control automatic oc 2

CONTROL AUTOMATICO

CAPITULO II

MODELOS MATEMATICOS DE

LOS SISTEMAS

Ing. Juan F. del Pozo L.

08/11/2013 2

MODELOS MATEMATICOS DE LOS

SISTEMAS

Representacin grfica de un sistema en el dominio

del tiempo

Diagramas Funcionales

Seales

Bifurcacin de Seales

Punto de sumas de Seales

Inversin de Polaridad

Bloques de Transferencia

08/11/2013 3


SISTEMAS

Representacin grfica de un sistema en el dominio del

tiempo

Diagrama Funcional

Control de velocidad de un auto.

Fuerza debido al viento es

proporcional a la velocidad: fL

Fuerza debido a friccin de las

llantas es proporcional a la

velocidad: fR

Fuerza debido al peso en

direccin del movimiento, es

proporcional a la pendiente: fG

Fuerza de Empuje: fA

Fuerza Resultante: fres

0

0i i

L L

R R

G

res A L R G

F

f K x

f K x

f K z

f f f f f

08/11/2013 4

MODELOS

MATEMATICOS DE LOS

SISTEMAS

Representacin grfica de un sistema en el dominio del tiempo Diagrama Funcional

Control de velocidad de un auto. Torque Impulsor del Motor es

proporcional a la apertura de la Mariposa del Carburador (y) y a las Revoluciones del Motor (nM): mM

Torque en las Ruedas es proporcional al Torque Impulsor del Motor: mR

Fuerza de Empuje es proporcional al Torque en la Ruedas (mR): fA

Voltaje del Regulador de Velocidad es proporcional al Voltaje del Tacogenerador (ux) menos la Referencia (w) : uy

El voltaje del Tacogenerador es proporcional a las revoluciones del eje de la rueda del vehculo (x): nR

1 2

3

4

5

6

( )

M M

R M

A R

y x

x R

m K y K n

m K m

f K m

u K u w

u K n

08/11/2013 5

MODELOS

MATEMATICOS DE LOS

SISTEMAS

Representacin grfica de un sistema en el dominio del tiempo

Diagrama Funcional


La Respuesta al Escaln de la

Bobina del Regulador corresponde

a un sistema de primer orden.

El desplazamiento (S2) es

proporcional a la Corriente de la

Bobina del Regulador (i).

El desplazamiento (S1) es

proporcional al desplazamiento

(S2) .

La apertura de la compuerta de la

mariposa del carburador es

proporcional al desplazamiento

negativo de (S1).

2 7 1 8 2

9 1

1;

;

y y

y

di L diu Ri L i u

dt R dt R

diT i Ku

dt

s K i s K s

y K s

08/11/2013 6


SISTEMAS

Representacin grfica de los sistemas en el dominio del tiempo

Diagrama Funcional


La revolucin del eje de la rueda

del vehculo (nR) es proporcional a

la velocidad del vehculo (x).

La revolucin del eje del motor

(nM) es proporcional a la revolucin

del eje de la rueda del vehculo (nR).

De acuerdo a la ley de Newton la

velocidad (x) del vehculo es

proporcional a la integral de la

Fuerza Resultante (fres)

10 11;

1;

R M R

res res

n K x n K n

v x

dvf M x f dt

dt M

08/11/2013 7


SISTEMAS

Representacin grfica de los sistemas en el dominio del tiempo Diagrama Funcional


08/11/2013 8


SISTEMAS

Comportamiento Dinmico Diagrama Funcional

Ecuacin diferencial del sistema

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

;

; ;

( )

( ) (1 ) ( )

T m m K e T n n K m

e r c c n d K K K

TT n T T n n Ke

TT c T T c K c Kr TT d T T d d

08/11/2013 9


SISTEMAS

Modelo del sistema es el resultado del conocimiento referente a la transferencia, almacenamiento, conversin y disipacin de energa y en los mtodos de interconexin de los elementos.

