contraste de hipÓtesis · compuesta: si la hipótesis asigna un rango de valores a los parámetros...
TRANSCRIPT
1
CONTRASTE DE HIPÓTESIS
HAMLET MATA MATA
Un Contraste o Test de Hipótesis es una técnica de Inferencia Estadística que permite comprobar
si la información que proporciona una muestra observada concuerda (o no) con la hipótesis estadística
formulada sobre el modelo de probabilidad en estudio y, por tanto, se puede aceptar (o no) la hipótesis
formulada. Llamaremos hipótesis estadística a una afirmación respecto a una característica de una
población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones que se deducen de ella con la
realidad que observamos: si hay coincidencia, dentro del margen de error admisible, mantendremos la hipótesis; en caso contrario, la rechazaremos. La hipótesis estadística puede ser:
Paramétrica: es una afirmación sobre los valores de los parámetros poblacionales desconocidos. Las
hipótesis paramétricas se clasifican en:
Simple: si la hipótesis asigna valores únicos a los parámetros
Compuesta: si la hipótesis asigna un rango de valores a los parámetros poblacionales desconocidos
No Paramétrica: es una afirmación sobre alguna característica estadística de la población en estudio.
Por ejemplo, las observaciones son independientes, la distribución de la variable en estudio es normal,
la distribución es simétrica.
La hipótesis que se contrasta se denomina hipótesis nula y, normalmente, se denota por H0. Si se
rechaza la hipótesis nula es porque se asume como correcta una hipótesis complementaria que se
denomina hipótesis alternativa y se denota por H1 o Ha.
Rechazar una hipótesis implica sustituirla por otra capaz de explicar los datos observados.
Las siguientes afirmaciones son hipótesis estadísticas:
1. El tabaco produce cáncer de pulmón.
2. Disminuir la grasa en las comidas evita los infartos.
3. Las mujeres son más disciplinadas que los hombres.
Estas tres hipótesis no se refieren a individuos particulares, sino al conjunto de elementos de una o
varias poblaciones. En estos ejemplos vemos que el contraste de hipótesis requiere, como pasos
previos:
1. Especificar la población de interés
2. Definir la variable a que nos referimos y como medirla.
3. Relacionar la hipótesis con los parámetros de la o las poblaciones.
HIPÓTESIS
"La imaginación, impaciente por remontarse a las causas, se complace en crear hipótesis y a menudo
deforma los hechos para plegarlos a su labor: en tales casos, las hipótesis son peligrosas. Pero cuando
sólo se las considera como medios para conectar entre sí los fenómenos a fin de descubrir sus leyes,
cuando, procurando no atribuirles realidad, se las rectifica continuamente con ayuda de nuevas
observaciones, entonces pueden llevarnos a las causas verdaderas o, por lo menos, ponernos en
condiciones de inferir de los fenómenos observados aquellos que, dadas las circunstancias, han
debido originarlos". Pierre Simon de Laplac Ensayo filosófico sobre las probabilidades
(de las diversas formas de acercarse a la certeza) 1795 .
2
Es interesante tener en cuenta que la veracidad de una hipótesis no puede ser probada nunca
Lo que se puede hacer es afirmar que tiene tal o cual probabilidad de ser falsa
Si esa probabilidad es muy alta (95% o 99%) por ejemplo, se concluye que la hipótesis es poco creíble
y se califica provisoriamente como falsa. Si no se consigue "falsar" (rechazar) la hipótesis, se acepta
provisionalmente como verdadera. Esta calidad de provisorias de las conclusiones estadísticas no
debería sorprender a nadie: toda la ciencia es un constructo provisorio. La verificación de hipótesis es
el proceso que lleva a juzgar la credibilidad de afirmaciones (hipótesis) relativas a las poblaciones
(habitualmente a sus parámetros) de las que fueron extraídas las muestras.
Ejemplificando
La Hipótesis nula puede ser: un parámetro que tiene un valor k y la Hipótesis alternativa será su
negación. Es decir:
Si se toma una muestra y en ella se calcula un estadístico
cuya distribución en el muestreo en el
caso de que Ho sea verdadera se conoce, se puede determinar qué Probabilidad (P) hay de que si el
verdadero valor del parámetro es k se obtenga un valor observado del estadístico
, tan alejado (o
más) de k. Ver grafica siguiente:
Si P es muy baja la probabilidad de que la muestra no pertenezca a una población con k es muy
alta, por lo tanto se rechaza Ho. Consecuentemente se acepta H1.
3
Las hipótesis estadísticas más habituales pueden clasificarse en dos grupos, según que:
1. Especifiquen un valor concreto o un intervalo para un parámetro de la distribución
de una variable.
2. Establezcan la igualdad de algún parámetro en las distribuciones de una variable en
dos o más poblaciones.
Un ejemplo del primer tipo es establecer que el tiempo medio diario invertido en bañarse por los
estudiantes de una universidad es de 15 minutos. Del segundo tipo, que el tiempo medio invertido es el
mismo para los estudiantes de mañana y de la tarde.
Aunque la metodología para realizar el contraste es análoga en ambos casos, es importante distinguir
entre ellos porque:
1. El contraste de una hipótesis respecto a un parámetro está muy relacionado con la
construcción de intervalos de confianza, y tiene frecuentemente una respuesta
satisfactoria en términos de estimación.
2. La comparación de dos o más poblaciones requiere en general un diseño
experimental que asegure la homogeneidad de las comparaciones.
Una hipótesis es una afirmación acerca de algo. En estadística, puede ser una suposición acerca del
valor de un parámetro desconocido. Una hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna
característica de una población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones con la
realidad que observamos. Si dentro del margen de error que nos permitimos admitir, hay coincidencia,
aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazaremos.
La prueba de hipótesis comienza con una suposición, llamada hipótesis, que hacemos con respecto a un
parámetro de población. Después recolectamos datos de muestra, producimos estadísticos de muestra y
usamos esta información para decidir qué tan probable es que sea correcto nuestro parámetro de
población acerca del cual hicimos la hipótesis. Debemos establecer el valor supuesto o hipotetizado del
parámetro de población antes de comenzar a tomar la muestra. La suposición que deseamos probar se
conoce como hipótesis nula, y se simboliza H0. Siempre que rechazamos la hipótesis, la conclusión que
sí aceptamos se llama hipótesis alternativa y se simboliza H1.
La hipótesis emitida se suele designar por H0 y se llama Hipótesis nula porque parte del
supuesto que la diferencia entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético es
debida al azar, es decir no hay diferencia.
La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama Hipótesis alternativa.
Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según
establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto estamos ante una hipótesis
unilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor) estamos ante uno bilateral.
Pasos a seguir en una prueba de hipótesis:
Se trata, de extraer conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, que permitan aceptar
o rechazar una hipótesis previamente emitida, sobre el valor de un parámetro desconocido de la
población. El método que seguiremos es el siguiente:
1. Definir la hipótesis nula: suponer una hipótesis acerca de una población. Se determina si
es una prueba de una o dos cola.
2. Formular una hipótesis alternativa: es una contra-hipótesis.
3. Elegir un nivel de significación y construir la zona de aceptación, intervalo fuera del
cual sólo se encuentran el 100% de los casos más raros. A la zona de rechazo la
llamaremos Región Crítica, y su área es el nivel de significación o aceptación.
4. Verificar la hipótesis extrayendo una muestra cuyo tamaño se ha decidido en el paso
anterior y obteniendo de ella el correspondiente estadístico (media o proporción en
nuestro caso). Decida que distribución (t o z) es la más apropiada y encuentre los valores
críticos adecuados para el nivel de significancia escogido de la tabla adecuada.
5. Recabar datos de la muestra.
4
6. Calcule el error estándar del estadístico de la muestra y utilice el error estándar para
convertir el valor observado del estadístico de la muestra a un valor estandarizado.
Determine si el valor calculado en la muestra cae dentro de la zona de aceptación de ser
así se acepta la hipótesis y si no se rechaza.
7. Utilice el estadístico de la muestra para evaluar la hipótesis.
Aquí nos vamos a limitar a estudiar hipótesis sobre la media y sobre la proporción en una población.
En cada caso se trabaja con un contraste bilateral o unilateral. Los contrastes unilaterales son de distinta
dirección en cada ejemplo, pero el método a seguir es análogo para ambos.
Hipótesis nula y alternativa
Llamaremos hipótesis nula, y la representaremos por H0, a la hipótesis que se desea contrastar. La
hipótesis nula es en general un supuesto simple que permite hacer predicciones sin ambigüedad. La
hipótesis alternativa (H1 o H0) da una suposición opuesta a aquella presentada en la hipótesis nula. El
experimento se lleva a cabo para conocer si la hipótesis alternativa puede ser sustentada.
