contrastación de procesos de cálculo matemático a través
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Contrastacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico a
traveacutes del algoritmo de la multiplicacioacuten y uso de
meacutetodos no tradicionales
Luis Miguel Hernaacutendez Ossa
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas
Maestriacutea en Ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales
2018
Contrastacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico a traveacutes del algoritmo de
la multiplicacioacuten y uso de meacutetodos no tradicionales
Luis Miguel Hernaacutendez Ossa
Tesis o trabajo de investigacioacuten como requisito parcial para optar al tiacutetulo de
Magister en Ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director
John Jairo Salazar Buitrago
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas
Maestriacutea en Ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales
2018
Dedicatoria
A mi madre
Agradecimientos
La elaboracioacuten de este trabajo se convirtioacute en un inmenso reto de vida en el
cual convergieron una gran cantidad de emociones sentimientos arduas jornadas
de labor y un deseo infinito de terminarla no solo para ver materializado un suentildeo
acadeacutemico y pedagoacutegico sino tambieacuten el esfuerzo sacrificio y empentildeo que
significoacute su desarrollo
Debo agradecer de especial manera a mis docentes quienes me
acompantildearon en el proceso de dar forma y fondo a esta intervencioacuten a mi asesor
de tesis el sentildeor John Jairo Salazar Buitrago quien acompantildeoacute y avaloacute mi trabajo
cuyo resultado es el presente documento
A mis compantildeeros de estudio y trabajo de la Universidad Nacional de
Colombia y la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano quienes con sus
aportes revisiones criacuteticas y sugerencias hicieron de esta una investigacioacuten
interactiva y rica en conceptos y contenidos
A mi familia madre hermanos y amigos quienes con sus ideas y compromiso
me custodiaron en un proceso en el que sin lugar a duda es fundamental contar
con esas personas que alientan y animan a continuar
A todos aquellos que por alguna razoacuten omita y que indudablemente tuvieron
que ver con el desarrollo de este trabajo mil gracias
V
Resumen
La aplicacioacuten y uso de algoritmos tradicionales de multiplicacioacuten es el meacutetodo
por excelencia utilizado en las aulas de clase contemporaacuteneas para ensentildear a
nintildeos en edad de formacioacuten inicial a realizar el producto de dos nuacutemeros
naturales sin embargo a medida que el factor multiplicador aumenta en cifras
aumenta consigo la dificultad y el proceso o conjuntos de pasos ordenados y
sistemaacuteticos se torna engorroso y complejo Este proyecto pretende contrastar
este meacutetodo tradicional de ensentildeanza con el empleo de metodologiacuteas alternativas
de multiplicacioacuten como lo son el meacutetodo japoneacutes (conteo de intersecciones entre
liacuteneas) y el ajedrez de Montessori (conteo de chinas y repeticiones) para hallar el
producto de dos factores (cantidades naturales) de hasta 4 cifras con nintildeos de
grado 3deg de primaria (3deg1 y 3deg2) de la Institucioacuten Educativa Instituto
Latinoamericano Para medir la efectividad de ambos meacutetodos (tradicional y
alternativo) el grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe
tratamiento a traveacutes de meacutetodos no tradicionales de multiplicar a su vez el grado
3deg1 hace las veces de grupo control y por ende su tratamiento estaacute basado en el
uso tradicional algoriacutetmico para la determinacioacuten de productos Para caracterizar la
variable cualitativa de efectividad se realizan un prepos-test con ambos grupos y
posteriormente se emplea el factor de Hake para determinar el nivel de ganancia
de aprendizaje de estos concluyendo seguacuten dicho factor que aun cuando los
resultados finales de ambos no muestran diferencias significativas entre siacute en
comparacioacuten con el pre-test el grupo experimental tuvo un nivel de ganancia
media y el grupo control un nivel de ganancia baja
Palabras Clave Contrastacioacuten Algoritmo Meacutetodo Japoneacutes Meacutetodo Montessori
Escuela Educacioacuten Tradicional Educacioacuten Primaria
VI
Abstract
Title Contrasting mathematical calculation processes through the algorithm of multiplication and use of non-traditional methods
The application and use of traditional multiplication algorithms is the method
par excellence used in contemporary classrooms to teach children of initial training
age to produce the product of two natural numbers however as the multiplying
factor increases in figures it increases the difficulty and the process or sets of
orderly and systematic steps becomes cumbersome and complex This project
aims to contrast this traditional method of teaching with the use of alternative
multiplication methodologies such as the Japanese method (counting of
intersections between lines) and Montessori chess (Chinese counting and
repetitions) to find the product of two factors (Natural quantities) of up to 4 figures
with children of grade 3 of primary (3 deg 1 and 3 deg 2) of the Educational Institution
Latin American Institute To measure the effectiveness of both methods (traditional
and alternative) the 3 deg 2 degree is selected experimental group this receives
treatment through non-traditional methods of multiplying in turn the degree 3 deg 1
acts as a control group and therefore its treatment is based on the traditional
algorithmic use for the determination of products To characterize the qualitative
variable of effectiveness a pre post-test is performed with both groups and then
the Hake factor is used to determine the level of learning gain of these concluding
according to this factor that even when the final results of both do not show
significant differences between them compared to the pre-test the experimental
group had an average gain level and the control group a low gain level
Keywords Contrasting Algorithm Japanese Method Montessori Method School
Traditional Education Primary Education
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
Contrastacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico a traveacutes del algoritmo de
la multiplicacioacuten y uso de meacutetodos no tradicionales
Luis Miguel Hernaacutendez Ossa
Tesis o trabajo de investigacioacuten como requisito parcial para optar al tiacutetulo de
Magister en Ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director
John Jairo Salazar Buitrago
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas
Maestriacutea en Ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales
2018
Dedicatoria
A mi madre
Agradecimientos
La elaboracioacuten de este trabajo se convirtioacute en un inmenso reto de vida en el
cual convergieron una gran cantidad de emociones sentimientos arduas jornadas
de labor y un deseo infinito de terminarla no solo para ver materializado un suentildeo
acadeacutemico y pedagoacutegico sino tambieacuten el esfuerzo sacrificio y empentildeo que
significoacute su desarrollo
Debo agradecer de especial manera a mis docentes quienes me
acompantildearon en el proceso de dar forma y fondo a esta intervencioacuten a mi asesor
de tesis el sentildeor John Jairo Salazar Buitrago quien acompantildeoacute y avaloacute mi trabajo
cuyo resultado es el presente documento
A mis compantildeeros de estudio y trabajo de la Universidad Nacional de
Colombia y la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano quienes con sus
aportes revisiones criacuteticas y sugerencias hicieron de esta una investigacioacuten
interactiva y rica en conceptos y contenidos
A mi familia madre hermanos y amigos quienes con sus ideas y compromiso
me custodiaron en un proceso en el que sin lugar a duda es fundamental contar
con esas personas que alientan y animan a continuar
A todos aquellos que por alguna razoacuten omita y que indudablemente tuvieron
que ver con el desarrollo de este trabajo mil gracias
V
Resumen
La aplicacioacuten y uso de algoritmos tradicionales de multiplicacioacuten es el meacutetodo
por excelencia utilizado en las aulas de clase contemporaacuteneas para ensentildear a
nintildeos en edad de formacioacuten inicial a realizar el producto de dos nuacutemeros
naturales sin embargo a medida que el factor multiplicador aumenta en cifras
aumenta consigo la dificultad y el proceso o conjuntos de pasos ordenados y
sistemaacuteticos se torna engorroso y complejo Este proyecto pretende contrastar
este meacutetodo tradicional de ensentildeanza con el empleo de metodologiacuteas alternativas
de multiplicacioacuten como lo son el meacutetodo japoneacutes (conteo de intersecciones entre
liacuteneas) y el ajedrez de Montessori (conteo de chinas y repeticiones) para hallar el
producto de dos factores (cantidades naturales) de hasta 4 cifras con nintildeos de
grado 3deg de primaria (3deg1 y 3deg2) de la Institucioacuten Educativa Instituto
Latinoamericano Para medir la efectividad de ambos meacutetodos (tradicional y
alternativo) el grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe
tratamiento a traveacutes de meacutetodos no tradicionales de multiplicar a su vez el grado
3deg1 hace las veces de grupo control y por ende su tratamiento estaacute basado en el
uso tradicional algoriacutetmico para la determinacioacuten de productos Para caracterizar la
variable cualitativa de efectividad se realizan un prepos-test con ambos grupos y
posteriormente se emplea el factor de Hake para determinar el nivel de ganancia
de aprendizaje de estos concluyendo seguacuten dicho factor que aun cuando los
resultados finales de ambos no muestran diferencias significativas entre siacute en
comparacioacuten con el pre-test el grupo experimental tuvo un nivel de ganancia
media y el grupo control un nivel de ganancia baja
Palabras Clave Contrastacioacuten Algoritmo Meacutetodo Japoneacutes Meacutetodo Montessori
Escuela Educacioacuten Tradicional Educacioacuten Primaria
VI
Abstract
Title Contrasting mathematical calculation processes through the algorithm of multiplication and use of non-traditional methods
The application and use of traditional multiplication algorithms is the method
par excellence used in contemporary classrooms to teach children of initial training
age to produce the product of two natural numbers however as the multiplying
factor increases in figures it increases the difficulty and the process or sets of
orderly and systematic steps becomes cumbersome and complex This project
aims to contrast this traditional method of teaching with the use of alternative
multiplication methodologies such as the Japanese method (counting of
intersections between lines) and Montessori chess (Chinese counting and
repetitions) to find the product of two factors (Natural quantities) of up to 4 figures
with children of grade 3 of primary (3 deg 1 and 3 deg 2) of the Educational Institution
Latin American Institute To measure the effectiveness of both methods (traditional
and alternative) the 3 deg 2 degree is selected experimental group this receives
treatment through non-traditional methods of multiplying in turn the degree 3 deg 1
acts as a control group and therefore its treatment is based on the traditional
algorithmic use for the determination of products To characterize the qualitative
variable of effectiveness a pre post-test is performed with both groups and then
the Hake factor is used to determine the level of learning gain of these concluding
according to this factor that even when the final results of both do not show
significant differences between them compared to the pre-test the experimental
group had an average gain level and the control group a low gain level
Keywords Contrasting Algorithm Japanese Method Montessori Method School
Traditional Education Primary Education
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
Dedicatoria
A mi madre
Agradecimientos
La elaboracioacuten de este trabajo se convirtioacute en un inmenso reto de vida en el
cual convergieron una gran cantidad de emociones sentimientos arduas jornadas
de labor y un deseo infinito de terminarla no solo para ver materializado un suentildeo
acadeacutemico y pedagoacutegico sino tambieacuten el esfuerzo sacrificio y empentildeo que
significoacute su desarrollo
Debo agradecer de especial manera a mis docentes quienes me
acompantildearon en el proceso de dar forma y fondo a esta intervencioacuten a mi asesor
de tesis el sentildeor John Jairo Salazar Buitrago quien acompantildeoacute y avaloacute mi trabajo
cuyo resultado es el presente documento
A mis compantildeeros de estudio y trabajo de la Universidad Nacional de
Colombia y la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano quienes con sus
aportes revisiones criacuteticas y sugerencias hicieron de esta una investigacioacuten
interactiva y rica en conceptos y contenidos
A mi familia madre hermanos y amigos quienes con sus ideas y compromiso
me custodiaron en un proceso en el que sin lugar a duda es fundamental contar
con esas personas que alientan y animan a continuar
A todos aquellos que por alguna razoacuten omita y que indudablemente tuvieron
que ver con el desarrollo de este trabajo mil gracias
V
Resumen
La aplicacioacuten y uso de algoritmos tradicionales de multiplicacioacuten es el meacutetodo
por excelencia utilizado en las aulas de clase contemporaacuteneas para ensentildear a
nintildeos en edad de formacioacuten inicial a realizar el producto de dos nuacutemeros
naturales sin embargo a medida que el factor multiplicador aumenta en cifras
aumenta consigo la dificultad y el proceso o conjuntos de pasos ordenados y
sistemaacuteticos se torna engorroso y complejo Este proyecto pretende contrastar
este meacutetodo tradicional de ensentildeanza con el empleo de metodologiacuteas alternativas
de multiplicacioacuten como lo son el meacutetodo japoneacutes (conteo de intersecciones entre
liacuteneas) y el ajedrez de Montessori (conteo de chinas y repeticiones) para hallar el
producto de dos factores (cantidades naturales) de hasta 4 cifras con nintildeos de
grado 3deg de primaria (3deg1 y 3deg2) de la Institucioacuten Educativa Instituto
Latinoamericano Para medir la efectividad de ambos meacutetodos (tradicional y
alternativo) el grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe
tratamiento a traveacutes de meacutetodos no tradicionales de multiplicar a su vez el grado
3deg1 hace las veces de grupo control y por ende su tratamiento estaacute basado en el
uso tradicional algoriacutetmico para la determinacioacuten de productos Para caracterizar la
variable cualitativa de efectividad se realizan un prepos-test con ambos grupos y
posteriormente se emplea el factor de Hake para determinar el nivel de ganancia
de aprendizaje de estos concluyendo seguacuten dicho factor que aun cuando los
resultados finales de ambos no muestran diferencias significativas entre siacute en
comparacioacuten con el pre-test el grupo experimental tuvo un nivel de ganancia
media y el grupo control un nivel de ganancia baja
Palabras Clave Contrastacioacuten Algoritmo Meacutetodo Japoneacutes Meacutetodo Montessori
Escuela Educacioacuten Tradicional Educacioacuten Primaria
VI
Abstract
Title Contrasting mathematical calculation processes through the algorithm of multiplication and use of non-traditional methods
The application and use of traditional multiplication algorithms is the method
par excellence used in contemporary classrooms to teach children of initial training
age to produce the product of two natural numbers however as the multiplying
factor increases in figures it increases the difficulty and the process or sets of
orderly and systematic steps becomes cumbersome and complex This project
aims to contrast this traditional method of teaching with the use of alternative
multiplication methodologies such as the Japanese method (counting of
intersections between lines) and Montessori chess (Chinese counting and
repetitions) to find the product of two factors (Natural quantities) of up to 4 figures
with children of grade 3 of primary (3 deg 1 and 3 deg 2) of the Educational Institution
Latin American Institute To measure the effectiveness of both methods (traditional
and alternative) the 3 deg 2 degree is selected experimental group this receives
treatment through non-traditional methods of multiplying in turn the degree 3 deg 1
acts as a control group and therefore its treatment is based on the traditional
algorithmic use for the determination of products To characterize the qualitative
variable of effectiveness a pre post-test is performed with both groups and then
the Hake factor is used to determine the level of learning gain of these concluding
according to this factor that even when the final results of both do not show
significant differences between them compared to the pre-test the experimental
group had an average gain level and the control group a low gain level
Keywords Contrasting Algorithm Japanese Method Montessori Method School
Traditional Education Primary Education
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
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14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
Agradecimientos
La elaboracioacuten de este trabajo se convirtioacute en un inmenso reto de vida en el
cual convergieron una gran cantidad de emociones sentimientos arduas jornadas
de labor y un deseo infinito de terminarla no solo para ver materializado un suentildeo
acadeacutemico y pedagoacutegico sino tambieacuten el esfuerzo sacrificio y empentildeo que
significoacute su desarrollo
Debo agradecer de especial manera a mis docentes quienes me
acompantildearon en el proceso de dar forma y fondo a esta intervencioacuten a mi asesor
de tesis el sentildeor John Jairo Salazar Buitrago quien acompantildeoacute y avaloacute mi trabajo
cuyo resultado es el presente documento
A mis compantildeeros de estudio y trabajo de la Universidad Nacional de
Colombia y la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano quienes con sus
aportes revisiones criacuteticas y sugerencias hicieron de esta una investigacioacuten
interactiva y rica en conceptos y contenidos
A mi familia madre hermanos y amigos quienes con sus ideas y compromiso
me custodiaron en un proceso en el que sin lugar a duda es fundamental contar
con esas personas que alientan y animan a continuar
A todos aquellos que por alguna razoacuten omita y que indudablemente tuvieron
que ver con el desarrollo de este trabajo mil gracias
V
Resumen
La aplicacioacuten y uso de algoritmos tradicionales de multiplicacioacuten es el meacutetodo
por excelencia utilizado en las aulas de clase contemporaacuteneas para ensentildear a
nintildeos en edad de formacioacuten inicial a realizar el producto de dos nuacutemeros
naturales sin embargo a medida que el factor multiplicador aumenta en cifras
aumenta consigo la dificultad y el proceso o conjuntos de pasos ordenados y
sistemaacuteticos se torna engorroso y complejo Este proyecto pretende contrastar
este meacutetodo tradicional de ensentildeanza con el empleo de metodologiacuteas alternativas
de multiplicacioacuten como lo son el meacutetodo japoneacutes (conteo de intersecciones entre
liacuteneas) y el ajedrez de Montessori (conteo de chinas y repeticiones) para hallar el
producto de dos factores (cantidades naturales) de hasta 4 cifras con nintildeos de
grado 3deg de primaria (3deg1 y 3deg2) de la Institucioacuten Educativa Instituto
Latinoamericano Para medir la efectividad de ambos meacutetodos (tradicional y
alternativo) el grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe
tratamiento a traveacutes de meacutetodos no tradicionales de multiplicar a su vez el grado
3deg1 hace las veces de grupo control y por ende su tratamiento estaacute basado en el
uso tradicional algoriacutetmico para la determinacioacuten de productos Para caracterizar la
variable cualitativa de efectividad se realizan un prepos-test con ambos grupos y
posteriormente se emplea el factor de Hake para determinar el nivel de ganancia
de aprendizaje de estos concluyendo seguacuten dicho factor que aun cuando los
resultados finales de ambos no muestran diferencias significativas entre siacute en
comparacioacuten con el pre-test el grupo experimental tuvo un nivel de ganancia
media y el grupo control un nivel de ganancia baja
Palabras Clave Contrastacioacuten Algoritmo Meacutetodo Japoneacutes Meacutetodo Montessori
Escuela Educacioacuten Tradicional Educacioacuten Primaria
VI
Abstract
