conimera 2 - función de energía para estabilidad transitoria sein

XVII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA, ELÉCTRICA Y RAMAS AFINES (CONIMERA 2007), Lima-Perú

1

Resumen—En este trabajo se presenta el

marco conceptual para el análisis de estabilidad transitoria, usando métodos directos basados en funciones de energía. Particularmente, método PEBS (Potencial Energy Boundary Surface) fue escogido porque presenta diversas ventajas de orden práctico. La metodología fue implementada en un programa computacional validado en sistemas de prueba IEEE, como el IEEE17, para finalmente ser aplicado al análisis de estabilidad transitoria del Sistema Eléctrico Interconectado Nacional (SEIN). Los resultados del método son comparados con los obtenidos por simulación en el dominio del tiempo, ello permitió distinguir las ventajas y limitaciones aun existentes para el uso de estos métodos en la operación de sistemas de potencia.

Palabras llave—Sistemas eléctricos de

potencia, estabilidad transitoria, simulación en el dominio del tiempo, función de energía, Sistema Eléctrico Interconectado Nacional.

I. INTRODUCCIÓN ESDE 1920, la estabilidad de sistemas de potencia fue un problema importante para la operación segura de los sistemas de

potencia [1]. Muchos de los grandes blackouts (apagones) causados por la inestabilidad de los sistemas de potencia ilustraron la importancia de este fenómeno [2].

Históricamente, la estabilidad transitoria (o del ángulo del rotor a grandes perturbaciones) fue el problema dominante en muchos sistemas, y ha sido el foco de atención de la industria preocupada por la dinámica de los sistemas. Una de las herramientas más utilizadas para análisis de estabilidad transitoria es la simulación numérica en el dominio del tiempo (método indirecto) [3]. En la búsqueda de metodologías alternativas a dichos métodos (llamados métodos indirectos), se propusieron métodos como los

E-mails: Manfred F. Bedriñana Aronés y V. Leonardo

Paucar Casas: {manfred.bedrinana, Lpaucar}@ieee.org. Roberto Ramírez R. Arcelles: [email protected]. El primer autor desea agradecer a la fundación brasileña FAPESP por el soporte económico.

directos e híbridos. Los primeros, basados en las funciones de Lyapunov o de energía transitoria, son las ofrecen las mejores soluciones para el análisis de estabilidad transitoria de sistemas de potencia reales [4].

Los métodos directos se caracterizan por tomar un camino de decisión de estabilidad/inestabilidad por medio del cálculo de un número simple, tal como un índice de estabilidad transitoria (IET). Este puede indicar cualitativamente si el sistema es estable o no y, si es estable, medir cuantitativamente el margen de estabilidad. En el método directo basado en las funciones de energía, frecuentemente, el IET es definido como la energía crítica del sistema calculada para un determinado disturbio. Como consecuencia, esta información resulta útil para la operación del sistema, pues, permite determinar las medidas necesarias para eliminar la falla con el objetivo que se recupere la estabilidad.

Las funciones de energía transitoria presentan diversas ventajas de orden práctico en la determinación del IET para el análisis eficiente y directo de la estabilidad transitoria de sistemas de potencia. Este método posee actualmente fundamentos teóricos sustentados, sin embargo, algunos aspectos todavía se encuentran en discusión. Por lo tanto, se puede argumentar que el método, después de cuatro décadas de investigación, sigue siendo una promesa para la evaluación de la seguridad dinámica.

II. ESTABILIDAD TRANSITORIA DE SISTEMAS DE POTENCIA

La estabilidad de sistemas de potencia es similar a cualquier otro sistema dinámico y tiene fundamental apoyo matemático.

A. Definición de Estabilidad Actualmente (de acuerdo con [11]) la

estabilidad transitoria electromecánica, es definida como la habilidad del sistema de potencia en mantener el sincronismo cuando es sujeto a perturbaciones severas, tal como

Método Directo basado en Funciones de Energía para Análisis de Estabilidad Transitoria del Sistema Eléctrico Interconectado SEIN

D

Dr. V. Leonardo Paucar Casas Departamento de Ingeniería de Electricidad – DEE

Universidade Federal do Maranhão – UFMA São Luis - Brasil

M.Sc. Manfred F. Bedriñana Aronés Departamento de Sistemas de Energía Eléctrica – DSEE

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP São Paulo - Brasil

Ing. Roberto R. Ramírez Arcelles Comité de Operación Económica del Sistema – COES

Lima - Perú


2

un corto-circuito sobre una línea de transmisión. La respuesta del sistema resultante envuelve grandes excursiones del ángulo del rotor y es influenciada por la no linealidad de la relación potencia ángulo.

La estabilidad transitoria electromecánica1, depende del estado de operación inicial del sistema y la severidad de la perturbación. La inestabilidad se presenta usualmente como una separación angular aperiódica o monotónica debido al insuficiente torque sincronizante, manifes-tándose como una “inestabilidad de primera oscilación”.

Entretanto, en sistemas de potencia de grande porte, la inestabilidad transitoria resulta de la superposición de modos de oscilación ínter-área lentos y un modo de oscilación local (planta), causando una gran excursión del ángulo del rotor.