El nombre de nula (H0) representa la hipótesis que mantendremos a no ser que los datos indiquen su
falsedad. “Nula” debe entenderse en el sentido de “neutra“. La hipótesis H0 nunca se considera
probada, aunque puede ser rechazada por los datos. Por ejemplo, la hipótesis de que todos los
elementos de una población tienen el mismo valor de una variable puede ser rechazada encontrando un
elemento que no lo contenga, pero no puede ser “demostrada” más que estudiando todos los elementos
de la población, tarea que puede ser imposible. De igual manera, la hipótesis de que la media de una
población es diez puede ser rechazada fácilmente si la media verdadera está muy lejos de diez
analizando una muestra suficientemente grande. Sin embargo, no puede ser “demostrada” mediante
muestreo, ya que es posible que la media difiera de diez en un valor pequeño imperceptible en el
muestreo). Por esta razón no afirmamos que aceptamos H0, sino que no podemos rechazarla.
La hipótesis H0 se elige normalmente de acuerdo con el principio de simplicidad científica. Este
principio establece que solamente debemos abandonar un modelo simple a favor de otro más complejo
cuando la evidencia a favor de este último sea fuerte. Si rechazamos H0, estamos implícitamente
aceptando la hipótesis alternativa, H1, que puede ser simplemente la negación de H1. En algunos casos
queremos decidir entre dos hipótesis simples y H1 está perfectamente determinada. Desconocemos
antes de realizar el contraste en que dirección puede ser falsa H0. Entonces H1 es simplemente la
negación de 00 : H . Decimos entonces que el contraste es bilateral. Conocemos la dirección en
que H0 puede ser falsa. Es decir, si H0 es falsa, en ese caso forzosamente 0 (o bien 0 ). Por
ejemplo, se introduce una medida en una población que, si tiene efectos, puede mejorar una variable
pero es imposible que pueda empeorarla. Tenemos entonces un contraste unilateral.
Al realizar una prueba de hipótesis, se parte de de un valor supuesto (hipotético) de un parámetro
poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara el estadístico muestral, así como
la media )( X , con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional )( .
Después, se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético solo
si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Se acepta la hipótesis
alternativa H1 solo si se rechaza la hipótesis nula.
Los tests ( o pruebas) asociados con las hipótesis pueden ser uni o bi laterales, según las hipótesis planteadas
5
Estadístico de la prueba
Los datos se deben sintetiza en un estadístico de la prueba. Dicho estadístico se calcula para ver si es
razonablemente compatible con la hipótesis nula. Cuando se prueba una proporción el estadístico de la
prueba es muy simple: se cuenta el número de éxitos en la muestra para encontrar el estadístico.
En las pruebas de hipótesis es necesario trazar una línea entre los valores del estadístico de la prueba
que son relativamente probables dada la hipótesis nula y los valores que no lo son. ¿En qué valor del
estadístico de la prueba comenzamos a decir que los datos apoyan a la hipótesis alternativa? Para
contestar a esta pregunta se requiere conocer la distribución muestral del estadístico de la prueba. Los
valores del estadístico de la prueba que son sumamente improbables bajo la hipótesis nula (tal como los
determina la distribución muestral) forman una región de rechazo para la prueba estadística.
Nivel de significación
Para realizar un contraste de hipótesis se define normalmente una medida de discrepancia, entre los
datos muestrales y la hipótesis nula H0. Intuitivamente la discrepancia debe depender de la diferencia
entre el valor del parámetro especificado por H0 y el valor del estimador calculado en la muestra. Para
obtener una medida de discrepancia que no dependa de las unidades de medida de la variable podemos
dividir esta diferencia por su valor promedio, que es el error típico de estimación del parámetro. Por
tanto, la medida de discrepancia más habitual es:
es itmación de coerror típi
parámetroes timadoriadiscrepanc
Hay que decidir que discrepancias consideramos inadmisibles bajo H0, es decir, cual es la máxima
diferencia entre el estimador y el parámetro que estamos dispuestos a considerar compatible con H0.
Esta decisión depende de:
La distribución de la medida de discrepancia cuando es cierta H0. Como veremos, la
medida de discrepancia tiene generalmente una distribución normal, de media cero y
desviación típica uno, cuando H0 es cierta.
Que el contraste sea unilateral o bilateral. Para contrastes unilaterales interesan las
discrepancias en una dirección, mientras que para los bilaterales interesan en ambas.
Interpretación del nivel de significancia.
El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico de la muestra,
sino hacer un juicio respecto a la diferencia entre ese estadístico de muestra y un parámetro de
población hipotetizado. El siguiente paso después de establecer la hipótesis nula y alternativa consiste
en decidir qué criterio utilizar para decidir si aceptar o rechazar la hipótesis nula. Si suponemos que la
hipótesis es correcta, entonces el nivel de significancia indicará el porcentaje de medias de muestra que
está fuera de ciertos límites. Siempre que afirmemos que aceptamos la hipótesis nula, en realidad lo que
queremos decir es que no hay suficiente evidencia estadística para rechazarla. El empleo del
término aceptar, en lugar de rechazar, se ha vuelto de uso común. Significa simplemente que cuando
los datos de la muestra n hacen que rechacemos una hipótesis nula, nos comportamos como si fuera
cierta.
Selección del nivel de significancia.
Nuestra elección del estándar mínimo para una probabilidad aceptable, o el nivel de significancia, es
también el riesgo que asumimos al rechazar una hipótesis nula cuando es cierta. Mientras más alto sea
el nivel de significancia que utilizamos para probar una hipótesis, mayor será la probabilidad de
rechazar una hipótesis nula cuando es cierta.
Error Tipos I y II en un Contraste de Hipótesis
Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, cometemos un error de tipo I, mientras que
si la aceptamos debiendo ser rechazada diremos que hemos cometido un error de tipo II. Minimizar
los errores no es una cuestión sencilla, un tipo suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir
uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el
tamaño de la muestra.
6
La probabilidad de cometer un error de tipo I es el nivel de significación , la probabilidad de
cometer un error de tipo II depende del verdadero valor de µ y del tamaño de la muestra.
Comprueba que la probabilidad de cometer un error de tipo II disminuye al aumentar el tamaño
de la muestra (n). Comprueba también lo que ocurre al variar la diferencia entre la media
hipotética de la población (µo) y la verdadera (µ).
El rechazo de una hipótesis nula cuando es cierta se denomina error de tipo I, y su probabilidad (que es
también el nivel de significancia) se simboliza como .
El hecho de que P sea muy bajo no califica el acontecimiento como imposible. Simplemente que tiene
poca probabilidad de ocurrir al azar. A la probabilidad de cometer error tipo I se la denomina nivel
de significación Habitualmente el investigador fija a priori el nivel de significación crítico para
rechazar Ho (). Si P es menor que , se rechaza. En caso contrario, se acepta Ho.
El hecho de aceptar una hipótesis nula cuando es falsa se denomina error de tipo II, y su probabilidad
se simboliza como . La probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse sólo si deseamos
incrementar la probabilidad de cometer el otro tipo de error. Con el propósito de obtener una baja,
tendremos que tolerar una alta. Los responsables de la toma de decisiones deciden el nivel de
significancia adecuado, al examinar los costos o desventajas vinculadas con ambos tipos de errores.
En realidad, puede asumir infinitos valores distintos de k. Si el verdadero valor de no dista
excesivamente del postulado en Ho, es posible aceptar ésta siendo falsa:
Como el valor observado
cae en el área de aceptación de Ho, no se rechaza la hipótesis. Sin embargo
el valor verdadero del parámetro es distinto de k. La probabilidad de cometer un error de tipo II
es . Al valor (1-) se le llama potencia de un test. El valor depende de y del valor alternativo que
se ponga para Cuanto menor sea , mayor será .La única forma de disminuir ambos errores, es
aumentar el tamaño de la muestra (n).
Las hipótesis nula y alternativa son aseveraciones sobre la población que compiten entre sí. O la
hipótesis nula H0 es verdadera, o lo es la hipótesis alternativa H1, pero no ambas. En el caso ideal, el
procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de H0 cuando sea verdadera y al
rechazo de H0 cuando H1 sea verdadera. Desafortunadamente no siempre son posibles las conclusiones
correctas. Como las pruebas de hipótesis se basan en información de muestra, debemos considerar la
posibilidad de errores.
7
Situaciones posibles en un contraste de hipótesis
Condición de la población
H0 verdadera H1 verdadera
Aceptar H0 Conclusión correcta Error de tipo II
Rechazar H0 Error de tipo I Conclusión correcta
Esta tabla muestra los dos tipos de errores que se pueden cometer en la prueba de hipótesis. El primer
renglón muestra lo que puede suceder cuando la conclusión es aceptar H0. Si H0 es verdadera, esta
conclusión es correcta. Sin embargo, si H1 es verdadera, hemos cometido un error de tipo II, es decir,
hemos aceptado H0 siendo falsa. El segundo renglón muestra lo que puede suceder cuando la
conclusión es rechazar H0. Si H0 es verdadera, hemos cometido un error de tipo I, es decir, rechazar H0
cuando es verdadera. Sin embargo, si H1 es verdadera, es correcto rechazar H0.
Si bien no se puede eliminar la posibilidad de errores en la prueba de hipótesis, sí podemos considerar
la probabilidad de su ocurrencia. Se usa la siguiente notación estadística normal para indicar las
probabilidades de cometer esos errores:
= probabilidad de cometer un error de tipo I.
