contexto aleatorio de la direccion de plazos

LECCIN 12

Contexto aleatorio de la direccin de plazos

Contenidos12.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

12.1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Contexto aleatorio de la planificacin temporal . 2

12.2.1 La duracin de las actividades como una variablealeatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

12.2.2 La duracin del proyecto como una variable aleatoria 612.2.3 Compromiso ptimo en la ejecucin de proyectos . . 25

12.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.3.1 Puntos tratados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012.3.2 Conceptos de nueva introduccin o ampliados . . . . 3112.3.3 Preguntas abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.3.4 Lecturas recomendadas . . . . . . . . . . . . . . . . 32Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

12.1 Introduccin 2

12.1 Introduccin

12.1.1 Objetivos

Objetivos de la leccin

Tras la presente leccin, el alumno conocer:

1. El carcter aleatorio de las duraciones de las actividades del cronograma

2. Las principales distribuciones aleatorias utilizadas en la modelizacin delcomportamiento de la duracin de las actividades del cronograma

3. Los parmetros que permitirn caracterizar, de forma sencilla, las distri-buciones pert-Beta

4. Los inconvenientes que plantea la estimacin de estos parmetros

5. El carcter aleatorio de la duracin del proyecto

6. El mtodo de estimacin de la duracin del proyecto mediante una apro-ximacin a la normal

7. Las condiciones que impone el uso del teorema del lmite central

8. El mtodo de estimacin de la duracin del proyecto mediante el mtodode los momentos

9. El mtodo de estimacin de la duracin del proyecto basado en las tcnicaspert--path

10. El mtodo de estimacin de la duracin del proyecto basado en la simula-cin de Monte Carlo

12.2 Contexto aleatorio de la planificacin tem-poral

12.2.1 La duracin de las actividades como una variablealeatoria

La descripcin realizada hasta el momento acerca de las tcnicas de expresin delcronograma ha seguido un enfoque determinista que nos ha resultado til paraconocer los principios bsicos de construccin y clculo correspondientes a estastcnicas. Sin embargo, parece conveniente mejorar el enfoque proporcionadocomplementndolo de modo que se recojan aspectos probabilsticos que mejorenla fidelidad del modelo.

12.2 Contexto aleatorio de la planificacin temporal 3

Parece claro que la realizacin de una misma actividad repetidas veces preci-sar en unas ocasiones ms tiempo que en otras. La duracin de una actividad noes por tanto un valor fijo e inquebrantable, sino que se ve afectado por mltiplescircunstancias que condicionarn finalmente su valor. Parece clara, entonces, lanecesidad de incorporar el carcter aleatorio de la duracin de las actividades alos modelos utilizados.

Si trazramos una estimacin de la funcin de densidad de probabilidad apartir de los valores observados para estas duraciones, generalmente encontra-ramos un entorno correspondiente a los valores ms frecuentemente observados,as como tambin zonas menos densamente pobladas.

Siguiendo esta apreciacin, los autores, por ejemplo, del mtodo pert su-ponen que las duraciones de las actividades son variables aleatorias que siguenleyes de probabilidad tipo Beta, cuya funcin de densidad de probabilidad recogela ecuacin 12.1.

f(t) =

0 si t aK(t a)(b t) si a < t < b0 si b t

(12.1)

donde y son los parmetros de forma de la distribucin, a y b son las esti-maciones optimista y pesimista de la duracin de la tarea y K es una constanteque depende de los parmetros a, b, y que toma el valor conveniente parahacer igual a 1 el rea bajo la funcin de densidad de probabilidad.

K =1 b

a(t a) (b t) dt

(12.2)

Eligiendo convenientemente los valores de los parmetros de forma y , lafuncin de densidad de probabilidad Beta adopta una forma parecida a la de lacampana de Gauss de la distribucin normal, aunque con algunas diferencias.

En primer lugar, para las distribuciones Beta la campana no es simtrica,como ocurre con las distribuciones normales, pudiendo presentar (figura 12.1)la asimetra hacia la derecha si a+b2 > m o hacia la izquierda

a+b2 < m , depen-

diendo m, la moda de la distribucin, de los parmetros de forma y .Por otra parte, las curvas Beta no son asintticas con el eje de abscisas, como

ocurre con las curvas normales, sino que lo cortan en los puntos extremos de ladistribucin1. En definitiva, puede decirse que las leyes Betas guardan un ciertoparecido formal con las leyes normales o gaussianas, pero siendo asimtricas (ala derecha o a la izquierda) y permaneciendo acotadas.

A partir de la expresin 12.1 puede obtenerse la media D y la varianza 2

1Esto es, en los puntos a y b (duracin optimista y pesimista).


xa m b

f(x) = 2

= 5

xa m b

= 5 = 2f

(x)

Figura 12.1: Influencia de los parmetros sobre la forma de la funcin de densidadde probabilidad de la ley Beta.

de la familia de distribuciones Beta; sus valores son iguales a:

D =a+ (+ )m+ b

+ + 2(12.3)

2 =(b a)2(+ 1)(+ 1)(+ + 2)2(+ + 3)

(12.4)

Con objeto de fijar de entre todas las curvas de densidad tipo Beta dadaspor la ecuacin 12.1 la que mejor se adapta a la descripcin de la duracin deuna actividad, los autores del mtodo pert establecieron el supuesto2 de quela desviacin tpica de la distribucin es igual a la sexta parte del recorrido, esdecir:

2 =(b a6

)2(12.5)

Al establecer que la distribucin de la duracin de las actividades cumple laanterior condicin, hemos delimitado el conjunto de curvas de la familia Betaque nos sern de utilidad3. Los parmetros de forma y ya no pueden adoptarcualquier valor sino que dependen de los que tomen a, b y m .

Veamos como, en efecto, esto es as. Para ello, comenzaremos por calcularla moda de la distribucin. Este parmetro lo obtendremos mediante simplederivacin de la funcin de densidad de probabilidad Beta (ecuacin 12.1) en elintervalo [a, b]:

dfdt

= (t a)1 (b t)1 [(b t) (t a)] (12.6)

Para t = m se satisface que dfdt = 0 . de donde:2Esta propiedad se cumple de manera bastante satisfactoria en las distribuciones de pro-

babilidad unimodales, como es el caso de las leyes Beta.3La familia de curvas resultante de imponer esta condicin es conocida como distribucin

pert-Beta.


m =a+ b+

(12.7)

Por otra parte, la condicin 12.5 convierte la expresin 12.4 en:

(+ 1)(+ 1)(+ + 2)2(+ + 3)

=136

(12.8)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones 12.7 y 12.8obtenemos los valores de y que determinan la forma de las curvas pertene-cientes a la familia pertBeta, Estos valores nos permiten, asimismo, establecerde una manera unvoca el valor de la media y de la varianza de la duracin dela actividad. La resolucin del sistema de ecuaciones no es sencillo; con objetode simplificar los clculos se suelen tomar los siguientes valores de y :

=

2 +2 si m > a+b2

22 si m < a+b2(12.9)

=

22 si m > a+b2

2 +2 si m < a+b2

(12.10)

Substituyendo los valores de y en las ecuaciones 12.3 y 12.4, obtendre-mos:

D =a+ 4m+ b

6(12.11)

2 =(b a6

)2(12.12)

Estas expresiones permiten calcular con facilidad la media y la varianza de laduracin de una actividad a partir tan slo de la estimacin de tres parmetros:el tiempo optimista a, el tiempo pesimista b y el tiempo ms probable m .

