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CAPÍTULO 5 CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS.

INTRODUCCIÓN 5.

Una regla es un instrumento geométrico que tiene un borde rectilíneo y, al deslizar la punta de un lápiz a lo largo de dicho borde, se obtiene una recta. Una regla es graduada si tiene divisiones numéricas y puede medir la distancia entre dos puntos; también permite trasladar distancias, esto es, se puede construir un segmento de longitud dada. Una regla euclidiana es una regla no graduada. Con una regla euclidiana se puede trazar la recta que pase por dos puntos cualesquiera, pero no permite trasladar distancias. Un compás es un instrumento geométrico formado por dos varillas: una de ellas permanece fija y usualmente termina en una punta de metal, y la otra termina en una punta de lápiz y gira alrededor de la primera para trazar una circunferencia o un arco de ella. Un compás euclidiano es un compás donde las varillas se cierran al levantar una de ellas de la hoja de papel. Con un compás euclidiano se puede trazar la circunferencia centrada en un punto dado que pase por otro punto dado. Un compás moderno es un compás que mantiene fija la abertura de las varillas al levantarlas de la hoja de papel. Con el compás moderno se puede trazar una circunferencia de centro y radio dados. A pesar de lo que pueda pensarse, con un compás euclidiano se pueden trasladar distancias. Para verificar esta afirmación mostraremos que dados tres puntos A, O, B es posible construir, con el compás euclidiano, la circunferencia de centro O y de radio AB. "Trace A(O) y O(A) hasta cortarse en D y E. Trace D(B) y E(B) hasta cortarse de nuevo en F. La solución es O(F)." De las construcciones hechas se tiene que OA = OD = OE = AD = AE, DB = DF y EB = EF. Luego, DE es la mediatriz de los segmentos OA y BF. Por tanto, AB = OF por ser lados no paralelos del trapecio isósceles OABF. La construcción con el compás moderno sería así: "Coloque la punta de una de las varillas del compás en B y la otra en C. Levante el

D

O A

B F

E

compás manteniendo fija la abertura de las varillas. Coloque la varilla fija en A y haga girar la otra varilla hasta describir la circunferencia buscada". Hemos visto que con ambos compases puede construirse la misma figura aunque el número de pasos a efectuarse probablemente sea distinto en cada caso. Los instrumentos euclidianos son la regla no graduada y el compás moderno. Las palabras trazar y construir se aceptan usualmente como sinónimas de dibujar. No obstante, en este capítulo, no estaremos interesados en hacer dibujos sino que, para nosotros, "construir una figura" es equivalente a verificar que es posible hacer esa figura partiendo de ciertos elementos geométricos, llamados datos, y usando los instrumentos euclidianos ya mencionados. En cada construcción supondremos el ejercicio resuelto y dibujaremos una figura, llamada figura de análisis, que cumpla con todas las condiciones dadas. Se investigarán las relaciones existentes entre los datos del ejercicio y los elementos geométricos buscados, para así ver la forma de hacer dicha construcción. Si los datos no aparecen en la figura de análisis, entonces es menester introducir algunos elementos geométricos adicionales. COMENTARIO 5.1.

Recordemos las notaciones usadas en estas notas: A, B, C, ... son los vértices o ángulos correspondientes de un polígono. a, b, c, ... son los lados del polígono. Si ABC es un triángulo a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C. s es el

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semiperímetro del triángulo ABC y p = 2s es el perímetro. La recta AB es la recta que pasa por los puntos A y B. La circunferencia ABC es la circunferencia que pasa por los puntos A, B, C. O(A) es la circunferencia de centro O que pasa por A. O(k) u O(AB) es la circunferencia de centro O y de radio k o AB. ha, hb, hc son las alturas y ma, mb, mc son las medianas de los lados a, b, c del triángulo ABC. Las alturas de un triángulo se cortan en su ortocentro H. Las medianas de un triángulo se cortan en su baricentro G que triseca a cada mediana. wa, wb, wc son las bisectrices interiores y wa`, wb`, wc` son las bisectrices exteriores de los ángulos A, B, C de un triángulo ABC. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en su incentro I, que es el centro del incírculo, es decir, de la circunferencia tangente a sus lados. Su radio r se llama el inradio y 2r se llama el indiámetro. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en su circuncentro O, que es el centro del circuncírculo, i.e., la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Su radio r se llama el circunradio y 2R se llama el circundiámetro. Un excírculo de un lado de un triángulo es la circunferencia que es tangente a ese lado y a las prolongaciones de los otros dos lados.Sus centros se llaman excentros y se denotan por Ia, Ib, Ic. Sus radios se llaman exradios y se denotan mediante ra, rb, rc. ∠AOB es el ángulo de vértice O y de lados las semirrectas OA y OB. EJEMPLO 5.1.

Halle un punto en una recta dada que esté a una distancia dada de un punto dado. Figura de análisis:: Sea m la recta dada, sea d la distancia dada y sea P el punto dado. Si Q es solución, entonces Q está en m y PQ = d..

P

d

Construcción: Trace P(d) hasta cortar a m en Q.

COMENTARIO 5.1. Si P está en m, entonces hay dos puntos Q que satisfacen la condición. Si P no está en m, entonces hay 0, 1 ó 2 soluciones según que la distancia de P a m sea mayor, igual o menor que d. EJEMPLO 5.2.

Prolongue un segmento dado en una longitud dada. Figura de análisis: Sea AB el segmento dado y sea d la longitud dada. Se desea hallar un punto P de modo que B está entre A y P y que BP = d. Construccióon:

Trace B(d) hasta cortar la recta AB en el punto P de modo que B esté entre A y P. COMENTARIO 5.2.

Con el ejemplo anterior pueden construirse segmentos consecutivos de longitudes dadas. EJEMPLO 5.3.