= probabilidad de cometer un error de tipo II.
Al realizar un contraste se puede cometer uno de los dos errores siguientes:
Error tipo I, se rechaza la hipótesis nula H0 cuando es cierta.
Error tipo II, se acepta la hipótesis nula H0 cuando es falsa.
Debe tenerse en cuenta que sólo se puede cometer uno de los dos tipos de error y, en la mayoría de las
situaciones, se desea controlar la probabilidad de cometer un error de tipo I. Se denomina nivel de
significación de un contraste a la probabilidad de cometer un error tipo I, se denota por y, por tanto,
).....(Re 00 ciertoesHHchazarP . Fijar el nivel de significación equivale a decidir de antemano la
probabilidad máxima que se está dispuesto a asumir para rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. El
nivel de significación lo elige el experimentador y tiene por ello la ventaja de tomarlo tan pequeño
como desee (normalmente se toma = 0.10, 0.05 o 0.01)
Contraste de Hipótesis de Dos Colas (Bilateral) y de una Cola (Unilateral)
01
00
:
:
H
H
Un contraste de hipótesis dos colas, recibe el nombre de bilateral, debido a que rechazará la hipótesis
nula si la media de la muestra es significativamente mayor o menor que la media de la población
hipotetizada. En un contraste de este tipo, la región critica o de rechaza se separa en dos colas, con la
misma probabilidad en cada cola de la distribución del estadístico de contraste. Existen pues, dos
regiones de rechazo.
Hay situaciones en las que no es apropiada una prueba de dos extremos, por lo que debemos usar una
prueba de un extremo, que pueden ser de extremo izquierdo (o inferior) o extremo derecho (o superior).
En contrastes de hipótesis, tales como:
01
00
:
:
H
H o
01
00
:
:
H
H
Si la hipótesis alternativa es 01 : H la región critica o de rechazo debe encontrarse en la cola
superior (derecha) de la distribución del estadístico de contraste, mientras que si la hipótesis alternativa
es 01 : H la región crítica debe encontrarse en la cola inferior (izquierda) de la distribución. En
general, la desigualdad en la hipótesis alternativa apunta en la dirección de la región crítica.
8
Al construir hipótesis, siempre se plantea la hipótesis nula como una igualdad, en H0 los signos siempre
deben ser: = (igual) o ≤ (menor o igual que) o ≥ (mayor o igual que), de modo que la probabilidad alfa del error tipo I pueda controlarse en valor especifico. La hipótesis alternativa puede ser unilateral
o bilateral, dependiendo de las conclusiones que ha de obtenerse si se rechaza 0H . Si el objetivo es
hacer una afirmación donde aparezcan proposiciones tales como mayor que, menor que, superior a,
excede a, al menos y otras similares, entonces la alternativa unilateral es la que resulta más apropiada.
Si la afirmación no implica ninguna dirección, o si es del tipo no es igual a, entonces debe utilizarse la
alternativa bilateral.
La Hipótesis nula siempre se refiere a un valor especificado del parámetro de la población (μx, σx, p),
no a una muestra estadística ),,( spSX .La declaración de la hipótesis nula siempre contiene una
igualdad (es decir, xH :0 ). La declaración de la hipótesis alternativa nunca contiene una
igualdad (es decir, xH :1 ).
Para decidir con relación a la hipótesis nula, se tiene que determinar primero el valor crítico para la
distribución estadística de interés: El valor critico separa la región de no rechazo de la de rechazo. Si la
prueba estadística cae en la región de no rechazo no se puede rechazar la hipótesis nula y se concluirá
que la cantidad promedio no proporciona evidencias estadística para rechazarla. Si cae en la región
de rechazo, se rechazara la hipótesis nula y la conclusión será que la media de la población no es igual
a la media de la muestra.
Formule la hipótesis en base a los objetivos del estudio, pero siempre antes de extraer la muestra y
calcular el estimador puntual del parámetro desconocido, para no verse influenciado por este resultado.
Tenga en cuenta que si bien la hipótesis nula es la que se pone bajo prueba, eso no significa que deba
ser siempre la suposición que el experimentador desea que se compruebe.
Como en todo proceso de inferencia, existe algún grado de subjetividad en la realización de una prueba,
particularmente en la elección del nivel de significancia y del tamaño de la muestra. Trate de que la
elección de estos valores responda a un análisis cuidadoso del problema en cuestión.
Una vez fijadas las condiciones de la prueba, el resultado de la misma es totalmente objetivo.
Para fijar el nivel de significancia de la prueba, hay que tener en cuenta que cuando la probabilidad del
error tipo I aumenta, la del error tipo II disminuye. La forma de minimizar el error tipo II
independientemente del nivel de significancia, es aumentando el tamaño de la muestra.
Como las probabilidades de los errores tipo I y II están relacionadas entre si, pero el experimentador
puede fijar la primera, antes de elegir el nivel de significancia hay que ver cuál de los dos tipos de
errores resulta más crítico.
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
En ocasiones pueden surgir dudas en el planteamiento de cuál debe ser la hipótesis H0 y cuál la
hipótesis H1, en estos casos debemos tener presente las siguientes reglas:
Cuando el problema de manera expresa pide que se contraste una hipótesis con determinado nivel de
significación, la hipótesis que contrastamos es la hipótesis H0.
Cuando el problema pide explícitamente que seamos nosotros quienes planteemos las hipótesis, para
decidir qué poner en H0 y qué en H1, se pueden tener en cuenta las siguientes indicaciones:
En H1 siempre debemos colocar lo que realmente queremos investigar con seguridad, pues el error ,
el que fijamos de antemano, se comete cuando optamos por H1 y nos equivocamos.
En caso de duda, siempre elegir un contraste de hipótesis con dos colas, el cual se utiliza cuando lo que
interesa es una posible desviación en cualquiera dirección, a partir del valor hipotético de la media. La
fórmula que se utiliza para establecer los valores críticos de la media muestral )( VCX
es similar a
los que se utilizan para determinar los límites de confianza para estimar la media de una población,
excepto que el valor hipotético de la media poblacional (μ0, el verdadero valor de la media de la
9
población) que estudiamos es el punto de referencia, y no la media muestral. Los valores críticos de la
media muestral para una prueba de dos colas, dependiendo de si se conoce , son:
n
SZXZSX
nZXZX
VCXVC
VCXVC
200
200
Cuando el planteamiento es muy claro se elige el contraste de hipótesis de una cola, este se aplica
cuando únicamente interesan las desviaciones de un solo sentido con respecto al valor hipotético de la
media; en las pruebas o contrastes de una sola cola existe una sola región de rechazo. Los valores
críticos para las pruebas de una sola cola son diferentes a los que se utilizan para las pruebas de dos
colas, porque la proporción dada de área total se encuentra en esa cola de la distribución. La fórmula
general para establecer el valor crítico de la media muestral para prueba de una cola. Dependiendo de
si se conoce o no es:
n
SZXZSX
nZXZX
VCXVC
VCXVC
00
00
La única forma de probar una hipótesis nula es conociendo el parámetro de población, y eso no es
posible al tomar una muestra. Por consiguiente, aceptamos la hipótesis nula y nos comportamos como
si fuera cierta, simplemente porque no podemos encontrar evidencia para rechazarla.
Valores Críticos de y Zonas de Rechazo
Los valores que se obtienen de la tabla Z son valores críticos que determinan las zonas de rechazo
en un contraste de hipótesis. Cuando se realiza un contraste o prueba de hipótesis con un nivel de
significancia de 95 % que es el área o Región de Aceptación (ver grafica A y A0), para encontrar la
zona de aceptación se divide por 2 el 95 %, en la tabla Z, el área de aceptación será 0.95/2 = 0.4750
que indica un valor de 96.1Z . El 5 % restante es la zona de rechazo o Región Critica (ver
grafica A y A0), está distribuida entre las dos colas de la distribución, la derecha y la izquierda, con 2.5
% para cada zona de rechazo. Este 5 % es el nivel de significación, o el valor alfa )( de la prueba.
Por lo tanto, si un valor de Z es mayor que 1.96 o menor que menos -1.96, no es probable que
0 , entonces, la hipótesis nula será rechazada.
Esos valores críticos de Z de 96.1 permiten establecer una Regla de Decisión que diga si se
rechaza la hipótesis nula o no. La regla de decisión sería:
Regla de Decisión: “No se rechaza la hipótesis Nula si los valores de Z están entre 96.1 . Se rechazan
si el valor Z es menor que menos -1.96 o mayor que +1.96”.