Title Contrasting mathematical calculation processes through the algorithm of multiplication and use of non-traditional methods
The application and use of traditional multiplication algorithms is the method
par excellence used in contemporary classrooms to teach children of initial training
age to produce the product of two natural numbers however as the multiplying
factor increases in figures it increases the difficulty and the process or sets of
orderly and systematic steps becomes cumbersome and complex This project
aims to contrast this traditional method of teaching with the use of alternative
multiplication methodologies such as the Japanese method (counting of
intersections between lines) and Montessori chess (Chinese counting and
repetitions) to find the product of two factors (Natural quantities) of up to 4 figures
with children of grade 3 of primary (3 deg 1 and 3 deg 2) of the Educational Institution
Latin American Institute To measure the effectiveness of both methods (traditional
and alternative) the 3 deg 2 degree is selected experimental group this receives
treatment through non-traditional methods of multiplying in turn the degree 3 deg 1
acts as a control group and therefore its treatment is based on the traditional
algorithmic use for the determination of products To characterize the qualitative
variable of effectiveness a pre post-test is performed with both groups and then
the Hake factor is used to determine the level of learning gain of these concluding
according to this factor that even when the final results of both do not show
significant differences between them compared to the pre-test the experimental
group had an average gain level and the control group a low gain level
Keywords Contrasting Algorithm Japanese Method Montessori Method School
Traditional Education Primary Education
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
V
Resumen
La aplicacioacuten y uso de algoritmos tradicionales de multiplicacioacuten es el meacutetodo
por excelencia utilizado en las aulas de clase contemporaacuteneas para ensentildear a
nintildeos en edad de formacioacuten inicial a realizar el producto de dos nuacutemeros
naturales sin embargo a medida que el factor multiplicador aumenta en cifras
aumenta consigo la dificultad y el proceso o conjuntos de pasos ordenados y
sistemaacuteticos se torna engorroso y complejo Este proyecto pretende contrastar
este meacutetodo tradicional de ensentildeanza con el empleo de metodologiacuteas alternativas
de multiplicacioacuten como lo son el meacutetodo japoneacutes (conteo de intersecciones entre
liacuteneas) y el ajedrez de Montessori (conteo de chinas y repeticiones) para hallar el
producto de dos factores (cantidades naturales) de hasta 4 cifras con nintildeos de
grado 3deg de primaria (3deg1 y 3deg2) de la Institucioacuten Educativa Instituto
Latinoamericano Para medir la efectividad de ambos meacutetodos (tradicional y
alternativo) el grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe
tratamiento a traveacutes de meacutetodos no tradicionales de multiplicar a su vez el grado
3deg1 hace las veces de grupo control y por ende su tratamiento estaacute basado en el
uso tradicional algoriacutetmico para la determinacioacuten de productos Para caracterizar la
variable cualitativa de efectividad se realizan un prepos-test con ambos grupos y
posteriormente se emplea el factor de Hake para determinar el nivel de ganancia
de aprendizaje de estos concluyendo seguacuten dicho factor que aun cuando los
resultados finales de ambos no muestran diferencias significativas entre siacute en
comparacioacuten con el pre-test el grupo experimental tuvo un nivel de ganancia
media y el grupo control un nivel de ganancia baja
Palabras Clave Contrastacioacuten Algoritmo Meacutetodo Japoneacutes Meacutetodo Montessori
Escuela Educacioacuten Tradicional Educacioacuten Primaria
VI
Abstract
Title Contrasting mathematical calculation processes through the algorithm of multiplication and use of non-traditional methods
The application and use of traditional multiplication algorithms is the method
par excellence used in contemporary classrooms to teach children of initial training
age to produce the product of two natural numbers however as the multiplying
factor increases in figures it increases the difficulty and the process or sets of
orderly and systematic steps becomes cumbersome and complex This project
aims to contrast this traditional method of teaching with the use of alternative
multiplication methodologies such as the Japanese method (counting of
intersections between lines) and Montessori chess (Chinese counting and
repetitions) to find the product of two factors (Natural quantities) of up to 4 figures
with children of grade 3 of primary (3 deg 1 and 3 deg 2) of the Educational Institution
Latin American Institute To measure the effectiveness of both methods (traditional
and alternative) the 3 deg 2 degree is selected experimental group this receives
treatment through non-traditional methods of multiplying in turn the degree 3 deg 1
acts as a control group and therefore its treatment is based on the traditional
algorithmic use for the determination of products To characterize the qualitative
variable of effectiveness a pre post-test is performed with both groups and then
the Hake factor is used to determine the level of learning gain of these concluding
according to this factor that even when the final results of both do not show
significant differences between them compared to the pre-test the experimental
group had an average gain level and the control group a low gain level
Keywords Contrasting Algorithm Japanese Method Montessori Method School
Traditional Education Primary Education
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
VI
Abstract
Title Contrasting mathematical calculation processes through the algorithm of multiplication and use of non-traditional methods
The application and use of traditional multiplication algorithms is the method
par excellence used in contemporary classrooms to teach children of initial training
age to produce the product of two natural numbers however as the multiplying
factor increases in figures it increases the difficulty and the process or sets of
orderly and systematic steps becomes cumbersome and complex This project
aims to contrast this traditional method of teaching with the use of alternative
multiplication methodologies such as the Japanese method (counting of
intersections between lines) and Montessori chess (Chinese counting and
repetitions) to find the product of two factors (Natural quantities) of up to 4 figures
with children of grade 3 of primary (3 deg 1 and 3 deg 2) of the Educational Institution
Latin American Institute To measure the effectiveness of both methods (traditional
and alternative) the 3 deg 2 degree is selected experimental group this receives
treatment through non-traditional methods of multiplying in turn the degree 3 deg 1
acts as a control group and therefore its treatment is based on the traditional
algorithmic use for the determination of products To characterize the qualitative
variable of effectiveness a pre post-test is performed with both groups and then
the Hake factor is used to determine the level of learning gain of these concluding
according to this factor that even when the final results of both do not show
significant differences between them compared to the pre-test the experimental
group had an average gain level and the control group a low gain level
Keywords Contrasting Algorithm Japanese Method Montessori Method School
Traditional Education Primary Education
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
VII
Contenido
Resumen V
Abstract VI
Lista de Imaacutegenes IX
Lista de Tablas IX
Lista de Graacuteficos IX
1 INTRODUCCIOacuteN 1
11 Descripcioacuten del problema 4
12 Justificacioacuten 5
13 Preguntas orientadoras 6
14 Objetivos 9
141 Objetivo General 9
142 Objetivos Especiacuteficos 9
2 MARCO TEOacuteRICO 10
21 Teoriacuteas 10
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales 11
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica 15
213 Meacutetodo Montessori 17
214 El juego como herramienta de aprendizaje 24
215 Los materiales manipulativos 25
22 Conceptos 26
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten 26
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar 30
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten 36
3 MARCO DE REFERENCIA 40
31 Contextual 40
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos 40
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia 42
32 Institucional 52
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
VIII
4 MARCO METODOLOacuteGICO 55
41 Meacutetodos 55
411 Enfoque del Trabajo 55
42 Teacutecnicas 56
421 Pre-test 59
422 Post-test 64
43 Anaacutelisis 69
431 Resultados Generales 70
432 Impacto 71
5 CONCLUSIONES 74
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test 76
Referencias 78
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
IX
LISTA DE IMAacuteGENES IMAGEN 1 LIacuteNEA DE TIEMPO REGULACIOacuteN DE LA EVALUACIOacuteN EN COLOMBIA 16
IMAGEN 2 LOS CUATRO PLANOS DE DESARROLLO DE MARIacuteA MONTESSORI FUENTE (VALLCANERA 2017)
22
IMAGEN 3 DIFERENCIAS ENTRE EL MEacuteTODO MONTESSORI Y EL SISTEMA TRADICIONAL FUENTE (KINDER
CASA DEI BAMBINI SF) 23
IMAGEN 4 ETAPAS DEL DESARROLLO COGNOSCITIVO DE PIAGET FUENTE (RAFAEL LINARES 2009 PAacuteG
2) 26
IMAGEN 5 TABLERO DE AJEDREZ MONTESSORI FUENTE (MUMUCHU 2017) 31
IMAGEN 6 MATERIAL MONTESSORI FUENTE (EL MEacuteTODO MONTESSORI EXPLICADO A PRINCIPIANTES
2017) 32
IMAGEN 7 PRIMER PASO AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 33
IMAGEN 8 SEGUNDO PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 9 SEGUNDO PASO (B) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 34
IMAGEN 10 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 11 TERCER PASO (A) AJEDREZ DE MONTESSORI FUENTE (HAMEURY 2013) 35
IMAGEN 12 PRIMER PASO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 13 PASO DOS MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 37
IMAGEN 14 PASO TRES CUATRO MULTIPLICACIOacuteN JAPONESA FUENTE (ACADEMIA PLAY 2016) 38
IMAGEN 15 LIacuteNEA DE TIEMPO FUNDAMENTO NORMATIVO EN FORMACIOacuteN MATEMAacuteTICA 42
IMAGEN 16 DIAGRAMA DE CAJA PRE-TEST GRUPO CONTROL 62
IMAGEN 17 DIAGRAMA DE CAJAS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 64
IMAGEN 18 DIAGRAMA DE CAJA POST-TEST GRUPO CONTROL 67
IMAGEN 19 DIAGRAMA DE CAJAS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 69
LISTA DE TABLAS TABLA 2 CLASIFICACIOacuteN DE ALGORITMOS SEGUacuteN USISKIN (1998) FUENTE (GALLARDO ROMERO 2004
PAacuteG 73) 28
TABLA 1 ELEMENTOS COMUNES DE LAS PEDAGOGIacuteAS ALTERNATIVAS FUENTE (BENITEZ RASERO 2017
PAacuteG 23) 41
TABLA 3 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO CONTROL 61
TABLA 4 REGISTRO DE RESULTADOS PRE-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 63
TABLA 5 REGISTRO DE RESULTADOS POST TEST GRUPO CONTROL 66
TABLA 6 REGISTRO DE RESULTADOS POST-TEST GRUPO EXPERIMENTAL 68
TABLA 7 TABLA DE CONTINGENCIA PROMEDIO DE ACIERTOS 70
TABLA 8 FACTOR DE GANANCIA NORMALIZADA EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
LISTA DE GRAacuteFICOS GRAacuteFICO 1 PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOS PRE-TEST Y POS-TEST 71
GRAacuteFICO 2 FACTOR DE HAKE EN GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL 73
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
1 INTRODUCCIOacuteN
ldquoCuando decimos que todo tiempo pasado fue mejor condenamos al futuro sin
conocerlordquo (Goacutemez de Quevedo sf)
En la actualidad los procesos acadeacutemicos se han visto envueltos en
escenarios de constante transformacioacuten metodoloacutegica y los adelantos tecnoloacutegicos
contribuyen de manera sustancial con esta realidad sin embargo existen brechas
que auacuten continuacutean acentuadas entre la manera de pensar y el modo de actuar en
el contexto educativo
Hablar de educacioacuten supone consigo un entramado infinito de pensamientos
corrientes modelos y acciones encaminados al alcance del bien comuacuten la
educacioacuten misma ha sido definida por muchos con la intencioacuten de enfatizar la
manera en que esta pretende accionar propoacutesitos sociales en donde el ser
humano se forma para estar presto y listo a cumplir su rol en la comunidad
Autores como Spencer y W James (citados por Graefe Aguado 2011) mostraban
la importancia de educar pensando en el otro haciendo uso de la ideologiacutea y la
loacutegica colectiva Spencer (sf) afirma La funcioacuten de educar es el proceso de
preparar al hombre para la vida completa
En consecuencia de la mano de este tipo de aseveraciones es correcto
pensar que un medio preciso para cerrar o al menos disminuir la brecha entre
pensamiento y accioacuten en el contexto educativo es el seguimiento a modelos
acadeacutemicos que atiendan a esta verdad el hombre necesita ser preparado para la
vida completa y no para respuestas o situaciones inmediatistas por ende primar
el desarrollo de pedagogiacuteas convencionales en el aula podriacutea ser el modo de
anclar la escuela a situaciones inamovibles llenas de costumbres arraigadas que
desconocen la evolucioacuten propia del mundo y consigo del sistema educativo
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
2
Pensadores como J Comenius et al (1592-1670) hablaron siempre de la
imposibilidad de mantenernos atados a pedagogiacuteas acostumbradas por eso
sentaron bases para la formacioacuten y surgimiento de ensentildeanzas que rompieran
dichos esquemas permitieacutendoles salir de circunstancias convencionales
Ahora bien si se centra la atencioacuten en el contexto educativo de la actualidad
se observa como distintos autores continuacutean afirmando reiteradamente al menos
un mismo postulado en palabras de Pilar Catantildeo (2003) ldquola educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral (hellip) es uno de los cimientos sobre los
cuales se edifica una sociedadrdquo Asiacute pues debe estar encausada en responder a
la versatilidad del mundo en la actualidad un espacio globalizado en donde las
fronteras se disuelven a razoacuten de responder con mayor inmediatez a las
necesidades que hoy diacutea imperan en nuestra sociedad El nintildeo en su rol de
estudiante debe ser entendido entonces como base de dicha transformacioacuten
social por consiguiente los esfuerzos a realizarse han de estar iacutentimamente
ligados a tal realidad
En su ensayo sobre la atencioacuten al nintildeo como base de sistemas de educacioacuten
de calidad el Dr Franklin Martiacutenez Mendoza enuncia un postulado que ilustra de
manera completa la idea expuesta anteriormente Martiacutenez Mendoza (sf) afirma
Debe ser un proceso educativo en cuyo centro esteacute el nintildeo y la nintildea como
protagonista esencial lo cual no significa como a veces se interpreta que ha
de hacerse lo que ellos quieran y decidan sino que deben concebirse las
acciones educativas en funcioacuten de sus necesidades e intereses para lograr
una participacioacuten activa y cooperadora no como algo que el educador da y el
nintildeo y la nintildea se limitan a recibir sino como acciones que desean realizar y
que les proporcionan satisfaccioacuten y alegriacutea (p4)
Sentando una posicioacuten consecuente con las palabras del Dr Martiacutenez
Mendoza es posible concebir la educacioacuten como el espacio pensado por y para
los nintildeos en donde ellos como protagonistas viven tambieacuten un rol pasivo en
cuanto a lo referente a planeacioacuten y acciones pedagoacutegicas desempentildeadas por el
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
3
docente y la escuela misma es por esta razoacuten que son las instituciones y
entidades encargadas de proveer el servicio educativo quienes deben inquietarse
frente a la manera en que se desarrollan y vivencian los procesos pedagoacutegicos al
interior del aula para ser garantes de que los medios modelos y acciones
implementadas respondan eficientemente a las necesidades e intereses de los
nintildeos y joacutevenes en su rol de estudiantes
La escuela es de este modo el primer escenario llamado a re significar sus
praacutecticas de aula para responder de forma adecuada a las necesidades actuales
de la sociedad y para ello considerar el uso y apropiacioacuten de modelos alternativos
es una opcioacuten viable que busca atender a esta situacioacuten El proceso simbioacutetico de
ensentildeanza y aprendizaje debe ser consecuente con las transformaciones
pedagoacutegicas que se den en el aula y para ello ldquoes impostergable dotar al docente
de conocimientos y habilidades especiacuteficos relacionados con la ensentildeanza-
aprendizaje (hellip) y propiciar una actitud criacutetica en cuaacutento a la resolucioacuten de
problemas en el saloacuten de clasesrdquo (Gilboacuten Majmutova Pfleger amp Donagrave 2005 paacuteg
322)
La ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajena a la realidad
cambiante de nuestra sociedad pero muy a pesar de muchos es quizaacutes uno de las
aacutereas en donde la brecha entre pensamientos y acciones se encuentra maacutes
marcada aun cuando se siguen sumando esfuerzos y contribuciones por parte de
diversos autores que comprenden y enfatizan la imperiosa necesidad de volcar la
manera de abordar su contenido se puede observar como al interior de las
instituciones educativas continuacutean empleaacutendose modelos y metodologiacuteas
tradicionales basadas en no maacutes que el desarrollo de algunas competencias y si
acaso un par de sus pensamientos desconociendo por completo la didaacutectica
propia del aacuterea y el insistente esfuerzo de las autoridades educativas por atacar de
manera directa esta problemaacutetica
Dichos modelos alternativos podriacutean llegar a ser vistos como intemporales por
la vigencia que mantienen aun cuando sus creadores yo autores permanezcan
inscritos a momentos histoacutericos de la pedagogiacutea tradicional sin embargo su
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
4
aporte radica en los beneficios del juego para el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico integral en el nintildeo (Edo amp Deulofeu 2004)
Para Piaget e Inhelder (citados por Burata Escorza 2015 paacuteg 4) en el
proceso educativo inicial correspondiente a la educacioacuten baacutesica primaria los nintildeos
no han asimilado y acomodado correctamente el pensamiento abstracto motivo
por el cual llevarlos a la utilizacioacuten de materiales concretos a traveacutes de su correcta
manipulacioacuten es indudablemente la respuesta para mejorar el paso por la escuela
y obtener mejores resultados al interior del aula
11 Descripcioacuten del problema
La multiplicacioacuten es y ha sido vista por siglos como el conjunto sistemaacutetico de
pasos para llegar a un producto a traveacutes de un algoritmo tradicional en el que los
nintildeos hacen uso de la memoria para reconocer y repetir adecuadamente una serie
de instrucciones pero como ya ha sido expuesto en diferentes ocasiones el uso
de esta estrategia tradicional desconoce los saberes y conocimientos previos del
nintildeo y esto en algunos casos no motiva ni alienta a los mismos para el alcance
de un aprendizaje significativo (Goacutemez Chacoacuten 2000)
El meacutetodo tradicional de ensentildeanza matemaacutetico de la multiplicacioacuten basado en
la implementacioacuten del algoritmo del producto ha sido el meacutetodo utilizado en las
escuelas colombianas para dicho propoacutesito este se basa en el seguimiento de un
conjunto de pasos ordenados y sistemaacuteticos que al principio es sencillo pero a
medida que aumentan las cifras de los factores se convierte en un proceso maacutes
arduo y engorroso
En la fase de identificacioacuten del problema se determinaron las rutas a seguir
para realizar la investigacioacutenintervencioacuten en compantildeiacutea de los demaacutes docentes
del aacuterea de matemaacuteticas de la IE Instituto Latinoamericano se socializaron
diversas dificultades expuestas por el grupo docente con referencia en los
resultados de las pruebas saber tercero aplicadas en los antildeos inmediatamente
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
28
Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
29
su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
32
Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
33
Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
35
Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
36
223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
37
Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
38