B. Formulación Matemática General Sobre condiciones de operación normal,

todas las máquinas síncronas funcionan a velocidad síncrona. Si ocurre una perturbación, las máquinas comenzaran a oscilar y su dinámica, en general, será gobernada de acuerdo con el siguiente conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer orden:

)( ux,fx =& (1) donde: x : Vector de variables de estado, las

cuales definen una condición de operación del sistema. Este contiene variables asociadas a los generadores síncronos y sus controladores.

u : Vector de variables de control o entrada, como: tensiones terminales y potencia mecánica de generadores.

f(·) : Funciones no lineales que representan las ecuaciones dinámicas del generador.

Sin perder generalidad, la formulación (1) es implícita en el tiempo, así el sistema resultante es denominado “autónomo”.

C. Métodos de Solución Según como es abordado (1) tenemos los

siguientes métodos de solución: • Método indirecto: simulación numérica en

el dominio del tiempo. • Métodos directos: técnicas basadas en

funciones de Lyapunov o energía.

1 También llamado como “estabilidad angular a

grandes perturbaciones” y en adelante se usará el término “estabilidad transitoria”.

III. MODELO DEL GENERADOR SÍNCRONO ASOCIADO A ESTABILIDAD TRANSITORIA

Este artículo no pretende desarrollar toda la exhaustiva justificación para construir los modelos detallados del generador síncrono, sino, sólo aborda modelos básicos que permitirán el desarrollo de la metodología.

A. Generador Síncrono En la Fig. 1 se muestra la representación

de un generador síncrono de polos salientes. El ángulo mecánico del rotor θ es definido entre el eje del rotor y la referencia fija (eje magnético del circuito aa´).

Eje del Rotor

Eje de Referencia

Entrehierro

Plano devanado

aa’

Rotor

Estator

Fig. 1. Representación del generador síncrono de polos salientes.

B. Modelo Eléctrico en Régimen Transitorio Este modelo es ampliamente conocido

como “modelo de tensión constante detrás de la reactancia transitoria” y asume como despreciable la saliencia transitoria (x’d = x’q). El comportamiento del sistema de excitación no puede ser estudiado con este modelo. En la Fig. 2 se muestra este modelo.

Fig. 2. Modelo eléctrico de tensión constante detrás de reactancia transitoria para el generador síncrono.

De la Fig. 2, vemos que: Va, Ia : Tensión y corriente terminal del

generador, respectivamente (en p.u.). x’d : Reactancia transitoria de eje directo (en

p.u.), disponibilizado por los fabricantes.

E : Tensión interna transitoria (en p.u.), comúnmente calculada a partir de las condiciones de pre-perturbación.

δ : Ángulo de potencia, en grados eléctricos2.

2 Los grados eléctricos son obtenidos al multiplicar los

grados mecánicos por el número de pares de polos.


3

Físicamente, el δm (ángulo de potencia en grados mecánicos), representa el ángulo formado entre el eje central del rotor y el eje generado por el flujo total en el entrehierro, llevando en cuenta el efecto de reacción de armadura. Esto puedo apreciarse en la Fig. 3.

Eje del flujo de entrehierro

Eje del rotor

Fig. 3. Interpretación física del ángulo δm.

C. Modelo Dinámico y Ecuación de Oscilación

Los modelos dinámicos deben ser definidos de acuerdo a los transitorios observados en la máquina, los cuales básicamente son de naturaleza electrome-cánica envolviendo oscilaciones en el ángulo del rotor.

En estado estacionario, el ángulo mecánico del rotor θ se incrementa uniformemente en el tiempo, es decir θ = ωmst + θ0, donde: θ0 : Ángulo inicial del rotor (en rad.). ωms : Velocidad angular mecánica (en rad/s)

a frecuencia síncrona, igual a 2πfs(2/p). p : Número de pares de polos. fs : Frecuencia eléctrica síncrona o nominal

del sistema, igual a 50 o 60 Hz. t : Tiempo (en segundos).

Durante el régimen transitorio, el ángulo del rotor no se incrementa uniformemente. El movimiento del rotor se describe como [12]:

( ) ( )ttt ms θθωθ Δ++= 0 (2) donde: Δθ(t) : Es el incremento angular que es

adicionado al movimiento rotatorio constante (en rad).

Comúnmente se analiza la dinámica del ángulo del rotor respecto a una referencia rotatoria síncrona. Para ello, el ángulo δm es acoplado a θ de la siguiente forma3: δm = θ0 + Δθ – π/2. En el caso que Δθ = 0, entonces δm es constante e igual a θ0 – π/2. Por otra parte, si Δθ varía entonces δm varía en la misma razón.

A partir de la ecuación (2) y la definición de δ (en grados eléctricos) tenemos:

sdtd ωωδ

−= (3)

donde: ω : Velocidad angular eléctrica (en rad/s)

del rotor, es decir ω = (p/2) dθ/dt.

3 La inclusión de π/2 en la expresión es para alinear el fasor de la tensión interna transitoria a un ángulo de δ grados a partir de la referencia rotatoria del sistema.

ωs : Velocidad angular eléctrica (en rad/s) a frecuencia síncrona, igual a 2π fs.

