contribuciones a la teor´ıa de pares asociativos. · 2007-05-23 · fue o. loos quien introdujo...

Contribuciones a la teorıa de pares

asociativos.

Inmaculada de las Penas Cabrera

D. Jose Antonio Cuenca Mira, Catedratico del Departamento de

Algebra, Geometrıa y Topologıa de la Universidad de Malaga y Da Espe-

ranza Sanchez Campos, Profesora Titular del mismo Departamento,

CERTIFICAN que la presente Memoria, titulada

”CONTRIBUCIONES A LA TEORIA DE PARES ASOCIATIVOS”

ha sido realizada por Da Inmaculada de las Penas Cabrera para optar al grado

de Doctor en Ciencias Matematicas bajo su direccion, en el Departamento de

Algebra, Geometrıa y Topologıa de la Universidad de Malaga y consideran

que reune todos los requisitos para su defensa publica.

Para que conste, firmamos la presente

Malaga, 30 de abril de 2001.

Indice General

0 Nociones basicas sobre pares asociativos 1

0.1 Definicion y primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Envolventes asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 Tipos de ideales en un par asociativo. Pares asociativos simples. 9

0.4 Pares asociativos no degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.5 Pares asociativos de division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.6 Descomposicion de Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.7 Idempotentes minimales. El zocalo de un par asociativo no

degenerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.8 Modulos sobre pares asociativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.9 Modulos trasladables. Pares asociativos primitivos. . . . . . . 21

0.10 El radical de Jacobson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.11 Pares asociativos regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

0.12 Pares asociativos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Teoremas de Wedderburn-Artin 31

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2 Caso simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3 Caso semiprimitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Pares asociativos unitarios 45

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Envolventes asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Condiciones de cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Caracter simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Regularidad (von Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.6 Caracter semilocal y semiprimario . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7 Caracter semiperfecto y perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.8 Pares semiprimitivos artinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.9 Equivalencia de Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3 Elevacion de idempotentes 77

3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Condiciones equivalentes a la elevacion de idempotentes . . . . 78

3.3 Otros resultados sobre elevacion de idempotentes . . . . . . . 93

3.4 El radical de Jacobson de un par con la propiedad de elevacion

de idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5 Elevacion de idempotentes ortogonales . . . . . . . . . . . . . 101

3.6 Pares asociativos de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Pares asociativos semirregulares 109

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2 Definicion y resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3 Semirregularidad de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Cuestiones previas sobre modulos . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.5 Caracterizacion de pares semirregulares . . . . . . . . . . . . . 123

Bibliografıa 129

Introduccion

El estudio de las estructuras algebraicas en las cuales el producto es

ternario en lugar de binario se inicio en la segunda mitad del siglo XX.

Los sistemas triples de Lie, que se pueden considerar como la version

ternaria de las algebras de Lie, aparecen en varios contextos diferentes y

empezaron a recibir especial atencion ya hacia 1949. Tambien en relacion

con la construccion de ciertas algebras de Lie, aparecen los sistemas triples

de Jordan en un artıculo de Koecher, aunque son estudiados posteriormente

con mayor profundidad por K. Meyberg a principios de los anos 70.

Las estructuras ternarias asociativas tienen su origen en dos trabajos de

M. R. Hestenes [1, 2] sobre matrices, en los que introduce el concepto de

algebra ternaria compleja. Esta idea lleva a la generalizacion por parte de R.

A. Stepheson y M. F. Smiley [3, 4] de los teoremas de densidad de Jacobson

a los sistemas triples asociativos sobre el anillo de los enteros, a los que

denominan anillos ternarios de Hestenes.

En 1971, W. G. Lister [5], define un anillo ternario como un grupo

abeliano T dotado de un producto ternario triaditivo que satisface las igual-

dades

(tuv)xy = t(uvx)y = tu(vxy).

En dicho trabajo se aborda ademas su inmersion en anillos y una teorıa de

representacion en terminos de dos tipos de modulos, que le lleva a la definicion

del radical de Jacobson. Asimismo, obtiene un teorema de estructura para

v

vi

los anillos ternarios semisimples y artinianos y la clasificacion de las algebras

ternarias simples y artinianas sobre el cuerpo de los reales o sobre un cuerpo

algebraicamente cerrado.

O. Loos [6] da una estructura ternaria similar a la de Lister pero para

modulos sobre un anillo asociativo, conmutativo y con unidad a los que llama

sistemas triples asociativos de tipo II (abreviadamente sta), en los que la

condicion de asociatividad viene dada por las identidades

<< abc > de >=< a < dcb > e >=< ab < cde >>

Tambien se construye un algebra asociativa con involucion ∗ en el que el sta

esta inmerso, de forma que < xyz >= xy∗z. Los sta del tipo I se definen con

la misma condicion que los anillos ternarios de Lister.

Otras estructuras ternarias muy proximas a los anillos ternarios de

Lister y a los sistemas triples asociativos son los Γ- anillos y ΓN -anillos

[7, 8, 9]. Sean R y Γ dos grupos abelianos. Se dice que R es un Γ-anillo

si existe una aplicacion f : R × Γ × R → R aditiva en cada componente y

satisfaciendo

1) (xαy)βz = xα(yβz)

para x, y, z ∈ R, α, β ∈ Γ, donde xαy = f(xαy).

Si ademas existe otra aplicacion g : Γ × R × Γ → Γ tambien aditiva en

cada componente y se satisface

2) (xαy)βz = x(αyβ)z = xα(yβz) y (αxβ)yδ = α(xβy)δ = αx(βyδ)

para x, y, z ∈ R, α, β, δ ∈ Γ,

3) xαy = 0 para todo x, y ∈ R implica α = 0,

siendo αyβ = g(αyβ), se dice que R es un Γ-anillo en el sentido de Nobusawa

( o ΓN -anillo). Un ΓN - anillo es debil cuando se verifican unicamente las

condiciones 1) y 2).

vii

Si en lugar de considerar grupos abelianos en la definicion anterior se

toman modulos sobre un anillo asociativo, conmutativo y con unidad, se

obtiene la estructura de par asociativo. Sea A = (A+, A−) un par de modulos

sobre un anillo conmutativo y unitario K y para cada σ ∈ {+,−} una

aplicacion K-trilineal

< , , >σ: Aσ × A−σ × Aσ −→ Aσ

(xσ, y−σ, zσ) 7→ < xσy−σzσ >σ

Se dice que A es un K-par asociativo si las identidades

<< xσy−σzσ > u−σvσ >=< xσ < y−σzσu−σ > vσ >=< xσy−σ < zσu−σvσ >>

se satisfacen para todo xσ, zσ, vσ ∈ Aσ, y−σ, u−σ ∈ A−σ y σ ∈ {+,−}.Fue O. Loos quien introdujo esta estructura en su libro ”Jordan Pairs”,

publicado en 1975, si bien la condicion de asociatividad que utiliza es del

tipo II

<< xσy−σzσ > u−σvσ >=< xσ < u−σzσy−σ > vσ >=< xσy−σ < zσu−σvσ >>

Ambas clases de pares asociativos son equivalentes, pues es posible pasar

de una a otra definiendo los nuevos productos triples

< x+y−z+ >′=< x+y−z+ > y < x−y+z− >′=< z−y+x− > .

Sea R una K-algebra. (Mp×q(R),Mq×p(R)), para p y q dos numeros

naturales, con el producto usual de matrices es un ejemplo de par asociativo.

Si e es un idempotente de R, entonces (eR(1− e), (1− e)Re) es otro ejemplo

de par asociativo. Esencialmente, todos los pares asociativos seran de este

tipo.

Dado (R, M,M ′, S) un contexto de Morita donde los homomorfismos de

bimodulos correspondientes se denotan por

τ : M ⊗S M ′ → R y µ : M ′ ⊗R M → S

viii

el par (M, M ′) constituye un par asociativo definiendo

< x+y−z+ >:= τ(x+ ⊗ y−)z+ y < x−y+z− >:= µ(x− ⊗ y+)z−

donde x+, y+, z+ ∈ M y x−, y−, z− ∈ M ′.

Con la construccion de la envolvente de un par asociativo que hace Loos,

se observa que todo par se puede sumergir en un contexto de Morita, aunque

no de forma unica [10].

J. A. Cuenca, A. Garcıa y C. Martın dan un nuevo impulso al estudio

de los pares asociativos [11] en 1989. Comienzan analizando la densidad de

Jacobson en este marco, lo que les lleva a un teorema de estructura para

pares asociativos primitivos con zocalo no nulo. Esto les permite obtener la

clasificacion de los pares asociativos simples y semiprimitivos satisfaciendo

la condicion de cadena descendente para ideales por un lado (teorema de

Wedderburn-Artin). Por otra parte, los resultados sobre densidad sirven para

determinar la estructura de los sistemas triples asociativos (de tipo I y de tipo

II) primos con zocalo no nulo. De forma independiente, A. Fernandez y E.

Garcıa [12] desarrollan una teorıa del zocalo para sistemas triples asociativos

basada en la nocion de ideal interno minimal y determinan los de tipo II

primos con zocalo no nulo.

El primer capıtulo de esta Tesis se dedica a los teoremas de Wedderburn-

Artin en pares asociativos. Se estudian los casos simple y semiprimitivo. Las

demostraciones se inspiran en las de Lister para anillos ternarios, utilizando

unicamente tecnicas elementales de teorıa de anillos. En concreto, la clave

en el caso simple es la construccion de una serie de composicion para la

envolvente no unitaria o envolvente de Lister.

En estructuras ternarias como los pares asociativos, los sistemas triples

asociativos, los anillos ternarios o los Γ- anillos, existen ciertas algebras aso-

ciativas envolventes, en las que se sumergen. Concretamente, para un K-par

ix

asociativo se utilizaran dos K-algebras asociativas envolventes: la envolvente

de Loos ([13], pagina 101), que es un algebra asociativa con unidad, y la

envolvente de Lister que es un ideal de la anterior y que es, en general, no

unitaria. De hecho, cuando la envolvente de Lister tiene unidad, coincide con

la de Loos. El capıtulo 2 esta dedicado al estudio de los pares asociativos en

los que se da esta situacion, a los que se denomina unitarios. Un concepto

similar a este aparece en el contexto de los Γ-anillos [14], aunque realmente

la idea de estudiarlos en profundidad surgio de una manera natural a lo

largo de nuestro trabajo. En el intento de trasladar resultados clasicos de la

teorıa de anillos con unidad al ambito de los pares asociativos, se observa que

al suponer el par unitario, hay muchas propiedades que las tiene el par si y

solo si las tiene su envolvente. Esto permite aplicar los resultados conocidos

para algebras y deducir consecuencias en el par. En esta lınea se obtienen

las versiones ternarias de resultados como el teorema de Hopkins-Levitzki,

la equivalencia entre semiprimitivo artiniano y noetheriano regular o entre

simple artiniano y simple con zocalo no nulo.

Otro de los motivos por el cual se denomina unitarios a esta clase de

pares, es que para un anillo R se tiene que el par asociativo A = (R, R) es

unitario si y solo si R es un anillo con unidad.

Como ejemplos basicos de esta clase de pares se encuentran los del tipo

(Mp×q(R),Mq×p(R)), siendo R un anillo con unidad, cuya algebra envol-

vente es Mp+q(R). De la misma forma que hay propiedades que se verifican

en un anillo R si y solo si se verifican en el anillo Mn(R), tambien se tiene

que R satisface ciertas propiedades si y solo si el par (Mp×q(R),Mq×p(R))

las satisface.

Si A es un par asociativo y se denota por UA a la envolvente de Loos

del par, entonces A se puede identificar con (eUA(1 − e), (1 − e)UAe), para

e un idempotente de UA. Para que un par asociativo sea unitario es condicion

x

necesaria y suficiente que sea isomorfo a un par del tipo anterior, pero donde

los idempotentes e y 1− e son plenos (esto es, ReR = R y R(1− e)R = R).

El capıtulo 3 se dedica a los pares asociativos que tienen la propiedad

de elevacion de idempotentes, cuya definicion esta inspirada en el concepto

analogo definido por Nicholson para anillos unitarios. Se dice que un anillo

R satisface la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda (resp.

derecha) si para cualquier ideal por la izquierda (derecha) L y cualquier

elemento x ∈ R tal que x − x2 ∈ L, existe un idempotente e ∈ R satisfa-

ciendo e − x ∈ L. En [15], W.K. Nicholson estudia estos anillos a los que

denomina anillos idoneos (suitable rings) y demuestra que coinciden con los

anillos de intercambio, segun la definicion dada por Warfield en [16]. Esta

clase de anillos es bastante amplia, de hecho engloba a los semiperfectos

(por tanto, a los artinianos) y a los regulares en el sentido de von Neumann.

Para trasladar este concepto al contexto de los pares asociativos, en un prin-

cipio se penso que debieran elevarse independientemente los dos elementos

que forman parte de un idempotente. Ası surge la propiedad de elevacion

de elementos (von Neumann) regulares modulo un ideal por la izquierda

(derecha) de Aσ. Dado A = (A+, A−) un par asociativo, se dice que Aσ

tiene la propiedad de elevacion de elementos regulares por la izquierda (resp.

derecha) si para cada ideal por la izquierda (resp. derecha) Iσ de Aσ, xσ ∈ Aσ

y a−σ ∈ A−σ tales que xσ− < xσa−σxσ >∈ Iσ existe un elemento (von

Neumann) regular uσ ∈ Aσ tal que uσ − xσ ∈ Iσ. Claro esta que tambien se

podıa pensar en la propiedad de elevacion de idempotentes modulo un ideal

por la izquierda (resp. derecha) de A. Esto es, dado un ideal por la izquierda

(resp. derecha) I = (I+, I−) de A se dice que los idempotentes se elevan

modulo I si para cada (x+, x−) ∈ A tal que xσ− < xσx−σxσ >∈ Iσ para

todo σ ∈ {+,−}, existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que eσ − xσ ∈ Iσ

para todo σ ∈ {+,−}. Consecuentemente, se dice que A tiene la propiedad

de elevacion de idempotentes por la izquierda (resp. derecha) si los idempo-

tentes se pueden elevar modulo cualquier ideal por la izquierda de A. Lo

xi

sorprendente es que este tipo de pares coincide con aquellos en los que A+ o

A− tiene la propiedad de elevacion de elementos regulares.

Como consecuencia, se obtiene una nueva caracterizacion para los anillos

de intercambio. Concretamente, un anillo R es de intercambio si y solo si R

tiene la propiedad de elevacion de elementos regulares por la izquierda (resp.

derecha). Se puede dar una demostracion directa de esto, utilizando tecnicas

de la teorıa de anillos y tambien obtenerlo como corolario de los resultados

sobre estas cuestiones en pares asociativos. Ambas se incluyen en el capıtulo

correspondiente.

Una vez fijadas ciertas caracterizaciones de un par asociativo con la

propiedad de elevacion de idempotentes, se estudia la relacion que existe

entre esta propiedad en un par y en su envolvente de Loos. Ocurre lo que en

la mayorıa de las propiedades: si la envolvente es un anillo de intercambio,

entonces el par tiene la propiedad de elevacion de idempotentes. En caso de

que el par sea unitario, el recıproco tambien es cierto. Puesto que en anillos

la propiedad de elevacion de idempotentes es simetrica, es decir se tiene para

ideales por la izquierda si y solo si se satisface para los ideales por la derecha,

en un par unitario tambien lo es.

Como ocurre en anillos, en un par asociativo con la propiedad de elevacion

de idempotentes, el radical de Jacobson es el mayor ideal que no contiene

idempotentes no nulos y definiendo la elevacion de idempotentes ortogonales

convenientemente, se demuestra que tambien se pueden elevar en este tipo

de pares.

La ultima parte del capıtulo se dedica a estudiar la clase de los denomi-

nados pares asociativos de intercambio. Un anillo con unidad se dice que es

de intercambio cuando visto como modulo sobre sımismo, es de intercambio

en el sentido de Warfield. Con el concepto que se utiliza de modulo sobre par

asociativo, no se puede ver un par como modulo sobre sımismo, por lo que

xii

hay que buscar otras estrategias para suplir este hecho. Ası, tras introducir

el concepto de modulo de intercambio sobre un par, se define par asociativo

de intercambio como aquel en el que ciertos modulos muy ligados al par son

de intercambio. Se prueba que para un par asociativo unitario, ser de inter-

cambio es equivalente a tener la propiedad de elevacion de idempotentes.

M. Company, M. Gomez y M. Siles en [17], denominan par asociativo de

intercambio a aquellos cuyas algebras locales en cada elemento son anillos

de intercambio y prueban que estos coinciden con los pares que tienen la

propiedad de elevacion de idempotentes [17, teorema 3.9].

Oberst y Schneider [18] denominan anillo F -semiperfecto (F de finito)

a aquel en el que el cociente sobre el radical de Jacobson es regular (en el

sentido de von Neumann) y se elevan los idempotentes modulo el radical.

Por otro lado, Nicholson [19] define el concepto de elemento semirregular

en un modulo y, a partir de el, modulo semirregular. Este tipo de modulos

satisfacen algunas condiciones similares a los regulares de Zelmanowitz [20].

Cuando se considera un anillo unitario R visto como modulo sobre sımismo,

un elemento x ∈ R resulta ser semirregular cuando existe un elemento (von

Neumann) regular u ∈ R tal que u − x pertenece al radical de Jacobson

de R. Nicholson prueba que los anillos en los que todos sus elementos son

semirregulares son los anillos F -semiperfectos de Oberst y Schneider. Para

trasladar al contexto de pares asociativos estos conceptos se ha optado por

definir elemento semirregular de Aσ y llamar par semirregular al que verifica

que todos los elementos de A+ y A− son semirregulares. Se prueba que

este tipo de pares son los que satisfacen que el cociente sobre su radical de

Jacobson es (von Neumann) regular y se elevan los idempotentes modulo el

radical.

Son muchas las propiedades que se satisfacen en un anillo R si y solo si

se dan en eRe y en (1 − e)R(1 − e), siendo e un idempotente de R. Esto

no ocurre con los anillos semirregulares, pero sı se da la equivalencia cuando

xiii

ademas el par asociativo (eR(1−e), (1−e)Re) es semirregular. Este resultado

permitira relacionar el caracter semirregular de un par y el de su envolvente

de Loos.

Asimismo, en el capıtulo 4, se estudian varias propiedades de los pares

semirregulares (incluıda una version del lema de Mc Coy para elementos

semirregulares) y se caracterizan estos utilizando el concepto de modulo sobre

un par asociativo. Cuando el par es unitario, dicha caracterizacion es similar

a la que se tiene en anillos con unidad.

Antes de finalizar esta introduccion, quisiera recordar un momento a

todas aquellas personas que me han mostrado su apoyo a lo largo de

estos anos. Empezando por Jose Antonio Cuenca a quien tengo que agrade-

cer, entre otras muchas cosas, que me brindara la oportunidad de empezar mi

labor de investigacion en el Departamento de Algebra, Geometrıa y Topologıa

de la Universidad de Malaga. Hago extensiva mi gratitud a cada uno de los

miembros de dicho Departamento, porque me facilitaron un lugar de trabajo

en el que pude disponer de todo el material necesario. Debo citar espe-

cialmente a Antonio Viruel, por su ayuda desinteresada siempre que se me

presento un problema tecnico. Tampoco puedo olvidarme de Aniceto Murillo

y de Ma Angustias Canadas, quienes mostraron un gran interes en el desa-

rrollo de este trabajo. Asimismo, agradezco a Antonio Fernandez su amable

colaboracion a la hora de recopilar el material bibliografico que aparece en

esta Memoria.

Mi paso por la Universidad de Granada y el contacto con los magnıficos

companeros que allı tuve (Eva Santos, Luis Merino, Ma Jose Ibanez, Domingo

Barrera, Marıa Alvarez de Morales y todos los demas) me transmitieron el

animo y el estımulo suficientes para sacar este proyecto adelante. Muchısimas

gracias a Maribel Berenguer, Pedro A. Garcıa y Jose Luis Lopez.

Creo que todos encontramos en nuestra vida academica una persona

xiv

que determina nuestro futuro. En mi caso, sin duda alguna fue Esperanza

Sanchez quien me hizo pensar que llegar hasta aquı era posible. Sus ex-

celentes clases despertaron en mı el interes por el ”maravilloso mundo del

Algebra” y la creencia de que tambien yo podıa poner mi modesto granito

de arena en el. Tanto por su generosidad como por su calidad profesional y

humana, aprovecho esta ocasion para expresarle mi mas profundo y sincero

reconocimiento. A mi querido companero, Miguel Angel Fortes, con quien

he compartido mis mejoras horas de trabajo (nunca olvidare los buenos y

malos ratos que pasamos ”multiplicando”) quiero agradecer su amistad y su

inestimable ayuda, sin la cual esta Memoria no serıa la misma.

Estoy tambien en deuda con mis padres, mis hermanas, mis cunados, mis

suegros y con todos mis amigos, por escucharme tantas veces hablar sobre

este proyecto y por participar en la ilusion de hacerlo realidad.

Por ultimo, quiero dedicar esta Memoria a Ricardo, la persona con quien

elegı compartir mi vida, por sufrirla conmigo con tanta paciencia y por el

gran esfuerzo que ha hecho en superarse a sımismo. Y a mi madre Marıa

por ensenarme a luchar por aquello que deseaba y por apoyarme en todas las

decisiones que he tomado en mi vida.

Capıtulo 0

Nociones basicas sobre pares

asociativos

0.1 Definicion y primeros conceptos

Sea A = (A+, A−) un par de modulos sobre un anillo conmutativo y

unitario K y

< , , >σ: Aσ × A−σ × Aσ −→ Aσ

(xσ, y−σ, zσ) 7→ < xσy−σzσ >σ

para σ ∈ {+,−} y −σ =

{+ si σ = −− si σ = +

, dos aplicaciones K-trilineales

que se llamaran productos triples. (De ahora en adelante, por simplicidad, se

utilizara < , , > en lugar de < , , >σ).

Se dice que A es un K-par asociativo si se satisfacen las identidades

<< xσy−σzσ > u−σvσ >=< xσ < y−σzσu−σ > vσ >=< xσy−σ < zσu−σvσ >>

para todo xσ, zσ, vσ ∈ Aσ, y−σ, u−σ ∈ A−σ y σ ∈ {+,−}.El par opuesto de un par asociativo A = (A+, A−) es el par asociativo

1

CAPITULO 0 NOCIONES BASICAS 2

Aop = (A−, A+) con los productos triples < , , >σ1 definidos mediante

< x−y+z− >1+

:=< x−y+z− >− y < x+y−z+ >1−

:=< x+y−z+ >+

para xσ, yσ, zσ ∈ Aσ y σ ∈ {+,−}.Sea R una K-algebra asociativa y dos R-modulos por la derecha (o

por la izquierda) M y N . Entonces, (Hom(M, N),Hom(N, M)) es un par

asociativo, donde los productos triples vienen dados por la composicion

de homomorfismos. Como caso particular se pueden considerar los pares

(Mp×q(R),Mq×p(R)), donde p, q ∈ N y los productos triples son los natu-

rales. Observese que en este caso se incluye el par (R,R), siendo R un anillo

asociativo.

Otros ejemplos de pares asociativos son los del tipo (eR(1−e), (1−e)Re),

donde R es una K-algebra asociativa con unidad y e un idempotente de R

(es decir, e2 = e ∈ R). De hecho, se vera que todo par asociativo se puede

identificar con uno de estos.

Dado (A+, A−) un par asociativo, x+ ∈ A+ y x− ∈ A−, se define el

operador de multiplicacion por la izquierda, L(xσ, x−σ) : Aσ → Aσ, mediante

L(xσ, x−σ)yσ =< xσx−σyσ > .

El operador de multiplicacion por la derecha R(x−σ, xσ) : Aσ → Aσ viene

dado por

R(x−σ, xσ)yσ =< yσx−σxσ > .

Para Sσ, Uσ ⊂ Aσ y T−σ ⊂ A−σ se denotara por < Sσ T−σ Uσ > al

conjunto de todas las sumas finitas de elementos de la forma < sσt−σuσ >

donde sσ ∈ Sσ, t−σ ∈ T−σ y uσ ∈ Uσ.

Al igual que sucede en anillos ([21, pagina 39]), en pares asociativos se

va a verificar la ley de la asociatividad generalizada. Por eso, de ahora en


adelante, si se estima oportuno, se suprimiran los sımbolos <> para in-

dicar el orden en el que se asocian cinco o mas elementos. La justificacion en

pares asociativos de esta propiedad es similar a la de teorıa de anillos, aunque

tambien se puede consultar con detalle en este contexto en [22].

Sean A = (A+, A−) y B = (B+, B−) dos K-pares asociativos. Un par

f = (f+, f−) de aplicaciones K-lineales donde fσ : Aσ → Bσ para cada

σ ∈ {+,−}, se denomina homomorfismo de A en B si satisface

fσ(< xσy−σzσ >) =< fσ(xσ)f−σ(y−σ)fσ(zσ) >

para todo xσ, zσ ∈ Aσ, y−σ ∈ A−σ y σ ∈ {+,−}. Las definiciones de

epimorfismo, monomorfismo e isomorfismo son las naturales. Se dice que

dos pares asociativos A y B son isomorfos y se denota por A ∼= B cuando

existe un isomorfismo entre ellos.

0.2 Envolventes asociativas

A todo K-par asociativo (A+, A−) se le asocia una K-algebra

asociativa y con unidad, UA, a la que se llamara envolvente de Loos de A

([13, pagina 101]), cuya construccion es la que sigue:

Sea R(A)11 la subalgebra de EndK(A+)×EndK(A−)

opgenerada por (Id, Id) y

por los elementos

{x+x− = (L(x+, x−), R(x+, x−)) : xσ ∈ Aσ}

y R(A)22 la subalgebra de EndK(A−) × EndK(A+)

opgenerada por (Id, Id) y

por los elementos

{x−x+ = (L(x−, x+), R(x−, x+)) : xσ ∈ Aσ}.

Para simplificar la notacion, se escribira Rii en lugar de R(A)ii , para i ∈ {1, 2},

cuando no haya lugar a confusion.


A+ es un R11-R22-bimodulo para las acciones

(x+x−)a+ :=< x+x−a+ >, (Id, Id)a+ := a+ y

a+(x−x+) :=< a+x−x+ >, a+(Id, Id) := a+.

Analogamente, A− es un R22-R11-bimodulo para las acciones

(x−x+)a− :=< x−x+a− >, (Id, Id)a− := a− y

a−(x+x−) :=< a−x+x− >, a−(Id, Id) := a−.

El conjunto UA = R11 ⊕A+ ⊕A− ⊕R22, que habitualmente se escribira con

notacion matricial en la forma

UA =

(R11 A+

A− R22

),

tiene estructura de K-algebra asociativa con la suma y producto por escalares

habituales y el producto(

α x+

x− β

)(δ y+

y− γ

)=

(αδ + x+y− αy+ + x+γ

x−δ + βy− x−y+ + βγ

)

para todo α, δ ∈ R11, β, γ ∈ R22, xσ, yσ ∈ Aσ y σ ∈ {+,−}. Es claro que

e1 =

(1R11 0

0 0

)y e2 =

(0 0

0 1R22

)

son dos idempotentes ortogonales tales que 1UA= e1 + e2 y

(A+, A−) ∼= (e1UAe2, e2UAe1).

Por lo tanto, se observa que todo par asociativo se puede identificar con uno

del tipo (eR(1−e), (1−e)Re), para R un anillo con unidad y e un idempotente

de R.

Si en la construccion de UA se reemplaza R11 por la subalgebra generada

por los elementos {x+x− : xσ ∈ Aσ} de EndK(A+) × EndK(A−)op

, que


se denotara por A+A−, y tambien se reemplaza R22 por A−A+, definida

de forma similar, se obtiene una K-algebra asociativa no necesariamente

unitaria, tA, que se llamara envolvente de Lister de A [5] y que es un ideal

de UA.

Proposicion 0.2.1. Sea A un par asociativo. Las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) Las envolventes de Loos y Lister coinciden, UA = tA.

ii) 1R11 =∑n

i=1 a+i a−i y 1R22 =

∑mj=1 b−j b+

j , con a+i , b+

j ∈ A+, a−i , b−j ∈ A−,

para todo i, j.

iii) Los idempotentes e1 y e2 son plenos, esto es , UA = UAeiUA para

i ∈ {1, 2}.

iv) La envolvente de Lister, tA, es un anillo con unidad.

v) Existe un ideal I de UA tal que UA = tA ⊕ I.

Demostracion.

i)⇒ ii). Es trivial.

ii)⇒ iii). Si 1R11 =∑n

i=1 a+i a−i ∈ A+A− con a+

i ∈ A+, a−i ∈ A−, para todo i,

entonces e1 ∈ e1UAe2UAe1 ⊂ UAe2UA. Por lo tanto, UA = UAe2UA. De forma

analoga, se prueba UA = UAe1UA.

iii)⇒ iv). Como e1 ∈ UAe2UA, se comprueba que 1R11 =∑n

i=1 a+i a−i , con a+

i ∈A+, a−i ∈ A−, para todo i, y de e2 ∈ UAe1UA, se deduce 1R22 =

∑mj=1 b−j b+

j ,

con b−j ∈ A−, b+j ∈ A+, para todo j. Es inmediato comprobar que

( ∑ni=1 a+

i a−i 0

0∑m

j=1 b−j b+j

)

es la unidad de tA.

iv)⇒ i). Si ( ∑ni=1 a+

i a−i x+

x−∑m

j=1 b−j b+j

)= 1tA

,


entonces, para todo a+ ∈ A+ y a− ∈ A− se tiene

1tA

(0 a+

a− 0

)=

(0 a+

a− 0

)=

(0 a+

a− 0

)1tA

,

de donden∑

i=1

< a+i a−i a+ >= a+ =

m∑j=1

< a+b−j b+j > y

m∑j=1

< b−j b+j a− >= a− =

n∑i=1

< a−a+i a−i >, esto es,

1R11 =n∑

i=1

a+i a−i y 1R22 =

m∑j=1

b−j b+j ,

por tanto 1UA∈ tA y como consecuencia, tA = UA.

i)⇒ v). Es trivial.

v)⇒ iv). Sea I un ideal de UA tal que UA = tA ⊕ I. Entonces, 1UA=

= a + b, donde a ∈ tA y b ∈ I. Esto implica que para todo z ∈ tA se tiene

z = az = za, por tanto, tA es un anillo unitario.

