construcciones_geometricas

8/15/2019 construcciones_geometricas

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Universidad de Sonora

Departamento de Matemáticas

Programa de Maestría en Matemática

Educativa

Diplomado "La Enseñanza de las

Matemáticas en la

Educación Secundaria"

Material Didáctico sobre Construcciones Geométricas

Responsable:

Villalba Gutiérrez Martha Cristina

Colaboradores:

Del Castillo Bojórquez Ana GuadalupeVargas Castro Jorge Ruperto

Hermosillo, Sonora. Octubre de 2006


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Geometría: Construcciones Geométricas

Contenido:

Lección 1: Estructuras y Polígonos

Actividad 1 Construcción de estructuras 1

Actividad 2 Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados

Actividad 3 Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados

Actividad 4 Construcción de estructuras 2

Lección 2: Doblado de Papel

Actividad 5 Doblando papel; trazos notables

Actividad 6 Doblado de papel. Trazo de mediatrices bisectrices ! medianas en un

triángulo

Actividad 7 Doblado de papel. Trazo de las alturas en un triángulo.

Actividad 8 Trazos notables con regla ! compás

Actividad 9 Trazo de mediatrices bisectrices ! medianas en un triángulo con regla

! compás

Lección 3: Software de Geoetría Din!ica

Actividad 10 "#plorando $"l Geómetra% Trazo de mediatrices bisectrices

medianas ! alturas en un triángulo usando so&t'are de geometría dinámica

Actividad 11 (e&le#iones en el plano

Lección ": E#periencias para el salón de clases

Actividad 12 Dise)ando una acti*idad para el salón de clase.

Lectura: “Reconocimiento y Análii de !i"ura #eom$trica %idimenionale: La

teor&a de 'an (iele) +usser ! ,urger

"laboración de los +ateriales:(esponsable: +art-a Cristina illalba

Colaboradores: /naguadalupe del Castillo ! 0orge (uperto argas.


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Presentación

"ste material se compone de una secuencia de acti*idades ue tienen como centro la

construcción de trazos &iguras ! estructuras en las ue las acciones reueridas para

lle*arlas a cabo ponen en uego la utilización de estrategias ue implican a su *ez

b3sueda de relaciones entre los elementos geométricos implicados. "stos procesos se

-acen concientes una *ez ue se les es solicitada la socialización de sus resultados en la

ue mediante argumentos consistentes ! manipulaciones apropiadas les permitan

*eri&icar la *alidez del proceso ! la construcción misma.

0usti&icamos estas estrategias pues consideramos ue los en&oues *anguardistas

-acia el aprendizae como la apro#imación constructi*ista ! la apro#imación sociocultural

ue están teniendo un impacto considerable en los currículos actuales legitiman !

promue*en ue los procesos de pensamiento matemático *an más allá de un

razonamiento meramente deducti*o ! demostrati*o en el sentido &ormal. 4os aprendices

sus entendimientos ! las interacciones con la comunidad de su clase son centrales en la

*isión del proceso de ense)anza 5 aprendizae. Como una consecuencia se busca ue

los procesos de razonamiento como parte del pensamiento matemático sean promo*idos

a-ora mediante una *ariedad de acciones -ec-as por los participantes en un proceso de

estudio con el &in de comunicarse ! e#plicar a otros tanto como a ellos mismos lo ue

ellos *en lo ue descubren ! lo ue piensan ! conclu!en.

/sí la &inalidad de este material didáctico es promo*er el desarrollo de -abilidades

propias del pensamiento geométrico ! la construcción de conocimiento a tra*és de

obser*aciones manipulaciones descripciones ! argumentaciones. "n general el

ambiente propuesto es de uego ! retos utilizando materiales manipulables. "n dic-o

ambiente las estrategias utilizadas en cada situación pueden di&erir ! en este sentido se

apro*ec-a la di&erencia 6o coincidencia7 para inducir las discusiones en base a

argumentos ue *aliden esas estrategias en términos de generalidad o economía.

4a manipulación ! construcción de &iguras geométricas contribuirá a un

conocimiento más elaborado sobre las mismas pasando de las nociones

&undamentalmente percepti*as a la conceptualización de las &ormas ! &iguras mediante la

detección de regularidades ! la consideración de elementos ! relaciones.