1. Sistema Dinmico

2. Ecuaciones Diferenciales

3. Linearizacin

4. Transformada de Laplace (Funcin de Transferencia)

Sistemas fsicos:

Elctricos

Mecnicos de traslacin y rotacin

Hidrulicos

Trmicos

Neumticos

08/11/2013 10


SISTEMAS

Aproximacin lineal de un sistema fsico en estado estacionario. Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva continua en

el intervalo de inters

NOTA: a partir de ahora los valores incrementales se los representar sin el delta

2 2

2

( )

( ) ( )( ) ...

1! 2!

( )( )

1!

( )

( ) ( )

; ; ;

o oo

x xo x xo

oo

x xo

o o

x xo

o o

y g x

x x dg x x d gy g x

dx dx

x x dgy g x

dx

y g x

dgm

dx

y y m x x

y m x y y x x y m x

08/11/2013 11


SISTEMAS

Aproximacin lineal de un sistema fsico Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva

continua en el intervalo de inters

Si la variable dependiente depende de varias variables de excitacin

Para la aproximacin lineal de la serie de Taylor

1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1

( , ,... )

( ) ( ) ( )( , ,... ) ...

1! 1! 1!

( , ,... )

( ) ( ) ( ) ... ( )

; ; ;

n

o o n noo o no

nx xo x xo x xo

o oo no

o o o n n no

i i i i i

i

y g x x x

x x x x x xg g gy g x x x

x x x

y g x x x

y y m x x m x x m x x

yy m x m y y x x

x

y m x

2 2 ... n nm x m x

08/11/2013 12


SISTEMAS

Aproximacin lineal de un sistema fsico Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la

curva continua en el intervalo de inters

Si la variable dependiente depende de varias variables de excitacin

Para la aproximacin lineal de la serie de Taylor.

( , )

u z

A Z Zo

A U Uo

y f u z

y K u K z

Y YuKu

U U

Y YzKz

Z Z

08/11/2013 13

Comportamiento Esttico de un Sistema Comportamiento esttico de un generador

Velocidad constante: n

Voltaje de referencia: Uo=100 Corriente de armadura: IAo=30 Corriente de excitacin: Ieo=0.6

Comportamiento del Regulador


SISTEMAS

08/11/2013 14

Comportamiento Esttico de un Sistema Comportamiento esttico de un

generador Operacin en lazo abierto: uR=0 v.

Voltaje Terminales lazo abierto:

IA=0 A, U=115 v.

IA=60 A, U=76 v.

Operacin en lazo cerrado: Voltaje de Referencia: Uo=100 v.

IA=0 A, U=104 v.

IA=60 A, U=93 v.

Factor de Regulacin: R R= U(lazo cerrado)/U(lazo

abierto)

R=(104-93)/(115-76)=0.28

R= 28%


SISTEMAS

08/11/2013 15


SISTEMAS

Comportamiento esttico de un generador Obtencin del modelo a partir de la linearizacin de su Curva

Caracterstica . u = Ky.ie+Kz.iA

Ky= U/ie|IA=const. = (100-77)/(0.6-0) = 38.3 v./A

Kz= U/ia|Ie=const. = (100-77)/(30-60) = - 0.76 v./A. Constante del Regulador.

ie= KR.uR

KR= Ie/UR = (0.6-0)/(0-10)= - 0.06 A/v.

Detector de Error. ur = u uo ; pero uo = 0 debido a que U0 = constante

08/11/2013 16


SISTEMAS

Comportamiento esttico de un generador Factor de Regulacin: R

R= u (lazo cerrado) / u (lazo abierto)

Lazo Abierto:

u (lazo abierto) = Ky.ie + Kz. iA = Kz. iA , debido a: ie = 0 Lazo Cerrado:

u (lazo cerrado) = Ky.ie + Kz. iA ur = u (lazo cerrado) uo = u (lazo cerrado) , debido a: uo = 0

ie = KR. u (lazo cerrado)

u (lazo cerrado) = Kz /(1-Ky. KR). iA

R = 1/(1-Ky. KR) = 1/(1+38.3*0.06) = 0.30 ; 30%

08/11/2013 17


SISTEMAS

Comportamiento dinmico de un generador de

corriente continua

1;

;

(1 ) ( )

ee f e f

f

e e

f f

ee e e e

g e a a e r r

r o

ae e g r e g r o a e a

diu R i L

dt

LT V

R R

diT i V u

dt

u K i K i u K u

u u u

diduT V K K u V K K u K T i

dt dt

08/11/2013 18


SISTEMAS

Comportamiento Esttico de un Sistema

Comportamiento del Regulador

Rango de Regulacin: Xh Rango de trabajo de la

seal a la entrada del Regulador.