Trace la diferencia de dos segmentos dados. Figura de análisis:

m Q Q d m P

A P B d

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Vea la figura del ejemplo anterior. Si B es un punto que está entre los puntos A y P, entonces AP = AB+BP y así AB = AP−BP. Cosntrucción: Sean a y b los dos segmentos dados con a > b. Trace AP = a. Trace P(b) hasta cortar al segmento AP en B. La solución es el segmento AB = a−b. EJEMPLO 5.4.

Trace la mediatriz de un segmento dado. Figura de análisis: Sea AB el segmento dado. Los puntos de la mediatriz m de AB equidistan de A y B y, por tanto, bastará hallar dos puntos en ella.

A M

Q

P

B

Construcción: Trace A(B) y B(A) hasta cortarse en P y Q. La mediatriz es la recta PQ.

COMENTARIO 5.3. El punto medio M del segmento AB es la intersección del segmento con su mediatriz. Por ende, la construcción anterior determina también el punto medio M de AB. EJEMPLO 5.5.

Trace por un punto dado de una recta dada una recta que forme un ángulo dado con ella. Figura de análisis: Sea m la recta dada, sea P un punto dado de m y sea ∠AOB el ángulo dado. Si OA = OB, entonces AOB es un triángulo isósceles. La idea es construir un triángulo isósceles con vértice en P que sea congruente con AOB.

m P

S

Q A

B O

Construcción: Trace O(k) hasta cortar los lados del ángulo dado en A y B. Trace P(k) hasta cortar a m en Q. Trace Q(AB) hasta cortar a P(k) en S. La recta PS es la recta pedida. COMENTARIO 5.5.

Existe otra recta solución si se toma el punto S en el otro lado de m. EJEMPLO 5.6.

Trace la suma de dos ángulos dados. Figura de análisis: Sean ∠AOB = α y ∠BOC = β los ángulos dados. Si la semirrecta OB está entre las

β A

B α O

C

m

semirrectas OA y OC, entonces ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC. Construcción: Trace una recta m cualquiera y trace un punto O cualquiera en ella. Trace una semirrecta OA que forme con m el ángulo β, y otra semirrecta OB, del otro lado de m, que forme con ella el ángulo α. El ángulo pedido es ∠AOC. EJEMPLO 5.7.

Trace la bisectriz de un ángulo dado.

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Solución: Sea ∠AOB el ángulo dado. Si OA = OB, entonces el triángulo AOB es isósceles y la bisectriz del ángulo AOB es la mediatriz del segmento B. Construcción:

A

O B

Trace O(k) hasta cortar los lados del ángulo dado en A y B. Trace la mediatriz de AB. EJEMPLO 5.8.

Trace la perpendicular a una recta dada que pase por un punto dado. Figura de análisis: Sea m la recta dada y sea P el punto dado. Si n es la perpendicular buscada, M es el corte de m y n, y A y B son dos puntos de m simétricos respecto de M, entonces n es la mediatriz de AB.

A

n

P

B m A m

n

B

P

M

Construcción: Trace P(k) hasta cortar a m en dos puntos A y B. Trace la mediatriz de AB.

COMENTARIO 5.5.

El punto M es la proyección ortogonal de P sobre m. EJEMPLO 5.9.

Trace por un punto dado la paralela a una recta dada. Figura de análisis: Sea P el punto dado y sea m la recta dada. Si p es una recta perpendicular a m y n es perpendicular a p, entonces n es paralela a m. Construcción: Trace por P la perpendicular p a m. Trace por P la perpendicular n a p. La recta buscada es n.

P n

p

Q m

EJEMPLO 5.10. Trace una paralela a una recta dada que pase a una distancia dada de ella. Figura de análisis Sea m la recta dada y sea d la distancia dada. Si n es la paralela buscada, entonces una perpendicular p a m es perpendicular a n y si P y Q son los d

puntos de intersección, entonces PQ = d. Construcción:

p Q

P n

m

Trace un punto Q cualquiera en m. Trace por Q la perpendicular p a m hasta cortar a Q(d) en P. Trace por P la paralela n a m. La recta buscada es n. EJEMPLO 5.11.

Dividir un segmento dado en partes proporcionales a tres segmentos dados. Figura de análisis: Sea AB el segmento que se desea dividir en segmentos propor- Cionales a los segmentos dados a, b, c. Del teorema de Thales se sabe que rectas paralelas son cortadas por transversales en segmentos propor-

S

Q

P

B E DA

cionales. Construcción:

260

Trace por A una recta m que no pase por B. Trace en m, a partir de A, los segmentos consecuti-vos AP = a, PQ = b y QS = c. Trace por P y Q las paralelas a la recta BS hasta cortar a AB en los puntos de división pedidos D y E. COMENTARIO 5.6. Esta construcción puede hacerse para cualquier número finito de segmentos. Además, también puede aplicarse si los segmentos son iguales. EJEMPLO 5.12.

Trace la cuarta proporcional de tres segmentos dados. Figura de análisis: Sean a, b, c tres segmentos dados. Se desea hallar un segmento x tal que a:b = c:x. La justificación de esta construcción ha sido dada en el ejemplo

x P

Q Y

A B c a X

b

O

anterior. Cosntrucción: Trace un ángulo cualquiera XOY. Trace en el lado OX dos segmentos consecutivos OA = a y AB = c. Trace O(b) hasta cortar a OY en P. Trace por B la paralela a AP hasta cortar a OY en Q. El segmento buscado es PQ = x. EJEMPLO 5.13.

Trace el cociente de dos segmentos dados conociendo el segmento unitario u = 1. Figura de análisis: Sean a y b dos segmentos dados. Se desea hallar un segmento x tal que x = a/b. Esta igualdad puede escribirse en la forma b:a = u:x. Esto quiere decir que x es la cuarta proporcional de b, a y u. Construcción:

Trace la cuarta proporcional de los segmentos u, a y b. EJEMPLO 5.14.