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8osteriormente el uso de so&t'are de geometría dinámica en las acti*idades 19 ! 11

permite ue se $interact3e% con elementos ue propician la aduisición de ciertos

conceptos no con una mentalidad estática como lo -aría un dibuo por bien ue esté

-ec-o sino con una percepción de $*ida% al asociarle mo*imientos a la &igura. "stos

elementos importantes ue dan un *irae a la *isión de la geometría plana son las

llamadas tran*ormacione "eom$trica en el +lano aunue sólo nos restringimos a las

llamadas isometrías; o sea auellas cu!a imagen obtenida al aplicar una de estas

trans&ormaciones a una &igura conser*a la &orma ! magnitudes de la &igura original. 4as

principales de estas trans&ormaciones son: Traslación (otación ! (e&le#ión. "n estos

materiales se aborda 3nicamente la (e&le#ión.

Objetivos

a ue consideramos ue los trazos manipulaciones &ísicas ! uso de so&t'are de geometría

dinámica además de constituir un obeto geométrico en sí mismos son un medio para indagar

propiedades de &iguras ! -acer coneturas así como también constituir un importante recurso para

&omentar la argumentación, planteamos los siguientes obeti*os:

Objetivo general de los materiales

Desarrollar -abilidades de construcción de estrategias ! coneturas así como de

integración del $-acer% ! $re&le#ionar% para poder producir argumentos propios ue

determinen su ámbito de *alidez. "s decir promo*er el desarrollo de -abilidades propias

del pensamiento geométrico a tra*és de construcciones obser*aciones manipulaciones !

*alidaciones.

Objetivos específicos

1. "ncontrar estrategias ue permitan -acer los trazos o construcciones reueridas.

2. "#presar argumentos ue usti&iuen la *alidez de sus estrategias así como las

propiedades de las construcciones solicitadas.

.


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>. 4le*ar a los pro&esores la e#periencia de -acer geometría en el sentido ue lo

marca el en&oue curricular:

?. "#plorar ! re&le#ionar acerca del uso de las nue*as tecnologías como apo!o en la

ense)anza ! aprendizae de la geometría

Metodología

/ continuación se dará una bre*e descripción de las acti*idades ue componen este

material didáctico con el &in de ue sir*an como guía metodológica en su desarrollo.

Lección 1: Estructuras y Polígonos

"sta es una secuencia de acti*idades ue está organizada para ue una e#periencia

inicial de construcción de una torre 6/cti*idad 17 se *ea impactada por los resultados ue

se obtendrán al analizar propiedades de cuadriláteros ! de triángulos 6/cti*idades 2 ! 7

de tal manera ue al construir de nue*o la torre en un segundo intento 6/cti*idad =7 se

logre poner en e*idencia cómo el conocimiento geométrico @en este caso la propiedad de

los triángulos ue -abrán identi&icado como 3til para esta construcción5 determina la

estabilidad de la torre construida.

Aos parece importante se)alar ue el ambiente de competencia entre euipos

para lograr construir la torre más alta 6ue se mantenga estable7 uniendo palillos con

bombones en un tiempo de 1> a 29 minutos genera muc-o entusiasmo. 4os

participantes se sienten $&uera de clase% es decir están ugando a ganar utilizando su

ingenio. (esulta &a*orable apro*ec-ar $el &racaso% de mantener las torres erguidas !

mantener el ambiente de uego 6dar premios tomar &otos etc.7. Be discute lo ue &uncionó

meor para lograr la ma!or altura ! lo ue no &uncionó.

Cuando se abordan las acti*idades 2 ! las torres se dean por un lado como si

se pasara a otra cosa. "s -asta ue se -an -ec-o su&icientes re&le#iones sobre las

propiedades de las &iguras estudiadas cuando el asesor pide ue de nue*o retomen el

reto de *ol*er a construir su torre ! seleccionar un euipo ganador. "s auí en donde se




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*erá si e&ecti*amente las re&le#iones -ec-as acerca de una de las propiedades del

triángulo se asume como un conocimiento &uncional para en&rentar dic-o reto.

8or otra parte en sí mismas las acti*idades 2 ! dan lugar a di*ersas situaciones

en donde la obser*ación las coneturas los argumentos las descripciones ! el enunciado

de de&iniciones cobra especial importancia. Todas estas acciones son componentes

importantes del pensamiento matemático en general ! del geométrico en particular.

Material : Be necesitarán palillos de dientes ! bombones miniatura como conectores. Tiras

acoplables. "stas pueden -acerse de cartoncillo madera plástico etc.