Rango de Ajuste: Yh Rango de trabajo de la

seal de salida del Regulador.

Rango Proporcional: XP 1% XP 500%

Regulador

Y

X

Yh

Xh

a

Xh Yh

100%

100%

P

h

hR

hP

h R

aX

X

YK

a

YX

X K

08/11/2013 19

Funcin de Transferencia de un Sistema Un sistema de control puede ser descrito mediante

ecuaciones diferenciales

Coeficientes constantes

Condiciones iniciales cero


SISTEMAS

Sistema

x(t) y(t)

g(t)

X(s)

G(s)

Y(s)

Dominio del tiempo: Ecuaciones Diferenciales

Dominio del plano s: Ecuaciones Algebraicas

Transformada

directa de

Laplace

Transformada

inversa de

Laplace

08/11/2013 20


SISTEMAS

Funcin de Transferencia de un Sistema Un sistema de control puede ser descrito mediante

ecuaciones diferenciales

Coeficientes constantes

Condiciones iniciales cero

xBdt

dxB

dt

xdByA

dt

dyA

dt

ydA o1

m

m

mo1n

n

n ......

1 1( ... ) ( ) ( ... ) ( )n mn o m oA s A s A Y s B s B s B X s

Transformada

de Laplace

08/11/2013 21


SISTEMAS

Funcin de Transferencia de un Sistema

1

1

( ) ...( )

( ) ...

mm o

nn o

Y s B s B s BG s

X s A s A s A

)().()( sXsGsY

)(*)()( txtgty

Transformada

inversa

de Laplace

Multiplicacin

Convolucin

08/11/2013 22

Aproximacin lineal de un sistema fsico La gran mayora de sistemas fsicos se comportan

como lineales dentro de algn intervalo de las variables.

Cuando el sistema est en reposo, para ser considerado lineal debe cumplir:

Con el teorema de superposicin y homogeneidad


SISTEMAS

Sistema

x(t)

x1(t)+x2(t)

bx(t)

y(t)

y1(t)+y2(t)

by(t)

MODELOS

MATEMATICOS DE LOS

SISTEMAS

Motor de Corriente Continua El estator, inductor

Carcasa

Polos principales y auxiliares

Devanado inductor

El rotor, inducido Colector, delgas

Devanado inducido

Ncleo del inducido

Las escobillas.

08/11/2013 23

08/11/2013 24


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua Motor ideal, sin prdidas.

Potencia elctrica desarrollada igual a la potencia mecnica

El voltaje contraelectromotriz es proporcional al flujo y velocidad angular.

El flujo es proporcional a la corriente de campo.

( ). ( )b ae t i t

( ). ( ) ( ). ( )b a me t i t T t t

Motor CC ( ). ( )mT t t

1( ) ( ) ( )be t K t t

( ) ( )f ft K i t

08/11/2013 25


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua 1( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

m a

f f

ff f f f

m L d

L

aa a a a b

b

T t K t i t

t K i t

di tv t R i t L

dt

T t T t T t

d tT t J b

dt

di tv t R i t L e t

dt

e t K t t

d tt

dt

08/11/2013 26


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua Motor ideal, sin prdidas.