Bajo las leyes fundamentales de la mecánica rotacional, el movimiento de la máquina síncrona (expresado en grados eléctricos) es representado como:

Dgms

PPPdtdH

−−=2

22 δω

(4)

donde: H : Constante de inercia de la máquina (en

segundos). Típicamente este valor está entre 1 – 10 segundos.

Pm : Potencia mecánica de entrada (en p.u.), no considera pérdidas rotacionales.

Pg : Potencia eléctrica (en p.u.), considera pérdidas eléctricas en la máquina. Pg es la potencia obtenida en el entrehierro.

PD : Potencia de amortiguamiento (en p.u.). La ecuación (4) es llamada “ecuación de

oscilación”, ello debido a su naturaleza oscilatoria en el tiempo.

IV. ESTABILIDAD TRANSITORIA DE SISTEMAS DE POTENCIA MULTIMÁQUINAS

En esta sección se desarrollará el modelo clásico para el análisis de estabilidad transitoria de sistemas multimáquinas.

A. Modelo Clásico Es usado para periodos de tiempo en los

cuales el comportamiento dinámico del sistema depende fuertemente de la energía almacenada en las inercias rotacionales. Este modelo es el más usado en estabilidad transitoria y requiere una mínima cantidad de datos, sin embargo, es limitado para el estudio del transitorio de periodos de tiempo en orden de 1 a 2 segundos. Usualmente, este tipo de análisis es llamado de “primera oscilación”.

Las suposiciones realizadas para el desarrollo de este modelo son [13]: i) La potencia mecánica de entrada de cada

máquina síncrona es constante (Pm cte). ii) El amortiguamiento o acción de la potencia

asíncrona es despreciado (PD = 0). iii) Las máquinas síncronas están

representadas eléctricamente por el modelo de fuente de tensión detrás de una reactancia transitoria.

iv) El movimiento del rotor de cada máquina síncrona (relativa a una referencia rotatoria síncrona) es analizado usando el ángulo δ.

v) Las cargas son representadas por impedancias constantes. La suposición ii) puede ser relajada

asumiendo características lineales de amortiguamiento. En la ecuación de oscilación (4) se definide la potencia de


4

amortiguamiento como PD = D dδ/dt, donde D es el coeficiente de amortiguamiento, en p.u.-s/rad. Para máquinas típicas D´ (en p.u.) está entre 1–2.

En la suposición iii), el modelo de generador es igual al desarrollado en la sección II-B. La fuente de tensión constante E∠δ es determinada por las condiciones iniciales, es decir, por la operación en estado estacionario pre-falla. Durante el transitorio la magnitud E es mantenida constante, mientras la variación del ángulo δ es gobernada por las ecuaciones (3) y (4).

La suposición v) trata con la representación de las cargas como impedancias constantes, lo cual es realizado usualmente por simplicidad. Esta suposición permite eliminar las ecuaciones algebraicas de la red y reducir el sistema de ecuaciones del sistema multimáquina a un sistema conformado sólo de ecuaciones diferenciales.

Considerando todas las suposiciones, se derivan todas las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un sistema de potencia multimáquina. Las suposiciones permiten una representación del sistema de potencia de acuerdo con la Fig. 4 para un sistema de n generadores. Los nodos 1, 2, …, n son los nodos internos de las máquinas. Estos son los nodos ficticios donde son aplicadas las tensiones E∠δ. La red de transmisión, junto con los transformadores son modelados como impedancias conectadas entre barras. Las cargas son modeladas como impedancias conectadas entre una barra de carga y el nodo de referencia.

Red de Transmisión

Sistema de n generadores

Nodo de Referencia

m Cargas de impedancia

constante

Fig. 4. Representación del sistema multimáquina para el modelo clásico usado en estabilidad transitoria.

B. Sistema de Ecuaciones Diferenciales La expresión de potencia eléctrica

(potencia activa) para la máquina i será:

( )∑≠=

++=n

ijj

ijijijijiiigi DsenCGEP1

2 cosδδ (5)

donde: ijjiij BEEC = ; ijjiij GEED = ;

jiij δδδ −= . Las ecuaciones (3) y (4), asociadas a n

máquinas, representan el conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales de primer orden, así tenemos:

nidt

d

Pdt

dDP

dtd

M

sii

gii

imii

i

,...,2,1=−=

−−=

ωωδ

δω

(6)

donde: Mi es el momento de inercia (en pu-s2/rad.), igual a 2Hi /ωs. Para representar los sistemas en falla y post-falla, Cij y Dij son recalculados en cada situación y substituidos en la ecuación (5).

C. Simulación en el Dominio del Tiempo Se pueden utilizar diversas técnicas de

integración numérica para obtener soluciones en el tiempo de δi y ωi (i=1, 2, …, n máquinas) usando el conjunto de ecuaciones diferenciales definidas en (6).

Como ejemplo, es analizada la estabilidad transitoria del sistema IEEE17. Este sistema está conformado por 17 generadores, 162 barras, 284 ramos y 89 cargas que totalizan 15387 MW y 1175 MVAr de potencia activa y reactiva, respectivamente. Fue adoptado como sistema de prueba padrón IEEE en la referencia [13] y es un equivalente del sistema eléctrico del estado de Iowa de los Estados Unidos. En la Fig. 5 se muestra el diagrama unifilar de la red en 345 kV de este sistema.