Organización: Be trabaa en euipos de dos a cuatro personas ue permanecerán

durante toda la secuencia. Durante la construcción de las torres el instructor asume elpapel de uez imparcial ue otorgará o no premios Durante las acti*idades 2 ! los

euipos trabaarán sobre las acti*idades escritas usando el material propuesto ! el

instructor será el guía de las discusiones. Durante la acti*idad = el trabao independiente

en cada euipo es importante la comparación de las torres &inalmente construidas de

nue*o se plantea como la situación ue detone la oralidad de las re&le#iones -ec-as.

Discusión: 4as preguntas ue se encuentran en las acti*idades pueden ser*ir de guía

para el instructor al terminar la construcción de la torre por primera *ez. "n las acti*idades2 ! se puede solicitar ue cada euipo lea en *oz alta la regla ue escribió para

determinar si es posible o no construir un cuadrilátero o un triángulo dadas las longitudes

de cuatro o tres segmentos respecti*amente ! propiciar la discusión en todo el grupo

sobre las di&erentes maneras de enunciarla.


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discusión permanente entre euipos con&orme *an a*anzando en las acti*idades.

inalmente las preguntas -ec-as en la acti*idad = pueden ser la guía para la discusión

grupal una *ez ue se -an respondido al interior del euipo.


4as acti*idades se inician a partir de un segmento dibuado en una -oa

de papel transparente. Be generan estrategias adecuadas para la

construcción de: el punto medio una línea perpendicular una línea

paralela ! la mediatriz del segmento dado solamente apo!ándose en el

doblado del papel. 4a &inalidad es ue cada *ez ue una estrategia dé el resultado

esperado se argumente por ué sí &unciona ! si &uncionaría en general.

4as de&iniciones ue se proporcionan están en calidad de in&ormación para dar

seguimiento a las acti*idades ue las reuieren. Ao se pretende ue se memoricen. Bi el

resultado de alg3n trazo resulta $eui*ocado% el asesor seguramente promo*erá una

discusión para asegurarse ué interpretación se le -a dado a esa de&inición ! mediante la

participación grupal se aclare lo necesario.

+ás adelante se les solicita ue tracen las tres mediatrices medianas bisectrices !

alturas en cuatro triángulos di&erentes como los ue se muestran a continuación con la

&inalidad de ue aseguren la &uncionalidad de su estrategia.

"sta acti*idad lle*a implícita una situación de estudio adicional acerca de las

características de los puntos de concurrencia. / uicio del asesor él 6ella7 puede tomar la

iniciati*a de inducir el estudio de los ue considere con*enientes mencionarlos como




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in&ormación o dear como tarea su in*estigación. "ste punto será retomado

posteriormente para ser analizado con el uso de tecnología particularmente con so&t'are

de geometría dinámica.

Material : Eoas sueltas de papel transparente 6al menos 29 -oas7 para cada uno de los

participantes.

Organización: "l material se reparte para trabaar indi*idualmente aunue pueden estar

en euipos de dos a cuatro personas. "l asesor promue*e la discusión grupal en cada

acti*idad particularmente después de cada uno de los trazos reueridos.

Discusión: Be sugiere ue después de cada trazo se compartan en &orma grupal las

estrategias utilizadas de tal &orma ue a partir de los argumentos utilizados para

coneturar su generalidad se logre alg3n acuerdo sobre la o las ue se consideren más

adecuadas.

Lección 3: oft!are de "eometría Din#mica

"stas acti*idades lle*an al estudiante a retomar algunos de los trazos !a -ec-os mediante

doblado de papel. 8articularmente las indicaciones para iniciar el uso de este tipo de

so&t'are son bre*es puesto ue se apro*ec-a el análisis -ec-o anteriormente sobre las

propiedades de las medianas mediatrices bisectrices ! alturas de los triángulos ! las de

los puntos de concurrencia de esos elementos.


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Discusión: Be sugiere ue después de cada trazo se compartan en &orma grupal las

e#periencias de uso de este tipo de manipulación dinámica. Fue se en&atice en la

posibilidad ue brinda este ambiente para promo*er nue*as coneturas así como la

oportunidad de rec-azarlas o &ortalecerlas.