Se presentan dos casos:

Mantener constante la corriente de

campo, control de armadura

Mantener constante la corriente de

armadura, control de campo

1( ) ( ) ( )m f f a amaT t K K I i t K i t

1( ) ( ) ( )m f a f fmfT t K K I i t K i t

1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ), ( ))

( ) ( ) ( )

m a

m f f af f

m a f

m mf f ma a

T t K t i t

t K i t T t K K i t i t

T t f i t i t

T t K i t K i t

08/11/2013 27


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua controlado por Campo

( ) constante

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

a a

ff f f f

m mf f

m L d

L

i t I

di tv t R i t L

dt

T K i t

T t T t T t

d tT t J b

dt

d tt

dt

1( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

1( ) ( )

f f

f f

m mf f

L m d

L

I s V sR sL

T s K I s

T s T s T s

s T sb sJ

s ss

L

08/11/2013 28


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua controlado por Campo

Ia constante

Funcin de transferencia

1( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

mff d

f f

mf f f f d

f f

Ks V s T s

s R sL b sJ s b sJ

K V s R sL T s

s R sL b sJ

08/11/2013 29


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua controlado por Armadura

( ) constante

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

f f

aa a a a b

m ma a

m L d

L

b f bf

i t I

di tv t R i t L e t

dt

T K i t

T t T t T t

d tT t J b

dt

e t K K I t K t

d tt

dt

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

( )

1( ) ( )

a a b

a a

m ma a

L m d

L

b b

I s V s E sR sL

T s K I s

T s T s T s

s T sb sJ

E K s

s ss

L

08/11/2013 30


SISTEMAS

Motor de Corriente Continua controlado por Armadura

If constante

Funcin de transferencia

2

( ) ( ) ( )( ) ; 0

( ) )

( ) ( )( )

; ;

( ) ( )( )

1

ma a a a da

a a a a ma b

ma a a d

a a ma b

a ma a

m da ma a ma a ma

m a d d

K V s R sL T ss L

s L Js L b R J s R b K K

K V s R T ss

s R Js R b K K

R J K RK K

R b K K R b K K R b K K

K V s K T ss

s s

08/11/2013 31

Amplificador Rotativo de dos Etapas, Amplidina NOTA: El flujo de reaccin de armadura es compensado por el

flujo de la bobina Ld

1( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( )

( ) ( )

0

( ) ( )

( ) ( )

c c

c c

q c

q q

q q

d d q

d

d d

dd c

c c q q

I s V sR sL

E s K I s

I s E sR sL

E s K I s

L

V s E s

K KV s V s

R sL R sL


SISTEMAS

08/11/2013 32


SISTEMAS

Regulador Hidrulico, servomotor hidrulico

Q Caudal del aceite

P Diferencia de presin

x Desplazamiento de la vlvula de control

y Desplazamiento del cilindro de potencia

, ,

, ,

( , )

( ) ( )

;

o o o

xo Po xo Po

x p

xo Po xo Po

x p

Q f x P

Q QQ Q x x P P

x P

Q QK K

x P

q K x K p

08/11/2013 33


SISTEMAS

Regulador Hidrulico, servomotor hidrulico A Superficie del pistn de

La Funcin de Transferencia:

2

2

1 x

p p

Kp q x

K K

dyq A

dt

d y dyF M b

dt dt

F A p

1( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x

p p

KP s Q s X s

K K

Q s A sY s

F s s sM b Y s

F s A P s

L

2

( )

( ) ( ) ( 1)

x

p p

Y s A K K K

X s s sM K b K A s s s

08/11/2013 34


SISTEMAS

Regulador Hidrulico, servomotor hidrulico

Encuentre la Funcin de Transferencia Y(s)/E(s).

Observe que la barra ABC es flotante, no tiene punto fijo.

La Funcin de Transferencia del servomotor hidrulico puede se aproximada en: Y(s)/X(s)= K/s.

Observe que el desplazamiento en x es: x = f(e,y),

Aplique superposicin:

X(s) = Ke.E(s) + Ky.Y(s).

