Raz. Matemático

“Siempre es más valiosotener el respeto que la admiración

de las personas”Jean Jacques Rousseau

OBJETIVOS

CONTEO DE FIGURAS

Mecanismo que consiste en determinar la máxima canti-dad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentesen una figura dada.

MÉTODOS DE CONTEO .-

* Conteo Directo :

1. Método de Schoenk :

Consiste en asignar números y/o letras a todas las fi-guras simples, posteriormente se procede al conteocreciente y ordenado, de figuras de 1 número; al unir2 números, al unir 3 números, ... etc.

¿Cuántos cuadriláteros hay en :

Resolución :

21 3

6 45

• De 1 número : ninguno

• De 2 números : 12; 23; 34; 45; 56; 61

• De 3 números : 123; 234; 345; 456; 561; 612

Total de cuadriláteros :

6+6=22 números 3 números

* Conteo Mediante Inducción (Fórmula) :

Consiste en analizar casos particulares a la figura dada(figuras análogas), tratando de encontrar una ley deformación coherente, para luego poder generalizar(encontrar la fórmula)

¿Cuántos triángulos hay en :

1 2 3 12. . . . . . . . .

Resolución :

Casos particulares : Para n = 1

Para n = 2

Para n = 3

Figura será Número de triángulos

1 1

1 2 3

1 2 3 6

Ley de Formación :1 (para 1 espacio)

1 + 2 (para 2 espacios) 1 + 2 + 3 (para 3 espacios)

Para “n” espacios :

Raz. Matemático

Número de triángulos :

ver sumatorias

n(n+1)1+ 2+3+…+n =

2

Este método nos sirve para contar también “segmen-tos”; “cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores cir-culares”; “hexágonos”; “trapecios”; “letras” ... etc.

2. Método Práctico :

El número de figuras está dado por : «La mitad de lamultiplicación de número de espacios y el consecuti-vo del número de espacios».

Por Ejemplo :

01.¿Cuántos triángulos hay en :

Resolución :

“Método Práctico” :

1526•5

sde# =

1 2 3 4 5

02.¿Cuántos segmentos hay en :

Resolución :

1 2 3 4 5 6 7 8 9

“Método Práctico”

Número de segmentos 9•10

= 452

03.¿Cuántos cuadriláteros hay en :

1 2 3 …… 18 19 20

Resolución :

“Método práctico” :

Como hay 20 espacios, luego :

Número de cuadriláteros 20•21

2102

04.¿Cuántos ángulos agudos hay?

12

3

50

Resolución :“Por el método práctico”

Número de ángulos agudos 50•51

12752

05.¿Cuántos sectores circulares hay en :

1 2 3

n

Resolución :“Método práctico”

Número de sectores circulares

n(n 1)2

06.¿Cuántos hexágonos hay en :

Resolución :• Contando encontramos 6 espacios.Luego :

Número de hexágonos 6•7

212

07.¿Cuántos triángulos hay en :

1

2

3

4

5

6

Resolución :

Analizando casos particulares nos daremos cuenta quecumple con el “método práctico”

Número de triángulos 6•7

212

Raz. Matemático

08.¿Cuántos cuadriláteros hay en :

Resolución :Contando directamente, encontraremos 18, pero elmétodo más rápido sería :

3

6

x

+ +

+

Número de cuadriláteros : 3 • 6 = 18En general :

n….

321 . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 3 n

horizontal vertical

Númerode n(n 1) m(m 1)•

Cuadriláteros 2 2

n

21

.....

. . . . .1 2 m1

2

P

. .. .

.

Número de n(n 1) m(m 1) P(P 1)• •

Paralelepipedos 2 2 2

09.¿Cuántos cuadriláteros hay en :

Resolución :“Por el método práctico”

4 3 2 1

2

3

4

5

+

+

==25•4

10

=26•5

15x

Número de cuadriláteros = 10 • 15 = 150

10.¿Cuántos paralelepípedos hay en :

1 2 3 42345

12

3

Resolución :Por el método práctico :

Número de 5•6 4•5 3•4

• • 900Paralelepípedos 2 2 2

Raz. Matemático

1. Calcular el número de segmentos que hay en lasiguiente figura.

T R I U N F A

Rpta: ............................................................

2. Hallar el total de triángulos en la figura:

54321 6

Rpta: ............................................................

3. Hallar el número total de triángulos en:

321 19 20

Rpta: ............................................................

4. ¿Cuál es el número total de hexágonos?

Rpta: ............................................................

5. Cuántos cuadriláteros se pueden hallar en:

2 3 4 5 6 7 812345

Rpta: ............................................................

6. Cuántos paralelepípedos hay en:

1234

2 3 4 5

1

2

3

Rpta: ............................................................

7. ¿Cuántos triángulos hay?

Rpta: ............................................................

8. Hallar el número de octágonos en la figura mostrada.

Rpta: ............................................................

9. ¿Cuántos trapecios circulares y cuántos sectorescirculares hay en la figura en total?

Rpta: ............................................................

10. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?

Rpta: ............................................................

11. Si por cada segmento que ubiques en la siguientefigura se te reconoce S/.1. ¿Cuánto recibirás?.

Rpta: ............................................................

Trabajo Práctico Nº01

Raz. Matemático

12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Rpta: ............................................................

13. Cuántos triángulos hay en:

Rpta: ............................................................

14. Hallar el número de hexágonos en la figuramostrada:

Rpta: ............................................................

15. ¿Cuántas diagonales se podrá trazar en la figuramostrada?.

Rpta: ............................................................

16. Cuántos sectores circulares hay en:

Rpta: ............................................................

17. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

Rpta: ............................................................

18. Hallar el máximo número de triángulo en:

Rpta: ............................................................

19. Hallar el número de cuadrados en:

Rpta: ............................................................

20. Recto:Calcule la diferencia entre el número total deexágonos y el número total de pentágonos existentesen la siguiente figura.

Rpta: ............................................................