Mo Jo

Bo

-8000e-O,69 10- 4 104 + 4000e-1.38 10- 4 104 + 4000 == 993,7

0,875 . 10-2 104 + 1,7 . 10-6 . 108 == 257,5 No - Mo == 993,7 - 257,5 == 736,2

Jo 10-4 Po == 736,2

(2.74)

(2.75)

Si se linealizan las ecuaciones en torno a este punto de equilibrio (ecuacin 2.75), empleando variables incrementales, se tiene:

Pk + N k - M k - Jk [Al (-a)e- aPk + A2 ( -b)e-bPk ] Pk=P

o . Pk == 0, 138Pk

[BI + 2B2Pk ]Pk=PO . Pk == 4,275 . 10-2 Pk [10- 4 B k ] Bk=Bo . Pk + [10- 4 Pk ]Pk =Po . Bk = Bk + 7,362 10-2 Pk

Al agrupar estas ecuaciones incrementales y Iinealizadas, resulta:

(2.76)

(2.77)

3. Para el clculo de la funcin de transferencia en Z se pasan las ecuaciones incrementales linealizadas al dOlTIlnio z.

pez) == 1,0216P(z)z-1 - Z-l B(z)

pez) B(z) 1 - 1,0216z- 1

1 1,0216 - z

(2.78)

(2.79)

sta es la funcin de transferencia entre el nmero de ballenas y el nmero de balleneros para un modelo lineal que sea equivalente al dado, es decir, que presente pequeas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio que se ha tomado para linealizar las ecuaciones iniciales que eran no lineales. Por tanto, fuera de este entorno de] punto de equilibrio, esta funcin de transferencia deja de ser vlida.


Caza de ballenas I Antes I Despus Valor absoluto 736,2 O

Valor relativo o incremental O -736,2

Tabla 2.4. Variacin en la caza de ballenas

4. Si se prolube la caza de ballenas, se pasara (en el punto de equilibrio) de 736,2 a O ballenas cazadas. Esto se puede estudiar como si el comportamiento fuera un escaln de ganancia -736,2 unidades (Tabla 2.4).

z B(z) == z _ 1 (-736,2) (2.80)

con lo que la salida del sistema o nmero de ballenas sera:

P( ) 1 . z (-736 2) z == 1,0216 - z z - 1 ' (2.81 )

El sistema es inestable (presenta un polo fuera del crculo unidad). Ante una variacin brus-ca de B(z), la salida P(z) crecer desmesuradamente. Por tanto, segn el modelo lineal, el nmero de ballenas crecera hasta el infinito. En la realidad, lo que ocurre es que al aumen-tar el nmero de ballenas, el sistema deja de encontrarse alrededor del punto de equilibrio y el sistema ya no es equivalente. El sistema probablemente se mueve hacia otro punto de equilibrio.

X 104

3,5 --.-, -----,..----.------~--~--~

3

2,5

2

1,5

.- _ .

. -

1

0,5

. - -

.-

-

-

.-o~--~---~--~---~---~-~ o 5 10 15 20 25 30

Figura 2.4. Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibno

Transformada Z 35

Ao o J 2 3 4 Valores relativos o incrementales O 736 1.488 2.256 3.041

Valores absolutos 10.000 10.736 11.488 12.256 13.041

Tabla 2.5. Variacin en la caza de ballenas

Si se partiera de otro punto de equilibrio, como por ejemplo Po == 15.000, se tendra:

y la ecuacin incremental:

con 10 que: P(z) B(z)

No 1.662,9 Mo 513,75 Jo 1.149,2 Ro 766,12

-15z- 1 , 1,5 1 - O 9901z- 1 , 0,9901 - z

Alrededor de este punto de equilibrio, el sistema ya sera estable.