Se dira que un par asociativo A es unitario si satisface alguna de las

condiciones equivalentes de la proposicion anterior. Un ejemplo de par

unitario es (Mp×q(R),Mq×p(R)), siendo R una K-algebra asociativa con

unidad. De hecho, (Mp×q(R),Mq×p(R)) es un par unitario si y solo si R

es una K-algebra unitaria. En este caso, la envolvente es isomorfa a la K-

algebra Mp+q(R).

Un contexto de Morita es un conjunto (R, M, M ′, S) y dos aplicaciones

τ y µ, donde R y S son anillos ( o bien K-algebras), M es un R-S bimodulo,

M ′ es un S-R bimodulo, las aplicaciones

τ : M ⊗S M ′ → R y µ : M ′ ⊗R M → S

son homomorfismos de bimodulos tales que si τ(m ⊗ m′) = (m,m′) y

µ(m′ ⊗m) = [ m,m′] se satisface


i) (m1, m′)m2 = m1[ m

′,m2],

ii) [ m′1,m]m′

2 = m′1(m,m′

2).

Sea T =

(R M

M ′ S

)el conjunto de las matrices

(r m

m′ s

), donde r ∈

R,m ∈ M,m′ ∈ M ′ y s ∈ S. Con la suma por componentes y el producto

(r1 m1

m′1 s1

)(r2 m2

m′2 s2

)=

(r1r2 + (m1,m

′2) r1m2 + m1s2

m′1r2 + s1m

′2 [ m′

1,m2] + s1s2

)

el conjunto T es un anillo con unidad al que se denomina anillo (de Morita)

del contexto.

El par A = (M, M ′) constituye un par asociativo con los productos

< x+y−z+ >:= (x+, y−)z+ y < x−y+z− >:= [ x−, y+]z−,

donde x+, y+, z+ ∈ M y x−, y−, z− ∈ M ′. En caso de que τ y µ sean

sobreyectivas, entonces (M, M ′) es un par unitario. En efecto, supongase

que 1R =∑n

i=1(x+i , x−i ), para x+

i ∈ M, x−i ∈ M ′, entonces para todo a+ ∈ M

se tiene

a+ = 1Ra+ =n∑

i=1

(x+i , x−i )a+ =

n∑i=1

< x+i x−i a+ > .

Luego, IdM =∑n

i=1 L(x+i , x−i ) y de forma similar se comprueba que IdM ′ =

=∑n

i=1 R(x+i , x−i ).

Analogamente, si 1S =∑m

j=1[ y−j , y+

j ], entonces 1R

(A)22

=∑m

j=1 y−j y+j .

Ademas, los anillos R(A)11 y R (resp. R

(A)22 y S) son isomorfos, considerando

la aplicacion

φ1 : R11 → R dada por φ1

(n∑

i=1

a+i a−i

)=

n∑i=1

(a+i , a−i )

(resp. φ2 : R22 → S dada por φ2

(m∑

j=1

b−j b+j

)=

m∑j=1

[ b−j , b+j ]

).


De ambos isomorfismos, se puede deducir que UA es isomorfo al anillo de

Morita del contexto. Basta considerar la aplicacion

UA −→ T(α x+

x− β

)7→

(φ1(α) x+

x− φ2(β)

)

Por otra parte, dado un par asociativo (A+, A−), el conjunto

(R11, A+, A−, R22)

junto con las aplicaciones τ : A+ ⊗R22 A− → R11 y µ : A− ⊗R11 A+ → R22

dadas por

τ(x+ ⊗ x−) = x+x− ∈ R11 y µ(x− ⊗ x+) = x−x+ ∈ R22

para x+ ∈ A+, x− ∈ A−, es un contexto de Morita cuyo anillo de Morita

asociado coincide con la envolvente de Loos del par asociativo A. Es claro

que si el par A es unitario, entonces τ y µ son sobreyectivas, por tanto los

anillos R11 y R22 son Morita equivalentes ([23, Morita I]). Ademas, como e1

(resp. e2) es un idempotente pleno de UA, se deduce que R11 (resp. R22) es

tambien Morita equivalente a UA ([23, teorema 3.23]).

Teorema 0.2.2. Sean R y S anillos con unidad. Entonces, R es Morita

equivalente a S si y solo si existe un par asociativo (A+, A−) tal que R11∼= S

y R22∼= R.

Analogamente, se puede considerar el conjunto (A+A−, A+, A−, A−A+)

junto con las aplicaciones (x+, x−) = x+x− ∈ A+A− y [ x−, x+] = x−x+ ∈A−A+ que es un contexto de Morita cuyo anillo de Morita asociado coincide

con la envolvente de Lister de A.


0.3 Tipos de ideales en un par asociativo.

Pares asociativos simples.

Sea A un K-par asociativo y B+, B− dos K-submodulos de A+ y A−

respectivamente. Se dice que (B+, B−) es un subpar de A si

< BσB−σBσ >⊂ Bσ para todo σ ∈ {+,−}.

Un K-submodulo Iσ de Aσ es un ideal por la derecha (resp. izquierda) de

Aσ si

< IσA−σAσ >⊂ Iσ (resp. < AσA−σIσ >⊂ Iσ).

Para todo xσ ∈ Aσ, el conjunto

xσRii = Kxσ+ < xσA−σAσ > donde i =

{1 si σ = −2 si σ = +

es un ideal por la derecha de Aσ al que se denomina ideal por la derecha

generado por xσ. Analogamente, se define el ideal por la izquierda generado

por un elemento xσ ∈ Aσ.

Un ideal bilatero de Aσ es un subconjunto de Aσ que es simultaneamente

un ideal por la derecha y por la izquierda. Dado un elemento x+ ∈ A+, el

ideal bilatero de A+ generado por x+, que se designara por R11x+R22, es el

siguiente:

R11x+R22 = Kx++ < x+A−A+ > + < A+A−x+ > + < A+A−x+A−A+ > .

Al ideal bilatero de A− generado por un elemento x− ∈ A−, se le denota por

R22x−R11.

Un ideal por la derecha de A es un par (I+, I−) donde cada Iσ es un

ideal por la derecha de Aσ. De forma similar se definen ideal por la izquierda

e ideal bilatero de A.

Un ideal de A es un ideal bilatero (I+, I−) que ademas satisface

< AσI−σAσ >⊂ Iσ para todo σ ∈ {+,−}.


El ideal generado por un elemento x+ ∈ A+ es

(R11x+R22, < A−x+A− >).

El ideal de A generado por x− ∈ A− es (< A+x−A+ >,R22x−R11).

Siguiendo la terminologıa clasica, se dice que un ideal (I+, I−) es propio si

es distinto de (A+, A−) y se consideran ideales triviales de un par asociativo

A, a los ideales (0, 0) y (A+, A−).

Un par asociativo A es simple si < AσA−σAσ >6= 0 para todo σ ∈ {+,−}y los unicos ideales que posee A son los triviales (o lo que es equivalente, A no

posee ideales propios no nulos). Sin embargo, tambien se pueden caracterizar

los pares asociativos simples en terminos de los ideales bilateros.

Lema 0.3.1. Sea A un par asociativo tal que < AσA−σAσ >6= 0 para todo

σ ∈ {+,−}. Entonces, A es simple si y solo si los unicos ideales bilateros de

Aσ son 0 y Aσ para todo σ ∈ {+,−}.Demostracion.

Supongase que A es simple y sea I+ un ideal bilatero de A+. Se considera

(I+, < A−I+A− >) que es un ideal de A, lo que implica claramente que

I+ = 0 o I+ = A+. Analogamente, se razona para un ideal bilatero de A−.

Recıprocamente, sea I = (I+, I−) un ideal de A y supongase I = (A+, 0).

En tal caso,

< A−A+A− >=< A−I+A− >⊂ I− = 0

lo cual contradice la hipotesis. Se razonarıa de forma analoga para comprobar

que I 6= (0, A−).

Un ideal interno de Aσ es un K-submodulo Iσ de Aσ que satisface

< xσA−σxσ >⊂ Iσ para todo xσ ∈ Iσ.

Para todo xσ ∈ Aσ, el conjunto < xσA−σxσ > es un ideal interno de Aσ,

al que se denomina ideal interno principal asociado a xσ. Mientras que el

ideal interno generado por xσ es Kxσ+ < xσA−σxσ >. De forma natural se

definen ideal interno e ideal interno principal de A.


0.4 Pares asociativos no degenerados

Dado A un par asociativo y xσ ∈ Aσ, se define el operador

P (xσ) : A−σ −→ Aσ mediante

P (xσ)y−σ =< xσy−σxσ > .

Se dice que un elemento xσ ∈ Aσ es trivial si P (xσ) = 0 y un subconjunto

Sσ ⊂ Aσ es trivial si P (xσ) = 0 para todo xσ ∈ Sσ. Una pareja (S+, S−) ⊂ A

es trivial si lo es cada Sσ.

Proposicion 0.4.1. Sea A un par asociativo. Las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) A no contiene ideales por la izquierda triviales no nulos.

ii) A no contiene ideales por la derecha triviales no nulos.

iii) A no contiene ideales bilateros triviales no nulos.

iv) A no contiene ideales triviales no nulos.

v) A no contiene elementos triviales no nulos.

La demostracion de esta proposicion es simple. Se puede encontrar en el

contexto de sistemas triples asociativos en [24] y en el de pares en [22].

Un par asociativo A es no degenerado o semiprimo si satisface cualquiera

de las condiciones equivalentes de la proposicion anterior.

Observese que todo par simple es no degenerado, ya que si se supone

que existe un elemento trivial no nulo x+ ∈ A+, el ideal bilatero R11x+R22

coincide con A+, lo cual implica < A+A−A+ >= 0, que es una contradiccion.

Igual si se supone que existe un elemento trivial no nulo en A−.

Si A es un par no degenerado, entonces un elemento α ∈ A+A− (resp.

α ∈ R11) es no nulo si y solo si existe a+ ∈ A+ tal que αa+ 6= 0. En

efecto, si a− ∈ A− es tal que a−α 6= 0, entonces existe a+ ∈ A+ tal que


< a−α a+ a−α > 6= 0 y por tanto, αa+ 6= 0. De la misma forma se prueba

que α 6= 0 si y solo si existe a− ∈ A− tal que a−α 6= 0. Analogo resultado se

obtiene para cada elemento no nulo de A−A+ (resp. R22).

Proposicion 0.4.2. ([25, proposicion 4.2].) Sea A un par asociativo. Las

siguientes condiciones son equivalentes:

i) A es semiprimo.

ii) UA es semiprima.

iii) tA es semiprima.

Ademas, bajo estas condiciones equivalentes, las K-algebras R11, R22,

A+A− y A−A+ son tambien semiprimas.

0.5 Pares asociativos de division

Se dice que un elemento xσ ∈ Aσ es inversible si el operador P (xσ) es

inversible. En tal caso, se llama inverso de xσ al elemento u−σ = P (xσ)−1(xσ)

que satisface < xσu−σxσ >= xσ. Como

P (xσ)P (u−σ)P (xσ) = P (< xσu−σxσ >) = P (xσ)

y se sabe que el operador P (xσ) es inversible, se deduce que P (xσ)−1 =

= P (u−σ).

Se dice que un par asociativo A es de division si Aσ 6= 0 para todo

σ ∈ {+,−} y cada elemento no nulo de Aσ es inversible para todo σ ∈ {+,−}.Se exponen a continuacion varios resultados que caracterizan a los pares

asociativos de division.

Proposicion 0.5.1. Sea A = (A+, A−) un par asociativo tal que Aσ 6= 0

para todo σ ∈ {+,−}. Entonces, A es de division si y solo si los operadores

L(xσ, y−σ) y R(xσ, y−σ) son inversibles, para todo 0 6= xσ ∈ Aσ, 0 6= y−σ ∈A−σ y σ ∈ {+,−}.


Demostracion.

Es consecuencia inmediata de que en un par asociativo, los operadores de

multiplicacion por la derecha y por la izquierda conmutan y ademas

L(xσ, y−σ)R(y−σ, xσ) = P (xσ)P (y−σ)

para todo xσ ∈ Aσ, y−σ ∈ A−σ y σ ∈ {+,−}.

Proposicion 0.5.2. Sea A = (A+, A−) un par asociativo tal que Aσ 6= 0 para

todo σ ∈ {+,−}. Entonces A es de division si y solo si P (xσ) es sobreyectiva

para todo 0 6= xσ ∈ Aσ y σ ∈ {+,−}.

Demostracion.

Supongase que P (xσ) es sobreyectiva para todo 0 6= xσ ∈ Aσ. Sea 0 6= xσ ∈Aσ y 0 6= y−σ ∈ A−σ tal que < xσy−σxσ >= 0. Entonces,

Aσ =< xσA−σxσ >=< xσ < y−σAσy−σ > xσ >=

=<< xσy−σxσ > A−σ < xσy−σxσ >>= 0,

lo cual contradice la hipotesis. De aquı se deduce que cuando todos los

operadores P (xσ) para xσ ∈ Aσ no nulo, son sobreyectivos, entonces son

tambien inyectivos y por lo tanto inversibles.

0.6 Descomposicion de Peirce

Un elemento (e+, e−) ∈ A es un idempotente si < eσe−σeσ >= eσ para

todo σ ∈ {+,−}. Para cada par asociativo A y cada idempotente (e+, e−) ∈A, se tiene la descomposicion de Peirce ([13, §5 y §9])

A = A00(e)⊕ A01(e)⊕ A10(e)⊕ A11(e),

donde Aij(e) = (A+ij(e), A

−ji(e)) y

Aσij(e) = {xσ ∈ Aσ :< eσe−σxσ >= ixσ y < xσe−σeσ >= jxσ}


para todo i, j ∈ {0, 1} y σ ∈ {+,−}. Cuando no haya lugar a confusion, se

utilizara la notacion Aij en lugar de Aij(e).

Cada elemento aσ ∈ Aσ, se escribe de forma unica como

aσ = aσ00 + aσ

01 + aσ10 + aσ

11

donde aσij ∈ Aσ

ij se denomina ij-componente de Peirce de aσ.

Se puede comprobar sin dificultad que se verifica

< AσijA

−σkl Aσ

mn >⊂ δjkδlmAσin

para cada i, j, k, l, m, n ∈ {0, 1} y σ ∈ {+,−}. Como consecuencia, las parejas

A11(e) = (A+11(e), A

−11(e)), A00(e) = (A+

00(e), A−00(e)),

(A+10(e), A

−01(e)), (A+

01(e), A−10(e))

son subpares de A. Ademas, se tiene que

Aσ01(e)⊕ Aσ

11(e) =< Aσe−σeσ >, Aσ10(e)⊕ Aσ

11(e) =< eσe−σAσ >

y tambien Aσ11(e) =< eσA−σeσ >, por lo que se usaran indistintamente las

notaciones eAe y A11(e) para denotar a este subpar de A. Observese que eAe

es un ejemplo de par unitario.

Se dice que dos idempotentes e y f de un par asociativo A, son ortogonales

si eσ ∈ Aσ00(f) para todo σ ∈ {+,−}, lo cual equivale a que fσ ∈ Aσ

00(e) para

todo σ ∈ {+,−}. Para cada subconjunto finito {e1, e2, . . . , en} de idempo-

tentes ortogonales de A, el elemento e = e1 + e2 + · · ·+ en es un idempotente

y se verifica que A00(e) = ∩ni=1A00(ei).

0.7 Idempotentes minimales. El zocalo de un

par asociativo no degenerado.

Un ideal por la derecha no nulo (resp. izquierda e interno) Iσ de Aσ se

dice que es minimal si no contiene estrictamente ningun ideal por la derecha


(resp. izquierda, interno) no nulo de Aσ. Un ideal por la derecha minimal

(resp. izquierda, interno) de A es una pareja (I+, I−), donde cada Iσ es un

ideal por la derecha (resp. izquierda, interno) minimal de Aσ.

Lema 0.7.1. Sea A un par asociativo no degenerado. Entonces,

i) Si Iσ es un ideal por la derecha (resp. izquierda) minimal de Aσ, existe

un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que Iσ =< eσe−σAσ > (resp. Iσ =

=< Aσe−σeσ >).

ii) Si Iσ es un ideal interno minimal de Aσ, existe un idempotente

(e+, e−) ∈ A tal que Iσ =< eσA−σeσ >.

iii) Si (e+, e−) ∈ A es un idempotente y alguno de los ideales (izquierda,

derecha, interno) siguientes < A+e−e+ >,< A−e+e− >,< e+e−A+ >,

< e−e+A− >,< e+A−e+ > y < e−A+e+ > es minimal, entonces todos

los son.

Demostracion.

La demostracion de i) se puede consultar en [11, 2.5], el apartado ii) es simple

y la equivalencia entre el caracter minimal de < A+e−e+ >,< A−e+e− >,

< e+e−A+ > y < e−e+A− > aparece tambien en [11, 2.5].

Supongase que < e+e−A+ > es un ideal por la derecha minimal y sea I+

un ideal interno no nulo de A+ tal que I+ ⊂< e+A−e+ > . Si 0 6= x+ ∈ I+,

entonces < x+A−A+ > es un ideal por la derecha no nulo de A+ contenido

en < e+e−A+ >, por tanto, coinciden. El ideal por la izquierda < A+e−e+ >

es tambien minimal y de forma similar se llega a que < A+e−e+ >=

=< A+A−x+ > . Por tanto,

e+ =< e+e−e+ >=∑i,j

<< x+a−i a+i > e− < b+

j b−j x+ >>∈< x+A−x+ >⊂ I+

y como consecuencia, < e+A−e+ >= I+.


Recıprocamente, sea I+ un ideal por la derecha no nulo de A+ contenido

en < e+e−A+ > y x+ un elemento no nulo de I+. Por ser A no degenerado,

0 6=< x+A−x+ >=<< e+e−x+ > A− < e+e−x+ >>

entonces, existe un elemento no nulo z+ en < x+A−e+ >⊂ I+, lo que permite

asegurar que < e+A−e+ >=< z+A−z+ >⊂ I+. Por tanto, e+ ∈ I+ y como

consecuencia, I+ =< e+e−A+ > .

Analogamente se razona para σ = −.

Un idempotente (e+, e−) de un par A no degenerado que verifica las condi-

ciones equivalentes del apartado iii) del lema anterior, se denomina idempo-

tente minimal.

Proposicion 0.7.2. En un par asociativo A no degenerado, un idempotente

e es minimal si y solo si eAe es un par de division.

Demostracion.

Por ser A no degenerado, es claro que Aσ 6= 0 para todo σ ∈ {+,−}. Sea

xσ ∈< eσA−σeσ > un elemento no nulo. Es inmediato comprobar que P (xσ)

es sobreyectivo si y solo si < eσA−σeσ > es un ideal interno minimal. Se

concluye aplicando el lema 0.7.1

Proposicion 0.7.3. En un par asociativo no degenerado (A+, A−), los cuatro

subconjuntos siguientes de Aσ coinciden, para todo σ ∈ {+,−} :

i) La suma de todos los ideales por la derecha minimales de Aσ.

ii) La suma de todos los ideales por la izquierda minimales de Aσ.

iii)∑

e−σ∈E−σ

< Aσe−σAσ > siendo

Eσ = {eσ ∈ Aσ : existe e−σ ∈ A−σ con (e+, e−) idempotente minimal}.

iv) La suma de todos los ideales internos minimales de Aσ.


La demostracion de las tres primeras equivalencias se puede consultar

en [11, 2.6] y la demostracion de la equivalencia restante es similar a la que

se da en [12, 4.3] en el contexto de los sistemas triples asociativos.

En un par asociativo no degenerado, el ideal bilatero de Aσ definido en la

proposicion anterior se denomina zocalo de Aσ y se denota por ZocσA.

Ademas, es claro que Zoc A := (Zoc+A,Zoc−A) es un ideal de A, llamado

zocalo de A.

Observacion. En el caso en que A sea un par asociativo arbitrario (no

necesariamente semiprimo), la suma de los ideales por la izquierda (o derecha)

minimales de A no es necesariamente un ideal. Por ejemplo, considerense los

Z-modulos

A+ =

(Z2 0

0 0

)y A− =

(Z2 0

Z2 0

);

se puede comprobar sin dificultad que el zocalo del par asociativo (A+, A−)

no es un ideal. Para la definicion del zocalo de un par asociativo arbitrario,

consultese [26].

Si A es un par no degenerado, se sabe que su envolvente de Loos, UA, es

tambien semiprima (proposicion 0.4.2), por tanto el zocalo por la derecha de

UA coincide con el zocalo por la izquierda. En [27], se estudia la relacion entre

el zocalo de un par asociativo no degenerado y el de su envolvente unitaria.

Proposicion 0.7.4. ([27, 2.9, proposicion 2]) Sea A = (A+, A−) un par aso-

ciativo no degenerado, UA su envolvente de Loos y ZocUA su zocalo. En-

tonces

ZocUA =

((Zoc+A)A− Zoc+A

Zoc−A (Zoc−A)A+

)

0.8 Modulos sobre pares asociativos

Sea A = (A+, A−) un K-par asociativo. Una pareja M = (M+,M−) es

un A-modulo por la derecha si


i) cada Mσ es un K-modulo,

ii) existen dos aplicaciones K-bilineales

M−σ × Aσ −→ Mσ

(m−σ, xσ) 7→ m−σxσ

satisfaciendo

((m−σxσ)y−σ)zσ = m−σ < xσy−σzσ >

para todo m−σ ∈ M−σ, y−σ ∈ A−σ, xσ, zσ ∈ Aσ y σ ∈ {+,−}.De forma similar se define el concepto de A-modulo por la izquierda.

Dado un par asociativo (A+, A−), a la pareja de K-modulos (A+, R11) se

le puede dotar de estructura de A-modulo por la derecha mediante la accion

a+ · a− = a+a− y α · a+ = αa+

para todo a+ ∈ A+, a− ∈ A− y α ∈ R11. Analogamente, (R22, A−) es un

A-modulo por la derecha y (A+, R22), (R11, A−) son A-modulos por la

izquierda.

Dado M = (M+,M−) un A-modulo por la derecha, un A-submodulo de

M es una pareja N = (N+, N−) de K-submodulos de M+ y M− respectiva-

mente, tales que

nσa−σ ∈ N−σ para todo nσ ∈ Nσ, a−σ ∈ A−σ.

En tal caso, se representara por N ↪→ M .

Si M = (M+,M−) es un A-modulo por la derecha y m+ ∈ M+, el

submodulo generado por m+, al que se denota por < m+ >, es

< m+ >= (Km+ + (m+A−)A+,m+A−).

Analogamente, el submodulo generado por m− ∈ M− es

< m− >= (m−A+, Km− + (m−A+)A−).


La definicion de modulo cociente sobre un submodulo es la natural.

Un A-modulo por la derecha (M+,M−) es unitario si M−σAσ = Mσ para

todo σ ∈ {+,−}. Por ejemplo, dado un idempotente (e+, e−) ∈ A, la pareja

eA = (< e+e−A+ >,< e−e+A− >) es un A-modulo por la derecha unitario

bajo la accion

xσ · a−σ =< e−σxσa−σ >

para todo xσ ∈< eσe−σAσ >, a−σ ∈ A−σ y σ ∈ {+,−}. Observese que si

(N+, N−) es un A-submodulo de eA, entonces Nσ es un ideal por la derecha

de Aσ puesto que dado xσ ∈ Nσ, a−σ ∈ A−σ, bσ ∈ Aσ se tiene

< xσa−σbσ >=<< eσe−σxσ > a−σbσ >= (xσ · a−σ) · bσ ∈ N−σAσ ⊂ Nσ

En general, el A-modulo (A+, R11) no es unitario. La condicion necesaria

y suficiente para que lo sea es que A+A− = R11. Como consecuencia, un par

asociativo A es unitario si y solo si los A-modulos (A+, R11) y (R22, A−)

(o bien (A+, R22) y (R11, A−)) son unitarios.

En lo sucesivo, los modulos con los que se va a trabajar son por la derecha,

salvo que se especifique lo contrario.

Dados dos A-modulos M = (M+,M−) y N = (N+, N−) se llamara

homomorfismo de M en N a un par de aplicaciones (f+, f−), donde cada

fσ : Mσ −→ Nσ es una aplicacion K-bilineal que satisface

fσ(m−σaσ) = f−σ(m−σ)aσ

para todo m−σ ∈ M−σ, aσ ∈ Aσ y σ ∈ {+,−}.Las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo son las

naturales. Por ejemplo, para un idempotente (e+, e−) ∈ A, el modulo eA, an-

teriormente descrito, es isomorfo al A-submodulo (< e+e−A+ >, e+e−R11) de

(A+, R11), a traves del isomorfismo (f+, f−) : eA → (< e+e−A+ >, e+e−R11)


donde f+ es la aplicacion identidad y f−(< e−e+x− >) = e+x−.

Se dice que un ideal por la derecha (resp. izquierda) Iσ de Aσ es maximal

si Iσ 6= Aσ y para cualquier ideal por la derecha (resp. izquierda) Lσ de Aσ

tal que Iσ ⊂ Lσ se tiene

Lσ = Iσ o Lσ = Aσ.

Un ideal por la derecha (I+, I−) se denomina u-modular si existe

u = (u+, u−) ∈ A tal que

i) < uσI−σAσ >⊂ Iσ para todo σ ∈ {+,−},

ii) xσ− < uσu−σxσ >∈ Iσ para todo xσ ∈ Aσ y σ ∈ {+,−}.

Al elemento u se le llama modulo relativo al ideal por la derecha (I+, I−).

Se puede comprobar que si (I+, I−) es un ideal por la derecha u-modular

de A, entonces (A+/I+, A−/I−) es un A-modulo con la accion

(aσ + Iσ) · b−σ =< u−σaσb−σ > +I−σ

para todo aσ ∈ Aσ, b−σ ∈ A−σ y σ ∈ {+,−}.

Un A-modulo M = (M+,M−) se denomina simple (o irreducible) si

M−σAσ 6= 0 para todo σ ∈ {+,−} y los unicos A-submodulos de M son

0 y M .

Lema 0.8.1. Para un modulo M = (M+,M−) sobre un par asociativo A,

las siguientes condiciones son equivalentes:

i) M es simple.

ii) Mσ 6= 0 y < mσ >= M para todo 0 6= mσ ∈ Mσ y σ ∈ {+,−}.

iii) Mσ 6= 0 y m−σAσ = Mσ para todo 0 6= m−σ ∈ M−σ y σ ∈ {+,−}.


iv) Existe (I+, I−) un ideal por la derecha modular maximal de A tal que

M ∼= A/I.

Demostracion.

Las equivalencias de i), ii) y iii) se deducen de la definicion de submodulo

generado por un elemento de Mσ y se pueden encontrar en [27, 2.3. lema

1.]. Tambien en [27, 2.6. proposicion 1 y lema 2], se puede consultar la

equivalencia de i) y iv).

Se dice que M es semisimple si se puede expresar como suma

(equivalentemente, suma directa) de submodulos simples. Observese que

todo A-modulo semisimple es unitario (en particular, todo A-modulo simple

es unitario).

0.9 Modulos trasladables. Pares asociativos

primitivos.

Sea (M+,M−) un A-modulo por la derecha sobre un par asociativo A.

Se consideran las correspondencias

M− ×R11 → M− y M+ ×R22 → M+

dadas por

mσ · (λId +∑

i

a−σi aσ

i ) := λmσ +∑

i

(mσa−σi )aσ

i

para todo mσ ∈ Mσ, aσi ∈ Aσ, λ ∈ K y σ ∈ {+,−}. La condicion necesaria

y suficiente para que ambas correspondencias sean aplicaciones es que

λmσ +∑

i

(mσa−σi )aσ

i = 0

para todo mσ ∈ Mσ y σ ∈ {+,−}, siendo λId +∑

i a−σi aσ

i el operador nulo

de la K-algebra Rjj, con j = 1 si σ = − y j = 2 si σ = +. En tal caso,


M− es un R11-modulo por la derecha y M+ es un R22-modulo por la derecha.

Esto permite dotar al conjunto M− ⊕M+ de estructura de UA-modulo por

la derecha con la accion:

(m−,m+) ·(

α x+

x− β

):= (m−α + m+x−,m−x+ + m+β).

En particular, M−⊕M+ es tambien un tA-modulo por la derecha. En estas

condiciones, se dira que el A-modulo (M+,M−) es trasladable. No es difıcil

comprobar que:

• los A-modulos (A+, R11) y (R22, A−) son trasladables,

• todo modulo unitario es trasladable,

• un A-modulo M en el que {mσ ∈ Mσ : mσA−σ = 0} = 0 para todo

σ ∈ {+,−}, es trasladable.

Si M es un UA-modulo por la derecha, entonces la pareja (Me2, Me1),

siendo e1, e2 ∈ UA los idempotentes introducidos en la seccion 0.2, tiene

estructura de A-modulo por la derecha (no necesariamente unitario) bajo la

accion natural y claramente es trasladable, pues Me1 ⊕Me2 = M .