A pesar de que la aproximacin descrita es quizs la ms popular entre losprofesionales de la direccin de proyectos, algunos autores han criticado fuer-temente los supuestos en los que se basa el fundamento estadstico del mtodopert.

En realidad la estimacin de los valores de a, b y m resulta compleja para losplanificadores u ofertistas y existen autores[6, 9] que sealan que la subjetividadde estas estimaciones puede conducir a errores muy importantes de prediccinen la duracin total del proyecto. De hecho el ltimo autor indica que la sub-jetividad surge de que la estimacin de la duracin de una tarea es puramentehipottica. No obstante, la literatura tambin cuenta con propuestas de mejoradel intervalo de duracin de las actividades [5].


Otros autores[8, 10, 17, 7] calculan la sensibilidad de D y 2 frente a estima-ciones errneas de a, b y m . As se indica que la interpretacin de los conceptosoptimista y pesimista es ambigua y est sujeta a interpretacin. Por ejem-plo, b puede ser descrita como duracin con poca probabilidad o duracincon probabilidad de ser excedida menor de menos de un uno por ciento. Esto,unido al hecho de que la gente no es buena estimadora de valores extremos,conduce a valores bastante inciertos, particularmente para a y b, lo que a lapostre supone aceptar importantes desviaciones potenciales, especialmente enel caso de modelos deterministas como los estudiados con anterioridad.

Otros, comoWayne D. y Cottrell [18] proponen una distribucin normalsimtrica basada en que m sea ahora la media de la normal y b sea el plazonecesario para asegurar una probabilidad de concluir el proyecto a tiempo del90%.

Por otro lado, la consideracin de los valores medios expresados en la ecua-cin 12.11 como duraciones caractersticas de las actividades supone un sesgopeligroso hacia el optimismo, no slo porque el valor ms probable de esta du-racin, la moda, pueda ser superior, sino tambin por el resultado obtenido enlos nodos donde converjan varias actividades. As, en estos nodos, el tiempotemprano se calcular como el mximo de los valores medios en vez de la espe-ranza del valor mximo, lo que hace que las estimaciones puedan ser aun msoptimistas.

La aproximacin mediante distribuciones pertBeta descrita es la ms po-pular y a la vez tambin fuertemente criticada por carecer de fundamentos te-ricos lo suficientemente slidos que permitan afirmar que las duraciones de lasactividades siguen distribuciones de probabilidad Beta del tipo que acabamosde presentar, por lo que se han sugerido otras distribuciones de probabilidadque reflejen mejor el fenmeno de la aleatoriedad de la duracin de las activida-des. Entre estas distribuciones se suelen sugerir: la normal (figura 12.2 y tabla4

12.1), la log-normal (figura 12.3) o la Weibull (figura 12.4), por citar algunas.

12.2.2 La duracin del proyecto como una variable alea-toria

Una vez presentado el carcter aleatorio de la duracin de una actividad, resultams interesante an ver los los efectos que esta aleatoriedad produce sobre laduracin del proyecto.

Merece la pena reparar en que, dentro de un contexto determinista, la dura-cin de un proyecto viene determinada por la duracin de su camino ms crtico.As, vemos que la duracin del proyecto es igual a la suma de las duraciones de

4El alumno encontrar til esta tabla para resolver los problemas que se le propongan.


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Cuadro 12.1: Funcin de distribucin de la ley Normal(0,1).


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

f(x)

f (x ; = {, }) = 12pie

12 ( x )

2

Figura 12.2: Funcin de densidad de probabilidad de la Normal(0,1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

f(x)

f (x ; = {, }) = 1x2pie

12 ( ln x )

2

Figura 12.3: Funcin de densidad de probabilidad de la Lognormal(0,1).

su camino ms crtico5. Si la duracin de estas actividades es una variable alea-toria, aleatoria ser tambin su suma y por tanto aleatoria tambin la duracindel proyecto. La cuestin es qu distribucin aleatoria seguir esta duracindel proyecto? Veremos tres aproximaciones a su respuesta.

Mtodo de la aproximacin normal

Otra aproximacin a la respuesta nos la proporciona el teorema del lmitecentral6:

5Decimos ms crtico para remarcar el hecho de que puede haber ms de un posiblecamino crtico. Ms adelante veremos que de todos ellos ser ms crtico aqul con mayorvarianza asociada. Sin embargo, para los propsitos que nos planteamos en este punto de laleccin, nos basta con contemplar la duracin de cualquiera de estos caminos pues ser igualpara todos ellos.

6Se prefiere generalmente esta denominacin a la alternativa teorema central del lmite encuanto a que el trmino central se refiere verdaderamente al lmite y no al teorema. A pesarde ser por muchos considerado el teorema rey de la estadstica, realmente se denominacentral en cuanto que la aproximacin a la que se refiere es ms fiel en el entorno de la


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.05

0.10

0.15

x

f(x)

f (x) = k(x

)k1e(x/)

k

Figura 12.4: Funcin de densidad de probabilidad de la ley de Weibull(k = 2 , = 3).

La suma de n variables aleatorias independientes e idnticamentedistribuidas7, converge en distribucin, cuando n tiende a infinito,a una variable aleatoria que sigue una distribucin normal que tienepor media la suma de las medias y y por varianza la suma de lasvarianzas de las n variables aleatorias.

Si, como hemos dicho, la duracin del proyecto se puede determinar como sumade las duraciones del camino ms crtico, podemos definir una nueva variablealeatoria , que nos mida la duracin del proyecto, de la siguiente manera:

= 1 + 2 + + i + + n (12.13)

donde las n variables aleatorias i representan las duraciones de las n actividadesque forman parte del camino ms crtico.