Dividir un segmento dado interna y externamente en una razón dada. Figura de análisis:

C

A B

E

P

m

Q

n D

Sea AB el segmento dado y sea p:q la razón dada. Deben hallarse punto P y Q dentro y fuera del segmento AAB de modo que AP:PB = AQ:QB = p:q. Del teorema de Thales se vio que al trazar una paralela a un lado de un triángulo se obtiene un triángulo semejante a él, y sus lados son proporcionales. Construcción: Trace por A y B dos rectas paralelas m y n. Trace A(p) hasta cortar a m en C y trace B(q) hasta cortar a n en D y E. Las rectas CD y CE cortarán la recta AB en los puntos buscados. COMENTARIO 5.7.

Los puntos P y Q hallados en el ejemplo anterior son los conjugados armónicos de A y B.

261

EJEMPLO 5.15. Trace la circunferencia de Apolonio de razón dada sobre un segmento dado.

Figura de análisis: En el teorema 4.18 se vio que la circunferencia de Apolonio de razón p:q sobre el segmento AB es la circunferencia de diámetro el segmento formado por los puntos P y Q del ejemplo anterior. Construcción Trace los puntos P y Q que dividen interna y externamente al segmento dado AB en la razón dada p:q. Trace la circunferencia de diámetro PQ. EJEMPLO 5.16.

Trace la media geométrica de dos segmentos dados. Figura de análisis: Sean a y b dos segmentos dados. Se desea hallar un segmento x de modo que x2 = a.b. Los corolarios 2.9 y 4.3 nos indican como hacer esa construcción. Construcción:

C B

A

P

Trace dos segmentos consecutivos AB = a y BC = b. Trace la semicircunferencia DE diámetro AC hasta cortar en P a la perpendicular a AC trazada por B. El segmento buscado es PB = x. EJEMPLO 5.17.

Trazar el arco capaz de un ángulo dado sobre un segmento dado. Figura de análisis: Sea AB el segmento dado y sea α el ángulo dado. Si APB es el arco capaz buscado con centro O, entonces ∠APB = α. Si AQ es tangente a la circunfe- rencia APB en A, entonces ∠BAQ = α por estar semi−inscrito en al arco AB. Construcción: Trace por A la recta AQ que forme con AB el ángulo dado α. Trace por A la perpendicular a AQ

P

B A

Q

O

hasta cortar en O la mediatriz de AB. O(A) es al arco. EJEMPLO 5.18.

Trace la tangente a una circunferencia dada que pase por un punto dado. Figura de análisis: Sea O(k) la circunferencia dada y sea P el punto dado. Si T es el punto de contacto, entonces ∠OTP = 90º. Construcción: Si P está en O(k) trace la perpendicular a OP en P. Supóngase que P es exterior a O(k).

T P

O

Trace la circunferencia de diámetro OP hasta cortar a O(k) en T. Trace PT. EJEMPLO 5.19.

Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto. Figura de análisis: Sea AB = c la hipotenusa dada y sea AC = b el cateto dado. Al trazar el segmento AC se conocen los vértices A y C. El tercer vértice B está en la perpendicular a AC que pasa por C, y está a la distancia conocida c de A.

B

A C

Construcción: Trace el segmento AC = b. Trace por C la perpendicular a AC hasta cortar en B a AC.

262

EJEMPLO 5.20. Construir un triángulo conociendo a, ha, B.

Figura de análisis: Se conocen el lado BC = a, la altura de ese lado AD = ha

y el ángulo B. Al trazar C = a se conocen los vértices B y C. La recta AB forma con BC el ángulo B que

B D C

A

es conocido. Además, la distancia de A a BC es ha que es conocida. Construcción: Trace BC = a. Trace la recta que pasa por B y forma el ángulo B con BC hasta cortar en A a la paralela a BC trazada a la distancia ha. EJEMPLO 5.21.

Construir el triángulo conociendo a, A, ha. Figura de análisis: Se conocen el lado BC = a, su altura AD = ha y el ángulo opuesto A. Al trazar

A

BC = a se conocen los vértices B y C. El vértice A está a la distancia ha de BC. Además, desde A se ve al segmento BC bajo el ángulo conocido A. Construcción: D B C

Trace BC = a. Trace la paralela a BC a la distancia ha hasta cortar en A al arco capaz del ángulo A sobre BC. EJEMPLO 5.22.

Construir un triángulo conociendo A, ha, waFigura de análisis: Se conocen el ángulo A, su bisectriz wa y la altura ha del lado opuesto. Nótese que ∠BAE = ∠CAE = A/2. B y C están en la perpendicular a AD. El triángulo

E B C

A

rectángulo ADE puede construirse por el ejemplo 5.19. D Construcción:

Trace AD = ha. Trace por D la recta m perpendicular a AD. Trace A(wa) hasta cortar a m en E. Trace por A las rectas que forman el ángulo A/2 con AE hasta cortar a m en B y C. EJEMPLO 5.23.

Construir un triángulo conociendo b+c, B, hc. Figura de análisis: Debe introducirse la magnitud b+c en la figura de análisis. Una manera de

C

P

A

hacerlo es prolongar BA hasta P de modo que AP = AC = b. Así, B BP = b+c. El triángulo ACP es isósceles de base PC.

Construcción: Trace BP = b+c. Trace por B una recta que forme con BP el ángulo Dado B hasta cortar en C a la paralela a BP situada a la distancia hc. Trace la mediatriz de CP hasta cortar a BP en A. EJEMPLO 5.24.