De forma analoga, si (M+,M−) es un A-modulo por la izquierda que

satisface λmσ +∑

i aσi (a−σ

i mσ) = 0 para cada mσ ∈ Mσ y σ ∈ {+,−},cuando λId +

∑i a

σi a−σi es el operador nulo de Rjj, con j = 1 si σ = + y

j = 2 si σ = −, se pueden considerar las aplicaciones

R11 ×M+ → M+ y R22 ×M− → M−

definidas en la forma natural, las cuales dotan a M+ ⊕M− de estructura de

UA-modulo por la izquierda mediante:(

α x+

x− β

)· (m+,m−) = (αm+ + x+m−, x−m+ + βm−)

y si M es un UA-modulo por la izquierda, entonces (e1M, e2M) es un

A-modulo por la izquierda.


Lema 0.9.1. Sea A un par asociativo y UA su envolvente de Loos.

i) Si M es un UA-modulo simple y Me2 y Me1 son no nulos, entonces

(Me2,Me1) es un A-modulo simple.

ii) Si (M+,M−) es un A-modulo simple, entonces M− ⊕ M+ es un

UA-modulo simple.

Demostracion.

i). Si 0 = Me2A− = Me2 UAe1, entonces para todo m ∈ M con me2 6= 0,

se tiene M = me2 UAe2 y por lo tanto, Me1 = 0. Analogamente se prueba

Me1A+ 6= 0. El resto de la demostracion es sencilla.

ii). Dado N un UA-submodulo de M− ⊕M+, se tiene que N = Ne1 ⊕ Ne2

siendo ademas (Ne2, Ne1) un A-submodulo de (M+,M−).

Corolario 0.9.2. Si A es unitario y M es un UA-modulo simple, entonces

(Me2, Me1) es un A-modulo simple.

Demostracion.

Todo UA-modulo no nulo M satisface Me2 6= 0 y Me1 6= 0, ya que, en caso

contrario, ei ∈ AnnUAM para algun i ∈ {1, 2}. Pero como A es unitario, UA =

= UAeiUA lo que implica UA = AnnUAM, que es una contradiccion.

Un A-modulo (M+,M−) es fiel si Mσx−σ = 0 implica x−σ = 0 para todo

σ ∈ {+,−}.Se dice que un par asociativo A es primitivo si existe un A-modulo simple

y fiel.

Proposicion 0.9.3. ([11, 2.3]). Dado A un par asociativo, las siguientes

condiciones son equivalentes:

i) A es primitivo.

ii) UA es primitiva.


Demostracion.

i) ⇒ ii). Por el lema 0.9.1, se sabe que si (M+,M−) es un A-modulo simple,

entonces M− ⊕M+ es un UA-modulo simple. Supongase que (M+,M−) es

fiel y sea

(α a+

a− β

)∈ UA tal que

M− ⊕M+

(α a+

a− β

)= (0, 0).

De M−a+ = 0 y M+a− = 0, se deduce a+ = 0 y a− = 0. Para cada

x+ ∈ A+, se verifica M−αx+ = 0, por tanto αx+ = 0 y para cada x− ∈ A−,

se tiene M+x−α = 0 lo que implica x−α = 0. Por consiguiente, α = 0.

Analogamente, se prueba que β = 0.

ii) ⇒ i). Dado M un UA-modulo simple y fiel, es claro que Me1 y Me2 son

no nulos, por lo que (Me2, Me1) es simple, segun el lema 0.9.1. El caracter

fiel de (Me1,Me2), se obtiene de forma inmediata.

0.10 El radical de Jacobson.

Para un par asociativo A = (A+, A−), se define el radical de Jacobson

de A como la pareja de conjuntos (Rad+A,Rad−A), donde Radσ(A) =

= {xσ ∈ Aσ : M−σxσ = 0, para todo A-modulo por la derecha simple

M = (M+,M−)}. Si A no tiene modulos simples, entonces se define

Rad A = A y se dice que A es un par radical. Si Rad A = 0, se dira

que A es semiprimitivo.

Es inmediato comprobar que todo par primitivo es semiprimitivo.

Por [11, 2.9], se sabe que el radical de Jacobson de un par asociativo

coincide con la interseccion de los ideales por la derecha modulares maxi-

males.

Otra forma de caracterizar los elementos del radical de Jacobson se

describe a continuacion. Un elemento (x+, x−) ∈ (A+, A−) es casi inversible


por la derecha si (1,−x+) es inversible por la derecha en la K-algebra

asociativa y unitaria K1 ⊕ A+x− , donde A+

x− es la K-algebra asociativa

x−-homotopa de A+ con producto x+ · z+ =< x+x−z+ >. Esto es, (x+, x−)

es casi inversible por la derecha si y solo si existe z+ ∈ A+ tal que

x+ + z+ =< x+x−z+ > .

Se dice que un elemento xσ es propiamente casi inversible por la derecha si

para cada x−σ ∈ A−σ, el elemento (x+, x−) es casi inversible por la derecha.

RadσA coincide con el conjunto de todos los elementos propiamente casi

inversibles por la derecha de Aσ para cada σ ∈ {+,−} y contiene a todo

ideal casi inversible por la derecha (es decir, un ideal en el que todos los

elementos son casi inversibles por la derecha) [11, 2.10].

De forma analoga se puede trabajar por el lado izquierdo, obteniendo

que el radical de Jacobson tambien coincide con el conjunto de todos los

elementos propiamente casi inversibles por la izquierda.

Ademas, (x+, x−) es casi inversible por la derecha en A si y solo si (x−, x+)

es casi inversible por la derecha en Aop ya que si x+ + z+− < x+x−z+ >= 0,

se puede comprobar que

x− + (< x−z+x− > −x−)− < x−x+(< x−z+x− > −x−) >= 0

y el recıproco es similar. Por tanto, se puede establecer el siguiente lema:

Lema 0.10.1. Si A = (A+, A−) es un par asociativo entonces xσ ∈ RadσA

si y solo si para todo x−σ ∈ A−σ existe zσ ∈ Aσ tal que

xσ + zσ =< xσx−σzσ > .

Observese que todo elemento xσ ∈ Aσ trivial pertenece al radical, puesto

que para todo x−σ ∈ A−σ, se tiene

xσ + (−xσ) = − < xσx−σxσ >= 0


Por tanto, todo par semiprimitivo es no degenerado.

Es interesante establecer la relacion entre el radical de Jacobson de un

par asociativo A y los radicales de sus envolventes (la de Loos y la de Lister).

Proposicion 0.10.2. ([11, 2.9].) Si A es un par asociativo con envolvente

de Loos UA, entonces

RadUA =

(Rad R11 Rad+A

Rad−A Rad R22

).

Demostracion.

Se puede probar facilmente que si I es un ideal bilatero de UA, entonces

I = (I ∩R11)⊕ (I ∩ A+)⊕ (I ∩ A−)⊕ (I ∩R22), por tanto,

RadUA = (RadUA∩R11)⊕(RadUA∩A+)⊕(RadUA∩A−)⊕(RadUA∩R22).

Para un anillo R, se tiene que z ∈ Rad R si y solo si para todo a ∈ R

existe w ∈ R verificando z + w = zaw ([28, proposicion 1]). Utilizando

este resultado, se obtiene de forma inmediata RadUA ∩ A+ = Rad+A y

RadUA ∩ A− = Rad−A. Por otro lado,

Rad Rii = Rad (eiUAei) = RadUA ∩ eiUAei = RadUA ∩Rii

para i ∈ {1, 2}.Corolario 0.10.3. Si A = (A+, A−) es un par asociativo entonces x+ ∈Rad+A si y solo si para todo a− ∈ A− el operador Id−x+a− (resp. Id−a−x+)

es inversible en R11 (resp. R22).

Demostracion.

Por la proposicion anterior, dado x+ ∈ Rad+A, para todo a− ∈ A−, se

tiene x+a− ∈ RadUA ∩ R11 = Rad R11 por lo tanto Id− x+a− es inversible.

Recıprocamente, para cada a− ∈ A−, existe α ∈ R11 tal que (Id−x+a−)α =

= Id. En particular, x+ = (Id−x+a−)αx+ por lo tanto, tomando z+ = −αx+

se tiene x+ + z+ =< x+a−z+ > .


Un resultado analogo se obtiene considerando x− ∈ A−.

Corolario 0.10.4. Si A es un par asociativo con envolvente de Lister tA,

entonces

RadtA =

(Rad (A+A−) Rad+A

Rad−A Rad (A−A+)

).

Demostracion.

Es conocido ([21, I,7,teorema 1]) que si I es un ideal de un anillo R, se tiene

que Rad I = I ∩Rad R. Esta expresion permite obtener:

RadtA = tA ∩RadUA =

(A+A− ∩Rad R11 Rad+A

Rad−A A−A+ ∩RadR22

)=

=

(Rad (A+A−) Rad+A

Rad−A Rad (A−A+)

).

Corolario 0.10.5. Para un par asociativo A las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) A es semiprimitivo.

ii) UA es semiprimitiva.

iii) tA es semiprimitiva.

Demostracion.

i) ⇒ ii). El unico ideal bilatero de UA contenido en R11⊕R22 es el ideal nulo:

en efecto, como

(I ∩R11)A+ ⊂ I ∩ A+ = 0 y A−(I ∩R11) ⊂ I ∩ A− = 0,

se tiene I ∩R11 = 0 y analogamente se prueba I ∩R22 = 0.

ii) ⇒ iii). Es trivial.

iii) ⇒ i). Se sigue del corolario 0.10.4.


El siguiente resultado es conocido en teorıa de anillos y posteriormente

ha sido formulado tambien en contexto Jordan ([13, 5.8]).

Lema 0.10.6. Si e es un idempotente de un par asociativo A entonces

Rad Aij(e) = (A+ij(e) ∩Rad+A,A−

ji(e) ∩Rad−A)

para i, j ∈ {0, 1}.

Demostracion.

Se consideran i, j ∈ {0, 1}. Si xσ ∈ RadσAij(e) y a−σ ∈ A−σ, entonces existe

zσ ∈ Aσij(e) tal que

xσ + zσ =< xσa−σji zσ >=< xσa−σzσ >,

con lo que xσ ∈ RadσA. Si xσ ∈ Aσij(e) ∩ RadσA y x−σ

ji ∈ A−σji (e), existe

zσ ∈ Aσ tal que xσ + zσ =< xσx−σji zσ >. Igualando las ij-componentes de

Peirce en esta expresion se obtiene xσ + zσij =< xσx−σ

ji zσij > .

0.11 Pares asociativos regulares.

Un elemento xσ ∈ Aσ es (von Neumann) regular si existe y−σ ∈ A−σ

tal que xσ =< xσy−σxσ >. Se dice que A es (von Neumann) regular si

todos los elementos de A+ y A− son regulares. Existen pares asociativos

(A+, A−) en los que todos los elementos de Aσ son regulares y no todos los

elementos de A−σ lo son. Por ejemplo, en el par (I, L) donde I =< 2 > y

L =< 4 > en Z12, todos los elementos de L son regulares, mientras que por

ejemplo, 6 ∈ I no es regular, por ser nilpotente.

Es inmediato comprobar que si x+ es un elemento regular de A+, siendo

x+ =< x+y−x+ >, el elemento (x+, < y−x+y− >) es un idempotente de A y

de forma similar, si x− es un elemento regular de A− y x− =< x−y+x− >,

entonces (< y+x−y+ >, x−) es un idempotente de A.


Otro resultado facil de comprobar, a partir de las reglas de multiplicacion

de los subespacios de Peirce, es que si A es un par (von Neumann) regular

y e ∈ A es un idempotente, entonces los subpares Aij(e), para i, j ∈ {0, 1}son (von Neumann) regulares.

El radical de Jacobson de un par asociativo A no contiene

elementos regulares no nulos (en particular no contiene elementos inversibles

ni idempotentes no nulos). En efecto, supongase que x+ ∈ Rad+A y que

existe y− ∈ A− tal que < x+y−x+ >= x+ y sea z+ ∈ A+ tal que 0 =

= x+ + z+− < x+y−z+ > . Entonces,

0 =< x+y−x+ > + < x+y−z+ > − < x+y−x+y−z+ >=

=< x+y−x+ > + < x+y−z+ > − < x+y−z+ >

y como consecuencia, 0 =< x+y−x+ >= x+. Igual se razona para σ = −.

0.12 Pares asociativos locales

Un par asociativo A es local ([13, 1.10]) si la pareja I = (I+, I−) donde

Iσ = {xσ ∈ Aσ : xσ no es inversible}es un ideal propio de A. De forma similar a la teorıa clasica de anillos y a lo

que ocurre en ambiente Jordan ([13, proposicion 4.4]), se pueden caracterizar

los pares locales del siguiente modo:

Proposicion 0.12.1. Se considera A un par asociativo e I el conjunto de

los elementos no inversibles de A.

i) Si A es local, entonces A/I es un par de division y ademas Rad A = I.

ii) Si A contiene elementos inversibles y A/Rad A es de division, entonces

A es local.

La demostracion es similar a la que se tiene en teorıa de anillos. Vease

tambien en pares de Jordan [13].

Capıtulo 1

Teoremas de Wedderburn-Artin

1.1 Introduccion

En este capıtulo se demuestran los Teoremas de Wedderburn-Artin en

pares asociativos. Estos teoremas fueron establecidos por O. Loos ([13,

11.18]), como particularizacion de una teorıa de estructura mas general para

pares alternativos que contienen un idempotente maximal y satisfacen la

condicion de cadena descendente para ideales internos principales ([13, 10.14,

11.11 y 11.16]).

Otras demostraciones se obtuvieron en [11], de un Teorema de densidad de

Jacobson para pares asociativos y en [12], para sistemas triples asociativos

con zocalo no nulo. Aquı se dan demostraciones elementales basadas en

resultados conocidos de la teorıa de anillos.

1.2 Caso simple

Se dice que un par asociativo A es artiniano por la derecha (resp. izquierda)

si satisface la condicion de cadena descendente (abreviadamente ccd) para

ideales por la derecha (resp. izquierda).

31

CAPITULO 1. TEOREMAS DE WEDDERBURN-ARTIN 32

Teorema 1.2.1. Sea A un par asociativo y tA su envolvente de Lister.

Si A es semiprimitivo y artiniano entonces tA es tambien semiprimitivo y

artiniano. Como consecuencia, A es un par unitario.

Demostracion.

A es semiprimitivo, luego

0 = Radσ(A) =⋂i∈Λ

Iiσ,

donde Iiσ recorre el conjunto de todos los ideales por la derecha maximales

de Aσ tales que (I+i , I−i ) es un ideal por la derecha modular. Por ser A

artiniano, existen dos colecciones finitas

{I+i1

, . . . , I+in} e {I−j1 , . . . , I−jm

}

tales quen⋂

k=1

I+ik

= 0 ym⋂

l=1

I−jl= 0.

Considerese la K-algebra envolvente de Lister

tA =

(A+A− A+

A− A−A+

)

y los ideales por la derecha de tA dados por

Rjl=

(A+A− A+

I−jlI−jl

A+

)l = 1, . . . , m y

Sik =

(I+ik

A− I+ik

A− A−A+

)k = 1, . . . , n.

Si (I+, I−) es un ideal por la derecha u-modular de A entonces

(A+A− A+

I− I−A+

)y

(I+A− I+

A− A−A+

)


son ideales por la derecha modulares de tA cuyo modulo es(

u+u− 0

0 u−u+

)

Cada ideal por la derecha propio modular de tA esta contenido en un ideal

por la derecha modular maximal ([21, 1.3. proposicion 2]), sean Bjly Cik

ideales por la derecha modulares maximales tales que Rjl⊂ Bjl

y Sik ⊂ Cik

para todo l ∈ {1, . . . , m} y k ∈ {1, . . . , n}. El conjunto

{x− ∈ A− : existe

(α y+

x− β

)∈ Bjl

}

es un ideal por la derecha de A− que contiene a I−jl. Si se supone que el

ideal por la derecha anterior coincide con A−, dado cualquier elemento (a+, a−)

de A, existe

(α b+

a− β

)∈ Bjl

, por lo que

(α b+

a− β

)(0 a+

0 0

)=

(0 αa+

0 a−a+

)∈ Bjl

.

Teniendo en cuenta que Rjl⊂ Bjl

, se obtiene

(0 0

0 A−A+

)⊂ Bjl

.

Dado a− ∈ A−, existe

(α x+

a− β

)∈ Bjl

. Como el elemento

(α x+

0 β

)∈ Bjl

tambien

(0 0

a− 0

)∈ Bjl.

Por tanto Bjl= tA, que es una contradiccion. Entonces, por ser I−jl

maximal,

{x− ∈ A− : existe

(α y+

x− β

)∈ Bjl

}= I−jl.


De forma analoga se puede demostrar

{x+ ∈ A+ : existe

(α x+

a− β

)∈ Cik

}= I+

ik.

Si se considera (α x+

x− β

)∈ (∩kCik) ∩ (∩lBjl

),

entonces

x+ ∈n⋂

k=1

I+ik

= 0 y x− ∈m⋂

l=1

I−jl= 0.

Ademas, para todo y+ ∈ A+ se tiene

(α 0

0 β

)(0 y+

0 0

)=

(0 αy+

0 0

)∈ (∩kCik) ∩ (∩lBjl

),

por tanto αy+ = 0. Por ser A no degenerado, α = 0. Del mismo modo se

puede probar β = 0.

Lo que se ha demostrado es

(∩kCik) ∩ (∩lBjl) = 0,

es decir, {0} es una interseccion finita de ideales por la derecha modulares

maximales de tA. Suponiendo que esta interseccion es irredundante, se puede

construir la siguiente serie de composicion para tA :

tA ⊃ B1 ⊃ B1 ∩B2 ⊃ · · · ⊃ {0}.

Esto prueba que tA es un anillo artiniano. Ademas, por el corolario 0.10.5,

tA es semiprimitiva. Por tanto, tiene unidad, lo cual implica tA = UA

(proposicion 0.2.1).

Teorema de Wedderburn-Artin. (Caso simple). Sea A un par asociativo

sobre K. Las siguientes condiciones son equivalentes:


i) A es simple y artiniano por la derecha.

ii) A es primitivo y artiniano por la derecha.

iii) A ∼= (Mp×q(∆),Mq×p(∆)), siendo ∆ una K-algebra de division.

Demostracion.

i) ⇒ ii). Por la condicion de cadena descendente, existe I un ideal por

la derecha minimal. Como A es no degenerado, aplicando el lema 0.7.1,

existe un idempotente e ∈ A, tal que I = (< e+e−A+ >,< e−e+A− >),

que es un A-modulo por la derecha bajo la accion

< eσe−σaσ > ·x−σ =< e−σaσx−σ > .

Lo que se va a probar es que I es irreducible y fiel, con lo cual A serıa

primitivo.

En primer lugar, < eσe−σAσ > ·A−σ 6= 0 porque

eσ · e−σ =< e−σeσe−σ >= e−σ 6= 0 para todo σ ∈ {+,−}.

Sea (N+, N−) un submodulo no nulo de I, es decir, Nσ 6= 0 para algun

σ ∈ {+,−}. Como para cada σ ∈ {+,−}, Nσ es un ideal por la derecha de

Aσ contenido en < eσe−σAσ >, por la minimalidad de < eσe−σAσ >, se tiene

Nσ = 0 o Nσ =< eσe−σAσ > .

Si Nσ = 0, entonces

N = (< e+e−A+ >, 0) o N = (0, < e−e+A− >),

lo que implica

< e+e−A+ > ·A− = 0 o < e−e+A− > ·A+ = 0

que es una contradiccion. Por tanto, Nσ =< eσe−σAσ > para todo σ ∈{+,−}.


Por otra parte, si x−σ ∈ A−σ satisface 0 =< eσe−σAσ > ·x−σ =

=< e−σAσx−σ >, se tiene

< x−σ < Aσe−σAσ > x−σ >= 0,

y como < Aσe−σAσ >= Aσ para todo σ ∈ {+,−} por ser A simple, se

obtiene < x−σAσx−σ >= 0. Por ser A no degenerado, x−σ = 0.

ii)⇒ iii). Si A es primitivo, por la proposicion 0.9.3, UA es una K-algebra

primitiva. Como A es tambien semiprimitivo artiniano, aplicando el teorema

1.2.1 se obtiene UA artiniana. Ası,

UA

Φ∼= Mn(∆),

donde ∆ es una K-algebra de division, lo que implica

1Mn(∆) = Φ(1UA) = Φ(e1) + Φ(e2) = f1 + f2,

donde f1 y f2 son dos idempotentes ortogonales. Puesto que Mn(∆) es

un anillo artiniano, f1 y f2 se pueden expresar como la suma de p y q

idempotentes ortogonales primitivos siendo p + q = n. De esta forma, se

obtiene {g1, . . . , gn} un conjunto de idempotentes ortogonales y primitivos de

Mn(∆) cuya suma es la unidad del anillo Mn(∆). Si se considera {Cii}ni=1,

donde cada Cii es la matriz que tiene el elemento unidad en el lugar (i, i) y

0 en el resto, existe un automorfismo interno ϕ de Mn(∆) que transforma

{gi}ni=1 en {Cii}n

i=1 ([29, VII, teorema 18]). Entonces,

f1ϕ7→ a = diag(a11, . . . , ann), rg(a) = p

f2ϕ7→ b = diag(b11, . . . , bnn), rg(b) = q,

con aii, bii ∈ {0, 1} y bii = 1− aii para todo i ∈ {1, . . . , n}. Finalmente,

(A+, A−) ∼= (e1UAe2, e2UAe1) ∼= (f1Mn(∆)f2, f2Mn(∆)f1) ∼=∼= (aMn(∆)b, bMn(∆)a) ∼= (Mp×q(∆),Mq×p(∆)).


En una comunicacion personal, O. Loos sugirio una demostracion alternativa

mas simple para obtener el isomorfismo entre (A+, A−) y (Mp×q(∆),Mq×p(∆))

que aparece en la ultima parte de la demostracion:

Se sabe que Mn(∆) ∼= End(∆n), entonces Id∆n = f +g, siendo f y g dos

idempotentes ortogonales. Esto permite considerar una descomposicion en

subespacios ∆n = X ⊕ Y , donde X = f(∆n), Y = g(∆n). Sea p = dimX y

q = dimY . Escogiendo una base adecuada ({x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yp+q} con

{xi}pi=1 ⊂ X e {yj}p+q

j=p+1 ⊂ Y ) se tiene que

(A+, A−) ∼= (f End(∆n)g, g End(∆n)f) ∼=∼= (Hom∆n(Y,X), Hom∆n(X,Y )) ∼= (Mp×q(∆),Mq×p(∆)).

iii) ⇒ i). Este resultado es suficientemente conocido ([27] y [13]).

1.3 Caso semiprimitivo

El teorema 1.2.1 afirma que la envolvente de un par semiprimitivo ar-

tiniano es una K-algebra semiprimitiva artiniana. El recıproco es siempre

cierto, debido al corolario 0.10.5 y al siguiente resultado.

Proposicion 1.3.1. ([30]). Sea A un par asociativo. Si UA es un anillo

artiniano por la derecha (izquierda) entonces, A es artiniano por la derecha

(izquierda).

Demostracion.

Se prueba para la derecha y analogamente se trabaja para la izquierda.

Supongase que UA es artiniano por la derecha y sea

I+1 ⊃ I+

2 ⊃ · · · ⊃ I+k ⊃ · · ·

una cadena de ideales por la derecha de A+. Entonces,

I+1 UA ⊃ I+

2 UA ⊃ · · · ⊃ I+k UA ⊃ · · ·


es una cadena de ideales por la derecha de UA por tanto, existe k ∈ N tal que

I+k UA = I+

k+mUA para todo m ≥ 0.

Ahora se prueba que I+k = I+

k+m para todo m ≥ 0 :

Sean a+ ∈ I+k y m ∈ N, entonces

(0 a+

0 0

)=

n∑j=1

(0 y+

j

0 0

)(αj x+

j

x−j βj

)=

n∑j=1

(y+

j x−j y+j βj

0 0

),

donde y+j ∈ I+

k+m para todo j ∈ {1, . . . , n}. De esta igualdad se deduce

a+ =n∑

j=1

y+j βj ∈ I+

k+m.

De la misma forma, se prueba que A− es artiniano por la derecha.

Se dice que un par asociativo A es noetheriano por la derecha (resp. iz-

quierda) si satisface la condicion de cadena ascendente (abreviadamente cca)

para ideales por la derecha (resp. izquierda). De forma analoga, se puede

demostrar el siguiente resultado.

Proposicion 1.3.2. Sea A un par asociativo. Si UA es un anillo noetheriano

por la derecha (izquierda) entonces A es noetheriano por la derecha (izquierda).

Si A es un par asociativo semiprimitivo y artiniano por la derecha en-

tonces, UA es una K-algebra semiprimitiva artiniana y por tanto, UA es (von

Neumann) regular lo que implica que A es regular:

En efecto, si x+ ∈ A+, existe

(α y+

y− β

)∈ UA tal que

(0 x+

0 0

)=

(0 x+

0 0

)(α y+

y− β

)(0 x+

0 0

)luego


(0 x+

0 0

)=

(0 < x+y−x+ >

0 0

)y como consecuencia,

x+ =< x+y−x+ > .

Analogamente se trabaja para σ = −.

Proposicion 1.3.3. Sea A un par asociativo semiprimitivo. Entonces A

satisface la ccd para ideales por la derecha si y solo si A satisface la ccd para

ideales por la izquierda. Ademas, si A satisface dichas condiciones de cadena,

entonces A tambien satisface la ccd para ideales internos principales y la cca

para ideales por la derecha, por la izquierda e internos principales.

Demostracion.

Si A es semiprimitivo y satisface la ccd por un lado (derecha o izquierda),

se sabe que UA es semiprimitiva y artiniana por un lado, por lo que

satisface la ccd y la cca para ideales por la derecha y por la izquierda. Por las

proposiciones 1.3.1 y 1.3.2, A es artiniano y noetheriano por ambos lados.

Sea ahora

I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ Ik ⊃ · · ·una cadena descendente de ideales internos principales de A. Se pueden

considerar las cadenas descendentes

(< A+A−I+1 >,< A−A+I−1 >) ⊃ (< A+A−I+

2 >,< A−A+I−2 >) ⊃ · · ·

de ideales por la izquierda de A y

(< I+1 A−A+ >,< I−1 A+A− >) ⊃ (< I+

2 A−A+ >,< I−2 A+A− >) ⊃ · · ·

de ideales por la derecha de A. Sea k ∈ N a partir del cual ambas cadenas

se estacionan. Se va a probar que, en este caso, Ik = Ik+r para todo r ≥ 0.

Como In es un ideal interno principal para todo n ∈ N, existe (x+n , x−n ) ∈ A

satisfaciendo

Iσn =< xσ

nA−σxσ

n > para todo σ ∈ {+,−}.


Por ser A regular, existe b−σ ∈ A−σ con

xσk =< xσ

kb−σxσ

k >∈< Iσk+rA

−σAσ > ∩ < AσA−σIσk+r >

y, por tanto,

xσk =

n∑i=1

< xσk+ra

−σi bσ

i >=m∑

j=1

< cσj d−σj xσ

k+r >

con xσk+r ∈ Iσ

k+r, a−σi , d−σ

j ∈ A−σ, bσi , c

σj ∈ Aσ para i ∈ {1, . . . , n} y j ∈

{1, . . . ,m}. Entonces, para todo a−σ ∈ A−σ se tiene

< xσka−σxσ

k >=< xσk+r

n∑i=1

m∑j=1

< a−σi bσ

i a−σcσ

j d−σj > xσ

k+r >∈ Iσk+r.

Del mismo modo, se demuestra que A satisface la cca para ideales internos

principales.

Sea (A+, A−) un par asociativo y e = (e+, e−) un idempotente de A. Se

dice que e es de division si eAe es un par de division y e es local si eAe es un

par local.

Si se considera el epimorfismo canonico π : A → A/Rad A y se denota

por e a π(e), se tiene

eAe/Rad(eAe) ∼= eAe

ya que Ker(π|eAe) = eAe ∩ RadA = Rad(eAe) (ver lema 0.10.6). Como

consecuencia,

e es local si y solo si e es de division.

En efecto, si e es de division, como eAe contiene al menos un elemento

inversible (el propio e), por la proposicion 0.12.1, eAe es local. El recıproco

es inmediato.

Un idempotente e se dice que es completo si A00(e) ⊂ Rad A y maximal

si A00(e) = 0. Se define una escala como un conjunto finito {e1, e2, . . . , en}de idempotentes ortogonales y locales de A tal que e = e1 + e2 + · · ·+ en es

completo. Se dice que una escala es fuerte si los idempotentes e1, e2, . . . , en

son de division y e es un idempotente maximal.


Teorema de Wedderburn-Artin. (Caso semiprimitivo). Sea A un par

asociativo sobre K. Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) A es semiprimitivo y artiniano por la derecha.

ii) A es no degenerado y artiniano por la derecha.

iii) A es no degenerado, artiniano por la derecha y contiene una escala

fuerte.

iv) A es no degenerado, artiniano por la derecha y A = Zoc A.

v) A ∼= ⊕ni=1(Mpi×qi

(∆i),Mqi×pi(∆i)), siendo ∆i una K-algebra de

division para todo i ∈ {1, . . . , n}.

Demostracion.

i) ⇒ ii). Todo par semiprimitivo es no degenerado (ver 0.10).

ii) ⇒ i). De forma similar a la teorıa de anillos, se puede comprobar que

el radical de Jacobson de un par artiniano por la derecha es nilpotente (se

puede consultar en [27, 2.18, lema 5]) y por ser A no degenerado, Rad A = 0.

i) ⇒ iii). La ccd implica la existencia de un ideal por la derecha minimal

que, segun el lema 0.7.1 y la proposicion 0.7.2 es de la forma e1A donde e1

es un idempotente de division.