3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
39
Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
5
anteriores 2013 y 2014 en estas se observaba que el componente numeacuterico se
ubicaba por debajo de la media nacional y las recomendaciones haciacutean alusioacuten a
algunos Estaacutendares Baacutesicos de manera especial a aquel que trata sobre
estrategias de caacutelculo en situaciones aditivas y multiplicativas ldquoUso diversas
estrategias de caacutelculo (especialmente caacutelculo mental) y de estimacioacuten para
resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativasrdquo (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 80)
En acuerdo con los resultados obtenidos por la IE en las pruebas Saber
tercero se identifica que una de las falencias de los nintildeos de grado tercero de
baacutesica primaria reside en la poca destreza que poseen para realizar caacutelculos
aritmeacuteticos en situaciones aditivas y multiplicativas
12 Justificacioacuten
Los modelos alternativos incursionan en la aplicacioacuten y uso de meacutetodos no
tradicionales para responder a competencias propias del aacuterea de las
matemaacuteticas como lo son los procesos de caacutelculo las bases de conteo la
claridad conceptual la comprensioacuten general la experiencia sensorial entre otros
Por la anterior razoacuten el presente documento pretende mostrar alternativas de
intervencioacuten diferentes como una opcioacuten para responder a la innegable necesidad
social que vivimos en la actualidad una sociedad cansada de repetir y en donde la
memoria pasa a un segundo plano gracias al adelanto de las tecnologiacuteas que sin
desplazar los procesos memoriacutesticos ponen a nuestro alcance herramientas y
elementos inmediatistas Debemos reconocer que los protagonistas del sector
educativo hemos sido participes y conspiradores esenciales en la creacioacuten de
estas herramientas inmediatistas pues si bien no lo es en todos los casos con la
implementacioacuten de los modelos tradicionales que diacutea a diacutea llevamos al aula nos
hemos encargado de que sean nuestros estudiantes quienes aborrezcan las
matemaacuteticas al punto de que faacutecilmente acepten la idea de todo aquello que
signifique el menor esfuerzo aun cuando estas ideas vayan ligadas al
6
desconocimiento total o parcial de las habilidades propias del aacuterea y las
competencias fundamentales que ellas aportan
Con base en lo anterior la posibilidad de generar cambios en las praacutecticas
educativas de aula o al menos generar conciencia docente sobre las metodologiacuteas
tradicionales y no tradicionales de las que estamos armados para enfrentarnos al
quehacer propio de la escuela es un esfuerzo maacutes aunado al postulado de
muchos que consideran que los estudiantes deben comprender las matemaacuteticas
para poder llevarlas a la praacutectica a traveacutes de aplicaciones consecuentes con el
desarrollo de sus competencias (Alsina Aacute 2009) y asiacute en palabras del escritor
espantildeol del siglo de oro Francisco de Quevedo no simplemente pensar que todo
tiempo pasado fue y ha sido mejor para condenar nuestro futuro y el de los nintildeos
sin siquiera conocerlo (Goacutemez de Quevedo sf)
13 Preguntas orientadoras
La ensentildeanza de las matemaacuteticas ha sido cuestionada a lo largo de la historia
por la manera en que pareciera estar estancada en un mundo que se encuentra
inmerso en una situacioacuten de total y absoluto cambio Debemos reconocer que
muchos de los acadeacutemicos que se han comprometido con el desarrollo de esta
aacuterea han realizado aportes significativos para su transformacioacuten y adecuada
evolucioacuten sin embargo es posible observar como la realidad en un amplio
porcentaje de las aulas desconoce dichas contribuciones y se mantiene estricta en
la implementacioacuten del meacutetodo algoriacutetmico tradicional que termina por convencer a
la comunidad educativa de aquello que el voz a voz se ha encargado de difundir
las matemaacuteticas son difiacuteciles las matemaacuteticas no son para todos hellip entre otros
El aprendizaje de las matemaacuteticas entonces no solo es cuestioacuten de
habilidades no se trata en todos los casos de cuan competente resulta ser el nintildeo
al hacer frente a esta aacuterea sino tambieacuten de las posibilidades que tiene el docente
de impartir un nuevo conocimiento a traveacutes de estrategias que motiven al
7
estudiante y no por el contrario lo lleven a pensar seguacuten Font (1994) ldquono sirvo
soy inuacutetil etcrdquo (paacuteg13)
Para Ausubel (1983) las bases del aprendizaje radican en el hecho de tener la
capacidad de evocar un cierto tipo de recuerdo conocimiento previo que de la
mano de una efectiva motivacioacuten logran conectar y otorgar relevancia a un
determinado concepto este proceso es denominado aprendizaje significativo asiacute
pues
En efecto si se ensentildea matemaacuteticas asignando una importancia fundamental
a la memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas sin preocuparse de que el
alumno comprenda las estructuras que justifican estas reglas se fomenta
una visioacuten de las matemaacuteticas de tipo mecaacutenico es decir el alumno
considera que aquello que es esencial en las matemaacuteticas es la utilizacioacuten
mecaacutenica de una serie de procedimientos algoriacutetmicos ejecutados con una
cierta rapidez (Font 1994 paacuteg 13)
Es tal vez la concepcioacuten de basar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje en la
memorizacioacuten de conceptos y teacutecnicas la que hoy diacutea nos pone en la difiacutecil
situacioacuten en la que nos encontramos estamos presenciando el descenso de una
generacioacuten que realiza caacutelculos matemaacuteticos de manera desprevenida haciendo
uso de los medios de los que dispone el auge de las tecnologiacuteas trae consigo la
inmediatez incuestionable de resultados que evitan que nos alertemos por el
desconocimiento de la estructura que pudo llevarnos a ellos perdemos pericia y
aunque nos hacemos competentes en el uso de herramientas es posible que
perdamos de vista la importancia de reconocer y comprender los cinco procesos
generales de la actividad matemaacutetica seguacuten los EBC (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 51) formular y resolver problemas modelar
procesos y fenoacutemenos de la realidad comunicar razonar y formular comparar y
ejercitar procedimientos y algoritmos
Para Mariacutea Montessori La meta de la educacioacuten debe ser cultivar el deseo
natural por aprenderrdquo (como se cita en Silva amp Campos 2003 paacuteg 5) y tras esta
8
loacutegica deberiacuteamos encontrarnos en la posibilidad de realizar caacutelculos matemaacuteticos
a partir de aquello que maacutes nos motiva y por ello el juego puede llegar a ser
considerado un elemento motivador natural Es asiacute pues como este consolidado
investigativo surge con la idea de dar respuesta a alguna duda que haga parte del
quehacer docente en cuanto se inquiete con respecto a la manera en que
habitualmente se desarrollan uno u otro contenido general yo especifico Y esta
inquietud ha de ser vista como el nicho de nuevas posibilidades pues ya bien lo
deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (540-480 ac) ldquonada es permanente en la vida a
excepcioacuten del cambiordquo
Ahora bien la principal duda que suscita el desarrollo de esta intervencioacuten se
basa en el deseo de dar respuesta a las siguientes preguntas orientadoras a partir
de las cuales se desarrolla el presente documento
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el
ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
9
14 Objetivos
Una vez identificado que uno de los problemas en la Institucioacuten radica en la
ineficiencia demostrada en las pruebas saber por los nintildeos de tercer grado con
respecto al uso de diversas estrategias de caacutelculo se indaga sobre coacutemo
encontrar posibles situaciones que permitan solventar el problema ya mencionado
se plantean metodologiacuteas para la multiplicacioacuten menos engorrosas que permitan al
nintildeo agilizar sus procesos de caacutelculo matemaacutetico innovando en la escuela a
traveacutes del uso y aplicacioacuten de meacutetodos de ensentildeanza de multiplicacioacuten
alternativos asiacute podraacute determinarse la efectividad de dichos meacutetodos por medio
de la contrastacioacuten con los meacutetodos tradicionales De este modo se espera
potenciar habilidades de caacutelculo matemaacutetico y cuantificar las bondades de los
meacutetodos a contrastar durante el desarrollo del trabajo
141 Objetivo General
Determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos matemaacuteticos no
tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo
japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos tradicionales en nintildeos de
grado tercero de primaria de la IE Instituto Latinoamericano de la ciudad de
Manizales
142 Objetivos Especiacuteficos
a) Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos de grado tercero de
primaria a traveacutes del uso de estrategias no convencionales de
multiplicacioacuten
b) Cuantificar la utilidad de emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no
convencionales como el ajedrez de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el
aula de clase por medio de la utilizacioacuten del factor de ganancia de Hake
10
2 MARCO TEOacuteRICO
21 Teoriacuteas
La educacioacuten Colombiana ha estado ampliamente enmarcada en la utilizacioacuten
de meacutetodos de ensentildeanza tradicionales que responden a una insipiente y
preocupante verdad que se explica en palabras del sentildeor Juliaacuten De Zubiriacutea en uno
de sus artiacuteculos cientiacuteficos en donde hace referencia al maestro y la educacioacuten
del siglo XXI dando postura de la realidad educativa de una sociedad que
pareciera atascada en sus modelos procesos y metodologiacuteas
El mundo exige flexibilidad y creatividad para adaptarse a una vida
profundamente cambiante y la escuela asume curriacuteculos fijos delimitados
desde siglos atraacutes Unos joacutevenes que viviraacuten en el Siglo XXI formados con
maestros del siglo XX pero con modelos pedagoacutegicos y curriacuteculos del siglo
XIX (De Zubiriacutea 2013 paacuteg 7)
Cuestionar estos meacutetodos de ensentildeanza se ha convertido en el punto de
partida de trabajos de investigacioacuten e intervencioacuten que buscan entre otros
determinar el impacto posible de romper con los paradigmas tradicionales a traveacutes
de innovaciones acadeacutemicas y pedagoacutegicas que se desarrollan en el aula
muestra de ello el incansable deseo de las autoridades pedagoacutegicas y acadeacutemicos
a escala nacional quienes desde comienzos del siglo XXI han direccionado su
trabajo a mejorar los procesos conceptuales y la apropiacioacuten docente de la
didaacutectica propia de las matemaacuteticas es asiacute como el surgimiento de Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006) y los
Derechos Baacutesicos de Aprendizaje (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015)
son hoy diacutea junto con los Lineamientos Curriculares la base para edificar una
educacioacuten dirigida al alcance de mejoras acadeacutemicas que permitan en dialogo
11
con Montessori que el nintildeo alcance y descubra su mayor potencial como ser
humano (Montessori 1914)
211 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos tradicionales
A continuacioacuten se encuentra un apartado dirigido a sentildealar algunos detalles
relevantes para el entendimiento del proceso simbioacutetico de ensentildeanza y
aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de los meacutetodos propios de la educacioacuten
tradicional este recorrido conceptual busca presentar de manera precisa cuatro de
las maacutes relevantes singularidades de dicha educacioacuten como lo son a) la
importancia que cobran las representaciones semioacuteticas b) la relacioacuten dialeacutectica
entre materiales ostensivos y no ostensivos c) la continuidad deliberada del
verbalismo d) las precisiones sobre el curriacuteculum
Sumado a lo anterior se enfatiza como en la actualidad la educacioacuten
tradicional continua vigente y se impone como el meacutetodo por excelencia utilizado
en las instituciones educativas colombianas para la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
a) Importancia de las representaciones semioacuteticas
En su escrito sobre los problemas y desafiacuteos que afronta en la actualidad la
educacioacuten matemaacutetica Michegravele Artigue asevera que la ensentildeanza de esta aacuterea
continuacutea estrechamente ligada a procesos semioacuteticos donde los siacutembolos se
mantienen protagonistas aliados inherentes al ldquoambiente de laacutepiz y papelrdquo pues
se conciben como instrumentos maacutes ostensivos para el trabajo matemaacutetico ldquopor
supuesto lo anterior indica claramente que la atencioacuten a las herramientas
materiales y simboacutelicas del trabajo matemaacutetico es necesaria para el alumno yo
para el que ensentildea cualquiera que sea el ambiente de trabajo donde sea
consideradordquo (Artigue 2004 paacuteg 21)
12
De acuerdo con esto los ambientes de aula en la educacioacuten tradicional
continuacutean privilegiando el uso de ldquolaacutepiz y papelrdquo o ldquomarcadortiza y tablerordquo seguacuten
sea el caso para realizar procesos de caacutelculo matemaacutetico la solucioacuten de
algoritmos es la herramienta principal para el alcance de las competencias del
aacuterea sin discriminar la edad el grado o el nivel educativo al que se haga alusioacuten
bien podriacutea ser el caso de una multiplicacioacuten de naturales en grado tercero o el
caacutelculo del aacuterea bajo la curva a traveacutes de integrales definidas en la educacioacuten
media para cualquiera de estas situaciones existe una serie de pasos a seguir
que acompantildeados de la memoria permiten llegar de manera sistemaacutetica al
resultado Es asiacute como identificar una serie de signos otorgarle unos significados
a cada uno de ellos y estar en la posibilidad de seguir una a una las instrucciones
para obtener el resultado es la base para desarrollar competencias matemaacuteticas
a la luz de la educacioacuten tradicional
Parafraseando a Artigue los consolidados investigativos de Duval (1995) son
un aproximado conceptual que posibilitan entender el postulado expreso en el
paacuterrafo anterior Duval sentildeala la importancia que tiene para las matemaacuteticas el
adecuado uso de las ldquorepresentaciones semioacuteticasrdquo de manera tal que realiza un
bosquejo elemental a partir del cual la didaacutectica del aacuterea se despliega en torno al
uso de grafiacuteas y signos comunes llenos de significado para los individuos
involucrados en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje asegura a su vez que es no
puede existir ldquonoesis1 sin semiosisrdquo es decir no hay pensamiento sin siacutembolos
b) Relacioacuten dialeacutectica entre materiales ostensivos y materiales no
ostensivos
Seguacuten Artigue en los trabajos desarrollados por Bosch y Chevallard (1999)
su aporte se encuentra dirigido a dilucidar la relacioacuten entre los objetos ldquoostensivos
y no ostensivosrdquo de las matemaacuteticas con respecto a esto afirma
1 Noesis Del gr νόησις noacuteēsis f Fil Visioacuten intelectual pensamiento (DLE 2018)
13
Los objetos matemaacuteticos son objetos no ostensivos no se los puede ver
manipular tocar en el sentido fiacutesico de estos teacuterminos El trabajo sobre estos
objetos pasa en efecto por la manipulacioacuten de ostensivos de naturaleza
diversa escrituras simboacutelicas dibujos y esquemas lenguaje natural gestos
artefactos diversos (Artigue 2004 paacuteg 20)
Asiacute las cosas convocando a la autora las relaciones existentes entre estos
tipos de objetos es de caraacutecter dialeacutectica pues en dialogo mutuo entre ldquomateriales
ostensivos y no ostensivosrdquo se argumentan y dan sentido de manera bilateral
Lo anterior se presenta como la segunda caracteriacutestica inherente a los
procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas a traveacutes de la
educacioacuten tradicional pues es precisamente esta relacioacuten la que permite sentildealar
cuaacuten importante se considera el uso de instrumentos simboacutelicos (materiales no
ostensivos) que logran ser ratificados a partir del uso y apropiacioacuten de algoritmos
(materiales ostensivos) y otras herramientas graacuteficas propias de las metodologiacuteas
tradicionales
c) Continuidad deliberada del verbalismo
El uso del lenguaje hablado es entendido como una de las herramientas
comunicativas por excelencia de la actividad matemaacutetica sus aportes para el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje de esta aacuterea son resaltados por diversas
autoridades asiacute como se afirma en el documento maestro sobre Estaacutendares
Baacutesicos de Competencias del MEN
A pesar de que suele repetirse lo contrario las matemaacuteticas no son un
lenguaje pero ellas pueden construirse refinarse y comunicarse a traveacutes de
diferentes lenguajes con los que se expresan y representan se leen y se
escriben se hablan y se escuchan (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2006 paacuteg 54)
14
Sin embargo la ensentildeanza de las matemaacuteticas a traveacutes de meacutetodos
tradicionales ha encontrado una zona de confort en la oralidad La actividad
matemaacutetica en ambientes de educacioacuten tradicional estaacute presidida por el uso de un
lenguaje verbal que sucede sin interrupcioacuten y a voluntad y otorgando roles claros
a sus protagonistas el docente habla y el estudiante escucha desconociendo de
este modo su caraacutecter de herramienta comunicativa y acercaacutendolo a la definicioacuten
de verbalismo que lo conduce a ldquofundar el razonamiento maacutes en las palabras que
en los conceptosrdquo es decir la educacioacuten tradicional hace uso de ldquoprocedimientos
de ensentildeanza en los que se cultiva con preferencia la memoria verbalrdquo (DLE
2018)
En los esquemas tradicionales los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten matemaacutetica se accionan a partir de una continuidad deliberada del
verbalismo en donde ldquoel profesor es el uacutenico que habla no obstante que la
verbalizacioacuten es la estrategia menos adecuada para generar lo que idealmente
deberiacutea lograr la docencia en los alumnos que participan en el acto educativordquo
(Reynoso 2008 paacuteg 14)
d) Precisiones sobre el curriacuteculum
Para el pedagogo y ensayista espantildeol Jurjo Torres en su libro ldquoEl curriacuteculum
ocultordquo existen dos tipos de curriacuteculum al interior de la escuela el expliacutecito y el
oculto dentro de sus precisiones sobre ldquoel curriacuteculum expliacutecito u oficialrdquo afirma
que se trata de los planes inmediatos que muestran la normatividad legal y los
contenidos miacutenimos obligatorios en dialogo con los lineamientos y directrices
nacionales y a su vez aquellos proyectos y acciones de la institucioacuten enmarcadas
en las caracteriacutesticas propias de su contexto mientras que ldquo el curriacuteculum ocultordquo
son en general las destrezas habilidades y particularidades que se dan como
resultado del quehacer institucional es decir consecuencias del proceso de
ensentildeanza- aprendizaje (Torres 1998)
15
En palabras de Burata la ensentildeanza de las matemaacuteticas estaacute viciada por el
deseo imperante en la escuela de responder a las presiones determinadas por el
curriacuteculum los libros y materiales impresos se convierten en camisa de fuerza y
tras la ambicioacuten por seguirlos ldquose insiste en ensentildear conceptos a los alumnos sin
que hayan alcanzado las nociones previas necesarias no hay compresioacuten y se
opta por la mecaacutenicardquo (Burata Escorza 2015 paacuteg 13)
Para Alan Bishop el curriacuteculum se encuentra orientado a la tecnicidad de los
contenidos y procura evidenciar que los estudiantes se encuentren en capacidad
de repetir sistemaacuteticamente una serie de pasos y patrones vistos en clase
acciones meramente monoacutetonas que no permiten demostrar apropiacioacuten de los
procedimientos y conocimientos innatos a dichas teacutecnicas por tal motivo es loacutegico
determinar que no hay comprensioacuten conceptual y en consecuencia los
estudiantes no se encuentran preparados para responder adecuadamente a las
diversas situaciones que requieran de su postura una vez se ven expuestos a la
resolucioacuten de un problema especiacutefico (Bishop 1998 paacuteg 25)