Apoyndonos entonces en el teorema del lmite central, y siempre quese cumplan sus condiciones, podremos aproximar la distribucin de la variablealeatoria mediante una distribucin normal cuya media se calcule como sumade las medias de las variables aleatorias i y su varianza como suma tambin desus varianzas, es decir:media que hacia las colas, donde los errores cometidos por la aproximacin aumentan.

7Varios teoremas reciben el nombre de teorema del lmite central y el expuesto es, se-guramente el ms popular. Sin embargo, se puede plantear bajo condiciones menos duras quegarantizan que ninguna de las variables ejerce una influencia mucho mayor que el resto, comolas propuestas por Liapunov o Lindenberg. Bajo estas condiciones, las variables aleatorias notienen por qu ser idnticamente distribuidas.


x

f(x)

F ( ; = {, }) =

12pie

12 ( x )

2

dx

Figura 12.5: Integral sobre la funcin de densidad de probabilidad de la Normal

N = n

i=1

i , =

ni=1

2i

(12.14)Si, adems, damos por bueno el enfoque basado en las distribuciones pert

Beta, podremos expresar i y i en funcin de los valores ai, bi y mi correspon-diente a cada i de la manera mostrada en las ecuaciones 12.11 y 12.12.

La informacin contenida en la ecuacin 12.14 puede ser de gran utilidadpara el director del proyecto pues le permitir, por ejemplo, determinar la pro-babilidad de terminacin del proyecto en un plazo no superior a un cierto lmite.Es decir, p ( ) ; o lo que es lo mismo, F (), donde F () = p ( ) es lafuncin de distribucin de en el punto , que nos indica la probabilidad deocurrencia de un suceso de valor inferior o igual a . Dicha probabilidad, co-mo es bien sabido, ser igual al rea representada por la zona de la figura 12.5sombreada en azul.

La funcin de densidad de probabilidad de una variable normal de media y varianza 2 es igual a:

f(t) =1

2pi

e12 ( t )

2 t (12.15)

Por tanto, para obtener el valor de F () tendramos que resolver la siguienteintegral:

p ( ) = F () = 12pi

e12 ( t )

2

dt (12.16)

La integral de la ecuacin 12.16 no puede resolverse por procedimientos ordi-narios y no es posible obtener una frmula cerrada por lo que se hace necesariootro mtodo de clculo como puede ser algn procedimiento numrico de inte-gracin o el uso de tablas que contengan sus resultados. En caso de no poder


contar con un sistema computacional preparado para tal tarea, siempre cabeel recurso de la utilizacin de tablas, como la 12.1. Sin embargo, no es posibledisponer de un catalogo de infinitas tablas para infinitas combinaciones de losparmetros y . As, se recurre al uso de distribuciones de referencia, comola Normal(0,1), mediante transformaciones de las distribuciones originales.

En efecto, las variables aleatorias obtenidas mediante transformaciones afinesequivariantes de variables aleatorias que siguen una normal siguen a su veztambin una distribucin normal, si bien caracterizada por parmetros distintosa los originales, como parece razonable pensar. As, si partimos de una variablealeatoria normalmente distribuida con parmetros y , y desea obtener unavariable aleatoria que se distribuya segn una N(0, 1) , tan slo deberemos elegircon acierto la transformacin a realizar.

Consideremos la nueva variable

= rs

(12.17)

donde r y s son dos constantes de la transformacin cuyo valor deseamos encon-trar para obtener la transformacin adecuada y conseguir que se distribuyasegn una N(0, 1). Para ello, determinaremos el valor de la esperanza de ylo igualaremos a 0, y determinaremos el valor de su varianza y lo igualaremos a1. De la ecuaciones resultantes podremos obtener el valor deseado de r y s . Aspues, procedemos de la manera indicada, resultando:

E () = E( rs

)=

1sE ( r) = 1

s(E () r)

=1s( r) = 0 (12.18)

de donde r = .

V ar () = V ar( s

)=

1s2V ar ( )

=1s2

(V ar () V ar ()) = 1s2(2 0)

=2

s2= 1 (12.19)

de donde s = .


Esta sencilla transformacin proporciona la tradicional frmula de tipifica-cin de la normal. Efectivamente,

=

(12.20)

se distribuye, para nuestra comodidad, segn una N (0, 1) , cuyas tablas son deuso comn y extendido.

Gracias a esta transformacin podremos obtener el valor correspondiente ala ecuacin 12.16 mediante su resolucin en la distribucin N(0, 1), es decir:

F ( ; = {, }) = p ( ; = {, })= p

(

; = {0, 1})

= F(

; = {0, 1})

(12.21)

Basta entonces con acudir a la tabla de la N(0, 1) para determinar la pro-babilidad correspondiente al punto ( ) / y as obtener el valor buscado.

De manera anloga podra plantearse la cuestin relativa al plazo queasegura una alta probabilidad de terminar el proyecto en un plazo no superiora ste Esa duracin, que constituir una informacin de indudable valor parael responsable del proyecto, se obtiene fcilmente resolviendo el valor de quesatisface:

p ( ; = {, }) = F ( ; = {, }) = (12.22)

Igual que antes, podemos tipificar la variable aleatoria para aprovecharnos dela tabla de la N(0, 1) :

F ( ; = {, }) = F(

; = {0, 1})

= (12.23)

Para despejar la duracin de la ecuacin 12.23 bastara con buscar enla tabla de la distribucin normal tipificada la abscisa que deja a su izquierdaun rea . Si esa abscisa es, por ejemplo, , la duracin buscada se obtendrdespejando de la siguiente ecuacin:

= (12.24)

lo que resulta en:

= + (12.25)


Merece la pena resaltar que en el desarrollo de este mtodo no ha sido nece-sario imponer el modelo de distribucin que han de seguir las duraciones de lasactividades y puede, por tanto, ser aplicado incluso en situaciones en las que nosean aceptadas las hiptesis de distribucin Beta para la densidad de probabili-dad de la variable aleatoria duracin de cada tarea. Sin embargo, al basarse latcnica expuesta en el teorema del lmite central, no siempre se cumpli-rn las premisas impuestas por ste, lo que hace inaplicable el mtodo en talescasos y adems, aun en los que se cumplan, es discutible su aplicabilidad.

Ntese que ste teorema se aplica sobre la suma de duraciones del caminocrtico y, por tanto, nos da una aproximacin de la distribucin de la duracin deese camino. Sin embargo, la duracin del proyecto no siempre vendr determi-nada por ese mismo camino crtico pues, al ser aleatorias las realizaciones de lasduraciones, segn el valor que tomen stas, sern crticos unos caminos u otrosy, as, no puede asemejarse la duracin del proyecto con la duracin de un nicocamino crtico, con lo que la aplicabilidad del mtodo queda en entredicho.

