Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que: loga x = b Û ab = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Logaritmos

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Definición de logaritmo :

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab

Para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

Propiedad del exponente cero

a0 = 1, (a ≠ 0)

Propiedad del exponente negativo

Propiedad del producto de potencias

Propiedad del cociente de potencias

Propiedad de la potencia de un producto

Propiedad de la potencia de un cociente

Propiedad de la potencia de un a potencia

(ab)c = abc

Propiedad del exponente racional

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS

Como simplifica 72 × 76?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente como:

78

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes!

72 × 76 = 7(2 + 6) = 78

En general, para todos los números reales a, b, y c,

ab × ac = a(b + c)

Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las otras propiedades.

EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es 1. ("Debe ser 0!") Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero.

70 × 71 = 7(0 + 1) = 71

Sabemos que 71 = 7. Así, esto nos dice que 70 × 7 = 7. Que número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los números reales a, a ≠ 0, tenemos:

a0 = 1

EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga que desea saber cuanto es 5-2.

5-2 × 52 = 5(-2 + 2) = 50

Sabemos que 52 = 25, y sabemos que 50 = 1. Así, esto nos dice que 5-2 × 25 = 1. Que número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta.

32 × 42 = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como

32 × 42 = (3 × 4) × (3 × 4) = 122

En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):

ac × bc = (ab)c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:

(53)4 = (53)(53)(53)(53)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

(53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3 = 54(3) = 512

Así es suficiente con solo multiplicar las potencias!

En general, para todos los números reales a, b, y c,

(ab)c = abc.

Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar:

91/2 × 91/2 = 9(1/2 + 1/2) = 91

Sabemos que 91 = 9, así 91/2 = . Así, el exponente ½ trabaja como una raíz

cuadrada. Similarmente, a1/3 es equivalente a .

y en general

y .

http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/properties-of-exponents.html