GRAFICA A
Una vez decidido qué tipo de discrepancias llevan a rechazar H0, (que dependerá sólo de si el contraste
es unilateral o bilateral) hay que determinar cuál es la discrepancia máxima admisible, lo que
dependerá de la distribución de la medida de discrepancia cuando es cierta H0. Llamaremos p-valor
del contraste, a la probabilidad de obtener una discrepancia mayor que la observada. Rechazaremos H0
cuando el p-valor sea pequeño (menor de 0,10, 0,05 o 0,01)
10
Los valores más comunes para niveles de significación
Nivel de Significación 0,10 (90%) 0,05 (95%) 0,01(99%)
Valores críticos de z para una cola + 1,28 + 1,645 + 2,33
Valores críticos de z para dos colas + 1,65 + 1,96 + 2,58
Región de rechazo y aceptación de una hipótesis
La selección de un nivel de significación conduce a dividir en dos regiones el conjunto de posibles
valores del estadístico de contraste:
La región de Rechazo, con probabilidad
La región de Aceptación, con probabilidad bajo H0.
Si el estadístico de contraste toma un valor perteneciente a la región de aceptación, entonces no existen
evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula con un nivel de significación y el contraste se
dice que estadísticamente no es significativo. Si, por el contrario, el estadístico cae en la región de
rechazo entonces se asume que los datos no son compatibles con la hipótesis nula y se rechaza a un
nivel de significación. En este supuesto se dice que el contraste es estadísticamente significativo.
Según la forma de la región de rechazo, un contraste de hipótesis, paramétrico o no, se denomina:
Contraste unilateral o contraste de una cola es el contraste de hipótesis cuya región de rechazo está
formada por una cola de la distribución del estadístico de contraste, bajo H0, y puede ser por la derecha
o por la izquierda.
Contraste bilateral o contraste de dos colas es el contraste de hipótesis cuya región de rechazo está
formada por las dos colas de la distribución del estadístico de contraste, bajo H0.
GRAFICA B: Contraste unilateral o de una cola,
por la izquierda (H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 )
GRAFICA C: Contraste unilateral o de una cola
por la derecha (H1: μ μ0 o H1: μ < μ0 )
En la resolución de un problema de contraste o test de hipótesis ¿qué parámetro no se controla? El
error de tipo II. Se desconoce la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.
Obviamente existe una relación entre los tres parámetros, conocidos dos de ellos se puede obtener el
tercero:
n, tamaño muestral,
, probabilidad de error de tipo I,
11
, Probabilidad de error de tipo II.
El contraste de hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio que nos permite decidir
si una hipótesis se acepta o se rechaza, o el determinar si las muestras observadas difieren
significativamente de los resultados esperados. En este proceso podemos incurrir en dos tipos de
errores según sea la situación real y la decisión que tomemos.
REGIÓN CRÍTICA DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Pruebas de hipótesis para diferentes Parámetros y Distribuciones
1.-Contraste de la media de una población normal con varianza σ2 conocida
Las suposiciones para esta prueba son mínimas. La población o distribución de interés tiene una media
μ y una varianza σ2, conocida. El estadístico de prueba se basa en la media muestral X , por lo que
también se supondrá que la población está distribuida de manera normal o que se aplican las
condiciones del teorema del límite central. Esto significa que la distribución de X es
aproximadamente normal con una media μ y una varianza σ2/n.
Desarrollo del procedimiento de prueba
Contraste bilateral
Hipótesis nula: 00 : H
Hipótesis alternativa: 01 : H
Donde μ0 es una constante especifica. El Estadístico de contraste es: n
XZc
0 en donde
,.... calculadoZAZc
n
i
iXn
X
1
1, siendo nXX ,...,1 una muestra de la población considerada
normal ),( N , varianza conocida y n = tamaño de la muestra. Puesto que X tiene una distribución
aproximadamente normal con media μ0 y una desviación n si la hipótesis nula es verdadera,
entonces puede conseguirse una región critica con en el valor calculado de la media muestral X . El
procedimiento de prueba para 00 : H utiliza el estadístico de prueba n
XZc
0 , si la
hipótesis nula 01 : H es verdadera, entonces 0)( XE , de donde se desprende que la
distribución Z es la distribución normal estándar. Por lo tanto, si 00 : H es cierta, la probabilidad
de que el estadístico de prueba Zc caiga entre .1........ 22 esZyZ Por lo tanto H0 debe
rechazarse si:
Estas dos desigualdades se conocen como Región Critica o Zonas de
Rechazo (ver grafica B). Siendo 2Z el valor de la abscisa de la normal N(0,1), además es un valor
que se encuentra en la tabla Z que deja a su derecha un área de probabilidad igual a 2/ .
Regla de Decisión: “No se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de Zc se encuentran en el
intervalo 22 ZZZ c .” El área comprendida en esa desigualdad se le denomina Zona de
Aceptación o Región de Aceptación.
,.... 22 ZZoZZ cc
12
Luego los valores críticos de la media muestral serán:
nZXVC 20
La fórmula estadística n
XZc
0 es un estadístico en la cual 0 es, por hipótesis, la media de la
población de la cual proviene la muestra. La razón de trabajar con unidades estándar, o valores de Z, es
que permite formular criterios que se pueden aplicar a una amplia variedad de problemas y no solo a
uno. Si se aproxima la distribución de muestreo de la media, con una distribución normal, se pueden
aplicar los criterios de prueba que se muestran en el siguiente cuadro simbolito, según la elección de la
hipótesis unilateral o bilateral. Una vez más, 2.... ZyZ son valores de Z tal que el área situada a
su derecha debajo de la distribución normal estándar es 2.... y .
CUADRO SIMBÓLICO
Hipótesis
alternativa
Rechazar la
hipótesis nula si
Aceptar la hipótesis nula
o reservarse el juicio Si
0 ZZ ZZ
0 ZZ ZZ
0
2
2
ZZ
o
ZZ
22 ZZZ
La prueba que se ha descrito es esencialmente con una muestra grande; esta solo se cumple cuando la
población que se muestrea tiene una distribución normal y N es mayor o igual a 30. De la misma
forma, como se desconoce σ en muchas aplicaciones prácticas, a menudo no se tiene otra opción que
hacer la aproximación adicional de sustituir este valor por la desviación típica S de la muestra.
EJEMPLO1: Se desea determinar, con base a la media X de una muestra aleatoria de tamaño 100, si
el gasto diario promedio en alimentos de familias de tres miembros de cierta escala de ingreso es de
850.0 Bs. A partir de información recolectada en otros estudios pertinentes, suponemos que la
variabilidad de esos gastos están dados por una desviación estándar de .0.122 Bs y se sabe que la
media de la muestra es de 878.0 Bs. El experimento se debe realizar con un nivel de significancia de
= 0.05.y 0.01 ¿A qué conclusiones se debe llegar?
SOLUCIÓN: Lo Primero que se debe realizar es plantearse las hipótesis:
0.850:
0.850:
1
0
H
H
El nivel de significancia de 0.05 por tabla se sabe qué 96.12 Z ; n = 100; 0.878X ;
0.8500 ; 0.122 , ahora se aplica la fórmula:
Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de 22 .... ZZoZZ cc
es decir, 96.1....96.1 cc ZoZ .”
3.22.12
28
10122
28
100122
8508780
ZZn
XZ cc
Conclusión: Como cZ es mayor que 2Z , es decir, 96.13.2 cZ , se rechaza 0.850:0 H y
se concluye que el gasto en alimentos diario en promedio de las familias en estudio no es igual a 850.0
Bs. Por ser la diferencia entre la media X observada y el valor hipotético de μ es demasiado grande
13
para atribuirse a la casualidad. Tomando e n cuenta los datos, pareciera que el gasto promedio diario
en alimentación de esas familias es superior a 850.0 Bs. Esto se puede observar en la grafica B1 en
donde Zc = 2.30 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que 850
¿Qué ocurriría si se hubiese utilizado un nivel de significancia de = 0.01 en vez de 0.05? Esta
interrogante se le deja a los estudiantes para que la realicen y saquen sus conclusiones.
EJEMPLO 2: Los sistemas de escape de emergencia para aviones son impulsados por un combustible
sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las
especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea de 50 cm/s. Se sabe que la
desviación estándar de esa rapidez es de ./.2 scm El experimentador decide especificar un nivel
de significancia, de = 0.05. Selecciona una muestra aleatoria de n = 25 y obtiene una rapidez
promedio muestral de combustión de ./..3.51 scmX ¿A qué conclusión debe legar?
SOLUCIÓN: El parámetro de interés es μ, la rapidez promedio de combustión.
scmH
scmH
/..50:
/..50:
1
0
Por tabla se sabe qué 96,12 Z ; n = 25; σ = 2 cm/s; scmyscmX /..50...../..3.51 0 .
Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de 22 .... ZZoZZ cc
es decir, 96.1....96.1 cc ZoZ .”
Ahora se aplica la fórmula para estandarizar los valores así:
25.352
3.1
252
503.510
n
XZc
Conclusión: Como cZ es mayor que 2Z , es decir, 96.125.3 cZ , se rechaza 50:0 H con
un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa una evidencia fuerte de que la rapidez
promedio de combustión es mayor que 50 cm/s. Esto se puede observar en la gráfica B1 en donde
Zc = 3.25 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que 50 .
¿Qué ocurriría si se hubiese utilizado un nivel de significancia de = 0.01 en vez de 0.05? Esta
interrogante se les deja a los estudiantes para que la realicen y saquen sus conclusiones.