Mtodo basado en PERTpath

Otra alternativa a las aproximaciones anteriores se fundamenta en la tcnicapertpath[11, 12]. Su desarrollo [14] persigue integrar el conjunto de relacio-nes presentes en el grafo, al igual que el mtodo de los momentos visto en elapartado anterior, pero sin precisar de la imposicin de un modelo de distribu-cin determinado, basndose en la idea de que el grafo del proyecto proporcionainformacin acerca de su propia evolucin.

A partir del grafo pert oRoy del proyecto, se identifican los posibles estadosde ejecucin del proyecto y se traza el grafo correspondiente a sus transiciones.Cada posible estado se representa mediante un vector (CA1 , CA2 , . . . , CAn) ,donde n es el nmero de actividades del proyecto y CAi una variable binariaque tomar el valor 1 si la actividad ha sido ya ejecutada o el valor 0 si est porterminar. A continuacin se puede desplegar este grafo en forma de un rbolque recoge todos los posibles caminos presentes en el grafo de transiciones. Enparalelo con este proceso, la identificacin de estados y su grafo de transicionespermite caracterizar la distribucin de la duracin asociada a cada transicin.

Avanzando un poco ms, el trazado del rbol de caminos da pie a la deter-minacin de la distribucin correspondiente a la duracin de cada uno de ellos.Finalmente, el conjunto de caminos determinar la distribucin de la duracindel proyecto, de acuerdo a las siguientes expresiones cuya demostracin recoge


A

B

0,0

1,0

0,1

1,1

s1

s2

s3

s40,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4

Figura 12.6: Grafo, transicin de estados y rbol desplegado.

la referencia [14]:

f =r

i=1

fip (pii) (12.26)

=r

i=1

p (pii)pii (12.27)

=r

i=1

p (pii)2pii +r

i=1

p (pii)2pii 2 (12.28)

2 =r

i=1

p (pii)[2pii + [pii ]2

](12.29)

Primer ejemplo La figura 12.6 recoge un sencillo ejemplo de generacin deeste rbol. Supondremos que tanto la tarea a como la tarea b siguen leyes dedistribucin exponenciales negativas de parmetros A y B , respectivamente.Recordemos (figura 12.7) que la ley exponencial negativa de parmetro tieneesperanza igual a 1 , varianza igual a

(1

)2 y sigue el modelo impuesto por lafuncin de densidad de probabilidad siguiente:

f (x) =

ex x 00 x < 0 (12.30)Comenzando desde el estado inicial E00 = (0, 0) en el que ninguna tarea

ha sido ejecutada, el desarrollo del proyecto puede transcurrir hacia el estadoE10 = (1, 0), con lo que se habra producido la transicin s1 , o hacia el estadoE01 = (0, 1), habindose producido entonces la transicin s2 . Estando en E10,slo resta que termine la tarea b, lo que dar lugar al estado E11 a travs de latransicin s3 . Igualmente, de estar en el estado E01, slo restara que terminarala tarea a a travs de la transicin s4 . Las transiciones de estos estados segui-rn las distribuciones asociadas a las condiciones que deban cumplirse para suactivacin. Veamos cuales son stas.

Transicin s1 :


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

x

f(x)

f (x) = ex

Figura 12.7: Funcin de densidad de probabilidad de la ley Exponencialnegativa( = 1) .

A

B

B=A

Figura 12.8: La regin coincide con la zona sombreada en la que A < B .

s1 y s2 son dos alternativas que pueden presentarse a partir del mismoestado. La ocurrencia de la transicin s1 implica que la duracin de laactividad a sea menor que la de la actividad b y, por tanto, la probabilidadde ocurrencia de esta transicin ser igual a p (A < B) =

f (A, B) ,

siendo A y B las variables aleatorias correspondientes a las actividadesa y b, y la regin del espacio A B en la que se satisface A < B .Conociendo la funcin de densidad de probabilidad de ambas duracionesexponencial negativa, recordemos, podemos escribir:

p (A < B) = 0

A0

AeAABeBBdBdA (12.31)

de donde, sin ms que resolver la integral, resulta p (A < B) = BA+B .

Por otro lado, las caractersticas de la duracin de esta transicin sernlas correspondientes a la tarea a.


Transicin s2 :De manera similar, o considerando p (B < A) = 1 p (A < B) , obten-dramos tambin la probabilidad p (B < A) = AA+B de la transicins2 . Las caractersticas de esta transicin sern las correspondientes a latarea b.

Transicin s3 :La transicin s3 tan slo requiere la completacin de la actividad b nohabiendo alternativas de transicin desde su estado inicial, con lo que suprobabilidad ser igual a 1. Su duracin ser igual a la diferencia s3 entrelas duraciones de las tareas a y b, sabiendo que la primera fue menorque la segunda. Para determinar las caractersticas de su distribucin,calcularemos primero las correspondientes a la distribucin de su resta, quellamaremos sc . Tngase en cuenta que la variable aleatoria obtenida comoresta de otras dos sigue una distribucin determinada por la correlacincruzada de los trminos de la resta8. Para nuestro caso, tendramos:

fsc = fBA =

fA (sc + u) fB (u) du (12.32)

La integral resultante cobra valor no nulo all donde la variable de laexponencial es positiva. Esto provoca un desdoblamiento de la integral enfuncin del signo de sc .

fsc =

0

BeBuAeA(sc+u)du si sc 0

s3

BeBuAeA(sc+u)du si sc < 0

(12.33)

de donde se obtiene

fsc =

ABA+B

eBsc si sc 0

ABA+B

e+Asc si sc < 0

(12.34)

Este resultado permite determinar la distribucin de s3 . La duracin s3tambin, como sc , representa la diferencia entre B y A , con la salvedad

8La distribucin de la suma se obtendra mediante la convolucin.


de que en este caso se da por conocido que A < B y por tanto sc =B A > 0 . As pues, la distribucin de s3 ser equivalente a la de sccondicionada a la ocurrencia de sc > 0 . Si llamamos +sc a la variablealeatoria discreta correspondiente al valor lgico de sc 0, podremosescribir:

fs3 = fsc | +sc(sc | +sc

)=

fsc , +sc

(s3 ,

+sc

)f+sc

(+sc)

=ABA+B

eBs3 0

ABA+B

eBsc dsc

(12.35)

De donde

fs3 = B eBs3 (12.36)

Curiosamente ha resultado que la duracin de la transicin s3 tan slodepende de la duracin de b y no de la de a. Este resultado particular parala distribucin exponencial considerada es debido a su conocida propiedadde ausencia de memoria9. De este modo, la media y la varianza de s3coincidirn con las de B :

s3 = 0

s3fs3ds3

= 0

s3B eBs3 ds3 (12.37)

s3 =1B

(12.38)

2s3 =

2s3fs3ds3

= 0

2s3BeBs3 ds3 (12.39)

9Esta propiedad establece que p (X > s+ t |X > t) = p (X > s) s, t > 0. En efecto, enel caso de la exponencial tenemos: p (X > s+ t |X > t) = p(X>s+tX>t)

p(X>t)=

p(X>s+t)p(X>t)

=

1FX (s+t)1FX (t) =

e(s+t)et = e

s = p (X > s).