2.6 Explotacin de la madera en un bosque

(2.82)

(2.83)

(2.84)

Se desea analizar el sistema de explotacin de la madera en un bosque. Para ello, se conoce la cantidad de toneladas de madera disponibles en el bosque al principio de cada ao, as como de las toneladas de madera taladas a lo largo de cada ao. Admitiendo que el bosque aumenta su cantidad de madera un 5 % respecto al valor que tuviera a finales del ao antenor, se pide:

1. Hallar la ecuacin en diferencias del sistema.

2. Determinar el punto de equilibrio para que el bosque se mantenga en 5.000 toneladas de madera.

3. Hallar la funcin de transferencia en Z que relaciona el nmero de toneladas taladas durante un ao y la cantidad de toneladas de madera disponible en el bosque a finales de ese mismo ao.

4. Calcular el tiempo que tardara en duplicarse la cantidad de madera disponible en el bosque si se disminuyen bruscamente las taJas en un 10 % a partir del punto de equilibrio.


5. Analizar la evolucin en la cantidad de madera disponible en el bosque si se incrementa el nmero de toneladas taladas un 4 % durante los tres primeros aos.


l. Denominando:

mk Toneladas de madera en el bosque a finales del ao k tk Toneladas de madera taladas durante el ao k

La ecuacin en diferencias del sistema queda:

(2.85)

que se interpreta de la siguiente forma. El nmero de toneladas de madera en el bosque al finalizar el ao k es igual al que haba a finales del ao anterior ms lo que ha crecido durante ese ao y menos las toneladas de madera taladas durante ese ao.

2. Para calcular el punto de equilibrio, se tiene:

mo = 1,05mo - to (2.86)

de esta forma, se obtiene como punto de equilibrio aquel en el que el nmero de toneladas taladas a lo largo de un ao es:

to == O,05mo == 0,05 . 5.000 == 250 toneladas/ao (2.87)

3. Dada la ecuacin en diferencias 2.85, la transformada Z quedara:

M(z) == Z-l M(z) + 0,05z- 1 M(z) - T(z) (2.88) M(z) 1 1

-T(z) 1,05z-1 - 1 1,05 - z (2.89)

Expresin vlida para variables incrementales o relativas.

4. Si bruscamente las talas se disminuyen un 10 %, pasaran de talarse 250 toneladas/ao a talarse 225 toneladas/ao. Respecto al punto de equilibrio, este hecho se admite como un escaln de amplitud -25. De esta forma:

-25 T(z) == 1 _ Z-l

1 -25 M(z) == 1 05z-1 - 1 . 1 - z-1 ,

(2.90)

(2.91)

Para calcular la evolucin temporal de esta seal de salida es necesario calcular la transfonna-da inversa Z. Utilizando el mtodo de las fracciones simples:

1 -25 M(z) == 1 05z- 1 - 1 1 - Z-1 ,

A B -1-O-5z---1---1 + 1 - z-1 ,

(2.92)

Transfonnada Z 37

Resolviendo, se obtiene A = -525; B = -500. As:

(2.93)

Partiendo del punto de equilibrio para calcular el tiempo que se tarda en duplicar la cantidad de madera disponible en el bosque, se tendra (25.000-5.000 == 5.000), con lo que mk = 5.000.

5.000 = 525 . (I,05)k - 500 (2.94) log 5.500

k = 525 = 48 1 log 1,05 '

(2.95)

Por tanto, el bosque tardara en duplicar su cantidad de madera un total de cuarenta y nueve aos. En la Figura 2.5 se observa la evolucin temporal de la madera de] bosque.

:j-'- ,.-----,- --,...------, -1 -1 j

9000

-

tI' .'

6Q()()O

..L..--- --

, -----'---

o 15 20 25 30 35 40 45 50

(O)

6000

5000

4000

3000

2000

1000

o o 10 20 30

k

(b)

40 50 60

Figura 2.5. Toneladas de madera ante una disminucin de un 10% en la cantidad talada: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio.