Si el mismo problema se resuelve ahora desarrollándose un procedimiento para la prueba de
hipótesis μ, donde la hipótesis alternativa sea unilateral por la derecha se tendría lo siguiente:
EJEMPLO 3: Los sistemas de escape de emergencia para aviones son impulsados por un combustible
sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las
especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea de 50 cm/s. Se sabe que la
desviación estándar de esa rapidez es de ./.2 scm El experimentador decide especificar un nivel
de significancia, de = 0.05. Selecciona una muestra aleatoria de n = 25 y obtiene una rapidez
promedio muestral de combustión de ./..3.51 scmX ¿A qué conclusión debe llegarse?
SOLUCIÓN: El parámetro de interés es μ, la rapidez promedio de combustión.
scmH
scmH
/..50:
/..50:
1
0
Por tabla se sabe que para pruebas de una sola cola 645,1Z ; n = 25; σ = 2 cm/s;
scmyscmX /..50...../..3.51 0 .
Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si el valor de ZZc , es decir, 645,1cZ .”
Ahora se aplica la fórmula para estandarizar los valores así:
14
25.352
3.1
252
503.510
n
XZ
Conclusión: Como cZ es mayor que Z , es decir, 645,125.3 cZ , se rechaza 50:0 H con
un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa una evidencia fuerte de que la rapidez
promedio de combustión es mayor que 50 cm/s. Esto se puede observar en la gráfica B1 en donde
Zc = 3.25 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que 50 .
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero con una prueba unilateral por la
izquierda, es decir, utilizando las siguientes hipótesis: 0100 :.....,.: HyH .
EJEMPLO 4: La duración media de una muestra de 100 bombillos fluorescentes producidos por la
compañía General Electric resulta ser 1570 horas, con una desviación estándar de 120 horas. Si μ es la
duración media de todos los tubos producidos por la compañía, compruebe la hipótesis 1600:0 H
horas contra la hipótesis 1600:1 H horas con un nivel de significancia de a) 0.01, b) 0.05.
SOLUCIÓN: Como ya están planteadas las hipótesis para un contraste bilateral se determina por tabla
los valores de Z al 0.01, donde 58.22 Z .
Datos: .100;..120,..1570,..16000 nSX
Hipótesis:
horasH
horasH
..1600:
..1600:
1
00
Regla de Decisión o Región Critica: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de
22 .... ZZoZZ cc es decir, 58.2....58.2 cc ZoZ .”
Ahora se aplica la fórmula n
XZc
0 para estandarizar los valores:
50.212
30
10120
30
100120
160015700
cc Zn
XZ
Conclusión: Como Zc calculado es mayor que 2Z , es decir, 58.250.2 cZ , se Acepta
horasH ..1600:0 con un nivel de significancia de 0.01. De hecho, se observa que 50.2cZ se
encuentra en el área de aceptación 58.258.2 cZ (ver gráfico D).
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.05.
Es importante destacar que cuando se desconoce σ en muchas aplicaciones prácticas, a menudo no se
tiene otra opción que hacer la aproximación adicional de sustituir este valor por las desviaciones
estándar S de la muestra siempre y cuando la muestra sea mayor o igual a 30, y luego se procede a
resolver el problema como si se conociera, es decir, σ = S.
1. Contraste de la media de una población normal con varianza σ2 desconocida y
muestra pequeña
Cuando no se conoce el valor de la desviación estándar σ de la población y la muestra es pequeña, es
decir, N<30, se debe suponer que la población a partir de la cual se realiza el muestreo tiene más o
menos una forma de una distribución normal y en este caso se utilizará la distribución t de Student.
La distribución t apropiada tiene n – 1 grado de libertad. En la toma de decisiones el estadístico de
contraste es, nS
Xtc
0 .
15
Suponga que tiene disponible una muestra aleatoria de tamaño n, x1, x2, ….xn, y sea 2.... SyX la media
y la varianza muestral, respectivamente. Se desea probar la hipótesis alternativa bilateral o de dos colas
(ver grafica A)
Hipótesis:
01
00
:
:
H
H
El estadístico utilizado para el contraste es
nS
Xtc
0 . Donde tc es el valor de t calculado.
Regla de decisión o Región Critica: Se rechaza la Hipótesis nula si: 1,21,2 ...... ncnc ttott .
GRAFICA 1A - Contraste bilateral o de dos colas
.
Cuando el contraste de Hipótesis es de una sola cola por la derecha se tiene (ver
grafica I):
Hipótesis:
oH
H
:
:
1
00
El estadístico utilizado para el contraste es
nS
Xtc
0 .
Regla de decisión o Región Crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: 1, nc tt .
Grafica I: Contraste de una cola, por la derecha
(H1: μ μ0 o H1: μ > μ0)
16
Cuando el planteamiento es de un contraste de una sola cola por la Izquierda se
tiene: Hipótesis:
oH
H
:
:
1
00
El estadístico utilizado para el contraste es
nS
Xtc
0 .
Regla de decisión o Región Crítica: Se rechaza la Hipótesis nula sí 1, nc tt .
EJEMPLO 1: Supongamos que se desea demostrar, sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño
6, si el peso promedio de los caballos de un grupo grande del Hipódromo de la Rinconada es mayor de
500 kg. Sabiendo que el peso promedio de los caballos de la muestra mencionada es de 533 kg con una
desviación típica de 41.6 kg. ¿Qué se puede concluir utilizando un nivel de significancia de : a) 0.05, b)
0.01.
Datos: 6;..6.41;..533,..5000 nSX
Hipótesis:
?500:
500:
1
0
H
H
EJEMPLO 2: Un industrial de la pólvora elabora un nuevo tipo del producto con la finalidad de
conseguir con ese nuevo producto una velocidad de salida de los proyectiles de 3000 m/s. Se tomó una
muestra de ocho proyectiles elaborados con la nueva pólvora y se logró una velocidad promedio de
salida igual a 2958,75 m/s, con una desviación típica S = 39.26 m/s. El industrial desea saber si en
realidad su producto tiene una velocidad de salida promedio igual 3000 m/s, utilizando para ello un
nivel de significancia de a) 0.01, b) 0.05.
SOLUCIÓN: Lo primero que se hace es ordenar los datos y luego plantearse las hipótesis.
Datos: 26.39;...75.2958,...30000 SX . Se utilizará un contraste bilateral, para ello se busca en la
tabla el valor de t con 7 grados de libertad y con un nivel de significancia de 0.01, entonces se tiene que
499,37,2 glt .
Hipótesis:
3000:
3000:
1
0
H
H
17
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: 7,2...,...7,2 glcoglc tttt ,
es decir, 499,3.....499,3 cc tot .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
.97.287.13
25.41
83.226.39
25.41
826.39
300075.29580
cc tnS
Xt
Conclusión: Como ct calculado es mayor que 7,2 glt , es decir, 499,397.2 ct , se Acepta
3000:0 H con un nivel de significancia de 0.01. De hecho, se observa que 50.2cZ se
encuentra en el área de aceptación 499,3499,3 cZ (ver gráfico D).
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.05. Saque sus conclusiones.
EJEMPLO 3: La vida útil promedio de los focos marca general electric especial para vehículos es
cuando menos de 4200 horas. La vida útil promedio para una muestra aleatoria de n = 10 focos es de
4000X horas, con una desviación típica muestral de S = 200 horas. Se supone que la vida útil de
los focos siguen una distribución normal. El fabricante desea hacer un contraste de hipótesis con un
nivel de significancia de: a) 5 % b) 1 %.¿Cuál seria la conclusión?
SOLUCIÓN: Se ordenan los datos: .10,..200,..4200,..4000 0 nSX Para un contraste de
hipótesis de una sola cola por la izquierda con 7 grados de libertad y un nivel de de significancia de
0.05, la tabla de 833,19, glt .
Hipótesis:
4200:
4200:
1
0
H
H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: 9, glc tt , es decir,
833,1ct .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
.16.329.63
200
16.3200
200
10200
420040000
cc tnS
Xt
Conclusión: Como ct calculado es menor que 9, g lt , es decir, 833,116.3 ct , se rechaza
4200:0 H con un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa que 833,116.3 ct
se encuentra en el área de rechaza (ver gráfico C). Se concluye que la vida útil de los focos tiene un
promedio inferior a 4200 horas.
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.01. Saque sus conclusiones.
PRUEBAS DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS UTILIZANDO LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL Existen variedades de problemas estadísticos en los que se deben decidir si una diferencia observada
entre dos medias muestrales se pueden atribuir a la casualidad. Por ejemplo, se desea saber si hay en
realidad una diferencia en el consumo de gasolina promedio de dos tipos de automóviles, si datos de
muestras indican que un tipo de auto promedia un consumo de un litro por cada 13 Km., mientas
que, con las mismas condiciones otro tipo de automóvil dio un promedio de un litro cada 15 Km. De la
misma forma, a lo mejor nos interesa saber con base a muestras si hay en realidad una diferencia en la
magnitud de cuentas atrasadas en dos sucursales de una tienda por departamentos, si los hombres
pueden realizar una tarea más rápida que las mujeres, si una marca de televisor es más duradera que
otra, etc.