2s3 =(

1B

)2(12.40)

Transicin s4 :Conocido el resultado de la transicin s3 y gracias a la ausencia de me-moria de la ley exponencial, s4 sigue la distribucin de A , y por tanto:

fs4 = A eAs4 (12.41)

s4 =1A

(12.42)

2s4 =(

1A

)2(12.43)

La tabla 12.2 recoge las caractersticas que hemos obtenido para cada una delas transiciones.

Transicin 2 p (Si)s1

1A

(1A

)2B

A+B

s21B

(1B

)2A

A+B

s31B

(1B

)21

s41A

(1A

)21

Cuadro 12.2: Caractersticas de las transiciones correspondientes al ejemplo de lafigura 12.6.

Camino pi1 :Habiendo hallado el valor de los parmetros de las transiciones, resultasencillo obtener los correspondientes a los caminos. El camino pi1 contienelas transiciones {s1, s3} con lo que pi1 sigue la distribucin de la suma delas distribuciones de s1 y s3 . Considerando pi1 = s1 + s3 tendremos:

fpi1 =

fs1 (k) fs3 (pi1 k) dk (12.44)

= pi10

AeAkBe

B(pi1k) dk (12.45)

de donde se obtiene,


fpi1 =

ABBA(eApi1 eBpi1 ) si A 6= B

2Api1eApi1 si A = B

(12.46)

pi1 =1A

+1B

(12.47)

2pi1 =(

1A

)2+(

1B

)2(12.48)

La probabilidad del camino ser igual al producto de las probabilidadesde las transiciones p (s1) =

(B

A+B

)y p (s3) = 1 .

Camino pi2 :Anlogamente, podramos obtener los valores correspondientes al caminopi2 .

La tabla 12.3 recoge los valores de los parmetros para ambos caminos. A partir

pii pii 2pii p (pii)

pi11A

+ 1B(

1A

)2+(

1B

)2 (B

A+B

)pi2

1A

+ 1B(

1A

)2+(

1B

)2 (A

A+B

)Cuadro 12.3: Parmetros de las distribuciones de los caminos del ejemplo de la figura12.6.

de los datos de la tabla, podemos calcular ya la duracin media del proyectoatendiendo a la ecuacin 12.27:

=(

1A

+1B

)(B

A + B

)+(

1A

+1B

)(A

A + B

)(12.49)

con lo que finalmente

=1A

+1B

(12.50)

Aplicando la frmula 12.29 se obtiene la varianza a partir de los resultadosobtenidos en cada camino:

2 =(

1A

)2+(

1B

)2(12.51)


A1

A2

A3

A4

Figura 12.9: Grafo del ejemplo pertpath.

Segundo ejemplo El siguiente ejemplo, mostrado en la figura 12.6, aparecien el articulo [14] que origin esta tcnica con el objeto de resaltar la fidelidadde los resultados obtenidos con ella comparndolos, en dicho artculo, con losobtenidos con las tcnicas de pert estndar y las aproximacin obtenida porsimulacin por el mtodo de Monte Carlo. Se supone, nuevamente y sin falta degeneralidad, que las duraciones de las actividades de este proyecto en particularseguirn distribuciones exponenciales negativas10. Llamaremos i al parmetrode la distribucin exponencial negativa correspondiente a la duracin i de laactividad Ai .

La tabla 12.4 recoge el valor de estos parmetros para las actividades delproyecto del ejemplo.

i i1 22 23 14 2

Cuadro 12.4: Caractersticas de las duraciones de las actividades del ejemplo.

Con estos datos, comenzamos identificando, a partir del grafo pert del pro-yecto, los posibles estados, que recogemos en la tabla 12.5, y sus transiciones,cuyo grafo de transiciones refleja la figura 12.10. A partir de este grafo detransiciones resulta inmediato identificar los posibles distintos caminos (tabla12.6). Slo resta ya caracterizar la distribucin de cada uno de estos caminos11

(tabla 12.7) y, hecho esto, obtener la distribucin de la duracin del proyecto,10Ntese que la funcin de densidad de probabilidad de la ley exponencial negativa toma

valores no nulos en todo el semieje real positivo.11Note el alumno que en este caso, la resolucin del ejercicio ha requerido la determinacin de

la probabilidad de transiciones en un escenario de tres alternativas. Para ese caso, y llamandoi a la duracin de la actividad Ai cuya completacin marca la transicin sr , tendremosque p (sr) = p (i < j i < k) =

R0

R 10

R 120 ie

iijejjkekk dkdjdi ,de donde p (sr) =

jk

(i+j)(i+k).


E00

E11

E21

E31

E12

E22

E32

E13

E23

E14

Figura 12.10: Grafo de transiciones entre estados.

Designacin EstadoE00 (0,0,0,0)E11 (1,0,0,0)E21 (0,1,0,0)E31 (0,0,1,0)E12 (1,1,0,0)E22 (1,0,1,0)E32 (0,1,1,0)E13 (1,1,1,0)E23 (1,1,0,1)E14 (1,1,1,1)

Cuadro 12.5: Posibles estados del desarrollo del proyecto del ejemplo.

pii Estadospi1 (0,0,0,0) ; (1,0,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi2 (0,0,0,0) ; (1,0,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,0,1) ; (1,1,1,1)pi3 (0,0,0,0) ; (1,0,0,0) ; (1,0,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi4 (0,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi5 (0,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,0,1) ; (1,1,1,1)pi6 (0,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (0,1,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi7 (0,0,0,0) ; (0,0,1,0) ; (1,0,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi8 (0,0,0,0) ; (0,0,1,0) ; (0,1,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)

Cuadro 12.6: Matriz de transicin de estados.


pii 2pii

2pii p (pii)

pi1 1.3667 0.5122 4/45pi2 1.8667 1.2622 8/45pi3 1.5333 0.6511 2/15pi4 1.3667 0.5122 4/45pi5 1.8667 1.2622 8/45pi6 1.5333 0.6511 2/15pi7 1.4500 0.6025 1/10pi8 1.4500 0.6025 1/10

Cuadro 12.7: Parmetros de la distribucin de la duracin de los caminos del grafode estado.

que resulta tener de parmetros eta = 1,606 y 2 = 0,935 . Lo ms notable esla diferencia de este resultado respecto al que se obtendra mediante la tcnicapert estndar ( = 1), donde se subestimara en un 37.5% la duracin delproyecto.