( ) ( )

e

Y cont

y

E cont

e

y

X bK

E a b

X aK

Y a b

KKY s E s

s KK

08/11/2013 35


SISTEMAS

Sistema de engranajes Sistema ideal, potencia de entrada es igual a

la potencia de salida, no tiene prdidas

Los dos engranajes recorren la misma

distancia lineal

El tamao de los dientes es igual en ambos

engranajes

La velocidad angular es proporcional al

desplazamiento angular en cada engranaje

m m L LT T

2

1

2

1

22

11

r

r

N

N

r2N

r2N

1 2m Lr r

m

L

L

m

m

L

T

T

r

r

N

N

2

1

2

1

08/11/2013 36

Sistema de engranajes Se incluye la friccin viscosa y la inercia

Referir el sistema al eje del motor


SISTEMAS

)()()()(

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

1111

122

122

1

122111

2111

11

2

12

22

2

11

2222

1111

sTsBsJssT

snTsBnBJnJsssT

sTsnBsJsnsBsJssT

snTsBsJssT

nN

N

nTTN

NT

sTsBsJssT

sTsBsJssT

eqeqeqm

Lm

Lm

m

L

m


SISTEMAS

Sistema Hidrulico Sistema ideal, potencia

de entrada es igual a la

potencia de salida.

La presin hidrulica es

la misma, principio de

Pascal.

08/11/2013 37

1 1 2 2

1 1 2 2/ /

F v F v

F dx dt F dx dt

1 1 2 2/ /P F A F A

08/11/2013 38

Detector de Error utilizando Potencimetros Potencimetros de 360o, sin tope

MODELOS

MATEMATICOS DE LOS

SISTEMAS

)()()(

)()()(

)()()()()(

ssKsV

ss360

EsV

360

Rr

360

Rr

srsrR

EsEsEsV

21s2

21o

o2

2o

2

1o

1

21o

212

08/11/2013 39

Tacmetro (tacogenerador)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

( ) ( )

a a a a b

b

a

a

a

V s R sL I s E s

E s K s

R

L

V s K s


SISTEMAS


SISTEMAS

Sistema Trmico La variacin de la temperatura de salida

alrededor de su punto de operacin podr ser

debida a un cambio en el calor suministrado

por el calentador o por un cambio en la

temperatura del fluido entrante.

Balance Energtico

qe(t) Calor suministrado por calentador

qi(t) Calor del fluido entrante

ql(t) Calor absorvido por fluido

qs(t) Calor a traves de paredes

Ct Capacidad trmica kcal/C

Rt Resistencia trmica C.s/kcal

F Flujo lquido kg/s

c Calor especfico kcal/kg.C

08/11/2013 40


SISTEMAS

Sistema Trmico Balance Energtico

08/11/2013 41

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1( ) [ ( ) ( )]

( ) ( )

( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1( ) [ ( ) ( ) ( )

1

e i l s

ol t

s o a

t

i e

ot o e e a

t t

ot t o t e t e a

o e e a

q t q t q t q t

dT tq t C

dt

q t T t T tR

q t c F T t

dT tC T t q t c F T t T t

dt R R

dT tR C T t R q t c F R T t T t

dt

T s K Q s K T s T ss

1 2] ; ; ;t t t tR C K R K c F R

08/11/2013 42


SISTEMAS

Control de Velocidad Motor de Corriente Continua controlado por armadura

Seal de entrada: Valor incremental de velocidad en voltios

Seal de salida: Valor de la velocidad en rpm

Sensor de velocidad mediante tacmetro

Considere el efecto de una perturbacin de torque en el eje del motor

08/11/2013 43


SISTEMAS

Control de Velocidad Motor de Corriente Continua controlado por armadura

08/11/2013 44


SISTEMAS

Control de Posicin Motor de Corriente Continua controlado por armadura

Seal de entrada: Posicin eje de entrada

Seal de salida: Posicin eje de salida

Detector de error a base de potencimetros

Considere el efecto de la inercia y friccin de la carga conectada al eje del motor mediante engranajes

08/11/2013 45


SISTEMAS

Control de Posicin Motor de Corriente Continua

controlado por armadura

Simulacin del sistema utilizando

MATLAB y SIMULINK

Incluya el efecto de una

perturbacin de torque

08/11/2013 46


SISTEMAS

Control de Posicin Motor de Corriente Continua controlado

por armadura

08/11/2013 47

Modelos de diagramas de bloques

Los diagramas de bloques son bloques operacionales y unidireccionales que representan la funcin de transferencia de las variables de inters

Para representar un sistema con diferentes variables bajo control, se utiliza una interconexin de bloques