En dialogo con Burata (2015) quien cita a Bishop en el desarrollo de su
propuesta de intervencioacuten se ilustra como las precisiones del curriacuteculum son una
caracteriacutestica presente en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de la
educacioacuten tradicional pues afirma que ldquoun curriacuteculum dirigido al desarrollo de
teacutecnicas no puede educar solo puede instruir y adiestrarrdquo (Bishop 1999 paacuteg 26)
212 Evaluacioacuten en educacioacuten matemaacutetica
De otro lado se tiene que el proceso de evaluacioacuten en el sistema evaluativo
colombiano tambieacuten ha venido presentando cambios yo adecuaciones que se
han materializado mediante la expedicioacuten de diferentes normas (decretos
resoluciones) emanadas del MEN a traveacutes de las cuales se han establecido
criterios de caraacutecter cualitativo en algunos momentos y en otros criterios de iacutendole
cuantitativo o hasta la combinacioacuten de los dos modelos
16
Asiacute las cosas se tiene que en materia del proceso de evaluacioacuten de aprendizaje
en Colombia se pueden recrear la transicioacuten normativa de los mismos en la
siguiente liacutenea del tiempo
Imagen 1 Liacutenea de tiempo Regulacioacuten de la evaluacioacuten en Colombia
No obstante lo cual no se puede dejar pasar por el alto el hecho que en
materia de evaluacioacuten del aprendizaje en la educacioacuten baacutesica primera y media se
generoacute un paso o una transicioacuten de la calificacioacuten numeacuterica sobre diez (10) a un
proceso de instruccioacuten cualitativo ndash numeacuterico (Decreto 1002 del de 1984 y
Resolucioacuten 17486 de 1984)
Asiacute mismo se tiene que bajo la vigencia del Decreto 1860 de 1994 se
establecieron nuevamente procesos de valoracioacuten eminentemente de caraacutecter
cuantitativo con tres indicadores y sin equivalencia numeacuterica alguna situacioacuten
que a su turno se contrasta con el contenido y mandato traiacutedo por el Decreto 230
de 2002 en tanto el mismo definioacute una calificacioacuten de tendencia conceptual y sin
equivalencia numeacuterica pero con el establecimiento de cinco indicadores que
permitiacutean determinar de una manera maacutes objetiva el proceso llevado a cabo por el
alumno
Ahora bien atendiendo la liacutenea o periodo de tiempo en que se desarrolla el
presente trabajo investigativo es dado realizar especial eacutenfasis en el
direccionamiento dado por el Decreto 1290 de 2009 ldquoPor el cual se reglamenta la
evaluacioacuten del aprendizaje y promocioacuten de los estudiantes de los niveles de
educacioacuten baacutesica mediardquo en tanto es la norma que establecioacute los criterios de
17
evaluacioacuten que vienen aplicando desde el antildeo de expedicioacuten hasta la fecha de
establecimiento de este trabajo
Del citado fundamento normativo esto es del Decreto 1290 del antildeo 2009 se
tiene que el mismo refirioacute la introduccioacuten de dos criterios esenciales a resaltar de
un lado otorgoacute a cada una de las Instituciones Educativas el deber de establecer
las escalas de valoracioacuten de los desempentildeos de los estudiantes asiacute como el
hecho que establecioacute en el artiacuteculo 5 una escala de valoracioacuten de caraacutecter
nacional compuesta por cuatro desempentildeos bajo baacutesico alto y superior De otro
lado conforme lo preceptuado en el artiacuteculo 1 de la referida norma mismo
contribuyoacute a ampliar el proceso de los aprendizajes de los alumnos incorporando
las evaluaciones de las pruebas internacionales y nacionales
En conclusioacuten se tiene que los criterios que ha definido el MEN en materia de
evaluacioacuten al proceso de aprendizaje que refiere a los alumnos y
especiacuteficamente para el aacuterea de matemaacuteticas es uacutetil para reconocer lo que los
estudiantes ya saben lo que van aprendiendo en interaccioacuten con lo que ya saben
y lo que finalmente logran aprender (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional
2014 paacuteg 11)
213 Meacutetodo Montessori
Hablar del meacutetodo Montessori es hablar de una educacioacuten a partir del juego
que ofrece al nintildeo la oportunidad de explorar y convertirse en centro de su proceso
de aprendizaje los adultos a traveacutes de una observacioacuten participante sirven de guiacutea
y apoyo para el nintildeo quien en su necesidad de hallar respuestas para aquello
que le inquieta se relacionaraacute y aprenderaacute de su entorno eso que su naturaleza
misma le indica
El meacutetodo Montessori es un meacutetodo experiencial clasificado dentro de las
pedagogiacuteas activas descubrir da significado a dichas experiencias y a su vez
cimentan la formacioacuten de nuevo conocimiento a partir de las situaciones vividas
18
Lesley Briton (2000) en su libro sobre ldquoJugar y aprender con el meacutetodo
Montessorirdquo realiza una precisa descripcioacuten sobre las particularidades esenciales
del meacutetodo dentro de tal descripcioacuten menciona una serie de peculiaridades que
Montessori tilda de elementos que hacen parte de la normalidad de cualquier nintildeo
a estos los llama ldquolas caracteriacutesticas universales de la infanciardquo y exponen que auacuten
cuando los nintildeos nazcan o desarrollen en una u otra parte todos se encuentran
sujetos al desarrollo de una cierta cantidad de actitudes que los representan sin
discriminacioacuten alguna la autora enlista estas caracteristicas de la siguiente
manera
Todos los nintildeos tienen una mente laquoabsorbenteraquo
Todos los nintildeos pasan por periacuteodos laquosensiblesraquo
Todos los nintildeos quieren aprender
Todos los nintildeos aprenden por medio del juegotrabajo
Todos los nintildeos pasan por diversas etapas de desarrollo
Todos los nintildeos quieren ser independientes
(Briton 2000 paacuteg 19)
De este modo se realiza un compendio general de las caracteriacutesticas que
forman el meacutetodo ahondar en cada una de ellas ofreceraacute suficientes herramientas
para entender las implicaciones e incidencias de este en los modelos educativos
a) Tienen una mente absorbente
El aprendizaje en los nintildeos es considerablemente diferente al que se da en los
adultos pues a diferencia de ellos el nintildeo aprende raacutepidamente sobre aquello con
lo que interactuacutea Como lo expresa Briton (2000 paacuteg 20) es de este modo como
Mariacutea Montessori introduce el concepto de ldquomente absorbente del nintildeordquo Los nintildeos
tienen el origen de su desarrollo social basados en aquello con lo que interactuacutean
19
de este modo es faacutecil suponer que sus actuaciones estaraacuten determinadas por los
usos y costumbres con las que a diario tienen contacto Montessori (1914) afirma
que esta primera etapa de desarrollo del nintildeo se da en la edad temprana entre los
0 y 3 antildeos antes de que inicie el pensamiento consciente en donde ademaacutes de la
cultura interviene la voluntad dicha etapa en la que se desarrolla ldquola mente
conscienterdquo (Briton 2000 paacuteg 21) es un momento cargado de preguntas e
interminables inquietudes por parte del nintildeo comprende las edades entre los 4 y 6
antildeos y es un tiempo de aprendizaje activo que da cuenta de la naturaleza
absorbente de la mente del nintildeo durante esta etapa el nintildeo deberiacutea tener un alto
grado de libertad para determinar sus intereses y permitirle de este modo
desarrollar su potencial
b) Pasan por periodos sensibles
Los nintildeos atraviesan etapas en donde el desarrollo de una u otra actividad se
convierte en su uacutenico motivo de intereacutes parecen repetir una y otra vez cierto tipo
de acciones sin razones que aparentemente expliquen el porqueacute de su
comportamiento Montessori en la explicacioacuten de su meacutetodo atribuye esta
caracteriacutestica a la realidad sensible del nintildeo entendiendo sensible como la
capacidad que tiene este de generar nuevo conocimiento a traveacutes del usos de sus
sentidos es asiacute como pueden desarrollarse uno a la vez o varios intereses en
donde pone a prueba el uso del tacto visioacuten olfato o gusto interactuando de
diversas maneras con su entornos y los objetos que lo constituyen A este uso
inquieto de los sentidos para aprender Montessori lo llama ldquoperiodos sensiblesrdquo
Moreno Romero (sf) afirma que dichos periodos aunque desaparecen dan lugar
a rasgos permanentes de personalidad
Mariacutea Montessori determinoacute que existen una serie de periodos sensibles por
los que pasa el nintildeo en su desarrollo con respecto a esto Briton realiza su
recuento a partir de los siguientes ldquosensibilidad al orden sensibilidad al lenguaje
sensibilidad a caminar sensibilidad a los aspectos sociales de la vida sensibilidad
20
a los pequentildeos objetos y sensibilidad a aprender a traveacutes de los sentidosrdquo (Briton
2000 paacutegs 23-25)
c) Quieren aprender
El nintildeo se encuentra predispuesto al aprendizaje el hecho mismo de estar en
contacto con el ambiente se convierte en punto de referencia para su aprendizaje
experiencial las ldquomanosrdquo constituyen en la etapa inicial un elemento preciado para
el entendimiento de su entorno en ausencia de ellas sus demaacutes sentidos
adquieren la destreza suficiente para permitirle conocer a partir del uso de sus
sentidos como se explica en la caracteriacutestica anterior El ldquojuego espontaacuteneordquo y el
ldquoaprendizaje activordquo son elementos de importancia para desarrollar conocimiento
en el nintildeo combinando dichos atributos de aprendizaje infantil encontramos
entonces cuanta certeza adquiere la idea de ldquoaprender jugandordquo de la que habla
Montessori en uno de sus apartados sobre el juego sustenta que tras realizar un
serie de juegos el nintildeo logra aprender gracias a la experiencia que este le significa
(Montessori 1914 paacuteg 20) Es asiacute como ldquocuando repite continuamente una
actividad estaacute construyendo patrones automaacuteticos que con el tiempo se fijaraacuten
como imaacutegenes mentalesrdquo (Briton 2000 paacuteg 28)
d) Aprenden por medio del juegotrabajo
El juego es un actividad crucial en el desarrollo social afectivo cultural y
cognitivo del nintildeo es a traveacutes de este que desarrolla su pensamiento y voluntad a
diferencia de lo que piensan algunos autores Montessori defiende de manera
enfaacutetica la importancia que tiene el juego en la construccioacuten de conocimiento
sustenta que ldquoa los nintildeos hay que motivarlos ayudarles a buscar una ocupacioacuten
interesante y no interrumpirlos para que puedan nutrir sus mentes con el ejercicio
intelectual (Montessori 1998b 104)rdquo (citado por Moreno Romero sf paacuteg 10)
21
El nintildeo encuentra en el juego el desarrollo de una actividad motivante en la
que intervienen su voluntad y sus intereses le produce agrado y potencia sus
habilidades destrezas y competencias Para Montessori el juego puede ser
entendido como ldquotrabajordquo pues seguacuten sus palabras ldquoel juego satisface soacutelo una
parte de la naturaleza de uno el trabajo va a maacutes profundidad y proporciona
satisfaccioacuten al ser total de unordquo (Montessori sf)
e) Atraviesan diversas etapas de desarrollo
Montessori afirma que el nintildeo realiza su paso de la infancia hacia la adultez
siguiendo cuatro etapas de desarrollo con caracteriacutesticas especiacuteficas en cada una
de ellas entre los 0 y los 24
Sandra Vallcanera autora del libro ldquoMontessori una ayuda para la vidardquo cita a
la autora para explicar de manera concreta en queacute consisten cada una de estas
etapas de desarrollo haciendo alusioacuten a lo radicalmente distintas que son cada
una de ellas y a la manera en la que estas influyen en la formacioacuten de caraacutecter y
personalidad de los rasgos individuales de cada sujeto Montessori llama a estas
etapas ldquoPlanos del desarrollo y explica como ldquosi un plano o periodo no se
satisface se seguiraacute arrastrando para toda la vidardquo (Vallcanera 2017)
Vallcanera presenta en su portal educativo ldquoJaisa crecer jugandordquo una
ilustracioacuten tomada de Roch (sf) que sirve de referencia para explicar
graacuteficamente la teoriacutea sobre ldquoPlanos del desarrollordquo que introduce Montessori
22
Imagen 2 Los cuatro planos de desarrollo de Mariacutea Montessori Fuente
(Vallcanera 2017)
f) Quieren ser independientes
Montessori asegura que el nintildeo tiende sus comportamientos hacia la
buacutesqueda misma de la independencia desde edades muy tempranas el desarrollo
de su voluntad se forja con cada ldquosirdquo o ldquonordquo que el adulto ofrece y el nintildeo aprende
guiado por decisiones propias e impuestas cuales son los liacutemites de su propio
actuar Briton (2000 paacuteg 33) afirma que el nintildeo busca hallar su libertad e
independencia desde el primer momento y una actitud responsable por parte de
los adultos que interactuacutean con eacutel seriacutea ayudarle a traveacutes de una orientacioacuten que
le permita adquirir las habilidades necesarias que lo lleven a resultados esperados
seguacuten sean sus acciones
23
Imagen 3 Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el Sistema Tradicional
Fuente (Kinder Casa dei Bambini sf)
24
214 El juego como herramienta de aprendizaje
El juego ha sido considerado una herramienta motivadora de aprendizaje para
nintildeos en edad escolar la metodologiacutea Montessori habla abiertamente de este
principio y dentro de las categoriacuteas del llamado ldquoMeacutetodo Montessorirdquo encontramos
una alusioacuten a este supuesto ldquoTodos los nintildeos aprenden por medio del
juegotrabajordquo (Briton 2000 paacuteg 19)
Con la inauguracioacuten de la ldquoCasa dei Bambinirdquo oldquoCasa de los nintildeosrdquo el 6 de
enero de 1907 Montessori inicia un proceso de cambio generacional que
repercute notablemente en las teoriacuteas pedagoacutegicas de los siglo XX y XXI si bien
en la actualidad dichos aportes podriacutean ser vistos como obsoletos o anticuados
hay quienes consideran su estrategia metodoloacutegica ldquoatemporalrdquo ldquopues sus
propuestas nacen de la naturaleza y la observacioacuten dedicoacute su vida a los nintildeos y a
intentar hacer entender a los adultos el verdadero sentido de la infancia y la
importancia de eacutestardquo (Zazu 2016) La ldquoCasa de los nintildeosrdquo es disentildeada como un
espacio modificado de acuerdo a las necesidades de los nintildeos sus materiales
propicios y acordes a la edad de los nintildeos responden a los objetivos de su
creacioacuten y le proporcionan al infante una zona donde explorar y desarrollar su
potencial en medio de una libertad monitoreada La adecuacioacuten del ambiente
constituye el punto de partida para un ldquoaprovechamiento racional funcional y librerdquo
del espacio (Meacutetodo Montessori sf)
Tras esta loacutegica adecuar espacios no solo consiste en la modificacioacuten de
muebles y puntos de acceso sino en la disposicioacuten de materiales oacuteptimos para el
alcance de los objetivos propuestos frente a un determinado nuacutemero de acciones
Dichos espacios materiales y objetivos del meacutetodo Montessori responden a la
postura de Deulofeu (2009) quien afirma
ldquopara un aprendizaje de las matemaacuteticas significativo es esencial el uso de
contextos que tengan sentido tanto para el alumno como para el
conocimiento que se quiere desarrollar que debemos facilitarle
25
oportunidades reales para que aprendan a pensar y razonar
matemaacuteticamenterdquo (como se cita en Burata Escorza 2015 paacuteg 14)
Para Alsina et al (2005) las matemaacuteticas deben ser ensentildeadas a partir del
uso de materiales concretos o manipulativos el contexto y el juego deben ser
protagonistas de los procesos simbioacuteticos de ensentildeanza y aprendizaje del
estudiante por consiguiente facilitadores del alcance de oacuteptimos potenciales
acadeacutemicos Este pensamiento dialoga con las ideas del Meacutetodo Montessori cuyo
eje metodoloacutegico ldquoes la autoeducacioacuten entendida como un proceso interior
espontaacuteneo para el que se deben ofrecer materiales apropiados en un ambiente
libre de obstaacuteculosrdquo (Moreno Romero sf paacuteg 12)
215 Los materiales manipulativos
El manejo de materiales concretos ofrece al nintildeo la posibilidad de interactuar
con el objeto que le provee de conocimientos de tipo corporal y matemaacutetico De
este modo la constante interaccioacuten con dichos objetos posibilita la generacioacuten de
conocimiento sensorial que posteriormente evoluciona en la idea de realizar
conexiones entre elementos conocidos situaciones experienciales vividas y
contemplaciones de nuevos resultados es en esta idea que radica el paso
cognoscitivo de aprendizaje a traveacutes de situaciones concretas al aprendizaje por
medio de situaciones abstractas
Las teoriacuteas de desarrollo infantil de Piaget (1973) son un punto de referencia
para entender la manera en que el nintildeo adquiere nuevo conocimiento uno de sus
postulados maacutes importantes es el de las ldquoEtapas del desarrollo cognoscitivordquo en la
que realiza a manera de clasificacioacuten una descripcioacuten que contiene una serie de
caracteriacutesticas especiacuteficas sobre el modo en el que se da el aprendizaje en el ser
humano desde el nacimiento y hasta los 12 antildeos La clasificacioacuten contiene cuatro
etapas de desarrollo a) sensoriomotora b) preoperacional c) operaciones
concretas y d) operaciones formales
26
Imagen 4 Etapas del desarrollo cognoscitivo de Piaget Fuente (Rafael Linares
2009 paacuteg 2)
De acuerdo a estas etapas propuestas por Piaget el nintildeo entre los 7 y 11
antildeos se encuentra en la etapa de las operaciones concretas y en vista de que las
matemaacuteticas son una ciencia abstracta se hace necesario el uso de materiales
didaacutecticos que acerquen sus conceptos a la realidad en la que se encuentra
inmerso
22 Conceptos
221 Algoritmo de la multiplicacioacuten
Abordar de manera desprevenida el teacutermino de algoritmo nos puede llevar a
entenderlo como la serie de pasos consecutivos que conducen de manera teacutecnica
a obtener alguacuten resultado de caacutelculo matemaacutetico Pese a esto en la actualidad
esta concepcioacuten se ha visto diversificada tanto en su entendimiento como en las
apreciaciones conceptuales que le dan definicioacuten
27
Para el PhD En Educacioacuten Matemaacutetica Jesuacutes Gallardo Romero la nocioacuten de
algoritmo se encuentra en un estado de constante reflexioacuten en la actualidad tanto
asiacute que los autores que teorizan sobre ella desconocen en algunas de sus
definiciones uno que otro aspecto esencial que la fundamentan dentro de estos
aspectos que dan cimiento al esclarecimiento de algoritmo menciona que autores
como Gairiacuten y Sancho (2002 paacuteg 83) e Ifrah (1998 paacuteg 161) obvian el sentido
primordial que ofrecen al menos tres de sus elementos ldquola naturaleza peculiar de
los elementos que intervienen el tipo de reglas elementales utilizadas y la clase
de operaciones ejecutablesrdquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 72) de manera que
una concepcioacuten actual de algoritmo recoge particularidades no solo de sus
ldquoacciones y procedimientosrdquo sino tambieacuten de su ldquocontenidordquo razoacuten por la que
teacutermino se ha resignificado para responder a las caracteriacutesticas de evolucioacuten
pedagoacutegica del aacuterea de matemaacuteticas
En relacioacuten con lo anterior el autor cita a Usiskin (1998) para demostrar una
situacioacuten maacutes especiacutefica del aacuterea que involucra las diferentes concepciones que
tienen los acadeacutemicos matemaacuteticos y la dificultad que sugiere llegar a un acuerdo
en esta comunidad para definir la nocioacuten de algoritmo esto es justificado en el
postulado de que existe una cierta brecha de complejidad entre ellos pues si bien
es necesario utilizar un algoritmo para hallar el producto de una multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales este supone un nivel de simplicidad que Gallardo clasifica
dentro de la categoriacutea de ldquoalgoritmos de laacutepizpapelrdquo de otra parte para realizar
una demostracioacuten de una suma por induccioacuten o congruencia de triaacutengulos en
donde ldquose emplean procesos tan complejos (hellip) resulta difiacutecil determinar si los
estudiantes que los desarrollan estaacuten aplicando un meacutetodo ya aprendido o en
realidad estaacuten resolviendo un problema novedosordquo (Gallardo Romero 2004) Con
todo esto Usiskin afirma que una gran parte de los algoritmos que se desarrollan
en matemaacuteticas pueden ser clasificados en algunas de las siguientes categoriacuteas