Si A00(e1) = 0, entonces {e1} es una escala fuerte de A.

Si A00(e1) 6= 0, tomese x+ un elemento no nulo de A+00(e1), para el cual se

tiene

0 6=< x+A−x+ >⊂ A+00(e1).

Es decir, existe 0 6= x− ∈ A−00 tal que 0 6=< x+x−x+ > por tanto,

(< x+A−x+ >,< x−A+x− >)

es un ideal interno principal de A, con ambas componentes no nulas, que

esta contenido en A00(e1). Esto asegura que la familia de los ideales internos

principales con ambas componentes no nulas contenidos en A00(e1) es no vacıa


y, como se sabe por la proposicion 1.3.3 que A satisface la ccd para ideales

internos principales, esta familia posee un elemento minimal (I+, I−), que es,

asimismo, un ideal interno minimal de A. Por tanto, existe un idempotente

(e+2 , e−2 ) ∈ A00(e1) tal que I+ =< e+

2 A−e+2 > . Entonces, por el lema 0.7.1

(< e+2 e−2 A+ >,< e−2 e+

2 A− >) es un ideal por la derecha minimal de A, ası que

(e+2 , e−2 ) es un idempotente de division.

Si A00(e1 + e2) = 0, entonces {e1, e2} es una escala fuerte de A.

Si A00(e1 + e2) 6= 0, se repite el mismo proceso, el cual debe terminar ya

que no pueden existir familias infinitas de idempotentes ortogonales: en caso

contrario,

A11(e1) ⊂ A11(e1 + e2) ⊂ · · ·serıa una cadena estrictamente creciente de ideales internos principales de A,

ya que ei+1 ∈ A11(e1 + · · ·+ ei+1) pero ei+1 /∈ A11(e1 + · · ·+ ei).

iii) ⇒ iv). Considerese {e1, . . . , en} una escala fuerte de A y defınase

e = e1 + · · · + en. Como cada ei es un idempotente de division y A es

no degenerado, ei es minimal, ası que ei ∈ Zoc A, luego tambien e ∈ Zoc A.

Sea ahora xσ ∈ Aσ y considerese su descomposicion de Peirce respecto a e.

Como la escala es fuerte, se sabe que A00(e) = 0, lo cual lleva a

xσ = xσ11 + xσ

10 + xσ01 =

=< eσe−σxσ > + < xσe−σeσ > − < eσe−σxσe−σeσ > .

Como ZocA es un ideal y eσ ∈ ZocσA, se tiene xσ ∈ ZocσA, es decir,

ZocσA = Aσ para todo σ ∈ {+,−}.iv) ⇒ v). Por el teorema 1.2.1, se sabe que A es unitario. Aplicando la

proposicion 0.7.4, se obtiene

ZocUA =

((Zoc+A)A− Zoc+A

Zoc−A (Zoc−A)A+

)= tA = UA

luego UA es un anillo semisimple. Por tanto, UA∼= ⊕n

i=1Mni(∆i), siendo ∆i

una K-algebra de division, para cada i ∈ {1, . . . , n}. Como consecuencia,


siguiendo el mismo razonamiento que en ii)⇒ iii) del teorema en el caso

simple, se deduce

(A+, A−) ∼= ⊕ni=1(Mpi×qi

(∆i),Mqi×pi(∆i))

donde pi + qi = ni, para cada i ∈ {1, . . . , n}.v) ⇒ i). Es suficientemente conocido.

Capıtulo 2

Pares asociativos unitarios

2.1 Introduccion

La primera seccion de este capıtulo esta dedicada a caracterizar en termi-

nos de flechas universales tanto la envolvente de Loos como la de Lister de un

par asociativo, mostrandose tambien que la segunda de ellas puede sumergirse

en la primera y caracterizandose el concepto de par unitario como aquellos

en los que la imagen de la envolvente de Lister coincide con la de Loos.

Se sabe que todo par asociativo se puede identificar con uno del tipo

(eR(1− e), (1− e)Re), siendo e un idempotente de un anillo R con unidad.

Los pares unitarios son los del tipo (eR(1 − e), (1 − e)Re), siendo e y 1 − e

idempotentes plenos. Esto implica que los anillos eRe, (1 − e)R(1 − e) y R

son Morita equivalentes ([23, 3.23]). Para un anillo R, se tiene que el par

asociativo (Mp×q(R),Mq×p(R)) es unitario si y solo si R tiene unidad. En

este caso, la envolvente de Lister es isomorfa a Mp+q(R).

En este capıtulo se estudian ciertas propiedades que si se satisfacen en

un par unitario, se satisfacen en su algebra envolvente UA. Para aquellas

que son Morita invariantes, es suficiente probar que el anillo e1UAe1 (resp.

e2UAe2) las posee. Como consecuencia, se obtiene que algunos de los re-

sultados clasicos sobre condiciones de finitud en teorıa de anillos, como por

45

CAPITULO 2. PARES ASOCIATIVOS UNITARIOS 46

ejemplo, el teorema de Hopkins-Levitzki, la equivalencia entre semiprimitivo

artiniano y noetheriano regular o entre simple artiniano y simple con zocalo

no nulo, se pueden trasladar a esta clase de pares asociativos. Ademas, de

la misma forma que hay propiedades que se verifican en un anillo R si y solo

si se verifican en el anillo Mn(R), tambien se tiene que R satisface ciertas

propiedades si y solo si el par unitario (Mp×q(R),Mq×p(R)) las satisface.

En la ultima seccion se estudia la categorıa de modulos sobre un par

asociativo unitario y se demuestra que es isomorfa a la categorıa de modulos

sobre su algebra envolvente. Esto permite describir la clase de pares Morita

equivalentes a uno unitario dado.

Algunos conceptos similares al que aquı se da de par asociativo unitario

se han introducido anteriormente en [5] para anillos ternarios y tambien en

el contexto de los Gamma-anillos [14].

2.2 Envolventes asociativas

Sea R un anillo con unidad. Se dice que R es un anillo de matrices

generalizadas si existen e1, e2, . . . , en ∈ R idempotentes ortogonales tales que

1 = e1 + e2 + · · · + en. Dados dos anillos R y S de matrices generalizadas

con conjunto de idempotentes e1, e2, . . . , en y f1, f2, . . . , fn respectivamente,

se define un homomorfismo de anillos de matrices generalizadas entre R y S

como un homomorfismo de anillos h : R → S satisfaciendo h(ei) = fi para

todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.Sea A = (A+, A−) un par asociativo sobre K. Una envolvente asociativa

unitaria de A es una K-algebra unitaria R con dos idempotentes e1, e2 tales

que 1 = e1 + e2, junto con un monomorfismo de pares asociativos

(A+, A−)(i+, i−)−→ (R, R)

verificando

i) i+(A+) ⊂ e1Re2, i−(A−) ⊂ e2Re1


ii) anne1Re1i+(A+) ∩ anne1Re1i

−(A−) = 0 y

anne2Re2i+(A+) ∩ anne2Re2i

−(A−) = 0.

Una envolvente de Loos de A es una envolvente asociativa unitaria

(U , (i+, i−)) tal que para toda envolvente unitaria (R′, (j+, j−)) existe un

unico homomorfismo de anillos de matrices generalizadas h : U → R′ tal que

el siguiente diagrama (de homomorfismos de pares asociativos) es conmuta-

tivo

(A+, A−)(i+, i−)−→ (U ,U)

(j+, j−) ↘ ↓ (h, h)

(R′, R′)

Proposicion 2.2.1. La envolvente de Loos de un par asociativo es unica,

salvo isomorfismos.

Demostracion.

Sean (R, (i+, i−)) y (R′, (j+, j−)) dos envolventes de Loos de un par aso-

ciativo A. Existen entonces dos homomorfismos de matrices generalizadas

h : R → R′ y h′ : R′ → R tales que los diagramas

(A+, A−)(i+, i−)−→ (R, R)

(j+, j−) ↘ ↓ (h, h)

(R′, R′)

y

(A+, A−)(j+, j−)−→ (R′, R′)

(i+, i−) ↘ ↓ (h′, h′)

(R, R)

son ambos conmutativos. Entonces, h′ ◦ h : (R,R) −→ (R, R) hace conmu-

tativo el diagrama

(A+, A−)(i+, i−)−→ (R, R)

(i+, i−) ↘ ↓ (h′ ◦ h, h′ ◦ h)

(R, R)

lo que implica h′ ◦ h = IdR. Analogamente, h ◦ h′ = IdR′ , luego R y R′ son

isomorfos.

Proposicion 2.2.2. Sea A un par asociativo sobre K y (U , (i+, i−)) su

envolvente de Loos, cuyo conjunto de idempotentes es e1, e2. Entonces se

satisface


i) i+(A+) = e1Ue2 y i−(A−) = e2 Ue1,

ii) e1Ue1 = Ke1 + e1Ue2 Ue1 y e2Ue2 = Ke2 + e2 Ue1Ue2.

Demostracion.

Se considera el anillo de matrices generalizadas

U ′ =(

Ke1 + i+(A+)i−(A−) i+(A+)

i−(A−) Ke2 + i−(A−)i+(A+)

)

con conjunto de idempotentes e1, e2. Como U ′ ⊂ U , es claro que

anne1U ′e1i+(A+) ∩ anne1U ′e1i

−(A−) = 0 y

anne2U ′e2i+(A+) ∩ anne2U ′e2i

−(A−) = 0.

Por tanto, si se considera el homomorfismo (A+, A−)(i+0 , i−0 )−→ (U ′,U ′), dado por

iσ0 (aσ) = iσ(aσ), se tiene que (U ′, (i+0 , i−0 )) es una envolvente unitaria. Existe

un unico homorfismo de anillos de matrices generalizadas h : U → U ′ tal que

el diagrama

(A+, A−)(i+, i−)−→ (U ,U)

(i+0 , i−0 ) ↘ ↓ (h, h)

(U ′,U ′)es conmutativo. Si u : U ′ ↪→ U denota la inclusion de U ′ en U , entonces

u ◦ iσ0 = iσ para todo σ ∈ {+,−} y por tanto el diagrama

(A+, A−)(i+, i−)−→ (U ,U)

(i+, i−) ↘ ↓ (u ◦ h, u ◦ h)

(U ,U)

es conmutativo, lo que implica u ◦ h = IdU . Es decir, U ′ = U y, por la

definicion de U ′, se obtiene i+(A+) = e1Ue2, i−(A−) = e2 Ue1, e1Ue1 =

= Ke1 + e1Ue2 Ue1 y e2 Ue2 = Ke2 + e2 Ue1Ue2.


Lema 2.2.3. Sea A un par asociativo y (U , (i+, i−)) la envolvente de Loos,

cuyo conjunto de idempotentes es e1, e2. La aplicacion entre el retıculo de

los ideales por la izquierda de A+ y el de los e1Ue1- submodulos de e1Ue2,

definido por I+ 7→ i+(I+) es un isomorfismo de retıculos.

Demostracion.

Sea I+ un ideal izquierda de A+ y tomese y+ ∈ I+. Para cada elemento

λe1 +∑

k i+(a+k )i−(a−k ) ∈ e1Ue1, se satisface

(λe1 +

∑

k

i+(a+k )i−(a−k )

)i+(y+) = i+

(λy+ +

∑

k

< a+k a−k y+ >

)∈ i+(I+)

lo cual prueba que la aplicacion entre los retıculos esta bien definida. El resto

de la demostracion es inmediata.

De forma similar, se puede demostrar que tambien son isomorfos los

retıculos de los ideales izquierda de A− y de los e2Ue2- submodulos de e2Ue1,

definido por I− 7→ i−(I−). Analogamente, se tienen las correspondientes

versiones para la derecha.

Proposicion 2.2.4. Sea A un par asociativo sobre K. La envolvente de

Loos es, salvo isomorfismos, la unica K-algebra U con dos idempotentes

ortogonales e1, e2 tales que 1 = e1 + e2 y satisfaciendo:

i) (A+, A−) es isomorfo a (e1Ue2, e2 Ue1),

ii) anne1Ue1e1Ue2 ∩ anne1Ue1e2 Ue1 = 0 y

anne2 Ue2e1Ue2 ∩ anne2 Ue2e2 Ue1 = 0,

iii) e1Ue1 = Ke1 + e1Ue2 Ue1 y e2 Ue2 = Ke2 + e2 Ue1Ue2.

Demostracion.

Sea R una K-algebra con dos idempotentes f1, f2 tales que f1 + f2 = 1,

satisfaciendo i), ii) y iii). Sea B = (f1Rf2, f2Rf1) y ϕ : A → B el isomorfismo

existente por la condicion i). Si u denota el monomorfismo de inclusion de B


en (R, R) y i = u ◦ ϕ, entonces (R, (i+, i−)) es una envolvente unitaria de A.

Sea (R′(j+, j−)) otra envolvente unitaria de A con conjunto de idempotentes

g1, g2. Se puede definir un homomorfismo de anillos de matrices generalizadas

h : R → R′, del siguiente modo: como i+(A+) = f1Rf2 y ademas i+ es

inyectiva, para cada f1xf2 existe un unico a+ ∈ A+ tal que f1xf2 = i+(a+).

Se puede definir h(f1xf2) = j+(a+). Analogamente, h(f2yf1) = j−(a−),

siendo a− el unico elemento de A− satisfaciendo f2yf1 = i−(a−).

Si λf1 +∑

k i+(a+k )i−(a−k ) = 0, para cada a+ ∈ A+ se satisface

0 =

(λf1 +

∑

k

i+(a+k )i−(a−k )

)i+(a+) = i+

(λa+ +

∑

k

< a+k a−k a+ >

).

Por tanto, λa+ +∑

k < a+k a−k a+ >= 0. De forma similar, se comprueba

que λa− +∑

k < a−a+k a−k >= 0, para todo a− ∈ A−. Esto implica que

λg1 +∑

k j+(a+k )j−(a−k ) ∈ anng1R′g1j

+(A+) ∩ anng1R′g1j−(A−) = 0. Para

cada f1zf1 ∈ f1Rf1, se tiene f1zf1 = λf1 +∑

k i+(a+k )i−(a−k ), luego

h(f1zf1) = λg1 +∑

k

j+(a+k )j−(a−k ),

esta bien definida. Por ultimo, para cada f2tf2 = µf2 +∑

l i−(b−l )i+(b+

l ) ∈f2Rf2, se define

h(f2tf2) = µg2 +∑

l

j−(b−l )j+(b+l ).

Es claro que h es el unico homomorfismo de anillos de matrices generalizadas

tal que el diagrama

(A+, A−)(i+, i−)−→ (R, R)

(j+, j−) ↘ ↓ (h, h)

(R′, R′)

es conmutativo. Esto prueba que (R, (i+, i−)) es una envolvente de Loos de

A.

Por otra parte, si (U , (i+, i−)) es la envolvente de Loos de A, utilizando

la proposicion 2.2.2 y que (i+, i−) es inyectiva, se comprueba que U satisface

las condiciones i), ii) y iii) de la proposicion.


En el capıtulo 0, seccion 0.2, se vio que a cada par asociativo, se le

asocia un algebra asociativa con unidad, que habitualmente se representa en

notacion matricial por

UA =

(R11 A+

A− R22

).

Es claro que

e1 =

(1R11 0

0 0

)y e2 =

(0 0

0 1R22

)

son dos idempotentes ortogonales tales que 1UA= e1 + e2, luego UA es un

anillo de matrices generalizadas. Ademas, se puede definir

(A+, A−)(i+,i−)−→ (UA,UA)

(a+, a−) 7−→((

0 a+

0 0

),

(0 0

a− 0

))

que es un monomorfismo de pares asociativos.

Proposicion 2.2.5. Si A es un par asociativo, (UA, (i+, i−)), construıdos

anteriormente, constituyen una envolvente de Loos de A.

Demostracion.

La restriccion de rango de (i+, i−), es decir

(A+, A−)(ϕ+,ϕ−)−→ (e1UAe2, e2UAe1)

es un isomorfismo de pares asociativos. Por la definicion de R11 y R22 (vease

seccion 0.2), se satisfacen las condiciones ii) y iii) de la proposicion 2.2.4.

Sea A = (A+, A−) un par asociativo sobre K. Una envolvente asociativa

no necesariamente unitaria de A es una K-algebra R no necesariamente

unitaria junto con un monomorfismo de pares asociativos

(A+, A−)(i+, i−)−→ (R, R)

verificando:


i) Para todo σ ∈ {+,−}, se tiene iσ(Aσ)iσ(Aσ) = 0,

ii) los K-modulos i+(A+), i−(A−), i+(A+)i−(A−) y i−(A−)i+(A+) son

independientes.

iii) Para todo σ ∈ {+,−}, se tiene

anniσ(Aσ)i−σ(A−σ)iσ(Aσ) ∩ anniσ(Aσ)i−σ(A−σ)i

−σ(A−σ) = 0.

Una envolvente de Lister de A es una envolvente asociativa no necesa-

riamente unitaria (t, (i+, i−)) tal que para toda envolvente no necesa-

riamente unitaria (R′, (j+, j−)) existe un unico homomorfismo de K-algebras

h : t → R′ tal que el siguiente diagrama (de homomorfismos de pares aso-

ciativos) es conmutativo

(A+, A−)(i+, i−)−→ (t,t)

(j+, j−) ↘ ↓ (h, h)

(R′, R′)

Proposicion 2.2.6. La envolvente de Lister de un par asociativo es unica,

salvo isomorfismos.

Demostracion.

Se siguen los mismos pasos que en la demostracion de la proposicion 2.2.1.

Proposicion 2.2.7. Sea A un par asociativo sobre K y (t, (i+, i−)) su en-

volvente de Lister. Entonces,

t = i+(A+)i−(A−)⊕ i+(A+)⊕ i−(A−)⊕ i−(A−)i+(A+).

Demostracion.

Se considera el subconjunto

t′ = i+(A+)i−(A−)⊕ i+(A+)⊕ i−(A−)⊕ i−(A−)i+(A+) ⊂ t


que es una subalgebra, pues iσ(Aσ)iσ(Aσ) = 0 para todo σ ∈ {+,−}.Se puede demostrar que si (i+0 , i−0 ) : (A+, A−) → (t′,t′), viene dada por

iσ0 (aσ) = iσ(aσ), para todo σ ∈ {+,−}, entonces (t′, (i+0 , i−0 )) es una envol-

vente no necesariamente unitaria de A. Siguiendo un razonamiento analogo

al de la demostracion de la proposicion 2.2.2, se obtiene t′ = t.

Proposicion 2.2.8. Sea A un par asociativo sobre K. La envolvente de

Lister es, salvo isomorfismos, la unica K-algebra no necesariamente unitaria

t tal que existe un monomorfismo de pares asociativos (A+, A−)(i+, i−)−→ (t,t)

que satisface:

i) para todo σ ∈ {+,−}, se tiene iσ(Aσ)iσ(Aσ) = 0,

ii) para todo σ ∈ {+,−}, se tiene

anniσ(Aσ)i−σ(A−σ)iσ(Aσ) ∩ anniσ(Aσ)i−σ(A−σ)i

−σ(A−σ) = 0,

iii) la suma directa i+(A+)i−(A−) ⊕ i+(A+) ⊕ i−(A−) ⊕ i−(A−)i+(A+)

coincide con t.

Demostracion.

Una K-algebra satisfaciendo las condiciones anteriores es una envolvente

de A no necesariamente unitaria y ademas es envolvente de Lister, pues

si se considera (R′, (j+, j−)) otra envolvente no necesariamente unitaria, se

puede definir un unico homomorfismo de algebras h : t → R′ de forma

que h(iσ(aσ)) = jσ(aσ) para todo σ ∈ {+,−} (por la condicion iii)), lo que

implica que hace conmutativo el diagrama

(A+, A−)(i+, i−)−→ (t,t)

(j+, j−) ↘ ↓ (h, h)

(R′, R′)


Para A = (A+, A−) un par asociativo es claro que (U , (i+, i−)), la envol-

vente de Loos de A, es una envolvente asociativa no necesariamente unitaria

de A. Tomando (t, (j+, j−)) la envolvente de Lister de A, existe un unico

homomorfismo de K-algebras θ : t → U tal que el siguiente diagrama es

conmutativo:

(A+, A−)(j+,j−)−→ (t,t)

(i+, i−) ↘ ↓ (θ, θ)

(U ,U)

Entonces, para z =∑

k j+(a+k )j−(a−k )+j+(x+)+j−(x−)+

∑l j−(b−l )j+(b+

l ) ∈t se tiene

θ(z) =∑

k

i+(a+k )i−(a−k ) + i+(x+) + i−(x−) +

∑

l

i−(b−l )i+(b+l ).

A continuacion se demuestra que θ es un monomorfismo.

Si θ(z) = 0, en primer lugar, i+(x+) = 0 y i−(x−) = 0, lo que implica x+ = 0

y x− = 0. Tambien,∑

k i+(a+k )i−(a−k ) = 0 y

∑l i−(b−l )i+(b+

l ) = 0. Para todo

a+ ∈ A+, se verifica 0 =∑

k i+(a+k )i−(a−k )i+(a+) = i+(

∑k < a+

k a−k a+ >)

lo que implica∑

k < a+k a−k a+ >= 0. Por tanto,

∑k j+(a+

k )j−(a−k )j+(a+) =

= j+(∑

k < a+k a−k a+ >) = 0, lo que lleva a

∑

k

j+(a+k )j−(a−k ) ∈ annj+(A+)j−(A−)j

+(A+).

De forma similar, se prueba

∑

k

j+(a+k )j−(a−k ) ∈ annj+(A+)j−(A−)j

−(A−).

Luego,∑

k j+(a+k )j−(a−k ) = 0. Analogamente, se prueba que tambien∑

l j−(b−l )j+(b+

l ) = 0.

Se denomina monomorfismo canonico entre las envolventes de Lister t y

de Loos U de un par asociativo A a la aplicacion θ : t → U .


Como UA, construida con anterioridad (seccion 0.2), es envolvente de

Loos, en caso de que (t, (j+, j−)) sea envolvente de Lister, entonces el monomor-

fismo θ lo identifica a la K-algebra de los elementos

tA =

(A+A− A+

A− A−A+

),

donde A+A− denota la subalgebra de EndK(A+)×EndK(A−)op

generada por

los elementos {x+x− : xσ ∈ Aσ} y A−A+, se define de forma similar. Como

esta K-algebra satisface las condiciones de la proposicion 2.2.8, tomando

(j+, j−) la restriccion de rango de (i+, i−) : (A+, A−) → (UA,UA), se tiene

que (tA, (j+, j−)) es una envolvente de Lister.

Sea R un anillo con unidad y e un idempotente de R. Se dice que e es

un idempotente pleno si R = ReR. La demostracion del siguiente lema es

inmediata.

Lema 2.2.9. Sea R un anillo con unidad y e un idempotente de R. Las

siguientes condiciones son equivalentes:

i) e es pleno.

ii) 1− e ∈ ReR.

iii) (1− e)R(1− e) = (1− e)ReR(1− e).

Proposicion 2.2.10. Sea A un par asociativo y (U , (i+, i−)) la envolvente

de Loos de A, cuyo conjunto de idempotentes se denota por e1, e2. Sea

(t, (j+, j−)) la envolvente de Lister y θ : t → U el monomorfismo canonico.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

i) θ es epimorfismo.

ii) e1 y e2 son idempotentes plenos.

iii) t es un algebra con unidad.


Demostracion.

i)⇒ii). Si θ es sobreyectiva,

e1 = θ(z) =∑

k

i+(a+k )i−(a−k ) + i+(x+) + i−(x−) +

∑

l

i−(b−l )i+(b+l ),

pero como i+(A+) ⊂ e1Ue2 y i−(A−) ⊂ e2Ue1, es claro que

e1 =∑

k

i+(a+k )i−(a−k ) ∈ e1Ue2Ue1,

lo cual implica e2 pleno, por el lema 2.2.9. Analogamente, se prueba que e1

es pleno.

ii)⇒ iii). Si e1 ∈ e1Ue2 Ue1 y e2 ∈ e2 Ue1Ue2, por ser i+(A+) = e1Ue2,

i−(A−) = e2Ue1, se tiene e1 =∑

k i+(a+k )i−(a−k ) y e2 =

∑l i−(b−l )i+(b+

l ),

donde aσk , b

σl ∈ Aσ. Se va a comprobar que

z0 =∑

k

j+(a+k )j−(a−k ) +

∑

l

j−(b−l )j+(b+l )

es la unidad de t. Para todo y+ ∈ A+, el elemento

z0j+(y+) =

(∑

k

j+(a+k )j−(a−k )

)j+(y+)

satisface

θ

(∑

k

j+(a+k )j−(a−k )j+(y+)

)=

∑

k

θ(j+(< a+k a−k y+ >)) =

=∑

k

i+(< a+k a−k y+ >) =

(∑

k

i+(a+k )i−(a−k )

)i+(y+) =

= e1i+(y+) = i+(y+) = θ(j+(y+)).

Por ser θ inyectiva, se tiene (∑

k j+(a+k )j−(a−k ))j+(y+) = j+(y+). Siguien-

do un procedimiento analogo, se deduce z0j−(y−) = j−(y−), para todo

y− ∈ A−. Como un elemento z ∈ t se expresa de forma unica como


z =∑

r j+(c+r )j−(c−r )+j+(x+)+j−(x−)+

∑s j−(d−s )j+(d+

s ), se tiene z0z = z

para todo z ∈ t. Analogamente, se prueba que z0 es unidad por la derecha

de t.

iii)⇒ i). Supongase que t tiene unidad 1. Entonces, 1 = u1 + u2 + u3 + u4,

para u1 ∈ j+(A+)j−(A−), u2 ∈ j+(A+), u3 ∈ j−(A−) y u4 ∈ j−(A−)j+(A+).

Como jσ(Aσ)jσ(Aσ) = 0 para todo σ ∈ {+,−}, el elemento u1 = u21 + u1u2.

Entonces,

u1 − u21 = u1u2 ∈ j+(A+)j−(A−) ∩ j+(A+) = 0

luego u1 es idempotente y u1u2 = 0. Siguiendo los mismos pasos con u4, se

deduce que u4 es idempotente y u4u3 = 0. Por otro lado

u2 = u3u2 ∈ j+(A+) ∩ j−(A−)j+(A+) = 0 y

u3 = u2u3 ∈ j−(A−) ∩ j+(A+)j−(A−) = 0

Por tanto, 1 = u1 + u4, para u1 y u4 idempotentes ortogonales, es decir t es

un anillo de matrices generalizadas. Para todo j+(a+) ∈ j+(A+) se verifica

j+(a+)u1 = 0 = u4j+(a+), entonces

j+(A+) ⊂ u1tu4 y analogamente j−(A−) ⊂ u4tu1.

Esto lleva a

u1tu1 ⊂ j+(A+)j−(A−) ⊂ u1tu4tu1 ⊂ u1tu1

es decir, u1tu1 = j+(A+)j−(A−) = u1tu4tu1. Tambien se verifica

u4tu4 = j−(A−)j+(A+) = u4tu1tu4

u1tu4 = j+(A+)j−(A−)j+(A+) = j+(A+) y

u4tu1 = j−(A−)j+(A+)j−(A−) = j−(A−).

Entonces, considerando el homomorfismo de pares (A+, A−)(j+,j−)−→ (t,t), se

satisface

annu1tu1j+(A+) ∩ annu1tu1j

−(A−) =

= annj+(A+)j−(A−)j+(A+) ∩ annj+(A+)j−(A−)j

−(A−) = 0


y

annu4tu4j+(A+) ∩ annu4tu4j

−(A−) = 0.

Como consecuencia, (t, (j+, j−)) es una envolvente unitaria de A, luego

existe un unico homomorfismo de anillos de matrices generalizadas

θ′ : U → t tal que el siguiente diagrama es conmutativo

(A+, A−)(i+,i−)−→ (U ,U)

(j+, j−) ↘ ↓ (θ′, θ′)

(t,t)

Entonces, θ ◦ θ′ = IdU , lo que implica θ sobreyectiva.

Es claro que un par asociativo A es unitario si y solo si satisface cualquiera

de las condiciones equivalentes de la proposicion anterior, es decir las envol-

ventes de Lister y de Loos coinciden.

2.3 Condiciones de cadena

Para A = (A+, A−) , si (UA, (i+, i−)) es la envolvente de Loos de A, cuyo

conjunto de idempotentes se denota por e1, e2, por el lema 2.2.3, es claro que

A+ (resp. A−) es artiniano por la izquierda si y solo si e1UAe2 (resp. e2UAe1)

es artiniano como e1UAe1-modulo (resp. e2UAe2-modulo). Para la derecha,

se verifica el resultado analogo.

Proposicion 2.3.1. Sea R un anillo con unidad artiniano por la izquierda

y e un idempotente de R. Entonces eR(1 − e) es un eRe-modulo artiniano

por la izquierda.

Demostracion.

Si I y L son dos submodulos por la izquierda de eR(1− e) tales que I ⊂ L,

es claro que RI ⊂ RL son dos ideales por la izquierda de R. Si se supone

que RI = RL, en particular L ⊂ RI, luego L = eL ⊂ eRI = eReI ⊂ I.


El resultado anterior permite obtener una nueva demostracion de la pro-

posicion 1.3.1.

Proposicion 2.3.2. Sea R un anillo con unidad y e un idempotente de R

tal que 1 − e es pleno. Si (1 − e)Re es artiniano por la izquierda como

(1−e)R(1−e)-modulo, entonces eRe es un anillo artiniano por la izquierda.