Mtodo de los momentos

Otra posible manera de caracterizar la distribucin de la duracin del proyectose fundamenta, segn la propuesta de Clark[4] y Sculli[15], en la considera-cin de funciones de distribucin Erlang (figura 12.11) como alternativa a lautilizacin de funciones pert-Beta.

Una de las ventajas apuntadas a favor de este tipo de distribuciones es quetiene una expresin analtica para los primeros cuatro momentos, cosa que noocurre con otras distribuciones de expresin ms compleja. Este hecho permiteobtener de forma analtica tambin los primeros cuatro momentos correspon-dientes a las duraciones de varias actividades en serie o en paralelo, y consi-guientemente, de la duracin del proyecto.

Si llamamos c al parmetro factor de forma y a la media de la dis-tribucin, tendremos las siguientes expresiones para la funcin de densidad deprobabilidad, la funcin de distribucin y el momento jsimo de esta distribu-cin en torno al origen:

f(x ; = {c, }) =(c

)cxc1 exp

{x c

}(c 1)! 0 < x


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

x

f(x)

f (x) = (c )

cxc1 exp{x c}

(c1)!

Figura 12.11: Funcin de densidad de probabilidad de la ley deErlang(c = 20 , = 5) .

j,1 =

0

xjf (x ; = {c, }) dx =(c

)j j1i=0

(c+ i) (12.54)

Seguidamente, veremos las reglas correspondientes a la sucesiva simplificacindel grafo a fin de obtener la duracin de la actividad equivalente al grafo com-pleto del proyecto.

Actividad equivalente a dos en paraleloSea Api la actividad equivalente a otras dos A y A desarrolladas en pa-ralelo y que siguen distribuciones Erlang con parmetros = {c, }y = {c , }, respectivamente. Los primeros cuatro momentos centra-les correspondientes a la duracin tpi = max (t, t) de la actividad Apiequivalente pueden expresarse como:

pij = Aj +(j

j1i=0

c + ic

)1 pc+j c1i=0

(Cc+i+j1i q

i)+

+

(j

j1i=0

c + ic

)[1 pc+j

c1i=0

(Cc+i+j1i p

i)]

(12.55)

donde:


Cji =

(j

i

)=

j!(j i)!i! (12.56)

p =c

c + c(12.57)

q =c

c + c(12.58)

A1 = 0 (12.59)

A2 = 2pi1 (12.60)

A3 = 3pi1pi2 + 3pi1 (12.61)

A4 = 4pi1pi3 + 62pi1pi2 + 4pi1 (12.62)

Actividad equivalente a dos en serieSea A la actividad equivalente a otras dos A y A desarrolladas en seriey que siguen distribuciones Erlang con parmetros = {c, } y = {c , }, respectivamente. Los primeros cuatro momentos centralescorrespondientes a la duracin tpi = t+ t de la actividad A equivalentepueden expresarse como:

j =

j + j si j = 1, 2, 34 + 6 22 + 4 si j = 4 (12.63)Recientemente, y de forma anloga a la expuesta,Abdelkader [1] ha propuestouna solucin vlida para distribuciones Weibull.

Mtodo de Monte Carlo

Una posible manera ms de determinar la distribucin de la duracin del pro-yecto consiste en utilizar la fuerza bruta12 y reproducir mediante simulacin, unnmero suficiente de veces13, la ejecucin del proyecto atendiendo al carcteraleatorio de la duracin de cada actividad.

As, en cada una de las repeticiones se obtendrn valores aleatorios de lasduraciones de cada una de las actividades que lo forman atendiendo a su corres-pondiente ley de distribucin. A partir de estas duraciones se puede obtener laduracin del proyecto correspondiente a la iteracin en curso mediante las tcni-cas usuales tal y como se plantearon en su versin determinista. La distribucinde la duracin observada en la simulacin reflejar de manera fiel, cuando el n-

12De la capacidad de clculo de los modernos computadores, se entiende.13Tantas cuantas hagan falta para alcanzar la estabilidad del resultado.


mero de repeticiones sea suficientemente grande, la distribucin de la duracindel proyecto.

12.2.3 Compromiso ptimo en la ejecucin de proyectos

Segn hemos visto en los apartados anteriores, la duracin de un proyecto tienecarcter de variable aleatoria y la estimacin de esta duracin obtenida porel mtodo PERT tiene el carcter de una duracin media (es decir, de unaesperanza matemtica).

El carcter aleatorio de la duracin del proyecto plantea un importante pro-blema en algunas empresas encargadas de la ejecucin del proyecto, pues estasempresas deben fijar el nmero de unidades de tiempo en que se comprometena finalizar un proyecto que desean contratar. Por ejemplo, la empresa E, quedesea que le adjudiquen la ejecucin de un proyecto en un concurso de obras,sabe que cuanto menor sea el plazo en que se comprometa a terminarlo, mayores la probabilidad de conseguir el contrato de ejecucin. Ahora bien, segn sedispone en este tipo de contratos, si la empresa E no finalizase el proyecto en lafecha pactada, se vera obligada a pagar una penalizacin proporcional al retrasoexperimentado. Por tanto, si la empresa E se compromete a finalizar el proyectoen un plazo de tiempo corto se expone a un coste en concepto de penalizacin(coste de penalizacin). En el caso contrario, si se compromete a entregar laobra en un plazo ms largo (por lo general, superior a la esperanza matemticade la duracin dada por el PERT), la empresa E se expone a perder la contra-ta, ya que la obra puede ser adjudicada a otro empresario que ofrezca mejorescondiciones en cuanto al plazo de entrega. Es decir, la empresa E se ve obligadaentonces a ofrecer una cierta suma en concepto de rebaja sobre el presupuesto deobra, a fin de mejorar su posicin frente a otros posibles adjudicatarios. Cuantoms largo sea el plazo, tanto mayor ser la rebaja sobre la cifra de presupuestoque ofrecer E en el concurso de obras. Pero si, por circunstancias imputablesa la aleatoriedad, E termina el proyecto en un tiempo inferior al plazo de en-trega, pensar con razn que ha incurrido en un coste a consecuencia de larebaja (coste de rebaja), que poda haberse ahorrado si hubiera adelantadoel plazo. As pues, los costes de penalizacin y rebaja (medidos en trminos deprobabilidad) son funciones crecientes del plazo de entrega, obedeciendo a unacierta ley que en algunos casos podr ser lineal. Planteado as el problema, esinteresante calcular el plazo de entrega, que minimiza la esperanza de la sumade los costes de penalizacin y rebaja.