Lección ": E#periencias para el salón de clases

"sta acti*idad 6127 se centra en la re&le#ión ! e*aluación de lo e#perimentado con el &in de

dise)ar materiales apropiados para el salón de clases. /demás de apro*ec-ar las

e#periencias de las acti*idades anteriores se proporciona una lectura ue sir*a como guía

teórica para organizar los contenidos seg3n la ta#onomía presentada por los an Eiele.

Material : 4ectura: “Reconocimiento y Análii de !i"ura #eom$trica

%idimenionale: La teor&a de 'an (iele) +usser ! ,urger. Te#tos de secundaria

libros de apo!o para los maestros 8lanes ! 8rogramas.

Organización: Be sugiere ue se &ormen euipos para tanto para e*aluar las acti*idades

desarrolladas como para seleccionar un tema especí&ico del cual presentarán su

planeación su estructura contenido ! &undamentación

Discusión:

"n&atizamos ue al e*aluar las acti*idades será necesario promo*er las re&le#iones entre

los participantes acerca de:

4o ue aprendieron: Ao solamente conceptos o de&iniciones sino el tipo de

$trabao geométrico% ue realizaron en términos de las -abilidades especí&icas ue

cada tarea demandó por eemplo en cuanto a la necesidad de *isualizar

propiedades de las construcciones -ec-as unto a la capacidad de buscar

estrategias ! argumentos para *alidarlas ! determinar su generalidad.

Cómo lo aprendieron: 4os procesos ue cada uién tu*o ue realizar para

aprender. 8or eemplo cómo usaron o relacionaron lo ue !a sabían el papel ue

ugaron las acti*idades propuestas los materiales ! el ambiente de intercambio de

opiniones ue se propició entre otros.

Cómo se les $ense)ó%. "l papel ue ugó el 6la7 instructor6a7. Fué -izoH




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8ara el dise)o de la acti*idad posiblemente se tenga ue trabaar parte de ella como

tarea. Be sugiere ue se les solicite su presentación de manera &ormal pro!ectando cada

euipo su trabao ante el grupo ! sometiéndolo a su *aloración.



Secuencia deSecuencia de

ActividadesActividades


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Lección 1 : Estructuras y Polígonos

$cti%idad 1

Construcción de estructuras $

8ara esta acti*idad se necesitarán palillos de dientes ! bombones miniatura 6u otrotipo de material ue sir*a como conector7. Be trabaa en euipos de = personas.

Bu euipo tiene 19 minutos para construir la estructura más alta posible ue sepueda sostener por sí sola. /l término de los 19 minutos mida la altura de suestructura ! conteste las siguientes preguntas.

/ltura: IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1. Fué características obser*an en su estructuraH 6se mantiene rígida sebambolea se ladea alcanzó poca altura etc.7

2. / ué creen ue se deban esas característicasH

Bin destruir esta estructura contin3en con las siguientes acti*idades




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Lección 1 Estructuras y Polígonos

$cti%idad 2

Construcción de cuadril#teros dadas las medidas de sus lados

1. Jtilice las tiras acoplables ue le serán entregadas por el asesor para tratar de

construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abao ! llene

los recuadros en blanco. Bi puede construir el cuadrilátero trate de cambiar su

&orma sin cambiar la longitud de sus lados ! llene la se#ta columna. "n los

renglones de abao e#perimente con longitudes seleccionadas por usted

mismo.

4ado /6Jnidades7

4ado ,6Jnidades7

4ado C6Jnidades7

4ado C6Jnidades7

Be puedeconstruir elcuadriláteroH6BiKAo7

Be puedede&ormar elcuadriláteroH6BiKAo7

19 19 19 19

19 L > =

19 > ? =

L ? =

M ? = =

? = 1 2

M 2

N 2

2. Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores. 8odría

unir los segmentos en un orden di&erente para -acer un cuadrilátero di&erenteH

Bi es así en cualesH




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. "scriba con sus propias palabras una regla ue describa cuándo se puede

construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados. Compare la regla

ue escribió con la de sus compa)eros.

=. Be pueden construir dos cuadriláteros di&erentes dadas las medidas de sus

ladosH 0usti&iue su respuesta

>. "n el cuadrilátero de medidas M ? = = elimine uno de los lados ! cierre la

&igura Fué obser*a en cuanto a la &le#ibilidad de la nue*a &iguraH


$cti%idad 3

Construcción de tri#ngulos dadas las medidas de sus lados

?. Jtilice las tiras acoplables ue le serán entregadas por el asesor para

tratar de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abao !

llene los recuadros en blanco. Bi puede construir el triángulo trate de cambiar

su &orma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la uinta columna. "n

los renglones de abao e#perimente con longitudes seleccionadas por usted

mismo.




