conjuntos 1

RAZONAMIENTO MATEMTICO 5P

TEORA DE CONJUNTOS

La teora de los conjuntos fue desarrollada recientemente en el siglo XIXpor el matemtico Georg Cantor y se generaliz entre los aos 1970 y1980, aunque fue enseada a nivel terico y abstracto. El estudio de losconjuntos al ser enseada en forma concreta proporciona una buenabase para un buen trabajo en lgebra, lgica y geometra.

Conjuntos:Entendemos por conjunto a la agrupacin, reunin o coleccin de objetos a los cuales se les denominaelementos del conjuntoDe acuerdo a lo ledo, puede decirse que el Colegio Claretiano es un conjunto y los niveles que abarca son suselementos. Cules son? Mencinalos.Notacin:A un conjunto se le denota o se le nombra por las letras maysculas del alfabeto y a sus elementos por letrasminsculas separadas por comas o punto y coma en el caso de nmeros.Representacin de ConjuntosA todo conjunto se le representa encerrado entre llaves: { } (representacin simblica) o a travs del diagramade Venn Euler (representacin grfica), que se trata de curvas simples y cerradas.

Ejemplo:Al grupo de letras de la palabra Carson, las cuales son: c, a, r, s, o, n.Si a este grupo de letras se le representa por "A", se puede escribir lo siguienteA = {c, a, r, s, o, n} El cual se lee:"A" es el conjunto cuyos elementos son: c, a, r, s, o, n.

Si a este conjunto "A" lo representamos a travs del diagrama de Venn Euler, se graficar como


Ya entiendo!Un conjunto cualquiera lo podemos representar

mediante llaves o encerrado por una figura cerrada.

Ejemplo:Representar mediante llaves y el diagrama de Venn Euler al conjunto "B" cuyos elementos son los nmerosimpares menores que 12:Veamos

EjemploRepresentar mediante llaves y el diagrama de Venn Euler al conjunto "C" cuyos elementos son las estacionesdel ao:

Observacin:El conjunto "N" representa el conjunto de los nmeros naturales: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . . . . . . .

Simbologa:

B

En diagrama de Venn:Entre llaves:

B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

C

En diagrama de Venn:Entre llaves:

C = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

: Se lee pertenece. : Se lee no pertenece.= : Igual. : Diferente. : Se lee entonces. : Se lee si y solo si. : Se lee para todo. : Se lee "y". Se lee "o".

Significa es mayor que.< : Significa es menor que.

Se lee incluido. Se lee no est incluido.

Se lee interseccin Se lee unin


RELACIN DE PERTENENCIA

El trmino "pertenece" se denota por "" y "no pertenece" por "". Lo utilizamos para indicar si un elementoes o no elemento de un conjunto, es decir, forma parte del conjunto. Estos smbolos " y , relacionan unelemento con un conjunto.Ejemplo:

Analizando el conjunto "B" tenemos que:La regla a B. Se lee: la regla pertenece al conjunto "BEl pltano a B. Se lee: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

DETERMINACIN DE CONJUNTOS

POR EXTENSINUn conjunto se determina por extensin cuandose nombra o se enumera cada uno de suselementos.Ejemplo: El conjunto "Q" formado por losnmeros pares menores que 10: Q ={2; 4; 6; 8}

POR COMPRENSINEs cuando se nombra una caracterstica comn de un conjunto utilizando para ello el smbolo"x/x", que se lee: "x tal que x:Observemos los casos: Caso I: con letras.

B = {x/x es una vocal} donde los valores de "x" pueden ser:x = a; x = e; x = i; x = o; x = u

se lee: "equis tal que equis es una vocal"

regla escuadra

cuadernolpiz

manzana pera

Bpltano

RAZONAMIENTO MATEMTICO 5P Caso II: con nmeros.

Recordar: guiarse por la "x"x > 8; se lee: "x" mayor que 8.x < 7; se lee: "x" menor que 76 > x; se lee: "x" menor que 6.7 < x; se lee: "x" mayor que 77 < x < 9: se lee: "x" mayor que 7 menor que 9

Ejemplo: A = {3; 4; 5; 6; 7} A = {x/x N, 2 < x < 8}B = {2; 4; 6; 8} B = {x/x N, pares, 0 < x < 9}

Caso III:Ejemplo: P = {(x - 1)/x N, 5 < x 8}Los valores de "x" pueden ser: 6; 7; 8 reemplazando en:

Luego: P = {5; 6; 7}Ejemplo: A = {(20 - 2x) / x N, 4 x < 7}Los valores de "x" pueden ser 4; 5; 6 reemplazando en:

Luego: A = {12; 10; 8}RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

INCLUSINUn conjunto "B" est incluido en un conjunto "A" si todos los elementos de "B" son tambinelementos del conjunto "A". Grficamente, se representa as:

Smbolo: "" se lee incluido; "" se lee no est incluido.Ejemplo:

x - 16 - 1

5

x - 17 - 1

6

x - 18 - 1

7

20 - 2x20 - 2(4)

20 - 812

20 - 2x20 - 2(5)20 - 10

20 - 2x20 - 2(6)20 - 12

10 8

A

BSimblicamente se denota por: B A

Se lee: "B" est incluido en .

es subconjunto de .

est contenido en .

es parte de .

"A"

"B" "A"

"B" "A"

"B" "A"


.4

.1.2

.3

A

B

.5

A B

La relacin de inclusin se da entre conjuntos.

Nota:

F

Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} B = {1; 2; 3; 4; 5}Observemos que todos los elementos del conjunto "A" pertenecen tambin al conjunto "B", por lotanto: A B (A est incluido en "B").Grficamente se representa as:

CLASES DE CONJUNTOS

SEGN SU NMERO DE ELEMENTOS:1. Conjunto Unitario: Es el conjunto formado por un solo elemento. Ejemplo

Sea el conjunto: A = {4}

2. Conjunto Vaco: Es el conjunto que carece de elementos. Se le conoce tambin como conjuntonulo. Se denota por A = A = { }Ejemplo: F = {tringulos de cuatro lados}

F = { } F = Se representa as:

3. Conjunto Finito: Un conjunto es finito cuando el proceso de contar sus elementos puede terminar.Ejemplo: P = {x/x N 8 < x < 36}

4. Conjunto Infinito: Un conjunto es infinito cuando el proceso de contar sus elementos no se puedeterminar.Ejemplo: S = {x/x N} T = {x/x N x es par}Recordar: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; . . .}

A

.4


A.1 .3

.5 .7

.2 .4.6

.8

B

SEGN LA COMPARACIN ENTRE CONJUNTOS5. Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo:

A = {t, i,r, a} y B = {r, i, t, a}

6. Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos "A" y "B" son disjuntos si no tienen ningn elemento comn.Ejemplo: A = {1; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6; 8}

7. Conjunto Universo: Es un conjunto referencial constituido por todos los elementos queintervienen en el conjunto. Al conjunto Universo se le denota por U y grficamente se lerepresenta por un diagrama rectangular.Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {piuranos}; B = {limeos}; C = {tacneos}El conjunto Universo es: U = {peruanos}

A.t .i.a

.r

B

A

piuranos

B

limeos

C

tacneos

U

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