Fig. 5. Diagrama unifilar de la red principal en 345 kV del sistema de prueba IEEE17 (17 generadores, 162 barras)

Los eventos para análisis son: • Evento 1 en t = 0: Se produce una falla

trifásica en la línea ubicada entre las barras 75–9, próxima a la barra 75.

• Evento 2 en t = tcl: Eliminación de la falla al abrir la línea 75–9, con tcl = 0.354 s. Es usada una frecuencia síncrona de 60

Hz con amortiguamiento despreciable (Di = 0) en los generadores. El tiempo máximo de


5

simulación es 1.4 segundos. En la Fig. 6 son muestran los resultados de la simulación numérica en el dominio del tiempo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-50

0

50

100

150

200

Tiempo [s]

δ (V

alor

Rel

ativ

o al

Gen

#9)

[deg

]

SISTEMA IEEE17 (17 generadores, 162 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 75, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 75 - Barra 9, en t = 0.354 s

Gen # 12 (Barra 121)Gen # 10 (Barra 114)Gen # 16 (Barra 130Gen # 5 (Barra 73)Gen # 6 (Barra 76)

Fig. 6. Simulación numérica en el dominio del tiempo, con tcl = 0.354 s., sistema IEEE17

Las curvas de oscilación δi y ωi fueron colocados en valores relativos al generador 9 para su fácil comparación con la referencia [13]. En la Fig. 7 se muestran los resultados de simulación numérica extraídos de la referencia [13], así se comprueba la similitud de resultados y se concluye que el programa computacional implementado responde en forma confiable y precisa a la evaluación de la estabilidad transitoria mediante la simulación numérica en el dominio del tiempo. Para tcl = 0.354 s. el sistema es calificado de “inestable” debido a que el ángulo relativo del generador 12 (barra 121) diverge.

Fig. 7. Simulación numérica en el dominio del tiempo, con tcl = 0.354 s., sistema IEEE17, extraído de [13].

V. MÉTODOS DIRECTOS BASADOS EN FUNCIONES DE ENERGÍA

En esta sección se desarrolla el marco introductorio para los métodos directos basados en funciones de energía.

A. Aspectos Generales de Estabilidad El comportamiento dinámico del sistema

de potencia bajo perturbaciones puede ser

descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

( )( ) 0xx

xfx==

≤<=0

0)()(t

tttt clF&

(7)

( ) cltttt >= )()( xfx& (8) x(t) es el vector de variables de estado del

sistema en el tiempo t. En el periodo de pre-falla -∞<t≤0, el sistema esta posicionado en un estado estacionario, así que x(t=0)=x0 es conocido. En t=0, ocurre una falla en el sistema. Durante 0<t≤tcl, llamado periodo de falla, el sistema es gobernado por las ecuaciones fF. Cuando la falla es eliminada en t=tcl, la dinámica del sistema post-falla es representada por f.

Las condiciones iniciales de (8) son x(tcl), las cuales son calculadas como la solución del sistema en el periodo de falla (7) en t=tcl. Desde otro punto de vista, la solución de (7) provee en cada instante de tiempo posibles condiciones iniciales para (8). Asumimos que (8) tiene un punto de equilibrio estable xs. La pregunta es si la trayectoria x(t) de (8) con condición inicial x(tcl) convergerá a xs cuando t→∞. El valor mayor del tcl, para que la condición anterior se mantenga verdadera, es llamado de “tiempo crítico de eliminación de la falla” tcr.

B. Método de Lyapunov En 1892, A. M. Lyapunov, en su famosa

disertación de Ph.D. [14], propuso que la estabilidad del punto de equilibrio de un sistema dinámico no lineal de dimensión n

)(xfx =& ; 00f =)( (9) puede ser comprobado sin integración numérica. Él dice que, si existe una función escalar V(x) para (9) definida positiva, es decir V(x) > 0 alrededor del punto de equilibrio “0” y de derivada dV(x)/dt < 0, entonces el punto de equilibrio es asintoticamente estable. La condición dV(x)/dt < 0 puede ser relajada a dV(x)/dt ≤ 0, garantizando que dV(x)/dt no desaparezca a lo largo de alguna otra solución con excepción de x = 0.

V(x) es realmente una generalización del concepto de la energía de un sistema. Desde 1948, cuando los resultados de Lyapunov aparecieron en lenguaje inglés, junto con algunas aplicaciones potenciales, hubo mucha literatura alrededor de este tópico. La aplicación del método de la función de energía a la estabilidad de sistemas de potencia comienza con el trabajo inicial de Magnusson y Aylett, seguida por una aplicación más extensa del método de Lyapunov por El-Abiad y Nagappan.


6

Aunque muchas funciones diferentes Lyapunov han sido tratadas desde entonces, la primera integral de movimiento, la cual es la suma de las energías cinética y potencial, parece haber proporcionado el mejor resultado. En la literatura de sistemas de potencia, el método de Lyapunov ha llegado a ser el sinónimo del método de función de energía y ha sido aplicado exitosamente. Hoy, esta técnica, es considerada una herramienta práctica en la evaluación de seguridad dinámica.