Categoriacutea Descripcioacuten
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Algoritmos aritmeacuteticos
Como los de columnas para sumar
restar multiplicar y dividir nuacutemeros de
varios diacutegitos o los meacutetodos para
calcular raiacuteces cuadradas y cuacutebicas
para operar con fracciones o para
determinar la media aritmeacutetica entre
otros
Algoritmos de aacutelgebra y caacutelculo
Como los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales e inecuaciones
manipular fracciones algebraicas
calcular integrales definidas simplificar
radicales o evaluar foacutermulas entre
otros
Algoritmos de dibujo
Como los empleados para hacer
graacuteficos de barras o de sectores
representar funciones realizar
construcciones con regla y compaacutes o
encontrar la transformada de imaacutegenes
de figuras entre otros
Tabla 1 Clasificacioacuten de algoritmos seguacuten Usiskin (1998) Fuente (Gallardo
Romero 2004 paacuteg 73)
Ahora bien para el caso especiacutefico del desarrollo y ensentildeanza del algoritmo
de la multiplicacioacuten en la escuela se han suscitado una innumerable cantidad de
debates y discusiones acadeacutemicas basadas en dos posturas una a favor y otra en
contra de la ensentildeanza a partir de estos meacutetodos
a) La primera de ella engloba a aquellos autores que piensan que continuar
ensentildeando e instruyendo a los estudiantes en la praacutectica de un algoritmo como
este es fundamental para el desarrollo de estrategias de caacutelculo aritmeacutetico propios
del aula de clase a estos autores se les ha denominado ldquoalgoristasrdquo y respaldan
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su postura haciendo uso de postulados como el de Skemp (1993) quien afirma
que la idea de usar el algoritmo de la multiplicacioacuten es uacutetil para ahorrar tiempos a
los estudiantes a su vez que se les ofrece una herramienta teacutecnica sencilla para
llegar a productos correctos y asiacute puedan dedicar su atencioacuten a la generacioacuten de
conocimiento y no en el desarrollo o invencioacuten de estrategias de caacutelculo personal
Otros autores como Zalman Usiskin (1994) enlista distintas razones por las
que se puede justificar la ensentildeanza del algoritmo en el aula de clase dentro de
los cuales menciona algunos como la efectividad fiabilidad precisioacuten rapidez
posibilidad de mantener un registro entre otros que los hacen seguacuten el autor una
herramienta de estudio de gran valor (como se cita en Gallardo Romero 2004
paacuteg78)
b) La segunda postura acoge a autores y acadeacutemicos que presentan
enunciados detractores a este meacutetodo de ensentildeanza algoriacutetmico cobijado por la
educacioacuten tradicional y para ello hacen uso de manifiestos del tipo de
pensamiento de Carlos Maza (1991) y Bernardo Goacutemez (1988) quienes podriacutean
ser enmarcados dentro de la categoriacutea de ldquoabacistasrdquo y explican que la
implementacioacuten de un algoritmo de la multiplicacioacuten se ve cuestionada por la
existencia de otras estrategias de caacutelculo aritmeacutetico lo son el caso de la
calculadora para hallar productos de cantidades naturales considerablemente
grandes y el caacutelculo mental para realizar el producto de nuacutemeros pequentildeos
ambas han terminado por desplazar al algoritmo de la multiplicacioacuten y restarle la
importancia que habitualmente se le ha dado al interior de la escuela
Por su parte otros estudios han determinado la ineficacia del uso del algoritmo
de la multiplicacioacuten al interior del aula de clase Constance Kamii y Ann Dominick
(Kamii amp Dominick 1997) en su artiacuteculo sobre ldquoEnsentildear o no ensentildear algoritmosrdquo
mencionan una serie de razones para sustentar lo inconveniente que resulta
instruir a los nintildeos en la escuela con respecto a la utilizacioacuten de algoritmos esta
postura encuentra su loacutegica en el hecho de que estos no generan una compresioacuten
adecuada de conocimiento cientiacutefico se sienten limitados y no explotan realmente
30
su capacidad de generar ideas a partir del uso de algoritmos propios para hallar
productos determinados ldquoPor limitaciones como eacutestas esta posicioacuten defiende que
la presencia en el curriacuteculum de los algoritmos de columnas para las cuatro
operaciones aritmeacuteticas baacutesicas deberiacutea limitarse draacutesticamente hasta quien
sabe desaparecer por completordquo (Gallardo Romero 2004 paacuteg 7)
Asiacute las cosas si la funcioacuten del algoritmo de la multiplicacioacuten es hacer maacutes faacutecil
la ensentildeanza de meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico del producto parafraseando a
Gallardo Romero existen otras estrategias de ldquolaacutepiz y papelrdquo que podriacutean llevarse
al aula de clase con la seguridad de obtener mejores resultados acadeacutemicos entre
los nintildeos favoreciendo sus procesos de comprensioacuten Argumentos que postulan
que el uso de dicho algoritmo al igual que los algoritmos estaacutendar de columna
utilizados para la solucioacuten de las ldquocuatro operaciones aritmeacuteticas baacutesicasrdquo deberiacutea
ser mediado por intervenciones menos riacutegidas y que potencien mayores niveles de
asimilacioacuten y acomodacioacuten del aprendizaje en el nintildeo
222 El tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
El tablero de ajedrez Montessori es un tablero de madera utilizado para
permitir a los nintildeos en edad primaria iniciar en el mundo de la multiplicacioacuten a
traveacutes de la realizacioacuten del caacutelculo aritmeacutetico del producto haciendo uso de
elementos propios de la etapa del pensamiento por la que atraviesan la etapa del
pensamiento concreto (Piaget 1973) ldquoCuenta con 36 cuadros de colores rojo
azul y verde y se usa para la multiplicacioacuten con las jerarquiacuteas en el sistema
decimal desde 1 a 1000000rdquo Ademaacutes para su uso se hace necesario utilizar las
perlas de Montessori2 (Mumuchu 2017)
2 ldquoLas perlas de colores Montessori representan las unidades es decir los nuacutemeros del 1 al 9 de forma manipulativa con cuentas para asimilar las cantidades de los nuacutemeros Cada cantidad tiene un color distinto para que no haya confusioacuten Estas perlas tienen maacutes utilidades en el aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (Loacutepez 2017)
31
Montessori afirma que ldquoel nintildeo tiene la inteligencia en la manordquo y por tal razoacuten
su idea de trabajo para el nintildeo fundamenta que este aprende a partir de la
interaccioacuten funional con objetos manipulables que lo motiven y le permitan
comprender sus actividades en medio del estiacutemulo (como se cita en Burata
Escorza 2015 paacuteg 20)
Imagen 5 Tablero de ajedrez Montessori Fuente (Mumuchu 2017)
Es por esta razoacuten que el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar acerca
al nintildeo de lo concreto a lo abstracto haciendo uso del juego como estrategia
El material Montessori de Matemaacuteticas es un material manipulativo que
permite al nintildeo vivir la experiencia concreta de los grandes principios
matemaacuteticos convirtiendo una realidad compleja en elementos simples y
palpables Permiten desarrollar lo que Mariacutea Montessori llamaba la ldquomente
matemaacuteticardquo del nintildeo convirtieacutendola en una mente capaz de realizar anaacutelisis
siacutentesis ordenaciones clasificaciones hasta llegar a la abstraccioacuten de los
conceptos de una forma natural y sobre todo vivencial (Mumuchu 2017)
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Imagen 6 Material Montessori Fuente (El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes 2017)
Para ejemplificar el uso del ldquoTablero de ajedrez Montessorirdquo se presentan
capturas del video de Celine Hameury (2013) y su ejemplo de como hallar el
producto entre los naturales 2123 (dos mil doscientos veintitres) y 12 (doce)
1 Se ubican los nuacutemeros para tablero en el ajedrez empezando con el factor
2123 se le asigna un ldquocuadro de colorrdquo3 a cada una de las cifras y se
ubican en la parte de abajo del tablero Se procede a realizar el mismo paso
con el factor 12 pero esta vez se ubican al lateral derecho guardando
asignar un cuadro a cad nuacutemero
c
d
u
cm dm um c d u
3 Los ldquocuadros de colorrdquo en el tablero Montessori son intencionados Para el caso de la imagen con el que se realiza el ejemplo el color verde corresponde a las unidades el color azul a las decenas y el color rojo a las centenas
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Imagen 7 Primer paso Ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
2 Se observa el tablero y empieza a llenarse ubicando las perlas del siguiente
modo En la primera casilla verde de la esquina derecha corresponde ubicar
dos veces el nuacutemero tres esto se debe a que al lateral de dicha casilla se
encuentra el nuacutemero 2 que indica cuantas veces debe repetirse el nuacutemero
que se esteacute ubicado en la parte de abajo y le corresponda en este caso el
3 Asiacute pues en este cuadro se ubican dos grupos de 3 perlas Este paso se
repite hasta que se haya llenado el tablero
1
2
2 1 2 3
34
Imagen 8 Segundo paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 9 Segundo paso (b) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
3 Se suman las perlas que esteacuten ubicadas diagonalmente sobre el mismo
color correspondiendo de este modo su resultado a la cantidad de
unidades decenas centenas unidades de millar (hellip) Una vez se hayan
sumado se procede a determinar el producto Asiacute pues el producto de
2123times12 es 25476 como se observa en la siguiente imagen del tablero
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Imagen 10 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
Imagen 11 Tercer paso (a) ajedrez de Montessori Fuente (Hameury 2013)
4 En caso de que la suma de alguna de las diagonales deacute como resultado un
nuacutemero de dos cifras se debe tener en cuenta que 10 unidades menores
equivalen a una unidad mayor
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223 Meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten
El meacutetodo japoneacutes de multiplicacioacuten o multiplicacioacuten de liacuteneas intersectadas
es una de las metodologiacuteas no convencionales utilizadas en las aulas de Japoacuten
para ensentildear a multiplicar a estudiantes de educacioacuten primaria Este meacutetodo se
basa en un proceso de ldquomultiplicacioacuten visual con liacuteneasrdquo a traveacutes del cual se
introduce la idea de multiplicacioacuten de nuacutemeros de maacutes de una cifra (Casa Asia
sf)
Consiste en la representacioacuten graacutefica de liacuteneas separadas entre siacute que
representan dos cantidades naturales dadas para hallar un producto dichas liacuteneas
se dibujan de manera tal que las liacuteneas que representan una cantidad intercepten
las liacuteneas que representan la otra formando una especie de malla
Joseaacutengel Murcia (2017) explica en uno de los artiacuteculos de la versioacuten digital
del diario ldquoEl Paiacutesrdquo Espantildea coacutemo hacer la implementacioacuten de este meacutetodo y de
manera posterior explica brevemente la razoacuten del porqueacute de su funcionamiento en
medio de aseveraciones que enfatizan que dicha logro no se debe a la magia sino
a las matemaacuteticas
Para ejemplificar el uso de esta estrategia se presenta el ejemplo a partir del
cual Murcia realiza la explicacioacuten valieacutendose de un video del portal YouTube
(Academia play 2016) que se hizo ldquoviralrdquo en las redes a escala mundial
Suponga que la operacioacuten aritmeacutetica a realizar es el producto entre las
cantidades naturales 32 y 12
1 Representar un factor a partir de dos grupos de segmentos paralelo para
graficar el 32 se dibujan en el primer grupo tantos segmentos paralelos
como tenga el nuacutemero de decenas completas es decir tres y en el
segundo grupo tantas liacuteneas como unidades es decir dos
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Imagen 12 Primer paso multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
2 Representar el segundo factor trazando liacuteneas pseudo perpendiculares a
las primeras para graficar el nuacutemero 12 se haraacuten dos grupos el primero de
una linea que representa las decentes y el segundo de dos liacuteneas que
representa las unidades
Imagen 13 Paso dos multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play 2016)
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3 Contar las intersecciones despueacutes de cruzar las liacuteneas entre siacute es
necesario separarlas en grupo para su posterior conteo para efectos
praacutecticos se pueden sentildealar las intersecciones aunque basta con solo
contarlas En este caso a la derecha han quedado cuatro puntos que
representan las unidades en el centro (arriba y debajo de la imagen) ocho
puntos que representan las decenas y a la izquierda tres puntos que
representan las centenas Asiacute pues el producto de 32 y 12 es 384
4 Para un caso distinto como en el ejemplo 34x12 en donde las
intersecciones del centro resultan ser 10 se debe tener en cuenta que 10
decenas equivalen a una centena asiacute que se pone el 0 y se adiciona el 1 a
la representacioacuten de centenas de modo que su resultado es 408
Imagen 14 Paso tres cuatro multiplicacioacuten japonesa Fuente (Academia play
2016)
32 times 12 = 384
3 119888119890119899119905119890119899119886119904 8 119889119890119888119890119899119886119904 4 119906119899119894119889119886119889119890119904
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Este meacutetodo tiene seguidores y detractores que defienden o acusan seguacuten sea el
caso la efectividad de su uso La principal inconformidad de quienes lo critican
radica en que la representacioacuten de los segmentos es complicada y toma
demasiado tiempo de acuerdo a Murcia (2017) el meacutetodo no estaacute en condiciones
de reemplazar el algoritmo tradicional debido al tiempo que lleva su
implementacioacuten sin embargo reconoce que es una estrategia novedosa y curiosa
de introducir el concepto de la multiplicacioacuten de naturales al aula de clase y es
esta uacuteltima la que recoge las impresiones y opiniones de aquellos que consideran
que es un buen punto de inicio para realizar caacutelculos aritmeacuteticos en la escuela
presentaacutendolo como un meacutetodo que favorece la comprensioacuten y no la mera
mecanizacioacuten propia del estilo tradicional
40
3 MARCO DE REFERENCIA
31 Contextual
311 Educacioacuten matemaacutetica a traveacutes de meacutetodos alternativos
La siguiente seccioacuten pretende enmarcar las caracteriacutesticas de lo que se
concibe como educacioacuten alternativa y uso en la ensentildeanza de las matemaacuteticas
para ello se mencionan algunas particularidades sobre las pedagogiacuteas modelos y
corrientes que se han vinculado a este tipo de Educacioacuten
Al hablar de educacioacuten alternativa se entiende toda aquella que dentro de sus
paraacutemetros pedagoacutegicos es una contradiccioacuten o criacutetica epistemoloacutegica al sistema y
usos de la educacioacuten tradicional es decir ldquoes una propuesta nacida de la
necesidad del pensamiento criacutetico de reflexionar coacutemo construir y coacutemo producir
conocimiento cientiacutefico opuesto a los paradigmas () dominantesrdquo (Gallegos Eliacuteas
amp Rosales Carranza 2012 paacuteg 15) no obstante dicha definicioacuten podriacutea
considerarse insipiente razoacuten por la cual se hace necesario ahondar en el
desarrollo de su de sus principios
Anaiacutes Benitez (2017 paacuteg 22) en su estudio investigativo sobre las
caracteriacutesticas de la educacioacuten alternativa cita a Almudena Garciacutea (2016) para
definir las caracteriacutesticas de sus meacutetodos a partir de su obra ldquoOtra educacioacuten ya es
posiblerdquo seguacuten Garciacutea la educacioacuten alternativa estaacute compuesta por una serie de
ldquopedagogiacuteas activasrdquo que conllevan una serie de elementos comunes
El proceso de aprendizaje va a partir de los intereses y motivaciones
41
del nintildeo hacieacutendolo ldquoel protagonista de sus aprendizajesrdquo
Se respeta siempre el ritmo de aprendizaje de cada nintildeo valorando
la diversidad existente en el aula
Los grupos-clases estaacuten formados por nintildeos diferentes edades y
niveles madurativos
El juego es considerado como motor del aprendizaje y a traveacutes de eacutel
el nintildeo es capaz de comprender el entorno y a siacute mismo
Se fomentar la convivencia la cooperacioacuten y trabajo en equipo De
este modo se interioriza la norma como algo necesario para respetar
dicha convivencia
Se considera el medio natural como fuente inagotable de
conocimiento ya que a traveacutes del contacto con esta y el medio social
el nintildeo conoce su entorno Es por ello por lo que se realizan muchas
salidas al exterior o se trata que las escuelas se encuentren en un
medio natural
Se persigue una educacioacuten integral del nintildeo donde se fomenta su
creatividad y pensamiento criacutetico
No se evaluacutea ni se realizan exaacutemenes tan soacutelo se realizan
observacioacuten de los progresos y logros que el nintildeo va realizando a lo
largo de cada curso
Tabla 2 Elementos comunes de las pedagogiacuteas alternativas Fuente (Benitez
Rasero 2017 paacuteg 23)
El proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas no es ajeno a
estos elementos que se posicionan en la escuela por ende se ve permeado por
ellos y su quehacer pedagoacutegico se revoluciona y transforma para romper con
esquemas propios de la educacioacuten tradicional y superar algunos de sus elementos
de accioacuten mencionados anteriormente en este mismo consolidad investigativo (la
relevancia de representaciones semioacuteticas la dependencia de materiales
ostensivos la pasividad que conlleva el verbalismo y las presiones ejercidas por el
curriacuteculum) es asiacute como Alirio Africano Febres-cordero y carrillo exponen que
con base en estos antecedentes ldquohablar de Pedagogiacuteas Alternativas se refiere a
42
la buacutesqueda de una ensentildeanza de la emancipacioacuten con base en la praacutectica de la
accioacuten transformadora que rechace la idea de neutralidad de dependencia
cognitiva de homogeneidad y de pasividadrdquo (Alirio Peacuterez Africano Gelves
Febres-Cordero Colmenaacuterez amp Carrillo Ramiacuterez 2016 paacuteg 240)
312 Ensentildeanza de las matemaacuteticas en Colombia
Imagen 15 Liacutenea de tiempo Fundamento normativo en formacioacuten matemaacutetica
Es bien sabido que infortunadamente las matemaacuteticas y en general los actores
que estaacuten directamente relacionados con el proceso simbioacutetico de ensentildeanza-
aprendizaje de esta aacuterea gozan de una imagen que a muchos podriacutea llegar a
parecerles molesta incoacutemoda y perturbadora La realidad nos muestra una
indiscutible verdad que se presenta como el resultado a las experiencias
individuales de cada persona y que tienen en una gran mayoriacutea de casos su punto
comuacuten en el desagrado que genera para muchos verse enfrentados a aspectos
cotidianos o acadeacutemicos en los que se haga necesario el desarrollo de
43
actividades que pongan a prueba el nivel de competencia que cada quien tiene
con respecto a las matemaacuteticas
Uno de los notables esfuerzos desarrollados por las autoridades educativas
nacionales en nuestro caso el Ministerio de Educacioacuten Nacional en adelante
MEN ha sido la diferente implementacioacuten de compendios e informes de corte
ilustrativo con los que se pretende dar a conocer a la comunidad educativa en
general las caracteriacutesticas y rutas a traveacutes de las cuales deberiacutean llegar a
transformarse los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en las
Instituciones Educativas del paiacutes
Dichas iniciativas del MEN que en uacuteltimas constituyen verdaderos ejercicios de
establecimiento de poliacuteticas puacuteblicas en materia especiacutefica de ensentildeanza
encuentran soporte desde el mismo texto constitucional que regula el
funcionamiento del Estado colombiano a partir de la expedicioacuten de la carta magna
de 1991 Prueba de ello es el contenido del artiacuteculo 27 constitucional el cual
establece
ARTICULO 27 El Estado garantiza las libertades de ensentildeanza aprendizaje
investigacioacuten y caacutetedra
Asiacute las cosas no cabe duda que en principio es el Estado colombiano en
cabeza del MEN el encargado de garantizar gestionar y posibilitar a los diferentes
actores del proceso de formacioacuten educativo todos y cada uno de los elementos