Construir un triángulo conociendo A, mb, mc. O

A

B

C

E F

Figura de análisis:

Sean BE = mb y CF = mc. Si G es el baricentro, entonces GE = bm31 y

263

GF = cm31 . El segmento BE se ve desde A bajo el ángulo A. y el punto A está en el arco capaz

del ángulo A sobre BE. Si O es el centro del arco capaz, entonces ∠BFO = 90º. Construcción:

Trace BE = mb. Trace ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

bmE31 hasta cortar a BE en G. Trace el arco capaz O(k) de A sobre BE.

Trace ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

cmG31 hasta cortar en F a la circunferencia de diámetro OB. Trace BF hasta cortar a O(k)

en A. Trace E(A) hasta cortar a EA en C. EJEMPLO 5.25.

Construir un triángulo conociendo a, A, hb + hc. Figura de análisis:

P

F

Q A

E

B C

Sean BE = hb y CF = hc. Prolongue BE hasta Q en la distancia hc. Así, BQ = hb + hc. Trace por Q la paralela a AC hasta cortar a AB en P. Entonces ∠BPQ = ∠A y ∠PQB = 90º. Por otro lado, la distancia de C a la recta PQ es hc que es la distancia de C a AB. Luego, C está en la bisectriz del ángulo BPQ. Así, ∠BPC = ∠ACP = A/2 y el triángulo ACP es isósceles y AP = AC = b. Por ende, BP = b+c. Construcción: Construya el triángulo BPQ, rectángulo en Q, conociendo el cateto BP = hb + hc y el ángulo BPQ = A. Trace la bisectriz de ∠BPQ hasta cortar a B(a) en C. Trace por C la paralela a PQ hasta cortar en A a BP. COMENTARIO 5.8. Hemos visto que en el triángulo BPQ, rectángulo en Q, un cateto es BQ = hb + hc, el ángulo opuesto es ∠BPQ = A y la hipotenusa es BP = b+c. Luego, es fácil verificar que dados dos de esos elementos geométricos se obtiene el otro. DEFINICIÓN 5.1. Diremos que un conjunto de tres elementos geométricos de un triángulo es un datum si cada uno de ellos puede construirse a partir de los otros dos. Un conjunto de cuatro elementos geométricos de un triángulo se llama datum si cada dos elementos cualesquiera pueden construirse a partir de los otros dos. EJEMPLO 5.26 Los ángulos A, B, C de un triángulo ABC forman un datum ya que A + B + C = 180º y al conocer dos de ellos se halla el otro.

264

EJEMPLO 5.27. hb + hc, b + c, A es un datum.

EJEMPLO 5.28.

Construir un triángulo conociendo hb + hc, b+c, B−C Figura de análisis: Del ejemplo anterior se puede determinar el ángulo A y así se conoce 180º − A = B + C. Al sumar (B+C)+(B−C) = 2B se halla B y se puede construir el triángulo. Construcción: Trace BQ = hb + hc. Trace por Q la perpendicular a BQ hasta cortar a B(b+c) en P. Prolongue BP hasta cualquier punto S. Trace la suma ∠SAQ + (B−C) usando el ejemplo 5.6. Trace su bisectriz usando el ejemplo 5.7 y sea β uno de los dos ángulos divididos. Trace la bisectriz del ángulo BAQ hasta cortar en C a la recta que pasa por B y forma el ángulo β con BP. Trace la mediatriz de CP hasta cortar a BP en A. EJEMPLO 5.29.

Construir un triángulo conociendo b−c, hc, B−C. Figura de análisis: Prolongue AB hasta P de modo que AP = AC = b. Así, BP = b−c. El Triángulo

A

B C

P APC es isósceles de base PC y se ve que ∠ACP = ∠C + ∠BCP = ∠P. Además, en el triángulo BPC se tiene que ∠B = ∠P + ∠BCP. Por tanto, ∠BCP = ∠B − ∠C − ∠BCP y así ∠BCP = ½(B−C). Por otro lado, CF = hc es altura del triángulo BPC. Construcción: Trace BP = b−c. Trace el arco capaz de ½/(B−C) sobre BP hasta cortar en C a la paralela a BP situada a la distancia hc. Trace la mediatriz de PC hasta cortar a PB en A. EJEMPLO 5.30.

ha, wa, B−C es un datum. Solución:

Ejemplo 4.32. EJEMPLO 5.31.

A

E B

D C

A

Construir un triángulo conociendo R, ha, B−C. Figura de análisis: Del ejemplo anterior se ve que AE = wa se puede conocer. Del ejemplo 4.32 se ve que ∠DAE = ∠EAO = ½(B−C). Construcción: Trace AD = ha. Trace por A la recta que forme el ángulo ½(B−C) con AD hasta cortar en E O

a la perpendicular a AD que pasa por D. Trace por A la otra recta que forme con AE el mismo ángulo ½(B−C) hasta cortar en O a A(R). Trace O(R) hasta cortar la recta DE en B y C. EJEMPLO 5.32.

Construir un triángulo conociendo ha, wa, bc. Figura de análisis:

265

Vea la figura de análisis anterior. Los ángulos en B y en F son iguales por estar inscritos en el mismo arco AC. Luego, los triángulos rectángulos ABD y AFC son semejantes y se tiene que AB:AF = AD:AC. Es decir, c:2R = ha:b Por ende, bc = 2R.ha y podemos conocer R. Se va al mismo ejemplo anterior. Construcción: Trace R como el cociente entre bc y 2.ha usando el ejemplo 5.13. Use ahora el ejemplo anterior.

EJEMPLO 5.33.

Trace las tangentes exteriores a dos circunferencias dadas. Figura de análisis: S

T

O O´

P Sean O(k) y O`(k`) las circunferencias dadas. Sea una tangente exterior de puntos de contacto T y S. Los ángulos T y S son rectos. Trace por O la paralela a TS hasta cortar a O`S en P. Así, OP = TS, OP es perpendicular a O`S y PO` = O`S − OT = k`− k. Construcción: Trace la circunferencia de diámetro OO` hasta cortar a O` (k`−k) en P. Trace O`P hasta cortar a O`(k`) en S. Trace por S la paralela a OP. EJEMPLO 5.34.

Trace una recta que determine en dos circunferencias dadas dos cuerdas de longitudes dadas. Figura de análisis: Sean O(k) y O`(k`) las circunferencias dadas y sean x e y las longitudes dadas. Se desea hallar una recta m que corte a O(k) en A y B, y a O`(k`) en C y D de modo que AB = x y CD = y. Si M y N son los puntos medios de AB, y CD, entonces los triángulos OMB y O`ND pueden construirse al conocerse sus hipotenusas OB = k y O`D = k` y sus catetos MB = x/2 y ND = y/2. La recta buscada m es la tangente exterior a las circunferencias O(M) y O`(N).

A N C

M

B D

O´ O

m

Cosntrucción: Usando el ejemplo 5.19 construya los triángulos XYZ y UVW rectángulos en X y U conociendo las hipotenusas YZ = k y VW = k` y sus catetos XZ = x/2 y UW = y/2. Trace la tangente exterior a O(XY) y O`(UV). EJEMPLO 5.35. Trace una recta paralela a la base BC de un triángulo dado ABC que corte los lados AB y AC en los puntos B` y C` de modo que el trapecio BB`C`C tenga un perímetro dado d. Figura de análisis:

266

Como el triángulo ABC es conocido se conoce su perímetro p = AB + BC + CA. El perímetro del trapecio es BB` + B`C` + CC` + BC = d. Luego, p−d = AB` + AC` − B`C`. Al dividir entre B`C`

se ve que 1```

```

``−+=

−CB

ACCB

ABCB

dp . De la semejanza de los triángulos AB`C` y ABC se sigue que

ACAC

BCCB

ABAB ````

== . Así, BCAB

CBAB

=``` y

BCAC

CBAC

=``` . Por ende,

BCBCACAB

BCAC

BCAB

CBdp −+

=−+=− 1

``. Si

x = AB + AC − BC, entonces `C̀Bdp

BCx −

= .

Construcción: Trace x = AB+AC−BC. Trace p−d. Trace la cuarta proporcional B`C` de

A

B` C`

B C x, BC y p−d. Trace B(B`C`) hasta cortar a BC en D. Trace por D la paralela a AB hasta cortar a AC en C`. Trace por C` la paralela a BC hasta cortar a AB en B`.

D

EJEMPLO 5.36. Con un radio dado trazar una circunferencia que tenga su centro en un lado de un ángulo dado e intercepte una cuerda de longitud dada en el otro lado del ángulo. Figura de análisis: Sea AVB el àngulo dado, sea k el radio dado, sea d la longitud dada y sea O(k) la circunferencia buscada. Su centro estará en el lado VB y cortará al otro lado en P y Q de modo que PQ = d. Sea M el punto medio de la cuerda PQ. En el triángulo rectángulo MOP se conocen el cateto PM = d/2 y la hipotenusa OP = k. Construcción: Trace el segmento XY = d/2. Trace por X la perpendicular a XY hasta cortar en Z a Y(k). Trace la paralela al lado VA hasta cortar a VB en O. Trace O(k).

P A

Q M V

O

B

EJEMPLO 5.37. Inscribir un hexágono regular en una circunferencia dada.

Figura de análisis:PSea un hexágono ABCDEF inscrito en O(k). Se tiene que cada ángulo central es de 60º y todos los triángulos que se forman son equiláteros de lados igual a k. Luego, AB = BC = CD = DE = EF = FA = k. Construcción: Tómese un punto A cualquiera en O(k). Trace las cuerdas consecutivas iguales al radio.

A

B

C D

E

F

COMENTARIO 5.9. Si en la figura anterior se unen A, C y E se obtiene un triángulo equilátero inscrito en O(k). Si se toman los puntos medios de las arcos AB, BC, CD, DE, EF y FA se forma un dodecágono regular inscrito en O(k). EJEMPLO 5.38. Halle un punto P en el lado CD de un paralelogramo ABCD de modo que ∠BPA = ∠BPC. Figura de análisis: ∠BPA = ∠BPC por hipótesis. Pero, ∠BPC = ∠PBA ya que son ángulos

D

B A

C P

alternos internos entre las paralelas AB y CD con la transversal BP. Así, ABP es un triángulo isósceles y AB = AP.

267

Construcción: Trace A(B) hasta cortar a CD en el punto P que es la solución buscada.

EJEMPLO 5.39. Trace una recta de dirección dada que corte los lados AB y AC de un triángulo ABC en puntos B` y C` de modo que BB` = CC`. Figura de análisis: Sea m la dirección dada. Trace por C la paralela a m hasta cortar a AB en P. Por el teorema de Thales se tiene que AP:AC = PB`:CC` = PB`:BB`. Luego,B` divide internamente a BP en la razón AP:AC. Construcción:

m A

p

B` Trace por C la paralela a m hasta cortar a AB en P. Divida internamente al segmento PB por B` en la razón AP:AC. Trace por B` la paralela a m hasta cortar a AC en C`.

C`

C B

EJEMPLO 5.40. `

Construir un triángulo conociendo p, A, wa. Figura de análisis: Sea ABC el triángulo pedido conociendo el perímetro p, el ángulo A y la bisectriz wa. Trace el excírculo del lado BC con centro Ia y los puntos de tangencia T y S sobre las las prolongaciones de los lados AB y AC. En el triángulo ATIa, rectángulo en T, se conocen el cateto AT = p/2 y el ángulo TAIa. AW = wa me permitirá conocer W y los vértices B y C estarán en la tangente al excírculo. Construcción: Trace AT = p/2. Trace por A una recta que forme con AT el ángulo A/2 hasta cortar en Ia a la

S

W C

t

A

B

T

Ia

perpendicular a AT trazada por T. Trace por A la otra tangente t a Ia(T) . Trace por W la tangente a Ia(T) hasta cortar a AT en B y a t en C. COMENTARIO 5.9. Hemos visto varios ejemplos sobre diversas construcciones geométricas. A pesar de ello existen muchos problemas que no pueden ser construidos con los instrumentos euclidianos. Se puede demostrar que no es posible inscribir con los instrumentos euclidianos polígonos regulares de 7, 9, 11, 13 y 19 lados. Lea el apéndice 1.

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EJERCICIOS §5. En estas construcciones solamente podrán ser usados los instrumentos euclidianos Cuando sea necesario se usará el segmento unitario.. 1. Trace la suma de dos segmentos dados. 2. Trace dos segmentos conociendo su suma y su diferencia. 3. Trace la diferencia de dos ángulos dados. 4. Trace dos ángulos conociendo su suma y su diferencia. 5. Trace la proyección ortogonal de un punto dado sobre una recta dada. 6. Trace el simétrico de un punto dado respecto de otro punto dado. 7. Trace el simétrico de un punto dado respecto de una recta dada. 8. Trace un punto que equidiste de tres puntos dados. 9. Trace el circuncírculo de un triángulo dado. 10. Trace un punto que equidiste de tres rectas dadas. 11. Trace el incírculo de un triángulo dado. 12. Trace tres segmentos consecutivos de longitudes dadas a partir de un punto dado sobre una recta dada. 13. Dividir un segmento en tres partes iguales. 14. Trace el conjugado armónico de un punto dado respecto de un segmento dado. 15. Trace el producto de dos segmentos dados. 16. Trace el cuadrado de un segmento dado. 17. Trace la semicircunferencia de diámetro un segmento dado. 18. Trace la raíz cuadrada de un segmento dado. 19. Trace el punto medio de un arco dado. 20. Trace el centro y el radio de una circunferencia conociendo un arco de ella. 21. Trace la paralela media de dos rectas paralelas dadas. 22. Trace un punto en una recta dada que equidiste de dos puntos dados. 23. Trace un punto de una circunferencia dada que equidiste de dos puntos dados. 24. Trazar una tangente a una circunferencia dada que tenga una dirección dada. 25. Construir un triángulo rectángulo conociendo su hipotenusa y un ángulo agudo. 26. Trace una tangente exterior a dos circunferencias dadas iguales. 27. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias dadas. 28. Construir dos segmentos conociendo su suma y su media geométrica. 29. Construir dos segmentos conociendo su diferencia y su media geométrica. 30. Construir un triángulo rectángulo conociendo sus catetos. 31. Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y un ángulo agudo. 32. Construir el paralelogramo ABCD conociendo AB, BC, AC. 33. Construir el paralelogramo ABCD conociendo AB, AC, ∠B. 34. Construir el paralelogramo ABCD conociendo AB, AD, ∠ABD. 35. Construir el cuadrilátero ABCD conociendo ∠A, ∠B, ∠C, AB, AD. 36. Construir el cuadrilátero ABCD conociendo AB, BC, CD, ∠B, ∠C. 37. Trace el ángulo A de un cuadrilátero ABCD conociendo ∠B, ∠C, ∠D. 38. Construir un cuadrilátero ABCD conociendo ∠A, ∠B, ∠C, AD, CD. 39. Trazar una circunferencia de radio dado que pase por dos puntos dados. 40. Trazar una circunferencia de radio dado que sea tangente a una recta dada en un punto dado de ella. 41. Trazar una circunferencia de radio dado que sea tangente a una circunferencia dada en un punto dado de