C. Región de Atracción y Tiempo Crítico Si tenemos una estimación precisa de la

región de atracción del punto de equilibrio estable post-falla (SEP: Stable Equilibrium Point) xs, entonces tcr es obtenido cuando la trayectoria del sistema comienza a salir de la región de atracción. En la Fig. 8 se muestra este concepto en un sistema de dos dimensiones.

Trayectoria en la falla Trayectoria post-falla

Fig. 8. Región de atracción y cálculo del tiempo crítico de eliminación

La construcción de la región de atracción de un sistema dinámico genérico no lineal no es fácil. No es, en general, una región cerrada. En el caso de sistemas de potencia con modelos simples (modelo clásico), la caracterización de esta región ha sido discutida teóricamente en la literatura. La región de estabilidad consiste de superficies pasando a través de los puntos de equilibrio inestables (UEP: Unstable Equilibrium Point) de (8). Podemos describir el interior de la región de atracción del sistema post-falla a través de una inecuación del tipo V(x)<Vcr, donde V(x) es la función de Lyapunov o función de energía asociada a (8). V(x) es generalmente la suma de la energía potencial y la energía cinética del sistema post-falla. El cálculo de Vcr, llamada energía crítica, es diferente para cada falla y es un paso difícil.

D. Métodos Directos basados en Funciones de Energía

Dentro de las técnicas actuales existen básicamente dos tendencias, las cuales sufren continuamente cierto número de variaciones, estas son:

• Método de la Superficie Frontera de Energía Potencial (PEBS: Potencial Energy Boundary Surface) [7]

• Método del UEP de Control. Aquí existen tres principales variantes:

o El primer método fue propuesto por Athay [5] y considera una trayectoria de falla aproximada para calcular el UEP de control. Es válido para la estabilidad de primera oscilación y no es aplicable en sistemas reales.

o El segundo método es llamado BCU (Boundary of stability region based Controlling UEP) fue propuesto por Chiang [8]. Actualmente viene siendo discutido y se demostró que aun presenta ciertas problemas [9].

o El tercero es llamado método de sombreamiento (shadowing) y fue propuesto en [10], presenta mejores resultados con respecto al BCU.

VI. MÉTODO PEBS PARA SISTEMAS MULTIMÁQUINAS

El método PEBS es generalmente usado para el cálculo de Vcr en análisis de estabilidad debido a la dificultad en identificar el correcto UEP de control. En esta sección se presenta el marco conceptual de este método aplicado a sistemas multimáquinas.

A. Formulación del Centro de Inercia En esta formulación el ángulo del centro

de inercia (COI) es usado como referencia desde que representa el “movimiento promedio” del sistema. El sincronismo de todas las máquinas es juzgado examinando los ángulos referenciados sólo al COI en lugar de los ángulos relativos a una máquina. La literatura moderna usa la formulación del COI.

Los ángulos y las velocidades en el COI son definidos como:

i

m

ii

T

MM

δδ ∑=

=1

01 ; ∑

=

=m

iii

To M

M 1

1 ωω (10)

donde: ∑ ==

m

i iT MM1

. Luego se transforman las variables δi, ωi

para la referencia del COI como: oiioii ωωωδδθ −=−= ~;

La ecuación de oscilación (6) en el COI, asumiendo Di=0, se tiene:

( )

( ) mifPMM

DCPdt

dM

iCOIT

i

n

ijj

ijijijijii

i

,...,1

cossin1

2

2

=≡−

+−= ∑≠=

θ

θθθ

(11)

donde: ijimii GEPP 2−= ;


7

ij

m

i

m

ijij

m

iiCOI DPP θcos2

1 11∑ ∑∑

= +==

−= .

Se considera el caso general en el cual todas las Mi son finitas. Para los sistemas de falla y post-falla, tenemos dos conjuntos de ecuaciones diferenciales:

( ) dF

ii

i ttfdt

dM ≤<= 0~

θω

midt

di

i ,...,2,1,~ == ωθ (12)

( ) dii

i ttfdt

dM >= θω~

midt

di

i ,...,2,1,~ == ωθ (13)

B. Función de Energía Transitoria Anterior a 1979, hubo una investigación

considerable relacionada a la construcción de funciones Lyapunov para el sistema (8) usando el modelo de espacio de estados. Sin embargo, las funciones analíticas de Lyapunov pueden ser construidas sólo si las conductancias de transferencia son cero, es decir Dij=0. A partir de esto, las primeras integrales de movimiento del sistema son construidas, y estas son llamadas “funciones de energía”.