18
El método que se utiliza para demostrar si una diferencia observada entre dos medias muestrales se
puede atribuir a la casualidad se basa en la siguiente teoría: si 21 .... XyX son las medias de dos
muestras aleatorias independientes de tamaños 21 .... nyn , la distribución de muestreo de los
estadísticos 21 .... XyX se pueden calcular con bastante aproximación con una curva normal que tenga
media 21 y desviación estándar igual a 2
22
1
21
nn
donde 2121 ....,, y son las medias y
las desviaciones típicas de las dos poblaciones de donde provinieron las dos muestras, entonces el
estadístico para la prueba de hipótesis será
2
22
1
21
21 )(
nn
XXZc
. En la mayoría de los casos prácticos
21 .... y son incógnitas, pero si se utilizan muestras grandes que sean mayores o iguales a 30 se
pueden utilizar las desviaciones estándar 21 .... SyS de las muestras como estimaciones de 21 .... y , y
basar la prueba de hipótesis nula 021 en el estadístico
2
22
1
21
21 )(
n
S
n
S
XXZc
que se aproxima
bastante a la distribución normal estándar.
EJEMPLO 1: El salario promedio semanal para una muestra de 301 n empleados de la empresa
petrolera Lasmo es de 2800001 X Bs., con una desviación típica muestral de 140001 S Bs. En
otra empresa petrolera grande, una muestra aleatoria de 402 n empleados tiene un salario promedio
semanal de 2700002 X Bs., con una desviación estándar muestral de 100002 S Bs. Se prueba la
hipótesis de que no existe diferencia entre los salarios promedio semanal de las dos empresas,
utilizando un nivel de significancia de: a) 5 %, b) 1 %.
SOLUCIÓN: Lo primero que se hará será ordenar los datos y luego determinar el valor 2Z al 5%,
de la tabla.
Datos:
96.1..........
10000..........................................14000
270000......................................280000
40.................................................30
2.............................................1..
2
21
21
21
Zdetablas egunvalorEl
SS
XX
nn
Mues tr aMues tr a
Hipótesis:
211
210
:
:
H
H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si 22 ...... ZZoZZ cc , es
decir, 96.1........96.1 cc ZoZ .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
2
22
1
21
21 )(
nn
XXZc
33.3
56.3005
10000
40
)10000(
30
)14000(
270000280000)(
22
2
22
1
21
21
cZ
n
S
n
S
XX
19
Conclusión: Como cZ es mayor que 2Z , es decir, 96.133.3 cZ , se rechaza 210 : H con
un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la gráfica 1B en donde 33.3cZ cae
fuera del área de aceptación, por lo tanto, los salarios promedios semanales de las dos empresas
petroleras son diferentes.
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.01. Saque sus conclusiones.
EJEMPLO 2: Se realizó una prueba de Estadística II en las secciones 1 y 2 de IUTJAA las cuales
estaban integradas por 40 y 50 estudiantes respectivamente. En la sección 1 los estudiantes obtuvieron
una puntuación promedio de 74 puntos con una desviación estándar de 8, mientras que en la sección 2
los estudiantes alcanzaron una puntuación promedio 78 puntos con una desviación estándar de 7
puntos. Se desea saber si hay una diferencia significativa entre el resultado obtenido por las dos
secciones utilizando para ello un nivel de significación de: a) 1 %, b) 5 %. ¿Cuáles son sus
conclusiones?
SOLUCIÓN: Se supone que las dos poblaciones tienen medias respectivas 21 ..... y . Se organizan
los datos y se determina Z de la tabla para un nivel de significancia de 0.01.
58.2..%..1..............
7...................................................8
78...............................................74
50..................................................40
2...............................................1...
2
21
21
21
ZesalZdetablas egunvalorEl
SS
XX
nn
Mues tr aMues tr a
Hipótesis:
211
210
:
:
H
H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: 22 ...... ZZoZZ cc , es
decir, 58.2........58.2 cc ZoZ .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
2
22
1
21
21 )(
nn
XXZc
48.2
61.1
4
98.06.1
4
50
7
40
8
7874)(
22
2
22
1
21
21
cZ
n
S
n
S
XX
Conclusión: Como cZ es mayor que 2Z , es decir, 58.248.2 cZ , se acepta 210 : H con
un nivel de significancia de 0.01. Esto se puede observar en la grafica D en donde 48.2cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, las puntuaciones promedios obtenidos en la prueba de las
dos secciones de Estadística II no hay diferencias significativas entre ambas, por lo tanta 21 .
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.01. Saque sus conclusiones.
EJEMPLO 3: Las horas extras promedio laboradas en el 2000 por 50 obreros de una petrolera de la
región fue de 68.2 horas con una desviación estándar de 2.5 horas, mientras que 50 obreros de la misma
petrolera en el 2001 tenían un promedio de horas extras laboradas igual a 67.5 horas con una
desviación tipita de 2.8 horas. El Gerente de Recursos Humanos de la empresa mantiene que el
promedio de horas extras laboradas por los obreros de la empresa en el 2000 es más alto que el
promedio de horas extras laboradas por los obreros en el 2001, para ello se utiliza un nivel de
significancia de: a) 0.05, b) 0.01. ¿Cuál es la conclusión?
20
SOLUCIÓN: Se supone que las dos poblaciones tienen medias respectivas 21 ..... y . Se organizan
los datos y se determina Z de la tabla para un nivel de significancia de 0.05 de una cola por la derecha.
645,1........%..5..............
8.2..................................................5.2
5.67...............................................2.68
50..................................................50
2...............................................1...
21
21
21
Zescolas oladealZdetablas egunvalorEl
SS
XX
nn
Mues tr aMues tr a
Hipótesis:
211
210
:
:
H
H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: ZZc , es decir, 645,1cZ .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
2
22
1
21
21 )(
nn
XXZc
32.1
53.0
7.0
50
)8.2(
50
)5.2(
5.672.68)(
22
2
22
1
21
21
cZ
n
S
n
S
XX
Conclusión: Como cZ es menor que Z , es decir, 645,132.1 cZ , se acepta 210 : H con un
nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A en donde 32.1cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, las horas extras promedios laboradas por los obreros en el
2000 no presentan diferencias significativas con respecto a las laboradas en 2001, por lo tanta
21 .
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.01. Saque sus conclusiones.
EJEMPLO 4: El salario promedio semanal para una muestra de 301 n empleados de la empresa
petrolera SINCOL es de 2800001 X Bs., con una desviación típica muestral de 140001 S Bs..
En otra empresa petrolera grande denominada ROMICA, una muestra aleatoria de 402 n empleados
tiene un salario promedio semanal de 2700002 X Bs., con una desviación estándar muestral de
100002 S Bs. El analista de sueldos de la empresa SINCOL considera que el salario promedio de
los trabajadores de su empresa son mayores que los salarios promedios de la empresa ROMICA y por
tal motivo plantea una hipótesis nula de que el salario promedio de SINCOL es igual o menor que el
de la empresa ROMICA. Para en contrate de hipótesis se utiliza un nivel de significancia de 1 %.
SOLUCIÓN: Lo primero que se hará será ordenar los datos y luego determinar el valor Z al 5% de
una cola por la derecha lo cual se encuentra en la tabla.
Datos:
33.2.................%..1..........
10000..........................................14000
270000......................................280000
40.................................................30
2.............................................1..
21
21
21
Zesder echalaporcolaunadeZdealtablas egunvalorEl
SS
XX
nn
Mues tr aMues tr a
Hipótesis:
211
210
:
:
H
H
21
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si ZZc , es decir, 33.2cZ .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
2
22
1
21
21 )(
nn
XXZc
33.3
56.3005
10000
40
)10000(
30
)14000(
270000280000)(
22
2
22
1
21
21
cZ
n
S
n
S
XX
Conclusión: Como cZ es mayor que Z , es decir, 33.233.3 cZ , se rechaza 210 : H con un
nivel de significancia de 0.01. Esto se puede observar en la gráfica B1 en donde 33.3cZ cae
fuera del área de aceptación, por lo tanto, los salarios promedios semanales de la empresa petrolera
SINCOL es mayor que los salarios promedios de la empresa ROMICA.
EJEMPLO 5: Se realizó un pesaje en los alumnos del tercer semestre de Administración en las
secciones I y II del IUTJAA los cuales estaban integradas por 40 y 50 estudiantes respectivamente. En
la sección I los estudiantes obtuvieron un pesaje promedio de 74 Kg. con una desviación estándar de 8
Kg., mientras que en la sección II los estudiantes alcanzaron un a pesaje promedio de 78 Kg. con una
desviación estándar de 7 Kg. Se desea saber si hay una diferencia significativa entre el resultado
promedio obtenido del pesaje en las dos secciones, para ello se utilizará un nivel de significación de a)
1 %, b) 5 %. ¿Cuáles son sus conclusiones?
SOLUCIÓN: Se supone que las dos poblaciones tienen medias respectivas 21 ..... y . Se organizan
los datos y se determina Z de la tabla para un nivel de significancia de 0.01.