Demostracion.

Si I ⊂ L son dos ideales izquierda de eRe, se tiene que (1−e)ReI ⊂ (1−e)ReL

son dos submodulos por la izquierda de (1 − e)Re. Por ser 1 − e pleno,

I = eR(1−e)ReI e igual para L, luego si se supone (1−e)ReI = (1−e)ReL,

es claro que I = L.

Proposicion 2.3.3. Sea A un par asociativo. Si UA es un anillo artiniano

por la izquierda (resp. derecha) entonces, A es artiniano por la izquierda

(resp. derecha). Ademas, si A es unitario, son equivalentes.

Demostracion.

Supongase que UA es artiniano por la izquierda. Entonces, por la proposicion

2.3.1, e1UAe2 es e1UAe1-modulo artiniano por la izquierda y e2UAe1 es e2UAe2-

modulo artiniano por la izquierda, lo cual es equivalente a que el par (A+, A−)

sea artiniano por la izquierda. Si (A+, A−) es unitario, se sabe que los idem-

potentes e1 y e2 son plenos. Por ser artiniano por la izquierda, segun la

proposicion anterior, e1UAe1 es artiniano izquierda, luego UA tambien, por

ser Morita equivalente a e1UAe1.

La demostracion para la derecha se deduce de las correspondientes ver-

siones de las proposiciones 2.3.1 y 2.3.2 para la derecha.

De forma similar, se obtiene la relacion entre el caracter noetheriano de

un par y su envolvente.

Proposicion 2.3.4. Sea A un par asociativo. Si UA es un anillo noetheriano

por la izquierda (resp. derecha) entonces A es noetheriano por la izquierda

(resp. derecha). Si ademas A es unitario, son equivalentes.


Corolario 2.3.5. Sea R un anillo con unidad. Las siguientes condiciones

son equivalentes:

i) El anillo R es artiniano por la izquierda (resp. derecha).

ii) Para cualesquiera p, q ∈ N, el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es artiniano

por la izquierda (resp. derecha).

iii) Existen p, q ∈ N tales que el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es artiniano por

la izquierda (resp. derecha).

Demostracion.

Como UA∼= Mp+q(R), el par asociativo A = (Mp×q(R),Mq×p(R)) es uni-

tario y por tanto, es artiniano por la izquierda si y solo si UA lo es. Se tiene

ademas que UA es artiniano por la izquierda si y solo si R es artiniano por la

izquierda.

Analogamente se obtiene la version para el caso noetheriano.

Teorema de Hopkins-Levitzki. Todo par unitario y artiniano por la

izquierda (resp. derecha) es noetheriano por la izquierda (resp. derecha).

Demostracion.

Si A es un par unitario y artiniano por la izquierda (resp. derecha) en-

tonces, UA es un anillo artiniano por la izquierda (resp. derecha) y, por tanto,

tambien es noetheriano por la izquierda (resp. derecha), lo cual implica que

A es un par noetheriano por la izquierda (resp. derecha).

La condicion de que A sea unitario en este ultimo teorema es necesaria,

ya que, por ejemplo, el grupo abeliano Zp∞ con producto trivial es un anillo

artiniano y no noetheriano. Entonces, el par A = (Zp∞ ,Zp∞) es artiniano y

no noetheriano. Ademas, en este mismo ejemplo se tiene que UA no es un

anillo artiniano, ya que, en caso contrario, serıa noetheriano, y por tanto, A

serıa tambien noetheriano por la proposicion 2.3.4. Ası se tiene tambien que

la condicion de ser unitario es necesaria en la proposicion 2.3.3.


2.4 Caracter simple

Sean R y S dos anillos unitarios y RMS un R-S bimodulo. Se dice que un

subgrupo abeliano N ⊂ M es un (R−S)- submodulo si es un R-submodulo y

un S-submodulo de M . Un R− S bimodulo RMS 6= 0 es simple si los unicos

(R− S)- submodulos que posee son 0 y M .

Proposicion 2.4.1. Sea R un anillo con unidad simple y e un idempotente

de R distinto de 0 y 1. Entonces, eReeR(1− e)(1−e)R(1−e) es simple.

Demostracion.

Observese en primer lugar que eR(1− e) 6= 0. En caso contrario, utilizando

la descomposicion de Peirce del anillo R, se comprueba que Re es un ideal

bilatero no nulo de R, lo que implica R = Re y por tanto e = 1, lo cual

es una contradiccion. Sea 0 6= I un (eRe − (1 − e)R(1 − e))- submodulo de

eR(1− e). Por ser R simple, R = RIR, luego

eR(1− e) = eRIR(1− e) = eReI(1− e)R(1− e) ⊂ I.

Proposicion 2.4.2. Sea R un anillo con unidad y e un idempotente de R,

distinto de 0 y 1 tal que 1 − e es pleno. Si eReeR(1 − e)(1−e)R(1−e) (resp.

(1−e)R(1−e)(1− e)ReeRe) es simple, entonces eRe es un anillo simple.

Demostracion.

Sea I un ideal bilatero de eRe y considerese IR(1 − e) ⊂ eR(1 − e) que es

un (eRe − (1 − e)R(1 − e))- submodulo. Por ser 1 − e pleno, I = IRe =

= IR(1 − e)Re, luego como IR(1 − e) es 0 o bien eR(1 − e), se tiene que

I es igual a 0 o a eRe. Analogamente, se obtiene la otra afirmacion de la

proposicion.

Por el lema 0.3.1, un par asociativo es simple cuando < AσA−σAσ >6= 0

para todo σ ∈ {+,−} y los unicos ideales bilateros de Aσ son 0 y Aσ.


Sea (UA, (i+, i−)) la envolvente de Loos de A, cuyo conjunto de idempo-

tentes se denota por e1, e2. Por el lema 2.2.3, (A+, A−) es simple si y solo

si eiUAejUAeiUAej 6= 0 para todo i 6= j ∈ {1, 2} y e1UAe1e1UAe2e2UAe2y

e2UAe2e2UAe1e1UAe1son simples.

Corolario 2.4.3. Si A es un par asociativo no nulo tal que UA es un anillo

simple, entonces A es un par simple. Si A es un par unitario y simple

entonces, UA es un anillo simple.

Demostracion.

Basta aplicar las proposiciones 2.4.1 y 2.4.2.


son equivalentes:

i) El anillo R es simple.

ii) Para cualesquiera p, q ∈ N, el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es simple.

iii) Existen p, q ∈ N tales que el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es simple.

Corolario 2.4.5. Un par es simple artiniano si y solo si es unitario y simple

con zocalo no nulo.

Demostracion.

Si A es un par simple unitario con zocalo no nulo, entonces UA es un anillo

simple con zocalo no nulo, ya que por la proposicion 0.7.4 se sabe que

Zoc(UA) =

((Zoc+A)A− (Zoc+A)

(Zoc−A) (Zoc−A)A+

)

Por tanto, UA es un anillo simple artiniano y, como consecuencia, A es un

par simple artiniano.

El recıproco es trivial.


2.5 Regularidad (von Neumann)

Aplicando el siguiente resultado de la teorıa de anillos clasica, se obtiene

que si la envolvente de Loos de un par asociativo es regular entonces, el par

tambien lo es.

Lema 2.5.1. ([31, lema 1.6]). Sea R un anillo con unidad y e1, e2, . . . , en

idempotentes ortogonales de R tales que 1 = e1 + · · · + en. Entonces R es

regular si y solo si para cada x ∈ eiRej existe y ∈ ejRei tal que x = xyx.

Corolario 2.5.2. Sea (A+, A−) un par asociativo y UA su envolvente de Loos.

Entonces, UA es regular si y solo si e1UAe1 y e2UAe2 son anillos regulares y

el par (A+, A−) es regular.

Proposicion 2.5.3. Sea R un anillo con unidad y e un idempotente de R

tal que 1 − e es pleno. Si para cada x ∈ eR(1 − e) existe y ∈ (1 − e)Re tal

que x = xyx, entonces eRe es regular.

Demostracion.

Dado x ∈ eRe, como 1 − e es pleno, x =∑n

i=1 xaibi, para ai ∈ eR(1 − e),

bi ∈ (1 − e)Re y donde cada sumando es no nulo. Se razona por induccion

sobre n.

Si x = xab, se considera c ∈ (1 − e)Re tal que xa = xacxa. Entonces

xacx = xacxab = xab = x, luego x es regular. Supongase ahora que el

resultado es cierto cuando el numero de sumandos no nulos es estrictamente

menor que n y considerese (sin perdida de generalidad) un elemento x ∈ eRe

tal que

x =n∑

i=1

xaibi donde todos los sumandos son no nulos.


Tomando c ∈ (1− e)Re tal que xa1cxa1 = xa1, se tiene

x− xa1cx =

= xa1b1 +n∑

i=2

xaibi − xa1cxa1b1 −n∑

i=2

xa1cxaibi =

=n∑

i=2

(x− xa1cx)aibi.

Por la hipotesis de induccion, x−xa1cx es un elemento regular, lo cual implica

por el lema de McCoy [31, capıtulo 1 ], que x es tambien regular.

Corolario 2.5.4. Sea A un par asociativo unitario (von Neumann) regular.

Entonces, UA es un anillo (von Neumann) regular.

Demostracion.

Si A es un par unitario, los idempotentes e1 y e2 son plenos y por ser regular,

se satisface la hipotesis de la proposicion anterior. Entonces, e1UAe1 es un

anillo regular. Como la regularidad es un invariante de Morita, se obtiene

UA regular.


son equivalentes:

i) El anillo R es (von Neumann) regular.

ii) Para cualesquiera p, q ∈ N, el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es (von

Neumann) regular.

iii) Existen p, q ∈ N tales que el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es (von

Neumann) regular.

Corolario 2.5.6. A es un par semiprimitivo artiniano si y solo si A es un

par unitario noetheriano regular.


2.6 Caracter semilocal y semiprimario

Sea A un par asociativo y Rad A = (Rad+ A,Rad− A) el radical de

Jacobson, el cual se denotara tambien por J = (J+, J−), cuando no haya

lugar a confusion. Si se denota por x 7→ x la aplicacion canonica A −→ A =

= A/J, entonces, existe un epimorfismo de anillos dado por

ϕ : UA −→ UA(α x+

x− β

)7→

(α x+

x− β

)

donde α = λIdA +∑n

i=1(a+i a−i ) si α = λIdA +

∑ni=1 a+

i a−i y analogamente

para β.

Ahora se va a probar que Rad UA = Rad R11 ⊕ J+ ⊕ J− ⊕ Rad R22 (

proposicion 0.10.2) esta contenido en Ker ϕ :

En efecto, si (α x+

x− β

)∈ Rad UA

entonces, xσ = 0 para todo σ ∈ {+,−}. Como α ∈ Rad R11, se tiene αa+ ∈A+ ∩ Rad UA = J+ para todo a+ ∈ A+, lo que implica α = 0. De la misma

forma, β = 0. Esto permite definir, de forma natural, el epimorfismo de

anillos

ϕ : UA/Rad UA → UA dado por ϕ(z + Rad UA) = ϕ(z).

Si A es unitario, UA/Rad UA

ϕ∼= UA, ya que Ker ϕ = Rad UA : en efecto, sea(

α x+

x− β

)∈ Ker ϕ

entonces xσ ∈ Jσ para todo σ ∈ {+,−}. Como α = 0, para todo

a+ ∈ A+ se tiene αa+ ∈ J+, por tanto, si se supone 1R11 =∑n

i=1 x+i x−i ,

el elemento

α =n∑

i=1

αx+i x−i ∈ Rad UA ∩R11 = Rad R11.


Analogamente, se comprueba que β ∈ Rad UA ∩R22 = Rad R22 y por tanto,

(α x+

x− β

)∈ Rad UA.

Se obtiene ası el siguiente resultado:

Proposicion 2.6.1. Para un par asociativo unitario A se tiene

UA∼= UA/Rad UA.

Un par asociativo A se dice que es semilocal si A = A/J es artiniano.

Proposicion 2.6.2. Sea A un par asociativo. Si UA es un anillo semilocal,

entonces A es un par semilocal. Si A es un par unitario y semilocal, entonces

UA es un anillo semilocal.

Demostracion.

Si UA es un anillo semilocal, entonces UA es artiniano, al ser la imagen

epimorfica de UA/Rad UA, que es artiniano. Por la proposicion 2.3.3, A

es tambien artiniano. Supongase ahora que A es un par unitario y semilocal.

Entonces, UA/Rad UA∼= UA es artiniano.

Sea (A+, A−) un par asociativo y (S+, S−) ⊂ (A+, A−). Se define :

(Sσ)1 = Sσ y (Sσ)2n+1 =< (Sσ)2n−1S−σSσ >

para todo n ∈ N y σ ∈ {+,−}. Se dira que (S+, S−) es nilpotente si existe

n ∈ N tal que

(Sσ)2n+1 = 0 para todo σ ∈ {+,−}.Observese que para un par unitario se verifica

Rad R11 = J+A− = A+J− y Rad R22 = J−A+ = A−J+.


En efecto, es claro que

J+A− ⊂ Rad UA ∩R11 = Rad R11.

Por otro lado, si 1R11 =∑n

i=1 a+i a−i y α ∈ Rad R11, entonces

α =n∑

i=1

αa+i a−i ∈ J+ A−

ya que αa+i ∈ Rad UA ∩ A+ = J+ para todo i ∈ {1, . . . , n}. De la misma

forma, se comprueban las demas igualdades.

Asimismo, si A es un par unitario, para cualquier ideal por la izquierda

(resp. derecha) Iσ de Aσ se verifica

< AσA−σIσ >= Iσ (resp. < IσA−σAσ >= Iσ) para todo σ ∈ {+,−}.

Como consecuencia, si (I+, I−) es un ideal de (A+, A−) entonces

< AσI−σAσ >= Iσ para todo σ ∈ {+,−}, ya que

Iσ =< AσA−σIσA−σAσ >⊂< AσI−σAσ > .

Se dice que un par asociativo A es semiprimario si es semilocal y J es

nilpotente.

Proposicion 2.6.3. Sea A un par asociativo. Si UA es un anillo semipri-

mario, entonces A es un par semiprimario. Si A es un par unitario y semipri-

mario, entonces UA es un anillo semiprimario.

Demostracion.

Si UA es semiprimario, en particular es semilocal y por la proposicion 2.6.2,

se obtiene que A es semilocal. Por otra parte, Jσ ⊂ Rad UA para todo

σ ∈ {+,−}. Si n ∈ N es un numero impar tal que (Rad UA)n = 0 entonces,

(0 (J+)n

(J−)n 0

)=

(0 J+

J− 0

)n

⊂ (Rad UA)n = 0,


y por tanto, J es nilpotente.

Supongase ahora que A es unitario y semiprimario. A partir de las igualdades

Rad R11 = J+A− = A+J− y Rad R22 = J−A+ = A−J+

se puede demostrar que para todo numero natural impar n, se tiene

(Rad UA)n =

((J+)nA− (J+)n

(J−)n (J−)nA+

):

en efecto, para n = 1 es inmediato y si se supone que la igualdad es cierta

para la potencia n, utilizando < AσJ−σAσ >= Jσ y < JσA−σAσ >= Jσ, se

obtiene

(Rad UA)n+2 = (Rad UA)n(Rad UA)2 =

=

((J+)nA− (J+)n

(J−)n (J−)nA+

) (J+A− J+

J− J−A+

)(J+A− J+

J− J−A+

)=

=

((J+)nA− (J+)n

(J−)n (J−)nA+

)(J+J− < J+J−A+ >

< J−J+A− > J−J+

)=

=

((J+)n+2A− (J+)n+2

(J−)n+2 (J−)n+2A+

),

de donde se deduce que Rad UA es nilpotente pues (J+, J−) lo es. Se concluye

aplicando la proposicion 2.6.2.

Sea A = (Z2,Z2)⊕ (Z,Z), donde el producto triple en el primer sumando

es el usual y en el segundo se considera el trivial. Este es un ejemplo de

un par asociativo semiprimario no unitario, cuya envolvente no es un anillo

semiprimario.


son equivalentes:

i) El anillo R es semiprimario.


ii) Para cualesquiera p, q ∈ N, el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es semipri-

mario.

iii) Existen p, q ∈ N tales que el par (Mp×q(R),Mq×p(R)) es semiprimario.

Corolario 2.6.5. Todo par asociativo unitario noetheriano y semiprimario

es artiniano.

Demostracion.

Bajo estas condiciones, se tiene que UA es un anillo noetheriano y

semiprimario y, por tanto, es tambien artiniano ([29, teorema 2.7.2]), lo que

implica que A es artiniano.

2.7 Caracter semiperfecto y perfecto

Se dice que un par asociativo A es semiperfecto si es semilocal y A

satisface la propiedad de elevacion de idempotentes modulo J , esto es para

cada idempotente f ∈ A = A/J , existe un idempotente e ∈ A tal que e = f .

Esta clase de pares ha sido ampliamente tratada en [32] y [33]. No obstante,

un estudio mas detallado se lleva a cabo en [22].

Proposicion 2.7.1. ([22, proposiciones 2.9.1, 2.9.3]) Sea A un par asocia-

tivo. Si UA es un anillo semiperfecto, entonces A es un par semiperfecto. Si

A es un par unitario y semiperfecto, entonces UA es un anillo semiperfecto.

Un subconjunto (S+, S−) de un par asociativo (A+, A−) es T-nilpotente

por la derecha (resp. izquierda) si para cualquier sucesion {(a+i , a−i )}i∈N ⊂

(S+, S−) existe k ∈ N tal que

< aσka−σk−1a

σk−1 · · · a−σ

1 aσ1 >= 0 para todo σ ∈ {+,−}

(resp. < aσ1a−σ1 · · · aσ

k−1a−σk−1a

σk >= 0 para todo σ ∈ {+,−}).

Un par asociativo A es perfecto por la derecha (resp. izquierda) si es

semilocal y Rad A es T -nilpotente por la derecha. Algunos resultados sobre

este tipo de pares pueden consultarse en [34] y [22].


Proposicion 2.7.2. ([34, proposiciones 10, 11]) Sea A un par asociativo. Si

UA es un anillo perfecto por la derecha (resp. izquierda), entonces A es un

par perfecto por la derecha (resp. izquierda). Si A es un par unitario y

perfecto por la derecha (resp. izquierda), entonces UA es un anillo perfecto

por la derecha (resp. izquierda).

2.8 Pares semiprimitivos artinianos

Recuerdese que un par A es semiprimitivo si su radical de Jacobson es

cero y A es semiprimitivo si y solo si UA es semiprimitivo (corolario 0.10.5).

La clase de los K-pares asociativos semiprimitivos artinianos ha sido ya es-

tudiada en el capıtulo 1 y estan completamente determinados en el sentido

de que A es semiprimitivo artiniano si y solo si

A ∼= ⊕ni=1(Mpi×qi

(4i),Mqi×pi(4i)),

siendo 4i una K-algebra de division para todo i ∈ {1, . . . , n}.Por tanto, todo par semiprimitivo artiniano es unitario y A es semiprimitivo

artiniano si y solo si UA lo es.

Como en un par unitario A se tiene que < A+A−A+ >= A+, entonces

el A-modulo por la derecha (A+, A+A−) es unitario. Ademas (L+, Q) es un

submodulo de dicho A-modulo si y solo si L+ es un ideal por la derecha de

A+ y Q = L+A− :

Si (L+, Q) es un submodulo, es inmediato que L+ es un ideal por la derecha

de A+ y dado α ∈ Q, si 1R11 =∑n

i=1 x+i x−i , entonces

α =n∑

i=1

(αx+i )x−i ∈ L+A−.

El recıproco es trivial. Como consecuencia, un submodulo (I+, I+A−) es

simple si y solo si I+ es un ideal por la derecha minimal de A+.

En el siguiente teorema, se dan algunas caracterizaciones nuevas para esta

clase de pares.


Teorema 2.8.1. Sea A un par asociativo unitario. Las siguientes condi-

ciones son equivalentes:

i) A es semiprimitivo artiniano.

ii) Todo A-modulo por la derecha unitario es semisimple.

iii) El A-modulo por la derecha (A+, A+A−) es semisimple.

iv) La suma de todos los ideales por la derecha minimales de A+ coincide

con A+.

Demostracion.

i)⇒ ii). Para un A-modulo (M+,M−) unitario, se puede considerar el

correspondiente UA-modulo M− ⊕ M+. Por otra parte, UA es un anillo

semiprimitivo artiniano por serlo A y por tanto, M−⊕M+ es semisimple, es

decir,

M− ⊕M+ =∑i∈I

Mi,

donde Mi es un UA- modulo simple para cada i ∈ I. Se tiene

(M+,M−) =∑i∈I

(Mie2,Mie1),

donde (Mie2,Mie1) es un A-modulo simple para cada i ∈ I, por el corolario

0.9.2.

ii)⇒ iii). Es inmediato, puesto que el A-modulo (A+, A+A−) es unitario, por

ser A un par unitario.

iii)⇒ iv). Es consecuencia de que los A-submodulos simples de (A+, A+A−)

son (I+, I+A−), donde I+ es un ideal por la derecha minimal de A+.

iv)⇒ i). Basta demostrar que Zoc rUA = UA, lo que equivale a que UA sea

semiprimitivo artiniano y por tanto a que A sea semiprimitivo y artiniano.

En primer lugar, se vera que la suma de todos los ideales por la derecha

minimales de A+, que se denotara por Zoc+r A, se puede considerar contenido


en el zocalo por la derecha de UA.

Si I+ es un ideal por la derecha minimal de A+ entonces, el ideal por la

derecha de UA dado por I1 =

(I+A− I+

0 0

)es tambien minimal: si I2

es un ideal por la derecha de UA tal que 0 6= I2 ⊂ I1, tiene que existir(α x+

0 0

)∈ I2 con x+ 6= 0, pues si todos los elementos de I2 son de la

forma

(α 0

0 0

)se tendrıa , αA+ = 0 y como consecuencia α = 0 ya que,

si se supone 1R11 =∑n

i=1 a+i a−i , entonces α =

∑ni=1 αa+

i a−i = 0. A partir de

aquı I2 = 0, lo cual es una contradiccion.

Existe entonces 0 6= x+ ∈ I2 ∩A+ y por la minimalidad de I+ se deduce que

I+ = I2 ∩ A+, es decir, I+ ⊂ I2, I+A− ⊂ I2 lo que implica que I1 = I2.

Como A es unitario y A+ = Zoc+r A, se tiene 1R11 =

∑ni=1 a+

i a−i , donde

a+i ∈ Zoc+

r A ⊂ Zocr UA y por tanto, e1 ∈ Zoc r UA. De forma similar se

comprueba que e2 ∈ ZocrUA, ası que 1UA∈ Zoc r UA.

Corolario 2.8.2. Sea A un par asociativo unitario. Entonces, A es

semiprimitivo artiniano si y solo si A coincide con su zocalo por la derecha

(resp. izquierda).

2.9 Equivalencia de Morita

En el capıtulo 0, seccion 0.9, se definio el concepto de modulo trasladable

sobre un par asociativo A, destacando como ejemplos importantes los modulos

(M+,M−) que satisfacen {mσ ∈ Mσ : mσA−σ = 0} = 0 para todo σ ∈{+,−} y los unitarios.

Es facil comprobar que si f : (M+,M−) → (N+, N−) es un homomor-

fismo (resp. epimorfismo o monomorfismo) de A-modulos trasladables, en-

tonces

f− ⊕ f+ : M− ⊕M+ → N− ⊕N+


dada por

(f− ⊕ f+)(m−,m+) := (f−(m−), f+(m+))

es un homomorfismo (resp. epimorfismo o monomorfismo) de UA-modulos.

En particular, tambien lo es de tA-modulos.

Teorema 2.9.1. Sea A un par asociativo. Entonces, la categorıa de

A-modulos por la derecha (izquierda) unitarios es isomorfa a la categorıa

de tA-modulos por la derecha (izquierda) unitarios.

Demostracion.

Sea Mod − A la categorıa de A-modulos por la derecha unitarios y

Mod− tA la categorıa de tA-modulos por la derecha unitarios.

Si (M+,M−) ∈Mod− A, entonces

M− ⊕M+

(A+A− A+

A− A−A+

)=

= (M−A+A− + M+A−,M−A+ + M+A−A+) = M− ⊕M+,

por tanto, el funtor

F : Mod− A −→ Mod− tA

(M+,M−) → M− ⊕M+

(f+, f−) → f− ⊕ f+

esta bien definido.

Por otra parte, si N ∈Mod− tA, se tiene que

NA− = N tA A− = NA+A− + NA−A+A− = (NA+)A−

y analogamente, NA+ = (NA−)A+, ası, el funtor

G : Mod− tA −→ Mod− A

N → (NA+, NA−)

g → (g |NA+ , g |NA−)


esta tambien bien definido.

Ademas, se satisface

GF(M+,M−) = G(M− ⊕M+) = ((M− ⊕M+)A+, (M− ⊕M+)A−) =

= (M−A+,M+A−) = (M+,M−)

y

FG(N) = F(NA+, NA−) = NA− ⊕NA+ = NtA = N.

Las restantes comprobaciones son inmediatas.

Corolario 2.9.2. Sea A un par asociativo unitario. Entonces,la categorıa de

A-modulos por la derecha (izquierda) unitarios y la categorıa de UA-modulos

por la derecha (izquierda) son isomorfas.

Corolario 2.9.3. Sean A y B dos pares asociativos unitarios. Entonces, son

equivalentes:

i) Las categorıas Mod− UA y Mod− UB son equivalentes.

ii) Las categorıas UA −Mod y UB −Mod son equivalentes.

iii) Las categorıas Mod− A y Mod−B son equivalentes.

iv) Las categorıas A−Mod y B −Mod son equivalentes.

Se dira que dos pares asociativos unitarios A y B son Morita equivalentes

(A ≈ B) si satisfacen las condiciones equivalentes del corolario 2.9.3. Como

consecuencia, dos pares asociativos unitarios A y B son Morita equivalentes

si y solo si sus envolventes lo son.

El corolario anterior y los resultados vistos en las anteriores secciones

de este capıtulo, permiten obtener un conjunto importante de propiedades

Morita-invariantes para pares asociativos utilizando la teorıa de Morita de

anillos con unidad. Por ejemplo, si A ≈ B entonces, A es artiniano, noethe-

riano, simple, regular, etc. si y solo si B lo es.


Corolario 2.9.4. Para un anillo R con unidad, los pares A = (R,R)

y B = (Mp×q(R),Mq×p(R)) son Morita equivalentes para cualesquiera

p, q ∈ N.

Demostracion.

Las envolventes de los pares A y B son isomorfas a M2(R) y Mp+q(R),

respectivamente.

Corolario 2.9.5. Si A es un par asociativo unitario, para p y q numeros

naturales cualesquiera,

A ≈ (Mp×q(UA),Mq×p(UA)).

Teorema 2.9.6. Sean A y B dos pares asociativos unitarios. Entonces,

A ≈ B si y solo si existe n ∈ N y dos idempotentes ortogonales f1, f2 ∈Mn(UA) tales que f1 + f2 es pleno y B ∼= (f1Mn(UA)f2, f2Mn(UA)f1).

Demostracion.

Si A ≈ B entonces UA ≈ UB, luego por [23, teorema 3.23], existe n ∈ N y un

idempotente pleno e ∈Mn(UA) de tal forma que

UB

Φ∼= eMn(UA)e.

Tomando fi = Φ(ei) para i ∈ {1, 2}, se tiene que (B+, B−) es isomorfo a

(f1Mn(UA)f2, f2Mn(UA)f1).

Recıprocamente, si B ∼= (f1Mn(UA)f2, f2Mn(UA)f1), entonces es uni-

tario y se deduce que

f1Mn(UA)f1 = f1Mn(UA)f2Mn(UA)f1,

f2Mn(UA)f2 = f2Mn(UA)f1Mn(UA)f2.

Como consecuencia su envolvente es isomorfa a fMn(UA)f , siendo f = f1 +

f2. Ası, es Morita equivalente a UA y por tanto,

A ≈ (f1Mn(UA)f2, f2Mn(UA)f1).

Capıtulo 3

Elevacion de idempotentes

3.1 Introduccion

En 1977, W.K. Nicholson estudia en [15] lo que denomina anillos idoneos

(suitables), tambien conocidos como anillos idempotent-lifting, que son

aquellos anillos con unidad en los que se pueden elevar idempotentes modulo

cualquier ideal por la izquierda (derecha), es decir, para cualquier ideal por

la izquierda (derecha) L y cualquier elemento x ∈ R tal que x−x2 ∈ L, existe

un idempotente e ∈ R satisfaciendo que e − x ∈ L. En el citado trabajo,

Nicholson demuestra que un anillo con unidad es idoneo si y solamente si el

anillo es de intercambio, segun la definicion dada por Warfield en [16].

En [35], P. Ara introduce el concepto de anillo de intercambio sin unidad

que generaliza al caso de anillos no unitarios, las nociones estudiadas por

Nicholson en [15].

En este capıtulo se introduce la propiedad de elevacion de idempotentes

modulo un ideal por la izquierda de un par asociativo (A+, A−) y de elemen-

tos (von Neumann) regulares modulo un ideal por la izquierda de A+ (resp.

A−). Se demuestra que un par asociativo A tiene la propiedad de elevacion

de idempotentes si y solo si A+ (resp. A−) tiene la de elevacion de elemen-

tos regulares. Se estudia el comportamiento de un par y de su envolvente

77

CAPITULO 3. ELEVACION DE IDEMPOTENTES 78

con respecto a la propiedad de elevacion de idempotentes. Se caracteriza

el radical de Jacobson de dichos pares como el mayor ideal que no contiene

idempotentes no nulos. Tambien se prueba que la elevacion de idempotentes

ortogonales es posible en esta clase de pares.