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4ado /6Jnidades7

4ado ,6Jnidades7

4ado C6Jnidades7

Be puedeconstruir eltriánguloH6BiKAo7

Be puedede&ormar eltriánguloH6BiKAo7

M M M

M L =

> = 2

L =

? 2

L. Bi se le pide construir triángulos en los ue un lado mide 1? unidades ! losotros dos se dan en la lista de abao en ué casos cree ue podríaconstruirloH 0usti&iue su respuesta sin tratar de construir el triángulo.

4ado ,

6Jnidades7

4ado C6Jnidades7

Be puede

construir eltriánguloH

8or uéH

? ?

M L

N 19

? 19

M N

19 =

1= ?




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1= 1

M. Fué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos

para poder construir un triánguloH "scriba con sus propias palabras una regla

ue describa la relación entre las medidas de los lados de un triángulo.

N. Compare la regla ue escribió con la de sus compa)eros.

19.Buponga ue se le pide construir un triángulo cu!os lados miden 1=.> 21.= !

1L. cms. Cree ue podrá -acerloH 0usti&iue su respuesta.

11. Be pueden construir dos triángulos di&erentes dadas las tres medidas de susladosH 0usti&iue su respuesta "s di&erente construir triángulos a construir cuadriláterosH "n ué sentidoH

Trate de e#presar por escrito en &orma resumida una conclusión ue

tome en cuenta los cuestionamientos -ec-os


$cti%idad "

Construcción de estructuras %




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8ara esta acti*idad de nue*o su euipo utilizará la estructura construida en laacti*idad 1.

Obser*en su estructura ! contesten las siguientes preguntas.

/ltura: IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1. Fué tipo de &iguras usaron en su estructuraH

2. Fué tipo de &iguras la -icieron más &uerteH

. Fué tipo de &iguras la -icieron más débilH

=. Bi tu*ieran la oportunidad de construir la estructura otra *ez uécambiaríanH

Constru!an una nue*a en 19 minutos. "l propósito es construir una estructura másalta ue la anterior.

/ltura de la nue*a estructura: IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


$cti%idad &

Doblando papel& trazos notables




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"sta acti*idad se desarrolla indi*idualmente pero comentando con su parea detrabao.

Jsted necesita -oas transparentes para doblar. Bi en el cuadernillo de acti*idadesno se encuentran las -oas transparentes desprendibles su asesor le

proporcionará las necesarias.

"s importante ue tan sólo trabae con sus manos la -oa ue esté doblando ! ellápiz con el ue resaltará en alg3n doblez el trazo reuerido.

Tiene a la mano su primera -oa para doblarH Bi es así !a está usted listo6a7 pararealizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una grancantidad de de ámbitos: costura aruitectura alba)ilería deporte ingeniería artecocina etc.

1. Tome la -oa ! diga ué -acer para obtener el trazo de un segmento derecta paralelo a los bordes superior e in&erior de la -oa :

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

PTrace el segmento en su -oaQ

2. /-ora Cómo encuentra e#actamente el punto medio de ese segmentoHDespués de marcarlo en el segmento comente con su parea cómo es uecon toda seguridad puede a&irmar ue es e#actamente el punto reuerido."scriba a continuación en &orma bre*e su principal argumento para tala&irmación:

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Coméntenlo con el resto del grupo.

. Bi a-ora traza usted una línea perpendicular al segmento ue pase por esepunto medio obtendrá la mediatriz del segmento. 4a mediatriz tiene la

propiedad de ue todos sus puntos están a la misma distancia de lose#tremos de segmento.




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Trace la mediatriz ! *eri&iue la propiedad mencionada en el párra&oanterior tomando cualuier punto de ella 6menos el de intersección con elsegmento7.

Comente con sus compa)eros estas respuestas ! discuta con ellos cómoes ue lle*ó a cabo la *eri&icación sobre la propiedad de la mediatriz dadaen el primer párra&o de este punto.

=. Tome otra -oa ! trace de nue*o un segmento como el anterior.

Beleccione un punto cualuiera en su -oa ue esté sobre o bao el segmentopero no alineado con él. +áruelo con la punta de su lápiz ! a-ora trace unalínea ue sea perpendicular al segmento 6o a su prolongación7 ! pase por esepunto.