En lo que queda de este apartado vamos a estudiar el problema de la fija-cin del compromiso ptimo en la ejecucin de ciertos tipos de proyectos. Sepresentan dos modelos, aplicables a las situaciones siguientes:


1. Situacin de riesgo. Es aplicable al caso en que la empresa E conozca ladistribucin de probabilidad de la duracin del proyecto.

2. Situacin de incertidumbre. Es aplicable al caso en que la empresa E noconozca la distribucin de probabilidad de la duracin del proyecto.

Situacin de riesgo

En el desarrollo de este modelo se utilizar la siguiente notacin:

= Duracin del proyecto. Es decir, nmero de unidades de tiempo queha requerido la obra.

f () = Funcin de densidad de la duracin del proyecto. Z = Nmero de unidades de tiempo en que la empresa E se comprometea finalizar el proyecto (plazo de entrega).

= Coste unitario de rebaja en que incurre la empresa E si finaliza elproyecto antes de la fecha pactada.

Si Z > , la empresa E experimenta una prdida por concepto de rebajade:

(Z ) (12.64)

Por lo que la esperanza matemtica de la prdida en concepto de la rebajaser igual a:

Z

(Z ) f () d (12.65)

= Coste unitario de penalizacin en que incurre la empresa E si finalizael proyecto despus de la fecha pactada.

Si Z < , la empresa E experimenta un coste total de penalizacin poruna cuanta de:

( Z) (12.66)

Por lo que a esperanza matemtica de la prdida en concepto de penali-zacin ser igual a:

Z

( Z) f () d (12.67)


HIPTESIS 1. La variable aleatoria que mide la duracin del proyecto sigue,o puede aproximarse en virtud del Teorema del Lmite Central unadistribucin normal.

HIPTESIS 2. Los costes de rebaja y penalizacin crecen linealmente conel tiempo. As, por ejemplo, si el coste unitario de penalizacin es de unidades monetarias/da, cuando el proyecto se retrase t das, el costetotal de penalizacin ser de t unidades monetarias.La segunda hiptesis no es esencial en el desarrollo de este trabajo. Aho-ra bien, siendo una hiptesis bastante realista, su introduccin simplificaconsiderablemente el planteamiento.

HIPTESIS 3. A la empresa E le resulta indiferente perder que dejar deganar dinero. Es decir, da la misma importancia a un coste de penalizacinpor A unidades monetarias que a un coste de rebaja por la misma cuanta.

Esta hiptesis tampoco es esencial en el desarrollo de este trabajo. Podraevitarse aplicando unos coeficientes de ponderacin a los costes unitarios y .

Bajo estas consideraciones, la esperanza matemtica de la prdida en conceptode rebaja y penalizacin la obtendremos sumando las expresiones 12.65 y 12.67.De esta manera obtenemos la siguiente expresin:

Z

(Z ) f () d+ Z

( Z) f () d (12.68)

El objetivo que persigue la empresa E es el de minimizar la esperanza ma-temtica de la prdida.

Z

f () d Z

f () d = 0 (12.69)

Transponiendo trminos en 12.69 y teniendo en cuenta que f()d = 1,

resulta:

Z

f () d =

+ (12.70)

Sustituyendo en 12.70 la integral por la probabilidad que representa, tene-mos:

P ( Z) = +

(12.71)


De la expresin 12.71, con ayuda de unas tablas de distribucin normaltipificada, se puede despejar sin dificultad el valor de Z. Por tanto, la expresin12.71 permite determinar el plazo de entrega ptima, es decir, el nmero deunidades de tiempo que la empresa E debe fijar para la ejecucin del proyecto,de forma que la esperanza de prdida definida por 12.68 sea mnima.

Situacin de incertidumbre

En este apartado vamos a suponer que la empresa E no conoce la distribucinde probabilidad de la variable aleatoria que mide la duracin del proyecto. Esdecir la empresa E se enfrenta ahora a un problema de toma de decisiones bajocondiciones de incertidumbre y no bajo condiciones de riesgo, como ocurriraen el apartado anterior. Por tanto, suprimimos ahora la hiptesis 1, aunqueseguimos manteniendo las hiptesis 2 y 3.

En tal caso, el problema de la determinacin del plazo de entrega puedeplantearse como un juego contra la naturaleza. Como se sabe, un juego contrala naturaleza viene definido por los siguientes elementos:

1. Un centro decisor.

2. Un conjunto de n puntos (S1, . . . , Sj , . . . , Sn) que representan las posiblesacciones o estrategias a seguir por el centro decisor.

3. Un conjunto de m puntos (1, . . . , t, . . . , m) que representan los posiblesestados o situaciones que la naturaleza puede presentar.

4. Un conjunto de n x m puntos (R1,1, . . . , Rj,t, . . . , Rn,m) que represen-tan los posibles resultados del juego, segn cules sean: la estrategia querelaciona el centro decisor y el estado que presente la naturaleza.

Por tanto, un juego contra la naturaleza se puede representar por medio de unamatriz que recibe el nombre de matriz de pagos o matriz del juego. La estructurade esta matriz es la siguiente:


ESTADOS1 2 . . . t . . . m

S1 R1,1 R1,2 . . . R1,t . . . R1,mS2 R2,1 R2,2 . . . R2,t . . . R2,m

DECISIONES Sj Rj,1 Rj,2 . . . Rj,t . . . Rj,m Sn Rn,1 Rn,2 . . . Rn,t . . . Rn,m

En nuestro caso concreto, el centro decisor estar formado por la persona opersonas responsables en fijar el plazo de entrega (directivos de la empresa E).

Las estrategias representan las diferentes duraciones que en principio se pue-den asignar al proyecto (Z1, . . . , Zj , . . . , Zn). Asimismo, los estados de la na-turaleza pueden asimilarse tambin a las anteriores duraciones (Z1, . . . , Zj ,. . . , Zn). Por tanto, en el caso que estamos estudiando la matriz de pagos escuadrada (n = m). Los n x n resultados representan los costes en que incurrela empresa E al comprometerse a realizar el proyecto en un cierto nmero deunidades de tiempo. As, por ejemplo, si la empresa E se compromete a realizarel proyecto Z3 unidades de tiempo y posteriormente lo finaliza en Z4 unidadesde tiempo, el coste en que incurre dicha empresa (coste de penalizacin) es:R34 = (Z4 Z3) unidades monetarias. Si, por el contrario, la empresa E secompromete a realizar el proyecto en Z3 unidades de tiempo y posteriormente lofinaliza en Z2 unidades de tiempo, el coste en que incurre dicha empresa (costede rebaja) es: R32 = (Z3 Z2) unidades monetarias.