Derivamos la función de la energía transitoria para un sistema conservativo, es decir, con amortiguamiento despreciable Di=0. Desde (13) tenemos, para i=1,…,m:

( ) ( ) m

m

m

mm df

dMdf

dMdtωθω

ωθω

~~

...~~

1

1

1

11 ====θθ

(14)

Integrando el par de ecuaciones para cada máquina entre el SEP post-falla ( )0,s

iθ hasta un ( )ii ωθ ~, resulta:

( ) ( ) iiiii dfMV i

si

θωθ

θθωθ ∫−= 2~

21~, (15)

La ecuación (15) es conocida como la función de energía de una máquina individual. Añadiendo a todas las máquinas, se obtiene:

( ) ( )∑∫∑==

−=m

iii

m

iii dfMV i

si11

2~21~, θω

θ

θθωθ (16)

( )

( )

( ) ⎥⎦⎤+

−⎢⎣

⎡−

−−−=

∫

∑ ∑

∑∑

+

+

−

= +=

==

ji

sj

si

jiijij

m

i

m

ij

sijijij

sii

m

ii

m

iii

dD

C

PM

θθ

θθθθθ

θθ

θθω

cos

...coscos

...~21

1

1 1

11

2

(17)

( ) ( )θω PEKE VV += ~ (18)

desde que: 01

=∫∑=

iCOI

m

i T

i dPMM θ .

VKE y VPE son las energías cinética y potencial, respectivamente.

Cuando los ángulos son referidos al centro de inercia el resultado es llamado Función de Energía Transitoria (FET). Esta función, en la notación del COI incluyendo los términos Dij (conductancias de transferencia), fue propuesta primero por Athay en 1979 [5].

C. Caracterización de la PEBS En el caso de los sistemas multimáquina,

la PEBS es una superficie multidimensional pasando a través de los UEPs. Dependiendo de la localización y naturaleza de la falla, el sistema puede perder el sincronismo debido a que una o más máquinas tienden rápidamente a la inestabilidad. Por tanto, cada perturbación genera un modo de inestabilidad (MOI: Mode of Instability). Asociado a cada MOI tenemos un UEP al cual se llamará UEP de control. Un número finito de UEPs rodea el SEP del sistema post-falla. Si se empieza en el SEP pre-falla, el sistema puede ser integrado en el periodo de falla hasta eliminarla en el tiempo crítico, así la trayectoria post-falla teóricamente deberá alcanzar un UEP particular. Este es llamado UEP de control asociado a dicha perturbación.

La PEBS de un sistema multimáquina es interpretada como un pozo potencial multidimensional. Para el sistema de prueba definido en [5] (3 máquinas), la PEBS es un pozo potencial como se muestra en la Fig. 9 donde los ejes son los ángulos del rotor θ1, θ2 de dos máquinas (referenciados al COI), el eje vertical representa VPE(θ). Se muestran contornos equipotenciales, como también tres UEPs denotados U1, U2, U3. La línea punteada que conecta los UEPs es ortogonal a las curvas equipotenciales, la cual a su vez es la PEBS (una curva). Si en el instante de eliminación de la falla el estado del sistema, en el espacio de ángulos, cruza el PEBS entonces el sistema es inestable. Si la falla es eliminada para evitar el cruce del PEBS, la trayectoria post-falla en el espacio de ángulos tenderá a retornar al punto de equilibrio estable eventualmente, debido al amortiguamiento del sistema. El tiempo de eliminación crítico tcr se define como el instante de tiempo en el cual la trayectoria post-falla permanece dentro del pozo potencial.

D. Fundamentos del Método PEBS Sea θu el UEP de control de una

perturbación , teóricamente se demuestra que Vcr es igual a VPE(θu). En el método PEBS, para encontrar Vcr se observa la trayectoria en el periodo de falla hasta que cruza la PEBS


8

en el punto θ*. En muchos casos, θu esta próximo de θ*, de manera que Vcr ≈ VPE(θ*). Esta es la esencia del método PEBS.

ÁNGULO GENERADOR 1 (REFERIDO AL COI)

1θ

ÁNGULO GENERADOR 2 (REFERIDO AL COI)

2θ

Fig. 9. Superficie frontera de energia potencial (PEBS), extraído de [5].

Una pregunta clave aquí es como detectar el cruce de la PEBS. Esto sucede en punto en el cual VPE(θ) es máximo a lo largo de la trayectoria de falla, entonces Vcr puede ser tomado como VPE

max(θ). El cruce de la PEBS también puede ser calculado como el punto donde f T(θ) (θ – θs)=0. f(θ) es la potencia de aceleración en el sistema post-falla.

En los últimos años, el método de cruce del PEBS ha sido la base para implementar nuevos algoritmos. En este trabajo se explica el algoritmo básico del método PEBS.

E. Algoritmo del Método PEBS Los pasos para calcular tcr son: θs.

i) Calcular el SEP post-falla θs. ii) Calcular la trayectoria de falla en (12). iii) Supervisar f T(θ) (θ – θs) y VPE(θ) en cada

paso de tiempo. Los parámetros f (θ) y VPE(θ) pertenecen al sistema post-falla.

iv) Dentro del pozo potencial f T(θ) (θ – θs)<0. Continuar los pasos ii) y iii) hasta f T(θ) (θ – θs)=0. Este es el cruce del PEBS y en este punto, encontrar VPE(θ*). Esta es una buena estimación de Vcr por falla.

v) Encontrar ( ) crVV =ωθ ~, en la trayectoria de falla. Esto da una buena estimación de tcr. Uno puede reemplazar los pasos iii) y iv)

monitoreando cuando VPE alcanza el valor máximo, y es tomado como Vcr.