5. Si se incrementa un 4 % el nmero de toneladas de madera talada los tres primeros aos, se tiene la siguiente secuencia de talado:

{tk} = {260;260;260;250;250;250;} (2.96)

La evolucin respecto al punto de equilibrio resulta: {tk} == {lO; 10; 10; O; O; O; ... }. De esta forma, se tiene:

Z2 + z + 1 T(z) = 10 + lOZ-l + 10z-2 = 10 2 Z

(2.97)

M( ) 1 O z2 + z + 1 z- 1----- 1,05z- 1 - 1 . z2 (2.98)


obteniendo por el mtodo de la di vi sin larga:

{mk} == {-lO; -20,5; -31,5; -33,1; -34,8;}

Respecto al punto de equilibrio, sera:

{mk} == {4990; 4979; 4968; 4966; 4965; ... } Esta evolucin se representa en la Figura 2.6 .

o 5 10 15 20 25

(a)

...

-. e. e.

e. j

.1 , , , , T

30 35 40 45 se 20 30 k

(b)

. ...

40 50

(2.99)

(2.100)

60

Figura 2.6. Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el nmero de toneladas: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio.

2.7 Evaluacin del stock en un almacn

En un almacn se hace inventario semanalmente. Para mantener el nivel de stock 1 se realizan las siguientes operaciones:

Cuando el stock desciende del nivel deseado, ID, se realizan pedidos al distribuidor con el fin de mantener dicho nivel. Si el stock es superior al nivel deseado, se devuelven pedidos al distribuidor. Es decir, que la cantidad de pedidos, P S, realizados a principios de semana es:

PS == K(ID - 1) (2.101)

siendo 1 el nivel de stock a principios de dicha semana .

La recepcin de productos, RS, durante la semana es proporcional al volumen total de pedidos no servidos, P, al principio de dicha semana con una constante de proporcionalidad, K 2.

Transfonnada Z 39

Las ventas semanales, V S, son independientes del inventario y las recepciones cancelan los pedidos.

Se pide:

l. Ecuaciones en diferencia.

2. Evolucin del inventario cuando las ventas semanales que se haban estabilizado en 100 uni-dades pasan bruscamente a 120 unidades.

Siendo ID == 1.000 unidades, K 1 = 0,3 y K 2 = 0,8.


1. Denominando las siguientes variables como:

Ik Nivel de stock a principios de la semana k 1 D Nivel de stock deseado PSk Pedidos realizados a comienzos de la semana k RSk Recepcin de productos durante la semana k Pk Volumen de pedidos no servidos durante la semana k V Sk Ventas realizadas durante la semana k

se tienen las siguientes ecuaciones en diferencia:

PSk K 1(ID - I k ) RSk K2Pk Ik+l Ik +RSk - VSk

Pk PSk-1 - RSk - 1 (2.102)

2. El punto de equilibrio vendr dado por V So = 100. Las dems variables en el punto de equilibrio sern:

PSo K 1(ID - lo) RSo K2 PO

lo lo +RSo - VSo Po PSo - RSo

con lo que se obtienen los siguientes valores en el punto de equilibrio:

VSo RSo

lo

100

100

- 916,6

Po PSo -

125 25

(2.103)

(2.104)


Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene:

PSk -Kl1k RSk K 2 Pk 1k+l Ik + RSk - VSk

Pk PSk - 1 - RSk - 1 (2.105)

Hallando la transfonnada Z y reagrupando, finalmente se obtiene:

PS(z) -

-K11(z) l(z) 1 - 1 _ z [VS(z) - RS(z)]

RS(z) K 2 PS(z) Z+K2

(2.106)

que se puede representar en el diagrama de bloques de la Figura 2.7, teniendo en cuenta que las ventas semanales configuran la seal de entrada y el inventario se toma como seal de salida.

- _______ .0=1_ I(z) ~

VS(z) +

.-~2-~K z+K I 2 Figura 2 7. Diagrama de bloques stock/ventas

La funcin de transferencia entre la salida (stock semanal) y la entrada (ventas semanales) es la siguiente:

l(z) VS(z)

Expresin vlida solamente para variables incrementales o relativas.