recursos y herramientas que se hagan necesarias para lograr materializar yo
establecer en los nintildeos nintildeas y adolescentes verdaderos procesos de
aprendizaje investigacioacuten y caacutetedra mismos que solo logran ser cumplidos en la
medida que cada uno de los actores del sistema educativo en Colombia tengan
conciencia de la necesidad de articular y propiciar nuevas metodologiacuteas de
ensentildeanza-aprendizaje
De igual manera debe tenerse en cuenta que el derecho - deber de libertad
de ensentildeanza y aprendizaje debe de concretarse y requerirse en gran medida del
actor esencial del proceso educativo como lo es el docente en tanto el mismo es
44
quien tiene en ultimas la posibilidad de activar en el aula de clase y por fuera de
ella nuevas estrategias o metodologiacuteas de trasmisioacuten de conocimientos acordes
con el establecimiento de los cambios sociales y culturales que determinan a todo
grupo poblacional
Ahora bien es importante resaltar en este punto el hecho que en caso de
incumplirse o desarrollarse de manera parcial o incompleta el mandato
constitucional antes resaltado los actores o participes del sistema de educacioacuten
en Colombia cuentan con la posibilidad de activar el medio de proteccioacuten de
derechos fundamentales que trae consigo el contenido del artiacuteculo 86 de la
constitucioacuten nacional que a la letra reza
ARTICULO 86 Toda persona tendraacute accioacuten de tutela para reclamar ante los
jueces en todo momento y lugar mediante un procedimiento preferente y
sumario por siacute misma o por quien actuacutee a su nombre la proteccioacuten inmediata
de sus derechos constitucionales fundamentales cuando quiera que eacutestos
resulten vulnerados o amenazados por la accioacuten o la omisioacuten de cualquier
autoridad puacuteblica
Dicha actuacioacuten se hace posible en tanto el articulo 27 ibiacutedem estaacute
enmarcado dentro de la categoriacutea de derechos que son reconocidos como
fundamentales y como tal su desconocimiento vulneracioacuten alteracioacuten yo
cumplimiento parcial por parte de cualquier actor obligado al cumplimiento y
reconocimiento del mismo genera la posibilidad de reclamarse mediante la
activacioacuten del citado medio de proteccioacuten de derechos por excelencia como lo es
la accioacuten de tutela
De otro lado encontramos el sustento dado por el artiacuteculo 67 constitucional el
cual preceptuacutea
ARTICULO 67 La educacioacuten es un derecho de la persona y un servicio
puacuteblico que tiene una funcioacuten social con ella se busca el acceso al
conocimiento a la ciencia a la teacutecnica y a los demaacutes bienes y valores de la
cultura
45
La educacioacuten formaraacute al colombiano en el respeto a los derechos humanos
a la paz y a la democracia y en la praacutectica del trabajo y la recreacioacuten para el
mejoramiento cultural cientiacutefico tecnoloacutegico y para la proteccioacuten del
ambiente
El Estado la sociedad y la familia son responsables de la educacioacuten que
seraacute obligatoria entre los cinco y los quince antildeos de edad y que comprenderaacute
como miacutenimo un antildeo de preescolar y nueve de educacioacuten baacutesica
La educacioacuten seraacute gratuita en las instituciones del Estado sin perjuicio del
cobro de derechos acadeacutemicos a quienes puedan sufragarlos
Corresponde al Estado regular y ejercer la suprema inspeccioacuten y vigilancia
de la educacioacuten con el fin de velar por su calidad por el cumplimiento de sus
fines y por la mejor formacioacuten moral intelectual y fiacutesica de los educandos
garantizar el adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las
condiciones necesarias para su acceso y permanencia en el sistema
educativo
La Nacioacuten y las entidades territoriales participaraacuten en la direccioacuten
financiacioacuten y administracioacuten de los servicios educativos estatales en los
teacuterminos que sentildealen la Constitucioacuten y la ley
Especial atencioacuten merece lo consagrado en el paacuterrafo quinto del artiacuteculo en
cita en tanto el mismo estipula de manera clara el deber que el constituyente del
91 le entregoacute al Estado Colombiano desde entonces en el sentido de ejercer total
vigilancia al desarrollo del proceso educativo en aras de que el mismo se
desarrolle o concrete de manera oportuna y con sentido de calidad asiacute como de
oportunidad
En este sentido es que desde el antildeo 1978 se vienen formulando con el
liderazgo del MEN programas y propuestas curriculares como la Renovacioacuten
Curricular y maacutes recientemente los Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas
46
(1998) asiacute como los Estaacutendares Baacutesicos de Competencias de Matemaacuteticas (2006)
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 7)
Estos documentos se han convertido en herramientas guiacuteas para los
establecimientos colombianos que se encargan de ofertar el servicio educativo en
cualquiera de sus niveles (preescolar baacutesica media y superior) y auacuten en la
actualidad han sido propuestos desde el MEN nuevos referentes teoacutericos y
conceptuales para el trabajo de las matemaacuteticas como aacuterea fundamental este es
el caso de los DBA Derechos Baacutesicos de Aprendizaje que buscan plantear
elementos para la implementacioacuten de rutas de aprendizaje a desarrollar en cada
uno de los grados antildeo a antildeo esto con la intencioacuten de presentarlos como un apoyo
curricular y metodoloacutegico que favorezcan el alcance de los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias propuestos por el mismo MEN en el antildeo 2006 (Colombia Aprende
2015)
En orden de lo anterior es importante en este punto resaltar los principales
ajustes normativos que ha sufrido la poliacutetica educativa en Colombia en formacioacuten
matemaacutetica en tanto la contextualizacioacuten de la misma permite establecer un
mejor entendimiento del papel que han venido cumpliendo y deben continuar
cumpliendo los diferentes actores que la materializan esto es los docentes
padres de familia directivos estudiantes y desde luego el mismo Estado
representado en la institucionalidad del MEN y las Secretarias de Educacioacuten
Asiacute las cosas se tiene que el Decreto 0045 de 1962 ldquoPor el cual se establece
el ciclo baacutesico de educacioacuten media se determina el plan de estudios para el
bachillerato y se fija calendario y normas para evaluar el trabajo escolarrdquo
establecioacute en el artiacuteculo 7 que la asignacioacuten de materias por cursos en los
planteles educativos a que se referiacutea dicho decreto y en lo concerniente con el
aacuterea de matemaacuteticas seriacutea la siguiente
1ordm y 2ordm Cursos Aritmeacutetica y nociones de Geometriacutea
3ordm y 4ordm Cursos Aacutelgebra y Geometriacutea
47
5ordmCursos Trigonometriacutea y elementos de Geometriacutea Analiacutetica
6ordmCursos Iniciativa al anaacutelisis matemaacutetico
Aunado a lo anterior la citada norma establecioacute en el artiacuteculo 11 lo referente
a la intensificacioacuten de las materias afines correspondiente al segundo ciclo lo cual
ser hariacutea en tres direcciones y una de ellas corresponderiacutea a ldquoCiencias
Matemaacuteticas y fiacutesicardquo
A su turno el decreto 1710 de 1963 ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios
de la educacioacuten primaria colombina y se dictan otras disposicionesrdquo en el artiacuteculo 6
establecioacute para la escuela primaria un plan de estudios que incluiacutea la asignatura
de matemaacuteticas con las materias de ldquoAritmeacutetica y Geometriacutea intuitivardquo
En este orden de ideas se puede concluir que para la secundaria se instituyoacute
la formacioacuten en aritmeacutetica aacutelgebra la geometriacutea intuitiva y racional y las nociones
elementales de geometriacutea analiacutetica y de anaacutelisis matemaacutetico mientras que los
planes de estudio para la primaria conforme lo estipula el decreto 1710 de 1963
ldquoPor el cual se adopta el plan de estudios de la educacioacuten primaria colombina y se
dictan otras disposicionesrdquo se propusieron desarrollar destrezas de caacutelculo
fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones algunas nociones de
geometriacutea con eacutenfasis en los procesos de medicioacuten y su aplicacioacuten para resolver
problemas de la vida cotidiana (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2014
paacuteg 9)
Posteriormente se dio la expedicioacuten del Decreto 080 de 1974 ldquoPor el cual se
deroga el decreto 045 de 1962 y se dictan otras disposiciones sobre educacioacuten
mediardquo mismo que acogioacute el criterio de tecnologiacutea educativa y establecioacute en el
artiacuteculo 4 un nuevo plan de estudios en la asignatura de matemaacuteticas que tuvo
como eje central la ensentildeanza de los programas de geometriacutea analiacutetica aacutelgebra
trigonometriacutea aritmeacutetica y caacutelculo
Seguidamente se constata la expedicioacuten del Decreto - Ley 088 de 1976 a
traveacutes del cual el Estado Colombiano por medio del Presidente de la Repuacuteblica de
48
la eacutepoca ordena la reestructuracioacuten del Sistema Educativo colombiano y como
consecuencia de ello se hizo necesario establecer nuevos planes de educacioacuten
formal que permitieran garantizar la secuencia y coherencia de dicha estructura y
como tal poder favorecer el desarrollo armoacutenico del alumno
A su turno encontramos que el Decreto 1419 de 1978 ldquoPor el cual por el cual
se sentildealan las normas y orientaciones baacutesicas para la administracioacuten curricular en
los niveles de educacioacuten preescolar baacutesica (primaria y secundaria) media
vocacional e intermedia profesionalrdquo previo reconocimiento de lo establecido en la
norma antes referenciada esto es el Decreto Ley 088 de 1976 en sus artiacuteculos
21 y 22 enfatizoacute en el criterio de formacioacuten y capacitacioacuten docente mismo que
solo se realiza o logra su cometido en la medida que se concrete en funcioacuten del
proceso educativo del alumno lo cual implica que tal proceso deba adecuarse a la
estructura de los programas curriculares previamente adoptados o definidos
mediante decisioacuten normativa del MEN yo de quien haga sus veces
En tal sentido se resalta que el artiacuteculo 22 ibiacutedem establece
Artiacuteculo 22 La capacitacioacuten y actualizacioacuten hacen parte del ejercicio docente
y tendraacute por objeto asegurar el rendimiento escolar y la eficacia de la
ensentildeanza y del aprendizaje
En tal sentido se tiene que la legislacioacuten en materia educativa en Colombia
desde antantildeo a propiciado en el personal docente el deber de capacitarse y
actualizarse de manera permanente y sobre todo de manera consciente del hecho
que en la medida que logren establecer nuevos meacutetodos de trasmisioacuten de
conocimientos podraacuten asegurar un rendimiento escolar que gran impacto para el
cumplimiento de los cometidos estatales que se recrean en las diferentes poliacuteticas
puacuteblicas que definen curriacuteculos acadeacutemicos mismos que en su mayoriacutea de veces
se ven minimizados en la medida que se continua impartiendo conocimiento sobre
la base o bajo el dominio de metodologiacuteas desgastadas o costumbristas que han
dejado de sorprender o motivar al estudiantado
49
Seguidamente se da la proyeccioacuten y posterior puesta en funcionamiento del
Decreto 1002 de 1984 ldquopor el cual se establece el Plan de Estudios Para la
Educacioacuten Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional de la
Educacioacuten Formal Colombianardquo mismo a traveacutes del cual conforme lo establece el
artiacuteculo 1 puso en marcha un nuevo Plan de Estudios para la Educacioacuten
Preescolar Baacutesica (Primaria y Secundaria) y Media Vocacional en todos los
centros educativos de Educacioacuten Formal del paiacutes conforme lo habiacutea determinado
el gobierno nacional mediante la expedicioacuten del ya referido Decreto Ley 088 de
1976
En directa relacioacuten con la temaacutetica a desarrollar en el presente trabajo se
tiene que el artiacuteculo 2deg del Decreto 1002 de 1984 resaltoacute y realizoacute especial eacutenfasis
en el deber que le asistiacutea a familia la comunidad asiacute como a las autoridades
colombianas en cuanto a que se realizaran verdaderos actos de integracioacuten de
esfuerzos para generar ambientes propicios que permitieran finalmente al alumno
lograr los objetivos alliacute propuestos y que para la eacutepoca constituiacutean la poliacutetica
puacuteblica a desarrollar tal y como lo exponiacutean y requeriacutean el Decreto ndash Ley 088 de
1976 en concordancia con los fines establecidos en el artiacuteculo 3deg del Decreto 1419
de 1978
Finalmente llegamos a la expedicioacuten de la Ley 115 de 1994 esto es la Ley
General de Educacioacuten De la cual entre otros mandatos de mayor envergadura
se resalta el contenido del artiacuteculo 4 seguacuten el cual
Artiacuteculo 4ordm-Calidad y cubrimiento del servicio Corresponde al Estado a la
sociedad y a la familia velar por la calidad de la educacioacuten y promover el
acceso al servicio puacuteblico educativo y es responsabilidad de la Nacioacuten y de
las entidades territoriales garantizar su cubrimiento
El Estado deberaacute atender en forma permanente los factores que favorecen la
calidad y el mejoramiento de la educacioacuten especialmente velaraacute por la
cualificacioacuten y formacioacuten de los educadores la promocioacuten docente los
recursos y meacutetodos educativos la innovacioacuten e investigacioacuten educativa la
50
orientacioacuten educativa y profesional la inspeccioacuten y evaluacioacuten del proceso
educativo
(Cursiva negrilla y resaltado propio)
Asiacute las cosas se tiene que la norma en cita establecioacute de manera clara y
determinante el papel del Estado Colombiano en cuanto al deber de garantizar un
educacioacuten de calidad misma que se logra en la medida que se incentiva y
favorece la actualizacioacuten de los meacutetodos de ensentildeanza asiacute como la innovacioacuten e
investigacioacuten educativa situaciones que vistas desde la operatividad del sistema
educativo colombiano no logran encontrar su punto de afianzamiento en tanto
conforme lo resentildea el articulo 6 ibiacutedem los actores de la comunidad educativa
esto es los estudiantes o educandos educadores padres de familia o acudientes
de los estudiantes egresados directivos docentes y administradores escolares no
toman conciencia de la necesidad de introducir verdaderos cambios sustanciales
que permitan establecer formas alternas de ensentildeanza-aprendizaje en los
alumnos
Ahora bien en lo que atantildee con los planes de estudio y estructuracioacuten de los
mismos es importante resaltar que a partir de la expedicioacuten y posterior
implementacioacuten de la Ley 115 de 1994 se logroacute reconocer una especial autonomiacutea
a las instituciones educativas para disentildear y adoptar los Proyectos Educativos
Institucionales (Articulo 77) asiacute como el hecho que a partir de la concrecioacuten de la
referida norma se ordenoacute estructuracioacuten de unos Lineamientos Curriculares para
cada aacuterea de aprendizaje misma que para el caso de Matemaacuteticas se materializoacute
en el antildeo 1998 y tuvo como eacutenfasis los siguientes criterios
Propuesta curricular estructurada a partir de a) Conocimientos baacutesicos que
tienen que ver con el conocimiento matemaacutetico estructurado en cinco
pensamientos y sus sistemas (Pensamiento Numeacuterico y Sistemas Numeacutericos
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analiacuteticos Pensamiento
Espacial y Sistemas Geomeacutetricos Pensamiento Meacutetrico y Sistemas de
Medidas y Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos) b) los procesos
51
generales (modelacioacuten razonamiento desarrollo de procedimientos
formulacioacuten y resolucioacuten de problemas y comunicacioacuten y los contextos
delimitados como los ambientes que rodean al estudiante y a partir de los
cuales se da sentido a las matemaacuteticas que se aprenden (MEN Ministerio de
Educacioacuten Nacional 2014 paacuteg 10)
En el antildeo 2006 se expiden por parte del MEN los Estaacutendares Baacutesicos de
Competencia para las aacutereas de Lenguaje Matemaacuteticas Ciencias y ciudadanas
mismos que constituyen uno de los paraacutemetros de lo que todo nintildeo nintildea y joven
debe saber y saber hacer para lograr el nivel de calidad esperado a su paso por el
sistema educativo y la evaluacioacuten externa e interna es el instrumento por
excelencia para saber queacute tan lejos o tan cerca se estaacute de alcanzar la calidad
establecida con los estaacutendares (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006
paacuteg 9)
En tal sentido se tiene que para el aacuterea de matemaacuteticas el MEN establecioacute la
competencia como ldquoconjunto de conocimientos habilidades actitudes
comprensiones y disposiciones cognitivas socio afectivas y psicomotoras
relacionadas entre siacute de tal forma que se facilite el desempentildeo flexible eficaz y
con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores
que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema
significativas y comprensivasrdquo (MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg
49)
Dado lo anterior se tiene que el criterio de aprendizaje por competencias se
configura como un aprendizaje ldquosignificativo y comprensivordquo tal y como lo define el
MEN en la estructuracioacuten de los mismos situacioacuten que conllevoacute a replantear los
criterios de ensentildeanza y de evaluacioacuten que de forma reiterada y monoacutetona ha
permeado el proceso tripartito de ensentildeanza ndash aprendizaje ndash evaluacioacuten (MEN
Ministerio de Educacioacuten Nacional 2006 paacuteg 49)
Finalmente y en lo que corresponde con la relacioacuten normativa o fundamento
normativo que ha venido estructurando los curriacuteculos educativos en la formacioacuten
52
en general y de manera especiacutefica en el aacuterea de matemaacuteticas se tiene que para el
antildeo 2015 el MEN realizoacute la expedicioacuten de los Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
mismos que se presentan como un conjunto de saberes y habilidades
fundamentales que han de aprender los estudiantes en cada uno de los grados de
educacioacuten escolar de primero a once y en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas
Aunado al hecho que los DBA se estructuraron guardando coherencia con los
Lineamentos Curriculares expedidos en 1998 y los EBC expedidos en el antildeo 2006
(MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional 2015 paacuteg 2)
32 Institucional
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano es una Institucioacuten Educativa
urbana de caraacutecter oficial de la ciudad de Manizales ubicada en el barrio Los
Aacutelamos atiende a una poblacioacuten que se ubica entre los estratos 2-3-4 de la ciudad
(barrios Los Aacutelamos Barrio Colombia El Prado Villa Carmenza El Campin El
Palmar Camilo Torres Eucaliptus la Isabela El Persia entre otros) Esta
condicioacuten hace que el estudio tenga una realidad socio cultural variada y sus
resultados ofrecen una visioacuten generalizada de coacutemo es posible atender la
situacioacuten problema que se plantea al inicio de la investigacioacuten en variados
espacios de la sociedad nacional pues la caracteriacutestica de su poblacioacuten es lo
suficientemente variada y su impacto es faacutecilmente aplicable a diversos sectores
educativos del paiacutes
El Instituto Latinoamericano cuenta con tres sedes que atienden a una
poblacioacuten total de 658 estudiantes en su jornada diurna y 80 estudiantes en su
jornada nocturna para el antildeo 2015 Tiene una oferta acadeacutemica completa desde
el grado transicioacuten de educacioacuten inicial hasta el grado undeacutecimo de educacioacuten
media vocacional ademaacutes cuenta con el programa de educacioacuten para adultos que
ayuda a vincular al aula a padres hermanos abuelos familiares conocidos y
amigos de los estudiantes de la Institucioacuten al igual que a sus vecinos y todos
53
aquellos que deseen culminar sus estudios a traveacutes de la alfabetizacioacuten en
educacioacuten baacutesica y media en ciclos lectivos especiales integrados (CLEI)
El trabajo realizado se desarrolloacute con 60 nintildeos de grado tercero de primaria de
la Institucioacuten 32 de ellos pertenecientes al grado 3deg1 y 28 restantes
pertenecientes al grado 3deg2 Esta poblacioacuten corresponde aproximadamente al 9
de la poblacioacuten total del colegio pertenecen al ciclo de baacutesica primaria y el 80 de