VII. RESULTADOS EN SISTEMAS DE POTENCIA La metodología fue aplicada al sistema

WSCC (9 barras, 3 generadores) y el Sistema Interconectado Nacional Peruano SEIN (460 barras, 50 generadores).

A. Sistema WSCC En la Fig. 10 se muestra el sistema WSCC.

1) Simulación en el Dominio del Tiempo: Fueron definidos los siguientes eventos: • Evento 1 en t = 0: Se produce una falla

trifásica en la línea ubicada las barras 5–7 próxima a la barra 7.

• Evento 2 en t = tcl: Eliminación de la falla al abrir la línea 5–7, en tcl=0.0833 s. (5 ciclos).

BARRA 1 (Slack)

Carga A125.0 MW 50.0 MVAr

Carga B 90.0 MW 30.0 MVAr

Carga C100.0 MW 35.0 MVAr

GENERADOR 1

1mP = 71.6 MW

1H = 23.64 s

1'dx = j 0.0608

BARRA 2 BARRA 3

BARRA 4

BARRA 5 BARRA 6

BARRA 7

BARRA 8

BARRA 9

GENERADOR 3

3mP = 85.0 MW

3H = 3.01 s

3'dx = j 0.1813

GENERADOR 2

2mP = 163.0 MW

2H = 64.00 s

2'dx = j 0.1198

cc – 3ø

Fig. 10. Sistema WSCC, 9 barras y 3 generadores.

Para el cálculo de tcr se realizaron simulaciones en el dominio del tiempo con tiempos eliminación desde tcl1 = 0.10 s hasta tcl2 = 0.20 s., con paso de 0.01 s. Los resultados son mostrados en la Fig. 11, los ángulos son colocados en valores relativos al COI, aquí el tiempo crítico tcr está entre 0.16 (estable) – 0.17 (inestable) s., exactamente tcr es 0.168 s.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-100

-50

0

50

100

150

200

Tiempo [s]

δ (V

alor

Rel

ativ

o al

CO

I) [d

eg]

SISTEMA WSCC3 (3 generadores, 9 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 7, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 5 - Barra 7

Gen # 1Gen # 2Gen # 3

Fig. 11. Cálculo de tiempo crítico, sistema WSCC.

2) Método PEBS: En la Fig. 12 se muestran las energías total y potencial del periodo de falla sostenida. La energía crítica aproximada es 1.147 p.u., obteniendo un tiempo crítico de 0.186 s.. En este caso el tiempo crítico calculado por el método PEBS es próximo y mayor que el tiempo crítico real (0.165 s.) calculado en la simulación en el dominio del tiempo. Realmente se debe calcular la energía crítica exacta usando el UEP de control, este a su vez es determinado


9

mediante métodos más exhaustivos los cuales aun permanecen en desarrollo e investigación. En este caso Vcr exacto resulta en 0.908 p.u.

En la Tabla I se obtiene la margen de energía transitoria (ΔMET) para tcl1 = 0.16 s. y tcl2 = 0.17 s.. El método PEBS calculó ambas ΔMET resultando estas positivas, es decir, el sistema es clasificado como estable, además obtenemos una medida de la distancia hacia la frontera de estabilidad. Con la energía exacta podemos calcular nuevas ΔMET, así para tcl2 = 0.17 s. la ΔMET resulta negativa, coincidiendo con la clasificación obtenida en la simulación numérica en el dominio del tiempo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.30

0.5

1

1.5

2

Tiempo [s]

Ener

gia

Tran

sito

ria [p

.u.]

SISTEMA WSCC3 (3 generadores, 9 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 7, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 5 - Barra 7

VCR-PEBS = 1.1472, tex = 0.351 s.

tcr = 0.186 s.

VPE

VTOTAL

Fig. 12. Resultados del método PEBS, sistema WSCC.

TABLA I RESULTADOS DE ΔMET, SISTEMA WSCC

0.16 0.17 0.35

i # Barra (rad) (deg) (rad) (deg) (rad) (deg)1 1 -0.2240 -12.86 -0.2430 -13.93 -0.7370 -42.232 2 0.6870 39.35 0.7460 42.74 2.4300 139.223 3 0.3030 17.34 0.3230 18.50 0.6230 35.67

PEBS 0.819 p.u. 0.935 p.u. 1.147 p.u.0.328 p.u. 0.212 p.u.

Exacto 0.819 p.u. 0.935 p.u. 0.908 p.u.0.089 p.u. -0.027 p.u.

Identificaciónde Generador cl

iθ exiθcl

iθ=clt =clt =ext

( ) =θV=ΔMET

( ) =θV=ΔMET

3) Comportamiento de las Energías

Transitorias: En las Fig. 13 y 14 se muestran las energías transitorias para la falla con eliminación de la línea en tcl1 = 0.16 s. y tcl2 = 0.17 s., respectivamente. En el periodo post-falla la energía total se mantiene constante debido que el sistema es conservativo (amortiguamiento despreciable). Para tcl1 = 0.16 s., se observa que la energía total en el instante de eliminación de la falla es menor que la energía crítica Vcr = 0.908 p.u. (calculado en forma exacta), el sistema es calificado como estable. Para tcl2 = 0.17 s., la energía total en el instante de eliminación de la falla es mayor que Vcr; el sistema es calificado como inestable.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo [s]

Ener

gia

Tran

sitor

ia [p

.u.]