Dado R un anillo con unidad, se dice que un R-modulo M , es de inter-

cambio si para todo R-modulo N y toda descomposicion

N = M ′ ⊕ P = ⊕i∈INi donde M ′ ∼= M

existen submodulos N ′i ⊂ Ni para cada i ∈ I tales que

N = M ′ ⊕ (⊕i∈IN′i).

Se define anillo de intercambio como aquel que, visto como modulo sobre

sımismo es de intercambio. Cuando se plantea la generalizacion de este

concepto al contexto de los pares asociativos, la propiedad de intercambio

se puede definir para modulos sobre pares de forma similar a como se hace

en anillos unitarios. Sin embargo, con la definicion de modulo que se utiliza

en este trabajo, un par asociativo A no se puede ver como modulo sobre

sımismo. En la ultima seccion de este capıtulo se define par asociativo de

intercambio como aquel en el que los modulos (A+, R11) y (R22, A−) son

de intercambio. Se prueba que en el caso de que un par sea unitario, ser de

intercambio es equivalente a tener la propiedad de elevacion de idempotentes,

como ocurre en anillos con unidad.

3.2 Condiciones equivalentes a la elevacion

de idempotentes

Este capıtulo va a comenzar dando una nueva caracterizacion para los

anillos idoneos estudiados por Nicholson, es decir, los anillos de intercambio.

Se dice que en un anillo R se elevan elementos (von Neumann) regulares


modulo un ideal por la izquierda L, si dados x, a ∈ R tales que x− xax ∈ L,

existe un elemento (von Neumann) regular u ∈ R, verificando que u−x ∈ L.

Teorema 3.2.1. Para un anillo R con unidad, son equivalentes:

i) El anillo R es de intercambio.

ii) En R se elevan elementos (von Neumann) regulares modulo cualquier

ideal por la izquierda (resp. derecha).

Demostracion.

i)⇒ ii). Sean I un ideal por la izquierda de R y x, a ∈ R satisfaciendo que

x−xax ∈ I. Dado el elemento xa ∈ R, por [15, proposicion 1.1-(4)] existe un

idempotente f ∈ Rxa tal que 1−f ∈ R(1−xa). Si f = rxa y 1−f = s(1−xa),

para r, s ∈ R, entonces u = frx es regular ya que uau = u y como ua = f

se tiene

u − x = u(1 − ax) − (1 − ua)x = frx(1 − ax) − s(1 − xa)x =

= (fr − s)(x− xax) ∈ I.

ii)⇒ i). Dado x ∈ R existe un elemento (von Neumann) regular u ∈ R tal

que u − x ∈ R(x − x3) luego u = rx donde r ∈ R. Tomese v ∈ R tal que

u = uvu y v = vuv y considerese el elemento

y = vr + (1− vu)xuvr ∈ R.

Entonces,

e = yx = vu + (1− vu)xu ∈ Rx es un idempotente y

1− e = (1− vu)(1− xu) pero como u = x + s(x− x3), para s ∈ R, se tiene

1− xu = 1− x2− xsx(1− x2) = (1− xsx)(1− x2) = (1− xsx)(1 + x)(1− x)

y como consecuencia 1− e ∈ R(1− x).


Si se utiliza la definicion de anillo de intercambio dada por Ara, se puede

demostrar que un anillo no necesariamente unitario es de intercambio si

y solo si se elevan elementos (von Neumann) regulares modulo cualquier

ideal por la izquierda (derecha). Para ello, basta seguir la demostracion del

teorema anterior cambiando, en alguna ocasion, R por su unitizado R.

Sea A = (A+, A−) un par asociativo. Dado un ideal por la izquierda

I = (I+, I−) de A se dice que los idempotentes se elevan modulo I si para

cada (x+, x−) ∈ A tal que

xσ− < xσx−σxσ >∈ Iσ para todo σ ∈ {+,−}

existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que

eσ − xσ ∈ Iσ para todo σ ∈ {+,−}.

Ademas, para cada ideal por la izquierda Iσ de Aσ se dice que los

elementos (von Neumann) regulares se elevan modulo Iσ si para cada

xσ ∈ Aσ y a−σ ∈ A−σ tales que xσ− < xσa−σxσ >∈ Iσ existe un elemento

(von Neumann) regular uσ ∈ Aσ tal que uσ − xσ ∈ Iσ.

Esto permite dar las siguientes definiciones:

Se dice que un par asociativo (A+, A−) tiene la propiedad de elevacion de

idempotentes por la izquierda si los idempotentes se pueden elevar modulo

cualquier ideal por la izquierda de A, y dado σ ∈ {+,−} se dira que Aσ

tiene la propiedad de elevacion de elementos regulares por la izquierda si los

elementos (von Neumann) regulares se pueden elevar modulo cualquier ideal

por la izquierda de Aσ.

Analogamente, se pueden definir los conceptos anteriores para la derecha.

De ahora en adelante, por motivos de simplicidad y siempre que no de

lugar a confusion, Id denotara el elemento unidad del anillo Rii para i ∈{1, 2}.


Proposicion 3.2.2. Sea A = (A+, A−) un par asociativo, σ ∈ {+,−}, i = 1

si σ = +, i = 2 si σ = −. Entonces, las siguientes condiciones son equiva-

lentes:

i) Aσ verifica la propiedad de elevacion de elementos regulares por la

izquierda.

ii) Para todo xσ ∈ Aσ y a−σ ∈ A−σ existe un elemento (von Neumann)

regular uσ ∈ Aσ tal que uσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσa−σxσ >).

iii) Para todo xσ ∈ Aσ y a−σ ∈ A−σ existe un elemento regular uσ ∈ Aσ y

β ∈ Rii tal que uσ ∈ Riixσ e (Id− uσa−σ)− β(Id− xσa−σ) ∈ Rad Rii.

iv) Para todo xσ ∈ Aσ y a−σ ∈ A−σ existe un elemento regular uσ ∈ Aσ tal

que uσ ∈ Riixσ e Id− uσa−σ ∈ Rii(Id− xσa−σ).

Demostracion.

i)⇒ ii). Sean xσ ∈ Aσ y a−σ ∈ A−σ y considerese el ideal por la izquierda

de Aσ dado por Rii(xσ− < xσa−σxσ >). Entonces, por definicion, existe un

elemento regular uσ ∈ Aσ tal que uσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσa−σxσ >).

ii)⇒ i). Sean xσ ∈ Aσ, a−σ ∈ A−σ e Iσ un ideal por la izquierda de Aσ tal

que xσ− < xσa−σxσ >∈ Iσ. Se sabe que existe un elemento regular uσ ∈ Aσ

tal que

uσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσa−σxσ >) ⊂ Iσ.

ii)⇒ iii). Sean xσ ∈ Aσ y a−σ ∈ A−σ y tomese un elemento regular uσ ∈ Aσ

tal que

uσ − xσ = α(xσ− < xσa−σxσ >) donde α ∈ Rii,

esto es,

uσ = xσ + α(xσ− < xσa−σxσ >) ∈ Riixσ.

Entonces,

uσa−σ = xσa−σ + α(xσ− < xσa−σxσ >)a−σ = xσa−σ + αxσa−σ(Id− xσa−σ)


y por tanto

Id−uσa−σ = Id−xσa−σ−αxσa−σ(Id−xσa−σ) = (Id−αxσa−σ)(Id−xσa−σ).

Basta tomar β = Id− αxσa−σ para obtener

(Id− uσa−σ)− β(Id− xσa−σ) = 0 ∈ Rad Rii.

iii)⇒ iv). Sean xσ ∈ Aσ, a−σ ∈ A−σ y tomense uσ y β los elementos dados

en iii). El operador

Id− (Id− uσa−σ) + β(Id− xσa−σ) = uσa−σ + β(Id− xσa−σ)

es inversible. Si α ∈ Rii satisface

α(uσa−σ + β(Id− xσa−σ)) = Id,

el elemento αuσ ∈ Riixσ es regular, ya que tomando v−σ ∈ A−σ con

< uσv−σuσ >= uσ, se tiene

αuσ =< αuσ v−σα−1 αuσ > .

Ademas,

Id− αuσ a−σ = α β (Id− xσa−σ) ∈ Rii(Id− xσa−σ).

iv)⇒ ii). Sean xσ ∈ Aσ, a−σ ∈ A−σ y uσ = αxσ un elemento regular tal que

Id− uσa−σ = δ(Id− xσa−σ), donde δ, α ∈ Rii.

Si se considera

uσ − xσ = (uσ− < uσa−σxσ >)− (xσ− < uσa−σxσ >),


como

uσ− < uσa−σxσ >= α(xσ− < xσa−σxσ >) ∈ Rii(xσ− < xσa−σxσ >) y

xσ− < uσa−σxσ >= (Id− uσa−σ)xσ = δ(Id− xσa−σ)xσ =

= δ(xσ− < xσa−σxσ >) ∈ Rii(xσ− < xσa−σxσ >)

se obtiene

uσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσa−σxσ >).

Teorema 3.2.3. Sea A = (A+, A−) un par asociativo, i = 1 si σ = +, i = 2

si σ = −. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

i) A es un par con la propiedad de elevacion de idempotentes por la

izquierda.

ii) Para cada (x+, x−) ∈ A existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que

eσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσx−σxσ >) para todo σ ∈ {+,−}.

iii) A+ verifica la propiedad de elevacion de elementos regulares por la

izquierda.

iv) Para cada (x+, x−) ∈ A existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que

eσ ∈ Riixσ e Id− eσx−σ ∈ Rii(Id− xσx−σ) para todo σ ∈ {+,−}.

Demostracion.

i) ⇒ ii). Sea (x+, x−) ∈ A y considerese el ideal por la izquierda de A dado

por

(R11(x+− < x+x−x+ >), R22(x

−− < x−x+x− >)).

Se sabe que existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que

eσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσx−σxσ >) para todo σ ∈ {+,−}.


ii) ⇒ i). Sean (x+, x−) ∈ A y un ideal por la izquierda (I+, I−) de A tales

que xσ− < xσx−σxσ >∈ Iσ para todo σ ∈ {+,−}. Se puede tomar (e+, e−)

un idempotente tal que

eσ − xσ ∈ Rii(xσ− < xσx−σxσ >) ⊂ Iσ para todo σ ∈ {+,−}.

ii)⇒ iii). Sean a+ ∈ A+, a− ∈ A− y tomese un idempotente (e+, e−) tal que

eσ − aσ ∈ Rii(aσ− < aσa−σaσ >) para todo σ ∈ {+,−}.

Entonces, e+ es un elemento regular de A+ verificando las condiciones dadas

en la proposicion 3.2.2-ii).

iii)⇒ iv). Sea (x+, x−) ∈ A y considerese el elemento (< x+x−x+ >, x−) ∈A. Por la proposicion 3.2.2-ii) existe un elemento regular u+ ∈ A+

y β ∈ R11 de tal forma que

u+− < x+x−x+ >= β(< x+x−x+ > − < x+x−x+x−x+x−x+ >)

y por tanto,

u+ = γ < x+x−x+ > siendo γ = Id + β − β x+x−x+x−.

Por otra parte, como u+ es regular, existe b− ∈ A− tal que (u+, b−) es un

idempotente. Considerese ahora

(f+, f−) = (< x+b−u+ >,< b−γx+x− >),

que tambien es un idempotente:

< f+f−f+ >=< x+b−u+b− < γx+x−x+ > b−u+ >=

=< x+ < b−u+b− >< u+b−u+ >>=< x+b−u+ >= f+,

< f−f+f− >=< b− < γx+x−x+ > b−u+b−γx+x− >=

=<< b−u+b−u+b− > γx+x− >=< b−γx+x− >= f−.


A continuacion, se van a establecer cuatro identidades que llevaran a probar

que el elemento

(e+, e−) = (f+ + (Id− x+f−)u+, f− + (Id− b−u+) < x−u+f− >)

es un idempotente.

En primer lugar,

< f−x+f− >=< b− < γ x+x−x+ > b−γ x+x− >=< b−γ x+x− >= f−,

luego

f−(Id− x+f−) = 0 (1)

Por otra parte, < f+b−u+ >=< x+b−u+b−u+ >=< x+b−u+ >= f+, luego

f+(Id− b−u+) = 0. (2)

Ademas, u+ =< u+b−u+ >, es decir,

u+(Id− b−u+) = 0 (3)

y por ultimo,

< u+f−f+ >=< u+b−γ x+x−x+b−u+ >=< u+b−u+ >= u+ (4)

Entonces,

< e+e−e+ >=< e+f−e+ > + < e+(Id− b−u+) < x−u+f− > e+ >=

=< e+f−f+ > + < e+f−(Id− x+f−)u+ > +

+ < f+(Id− b−u+) < x−u+f− > e+ > +

+ < (Id− x+f−)u+(Id− b−u+) < x−u+f− > e+ > .

Por las identidades (1),(2),(3) y (4) se tiene

< e+e−e+ >=< e+f−f+ >=

= f++ < (Id− x+f−)u+f−f+ >= f+ + (Id− x+f−)u+ = e+.


Por otro lado,

< e−e+e− >=< e−f+e− > + < e−(Id− x+f−)u+e− >=

=< e−f+f− > + < e−f+(Id− b−u+) < x−u+f− >> +

+ < f−(Id− x+f−)u+e− > +

+ < (Id− b−u+) < x−u+f− > (Id− x+f−)u+e− >=

=< e−f+f− >= f− + (Id− b−u+) < x−u+f−f+f− >= e−.

Como

u+ = γ < x+x−x+ >∈ R11x+ y f+ =< x+b−u+ >∈ R11x

+,

entonces e+ ∈ R11x+. Asimismo como

f− =< b−γx+x− >∈ R22x−

se tiene e− ∈ R22x−. Por otra parte,

f−x+ =< b−γx+x− > x+ = b− < γx+x−x+ >= b−u+,

de donde se deduce

Id− e−x+ = Id− (f− + (Id− b−u+) < x−u+f− >)x+ =

= Id− f−x+ − (Id− b−u+)x−u+f−x+ =

= Id− b−u+ − (Id− b−u+)x−u+ = (Id− b−u+)(Id− x−u+),

pero se puede comprobar que

Id− x−u+ = (Id− < x−βx+x− > x+)(Id− x−x+x−x+) =

= (Id− < x−βx+x− > x+)(Id + x−x+)(Id− x−x+)


y por tanto, Id− e−x+ ∈ R22(Id− x−x+). Asimismo,

Id− e+x− = Id− f+x− − (Id− x+f−)u+x− =

= (Id− u+x−) + x+f−u+x− − x+b−u+x− =

= (Id− u+x−) + x+b−γx+x−u+x− − x+b−γx+x−x+x− =

= (Id− u+x−) + x+b−γx+x−(u+x− − x+x−) =

= (Id− u+x−) + x+b−γx+x−[(Id− x+x−)− (Id− u+x−)]

e

Id− u+x− = (Id− < βx+x−x+ > x−)(Id + x+x−)(Id− x+x−),

en consecuencia

Id− e+x− ∈ R11(Id− x+x−).

iv)⇒ ii). Sea (x+, x−) ∈ A y considerese (e+, e−) el idempotente dado en

iv). Supongase e+ = αx+ y Id − e+x− = γ(Id − x+x−), donde α, γ ∈ R11,

entonces

e+ − x+ = e+(Id− x−x+)− (Id− e+x−)x+ =

= α(x+− < x+x−x+ >)− γ(x+− < x+x−x+ >) ∈ Rii(x+− < x+x−x+ >)

y analogamente se trabaja para σ = −.

De una forma similar se puede probar tambien que A es un par con la

propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda si y solo si en A− se

elevan elementos regulares por la izquierda, ası como los resultados analogos

para la derecha y por tanto, se puede concluir:

Corolario 3.2.4. Para un par asociativo (A+, A−) las siguientes


i) A+ verifica la propiedad de elevacion de elementos regulares por la

izquierda (derecha).

ii) A es un par con la propiedad de elevacion de idempotentes por la



iii) A− verifica la propiedad de elevacion de elementos regulares por la


De este ultimo resultado se deduce que la clase de los pares con la

propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha) generaliza

a la de los (von Neumann) regulares ya que si A = (A+, A−) es un par

(von Neumann) regular, entonces A+ satisface la propiedad de elevacion de

elementos regulares por cualquier lado.

Teorema 3.2.5. Sea A = (A+, A−) un par asociativo, i = 1 si σ = +, i = 2

si σ = −. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

i) A es un par con la propiedad de elevacion de idempotentes por la

izquierda.

ii) Para cada (x+, x−) ∈ A existe un idempotente (e+, e−) ∈ A,αi ∈ Rii,

sσ ∈ Aσ tal que eσ = αixσ = xσ + sσ− < sσx−σxσ >.

iii) Para cada (x+, x−) ∈ A, existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que

eσ ∈ Riixσ e Id− eσe−σ ∈ Rii(Id− xσx−σ) para todo σ ∈ {+,−}.

iv) Para cada (x+, x−) ∈ A, existe un idempotente (e+, e−) ∈ A tal que

eσ ∈ Riixσ y Rii = Riie

σe−σ + Rii(Id− xσx−σ).

Demostracion.

i) ⇒ ii). Aplicando 3.2.3- ii), para cada (x+, x−) ∈ A existe un idempotente

(e+, e−) ∈ A tal que eσ = xσ + ϕi(xσ− < xσx−σxσ >), con ϕi ∈ Rii, para

todo σ ∈ {+,−}. En particular, eσ = αixσ, donde αi = Id + ϕi − ϕix

σx−σ,

y para sσ = ϕixσ se satisface

eσ = xσ + sσ− < sσx−σxσ > .

ii) ⇒ i). Como αixσ = xσ + sσ− < sσx−σxσ >, se deduce que sσ = ϕix

σ

siendo ϕi = αi − Id + sσx−σ. Entonces

eσ = xσ + ϕixσ− < ϕix

σx−σxσ >= xσ + ϕi(xσ− < xσx−σxσ >).


i) ⇒ iii). Dado (x+, x−) ∈ (A+, A−), tomese el idempotente (e+, e−) ∈ A tal

que

e+ = x+ + ϕ1(x+− < x+x−x+ >) ∈ R11x

+ y

e− = x− + ϕ2(x−− < x−x+x− >) ∈ R22x

−,

para ϕ1 ∈ R11, ϕ2 ∈ R22. Como consecuencia, se tiene

Id− e+e− = Id− [x+x− + x+ϕ2(x−− < x−x+x− >)+

+ ϕ1(x+− < x+x−x+ >)x−+

+ ϕ1(x+− < x+x−x+ >)ϕ2(x

−− < x−x+x− >)] =

= (Id− x+x−)− x+ϕ2x−(Id− x+x−)− ϕ1x

+x−(Id− x+x−)−− ϕ1(x

+− < x+x−x+ >)ϕ2x−(Id− x+x−),

esto es, Id − e+e− ∈ R11(Id − x+x−). Analogamente se comprueba que

Id− e−e+ ∈ R22(Id− x−x+).

iii)⇒ i). Sea (x+, x−) ∈ A, y considerese (e+, e−) ∈ A el idempotente dado

en iii). El elemento u+ =< x+e−e+ > es regular ya que si e+ = αx+, donde

α ∈ R11, se deduce

<< x+e−e+ > e−α < x+e−e+ >>=< x+e−e+ > y

x+ − u+ = x+(Id− e−e+) = x+β(Id− x−x+)

con β ∈ R22. Entonces, x+β = x+ − x+e−αx+ + x+βx−x+ = γx+, siendo

γ = Id− x+e−α + x+βx−. Por tanto,

x+ − u+ = γx+(Id− x−x+) = γ(x+− < x+x−x+ >).

Se concluye aplicando la proposicion 3.2.2 y el corolario 3.2.4.

iii)⇒ iv). Trivial.

iv)⇒ iii). Supongase que IdR11 = αe+e− + γ(Id− x+x−) y IdR22 = βe−e+ +

δ(Id− x−x+), con α, γ ∈ R11, β, δ ∈ R22. El elemento (f+, f−) donde

f+ = e+ + (Id− e+e−)αe+ y f− = e− + (Id− e−e+)βe−


es un idempotente tal que

Id− f+f− = (Id− e+e−)− (Id− e+e−)αe+e− =

= (Id−e+e−)(Id−αe+e−) = (Id−e+e−)γ(Id−x+x−) ∈ R11(Id−x+x−).

Analogamente se prueba que Id− f−f+ ∈ R22(Id− x−x+).

Proposicion 3.2.6. Sea R un anillo con unidad. Entonces, R es un anillo

de intercambio si y solo si A = (R, R) es un par asociativo con la propiedad

de elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha).

Demostracion.

Sea (R,R) un par con la propiedad de elevacion de idempotentes por la

izquierda y x ∈ R. Dado el elemento (x, 1) ∈ (R, R), por el teorema 3.2.5-

iii), existe un idempotente (e+, e−) ∈ (R,R) tal que

e+ ∈ Rx e Id− e−e+ = γ(Id− 1 x).

Entonces, e− · e+ (donde · denota el producto en R) es un idempotente de R

y aplicando el operador anterior a 1 ∈ R se obtiene 1 − e− · e+ = γ(1 − x).

Por tanto, R es de intercambio por [15, proposicion 1.1-(4)].

Recıprocamente, dado (x+, x−) ∈ (R,R), considerese el elemento x+·x− ∈R. Por [15, proposicion 1.1-4)] existe un idempotente e ∈ R tal que

1− e = β(1− x+ · x−) y e = γ(x+ · x−),

con β, γ ∈ R. Entonces, f+ = eγx+ ∈ R11x+ es un elemento regular ya que

eγx+ =< eγx+ x− eγx+ > . Ademas

Id− f+x− = (Id− eγx+x−) = (Id− e) = β (Id− x+x−).

Ası , por la proposicion 3.2.2-iv), se obtiene que A+ = R satisface la propiedad

de elevacion de elementos regulares por la izquierda y por el corolario 3.2.4,

el par (R,R) tiene la de elevacion de idempotentes por la izquierda.


La definicion de par con la propiedad de elevacion de idempotentes es

tambien coherente con la generalizacion hecha por Ara de los anillos de

intercambio. En [35] se puede encontrar el siguiente resultado:

Lema 3.2.7. Sea R un anillo sin unidad y R un anillo unitario que

contiene a R como ideal bilatero. Entonces, las siguientes condiciones son

equivalentes:

1) Para todo x ∈ R, existe un idempotente e ∈ Rx tal que 1−e ∈ R(1−x).

2) Para todo x ∈ R, existen r, s ∈ R y un idempotente e ∈ R tales que

e = rx = s + x− sx.

Ara da varias condiciones equivalentes a las dos anteriores y define el

concepto de anillo de intercambio para anillos no necesariamente unitarios

como aquellos que satisfacen cualquiera de dichas condiciones.

Proposicion 3.2.8. Sea R un anillo (no necesariamente unitario). En-

tonces, el par asociativo (R, R) verifica la propiedad de elevacion de idempo-

tentes por la izquierda si y solo si el anillo R es de intercambio.

Demostracion.

Supongase que (R,R) satisface la propiedad de elevacion de idempotentes

por la izquierda y sea x ∈ R. Dado el elemento (x, x) ∈ (R,R), existe un

idempotente (u, v) tal que

u = x + ϕ1(x− x3) y v = x + ϕ2(x− x3),

para ϕ1 ∈ R11, ϕ2 ∈ R22. Sea R un anillo unitario que contiene a R como

ideal. El elemento uv ∈ Rx es un idempotente tal que

1− uv = (1− x2)− xϕ2x(1− x2)− ϕ1x2(1− x2)− ϕ1x(1− x2)ϕ2x(1− x2)

y como 1− x2 = (1 + x)(1− x) se tiene 1− uv ∈ R(1− x).


Recıprocamente, supongase R de intercambio. Dados x+, a− ∈ R se

considera el elemento a−x+ ∈ R para el que existen r, s ∈ R y un idem-

potente e ∈ R tales que

e = ra−x+ = s + a−x+ − sa−x+.

El elemento u = x+e ∈ R11x+ es regular ya que ura−u = x+e3 = x+e = u y

ademas

Id− ua− = Id− x+sa− − x+a−x+a− + x+sa−x+a− =

= (Id− x+a−x+a−)− x+sa−(Id− x+a−) =

= (Id + x+a−)(Id− x+a−)− x+sa−(Id− x+a−) ∈ R11(Id− x+a−).

Ası , por la proposicion 3.2.2-iv), se obtiene que A+ = R tiene la propiedad


el par (R,R) tiene la de elevacion de idempotentes por la izquierda.

De ambas proposiciones se puede deducir la caracterizacion para los

anillos de intercambio a partir de la elevacion de elementos regulares:

Corolario 3.2.9. Sea R un anillo arbitrario. Entonces, R es de intercambio

si y solo si los elementos (von Neumann) regulares se pueden elevar modulo

cualquier ideal por la izquierda (derecha).

Demostracion.

R es de intercambio si y solo si el par A = (R,R) satisface la propiedad de

elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha) si y solo si A+ = R tiene

la propiedad de elevacion de elementos regulares por la izquierda (derecha).

Esto equivale a que los elementos regulares de R se eleven modulo cualquier

ideal por la izquierda (derecha).


3.3 Otros resultados sobre elevacion de

idempotentes

En esta seccion se analiza como se relaciona la propiedad de elevacion

de idempotentes en un par asociativo y en su envolvente de Loos. Debido a

que esta envolvente es un anillo con unidad, se sabe que tiene la propiedad

de elevacion de idempotentes si y solo si es un anillo de intercambio, en el

sentido establecido por Warfield en [16].

Proposicion 3.3.1. Sea A un par asociativo tal que R11 o R22 es un anillo

de intercambio. Entonces, A tiene la propiedad de elevacion de idempotentes

por la izquierda (derecha).

Demostracion.

Supongase que R11 es un anillo de intercambio y sean x+ ∈ A+ y

a− ∈ A−. Entonces, como x+a− ∈ R11, por [15, proposicion 1.1-4)], se sabe

que existe un idempotente

α ∈ R11x+a− tal que Id− α ∈ R11(Id− x+a−).

Si α = γx+a−, con γ ∈ R11, el elemento αγx+ ∈ R11x+ es regular ya que

αγx+ =< αγx+ a− αγx+ > y ademas verifica

Id− αγx+a− = Id− α ∈ R11(Id− x+a−).

Ahora, aplicando la proposicion 3.2.2-iv) se obtiene que A+ tiene la propiedad


el par A verifica la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda.

Analogamente se procede si se supone que R22 es de intercambio.

Corolario 3.3.2. Sea A un par asociativo tal que UA es un anillo de inter-

cambio. Entonces, A es un par con la propiedad de elevacion de idempotentes

por la izquierda (derecha).


Demostracion.

Por [15, proposicion 1.10.] R11∼= e1UAe1 tambien es un anillo de intercam-

bio y por tanto, aplicando la ultima proposicion se obtiene que A tiene la

propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha).

Proposicion 3.3.3. Si A es un par asociativo con la propiedad de elevacion

de idempotentes por la izquierda (derecha) entonces, A11(e) y A00(e) tambien

la tienen, para cualquier idempotente e ∈ A.

Demostracion.

Sea (x+, x−) ∈ (< e+A−e+ >,< e−A+e− >) y considerese un idempotente

(f+, f−) ∈ A tal que

fσ ∈ Riixσ e Id− fσx−σ = δi(Id− xσx−σ)

donde δi ∈ Rii, siendo i = 1 si σ = + y i = 2 si σ = −, para todo σ ∈ {+,−}.Entonces, el elemento

(< e+e−f+ >,< e−e+f− >) ∈ (< e+A−e+ >,< e−A+e− >)

es un idempotente con < eσe−σfσ >∈ R(eAe)ii xσ y

eσe−σ− < eσe−σfσ > x−σ = eσe−σ(Id− fσx−σ)eσe−σ =

= eσe−σδi(Id− xσx−σ)eσe−σ = eσe−σδieσe−σ(eσe−σ − xσx−σ)

para todo σ ∈ {+,−}. Se concluye aplicando el teorema 3.2.3-iv).

Dado el elemento (x+, a−) ∈ A00, si se considera (< x+a−x+ >, a−) ∈A existe un idempotente (f+, f−) ∈ A con

f+ =< x+a−x+ > +ϕ1(< x+a−x+ > − < x+a−x+a−x+a−x+ >) y

f− = a− + ϕ2(a−− < a−x+a−x+a− >),

para ϕ1 ∈ R(A)11 y ϕ2 ∈ R

(A)22 . Como consecuencia, f+ ∈ A+

10 ⊕ A+00 y f− ∈

A−10⊕A−

00 lo cual implica que (f+00, f

−00) es un idempotente, con f+

00 ∈ R(A00)11 x+

y Id− f+00a

− ∈ R(A00)11 (Id− x+a−). En efecto, observese que

(ϕ1 < x+a−x+ >)00 = αx+


siendo α un elemento de R(A00)11 pues si ϕ1 = λId +

∑ni=1 a+

i a−i entonces

(ϕ1 < x+a−x+ >)00 = λ < x+a−x+ > +n∑

i=1

< (a+i )01(a

−i )10x

+a−x+ > +

+n∑

i=1

< (a+i )00(a

−i )00x

+a−x+ >

donde los elementos < (a+i )01(a

−i )10x

+ > y < (a+i )00(a

−i )00x

+ > pertenecen a

A+00 para cada i ∈ {1, . . . n}. Como consecuencia,

f+00 =< x+a−x+ > +αx+ − αx+a−x+a−x+ =

= (x+a− + α− αx+a−x+a−)x+ ∈ R(A00)11 x+ y

Id− f+00a

− = Id− x+a−x+a− − αx+a− + αx+a−x+a−x+a− =

= (Id + x+a−)(Id− x+a−)−− αx+a−(Id + x+a−)(Id− x+a−) ∈ R

(A00)11 (Id− x+a−).