Describa bre*emente cómo dobló elpapel para obtener la mediatriz Fué es lo ue le permite asegurar uela línea trazada por ese punto medio esperpendicular al segmentoH

Describa bre*emente cómo realizó el trazo ! por ué puedeasegurar ue e&ecti*amente la línea es perpendicular.


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>. /-ora trace en una -oa limpia un segmento como en las anteriores !seleccione de nue*o un punto cualuiera @con las mismas restricciones ueantes @ Constru!a una paralela al segmento ue pase por el punto.

Lección 2: Doblado de Papel $cti%idad '

'razo de las mediatrices( bisectrices ) medianas en un tri#ngulo

8ara esta acti*idad el asesor le proporcionará al menos 12 -oas de papeltransparente si no se encuentran incluidas en este &olleto.

1. "n primer término tome = -oas. Dibue en cada -oa en la parte central untriángulo di&erente. 8ueden ser parecidos a los siguientes 6tal *ez de ma!or

tama)o cada uno7:

2. "n cada triángulo trace las mediatrices tomando en cuenta ue:

Un triángulo tiene tres mediatrices.

4a mediatriz de cada lado del triángulo es la recta perpendicular a

dic-o lado ! ue pasa por su punto medio.

Comente bre*emente cómo lle*ó a cabo la construcción de cada mediatriz IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Describa bre*emente cómo realizó el trazo ! por ué puede

asegurar ue e&ecti*amente la línea es paralela


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. Tome otras cuatro -oas ! repita el dibuo de los triángulos di&erentes.En cada uno trace las medianas, tomando en cuenta que:

Jn triángulo tiene tres medianas.

Cada mediana es un segmento de línea cu!os e#tremos son el punto

medio de un lado del triángulo ! el *értice opuesto a él.

Comente bre*emente cómo lle*ó a cabo la construcción de cada mediana IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


=. Tome otras cuatro -oas ! repita el dibuo de los triángulos di&erentes."n cada uno trace las bisectrices tomando en cuenta ue:

Jn triángulo tiene tres bisectrices.

• Cada bisectriz es un segmento de línea ue biseca 6di*ide en dos partes

iguales7 cada uno de sus tres ángulos ! por lo tanto parte de un *értice

-asta el lado opuesto.

Comente bre*emente cómo lle*ó a cabo la construcción de cada bisectriz. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

>. (esponda bre*emente a las siguientes cuestiones ! luego compare susrespuestas con las de sus compa)eros.

¿Cuál trao se le di!icult" menos#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ¿Cuál se le di!icult" más#

$$$$$$$$$$$$$$

"n todos los triángulos se mantiene la misma di&icultadHIIIIIIIIIIIIII




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Ea! algunas características ue usted -a!a obser*ado ! uiera resaltarH IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


Fué particularidad tomarán esas características en un triángulo isóscelesHComéntelo con sus compa)eros ! a uicio del asesor *eri&iue su conetura.


$cti%idad (

'razo de las alturas en un tri#ngulo8ara esta acti*idad el asesor le proporcionará al menos = -oas de papeltransparente si no se encuentran incluidas en este &olleto.

?. Dibue en cada -oa en la parte central un triángulo di&erente. 8ueden separecidos a los siguientes 6tal *ez de ma!or tama)o cada uno7:

L. "n cada triángulo trace las alturas tomando en cuenta ue:

Un triángulo tiene tres alturas.

• Cada altura es un segmento de línea ue parte desde un *értice

-asta el lado opuesto 5o su prolongación5 con una direcciónperpendicular a ese lado opuesto.

Comente bre*emente cómo lle*ó a cabo la construcción de cada altura. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII




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M. (esponda bre*emente a las siguientes cuestiones ! luego compare susrespuestas con las de sus compa)eros.

"n cuál triángulo el trazo de las alturas se le di&icultó menosH IIIIIIIIIIIII

"n cuál se le di&icultó másH IIIIIIIIIIIIII

Ea! algunas características ue usted -a!a obser*ado ! uiera resaltarH IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Fué particularidad cree ue tomarán esas características en un triánguloisóscelesH Comente con sus compa)eros lo ue -a!a coneturado !registre en sus notas lo ue le parezca importante con el propósito de*eri&icarlo posteriormente en la Besión .

N. Obser*e los triángulos dibuados entre líneas paralelas de la siguiente&igura ! responda a las cuestiones ue se plantean sin -acer medicionessolamente estimando o calculando en base a lo ue se obser*a:

Todas sus alturas son di&erentesHIIIIIIIIIIIIIII

Cómo podría usted argumentar la *alidez de su respuestaH "scribabre*emente su argumento ! luego comente con sus compa)eros.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



% &

C D E


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$cti%idad )

'razos notables con regla ) comp#s

"sta acti*idad se desarrolla indi*idualmente pero comentando con su parea detrabao.

Aecesitará -oas blancas para trabaar las cuales le serán proporcionadas por elasesor.

?. Tome la -oa ! diga ué -acer para obtener el trazo de un segmento derecta paralelo a los bordes superior e in&erior de la -oa :


PTrace el segmento en su -oaQ

L. /-ora Cómo encuentra e#actamente el punto medio de ese segmentoHDespués de marcarlo en el segmento comente con su parea cómo es uecon toda seguridad puede a&irmar ue es e#actamente el punto reuerido."scriba a continuación en &orma bre*e su principal argumento para tala&irmación:



Coméntenlo con el resto del grupo.

M. Trace la mediatriz del segmento ! *eri&iue la propiedad mencionada en laacti*idad anterior tomando cualuier punto de ella 6menos el deintersección con el segmento7.




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Comente con sus compa)eros estas respuestas ! discuta con ellos cómoes ue lle*ó a cabo la *eri&icación sobre la propiedad de la mediatriz dadaen la acti*idad anterior.

N. Tome otra -oa ! trace de nue*o un segmento como el anterior.

Beleccione un punto cualuiera en su -oa ue esté sobre o bao el segmentopero no alineado con él. +áruelo con la punta de su lápiz ! a-ora trace unalínea ue sea perpendicular al segmento 6o a su prolongación7 ! pase por ese

punto.



Describa bre*emente los trazosnecesarios para obtener la mediatriz

Fué es lo ue le permite asegurar uela línea trazada por ese punto medio esperpendicular al segmentoH

Describa bre*emente cómo realizó el trazo ! por ué puedeasegurar ue e&ecti*amente la línea es perpendicular.


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19./-ora trace en una -oa limpia un segmento como en las anteriores !seleccione de nue*o un punto cualuiera @con las mismas restricciones ueantes @ Constru!a una paralela al segmento ue pase por el punto.


$cti%idad )

'razo de las mediatrices( bisectrices ) medianas en un tri#ngulocon regla ) comp#s

8ara esta acti*idad el asesor le proporcionará al menos 1? -oas de papel.

19."n primer término tome = -oas. Dibue en cada -oa en la parte central untriángulo di&erente. 8ueden ser parecidos a los siguientes 6tal *ez de ma!or tama)o cada uno7:

11. Jtilizando regla ! compás trace en cada triángulo las tres mediatrices.



Describa bre*emente cómo realizó el trazo ! por ué puede

asegurar ue e&ecti*amente la línea es paralela


27/32


Comente bre*emente cómo lle*ó a cabo la construcción de cada mediatriz IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


12.Tome otras cuatro -oas ! repita el dibuo de los triángulos di&erentes.En cada uno trace las tres medianas

Comente bre*emente cómo lle*ó a cabo la construcción de cada mediana IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


1.Tome otras cuatro -oas ! repita el dibuo de los triángulos di&erentes."n cada uno trace las bisectrices


1=.Tome otras cuatro -oas ! repita el dibuo de los triángulos di&erentes."n cada uno trace las bisectrices


1>.(esponda bre*emente a las siguientes cuestiones ! luego compare susrespuestas con las de sus compa)eros.

Cuál trazo se le di&icultó menosHIIIIIIIIIIIIIIIIIII Cuál se le

di&icultó másH $$$$$$$$$$$$$$




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"n todos los triángulos se mantiene la misma di&icultadHIIIIIIIIIIIIII

Ea! algunas características ue usted -a!a obser*ado ! uiera resaltarH IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


Fué particularidad tomarán esas características en un triángulo isóscelesHComéntelo con sus compa)eros ! a uicio del asesor *eri&iue su conetura.