SISTEMA WSCC3 (3 generadores, 9 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 7, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 5 - Barra 7, en t = 0.16 s

VCR = 0.908

VKE

VPE

VTOTAL

Fig. 13. Energías transitorias tcl1=0.16 s., sistema WSCC.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo [s]

Ener

gia

Tran

sitor

ia [p

.u.]

SISTEMA WSCC3 (3 generadores, 9 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 7, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 5 - Barra 7, en t = 0.17 s

VCR = 0.908

VKE

VPE

VTOTAL

Fig. 14. Energías transitorias tcl2=0.17 s., sistema WSCC.

B. Sistema SEIN El SEIN es el sistema eléctrico de potencia

interconectado que une casi todos los centros de consumo del Perú, con excepción de algunos sistemas aislados. Posee un nivel máximo de tensión de 220 kV a 60 Hz. Se seleccionó la configuración y operación en la semana operativa 42 del 2006 (Lunes 16/10/2006), para el bloque horario de media demanda (8–18 h.). Este sistema está conformado por 50 generadores en servicio (55 fuera de servicio), 460 barras (37 nodos ficticios4), 542 ramos en servicio (14 fuera de servicio: 2 transformadores y 12 líneas de transmisión) y 204 cargas en servicio que totalizan 2959.61 MW y 1033.32 MVAr de potencia activa y reactiva, respectivamente.

1) Simulación en el Dominio del Tiempo: Se define el siguiente caso de análisis: • Evento 1 en t = 0: Se produce un falla

trifásica a tierra en la línea L-6640 de 66 kV ubicada entre las barras 272–368 (barra 272: S.E. Tacna, barra 368: S.E. Los Héroes) próxima a barra 272 (ver Fig. 15).

4 El nodo ficticio es el punto central del modelo de

impedancias equivalentes asociado a los transformadores de tres devanados (primario, secundario y terciario).


10

• Evento 2 en t = tcl: Eliminación de la falla al abrir la línea L-6640, en tcl1=0.2 y tcl2=0.4 s.

Falla cc – 3ø

Fig. 15. Localización de falla en el sistema SEIN.

Los resultados de la simulación numérica para tcl1 = 0.2 s. y tcl2 = 0.4 s. son mostrados en las Figuras 16 y 17, respectivamente. Para tcl1 = 0.2 s. el sistema es calificado como “estable” debido a que los ángulos relativos no divergen. Para tcl2 = 0.4 s. el sistema es calificado como “inestable” debido a que diversos generadores pierden el sincronismo. Cabe resaltar que el generador equivalente 45 (Central Machu Picchu 10.5 kV) va primero a la inestabilidad, luego los generadores equivalentes 20 (Central Mantaro 13.8 kV), 14 (Central Restitución 13.8 kV) y 22 (Central Yaupi 13.8 kV) oscilan luego que el primero, llevando al sistema a la inestabilidad.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo [s]

δ (V

alor

Rel

ativ

o al

CO

I) [d

eg]

SISTEMA SEIN50 (50 generadores, 460 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 272, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 272 - Barra 368, en t = 0.2 s

Fig. 16. Simulación en el dominio del tiempo tcl1 = 0.2 s., sistema SEIN.

2) Método PEBS: En la Fig. 18 se muestran las energías total y potencial del periodo de falla sostenida para el caso de análisis. La energía crítica aproximada es 0.337, así el tiempo crítico es 0.344 s.. Este tiempo crítico

está dentro de los intervalos previstos por el método de simulación numérica, es decir, el método predijo con precisión el tiempo crítico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Tiempo [s]

δ (V

alor

Rel

ativ

o al

CO

I) [d

eg]


Fig. 17. Simulación en el dominio del tiempo tcl2 = 0.4 s., sistema SEIN.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo [s]

Ener

gia

Tran

sito

ria [p

.u.]

SISTEMA SEIN50 (50 generadores, 460 barras) Evento 1: cc-3φ en la Barra 272, en t = 0 s Evento 2: Eliminación de cc-3φ con salida de línea: Barra 272 - Barra 368

VCR-PEBS = 0.33777, tex = 0.558 s.

tcr = 0.344 s.

VPE

VTOTAL

Fig. 18. Resultados del método PEBS, sistema SEIN.

En la Tabla II se muestra sólo parte de los ángulos θ usados para calcular la ΔMET, para cada tiempo de eliminación. La ΔMET en tcl1 = 0.2 s. es positivo, es decir el sistema es clasificado como estable y a una distancia de 0.20 p.u. (medido en energía) de la frontera de estabilidad. Para tcl2 = 0.4 s. la ΔMET es negativa y el sistema es inestable. Ello coincide con la clasificación de la estabilidad dada con la simulación en el dominio del tiempo. Se pueden llevar a cabo medidas preventivas para mejorar la estabilidad y, estas, pueden ser evaluadas usando la ΔMET, que es el índice de estabilidad transitoria más adecuado dentro de los métodos directos basados en funciones de energía transitoria.

3) