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En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de éste, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido. (mate I,1997)
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Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplo:
En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas
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NOTACIÓN
Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
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Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos, por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).
5
3
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Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}
2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
(mate I,1997)
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I) POR EXTENSIÓN
Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
(mate I,1997)
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B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
II) POR COMPRENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
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Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “
Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
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Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
AMT
7
23
6
9
aei
o
u(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)84
1 5
(mate I,1997)
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A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }
Ejemplos:
M = { números mayores que 9 y menores que 5 }P = { x / }
10
X (mate I,1997)
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CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0
CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado número de elementos.Ejemplos:
E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
(mate I,1997)
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CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado número de elementos.Ejemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par }
CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra UEjemplo: El universo o conjunto universal
;
de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS. (mate I,1997)
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IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Ejemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 ó -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simbólicamente : A B (A B) (B A)
(mate I,1997)
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CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
(mate I,1997)
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CONJUNTO DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Ejemplo:
F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }
Observa que los elementos del conjunto F también son conjuntos.
{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F
¿ Es correcto decir que {b} F ? NO
Porque {b} es un elemento del conjunto F ,lo correcto es {b} F
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76
556
A B
El conjunto “A unión B” que se representa así es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
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REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB
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PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A3. A Φ = A
4. A U = U
5. (AB)C =A(BC)
6. Si AB=Φ A=Φ B=Φ
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A B
El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 5;6;7
(mate I,1997)
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REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
AB AB=B
B
AB=Φ
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PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A 3 . A Φ = Φ
4. A U = A
5. (AB)C =A(BC)
6. A(BC) =(AB)(AC) A(BC) =(AB)(AC)
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Preparatoria Juan de la Barrera (1997). Apuntes para la asignatura de Matemáticas I.