La transformaciones de diagramas de bloques y las tcnicas de reduccin se las obtiene aplicando el algebra de las variables del diagrama


SISTEMAS

08/11/2013 48


SISTEMAS

Modelos de diagramas de bloques Los diagramas de bloques son bloques operacionales y unidireccionales que

representan la funcin de transferencia de las variables de inters

Para representar un sistema con diferentes variables bajo control, se utiliza una interconexin de bloques

La transformaciones de diagramas de bloques y las tcnicas de reduccin se las obtiene aplicando el algebra de las variables del diagrama

Ejemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiples

08/11/2013 49


SISTEMAS

Modelos de diagramas de bloques Ejemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiples

Aplicacin de la regla 4 en el primer grfico

Aplicacin de las reglas 1 y 6 en el segundo grfico

08/11/2013 50


SISTEMAS

Modelos de diagramas de bloques Ejemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos

mltiples

Aplicacin de la regla 6

Aplicacin de las reglas 1 y 6, la Funcin de Transferencia

resultante.

08/11/2013 51

Grficos de Flujo de Seal Una grfica de flujo de seales puede definirse como un mtodo grfico

para representar las relaciones entrada-salida entre las variables de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Es una representacin causa y efecto de los sistemas lineales.

En los grficos de flujo de seales se usan puntos de enlace o nodos para representar las variables y se los interconecta mediante segmentos lineales llamados ramas de acuerdo a las ecuaciones de causa y efecto.

Las ramas tienen ganancia y direccin asociadas a ellas.


SISTEMAS

x1 x2

a

2 1x a x

08/11/2013 52


SISTEMAS

Grficos de Flujo de Seal Representacin causa y efecto de los sistemas lineales.

Los sistemas pueden ser o no ser bidireccionales.

Una resistencia, bidireccional

Un amplificador, (amplificador operacional ideal ), direccional

Ganancia infinita, impedancia de entrada infinita, impedancia de salida cero.

2 1

2 1

1/

/2

1

) . ;

1) ;

;

R

R

R R

o in in o

v v v

a v R i i v

b i v v iR

Rv v v v

R

08/11/2013 53


SISTEMAS

Grficos de Flujo de Seal Definiciones:

Nudo Un punto que representa una seal

Transmitancia Una ganancia entre dos puntos

Rama Une dos nudos y tiene direccin

Nudo de Entrada Solo tiene ramas que salen

Nudo de Salida Solo tiene ramas que entran

Nudo Mixto Tiene ramas que entran y salen

Lazo Es un camino cerrado

Lazos Distintos No tiene nudos comunes

Trayecto Directo Va desde nudo de entrada al nudo de salida pasando una sola vez por cada nudo

Ganancia de Trayecto Directo Producto de las transmitancias de las ramas del trayecto directo

08/11/2013 54

G1(s )

H(s)

G2(s )

R(s) C(s)

N(s)

B(s)

E(s) F(s ) I(s)

+

-

+

-

R(s)

B(s)

E(s) F(s ) C(s)1

1-I(s)

N(s)

1-

G1(s ) G2(s )

H(s)

1


SISTEMAS

Grfico de Flujo de Seales a partir de un Diagrama de Bloques Darle nombre a todas las variables

Por cada variable se identifica un Nodo

08/11/2013 55


SISTEMAS

Grfico de Flujo de Seales a partir de un Diagrama de Bloques Reducir mediante la eliminacin de Nodos no necesarios

La Funcin de Transferencia

C(s)

N(s)

1-

G2(s )G1(s )E(s)

1R(s)

I(s)

H(s)-

1 2 2

1 2 1 20 0

21

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ; ( )

1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

R N

R N

N R

C s G s R s G s N s

G s G s G sG s G s

G s G s H s G s G s H s

G sC s G s R s N s

G s G s H s

08/11/2013 56

Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

x a x a x r

x a x a x r

22 1 12 21 22 1 12 2

11 22 12 21

11 2 21 12 11 2 21 1

11 22 12 21

(1 ) 1 1(1 )

(1 )(1 )

(1 ) 1 1(1 )

