Prof. Alfredo Paucar

• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

1. Números racionales (Q)

1.1 Propiedades de los racionales

1.2 Operatoria en los racionales

1.3 Transformaciones de números racionales

1.4 Comparación de fracciones

Contenidos

1.5 Secuencia numérica

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2; 7

0,489; 2,18; -0,647-1; 8

14; 3

15, 0

NO es racional

a: numerador y b: denominador

Por ejemplo:

3 es Natural (3 IN),

3 es Cardinal (3 IN0),

3 es Entero (3 Z), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 3

1

∈∈

∈

Todo número entero es racional.

∈

Diagrama representativo:

1.1 Propiedades de los racionales

• Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙

3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

6

6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2

3

=12

18

• Las fracciones se pueden clasificar en:

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.

Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

3

3= 9

15

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27

45

27 :

45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 2

9es: 9

2

Ejemplo:

1.2 Operatoria en los racionales

• Suma y resta

Ejemplos:

1. Si los denominadores son iguales:

4

15+ 7

15=

11

15

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

2

15+ 7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y

3. Si los denominadores son primos entre sí:

5

12 + 7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4

5 + 7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙ 8

7=

-32

35=

• Multiplicación:Ejemplo:

-4

5

7

8= ∙ -28

40=

28

40-

• División:Ejemplo:

-4

5 : 7

8=

32

35-

• Número Mixto:Ejemplo:

8 3 5 =

8∙5 + 3

5=

43

5

1.3 Transformación de números racionales

• De fracción a decimal:

Ejemplo:

Se divide el numerador por el denominador.

7 4

= 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

100175 =1,75 = 7

425∙7 25∙4

=

• De un número decimal periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99

Ejemplo 2:0,376 = 376 – 0 = 376

999 999

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

3,21 = 321-32 = 289 9090

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

Ejemplo:

1.4 Comparación de fracciones

• Multiplicación cruzada:Ejemplo:

Al comparar

(Multiplicando cruzado)13

15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 13

15

9

10<

• Igualando denominadores:

Ejemplo:

13

15

7

12Al comparar

y (Igualando denominadores)

13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y

Como 52 > 35, entonces 13

15

7

12>

• Transformar a decimal:Ejemplo:

13

15

7

12Al comparar

(Transformando a decimal)y

13

15= 0,86666666…

7

12= 0,58333333…

13

15

7

12>Como 0,86 > 0,583 , entonces

• Igualando Numeradores:

Ejemplo:

Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)

10

3

13

4y

10·13

3·13

13·10

4·10y

130

39

130

40y

Por lo tanto,10

3

13

4es mayor que

Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual

lo que hemos aprendido

Conjunto Q

Propiedadesy comparación

Operatoria Transformaciones

Decimal finito a fracción

Decimal periódico a fracción

Decimal semiperiódico a

fracción

Adición

Sustracción

Multiplicación

División

Simplificación

Amplificación

Fracciones equivalentes