Con esto queda probado que en A+00 se elevan elementos regulares.

Proposicion 3.3.4. Sea A un par asociativo unitario con la propiedad de

elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha). Entonces, para cada

idempotente α ∈ R11 (resp. α ∈ R22), el anillo α R11 α (resp. α R22 α) es de

intercambio.

Demostracion.

Se demuestra por induccion sobre el numero de sumandos no nulos de α :

Si α = a+a− y β ∈ αR11α, se considera el elemento (x+, x−) = (a+, a−β) ∈ A

y un idempotente (e+, e−) con eσ = xσ + ϕi(xσ− < xσx−σxσ >). Es decir,

e+ = a+ + ϕ1(a+ − βa+) y e− = a−β + ϕ2a

−β(α− β),

para ϕ1 ∈ R11 y ϕ2 ∈ R22. Entonces, αe+e− ∈ αR11αβ es un idempotente

verificando α − αe+e− ∈ αR11α(α − β). Aplicando [15, proposicion 1.1-(4)],

se concluye que α R11 α es un anillo de intercambio.


Supongase ahora

α = a+1 a−1 + · · ·+ a+

n a−n + a+n+1a

−n+1,

luego, α = α2 =∑n+1

i=1 a+i a−i α. Dado (a+

1 , a−1 α) ∈ A, por el teorema 3.2.5-iii)

existe un idempotente (e+, e−) ∈ A que satisface

e+ = δa+1 , e− = γa−1 α e Id− e+e− = ϕ(Id− a+

1 a−1 α),

para δ, ϕ ∈ R11, γ ∈ R22. Como e−α = γa−1 αα = γa−1 α = e−, es in-

mediato comprobar que (f+, f−) = (αe+, e−) es un idempotente de A con

αe+e−R11αe+e− = f+f−R11f+f−, que es un anillo de intercambio por el

caso anterior. Ademas, al ser

α− αe+e− = α− αe+e−α = αϕ(α− a+1 a−1 α) = αϕ

n+1∑i=2

a+i a−i α,

por la hipotesis de induccion, el anillo (α − αe+e−)R11(α − αe+e−) es de

intercambio. Como

αe+e−R11αe+e− y (α− αe+e−)R11(α− αe+e−)

son anillos de intercambio, αR11α tambien lo es ([15, corolario 2.6.]).

Corolario 3.3.5. Si A es un par asociativo unitario con la propiedad de

elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha) entonces, R11 y R22 son

anillos de intercambio.

Demostracion.

Basta tomar α = Id en la anterior proposicion.

Corolario 3.3.6. Si A es un par asociativo unitario con la propiedad de

elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha) entonces, UA es un anillo

de intercambio.


Demostracion.

Esto es consecuencia del ultimo corolario y del hecho de que UA es de inter-

cambio si y solo si R11 y R22 lo son ([15, corolario 2.6]).

A continuacion se da un ejemplo que muestra que el resultado anterior

puede ser falso en el caso no unitario:

Cualquier par asociativo A sobre Z con producto cero tiene trivialmente

la propiedad de elevacion de idempotentes, a pesar de que su envolvente no

es de intercambio. En efecto, si lo fuera, entonces e1UAe1 = R11 lo serıa,

lo cual es una contradiccion ya que en un par sobre Z con producto cero se

tiene que R11∼= Z, que no es un anillo de intercambio.

Corolario 3.3.7. Sea A un par asociativo unitario. Para A se satisface la

propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda si y solo se satisface

por la derecha.

Demostracion.

Se sigue del hecho de que en UA se elevan idempotentes por la izquierda si y

solo si se elevan por la derecha ([15, teorema 2.1.]).

3.4 El radical de Jacobson de un par con la

propiedad de elevacion de idempotentes

Proposicion 3.4.1. Si A es un par asociativo con la propiedad de ele-

vacion de idempotentes por la izquierda (derecha) entonces, tambien lo son los

ideales de A y las imagenes homomorficas.

Demostracion.

Sea (L+, L−) un ideal de A, x+ + L+ ∈ A+/L+ y a− + L− ∈ A−/L− tales

que

x+− < x+a−x+ > +L+ ∈ I+/L+,


siendo I+ un ideal por la izquierda de A+ que contiene a L+. Existe y+ ∈ I+

tal que

x+− < x+a−x+ > −y+ ∈ L+ ⊂ I+,

lo cual implica que x+− < x+a−x+ >∈ I+. Tomese un elemento regular

u+ ∈ A+ con u+ − x+ ∈ I+. Entonces, u+ + L+ es un elemento regular de

A+/L+ que verifica

(u+ + L+)− (x+ + L+) ∈ I+/L+.

Sea I = (I+, I−) un ideal de (A+, A−) y (x+, a−) ∈ (I+, I−). Dados

< x+a−x+ >∈ A+, a− ∈ A− existe un elemento regular u+ ∈ A+ tal que

u+ =< x+a−x+ > −α(< x+a−x+ > − < x+a−x+a−x+a−x+ >) =

= (x+a− − αx+a− + αx+a−x+a−x+a−)x+,

para α ∈ R11. Ası, u+ ∈ I+ y ademas u+ = γx+ siendo γ un elemento de

R(I)11 . Por otra parte,

IdR

(I)11−u+a− = Id

R(I)11−x+a−x+a−+α(x+a−x+a−−x+a−x+a−x+a−x+a−) =

= (IdR

(I)11

+ x+a−)(IdR

(I)11− x+a−)+

+ αx+a−x+a−(IdR

(I)11− x+a−x+a−) ∈ R

(I)11 (Id

R(I)11− x+a−)

Proposicion 3.4.2. Sea A un par asociativo y J su radical de Jacobson.

Entonces A tiene la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda

(derecha) si y solo si A/J la tiene y los idempotentes se elevan modulo J .

Demostracion.

Si A es un par con la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda,

por la proposicion 3.4.1, el par A = A/J tambien lo es y esta claro que los

idempotentes se elevan modulo J .


Recıprocamente, sean x+ ∈ A+ y a− ∈ A−. Considerese un elemento

regular u+ + J+ ∈ A+/J+ tal que

(u+ + J+) = (x+ + J+) + α(x+− < x+a−x+ > +J+),


i=1(a+i + J+)(a−i + J−) ∈ R

(A/J)11 .

Por ser u+ + J+ regular, existe un elemento regular f+ ∈ A+ con u+ + J+ =

= f+ + J+. Entonces,

f+ + J+ = x+ + αx+ − α < x+a−x+ > +J+ = (Id + α− αx+a−)x+ + J+,


i=1 a+i a−i .

Tomando δ = (Id+α−αx+a−) ∈ R11, existe y+ ∈ J+ tal que f+ = δx++y+.

Sea b− ∈ A− verificando

f+ =< f+b−f+ >=< f+b−δx+ > + < f+b−y+ > .

Como y+ ∈ J+, el elemento γ = Id − b−y+ ∈ R22 es inversible y por tanto,

f+γ es un elemento regular, pues f+γ =< f+γ γ−1b− f+γ >. Por otra parte

f+γ = f+(Id− b−y+) =< f+b−δx+ >∈ R11x+.

Ademas, como f+ + J+ = f+γ + J+ se tiene

x+ + α(x+− < x+a−x+ >)− f+γ ∈ J+.

Como consecuencia

(Id− f+γa−)− (Id− αx+a−)(Id− x+a−) =

= (x+ + α(x+− < x+a−x+ >)− f+γ)a− ∈ J+A− ⊂ Rad R11.

Aplicando la proposicion 3.2.2-iii) y el corolario 3.2.4 se tiene que A es un

par con la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda.

Corolario 3.4.3. Todo par asociativo semiperfecto tiene la propiedad de ele-

vacion de idempotentes.


En particular, un par asociativo artiniano por la izquierda (derecha),

semiprimario o perfecto por la izquierda (derecha) tiene la propiedad de

elevacion de idempotentes por la izquierda (derecha), puesto que todos ellos

son pares semiperfectos ([32, 34]).

Proposicion 3.4.4. Sea A un par asociativo con la propiedad de elevacion

de idempotentes por la izquierda (derecha) y sea Iσ un ideal por la izquierda

(derecha) de Aσ. Entonces, Iσ ⊂ RadσA si y solo si Iσ no contiene elementos

regulares distintos de cero.

Demostracion.

Supongase que Iσ no contiene elementos regulares distintos de cero y que

existe xσ ∈ Iσ −RadσA. Sea a−σ ∈ A−σ y un elemento regular uσ ∈ Aσ tales

que

uσ ∈ Riixσ e Id− uσa−σ ∈ Rii(Id− xσa−σ),

para i = 1 si σ = +, i = 2 si σ = −. Como Riixσ ⊂ Iσ necesariamente

uσ = 0, lo que implica que Id − xσa−σ es inversible por la izquierda, para

todo a−σ ∈ A−σ. Por tanto, xσ ∈ RadσA, lo que contradice la hipotesis. El

recıproco es trivial.

Corolario 3.4.5. Si A es un par asociativo con la propiedad de elevacion de

idempotentes por la izquierda (derecha), entonces RadσA es el mayor ideal

por la izquierda (derecha) de Aσ que no contiene elementos regulares distintos

de cero.

Corolario 3.4.6. Si A es un par asociativo que tiene la propiedad de ele-

vacion de idempotentes por la izquierda, entonces RadA es el mayor ideal de

A que no contiene idempotentes no nulos.

Demostracion.

Si (I+, I−) es un ideal de A que no contiene idempotentes no nulos entonces

Iσ no contiene elementos regulares para ningun σ ∈ {+,−} y se concluye

aplicando la proposicion 3.4.4.


Observese que en un par asociativo A con la propiedad de elevacion de

idempotentes por la izquierda (resp. derecha), el radical de Jacobson no se

puede caracterizar como el mayor ideal por la izquierda (resp. derecha) de

A que no contiene idempotentes no nulos, ya que, por ejemplo (Rad+A,A−)

tampoco contiene idempotentes no nulos.

3.5 Elevacion de idempotentes ortogonales

Proposicion 3.5.1. Sea A un par asociativo con la propiedad de elevacion

de idempotentes por la izquierda y e = (e+, e−) ∈ A un idempotente tal que

e+ = x+1 +· · ·+x+

n . Entonces, existen {e1, . . . , en} idempotentes ortogonales de

A tales que e+i ∈ R11 < x+

i e−e+ > para todo i ∈ {1, . . . , n} y eσ1 +· · ·+eσ

n = eσ

para todo σ ∈ {+,−}.Demostracion.

Se razona por induccion sobre n. Para un unico sumando la demostracion es

inmediata. Supongase, por tanto, que e+ =∑n+1

i=1 x+i =

∑n+1i=1 < x+

i e−e+ > .

Tomese

x+ =n∑

i=1

< x+i e−e+ > y x− =< e−x+e− > .

Por el teorema 3.2.3-ii), existe un idempotente (f+, f−) tal que

f+ = x+ + γ(x+− < x+x−x+ >) =n∑

i=1

α < x+i e−e+ > y

f− = x− + δ(x−− < x−x+x− >),

para γ, α ∈ R11, δ ∈ R22. Por la hipotesis de induccion, existen {(f+i , f−i )}n

i=1

idempotentes ortogonales tales que

f+i = αi < x+

i e−e+f−f+ >

con αi ∈ R11 para todo i ∈ {1, . . . , n} yn∑

i=1

fσi = fσ para todo σ ∈ {+,−}.


Considerense los elementos {(g+i , g−i )}n

i=1 donde

g+i =< e+f−i αix

+i e−e+ > y g−i =< f−i αix

+i e− > .

Se va a comprobar que estos elementos son idempotentes ortogonales de A :

en primer lugar, observese que

αix+i e−e+f−i = αix

+i e−e+f−f+f−i = f+

i f−i

y por tanto,

< g+i g−i g+

i >=< e+f−i αix+i e−e+f−i αix

+i e−e+f−i αix

+i e−e+ >=

=< e+f−i αix+i e−e+ >= g+

i y

< g−i g+i g−i >=< f−i αix

+i e−e+f−i αix

+i e−e+f−i αix

+i e− >=

=< f−i αix+i e− >= g−i .

Ademas, si i 6= j, el operador

g+i g−j = e+f−i αix

+i e−e+f−j αjx

+j e− =

= e+f−i αix+i e−e+f−f+f−j αjx

+j e− = e+f−i f+

i f−j αjx+j e− = 0.

Analogamente se comprueba que tambien el operador g−i g+j = 0.

Defınase gσ =∑n

i=1 gσi para todo σ ∈ {+,−}. El proximo objetivo es probar

que (g+, < e−g+g− >) es un idempotente, lo cual se va a deducir de la

siguiente igualdad

< g+g−e+ >=n∑

i=1

< g+i g−i e+ >=

n∑i=1

< e+f−i αix+i e−e+f−i αix

+i e−e+ >=

=n∑

i=1

< e+f−i αix+i e−e+ >=

n∑i=1

g+i = g+.


En consecuencia,

< g+e−g+g−g+ >=< g+e−g+ >=< g+g−e+e−g+ >=

=< g+g−g+ >= g+ y

< e−g+g−g+e−g+g− >=< e−g+e−g+g− >=< e−g+g− > .

En general, si u y v son dos idempotentes de A tales que < uσv−σvσ >= vσ

y < vσv−σuσ >= vσ para todo σ ∈ {+,−}, entonces u − v y v son dos

idempotentes ortogonales. Tomando

(u+, u−) = (e+, e−) y (v+, v−) = (g+, < e−g+g− >)

se comprueba facilmente que se satisfacen las condiciones anteriores y como

consecuencia, (g+, < e−g+g− >) y (e+ − g+, e−− < e−g+g− >) son dos

idempotentes ortogonales.

Por tanto, (e+, e−) se puede expresar como la suma de los idempotentes

ortogonales {(g+i , < e−g+

i g−i >)}ni=1 y (e+ − g+, e−− < e−g+g− >), donde

g+i ∈ R11 < x+

i e−e+ > para todo i ∈ {1, . . . , n}.Lo que falta probar es que e+ − g+ ∈ R11 < x+

n+1e−e+ > . Se sabe que

e−− f− =< e−(< x+n+1e

−e+ > +x+)e− > −f− =< e−x+n+1e

− > +x−− f− =

=< e−x+n+1e

− > −δ(x−− < x−x+x− >).

Reemplazando en esta expresion x+ por e+− < x+n+1e

−e+ > y x− por

e−− < e−x+n+1e

− >, se obtiene e− − f− =< a−x+n+1e

− >, con a− ∈ A−.

Luego,

e+ − g+ = (e+− < g+f−e+ >)− (g+− < g+f−e+ >), pero

como < e−g+f− >=< e−e+f− >, se deduce que e+− < g+f−e+ >=

=< e+ (e−− < e−g+f− >) e+ >=< e+ (e−− < e−e+f− >) e+ >=

= e+− < e+f−e+ >=< e+(e− − f−)e+ >=

=< e+a−x+n+1e

−e+ >∈ R11 < x+n+1e

−e+ > y


g+− < g+f−e+ >=< g+e−e+ > − < g+f−e+ >=

=< g+a−x+n+1e

−e+ >∈ R11 < x+n+1e

−e+ > .

Teorema 3.5.2. Sea A un par asociativo con la propiedad de elevacion de

idempotentes por la izquierda, (I+, I−) un ideal por la izquierda de A y

{(x+i , x−i )}n

i=1 un conjunto de elementos tales que < xσi x

−σj xσ

k >≡ δijδjkxσi

(mod Iσ) para todo σ ∈ {+,−}. Entonces, existen {(f+i , f−i )}n

i=1 idempo-

tentes ortogonales de A tales que f+i ∈ R11x

+i y fσ

i ≡ xσi (mod Iσ) para todo

σ ∈ {+,−}.Demostracion.

Considerese el elemento (y+, y−) = (∑n

i=1 < x+i x−i x+

i >,∑n

i=1 x−i ) y sea

(e+, e−) un idempotente tal que eσ = yσ + γk(yσ− < yσy−σyσ >), donde

γk ∈ Rkk, siendo k = 1 si σ = + y k = 2 si σ = −. En particular, tomando

α = Id + γ1 − γ1y+y−, se tiene

e+ = αy+ =n∑

i=1

α < x+i x−i x+

i > .

Por la proposicion 3.5.1, existen {(e+i , e−i )}n

i=1 idempotentes ortogonales de

A tales que e+i = αi << x+

i x−i x+i > e−e+ > con αi ∈ R11, para todo

i ∈ {1, . . . , n} y eσ =∑n

i=1 eσi para todo σ ∈ {+,−}.

Sean f+i =< e+

i e−i αi < x+i x−i x+

i >>∈ R11x+i y f−i = e−i para todo

i ∈ {1, . . . , n}. Observese que, {(f+i , f−i )}n

i=1 son idempotentes ortogonales

de A : en efecto,

< f+i f−i f+

i >=< e+i e−i αix

+i x−i x+

i e−e+e−i e+i e−i αix

+i x−i x+

i >=

=< e+i e−i αix

+i x−i x+

i >= f+i y

< f−i f+i f−i >=< e−i e+

i e−i αix+i x−i x+

i e−i >= e−i = f−i .

Por otra parte,

f+i f−j = e+

i e−i αix+i x−i x+

i e−e+e−j = e+i e−j = 0 y


f−i f+j = e−i e+

j e−j αjx+j x−j x+

j = 0.

Ademas, < f+i e−e+ >= e+

i para cada i ∈ {1, . . . , n} y por tanto, si se toma

f =∑n

i=1 fi, se obtiene que e+ =< f+e−e+ > . En primer lugar,

< eσx−σi xσ

i >=< yσ + γk(yσ− < yσy−σyσ >) x−σ

i xσi >≡

≡ xσi + γk(x

σi − xσ

i ) = xσi (mod Iσ), (1)

lo que implica

< eσe−σxσi >≡< eσe−σ < eσx−σ

i xσi >>=

=< eσx−σi xσ

i >≡ xσi (mod Iσ) (2)

para todo σ ∈ {+,−}.Para σ = +, aplicando (1) se tiene,

< e+x−i x+i >=< f+e−e+x−i x+

i > ≡ < f+e−x+i >=

=n∑

j=1

< e+j e−j αjx

+j x−j < x+

j e−x+i >> (mod I+).

Observese que < x+j e−x+

i >≡ δjix+j (mod I+) :

< x+j e−x+

i >=< x+j y−x+

i > + < x+j γ2(y

−− < y−y+y− >) x+i >,

donde < x+j y−x+

i >≡ δjix+j (mod I+) y

< x+j γ2(y

−− < y−y+y− >) x+i >≡ 0 (mod I+).

Por tanto, x+i ≡< e+x−i x+

i >≡< e+i e−i αix

+i x−i x+

i >= f+i (mod I+).

Para σ = −, se verifica que e− ≡ y−, entonces,

< x−i x+i e− >≡ x−i (mod I−) (3).

Utilizando (2) y (3)

x−i ≡< e−e+x−i >=< e− < f+e−e+ > x−i >≡< e−f+x−i >=

=n∑

j=1

< e−e+j e−j αjx

+j x−j x+

j x−i >≡< e−i αix+i x−i >≡

≡< e−i αix+i x−i x+

i e− >=< e−i e+i e− >= e−i = f−i (mod I−).


3.6 Pares asociativos de intercambio

Se ha mencionado con anterioridad que un anillo R con unidad tiene la

propiedad de elevacion de idempotentes si y solo si R es de intercambio. Lo

que se pretende en esta seccion es definir el concepto de par asociativo de

intercambio y estudiar la relacion entre este nuevo tipo de pares y los que

tienen la propiedad de elevacion de idempotentes. La propiedad de inter-

cambio se puede definir de forma similar a como se hace en la teorıa clasica

de anillos, a saber:

Sea A un par asociativo y M = (M+,M−) un A-modulo por la derecha.

Se dice que M tiene la propiedad de intercambio si para todo A-modulo N

y toda descomposicion

N = M ′ ⊕ P = ⊕i∈INi donde M ′ ∼= M

existen submodulos N ′i ⊂ Ni para cada i ∈ I tal que

N = M ′ ⊕ (⊕i∈IN′i).

Si esta condicion se satisface para I con cardinal finito, se dice que M

tiene la propiedad de intercambio finito. Una demostracion similar a la que se

tiene en teorıa de anillos, permite afirmar que si M es finitamente generado,

entonces M tiene la propiedad de intercambio finita si y solo si tiene la

propiedad de intercambio [36].

El siguiente teorema es una generalizacion a pares asociativos de otro

resultado de Nicholson ([15, teorema 2.1]). La demostracion es analoga a la

del citado resultado, por lo que no se considera necesario volver a repetirla.

Se denota por EndA M al anillo de los endomorfismos del A-modulo M ,

considerandose la composicion usual como operacion.

Teorema 3.6.1. Sea A un par asociativo y M un A-modulo. Las siguientes



i) El anillo EndAM tiene la propiedad de elevacion de idempotentes por

la izquierda.

ii) M tiene la propiedad finita de intercambio.

iii) El anillo EndAM tiene la propiedad de elevacion de idempotentes por

la derecha.

Se dice que un par asociativo A es de intercambio si los A-modulos

(A+, R11) y (R22, A−) tienen la propiedad de intercambio. Al ser dichos

modulos finitamente generados, esto es equivalente a tener la propiedad de

intercambio finito. Por el teorema 3.6.1, esta definicion es equivalente a que

los anillos EndA(A+, R11) y EndA(R22, A−) tengan la propiedad de elevacion

de idempotentes por la izquierda (derecha).

Proposicion 3.6.2. Para todo par asociativo A, se tiene que

R11∼= EndA(A+, R11) y R22

∼= EndA(R22, A−).

Demostracion.

Se define el siguiente homomorfismo de anillos

R11 −→ EndA(A+, R11)

α 7→ (ϕ+α , ϕ−α )

donde ϕ+α (a+) = αa+ para todo a+ ∈ A+ y ϕ−α (γ) = αγ para todo γ ∈ R11.

Si (ϕ+α , ϕ−α ) = (0, 0), para α ∈ R11, en particular, ϕ−α (Id) = α = 0.

Sea (f+, f−) ∈ EndA(A+, R11) y α = f−(Id). Para todo a+ ∈ A+ se tiene

f+(a+) = f+(Id · a+) = f−(Id)a+ = αa+

y tambien

f−(λId +∑

i

a+i a−i ) = λf−(Id) +

∑i

f+(a+i )a−i =

= λα +∑

i

αa+i a−i = α(λId +

∑i

a+i a−i ).


Corolario 3.6.3. Sea A un par asociativo. Las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) A es de intercambio.

ii) Los anillos R11 y R22 son de intercambio.

iii) UA es un anillo de intercambio.

Demostracion.

La equivalencia de i) y ii) se sigue de la proposicion 3.6.2 y el teorema 3.6.1.

La equivalencia entre ii) y iii) es conocida en teorıa de anillos ([15, corolario

2.6]).

Proposicion 3.6.4. Sea A un par asociativo. Si A es de intercambio

entonces A tiene la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda

(derecha). Si A es unitario, el recıproco tambien es cierto.

Demostracion.

Si A es de intercambio, UA es de intercambio y por tanto, segun el corolario

3.3.2, A satisface la propiedad de elevacion de idempotentes. Si A es unitario

y con la propiedad de elevacion de idempotentes por la izquierda, entonces

UA es de intercambio, por el corolario 3.3.6.

Capıtulo 4

Pares asociativos

semirregulares

4.1 Introduccion

En 1971, Oberst y Schneider [18] introducen el concepto de anillo

F -semiperfecto (F de finito) como una generalizacion de los anillos perfectos

por un lado y los anillos semiperfectos definidos por Bass [37]. Concreta-

mente, un anillo es F -semiperfecto si el cociente sobre su radical de Jacobson

es regular (en el sentido de von Neumann) y se elevan los idempotentes

modulo el radical. Mares [38] tambien generalizo el concepto de anillo per-

fecto y semiperfecto al contexto de modulos, de forma que un anillo R es

semiperfecto si y solo si RR es un modulo semiperfecto.

En esta misma lınea, Nicholson [19] define una clase de modulos semirre-

gulares, que contiene a los modulos semiperfectos y a los regulares estudiados

por Zelmanowitz [20]. Los resultados que obtiene se aplican al estudio de los

anillos que, vistos como modulos sobre sımismos, son semirregulares (a los

que llama anillos semirregulares) y prueba que estos son, precisamente, los

anillos F -semiperfectos.

Por otra parte, Azumaya tambien generaliza el concepto de anillo

109

CAPITULO 4. PARES ASOCIATIVOS SEMIRREGULARES 110

F-semiperfecto a modulos. En [39], se denomina F -semiperfecto a un modulo

P proyectivo no nulo tal que P/s(P ) tiene un recubrimiento proyectivo, para

todo s ∈ End(P ). Asimismo, se obtiene que un anillo R es F-semiperfecto,

visto como modulo sobre sı mismo, si y solo si R es F- semiperfecto (en el

sentido de Oberst y Schneider).

El punto de partida para el estudio de esta teorıa en pares asociativos es

definir lo que se entiende por elemento semirregular y se denominara semirre-

gular a un par cuyos elementos sean semirregulares.

En el teorema principal de este capıtulo, se prueba que un par es

semirregular si y solo si el cociente sobre su radical de Jacobson es

regular y se elevan los idempotentes modulo el radical, ası tambien se les

puede llamar F -semiperfectos. De hecho, se podrıa haber enfocado la defini-

cion partiendo de la de anillo F -semiperfecto, para despues llegar a la carac-

terizacion en terminos de elementos.

Una conexion entre la semirregularidad en anillos y en pares asociativos

se da en la proposicion 4.3.1. Como consecuencia, se obtiene bajo que condi-

ciones la envolvente de Loos de un par asociativo es semirregular.

Como corolario del teorema principal se deduce que todo par semiper-

fecto (y por tanto, todo artiniano) es semirregular. Se veran tambien otras

condiciones adicionales para que un par semirregular sea semiperfecto. Por

ejemplo, si A es semirregular con A/RadA unitario y noetheriano, se tiene

que A es semiperfecto.

4.2 Definicion y resultados basicos

En esta seccion se generaliza al contexto de pares asociativos la nocion

de anillo semirregular y algunas de sus propiedades. Se vera que la imagen

homorfica de un par semirregular es semirregular, los subespacios de Peirce

de un par semirregular, tambien lo son y una version del lema de McCoy

para elementos semirregulares.


Proposicion 4.2.1. Sea A = (A+, A−) un par asociativo, J = (J+, J−) su

radical de Jacobson y a+ ∈ A+. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) Existen u+ ∈ A+ y x− ∈ A− tales que u+ =< u+x−u+ >∈ a+R22 y

(Id− u+x−)a+ ∈ J+.

ii) Existe (e+, e−) un idempotente de A tal que e+ ∈ a+R22 y

(Id− e+e−)a+ ∈ J+.

iii) Existe (f+, f−) un idempotente de A tal que f+ ∈ R11a+ y

a+(Id− f−f+) ∈ J+.

iv) Existen u+ ∈ A+ y x− ∈ A− tales que u+ =< u+x−u+ >∈ R11a+ y

a+(Id− x−u+) ∈ J+.

v) Existe b+ ∈ A+ regular tal que a+ − b+ ∈ J+.

vi) Existe (g+, g−) un idempotente de A satisfaciendo: g+ =< a+g−a+ >,

g− =< g−a+g− > y a+ − g+ ∈ J+.

Demostracion.

i)⇒ ii). Sean u+ ∈ A+ y x− ∈ A− tales que u+ =< u+x−u+ >∈ a+R22

y (Id − u+x−)a+ ∈ J+. El elemento (e+, e−) = (u+, < x−u+x− >) es un

idempotente y

(Id− e+e−)a+ = (Id− u+x−u+x−)a+ = (Id− u+x−)a+ ∈ J+.

ii)⇒ iii). Dado (e+, e−) un idempotente de A tal que e+ = a+β, para β ∈ R22,

y (Id− e+e−)a+ ∈ J+, si se considera f− = βe− se tiene

< f−a+f− >=< βe−a+βe− >= βe− = f−.

Si f+ =< a+f−a+ > entonces (f+, f−) es idempotente, f+ ∈ R11a+ y

< a+f−f+ >=< e+e−a+ > luego a+(Id− f−f+) ∈ J+.


iii)⇒ iv). Trivial.

iv)⇒ v). Sean u+ y x− los elementos dados en iv). Como u+ = αa+, con

α ∈ R11, para b+ =< a+x−u+ >∈ R11a+, se satisface

< b+x−α b+ >=< a+x−u+x−α a+x−u+ >=

=< a+x− < u+x−u+x−u+ >>=< a+x−u+ >= b+

luego b+ es regular y a+ − b+ = a+(Id− x−u+) ∈ J+.

v)⇒ vi). En primer lugar, se va a comprobar que si b+ es un elemento regular

tal que a+ − b+ ∈ J+, se puede suponer b+ ∈ R11a+:

Si b+ =< b+x−b+ >, entonces

(Id− b+x−)a+ = a+ − b++ < b+x−b+ > − < b+x−a+ >=

= a+ − b++ < b+x−(b+ − a+) >∈ J+.

El operador b+x−−a+x− = (b+−a+)x− ∈ J+A− ⊂ RadR11 es casi inversible

luego existe α0 ∈ R11 tal que

(Id− b+x− + a+x−)α0 = Id es decir

a+x−α0 = Id− α0 + b+x−α0,

por tanto, b+x−a+x−α0 = b+x− lo que implica

< b+x−a+x−α0 b+x−a+ >=< b+x−a+ > .