58.2..%..1..............
7...................................................8
78...............................................74
50..................................................40
2...............................................1...
2
21
21
21
ZesalZdetablas egunvalorEl
SS
XX
nn
Mues tr aMues tr a
Hipótesis:
211
210
:
:
H
H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: 22 ...... ZZoZZ cc es
decir, 58.2........58.2 cc ZoZ .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
2
22
1
21
21 )(
nn
XXZc
48.2
61.1
4
98.06.1
4
50
7
40
8
7874)(
22
2
22
1
21
21
cZ
n
S
n
S
XX
Conclusión: Como cZ es mayor que 2Z , es decir, 58.248.2 cZ , se acepta 210 : H con
un nivel de significancia de 0.01. Esto se puede observar en la gráfica D en donde 48.2cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, las pesajes promedios obtenidos en las dos secciones de
Administración indican no hay diferencias significativas entre ambas, por lo tanto 21 .
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de
0.01. Saque sus conclusiones.
22
CONTRASTE DE HIPÓTESIS RELACIONADAS CON PROPORCIONES
Las pruebas de hipótesis con proporciones son necesarias en muchas áreas del conocimiento y en
especial en la administración. Se considerará el problema de probar la hipótesis de que la proporción de
éxito en un experimento binomial sea igual a un cierto valor especifico. Es decir, se probará la
hipótesis nula de que p = p0, donde p es el parámetro de la distribución binomial. La información de
que suele disponerse para la estimación de una porción real o verdadera (porcentaje o probabilidad) es
una proporción muestral n
x, donde x es el número de veces que ha ocurrido un evento en n ensayos.
Por ejemplo, si una muestra aleatoria de 600 compras realizadas en una tienda y 300 se realizan con
tarjeta de crédito, entonces 50.0600
300
n
x se puede utilizar esa cifra como estimación de punto de la
proporción real de compras realizadas en ese negocio que se abonaron a tarjetas de crédito. De la
misma forma muchas compañías podrían estimar las proporciones de muchas transacciones. La
hipótesis alterna puede ser una de las alternativas usuales unilateral o bilateral tales
como: 000 ..,.., ppopppp .
El proceso de prueba de hipótesis para la proporción poblacional p es muy similar al de μ. Un valor Zc
calculado a partir de la muestra se compara con un valor crítico de Z dados en las tablas. Zc se obtiene
así:
n
qp
ppZc
.
. O también se puede utilizar:
npq
npxZ
EJEMPLO 1: Se afirma que, de todas las familias que salen de Cumana por lo menos el 30 % se
mudan a Maracaibo. Si una muestra de 600 mudanzas tomada al azar de los registros de la Alcaldía de
Cumana revela que de los permisos de mudanza autorizados 153 fueron para Maracaibo, pruebe la
hipótesis nula p = 0.30 contra la hipótesis alternativa p < 30 con un nivel de significancia del 1 %.
SOLUCIÓN: Para calcular la proporción p lo primero que se ha de hacer es determinar la proporción,
luego se plantea una hipótesis unilateral con un nivel de significancia al 1%.
.153,.33.2,..70.0,..30.0,..255.0600
153,..800 xZqppn
Hipótesis:
30.0:
30.0:
1
0
pH
pH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: ZZ c es decir, 33.2cZ .
Aplicando formula se tiene:
O también Aplicando:
41.20187.0
045.0
00035.0
045.0
600
7.03.0
300.0255.0
.
cc Z
x
n
qp
ppZ
41.2225,11
27
126
180153
)70.0)(30.0(600
)30.0(600153
npq
npxZ
Conclusión: Como cZ es menor que Z , es decir, 33.241.2 cZ , se rechaza 30.0:0 pH con
un nivel de significancia de 0.01. Esto se puede observar en la grafica D en donde 41.2cZ cae
fuera del área de aceptación, por lo tanto, se cumple que 30.0:1 pH , es decir, menos del 30 % de
las familias que salen de Cumana, se mudan a Maracaibo.
23
EJEMPLO 2: Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. Después
de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200 fumadores para determinar
la eficiencia de la campaña publicitaria. El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26
personas que fumaban Malboro. ¿Pueden considerarse que esos datos presentan evidencia suficiente
para indicar que hubo un aumento en la aceptación del cigarrillo Malboro. Obtenga las conclusiones
del planteamiento desarrollando un contraste de hipótesis con un nivel de significancia del 5 %.
SOLUCIÓN: Para resolver el problema se plantea una hipótesis altenativa unilateral por la derecha.
Por tabla se sabe que al 5 % por la derecha 645,1Z .
Datos: 200,..13.0200
26......90.0,..10.0 npqp
.
Hipótesis:
10.0:
10.0:
1
0
pH
pH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si ZZc ,es decir, 645,1cZ .
Aplicando formula se tiene:
41.102127.0
03.0
00045.0
03.0
200
9.01.0
10.013.0
.
cc Z
x
n
qp
ppZ
Conclusión: Como cZ es menor que Z , es decir, 96.141.1 cZ , se acepta 10.0:0 pH con un
nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la gráfica A en donde 41.1cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, el 10 % de los fumadores prefieren Malboro, lo que indica
que la campaña publicitaria no fue efectiva ya que de haberlo sido se hubiese aceptado la hipótesis
.10.0:1 pH
Se recomienda al estudiante que aplique la otra fórmula para solucionar el problema.
EJEMPLO 3: Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en el sistema
eléctrico de vehículos. El cliente requiere que la proporción de controladores defectuosos no sea mayor
de 0.05, y que el fabricante demuestre estas características del proceso de fabricación con este nivel de
calidad, con un nivel de significancia del 5 %. El fabricante de semiconductores toma una muestra
aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que 4 de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede
demostrar al cliente la calidad exigida? Saque sus conclusiones.
SOLUCIÓN: para resolver el problema hay que plantear una hipótesis alternativa unilateral de una
cola por la izquierda es decir, p< 0.05 y para ello se busca en la tabla el valor de
645,1....,.. ZesqueZ .
Datos: .200,02.02004,95.0,05.0 npqp
Hipótesis:
05.0:
05.0:
1
0
pH
pH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula sí ZZ c ,es decir, 645,1cZ .
Aplicando formula se tiene:
95.10154.0
03.0
0002375.0
03.0
200
95.005.0
05.002.0
.
cc Z
x
n
qp
ppZ
24
Conclusión: Como cZ es menor que Z , es decir, 645,195.1 cZ , se rechaza 05.0:0 pH
con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la gráfica A en donde 95.1cZ
cae fuera del área de aceptación, por lo tanto, 05.0:1 pH se acepta y se concluye que la proporción
de artículos defectuosos es menor del 5 %, como quería el cliente.
Se recomienda al estudiante que aplique la otra fórmula para solucionar el problema.
EJEMPLO 4: Se ha afirmado que por lo menos el 60 % de los alumnos de primero y segundo
semestre de un Tecnológico prefieren estudiar a partir de las dos de la madrugada. Si 4 de una muestra
de alumnos de primero y segundo semestre de n =14 tomadas al azar, afirman estudiar a partir de las
dos de la madrugada, pruebe con un nivel de significancia del 5 % si se debe aceptar la hipótesis nula
60.0p contra la hipótesis alternativa 60.0p .
Datos: .05.0........,..14,..14,..40.0,..60.0 alciasignificandenivelxnqp
SOLUCIÓN: Por tabla al 0.05 de significancia se sabe que la hipótesis alternativa unilateral por la
izquierda es 645,1Z .
Hipótesis:
60.0:
60.0:
1
0
pH
pH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si ZZ c ,es decir, 645,1cZ .
Aplicando formula se tiene:
40.2833,1
4.4
36.3
40.84
)40.0)(60.0(14
)60.0(144
npq
npxZ
Conclusión: Como cZ es menor que Z , es decir, 645,140.2 cZ , se rechaza 60.0:0 pH
con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A en donde 40.2cZ
cae fuera del área de aceptación, por lo tanto, 60.0:1 pH se acepta y se concluye que la proporción
de estudiantes del primero y segundo semestre que prefieren estudiar a partir de las dos de la
madrugada es menor del 60 %.
Se recomienda al estudiante que aplique la otra fórmula para solucionar el problema.
DIFERENCIA ENTRE PROPORCIONES
Existen variedad de problemas en los que se debe decidir si la diferencia observada entre dos
proporciones muestrales se pueden atribuir a la casualidad o si es indicativo del hecho de que las dos
proporciones de la población correspondientes son desiguales. Por ejemplo, se quisiera decidir,
tomando en cuenta los datos de una muestra, si una publicidad determinada produciría en realidad una
diferencia de respuesta con respecto a otra, ese es una de las muchas interrogantes con que se enfrenta
un administrador hoy en día.