los nintildeos se encuentran entre las edades de 7 a 9 antildeos edad en la que se espera
los nintildeos se encuentren desarrollando actividades de caacutelculo aritmeacutetico haciendo
uso de material concreto
La Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano trabaja con la metodologiacutea
Escuela Activa Urbana que enmarca el desarrollo de los contenidos en el trabajo
a traveacutes de guiacuteas de inter-aprendizaje en donde el nintildeo A) evaluacutea sus pre
saberes B) realiza lecturas dirigidas de las actividades a realizar C) ejercita sus
nuevos conocimientos con actividades praacutecticas y D) aplica el nuevo
conocimiento en situaciones reales de contexto El uso de estas guiacuteas busca que
el trabajo en el aula los convierta en personas competentes para su vida en
sociedad
Por la razoacuten anteriormente descrita este consolidado investigativo hace uso
del desarrollo de las guiacuteas de inter-aprendizaje para el tratamiento investigativo
de los grupos experimental y control dichas guiacuteas son proporcionadas por la IE y
disentildeadas por el comiteacute de cafeteros en alianza con la Gobernacioacuten de Caldas
para dar cumplimiento a las acciones gubernamentales que buscan atender
adecuadamente a la sociedad colombiana en la actualidad Dichas guiacuteas
encuentran su fundamento a la luz de la mirada de la metodologiacutea Escuela Activa
Urbana y ofrecen situaciones problema a los grupos experimental y de control
para que hagan uso del meacutetodo de tratamiento que esteacuten perfeccionando en cada
caso
Las Guiacuteas de Aprendizaje son un elemento fundamental del componente
curricular del modelo Escuela Nueva promueven el trabajo individual y en
54
equipo con actividades didaacutecticas que propician la reflexioacuten y el aprendizaje
colaborativo por medio de la interaccioacuten el diaacutelogo la participacioacuten activa y la
construccioacuten social de conocimientos Las Guiacuteas de Aprendizaje respetan el
avance al propio ritmo de aprendizaje del estudiante y fomentan el desarrollo
del espiacuteritu investigativo y la autonomiacutea Incentivan el aprender a aprender el
aprender a hacer el aprender a comunicarse y maacutes importante auacuten el
aprender a convivir (Fundacioacuten Escuela Nueva sf)
Asiacute pues cada grupo haraacute uso de las estrategias de tratamiento seleccionadas
por el investigador para dar respuesta a los ejercicios actividades y problemas
expuestos en las guiacuteas de inter-aprendizaje
4 MARCO METODOLOacuteGICO
41 Meacutetodos
411 Enfoque del Trabajo
La presente contrastacioacuten es una investigacioacuten de enfoque cualitativo toda
vez que para su adelanto se utiliza informacioacuten de tipo social a partir de una
ejercicio descriptivo en vista de que el objetivo de la intervencioacuten es determinar la
efectividad tras contrastar los meacutetodos tradicionales y no tradicionales se realiza
una presentacioacuten de los resultados que a su vez son caracterizados a partir de un
estudio de correlacioacuten causal o explicativo de tipo cuasi experimental y en cuanto
a su disentildeo se hace a traveacutes de la aplicacioacuten de pre-test y post-test con grupo
control
El ejercicio de intervencioacuten tiene como objetivo contrastar el meacutetodo tradicional
de multiplicacioacuten basado en el algoritmo del producto y el conjunto de pasos
ordenados y sistemaacuteticos que lo caracterizan para realizar la contrastacioacuten de
dicho meacutetodo tradicional de ensentildeanza se hace uso de dos metodologiacuteas de
ensentildeanza alternativas de esencia ldquoabacistasrdquo siendo estas el meacutetodo japoneacutes y
el ajedrez de Montessori descritos en el marco conceptual
Para el caso especiacutefico de la educacioacuten tradicional en grado tercero en el
meacutetodo de ensentildeanza de la multiplicacioacuten es fundamental conocer las tablas de
multiplicacioacuten este meacutetodo ldquoalgoristardquo busca instruir al estudiante en la realizacioacuten
y posterior mecanizacioacuten de pasos aplicados para determinar el producto de dos
nuacutemeros naturales mientras que para ambos meacutetodos alternativos expuestos
56
basta con tener buenas bases de conteo y claridad conceptual del proceso de
adicioacuten estos meacutetodos ldquoabacistasrdquo acercan al estudiante a un proceso de
comprensioacuten general de las actividades claridad conceptual de los procesos
aditivos expresioacuten sensorial apropiacioacuten de bases de conteo entre otras
asimismo vinculan al conocimiento matemaacutetico una experiencia sensorial a partir
de la manipulacioacuten de elementos concretos que acortan la brecha entre lo real y lo
abstracto en dialogo con Piaget (1973) uno de los principales problemas de la
educacioacuten matemaacutetica en la edad escolar inicial
Aprovechando las caracteriacutesticas propias de la poblacioacuten a intervenir
(estudiantes de grado 3deg de la Institucioacuten Educativa Instituto Latinoamericano) que
se encuentran divididos en dos subgrupos de trabajo (3deg1 y 3deg2) se hizo uso de la
metodologiacutea grupo experimental y grupo control permitiendo asiacute intervenir al
grupo de experimental a traveacutes de los meacutetodos alternativos de ensentildeanza de la
multiplicacioacuten y continuando el trabajo estricto de la metodologiacutea tradicional con el
grupo control Cabe especificar que ambos grupos no son equivalentes en cuanto
se refiere a la cantidad de sus estudiantes sin embargo poseen caracteriacutesticas
similares pertenecen a la misma Institucioacuten Educativa se ubican en el mismo
grado y estaacuten en un rango de edad homogeacuteneo
42 Teacutecnicas
Para caracterizar esta investigacioacuten de orden cualitativa se emplea la teacutecnica
cuasi-experimental cuantitativa que utiliza como tipo de estudio el ldquopre-test post-
test con grupo de controlrdquo ubicado en el nivel IV explicativo o correlacional causal
seguacuten Cauas (sf)
Seguacuten Campbell y Stanley (1995 paacuteg 93) este se posiciona como uno de los
esbozos experimentales de mayor difusioacuten en la investigacioacuten educativa se
fundamenta a partir de la aplicacioacuten de pruebas ldquopre-test y post-testrdquo a dos grupos
que no poseen equivalencia ldquopre-experimentalrdquo en sus muestras tal y como lo es
el caso especiacutefico de este ejercicio de contrastacioacuten en donde los grupos
57
protagonistas de la accioacuten investigativa se diferencian en su tamantildeo muestral pero
poseen caracteriacutesticas similares significativas como en este caso el hecho de
pertenecer al mismo grado educativo (tercero de baacutesica primaria) de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano
El presente disentildeo tiene la estructura propuesta en el libro ldquoDisentildeos
experimentales y cuasi-experimentales en la investigacioacuten socialrdquo (Campbell amp
Stanley 1995 paacuteg 93) pero es complementada por investigacioacuten realizada por
Aristizabal et al (2016 paacuteg 126)
119864 1198741 119883 1198742
119862 1198743 119883 1198744
1198741 119910 1198742 Son las mediciones resultantes del pre-test
1198743 119910 1198744 Son las mediciones resultantes del post-test
119883 es el Tratamiento
a) Hipoacutetesis
Potenciar los procesos de caacutelculo matemaacutetico para situaciones multiplicativas
en el aula de clase de grado tercero de baacutesica primaria es maacutes efectivo a traveacutes
de la utilizacioacuten de meacutetodos alternativos de multiplicacioacuten como el tablero de
ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo en lugar del meacutetodo algoriacutetmico
tradicional
b) Manejo de variable investigativa
Durante el ejercicio de contrastacioacuten la variable que se somete a manejo es la
variable independiente efectividad de los procesos de caacutelculo matemaacutetico en el
aula de grado tercero de baacutesica primaria en situaciones multiplicativas las
posibles variables dependientes o sub-variables se enlistan a continuacioacuten
58
i Bases de conteo
ii Claridad conceptual de la multiplicacioacuten
iii Comprensioacuten general de situaciones multiplicativas
iv Experiencia sensorial con material manipulable
Ambos grupos de grado tercero tanto el de control como el experimental dan
respuesta a las pruebas de medicioacuten pre-test (antes del tratamiento) y post-test
(despueacutes del tratamiento) una vez consolidados los resultados en cada una de
estas pruebas se determina la efectividad de cada uno de los grupos con respecto
al respectivo tratamiento que se lleve a cabo con ellos (Aristizabal Zapata
Colorado Torres amp Gutieacuterrez Zuluaga 2016 paacuteg 127)
Para determinar la efectividad que se plantea como variable de investigacioacuten
independiente se hace uso del factor de ganancia de Hake que permite
cuantificar a traveacutes de la aplicacioacuten de las pruebas de medicioacuten pre y pos test se
existe un nivel de ganancia en el aprendizaje bajo medio o alto
c) Tratamiento
El grado 3deg2 es seleccionado grupo experimental este recibe tratamiento a
traveacutes de meacutetodos no tradicionales como lo son el tablero de ajedrez Montessori y
el ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo a su vez el grado 3deg1 hace las veces de grupo control y por
ende su tratamiento estaacute basado en el uso tradicional algoriacutetmico para la
determinacioacuten de productos
Durante dos meses y medio que corresponde al desarrollo habitual de un
periodo acadeacutemico escolar en las instituciones del paiacutes se realizaraacute el proceso de
intervencioacuten por medio de actividades dirigidas en el aula Para esta etapa los
grupos son diferenciados uno del otro llamaremos al grado 3deg1 GRUPO
CONTROL y al grado 3deg2 GRUPO EXPERIMENTAL
En el grupo control se continua trabajando con el modelo tradicional los nintildeos
de dicho grupo perfeccionaraacuten a traveacutes de actividades e praacutectica y aplicacioacuten el
59
meacutetodo algoriacutetmico del producto se haraacute uso de talleres y guiacuteas de trabajo
dirigidas en el aula con la intencioacuten de que dicho esfuerzo sea reforzado en el
saloacuten bajo la mirada y apoyo del docente
Por otra parte el grupo experimental se incursiona en el uso de las
metodologiacuteas alternativas mencionadas (Meacutetodo japoneacutes y Ajedrez de
Montessori) asiacute pues en este segundo grupo se dispone de tiempo para conocer
y practicar con dichos meacutetodos los nintildeos se encuentran expuestos a guiacuteas de
aprendizaje del modelo Escuela Activa Urbana que les permiten ejercitar y
obtener los productos a traveacutes de la utilizacioacuten de estas teacutecnicas
421 Pre-test
Se realiza al total de la poblacioacuten a intervenir (60 nintildeos) una prueba para
determinar el nivel de efectividad al resolver situaciones multiplicativas con maacutes de
una cifra en el factor multiplicador se miden dichos resultados a traveacutes de un
PRE-TEST4 disentildeado para cuantificar los alcances de la metodologiacutea tradicional
siendo esta la uacutenica conocida por los nintildeos hasta este momento
La prueba PRE-TEST estaacute compuesta por 10 preguntas 8 de ellas enmarcadas
en el desarrollo de situaciones problema multiplicativas estas preguntas se
presentan como preguntas Tipo Saber 3deg (tercero) Tipo I de modo que son
enunciados con cuatro opciones de respuestas y una uacutenica opcioacuten correcta las 2
preguntas restantes corresponden a enunciados aritmeacuteticos de caacutelculo
multiplicativo con los cuales se espera determinar el modo de actuar frente a
estos y la estrategia utilizada para el hallazgo del producto en cada caso
Los nombres de los estudiantes que participan en la investigacioacuten se mantienen
bajo confidencia por motivos de seguridad en su lugar y para efectos del ejercicio
de contrastacioacuten se les asigna un coacutedigo basado en el orden alfabeacutetico que
4 La prueba utilizada como PRE-TEST y POST-TEST durante la investigacioacuten puede ser revisada
en la seccioacuten de anexos del presente informe investigativo
60
aparece en el listado de asistencia institucional El coacutedigo estaacute compuesto de tres
elementos a) rol para el que se selecciona la palabra ldquoestudianterdquo pues
generaliza su caracteriacutestica comuacuten b) nuacutemero cardinal determinado por el orden
alfabeacutetico de la lista de asistencia institucional c) letra que para el caso de esta
investigacioacuten solo podraacuten ser ldquoCrdquo para aquellos estudiantes que pertenecen al
GRUPO CONTROL y ldquoErdquo para quienes hacen parte del GRUPO
EXPERIMENTAL
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Pre-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Pre-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 3 30 22
Estudiante 4C 4 40 26
Estudiante 5C 6 60 34
Estudiante 6C 7 70 38
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 2 20 18
Estudiante 10C 1 10 14
Estudiante 11C 8 80 42
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 6 60 34
Estudiante 14C 4 40 26
Estudiante 15C 6 60 34
61
Estudiante 16C 3 30 22
Estudiante 17C 5 50 3
Estudiante 18C 3 30 22
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 5 50 3
Estudiante 21C 4 40 26
Estudiante 22C 6 60 34
Estudiante 23C 4 40 26
Estudiante 24C 6 60 34
Estudiante 25C 9 90 46
Estudiante 26C 10 100 5
Estudiante 27C 5 50 3
Estudiante 28C 10 100 5
Estudiante 29C 4 40 26
Estudiante 30C 5 50 3
Estudiante 31C 4 40 26
Estudiante 32C 4 40 26
PROMEDIO 53 534 31
Tabla 3 Registro de resultados Pre-test grupo control
Para el caso de 3deg1 como Grupo Control la valoracioacuten cuantitativa promedio tras
realizar el PRE-TEST es de 30 con un aproximado de 5 de las 10 respuestas
acertadas tanto media como mediana se ubican en el mismo valor de manera tal
que no solo el promedio del grupo es ese sino que el 50 de los estudiantes es
decir 16 de los 32 obtuvo notas iguales o maacutes bajas que 30
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
Q1 26 12
Q2 3 04
62
Q3 34 04
MAX 5 16
Imagen 16 Diagrama de caja PRE-TEST grupo control
Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 4 40 26
Estudiante 2E 4 40 26
Estudiante 3E 3 30 22
Estudiante 4E 5 50 3
Estudiante 5E 6 60 34
Estudiante 6E 4 40 26
Estudiante 7E 5 50 3
Estudiante 8E 7 70 38
Estudiante 9E 10 100 5
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo control
63
Estudiante 10E 3 30 22
Estudiante 11E 4 40 26
Estudiante 12E 6 60 34
Estudiante 13E 3 30 22
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 4 40 26
Estudiante 16E 7 70 38
Estudiante 17E 4 40 26
Estudiante 18E 4 40 26
Estudiante 19E 5 50 3
Estudiante 20E 3 30 22
Estudiante 21E 6 60 34
Estudiante 22E 4 40 26
Estudiante 23E 4 40 26
Estudiante 24E 4 40 26
Estudiante 25E 3 30 22
Estudiante 26E 3 30 22
Estudiante 27E 1 10 14
Estudiante 28E 2 20 18
PROMEDIO 44 439 28
Tabla 4 Registro de resultados Pre-test grupo experimental
Despueacutes de realizar el PRE-TEST en el grado 3deg2 (Grupo Experimental) se
obtiene como resultado promedio en la escala de valoracioacuten cuantitativa un 28
sin embargo la mediana toma un valor diferente por debajo del promedio
indicando que para el caso del Grupo experimental el 50 de los estudiantes es
decir 14 de 28 obtienen una valoracioacuten cuantitativa por debajo de 26
VALORES ANCHOS
MIN 14 14
64
Q1 22 08
Q2 26 04
Q3 3 04
MAX 5 2
Imagen 17 Diagrama de cajas PRE-TEST grupo experimental
422 Post-test
Esta etapa es definitiva para el desarrollo de la investigacioacuten pues es el
momento de cierre metodoloacutegico durante el cual se realiza la nueva prueba a la
poblacioacuten intervenida dicha prueba tiene igual contenido y ejercicios para ambos
grupos la prueba identificada como POSTEST da cuenta de los alcances del
trabajo permitiendo asiacute contrastar a traveacutes de herramientas cuantitativas los
procesos de caacutelculo matemaacutetico de ambos grupos intervenidos y las bondades o
falencias de las metodologiacuteas utilizadas en cada uno de ellos
Es importante resaltar que la llamada prueba Post-test es en forma y disentildeo
exactamente la misma con la que se midieron los conocimientos de los grupos al
inicio del proceso investigativo por consiguiente es una herramienta comparativa
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Pre-testGrupo experimental
65
que ofrece la posibilidad de concluir con respecto a lo realizado en la
contrastacioacuten
Tras la realizacioacuten de la prueba se presentan a continuacioacuten los resultados
obtenidos despueacutes del desarrollo de un periodo acadeacutemico haciendo uso de los
diferentes meacutetodos de caacutelculo aritmeacutetico tanto el algoritmo de la metodologiacutea
tradicional como el tablero de ajedrez Montessori y ldquomeacutetodo japoneacutesrdquo de
multiplicar
A continuacioacuten se relacionan las tablas donde se evidencian los registros
generales del resultado de la aplicacioacuten del Post-test en los grupos control y
experimental
Registro de resultados Post-test grupo control
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
de 1 a 5
Estudiante 1C 5 50 3
Estudiante 2C 6 60 34
Estudiante 3C 4 40 26
Estudiante 4C 5 50 3
Estudiante 5C 3 30 22
Estudiante 6C 8 80 42
Estudiante 7C 7 70 38
Estudiante 8C 6 60 34
Estudiante 9C 7 70 38
Estudiante 10C 5 50 3
Estudiante 11C 9 90 46
Estudiante 12C 8 80 42
Estudiante 13C 4 40 26
Estudiante 14C 5 50 3
Estudiante 15C 7 70 38
66
Estudiante 16C 9 90 46
Estudiante 17C 9 90 46
Estudiante 18C 5 50 3
Estudiante 19C 5 50 3
Estudiante 20C 8 80 42
Estudiante 21C 6 60 34
Estudiante 22C 9 90 46
Estudiante 23C 6 60 34
Estudiante 24C 5 50 3
Estudiante 25C 6 60 34
Estudiante 26C 9 90 46
Estudiante 27C 7 70 38
Estudiante 28C 8 80 42
Estudiante 29C 7 70 38
Estudiante 30C 6 60 34
Estudiante 31C 7 70 38
Estudiante 32C 5 50 3
PROMEDIO 64 644 36
Tabla 5 Registro de resultados Post Test grupo control
El promedio de valoracioacuten cuantitativa en el grupo control tuvo un aumento en
06 deacutecimas despueacutes de realizar el tratamiento a traveacutes de la implementacioacuten del
meacutetodo tradicional de multiplicacioacuten basado en el algoritmo para solucionar
ejercicios de caacutelculo aritmeacutetico Ahora su mediana es mayor quiere decir que el
50 de los estudiantes se encuentran por encima de 34 despueacutes de realizar el
ejercicio de intervencioacuten
VALORES ANCHOS
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 34 04
67
Q3 42 08
MAX 46 04
Imagen 18 Diagrama de caja Post-test grupo control
Registro de resultados Post-test grupo experimental
Registro
resultados PRE-
TEST
No De
respuestas
acertadas
de
respuestas
acertadas
Valoracioacuten
cuantitativa
Estudiante 1E 6 60 34
Estudiante 2E 6 60 34
Estudiante 3E 5 50 3
Estudiante 4E 9 90 46
Estudiante 5E 10 100 5
Estudiante 6E 5 50 3
Estudiante 7E 7 70 38
Estudiante 8E 9 90 46
Estudiante 9E 8 80 42
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo control
68
Estudiante 10E 7 70 38
Estudiante 11E 5 50 3
Estudiante 12E 10 100 5
Estudiante 13E 4 40 26
Estudiante 14E 5 50 3
Estudiante 15E 7 70 38
Estudiante 16E 5 50 3
Estudiante 17E 8 80 42
Estudiante 18E 7 70 38
Estudiante 19E 8 80 42
Estudiante 20E 6 60 34
Estudiante 21E 9 90 46
Estudiante 22E 7 70 38
Estudiante 23E 5 50 3
Estudiante 24E 8 80 42
Estudiante 25E 4 40 26
Estudiante 26E 5 50 3
Estudiante 27E 4 40 26
Estudiante 28E 3 30 22
PROMEDIO 65 650 36
Tabla 6 Registro de resultados Post-test grupo experimental
El promedio del grupo experimental sube 08 deacutecimas con respecto al
desarrollo del Pre test y aunque esta medida de tendencia no permita ver mucha
diferencia resulta maacutes valioso observar el dato de la mediana pues ahora se
ubica igual que la media en 36 y con respecto al pre-test esta mediana si es un
mejor indicador ya que muestra que el 50 de los estudiantes del grupo
experimental han desarrollado un buen nivel de competencias para el caacutelculo
aritmeacutetico con respecto al uso de la metodologiacutea no tradicional
VALORES ANCHOS
69
MIN 22 22
Q1 3 08
Q2 36 06
Q3 42 06
MAX 5 08
Imagen 19 Diagrama de cajas Post-test grupo experimental
43 Anaacutelisis
Para esta uacuteltima etapa se analizan los datos obtenidos a lo largo del proyecto
de intervencioacuten Se contrastan los meacutetodos en cuestioacuten y se establecen una serie
de conjeturas como resultado del trabajo Para este momento se ha cumplido con
los objetivos del proyecto y es posible determinar posibles estrategias de accioacuten
para situaciones venideras
1 15 2 25 3 35 4 45 5
Post-testGrupo experimental
70
431 Resultados Generales
El proceso de contrastacioacuten realizado a traveacutes de meacutetodos tradicionales y no
convencionales para multiplicar arroja una serie de resultados medibles por medio