Operando de esta forma obtenemos la siguiente matriz de pagos:

12.3 Conclusiones 30

ACCIONES ESTADOS (Duraciones reales)(Duracionesplaneadas)

Z1 Z2 . . . Zj . . . Zn

Z1 0 (Z2 Z1) . . . (Zj Z1) . . . (Zn Z1)Z2 (Z2 Z1) 0 . . . (Zj Z2) . . . (Zn Z2) Zj (Zj Z1) (Zj Z2) . . . 0 . . . (Zn Zj) Zn (Zn Z1) (Zn Z2) . . . (Zn Zj) . . . 0

Aplicando a la matriz anterior alguno de los criterios de la teora de juegos,por ejemplo, el minimax, la empresa E podr elegir el plazo de entrega.

12.3 Conclusiones

12.3.1 Puntos tratados

Comienza la leccin presentando el carcter aleatorio de la duracin de lasactividades. A partir de la evocacin de las experiencias cotidianas se constatala aleatoriedad de la duracin de las actividades, as como tambin se reflexionaacerca de las ventajas que proporciona la mejora de los modelos de estimacin dela duracin del proyecto mediante la contemplacin de los fenmenos aleatorios.

As, se discute acerca de las caractersticas que han de cumplir las distribucio-nes aleatorias que mejor modelen la duracin de las actividades, presentndosealgunas de las leyes de distribucin ms frecuentemente utilizadas. Tras estapresentacin de los modelos y de sus parmetros, se desarrolla, por su utili-dad e importancia histrica, el modelo pertBeta describiendo el proceso deobtencin de sus caractersticas a partir de la estimacin de tres parmetros:la duracin optimista, pesimista y modal, o ms frecuente. La descripcin deestos parmetros no se hace sin la crtica correspondiente a la dificultad de suestimacin fidedigna y la necesidad de actualizacin peridica.

Visto el carcter aleatorio de la duracin de las actividades, se asciende unnivel en el grafo para interesarnos ahora por la aleatoriedad en el mbito de la du-racin del proyecto, planteando la necesidad de encontrar instrumentos eficacesque permitan determinar la distribucin aleatoria de esta duracin, resaltandola importancia que para el director de proyectos tendr dicha estimacin.

El primer mtodo que se describe es el de aproximacin a la normal a travs


del teorema del lmite central. Se recuerda el sentido de este teorema y suscondiciones de aplicacin. Se describe cmo se puede considerar la duracin delproyecto como un sumatorio de duraciones aleatorias y, de ah, la convenienciade aplicar, cuando las condiciones lo permitan, el teorema del lmite central paraaproximar la distribucin de la duracin del proyecto por medio de una normalcuya duracin y varianza es sencillo calcular a partir de los parmetros de lasdistribuciones que siguen las actividades del camino ms crtico del proyecto.Una vez descrito el mtodo, se reflexiona acerca de la bondad de sus estimacionesdestacando el sesgo hacia el optimismo y los reparos que puede suponer laaplicacin del teorema del lmite central en ste mtodo.

El segundo mtodo que se describe es el basado en las tcnicas pert--path.Se describen los fundamentos de las tcnicas pertpath y se introducen losconceptos de estado, transicin, grafo de estados y rbos de transiciones. Sedescribe de igual manera, mediante un ejemplo, la aplicacin del mtodo a unejemplo sencillo para, mediante un segundo ejemplo, destacar la precisin delmtodo cuando se compara a otras alternativas.

El tercer mtodo que se describe es el de los momentos. Se presenta la dis-tribucin Erlang y se justifica la bondad de su eleccin en cuanto a la calidadde aproximacin del modelo y las ventajas, en cuanto a capacidad de estimacinanaltica de sus momentos de orden 1, 2, 3 y 4, que proporciona su utilizacin.Seguidamente, se presentan, sin entrar en el detalle de su demostracin aunques dirigendo al alumno hacia la literatura especializada, las frmulas correspon-dientes a la estimacin de los momentos de orden 1, 2, 3 y 4 de la distribucinaleatoria de la duracin del proyecto a partir de los momentos de las actividadesdel cronograma mediante las simplificaciones serie y tambin paralelo.

Concluye la leccin con la descripcin somera de los principios que rigen lassimulaciones de Monte Carlo y su utilidad en la estimacin de la distribucinaleatoria de la duracin del proyecto.

12.3.2 Conceptos de nueva introduccin o ampliados

Variable aleatoria

Distribucin aleatoria

Distribuciones normal, log-normal, Beta, pertBeta, Erlang

Duracin optimista, pesimista y modal

Mtodo de aproximacin a la normal

Teorema del lmite central


Mtodo de los momentos

Momentos de orden k

Mtodo basado en pertpath

Estado

Transicin

Grafo de estados

rbol de transiciones

Mtodo basado en simulaciones de Monte Carlo

12.3.3 Preguntas abiertas

1. Qu problema aparece en el PERT estndar cuando varias actividadesconvergen a un mismo nodo?

2. Aplique el mtodo de los momentos y/o el basado en pertpath a unejemplo sencillo.

3. Aplique el mtodo de Monte Carlo al ejemplo anterior y comente los re-sultados.

12.3.4 Lecturas recomendadas

El alumno interesado encontrar en la referencia [13] un abanico de mtodoscomplementarios a los aqu presentados que permitirn tener una perspectivams amplia en el contexto de la direccin de plazos. A travs del acceso electr-nico a publicaciones seriadas, el alumno puede tener acceso a los artculo quedieron pie a los mtodos aqu descritos, como pueden ser los indicados en lasreferencias [3][14]. La lectura de artculos como los indicados en las referencias[2] y [16] permitir conocer nuevas tendencias en planificacin mediante redesestocsticas.

Referencias

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Contexto aleatorio de la direccin de plazosIntroduccinObjetivos

Contexto aleatorio de la planificacin temporalLa duracin de las actividades como una variable aleatoriaLa duracin del proyecto como una variable aleatoriaCompromiso ptimo en la ejecucin de proyectos

ConclusionesPuntos tratadosConceptos de nueva introduccin o ampliadosPreguntas abiertasLecturas recomendadas

Bibliografa

contexto aleatorio de la direccion de plazos

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