Problemas como el antes mencionado se pueden tratar como un problema de contraste de hipótesis del
tipo:
211
210
:
:
ppH
ppH
En donde 21 .... pyp son las dos proporciones de poblaciones de la característica analizada. Si se
señala con 21 .... NyN el tamaño de las muestras y 21 .... pyp como las proporciones obtenidas de las
muestras, entonces la variable que se debe emplear para resolver este tipo de problemas es la diferencia
de proporciones muestrales. Es decir, 21 pp , este planteamiento al igual que en el caso de la media,
se reduce a conocer si la diferencia de las proporciones de la muestra 21 pp es lo suficientemente
grande como para suponer que en realidad existe una diferencia entre 21 .... pyp . El método que se
25
aplicara para demostrar si una diferencia observada entre dos proporciones de las muestras se puede
atribuir a la casualidad o si es estadísticamente significativa, se basa en la siguiente teoría: Si 21 .... xyx
son los números de aciertos obtenidos en n1 ensayos de un tipo y n2 de otro, donde todos los ensayos
son independientes, y las probabilidades correspondientes de alcanzar un acierto son
21 .... pyp ,entonces la distribución de muestreo de
2
2
1
1
n
x
n
x tiene una media 21 pp .
Afortunadamente, basándonos en el teorema del límite central que expresa que 21 pp posee una
distribución normal o aproximadamente normal con un promedio igual a la diferencia de proporción
de población, es decir 21 pp y con una desviación estándar, llamada error estándar de la
diferencia entre dos proporciones, igual a 2
22
1
1122
2121 n
qp
n
qppppp se debe expresar
que cuando no se conozca 21 .... pnip , que es lo que por lo general ocurre, se deben estimar sus
valores por medio de los valores de las muestras; aunque los valores poblacionales sean desconocidos,
se supondrán iguales bajo la hipótesis nula planteada, es decir 210 : ppH por consiguiente si el
valor común se indica por p, el error estándar será
21
11
21 nnpqpp donde p suele estimarse
mediante la combinación de los datos; o sea, al sustituir p por las proporciones de la muestra
combinada de
21
21
nn
xx
.
El estadístico para calcular la diferencia entre proporciones es:
ques etieneEntoncespn
xp
n
xy
nn
xxpdonde
nnpp
n
x
n
x
Zc ......,........,..11
)1(
22
21
1
1
21
21
21
2
2
1
1
21
21
11
nnpq
ppZc
EJEMPLO 1: En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de 400 de las
cuales 28 estaban defectuosas, en otro proceso se tomaran 300 muestra de botellas de la cuales 15
estaban defectuosas. Demuestre la hipótesis nula 21 pp de que los dos procesos generan
proporciones iguales de unidades defectuosas, contra la hipótesis alternativa 21 pp con un nivel de
significancia de 0.05.
Datos:
96.1...............05.0..........
939.01,......061.0700
43
300400
1528
15....................................................28
05.0300
15.....................................07.0
400
28
300..................................................400
2..Pr.........................................1..Pr
22
21
21
21
Zesbilater alaalter nativhipotes isunapar aalZdevalorEl
pqp
xx
pp
nn
opor cionopor cion
SOLUCIÓN: Para resolver este problema se plantearán las hipótesis y luego se aplica la formula.
26
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si 22 .... ZZoZZ cc ,es
decir, 96.1......96.1 cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
09.1
0183.0
02.0
003334.0
02.0
300
1
400
1)939.0)(061.0(
05.007.0
11
21
21
cc Z
nnpq
ppZ
Conclusión: Como cZ es menor que 2Z , es decir, 96.109.1 cZ , se acepta 210 : ppH con
un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la gráfica A en donde 09.1cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, no se puede concluir que exista diferencias reales entre las
dos proporciones verdaderas de unidades defectuosas.
EJEMPLO 2: Un fabricante de productos medicinales está probando dos nuevos compuestos
destinados a reducir los niveles de presión sanguínea los compuestos son suministrados a dos conjuntos
diferentes de animales de laboratorio. En el grupo A, 71 de 100 animales probados respondieron al
medicamento A con niveles menores de presión arterial. En el grupo B, de 90 animales 58 respondieron
al medicamento B con menores niveles de presión sanguínea. El fabricante desea probar a un nivel de
significancia de 0.05 si existe una diferencia entre la eficiencia de las dos medicinas. ¿De qué manera
se debe proceder en este caso?
SOLUCIÓN: Se plantean las hipótesis, se ordenan los datos y en la tabla se busca el valor de 2Z al
5 % para una hipótesis alternativa bilateral que según la tabla tienen un valor de 96.12 Z . Se
plantean las reglas de decisión y finalmente se aplica la formula para el caso. Datos:
96.1...............05.0..........
3211.01,......6789.0190
129
90100
5871
58....................................................71
644.090
58.....................................71.0
100
71
90..................................................100
..Pr...........................................Pr
22
21
21
21
Zesbilater alaalter nativhipotes isunapar aalZdevalorEl
pqp
xx
pp
nn
Bopor cionAopor cion
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula sí 22 .... ZZoZZ cc ,es
decir, 96.1......96.1 cc ZoZ .
Aplicando fórmula se tiene:
27
973.00678.0
066.0
0046.0
066.0
90
1
100
1)3211.0(6789.0(
644.071.0
11
21
21
cc Z
nnpq
ppZ
Conclusión: Como cZ es menor que 2Z , es decir, 96.1973.0 cZ , se acepta 210 : ppH con
un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la gráfica A en donde 973.0cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, se puede concluir que no exista diferencias significativas
reales entre las dos medicamentos lo que indica que los dos medicamentos producen efecto en la
presión sanguínea que son significativamente iguales.
EJEMPLO 3: En un sondeo de opinión en el IUTJAA, 60 de 200 estudiantes del sexo masculino han
expresado su disgusto sobre la forma de dirigir el tren directivo la institución, de la misma forma han
opinado 75 de 300 alumnos del sexo femenino. Se quiere saber si existe una diferencia real de
opinión entre los alumnos y las alumnas del IUTJAA. Para realizar el contraste de hipótesis de las
proporciones utilice un nivel de significancia de 0.10.
SOLUCIÓN: Se plantean las hipótesis, se ordenan los datos y en la tabla se busca el valor de 2Z al
5 % para una hipótesis alternativa bilateral que según la tabla tienen un valor de 96.12 Z . Se
plantean las reglas de decisión y finalmente se aplica la fórmula para el caso. Datos:
28.1...............10.0..........
73.01,......27.0500
135
300200
7560
25.0300
75.....................................30.0
200
60
75....................................................60
300..................................................200
2..Pr.........................................1..Pr
22
21
21
21
Zesbilater alaalter nativhipotes isunapar aalZdevalorEl
pqp
pp
xx
nn
opor cionopor cion
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si 22 .... ZZoZZ cc ,es
decir, 96.1......96.1 cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
.24.1
04045.0
05.0
001636.0
05.0
300
1
200
1)73.0)(27.0(
25.030.0
11
21
21
cc Z
nnpq
ppZ
Conclusión: Como cZ es menor que 2Z , es decir, 28.124.1 cZ , se acepta 210 : ppH con un
nivel de significancia de 0.10. Esto se puede observar en la gráfica B en donde 24.1cZ cae
dentro del área de aceptación, por lo tanto, se puede concluir que no exista diferencias significativas
reales entre las dos opiniones emitidas por los alumnos y alumnas lo que indica que los dos opiniones
están en concordancia de que los directivos están dirigiendo mal a la institución.
EJEMPLO 4: En el Departamento de Agropecuaria del IUTJAA se investiga si cierto tipo de
fertilizante es efectivo. Para ello se deja sin fertilizar 100 plantas de tomate y de esas, 52 plantas tienen
un crecimiento satisfactorio. De la misma forma se fertilizaron 400 plantas, y se detectó que 275
28
presentaron un crecimiento satisfactorio. ¿Qué conclusión pueden obtener los investigadores del
Departamento de Agropecuaria si para contrastar la hipótesis utilizan un nivel de significancia de 0.05?
SOLUCIÓN: Se plantean las hipótesis la cual tendría como hipótesis alternativa 211 : ppH ; luego
se ordenan los datos y en la tabla se busca el valor de 2Z al 5 % para una hipótesis alternativa
bilateral. Se plantean las reglas de decisión y finalmente se aplica la fórmula para el caso.
Datos:
96.1...............05.0..........
346.01,......654.0500
327
400100
27552
6875.0400
275....................................52.0
100
52
275....................................................52
400..................................................100
2..Pr.........................................1..Pr
22
21
21
21
Zesbilater alaalter nativhipotes isunapar aalZdevalorEl
pqp
pp
xx
nn
opor cionopor cion
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si 22 .... ZZoZZ cc ,es
decir, 96.1......96.1 cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
.19.3
0533.0
17.0
0028.0
1675.0
400
1
100
1)346.0)(654.0(
6875.052.0
11
21
21
cc Z
nnpq
ppZ
Conclusión: Como cZ es menor que 2Z , es decir, 96.119.3 cZ , se recaza 210 : ppH
con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la gráfica B en donde 19.3cZ
cae fuera del área de aceptación, por lo tanto, 211 : ppH se puede concluir que exista diferencias
significativas reales entre el crecimiento de las plantas, por lo que hay razones para creer que el
fertilizante sea realmente efectivo.