ella. 42. Trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados y tenga su centro en una recta dada. 43. Trazar una circunferencia de radio dado que pase por un punto dado y sea tangente a una recta dada. 44. Trazar una circunferencia de radio dado que pase por un punto dado y sea tangente a una circunferencia

dada. 45. Trazar una circunferencia de radio dado que sea tangente a dos rectas dadas. 46. Trazar una circunferencia de radio dado que sea tangente a una recta dada y a una circunferencia dada. 47. Trazar una circunferencia de radio dado que sea tangente a dos circunferencias dadas. 48. Determinar en una circunferencia dada un punto que esté a una distancia dada de una recta dada. 49. Trace una circunferencia que pase por dos puntos dados y sea tangente a una recta dada. 50. Dados los segmentos p, m, n trace un segmento x de modo que x2:p= m:n.

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51. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la razón de los cuadrados de los catetos. 52. Por un punto dado trace una recta que forme ángulos iguales con los lados de un ángulo dado. 53. Trazar una circunferencia que pase por un punto dado y sea tangente a dos rectas paralelas dadas. 54. Determinar un punto desde donde se vean dos segmentos dados bajo ángulos dados. 55. Trazar a una circunferencia una tangente sobre la cual una recta dada determine un segmento dado. 56. Determinar un punto tal que las tangentes trazadas desde él a dos circunferencias dadas tengan longitudes

dadas. 57. Por un punto dado trazar una recta que determine en dos rectas paralelas dadas un segmento de longitud

dada. 58. Por uno de los dos puntos de intersección de dos circunferencias iguales trazar dos cuerdas iguales, una en

cada circunferencia, que forme un ángulo dado. 59. Por un punto dado de una circunferencia dada trazar una cuerda cuya longitud sea el doble de la distancia de

esa cuerda al centro de la circunferencia. 60. Trace un punto en la prolongación de un diámetro dado de una circunferencia dada, de modo que la tangente

desde él a la circunferencia sea igual al radio. 61. Por un punto dado como centro trazar una circunferencia que biseque a una circunferencia dada. 62. Por dos puntos dados trazar una circunferencia de modo que la cuerda común con una circunferencia dada

sea paralela a una recta dada. 63. Construir un triángulo conociendo los puntos medios de sus lados. 64. Construir un paralelogramo de modo que tres de sus lados tengan como puntos medios tres puntos dados. 65. En un cateto de un triángulo rectángulo dado halle un punto que equidiste de la hipotenusa y del vértice del

ángulo recto. 66. Con dos puntos dados como centros trazar dos circunferencias iguales de modo que una de las tangentes

comunes pase por un tercer punto dado. 67. Con dos puntos dados como centros trazar dos circunferencias iguales de modo que una de las tangentes

comunes sea tangente a una circunferencia dada. 68. Por un punto dado trazar una recta de modo que las dos cuerdas intersecadas por dos circunferencias iguales

dadas sean iguales. 69. A una circunferencia dada entre dos rectas paralelas dadas trazar una tangente de modo que el segmento

determinado en ella por las paralelas tenga una longitud dada. 70. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la distancia del punto medio de la hipotenusa a

un cateto. 71. Construir un triángulo conociendo una altura y los circunradios de los dos triángulos en los que la altura

divide al triángulo pedido. 72. Colocar un segmento de longitud y dirección dadas cuyos extremos estén en dos circunferencias dadas. 73. Halle puntos D y E en las rectas AB y AC de un triángulo ABC de modo que AD = DE = EC. 74. Construir un paralelogramo conociendo una altura y sus dos diagonales. 75. Construir un paralelogramo conociendo las dos alturas y un ángulo. 76. Construir un paralelogramo conociendo las dos alturas y una diagonal. 77. Construir un paralelogramo conociendo un ángulo, un lado y una diagonal. 78. Construir un paralelogramo conociendo un lado, su altura y el ángulo formado por las diagonales. 79. Construir el cuadrilátero ABCD conociendo la diagonal AC y ∠ABC, ∠ADC, ∠BAC y ∠DAC. 80. Construir el cuadrilátero ABCD conociendo los lados AB y BC, la diagonal AC y ∠ADB y ∠BDC. 81. Construir el cuadrilátero ABCD conociendo los lados AB y AD, ∠DAB y el radio k del círculo inscrito. 82. Trazar una circunferencia de radio dado que sea tangente a una circunferencia dada y su centro esté en una

recta dada. 83. Trazar una circunferencia de radio dado que pase por un punto dado y la tangente trazada a esa circunfe-

rencia desde otro punto dado tenga una longitud dada. 84. En una circunferencia dada inscribir un triángulo rectángulo de modo que cada cateto o su prolongación

pase por un punto dado. 85. Halle un punto de modo que sus distancias a tres puntos dados estén en relaciones dadas. 86. Construir un triángulo conociendo la base, el ángulo opuesto y el punto en el que la bisectriz del ángulo

corta la base. 87. Construir un triángulo conociendo la base y los ángulos que la mediana de la base forma con los otros dos

lados.

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88. Circunscribir un triángulo en una circunferencia dada conociendo un lado y uno de sus ángulos adyacentes de modo que el vértice de este ángulo esté en una recta dada.

89. En un triángulo equilátero dado inscribir otro triángulo equilátero donde se conoce uno de sus vértices. 90. En un cuadrado dado inscribir otro cuadrado conociendo uno de sus vértices. 91. Por uno de los puntos de intersección de dos circunferencias dadas trace una recta de modo que las cuerdas

intersecadas por ellas sean iguales. 92. Por uno de los puntos de intersección de dos circunferencias dadas trace una recta de modo que la suma de

las cuerdas intersecadas por ellas sea igual a una longitud dada. 93. Por uno de los puntos de intersección de dos circunferencias dadas trace una recta de modo que las dos

cuerdas intersecadas por ellas subtiendan ángulos centrales iguales. 94. Dados un ángulo y un punto en uno de sus lados, halle un segundo punto en ese lado que equidiste del