de las pruebas PRE-TEST y POST-TEST propias de la investigacioacuten cuantitativa
de corte cuasi experimental
Para determinar los resultados generales de la contrastacioacuten se toma el
porcentaje promedio de las respuestas de los grupos control y experimental para
el pre-test y el post-test respectivamente estos datos se encuentran registrados
en las tablas cuantificables en las que se hizo registro de las respuestas de la
prueba en los grupos control y experimental
A continuacioacuten se relacionan dichos resultados generales a manera de tabla
de contingencia y graacutefico de barras
PROMEDIO
DE ACIERTOS
GRUPOS
3deg1
(CONTROL)
3deg2
(EXPERIMENTAL)
PRE-TEST 534 439
POST-TEST 644 650
Tabla 7 Tabla de contingencia promedio de aciertos
71
Graacutefico 1 Porcentaje promedio de aciertos Pre-test y Pos-test
En la graacutefica 1 puede observarse que aunque ambos grupos muestran un
porcentaje de avance tras el respectivo tratamiento que se realizoacute en cada uno de
ellos el grupo 3deg2 grupo experimental en donde se utilizaron estrategias
alternativas de multiplicar como el tablero de ajedrez Montessori y el ldquomeacutetodo
japoneacutesrdquo de multiplicacioacuten muestra un avance significativo cercano a los 19
puntos porcentuales mientras que el grupo control en donde se utilizoacute el
algoritmo tradicional de multiplicacioacuten muestra un avance de 11 puntos
porcentuales
432 Impacto
El proceso de analizar los resultados de la intervencioacuten-contrastacioacuten
realizada es la manera de determinar si es posible responder a las preguntas
orientadoras que dan direccioacuten al desarrollo de esta investigacioacuten
Para Richard R Hake los grupos en donde se hace proceso de intervencioacuten
interactiva y activa a traveacutes de metodologiacuteas no convencionales suelen mostrar
00
200
400
600
800
3deg1 (CONTROL) 3deg2 (EXPERIMENTAL)
GRUPOS
PORCENTAJE PROMEDIO DE ACIERTOSPre-test y Pos-test
PRE-TEST POST-TEST
72
altas ganancias en su proceso de aprendizaje en comparacioacuten con aquellos en
donde se enfatizan los procesos tradicionales (Hake 1998)
Para realizar la medicioacuten de los niveles de ganancia de aprendizaje en
ambientes de aula intervenidos hake habla del ldquofactor grdquo (denominado ganancia
de aprendizaje normalizado)
119892 = 119901119900119904119905119890119904119905 () minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
100 minus 119901119903119890119905119890119904119905 ()
ldquoEn donde 119901119900119904119905119890119904119905 () y 119901119903119890119905119890119904119905 () corresponden al promedio del
porcentaje de respuestas correctas de todo el curso para el pre-test y el pos-test
respectivamenterdquo (Giraldo Jaramillo 2012)
La ganancia normalizada es un instrumento de anaacutelisis que permite determinar
los niveles de impacto y los alcances de la estrategia metodoloacutegica utilizada
Hake propone la identificacioacuten de los niveles de ganancia normalizada
adquirida en la intervencioacuten a partir la siguiente clasificacioacuten
Baja (g le 03)
Media (03 lt g le 07)
Alta (ggt07)
De acuerdo con lo anterior se utiliza el ldquofactor grdquo para comparar el grado de
avance entre los grupos control y experimental que fueron protagonistas de este
ejercicio investigativo para ello es necesario calcular el factor de ganancia
normalizada en cada grupo de la investigacioacuten y esto se logra haciendo uso de
los resultados generales expuestos
A continuacioacuten se presenta el respectivo factor de ganancia a manera de
histograma de frecuencias y tabla de contingencia
73
Graacutefico 2 Factor de Hake en grupos control y experimental
El histograma presenta los respectivos factores de ganancia normalizada
obtenidos en cada uno de los grupos para el caso del grupo control este factor
toma valores por debajo de 03 y esto permite concluir que el nivel de ganancia de
aprendizaje es Bajo (g le 03) para el caso del grupo experimental este factor toma
valores entre 03 y 07 lo que seguacuten Hake (1998) es un indicio de que el nivel de
ganancia es Medio (03 lt g le 07)
La tabla muestra los datos descritos en el paacuterrafo anterior
GRUPO PRE-
TEST
POST-
TEST
FACTOR
DE
HAKE
NIVEL DE
GANANCIA DE
APRENDIZAJE
CONTROL 534 644 023 BAJA
EXPERIMENTAL 439 650 038 MEDIA
Tabla 8 Factor de ganancia normalizada en grupos control y experimental
000
005
010
015
020
025
030
035
040
CONTROL EXPERIMENTAL
FACTOR DE HAKE
74
5 CONCLUSIONES
Para fijar el desarrollo de las conclusiones se formularon al iniciar el trabajo de
investigacioacuten tres preguntas orientadoras que buscaban precisar la manera en la
que los resultados impactariacutean esta intervencioacuten dichas preguntas se relacionan a
continuacioacuten con su respectiva respuesta a manera de conclusioacuten
iquestEs posible determinar la efectividad de la aplicacioacuten de meacutetodos
matemaacuteticas no tradicionales para la multiplicacioacuten como el ajedrez de
Montessori y el meacutetodo japoneacutes a traveacutes de la contrastacioacuten con algoritmos
tradicionales en nintildeos de grado tercero de primaria de la Institucioacuten
Educativa Instituto Latinoamericano de la ciudad de Manizales
El desarrollo de esta intervencioacuten pedagoacutegica permite definir de manera
sesgada y con poca claridad que el resultado del proceso de contrastacioacuten
realizado en la IE Instituto Latinoamericano puede plantearse como un referente
para entender que es posible determinar la efectividad del uso de meacutetodos
matemaacuteticos no tradicionales para multiplicar en la escuela en este caso
ejercicios ldquoabacistasrdquo como lo son la rejilla japonesa que hace uso de la
interseccioacuten de liacuteneas y estrategias de conteo para encontrar el producto en
problemas de caacutelculo aritmeacutetico o el tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
que desarrolla el proceso de caacutelculo aritmeacutetico a partir de la praacutectica y
optimizacioacuten de acciones comprensivas de conteo sin embargo es vaacutelido
mencionar que una de estas dos estrategias de contrastacioacuten tuvo una mejor
aceptacioacuten entre los estudiantes del grupo experimental este es el caso del
tablero de ajedrez Montessori para multiplicar
75
iquestSeraacute posible la potenciacioacuten de procesos de caacutelculo matemaacutetico en nintildeos
de grado tercero de primaria a traveacutes del uso de estrategias no
convencionales de multiplicacioacuten
Tal como lo muestra el apartado de ldquoimpactordquo es posible afirmar que los procesos
de caacutelculo mental en situaciones multiplicativas se potencian a partir del uso de
estrategias alternativas o no tradicionales de multiplicar para ello el uso de la
teoriacutea de Hake (1998) sobre el factor de ganancia en el aprendizaje fue un
instrumento claro y preciso de anaacutelisis
iquestEs uacutetil emplear meacutetodos de multiplicacioacuten no convencionales como el ajedrez
de Montessori y el meacutetodo japoneacutes en el aula de clase
El aula de clase estaacute llamada a re significarse de manera constante para atender a
los nintildeos que son el centro y razoacuten de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje
siendo esta una premisa clara es fundamental pensar una educacioacuten que
evolucione al ritmo de sus protagonistas que responda a la realidad cambiante del
mundo globalizado en el que nos encontramos y que permita al nintildeo convertirse
en protagonista de su proceso de formacioacuten Para esto los docentes y
facilitadores del proceso de ensentildeanza debemos retroalimentar nuestras praacutecticas
a partir de las realidades cognitivas y temporales del nintildeo reconociendo de este
modo la importancia del uso de materiales manipulables que le acerquen a la
apropiacioacuten de contenidos al mejoramiento de procesos escolares de aprendizaje
como lo son las bases de conteo una mejor y apropiada claridad conceptual de
situaciones multiplicativas y mayor comprensioacuten general de la mano de
experiencias sensoriales significativas para su desempentildeo acadeacutemico
76
A Anexo 1 Prueba Pre-test y Pos-test
INSTITUTO LATINOAMERICANO BILINGUumlE
Prueba Parcial Ndeg _
Matemaacuteticas y Tecnologiacutea grado 3
Nombre ________________________________ Fecha ________________
1 La mamaacute de Tomaacutes quiere comprar un libro de colorear a cada uno de sus tres hijos si cada libro cuesta $2300 iquestcuaacutento gasta al comprar los 3 libros A se gasta $4600 B se gasta $6000 C se gasta $6900 D se gasta $6600 2 Federico se demora 14 minutos en ir desde su casa a la escuela Si Alejandra se demora tres veces el tiempo que tarda Federico iquestcuaacutento tiempo se demora Alejandra A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos 3 La familia de Conchita organizoacute una fiesta y colocaron 14 filas de 8 sillas cada una para sentar a sus invitados iquestcuaacutentas sillas acomodaron A 148 sillas B 312 sillas C 214 sillas D 112 sillas 4 Lina comproacute 12 bolas con 26 dulces en cada una de ellas iquestcuaacutentos dulces tiene ahora Lina A 28 minutos B 40 minutos C 14 minutos D 42 minutos
5 Los 60 estudiantes de grado tercero del Instituto Latinoamericano quieren ir al museo si el costo de la entra es de $850 iquestcuaacutento pagaraacuten en total los 60 estudiantes A pagaraacuten $48000 B pagaraacuten $54000 C pagaraacuten $51000 D pagaraacuten $66000 6 Una caja de laacutepices tiene en su interior 100 unidades iquestcuaacutentos laacutepices hay en 15 cajas A 1015 laacutepices B 1510 laacutepices C 1000 laacutepices D 1500 laacutepices 7 Si una libra tiene 500 gramos entonces iquestcuaacutentos gramos hay en 6 libras A 300 gramos B 3000 gramos C 1100 gramos D 600 gramos 8 Ricardo va a la tienda y compra 17 paquetes de figuritas cada paquete contiene 3 figuritas iquestcuaacutentas figuritas comproacute Ricardo en total A 51 figuritas B 34 figuritas C 68 figuritas D 17 figuritas
9 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 32 por 12
10 iquestCuaacutel es el resultado de multiplicar 2123 por 12
Referencias
Academia play (18 de Febrero de 2016) Multiplicacioacuten japonesa Obtenido de
Youtube httpsyoutubeAmnHgkX2cgQ
Alirio Peacuterez Aacute Africano Gelves B B Febres-Cordero Colmenaacuterez M A amp
Carrillo Ramiacuterez T E (2016) Una aproximacioacuten a las pedagogiacuteas
alternativas Educere la revista venezolana de educacioacuten XX(66) 237-247
Alsina Aacute (2009) El aprendizaje realista Una contribucioacuten de la investigacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado En M G En MJ
Gonzaacutelez Investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica XIII (paacutegs 119-127)
Santander Mariacutea Joseacute Gonzaacutelez Mariacutea Teresa Gonzaacutelez Jesuacutes Murillo
(Eds) Obtenido de El aprendizaje realista una contribucioacuten de la
investigacioacuten en Educacioacuten Matemaacutetica a la formacioacuten del profesorado
Alsina C Burgueacutes C Fortuny J Gimeacutenez J amp Torra M (2005) Ensentildear
matemaacuteticas Barcelona Graoacute
Aristizabal Zapata J H Colorado Torres H amp Gutieacuterrez Zuluaga H (2016) El
juego como una estrategia didaacutectica para desarrollar el pensamiento
numeacuterico Itinerario Educativo XXX(67) 123-137
Artigue M (2004) Problemas y desafiacuteos en educacioacuten matemaacutetica iquestQueacute nos
ofrece hoy la didaacutectica de la matemaacutetica para afrontarlos Educacioacuten
Matemaacutetica XVI(3) 5-28
Benitez Rasero A (Junio de 2017) Depoacutesito de investigacioacuten Universidad de
Sevilla Obtenido de iquestQueacute es la educacioacuten alternativa y queacute caracteriacutesticas
tiene
httpsidususesxmluibitstreamhandle1144163062TFG20ANAIS20
BENITEZ20RASEROpdfsequence=1
Bishop A (1998) Equilibrando las necesidades matemaacuteticas de la educacioacuten
general con las de la instruccioacuten matemaacutetica de los especialistas Suma
XXVII 25-37 Obtenido de httprevistasumaesrevistas27-febrero-1998
Bishop A (1999) Enculturacioacuten matemaacutetica la educacioacuten matemaacutetica desde una
perspectiva cultural Barcelona Paidoacutes
Bosch M amp Chevallard Y (1999) La sensibiliteacute de lrsquoactiviteacute matheacutematiqueaux
ostensifs Recherches en Didactique des Matheacutematiques XIX(1) 77-124
79
Briton L (2000) Jugar y aprender con el meacutetodo Montessori Barcelona Paidoacutes
Educacioacuten
Burata Escorza L (22 de Mayo de 2015) RE-UNIRRepositorio Digital
Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educacioacuten Obtenido de
Propuesta de intervencioacuten para trabajar la multiplicacioacuten con materiales
luacutedico-manipulativos
httpreunirunirnetbitstreamhandle1234567893170Laia_Burata_Escorz
apdfsequence=1
Campbell D T amp Stanley J C (1995) Disentildeos experimentales y cuasi-
experimentales en la investigacioacuten social Buenos Aires Amorrorto
Editores
Casa Asia (sf) Multiplicacioacuten Japonesa Obtenido de Casa Asia
httpswwwcasaasiaesactividad_infantildetalle214897-multiplicacion-
japonesa
Catantildeo P (10 de Mayo de 2003) ALDESOC Asociacioacuten latinoamericana para el
desarrollo social del conocimiento Obtenido de Educacioacuten para una
sociedad cambiante racional e integral httpaldesocorgarticle8html
Cauas D (sf) Definicioacuten de las variables enfoque y tipo de investigacioacuten
Obtenido de Amazon S3
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments36805674l-
VariablespdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15
16653308ampSignature=O2F2FVMe3pT3STnAunASXEnzrGxSI3Dampres
ponse-content-
disposition=inline3B20filename3Dvariables_de_Daniel_Cauaspdf
Colombia Aprende (Julio de 2015) Colombia Aprende Obtenido de Curriacuteculos
para la Excelencia Derechos Baacutesicos de Aprendizaje
httpwwwcolombiaaprendeeducohtmlmicrositios1752w3-article-
349446html
De Zubiriacutea J (2013) El maestro y los desafiacuteos a la educacioacuten en el siglo XXI
REDIPE Virtual 825 Red Iberoamericana de Pedagogiacutea 6-17 Obtenido de
httpportaluasbeduecUserFiles385Fileredipe_De20Zubiriapdf
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeessrvsearchm=30ampw=noesis
DLE (2018) Diccionario de la Lengua Espantildeola Obtenido de Real Academia
Espantildeola httpdleraeesid=bb1ch7R
80
Duval R (1995) Semiosis et penseacutee humaine Pariacutes Peter Lang
Edo M amp Deulofeu J (2004) Joc interaccioacute i construccioacute de coneixements
matemagravetics Barcelona Universitat Autogravenoma de Barcelona
Font V (1994) Motivacioacuten y dificultades de aprendizaje en matemaacuteticas
SUMA+86 Revista para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas
10-16
Fundacioacuten Escuela Nueva (sf) Materiales de aprendizaje Obtenido de
Fundacioacuten Escuela Nueva Volvamos a la gente
httpescuelanuevaorgportal1esmateriales-de-aprendizajehtml
Gallardo Romero J (2004) Ensentildeanza y aprendizaje del caacutelculo aritmeacutetico
elemental en Baacutesica Primaria Maacutelaga RIUMA Repositorio Institucional de
la Universidad de Maacutelaga
Gallardo Romero J (2004) FUNES Repositorio Digital de Documentos en
Educacioacuten Matemaacutetica Universidad de Los Andes Obtenido de TESIS
DOCTORAL Diagnoacutestico y evaluacioacuten de la comprensioacuten del conocimiento
matemaacutetico El caso del algoritmo estaacutendar escrito para la multiplicacioacuten de
nuacutemeros naturales
httpfunesuniandeseduco6252Gallardo2004Diagnosticopdf
Gallegos Eliacuteas C amp Rosales Carranza G (2012) Epistemologiacutea criacutetica Itinerario
educativo XXVI(59) 15-29
Garciacutea A (2016) Otra educacioacuten ya es posible Valencia Litera libros
Gilboacuten D M Majmutova S Pfleger S amp Donagrave C (2005) Lenguas y Disentildeo
Puntos de encuentro Meacutexico DF Universidad Nacional Autoacutenoma de
Meacutexico
Giraldo Jaramillo J A (2012) Ensentildeanza-Aprendizaje bajo un enfoque
constructivista de la cinemaacutetica lineal en su representacioacuten graacutefica Ensayo
en el grado X de la Institucioacuten Educativa Feacutelix Henao Botero Medelliacuten
Universidad Nacional de Colombia
Goacutemez Alfonso B (1988) Numeracioacuten y caacutelculo Madrid Siacutentesis
Goacutemez Chacoacuten I M (2000) Matemaacutetica emocional Los afectos en el aprendizaje
matemaacutetico Madrid Narcea SA de ediciones
Goacutemez de Quevedo F (1580-1645) Francisco de Quevedo Suentildeos y discursos
Siglo de oro Madrid
81
Graefe Aguado F (25 de Julio de 2011) Geschichtsfreak Un blog sobre
diferentes aspectos de la Historia Obtenido de Sobre algunas definiciones
de Educacioacuten httpgeschichtsfreakblogspotcomco201107sobre-
algunas-definiciones-de-educacionhtml
Hake R R (1998) Interactive-engagement versus traditional methods A six-
thousand-student survey of mechanics test data for introductory physics
courses American Journal of Physics 64-74 Obtenido de
httpdxdoiorg101119118809
Hameury C (7 de Junio de 2013) Multiplicar con el tablero de Montessori
Obtenido de YouTube httpsyoutube7fd2j126-K4
Kamii C amp Dominick A (1997) To teach or not to teach algorithms Journal of
Mathemathical Behavior XVI(1) 51-61
Kinder Casa dei Bambini (sf) Diferencias entre el Meacutetodo Montessori y el
Sistema Tradicional Obtenido de Kinder Casa dei Bambini
httpcasabambininetDiferenciashtml
Loacutepez A (1 de Junio de 2017) Las perlas de colores Montessori Obtenido de
Aprendemos con mamaacute
httpwwwaprendemosconmamacom201706las-perlas-de-colores-
montessorihtml
Martiacutenez Mendoza F (sf) OEA Organizacioacuten de los Estados Americanos
Obtenido de LA ATENCIOacuteN INTEGRAL AL NINtildeO Y LA NINtildeA COMO
EXPRESIOacuteN FUNDAMENTAL DE LA CALIDAD EDUCATIVA EN EL
CENTRO INFANTIL
httpsweboasorgchildhoodESListsTemas2020Proyectos2020A
ctividad2020DocumentoAttachments439820ponencia20FMartC
3ADnezpdf
Maza Goacutemez C (1991) Multiplicar y dividir Madrid Visor
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2006) Estaacutendares Baacutesicos de
Competencias en Matemaacuteticas Bogotaacute DC Ministerio de Educacioacuten
Nacional
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2014) Ciudadanos Matemaacuteticamente
Competentes Documento orientador Foro Educativo Nacional 2014 (paacutegs
1-92) Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
82
MEN Ministerio de Educacioacuten Nacional (2015) DBA Derechos Baacutesicos de
Aprendizaje Bogota DC Ministerio de Educacioacuten Nacional
Meacutetodo Montessori (sf) Meacutetodo Montessori Obtenido de
httpss3amazonawscomacademiaedudocuments38878525METODO_
montpdfAWSAccessKeyId=AKIAIWOWYYGZ2Y53UL3AampExpires=15165
62109ampSignature=kcivDDtHiqNplxkqk81Ideta2BLs3Dampresponse-
content-
disposition=inline3B20filename3DMETODO_MONTESSORIpdf
Montessori M (1914) Dr Montessoris own book New York Frederick A Stokes
Company
Moreno Romero O d (20 de Septiembre de sf) Contexto y aporte de Mariacutea
Montessori a la pedagogiiacutea ciencia y sociedad de su momento Obtenido
de Universidad Santo Tomaacutes
httpsodaustadistanciaeducoenlineapaginaimagenesPRESENTACION
ESyPONENCIASMemorias20PonenciasBogotaPedagogia20con20e
nfasisMesa20120septiembre2020Oliverio20morenopdf
Mumuchu (15 de Noviembre de 2017) El meacutetodo Montessori explicado a
principiantes Obtenido de Mumuchu httpswwwmumuchucomblogel-
metodo-montessori-que-es
Murcia Carrioacuten J (21 de Noviembre de 2017) El meacutetodo japoneacutes para
multiplicar contando rayitas El paiacutes Verne Obtenido de
httpsverneelpaiscomverne20171120articulo1511200846_331476htm
l
Rafael Linares A (2007-2009) Desarrollo cognitivo Las teoriacuteas de Piaget y
Vigotsky Obtenido de Moacutedulo I Master en paidopsiquiatriacutea
httpwwwpaidopsiquiatriacatfilesteorias_desarrollo_cognitivo_0pdf
Reynoso J (2008) Protagonismo y pasividad en la docencia humaniacutestica
universitaria Omnia XIV(2) 9-21
Silva C amp Campos R (30 de Octubre de 2003) iquestEducacioacuten alternativa
Apuntes para la reflexioacuten Obtenido de Meacutetodo Mariacutea Montessori
httpsenlafiladeatrasfileswordpresscom201301metodo-montessori-
resumenpdf
Skemp R R (1993) Psicologiacutea del aprendizaje de las matemaacuteticas Madrid
Morata
83
Torres J (1998) El curriacuteculum oculto Madrid Ediciones Morata SL
Usiskin Z (1994) Paper-and-Pencil Skills in a CalculatorComputer Age Tenth
Annual UCSMP Secondary Conference (paacutegs 7-20) UCSMP Newsletter
No 16 Winter 1995
Vallcanera S (4 de Febrero de 2017) Caracteriacutesticas de la infancia y la nintildeez
seguacuten Mariacutea Montessori Obtenido de Jaisa Educativos
httpjaisaeducativosnetblogcaracteristicas-de-la-infancia-y-la-ninez-
segun-maria-montessori-y-sorpresa
Zazu (13 de Marzo de 2016) Aprendiendo con Montessori Obtenido de Sobre miacute
httpwwwaprendiendoconmontessoricom201603sobre-mihtml