(2.107)

Si las ventas se encuentran estabilizadas en 100 unidades (punto de equilibrio) y pasan a 120 unidades, se puede simular el efecto producido como si se efectuase un escaln de amplitud 20 unidades sobre el punto de equilibrio de las ventas semanales, con lo que la vanable de stock se modificara:

l(z) = z + 0,8 .20_z _ -z2 + (1 - 0,8)z + 0,56 z - 1 (2.108)

El valor final de esta variable relativa en el infinito, si el sistema es estable, ser:

loo = lm(1 - z-l) Z + 0,8 . 20 z = -150 z---?l _Z2 + (1 - 0,8)z + 0,56 z - 1 (2.109)

Transfonnada Z 41

De esta manera, el valor final de la variable relativa del stock ser lo == -150, que en variables absolutas ser 916,6 - 150 == 766,66. Los valores iniciales de la variable stock se pueden examinar mediante el mtodo de la divisin larga:

20 -1 + 16 -2 I( -1) Z Z Z == -1 + 1,2z- 1 + O,36z-2 - O,56z-3

quedando unos valores para el nivel de stock 1 alrededor del punto de equilibrio:

Ik == {O' -20' -40' -55 2 -69 4 -150} , , , " " ,

Sobre e] valor inicial lo == 916~6, se tiene una evolucin:

Ik = {916,6; 896,6; 876,6; 861,4; 847,1; .. ; 766,6}

Esta evolucin se observa en ]a Figura 2.8.

W!O.

tDD

1

10

11

2D

Figura 2.8. Evolucin del stock tras la vanacin de las ventas.

2.8 Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializacin y de la tasa de natalidad

(2.110)

(2.111 )

(2.112)

Se trata de obtener un modelo parcial que describa ]a influencia que ejercen la industrializacin y la tasa de natalidad sobre la poblacin de una regin. Para ello, se supondr:

La tasa de natalidad real (T N R) de un ao es igual a ]a tasa de natalidad natural (T N N) de dicho ao menos a veces e] incremento de la poblacin (P) entre dicho ao y el anterior.


La tasa de mortalidad real (T M R) de un ao es igual a b veces el grado de contaminacin (GC) de dicho ao ms e veces el grado de contaminacin del ao anterior ms una constante d .

El grado de contaminacin anual es e veces el producto de la industrializacin (1) y la pobla-cin de dicho ao.

Se pide:

l. Ecuaciones en diferencia del modelo.

2. Transformada en Z y diagrama de bloques del modelo lineal, as como las funciones de trans-ferencia si se supone que existe un equilibrio para lo = 2 Y T N No == 0,02.

3. Valor de la poblacin desde el ao 80 al 85 si 1 y T N N toman los valores de la Tabla 2.6.

Ao 1/ I TNN I 80 2 0,02 81 3 0,015 82 4 0,015 83 3 0,015 84 2 0,02

Siguientes 2 0,02

Tabla 2.6. Variacin de la poblacin entre 80 y 85

Datos: a == 4 . 10-6 ; b == 3 . 10-3 ; e = 2 . 10-3 ; d == 0,01; e == 10-3


l. nicamente existe una ecuacin en diferencias adicional a las dadas en el enunciado y es la que expresa el incremento de la poblacin de un ao al siguiente. En conjunto, las ecuaciones en diferencias son:

Pk + T N Rk . Pk - T M Rk . Pk T N N k - a[Pk - Pk-l] b . GCk + e . GCk - 1 + d elkPk (2.113)

2. Es necesario determinar el punto de equilibrio, que viene dado por lo == 2 Y T N No = 0,02. En el punto de equilibrio se produce Pk == Pk +1 == Po:

TNRo Po == TMRo Po

Transformada Z 43

TNRo = TNNo T M Ro = (b + e) . Geo + d Geo = e 10Po

con lo que se obtiene un punto de equilibrio:

TNRo 0,02

2

TNNo = TMRo == 0,02 (3 . 10-3 + 2 . 10-3 ) Geo + 0,01 ~ GCo = 2 10-3 . 2Po :::::} Po = 1000

control de sistemas discretos - schaum.pdf

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