primer punto y del otro lado del ángulo. 95. Por un punto dado trazar una recta que corte a una circunferencia dada de tal manera que las distancias

desde los puntos de intersección a una recta dada tengan una suma dada. 96. Dada una recta y un punto en ella, halle otro punto en esa recta que equidiste del primer punto y de una

circunferencia dada. 97. Colocar un segmento de longitud y dirección dadas donde un extremo esté en una recta dada y el otro

extremo esté en una circunferencia dada. 98. Trazar por un punto dado una recta que determine en una circunferencia dada una cuerda de longitud dada. 99. Se dan dos rectas paralelas m y n. Se dan un punto A en m, un punto B en n y un punto O fuera de m y n.

Trace por O una recta secante p a m y a n que las corte en X e Y de modo que AX+BY sea igual a una longitud dada.

100. Por un punto dado trazar una recta que corte a dos rectas dadas en puntos cuyas relaciones de distancias al primer punto sea conocida.

101. Halle un punto P desde el cual se vean bajo tres ángulos iguales los tres segmentos dados AB, BC, CD consecutivos de una recta.

102. Construir un triángulo conociendo la base, un ángulo adyacente y la intersección de la base con el circundiá-metro que pasa por el vértice opuesto.

103. Construir un triángulo conociendo el círculo inscrito, el punto medio de la base y un punto de la bisectriz exterior de un ángulo de la base.

104. Construir un triángulo rectángulo conociendo la altura de la hipotenusa, dos puntos de la hipotenusa y un punto en cada uno de sus catetos.

105. Trazar una circunferencia de radio dado que pase por un punto dado y determine en una recta dada una cuerda de longitud dada.

106. Con un punto dado como centro trazar una circunferencia que determinará en dos rectas paralelas dadas dos cuerdas cuya suma sea una longitud dada.

107. Trace por un punto dado una recta que corte a una circunferencia dada en una cuerda de longitud dada. 108. Trazar por un punto dado una recta de modo que la suma de sus distancias a otros dos puntos dados sea

dada. 109. Trazar por un punto dado una recta cuya diferencia de distancias a dos puntos dados sea dada. 110. En una circunferencia dada trazar un diámetro de modo que subtienda un ángulo dado desde un punto dado. 111. Sea dan una recta m, un punto A en ella, un punto B fuera de ella y un número positivo d. Halle un punto X

en m tal que AX+XB = d. 112. En un triángulo dado inscribir un triángulo isósceles de altura dada de manera que su base sea paralela a uno

de sus lados. 113. Halle un punto sobre una recta dada que equidiste de un punto dado y de otra recta dada. 114. Construir un triángulo conociendo una mediana y los circunradios de los dos triángulos en los que la

mediana divide al triángulo pedido. 115. Trace una circunferencia tangente a dos circunferencias concéntricas dadas que pase por un punto dado. 116. En una recta dada AB hallar un punto P de modo que si PT y PS son las tangentes desde P a una circunfe-

rencia dada se tiene que ∠APT = ∠BPS. 117. Halle un punto en una recta dada de modo que la suma de los cuadrados de las distancias de ese punto a dos

puntos dados sea mínima. 118. Halle un punto P en la base BC de un triángulo ABC de modo que la diferencia de los cuadrados

construidos sobre AB y AC sea igual a BP.BC. 119. Construir un triángulo conociendo un lado y su baricentro.

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120. Sean A, B, C tres puntos no colineales. Trace por A una recta m de modo que la distancia de C a m es el doble de la distancia de B a m.

121. Construir el cuadrilátero ABCD conociendo sus lados AB, BC, CD, AD y el ángulo que forman los dos lados opuestos AB y CD.

122. Trazar un cuadrado dado conociendo uno de sus vértices y otros dos puntos por donde pasan los lados que no pasan por el vértice dado.

123. Dados dos puntos A y B fuera de una recta dada m, halle un punto P en m de modo que PA+PB sea mínima. 124. Se dan dos rectas paralelas, un punto A en una de ellas y otro punto O situado de una manera cualquiera

fuera de ellas. Trazar por O una recta que corte en X a la paralela que pasa por A y en Y a la otra paralela de modo que AX = AY.

125. Dado un triángulo rectángulo construir una circunferencia tangente a la hipotenusa que pase por el vértice del ángulo recto y tenga su centro en uno de sus catetos.

126. Construir un cuadrilátero ABCD conociendo AB, BC, AC, BD y ∠D. 127. Construir un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo ∠A, ∠ABD,AC y BD. 128. Se dan dos puntos A y B, y una recta que pasa por B. Determinar sobre ésta dos puntos X e Y, equidistantes

de B, tales que XY se verá desde A bajo un ángulo dado. 129. En un paralelogramo ABCD hallar un punto X en CD de modo que AX = AB + XD. 130. Construir un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo el radio k de la circunferencia circunscrita, AC,

DB y AB+BC. 131. Construir un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo AB, BC, AC y CD+DA. 132. Construir un cuadrilátero ABCD conociendo AB, CD, AC, ∠BAC y ∠ABD. 133. Construir el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia. 134. Construir un octógono regular inscrito en una circunferencia. En los ejercicios 136 − 219 construir un triángulo conociendo: 136. a, b, c 137. a, b, C 138. a, B, C 139. a, ha, B 140. a, b, ma 141. a, B, wb 142. A, ha, wa 143. a, b, A 144. a, c, hb 145. a, ha, ma 146. a, ha, b:c 147. a, ma b:c 148. a, wa, b:c 149. a, ha, A 150. a, A, B 151. ha, ma, mb152. A, hb, hc 153. a, b, mc 154. A, hb, hc 155. A, ma, mb156. a, mb, C 157. a, mc, C 158. a, ma, C 159. A, mb, mc160. A = 90º, ha, ma161. p, A, ha 162. p, A, B 163. p, ha, B 164. ha, ma, b 165. ha, hb, B 166. ha, ma, a:b 167. ha, B, C 168. a, A, b+c 169. a, b+c, B 170. b+c, B, hc 171. b+c, C, a 172. b+c, A, B 173. b+c, a, hb 174. b+c, a, B−C 175. b+c, hc, B−C 176. b+c, hb, B−C 177. b, c, B−C 178. a, A, mb 179. p, ha, b = c 180. A, c, a:ma 181. B, ha, hc 182. B, hb, hc 183. b−c, a, C 184. b−c, a, B−C 185. b+c, a, B 186. b+c, B, hc 187. b+c, C, a 188. b+c, a, hc 189. b+c, hb, B−C 190. b+c, hc, B−C 191. b, c, B−C 192. a, A, b−c 193. b−c, a, C 194. b−c, a, B−C 195. b−c, hb, C 196. b−c, hb, B−C 197. b−c, hb, A 198. b−c, A, B 199. a, b−c, hc

200. b−c, hc, B−C 201. b, c, B−C 202. b−c, hc, A 203. a, A, hb + hc

204. hb + hc, B, C 205. hb + hc, b, c 206. hb + hc, b, A 207. hb + hc, b+c, B−C 208. hc − hb, B, C 209. hc − hb, b, c 210. hc − hb, A, b+ 211. hb + hc, b−c, A c 212. R, a, hb 213. R, a, b+c 214. a, ha, wa 215. R, hc, B−C 216. R, wa, B−C 217. A, ha, wa 218. a, A, ha:wa

219. ha, wa, bc