(1 )(1 )

a r a rx a r a r

a a a a

a r a rx a r a r

a a a a


SISTEMAS

Consideremos el siguiente ejemplo:

El sistema se lo puede describir mediante el siguiente conjunto de ecuaciones

Empleando la regla de Cramer

08/11/2013 57


SISTEMAS

Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason En forma general, la ganancia lineal Tij entre la variable independiente

xi (variable de entrada) y una variable dependiente xj (variable de salida) est dada por la siguiente expresin, frmula de Mason:

n Nmeros de trayectos directos entre la entrada xi y la salida xj Pijk Ganancia de la trayectoria directa k

Determinante del grafo

ijk Cofactor del trayecto directo Pijk (es el determinante del grafo en el que se han removido los elementos del trayecto directo k)

1

1j nij ijk ijkk

i

xT P

x

08/11/2013 58


SISTEMAS

fedfed

cbcb

aa

fedfedcbcbaa

LLL

LL

L

LLLLLL1

,,

,

,,, ...


Determinante del grafo

Sumatoria de todas las ganancias de lazo

Sumatoria del producto de las ganancias de todas las combinaciones posibles de los lazos distintos de dos en dos.

Igual que el caso anterior pero para los lazos distintos de tres en tres.

08/11/2013 59


SISTEMAS


Consideremos el siguiente sistema

Se desea obtener la Funcin de Transferencia Y(s)/R(s)

Nmero de caminos directos: 3

Nmero de lazos: 8

Nmero de lazos distintos: 4

08/11/2013 60


Caminos directos: 3

P1=G1G2G3G4G5G6 P2=G1G2G7G6 P3=G1G2G3G4G8

Lazos: 8

L1= -G2G3G4G5H2 L2= -G5G6H1 L3= -G8H1 L4= -G2G7H2 L5= -G4H4 L6= -G1G2G3G4G5G6H3 L7= -G1G2G7G6H3 L8= -G1G2G3G4G8H3

Lazos distintos: 4

L3= -G8H1 con L4= -G2G7H2 L5= -G4H4 con L7= -G1G2G7G6H3 L5= -G4H4 con L4= -G2G7H2

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SISTEMAS


El determinante del sistema:

=1-(L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8)+(L3L4+L5L7+L5L4)

Los cofactores:

Para P1 es 1=1

Para P2 es 2=1-L5

Para P3 es 3=1

Finalmente, la Funcin de Trasferencia:

3221 PPP

sR

sCsT

)(

)()(

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Comandos de MATLAB Generacin de una funcin de

transferencia

Suma de funciones de transferencias

Obtencin de los Polos

Obtencin de los Ceros

Grfico de los Polos y Ceros

Ejemplo 2.16


SISTEMAS

08/11/2013 63


SISTEMAS

Comandos de MATLAB Obtencin de los Polos

Obtencin de los Ceros

Grfico de los Polos y Ceros

08/11/2013 64


SISTEMAS

Comandos de MATLAB Cascada de dos funciones de

transferencia

Sistema de realimentacin unitario

Funcin de transferencia del sistema de realimentacin unitaria

Ejercicio 2.17

08/11/2013 65


SISTEMAS

Comandos de MATLAB Cascada de dos funciones de

transferencia

Sistema de realimentacin unitario

Funcin de transferencia del sistema

de realimentacin unitaria

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Comandos de MATLAB Simplificacin de Diagramas de Bloques

Aplicar las reglas de reduccin

Primer reduccin, mover H2 delante de G4 Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1 Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la

primer reduccin

Cuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3


SISTEMAS

08/11/2013 67


SISTEMAS

Comandos de MATLAB Simplificacin de Diagramas de

Bloques


Ejercicio 2.20 Primer reduccin, mover H2

delante de G4 Segunda reduccin, resolver

lazo G3, G4 y H1 Tercera reduccin, resolver

lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la primer reduccin


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SISTEMAS



Primer reduccin, mover H2 delante de G4 Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1 Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de

la primer reduccin


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SISTEMAS



Simplificacin de la funcin de transferencia al eliminar los polos y ceros de igual valor.

Uso de la funcin minreal

control automatic oc 2

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