El elemento < b+x−a+ >∈ R11a+ es regular y a+− < b+x−a+ >∈ J+.

Supongase b+ = αa+, para α ∈ R11, con a+ − b+ ∈ J+.

Tomando b− ∈ A− tal que (b+, b−) es idempotente, el elemento g− = b−α

satisface < g−a+g− >= g−. Para g+ =< a+g−a+ >=< a+b−b+ >, se verifica

que (g+, g−) es idempotente y

a+ − g+ = a+− < a+b−b+ >= a+ − b++ < b+b−b+ > − < a+b−b+ >=

= (a+ − b+)+ < (b+ − a+)b−b+ >∈ J+.


vi)⇒ i). Tomando (g+, g−) el idempotente dado en vi), se tiene

< g+g−a+ >=< g+g−a+g−a+ >= g+

luego a+− < g+g−a+ >∈ J+.

Dado A = (A+, A−) un par asociativo, se dice que un elemento a+ ∈ A+

es semirregular si satisface cualquiera de las condiciones de la proposicion

4.2.1 y a− ∈ A− es semirregular si lo es en el par opuesto (A−, A+). Se

dice que A es un par semirregular si todos los elementos de A+ y A− son

semirregulares.

De la definicion anterior se deduce de forma inmediata que todo par

asociativo (von Neumann) regular es semirregular. Ademas, un par aso-

ciativo es semiprimitivo y semirregular si y solo si es regular.

A continuacion se muestra con un ejemplo que en un par A, la semirre-

gularidad de Aσ no implica la de A−σ: sea S el subconjunto de las sucesiones

de numeros reales dado por

S = {(an)n∈N : existe j ∈ N tal que aj = aj+1 = · · · }

y R el ideal de S formado por las sucesiones con a lo sumo un numero finito

de terminos no nulos. El par asociativo A = (R,S) es semiprimitivo, puesto

que (an)n∈N ∈ Radσ A si y solo si an ∈ RadR = 0. Observese que A+ = R

es (von Neumann) regular pero A− = S no lo es, puesto que los elementos

de la forma (a1, a2, . . . , ak, a, a, . . . ) donde a 6= 0 no son regulares.

Proposicion 4.2.2. Si R es un anillo con unidad, R es semirregular si y

solo si el par asociativo (R, R) es semirregular.

Demostracion.

Se deduce de forma inmediata del hecho de que un elemento a ∈ R es regular

si y solo si es regular en el par asociativo (R,R) y de que Rad (R, R) =

= (Rad R,RadR).


Lema 4.2.3. Toda imagen homomorfica de un par asociativo semirregular

es semirregular.

Demostracion.

Sea (φ+, φ−) : (A+, A−) → (B+, B−) un epimorfismo de pares asociativos.

Para cada b+ = φ+(a+) ∈ B+ existe x+ ∈ A+ regular tal que a+ − x+ ∈Rad+ A. Entonces φ+(x+) es regular y

φ+(a+)− φ+(x+) = φ+(a+ − x+) ∈ φ+(Rad+ A) ⊂ Rad+ B.

Lema 4.2.4. Sea A un par asociativo y e un idempotente de A. Si A es

semirregular, entonces Aii(e) es semirregular para i ∈ {0, 1}.Demostracion.

Dado a+ ∈ A+ii(e) y (f+, f−) un idempotente de A verificando f+ =

=< a+f−a+ >, f− =< f−a+f− > con a+ − f+ ∈ Rad+ A, el elemento

f+ ∈ A+ii(e) satisface

< f+f−ii f+ >= f+ donde f−ii es la ii-componente de Peirce de f− y

a+ − f+ ∈ Rad+ A ∩ A+ii(e) = Rad+ Aii(e).

Todos los resultados que se exponen a continuacion, se satisfacen de forma

analoga para A−, sin mas que considerar el par opuesto.

Lema 4.2.5. En un par asociativo A, si a+ − b+ ∈ J+ y b+ es semirregular

entonces a+ es semirregular.

Demostracion.

Como b+ es semirregular, existe un elemento c+ regular tal que b+− c+ ∈ J+

luego

a+ − c+ = (a+ − b+) + (b+ − c+) ∈ J+.


El siguiente lema se puede ver como una version del lema de McCoy en

pares asociativos para elementos semirregulares.

Lema 4.2.6. Sea A un par asociativo y a+ ∈ A+. Si existe un idempotente

(e+, e−) ∈ A tal que e+ ∈ a+R22 y (Id − e+e−)a+ es semirregular entonces

a+ es semirregular.

Demostracion.

Se considera un idempotente (f+, f−) de A tal que

f+ ∈ (Id− e+e−)a+R22 y (Id− f+f−)(Id− e+e−)a+ ∈ J+.

Como < e+e−f+ >= 0, el operador (Id− f+f−)e+e− + f+f− = a+b−, para

b− ∈ A−, es un idempotente. Como consecuencia, < a+b−a+ >∈ a+R22 es

un elemento regular y se satisface

(Id− a+b−)a+ = (Id− f+f−)(Id− e+e−)a+ ∈ J+.

4.3 Semirregularidad de la envolvente

Utilizando los pares asociativos semirregulares se pueden caracterizar los

anillos unitarios que son semirregulares.

Proposicion 4.3.1. Sea R un anillo con unidad y e ∈ R un idempotente.

Entonces, R es semirregular si y solo si eRe, (1 − e)R(1 − e) son anillos

semirregulares y A = (eR(1−e), (1−e)Re) es un par asociativo semirregular.

Demostracion.

Si R es semirregular, dado a ∈ eR(1−e), por [19, proposicion 2.2 -(1)], existe

un idempotente f = ar, con r ∈ R, tal que (1 − f)a ∈ Rad R. Tomando

f+ = fa y f− = (1 − e)rfe, entonces (f+, f−) es un idempotente del par

A = (eR(1− e), (1− e)Re) satisfaciendo

a− f+f−a = a− fa ∈ Rad R ∩ eR(1− e) = Rad+A.


Analogamente, se prueba que todo elemento de (1 − e)Re es semirregular.

Los anillos eRe y (1− e)R(1− e) son semirregulares, por [19, corolario 2.3 ].

Recıprocamente, se considera x ∈ R y a− = (1 − e)xe. Entonces, existe un

idempotente (u+, u−) de A tal que

u− = a−γ y (Id− u−u+)a− = a− − u−u+a− ∈ Rad−A,

para γ ∈ R11. Utilizando que γu+ ∈ eR(1−e) se comprueba que f = xγu+ ∈xR es un idempotente de R con

(1− e)(1− f)xe = a− − u−u+a− ∈ RadR.

Por tanto, (1 − f)x − z ∈ RadR, siendo z = e(1 − f)xe + (1 − f)x(1 − e)

un elemento de R tal que (1− e)ze = 0. Si se prueba que z es semirregular,

aplicando [19, corolario 2.4], se obtiene que (1−f)x lo es. Por [19, lema 2.6],

se deduce que x es semirregular.

Se puede suponer entonces que x ∈ R satisface xe = exe ∈ eRe. Como eRe es

un anillo semirregular, por [19, proposicion 2.2-(1)], existe g un idempotente

de eRe tal que g ∈ exeRe ⊂ xeR y (e − g)exe ∈ Rad eRe ⊂ Rad R. Si se

denota por z = (1− g)x(1− e) se tiene

(1− g)x− z = (1− g)xe = (1− g)exe = (e− g)xe ∈ RadR

por lo que, siguiendo el mismo razonamiento que antes, se puede suponer

que x ∈ R satisface xe = 0. Dado ex ∈ eR(1 − e) = A+, por la proposicion

4.2.1-ii), existe (v+, v−) un idempotente de A tal que

v+ = exβ y (Id− v+v−)ex ∈ Rad+A,

para β ∈ R22. Entonces, w = xβv− es un idempotente de R con e(1−w)x =

= ex−v+v−ex ∈ Rad R luego (1−w)x−z ∈ Rad R, siendo z = (1−e)(1−w)x

un elemento semirregular ya que (1− e)R(1− e) es, por hipotesis, un anillo

semirregular. Aplicando [19, corolario 2.4 y lema 2.6], se concluye que x es

semirregular.


A diferencia de lo que ocurre para otros tipos de anillos, no es cierto que si

eRe y (1− e)R(1−e) son semirregulares, para un idempotente e de un anillo

R, el anillo R sea semirregular: se consideran S y R como en la pagina 113.

En el anillo T =

(S R

S S

), con la suma y el producto usual de matrices,

se toma el idempotente e =

(1 0

0 0

). Como eRe y (1 − e)R(1 − e) son

ambos isomorfos a S, que es regular, son semirregulares, sin embargo T no lo

es, pues en tal caso, por la proposicion 4.3.1, el par (R,S) serıa semirregular,

lo cual no es cierto como se vio en la pagina 113. Asimismo, si A11(e) y

A00(e) son pares semirregulares, para un idempotente e de un par asociativo

A, entonces A no tiene por que serlo (basta tomar el par asociativo (T, T )).

Corolario 4.3.2. Sea A un par asociativo y UA su envolvente de Loos.

Entonces, UA es semirregular si y solo si R11, R22 son semirregulares y A

es un par semirregular.

Demostracion.

Basta aplicar la proposicion anterior tomando como idempotente e1 ∈ UA o

bien e2.

Proposicion 4.3.3. Sea A un par asociativo unitario y semirregular.

Entonces, los anillos R11 y R22 son semirregulares.

Demostracion.

Si 1R11 =∑n

i=1 a+i a−i , entonces para todo α ∈ R11 se tiene

α =n∑

i=1

αa+i a−i .

Se razona por induccion sobre el numero de sumandos no nulos de la expresion

anterior:

Si solamente hay un sumando no nulo, es decir, α = αa+a− se considera un

idempotente (u+, u−) tal que

u+ ∈ αa+R22 y (Id− u+u−)αa+ ∈ J+.


Entonces el elemento u+u− ∈ αR11 es idempotente y

(Id− u+u−)α = (Id− u+u−)αa+a− ∈ J+A− ⊂ Rad R11,

por tanto α es semirregular (ver [19, proposicion 2.2 -(1) ]).

Supongase ahora que el resultado es cierto cuando el numero de sumandos

no nulos es menor o igual que j−1 y considerese (sin perdida de generalidad)

un elemento α ∈ R11 tal que

α =

j∑i=1

αa+i a−i donde todos los sumandos son no nulos.

Dado αa+1 ∈ A+ existe (u+, u−) un idempotente tal que u+ ∈ αa+

1 R22 y

(Id− u+u−)αa+1 ∈ J+.

El operador u+u− ∈ αR11 es idempotente y

(Id− u+u−)α = (Id− u+u−)αa+1 a−1 +

j∑i=2

(Id− u+u−)αa+i a−i

por consiguiente,

(Id− u+u−)α−j∑

i=2

(Id− u+u−)αa+i a−i ∈ J+A− ⊂ Rad R11

y como por la hipotesis de induccion∑j

i=2(Id−u+u−)αa+i a−i es semirregular,

aplicando [19, corolario 2.4] se obtiene que (Id − u+u−)α es semirregular lo

que implica que α es semirregular ([19, lema 2.6]).

De forma analoga se puede demostrar que R22 es semirregular.

Corolario 4.3.4. Sea A un par asociativo unitario. El par A es semirregular

si y solo si el anillo UA es semirregular.

Demostracion.

Es consecuencia inmediata del corolario 4.3.2 y la proposicion 4.3.3.


El resultado anterior no es cierto si se suprime la hipotesis de que A es

unitario. El mismo ejemplo dado en la pagina 97 sirve: cualquier par asocia-

tivo A sobre Z con producto cero, es un par radical, luego es semirregular,

mientras que su envolvente no lo es, pues Z no es semirregular.

Sea R un anillo e I un ideal de R. Entonces, R es regular si y solo si I

y R/I son regulares ([31, lema 1.3]). Esta caracterizacion no se tiene para

anillos semirregulares, como se muestra en el siguiente ejemplo. Se considera

el anillo

R =

{p

q∈ Q :

p

qes fraccion irreducible, q no es multiplo de 2 ni de 3

}.

R no es semirregular, pues no se satisface la propiedad de elevacion de idem-

potentes modulo el radical de Jacobson ([40, pagina 312]). Sin embargo,

R/Rad R es regular, por ser semiprimitivo artiniano, y tambien RadR es un

ideal semirregular.

Si se anade la hipotesis adicional de que se eleven idempotentes modulo

el ideal I, tampoco se puede asegurar que R sea semirregular. Se considera

el anillo T definido en la pagina 117, que no es semirregular, pero sı es de

intercambio, ya que tomando el idempotente e =

(1 0

0 0

), los anillos eTe ∼=

S y (1 − e)T (1 − e) ∼= S lo son. Se toma el ideal I =

(R R

R R

), que es

regular. Ademas, T/I ∼=(

S/R 0

S/R S/R

)es semirregular pues S/R lo es y el

par (0, S/R), con producto cero es semirregular (aplicar proposicion 4.3.1).

4.4 Cuestiones previas sobre modulos

Sea A un par asociativo y M = (M+,M−) un A-modulo por la derecha.

Se dice que un A-submodulo N = (N+, N−) de M es superfluo y se denota


por◦

N ↪→ M si para cualquier otro submodulo (L+, L−) de M tal que

Nσ + Lσ = Mσ para todo σ ∈ {+,−}

se tiene Lσ = Mσ para todo σ ∈ {+,−}. De la definicion se puede deducir

facilmente el siguiente resultado:

Lema 4.4.1. Para un A-modulo por la derecha M = (M+,M−), se tiene:

i) Si N es un submodulo superfluo de M , cualquier submodulo de N es

tambien superfluo.

ii) Si M contiene submodulos maximales y mσ ∈ Mσ, entonces < mσ > es

superfluo si y solo si mσ ∈ Nσ para todo submodulo maximal (N+, N−)

de M .

Corolario 4.4.2. Sea M = (M+,M−) un A-modulo por la derecha.

i) Si M contiene submodulos maximales,⋂

B↪→MB maximal

B =∑

N◦

↪→M

N.

ii) Si M no contiene submodulos maximales,

M =∑

N◦

↪→M

N.

En esta seccion, se van a establecer ciertos resultados que se satisfacen en

el A-modulo (A+, R11). De manera analoga se pueden obtener las correspon-

dientes versiones para (R22, A−). Unicamente se enunciaran y demostraran

para el primer caso.

Lema 4.4.3. Si M es un UA-modulo por la derecha cuyo radical, que se

denota por Rad M, es un submodulo propio, se tiene que

((Rad M)e2, (Rad M)e1) =⋂

B↪→(Me2,Me1)

B maximal

B.


Demostracion.

Se sigue del hecho de que un submodulo (B+, B−) de (Me2,Me1) es

maximal si y solo si (B+, B−) = (Le2, Le1) donde L es un submodulo

maximal de M.

Si se aplica el lema anterior al UA-modulo e1UA = R11 ⊕ A+, como

Rad (e1UA) = e1Rad UA = Rad R11 ⊕ J+, se obtiene

(J+, Rad R11) =⋂

B↪→(A+,R11)

B maximal

B.

Por el corolario 4.4.2, se tiene ademas

(J+, Rad R11) =∑

N◦

↪→(A+,R11)

N.

Por definicion, si (I+, U) es un A-submodulo de (A+, R11) entonces

I+A− ⊂ U y UA+ ⊂ I+ por tanto, < I+A−A+ >= (I+A−)A+ ⊂ I+, es

decir, I+ es un ideal por la derecha de A+, y UA+A− ⊂ U lo que implica

que U es un ideal por la derecha de R11.

Este hecho va a permitir utilizar las propiedades del anillo unitario R11

para obtener resultados sobre el A-modulo (A+, R11). Por ejemplo:

Lema 4.4.4. Dado A un par asociativo se satisface

i) (J+, Rad R11) es un submodulo superfluo de (A+, R11).

ii) (I+, U) es un A-submodulo que es sumando directo de (A+, R11) si y

solo si existe un idempotente α ∈ R11 tal que (I+, U) = (αA+, αR11).

Demostracion.

i). Supongase que existe un A-submodulo (L+, U) tal que

(L+, U) + (J+, Rad R11) = (A+, R11).


En particular, U + Rad R11 = R11 y como Rad R11 es un R11-submodulo

superfluo de R11, se tiene U = R11. Esto implica

A+ = R11A+ = UA+ ⊂ L+ luego (L+, U) = (A+, R11).

ii). Para todo idempotente α ∈ R11, se tiene

(A+, R11) = (αA+, αR11)⊕ ((Id− α)A+, (Id− α)R11).

Recıprocamente, si (A+, R11) = (I+, U)⊕(L+, V ), en particular, R11 = U⊕V

luego existe un idempotente α ∈ R11 tal que

U = αR11 y V = (Id− α)R11.

Es inmediato que αA+ ⊂ I+ y dado y+ ∈ I+ se tiene

y+ − αy+ = (Id− α)y+ ∈ I+ ∩ L+ = 0

luego y+ = αy+ ∈ αA+.

Sea M = (M+,M−) un A-modulo y N un A-submodulo. Se dice que N

posee complemento en M si existe L un A-submodulo de M tal que

L + N = M y L ∩N es un submodulo superfluo de L.

A L se le llama complemento de N en M.

Observese que cuando L + N = M y L0 es un submodulo de L se

tiene (L ∩ N) + L0 = L si y solo si L0 + N = M. Como consecuencia,

L es complemento de N cuando L + N = M y para cualquier submodulo

propio L0 de L se tiene L0 + N 6= M .

Se dice que N se apoya en un sumando directo P de M si M = P ⊕ Q

donde P ⊆ N y N ∩Q es un submodulo superfluo de M.


4.5 Caracterizacion de pares semirregulares

La nocion de anillo F -semiperfecto se extiende de manera natural al

contexto de pares asociativos. Sea A un par asociativo y J su radical de

Jacobson. Se dira que A es F -semiperfecto si A/J es (von Neumann) regular

y los idempotentes se elevan modulo J .

Teorema 4.5.1. Para un par asociativo A, las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) A es semirregular.

ii) A es F -semiperfecto.

iii) Para todo (a+, a−) ∈ A, los A-submodulos < a+ > y < a− > se apoyan

en sumandos directos de (A+, R11) y (R22, A−) respectivamente.

iv) Para todo (a+, a−) ∈ A, los A-submodulos < a+ > y < a− > tienen

complementos en (A+, R11) y (R22, A−) respectivamente, que son

sumandos directos.

Demostracion.

i)⇒ ii). Si A es semirregular, es claro que A es regular. Sea (a+, a−) un

idempotente modulo J y (f+, f−) un idempotente de A tal que

f+ =< a+a−a+ > β y a+ ≡< a+a−a+ >≡ f+ (mod J+),

para β ∈ R22. Entonces, (< a+βf−a+ >,< a−a+βf−a+a− >) es un idempo-

tente de A tal que

< a+βf−a+ >≡< f+f−f+ >≡ a+ (mod J+) y

< a−a+βf−a+a− >≡< a−f+f−f+a− >≡< a−a+a− >≡ a− (mod J−).

ii)⇒ i). Dado a+ ∈ A+, como a+ ∈ A+ es regular, existe a− ∈ A− tal que

(a+, a−) es idempotente. Entonces, existe un idempotente (e+, e−) de A tal


que eσ ≡ aσ (mod Jσ). El elemento e+ ∈ A+ es regular y a+ − e+ ∈ J+.

i)⇒ iii). Dado a+ ∈ A+, se considera un idempotente (e+, e−) de A tal que

e+ ∈ a+R22 y (Id− e+e−)a+ = y+ ∈ J+. Se tiene entonces

(A+, R11) = (< e+e−A+ >, e+e−R11)⊕ ((Id− e+e−)A+, (Id− e+e−)R11)

donde (< e+e−A+ >, e+e−R11) ⊂< a+ > y ademas

< a+ > ∩ < Id− e+e− >⊂ (J+, Rad R11)

En efecto: si (Id− e+e−)x+ ∈ a+R22, para x+ ∈ A+, existe β ∈ R22 tal que

(Id− e+e−)x+ =< e+e−a+β > +y+β, entonces

< e+e−a+β >= − < e+e−y+β >∈ J+.

Analogamente se comprueba que a+A− ∩ (Id− e+e−)R11 ⊂ Rad R11. Como

(J+, Rad R11) es un submodulo superfluo, por el lema 4.4.1, se obtiene que

< a+ > ∩ < Id− e+e− > es un submodulo superfluo de (A+, R11).

iii)⇒ iv). Si < a+ > se apoya en el sumando directo (I+, U), entonces

(A+, R11) = (I+, U)⊕ (L+, V )

donde (I+, U) ⊂< a+ > y (L+, V )∩ < a+ > es un submodulo superfluo. En

particular, (A+, R11) =< a+ > +(L+, V ). Supongase (L+, V ) = (L+0 , V0) +

+((L+, V )∩ < a+ >). En tal caso,

(A+, R11) = (I+, U)⊕ ((L+0 , V0) + ((L+, V )∩ < a+ >))

lo cual implica

(A+, R11) = (I+, U)⊕ (L+0 , V0)

por ser (L+, V )∩ < a+ > submodulo superfluo de (A+, R11). Entonces,

(L+0 , V0) = (L+, V ). Con esto se ha obtenido que (L+, V )∩ < a+ > es un

submodulo superfluo de (L+, V ). Por lo tanto, (L+, V ) es complemento de

< a+ >.


iv)⇒ i). Dado a+ ∈ A+, sea (I+, U) el sumando directo de (A+, R11) que es

complemento de < a+ > . Como R11 = a+A− + U y ademas U es sumando

directo del anillo R11, por [19, lema 1.16] existe un ideal por la derecha

V ⊂ a+A− tal que R11 = V ⊕ U . Entonces, Id = α + γ donde α ∈ V es

idempotente y γ ∈ U . Si α = a+b−, para b− ∈ A−, es inmediato comprobar

que αa+ es un elemento regular y ademas satisface

a+ − αa+ = γa+ ∈ a+R22 ∩ I+.

Como < a+ > ∩ (I+, U) es un submodulo superfluo, esta contenido en

(J+, Rad R11), es decir a+ − αa+ ∈ J+.

Lema 4.5.2. Sea A = (A+, A−) un par asociativo, J = (J+, J−) su radical

de Jacobson y a+ ∈ A+. Si existen dos idempotentes (e+, e−) y (f+, f−) de

A tales que

e+ ∈ a+R22 con (Id− e+e−)a+ ∈ J+ y

f+ ∈ a+R22 con (Id− f+f−)a+ ∈ J+

entonces los A-modulos eA y fA son isomorfos.

Demostracion.

Sean e y f los idempotentes anteriores. Es claro que

< e+e−A+ > +J+ = a+R22 + J+ =< f+f−A+ > +J+

Esto implica < e+ e− A+ >=< f+ f− A+ >, donde A denota el par A/J . El

homomorfismo de A-modulos dado por

(< e+ e− A+ >, < e− e+ A− >) −→ (< f+ f− A+ >, < f− f+ A− >)

(x+, x−) 7→ (x+, < f− e+ x−)

es biyectivo. Aplicando [32, proposicion 9 ], se obtiene eA ∼= fA.

Corolario 4.5.3. Si A = (A+, A−) es un par asociativo semirregular, para

cada aσ ∈ Aσ, el A-submodulo < aσ > se apoya en un sumando directo que

es unico, salvo isomorfismos, para todo σ ∈ {+,−}.


Demostracion.

Si < a+ > se apoya en el sumando directo (αA+, αR11), siendo α un idem-

potente de R11 (ver 4.4.4-ii)), como αR11 ⊂ a+A−, existe b− ∈ A− tal que

α = a+b−. Entonces, (e+, e−) = (αa+, b−α) es un idempotente de A tal que

e+ ∈ a+R22 y

(Id− e+e−)a+ = (Id− α)a+ ∈ a+R22 ∩ (Id− α)A+.

Como (a+R22, a+A−)∩ ((Id−α)A+, (Id−α)R11) es submodulo superfluo de

(A+, R11), se tiene a+R22∩ (Id−α)A+ ⊂ J+, lo que implica (Id−e+e−)a+ ∈J+. Ademas (αA+, αR11) = (< e+e−A+ >, e+e−R11), por tanto (αA+, αR11)

es isomorfo al modulo eA (vease pagina 20). Aplicando el lema 4.5.2, se

deduce la unicidad del sumando directo (salvo isomorfismos).

Se definen a continuacion en pares asociativos, algunos de los conceptos

de la seccion 4.4. Se dice que un ideal por la derecha Iσ de Aσ es superfluo

si Iσ + Lσ = Aσ, para Lσ un ideal por la derecha de Aσ, implica Lσ = Aσ.

Analogamente se define complemento de un ideal por la derecha de Aσ y la

nocion de ideal por la derecha que se apoya en un sumando directo.

Lema 4.5.4. Sea (A+, A−) un par asociativo unitario e I+ un ideal por la

derecha de A+. Entonces, se satisface

i) I+ es superfluo si y solo si (I+, I+A−) es un submodulo superfluo de

(A+, R11),

ii) L+ es complemento de I+ si y solo si (L+, L+A−) es complemento de

(I+, I+A−),

iii) I+ se apoya en el sumando directo P+ si y solo si (I+, I+A−) se apoya

en (P+, P+A−).

Demostracion.

i) y ii). Basta con recordar que si A es unitario, todo submodulo de (A+, R11)


es de la forma (L+, L+A−), para L+ un ideal por la derecha de A+ (vease

pagina 70).

iii). Es facil comprobar que si P+, Q+ son dos ideales por la derecha de A+,

entonces (P+∩Q+)A− = P+A−∩Q+A−, lo que implica que P+ es sumando

directo de A+ si y solo si (P+, P+A−) es sumando directo de (A+, R11).

Aplıquese ahora el apartado i).

De forma similar, se puede enunciar un lema para ideales por la derecha

de A− y submodulos de (R22, A−). Como consecuencia se obtiene la siguiente

version del teorema 4.5.1.

Teorema 4.5.5. Sea A un par asociativo unitario. Las siguientes condi-

ciones son equivalentes:

i) A es semirregular.

ii) Para todo (a+, a−) ∈ A, los ideales por la derecha < a+A−A+ > y

< a−A+A− > se apoyan sobre sumandos directos de A+ y A− respec-

tivamente.

iv) Para todo (a+, a−) ∈ A, los ideales por la derecha < a+A−A+ > y

< a−A+A− > tienen complementos en A+ y A− respectivamente, que

son sumandos directos.

Se dice que un idempotente de un par asociativo es primitivo si no se

puede expresar como suma de dos idempotentes ortogonales no nulos.

Proposicion 4.5.6. En un par asociativo semirregular todo idempotente

primitivo es local.

Demostracion.

Sea A = (A+, A−) un par asociativo semiregular y (e+, e−) un idempotente

primitivo de A. Considerese a+ ∈< e+A−e+ > tal que a+ /∈ Rad+ A. Apli-

cando 4.2.1 existe un idempotente f = (f+, f−) de A cumpliendo

f+ ∈ a+R22 y (Id− f+f−)a+ ∈ Rad+ A.


Observese que f+ es no nulo, puesto que a+ /∈ Rad+ A, y ademas f+ =

=< e+e−f+ >. El elemento α = f+f−e+e− ∈ R11 es un idempotente que

satisface

f+f−α = α y αe+e− = α.

Esto implica que (αe+, e−α) y (e+ − αe+, e− − e−α) son idempotentes

ortogonales de A11(e) cuya suma es e, por tanto

(αe+, e−α) = (0, 0) o (αe+, e−α) = (e+, e−).

Suponer αe+ = 0 lleva a α = αe+e− = 0 por lo tanto

f+ =< f+f−f+ >=< f+f− < e+e−f+ >>= αf+ = 0

lo cual es una contradiccion. Entonces αe+ = e+ y e−α = e−. Por otro lado,

si se considera g = (g+, g−) otro idempotente de A tal que g+ ∈ R11a+ y

a+(Id− g−g+) ∈ Rad+ A, razonando de forma analoga se obtiene e+ = e+β

para β = e−e+g−g+ ∈ R22. Como consecuencia, e+ = αe+β ∈< a+A−a+ >

luego P (e+) = P (a+)P (z−)P (a+) para algun z− ∈ A−. Esto implica que

P (a+) induce un epimorfismo sobre eAe y por tanto P (a+) tambien lo in-

duce sobre eAe. Haciendo un razonamiento analogo para un elemento a− ∈< e−A+e− > tal que a− /∈ Rad− A, se obtiene que e es local.

Los pares asociativos semiperfectos han sido ampliamente estudiados en

[33] y [32]. Del teorema anterior se deduce que todo par semiperfecto es semi-

rregular. Esto sugiere preguntarse cuando un par semirregular es semiper-

fecto. La siguiente proposicion se obtiene de [32, Main Theorem] y 4.5.6.

Proposicion 4.5.7. Sea A un par asociativo con radical de Jacobson J y

A = A/J . Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) A es semiperfecto.

ii) A es semirregular, A es unitario, no existen conjuntos infinitos de

idempotentes ortogonales y existe un idempotente completo.


iii) A es semirregular, A es unitario y existe un idempotente completo que

es suma de idempotentes ortogonales y primitivos.

Otra forma de caracterizar los pares semirregulares que son semiperfectos

es la siguiente:

Proposicion 4.5.8. Un par asociativo A es semiperfecto si y solo si A es

semirregular, con A unitario y noetheriano.

Demostracion.

Si A es semirregular, A es regular. Si ademas es unitario y noetheriano, por

el corolario 2.5.6, se tiene que A es artiniano.

El recıproco es trivial.

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