$cti%idad 1*

*+plorando ,*l "eómetra-

Con el &in de &amiliarizarse con los comandos del so&t'are de geometría dinámicaue *amos a utilizar a lo largo de esta sesión realice las siguientes acti*idadesguiado por su asesor:

1. Constru!a un segmento de recta determine su longitud dinámica ! deslice

alternati*amente sus puntos e#tremos para obser*ar lo ue sucede.

2. Constru!a un ángulo determine su medida dinámica ! *aríe su abertura.

Obser*e.




29/32


. Constru!a un triángulo etiuete sus *értices ! sus lados determine las

medidas de sus lados ! de sus ángulos obtenga su perímetro ! su área.

=. Dado un segmento de recta ! un punto e#terior a él construir una recta

paralela ! otra perpendicular a dic-o segmento ue pasen por el punto

dado.

>. Construir un rectángulo arbitrario.

?. Construir un cuadrado dado un lado.

L. Construir un -e#ágono regular.

M. "#prese sus primeras impresiones acerca del uso de un so&t'are de estetipo.


$cti%idad 11

'razo de mediatrices( bisectrices( medianas ) alturas en un tri#ngulo

usando soft!are de geometría din#mica

"n esta acti*idad mediante las acciones ue a continuación se enumeran sepropone consolidar ! de alguna manera *alidar algunas de las coneturassurgidas en sesiones anteriores; *istas a-ora con la potencialidad ! recursos de

este tipo de so&t'are computacional.

Jtilizando $"l Geómetra% o alg3n otro so&t'are de geometría dinámica realizar lassiguientes acciones:




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1. Construir un triángulo ! trazarle sus mediatrices ! pintarlas de color azul.Deslice cualuiera de los *értices del triángulo ! analice las posiblesintersecciones de las mediatrices.

Be intersecan siempre las tres mediatrices en un puntoH /rgumente

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Cuáles son las posibles posiciones del punto de intersección con respecto altriánguloH Detalle

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

'. Desarrollar en el mismo triángulo los pasos correspondientes al punto1pero en relación a las medianas las cuales serán pintadas de roo.Contestar las respecti*as preguntas

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

(. Desarrollar en el mismo triángulo los pasos correspondientes al punto1pero en relación a las bisectrices las cuales serán pintadas de negro.Contestar las respecti*as preguntas

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

). Desarrollar en el mismo triángulo los pasos correspondientes al punto1pero en relación a las alturas las cuales serán pintadas de *erde. Contestar las respecti*as preguntas

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII




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IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

>. Deslice uno de los *értices -asta ue el triángulo con todas las líneasespeciales trazadas se apro#ime muc-o a un triángulo isósceles. Describa

lo ue obser*a. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

?. Deslice uno de los *értices -asta ue el triángulo con todas las líneasespeciales trazadas se apro#ime muc-o a un triángulo euilátero. Describalo ue obser*a.

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

.eferencias

/lcalde 0. +onteano /. +ora ". 62997 ,i"no- .atemática #rado . sm. +é#ico

/nnenberg +edia 6299>7. Learnin" mat/: "eometry-

-ttp:KK'''.learner.orgKc-annelKcoursesKlearningmat-Kgeometr!Kinde#.-tml

,rise)o 4. /. erdugo 0. 629997 .atemática . Bantillana. +é#ico

Du*al (. 61NN>7. Geometrical +icture: ind o* re+reentation and +eci*ic +rocee in eitin" mental ima"inery it/ com+uter- L. ".J./.

0ardines . 0. (amones +. Balas +. B. 61NNL7 .atemática 1- Liro del alumno- "dicionesCastillo5B"C BOAO(/. +é#ico



4e)ero +. et al. 6299>7 neana de la matemática aitida +or com+utadora.


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8(OA/8 61NN?7 La eneana de la .atemática en la ecuela ecundaria- Lectura. +é#ico

B"8 61NNL7. La eneana de la .atemática en la ecuela ecundaria- #u&a de tudio. +é#ico

B"8 6299>7- ducacin ,ecundaria- .atemática- ro"rama de etudio- +é#ico

B"8 61NN?7. l Liro +ara el maetro- .atemática- ducacin ,ecundaria- +é#ico

B"8 61NNN7!ic/ero de actividade didáctica- .atemática. ducacin ,ecundaria- +é#ico

B"8 629997,ecuencia y r"aniacin de ;ontenido- .atemática. ducacin ,ecundaria-+é#ico

Jreta (. C. 629917. l +a+el del maetro en la educacin matemática. Grupo "ditorial7 verlatin" #eometry.

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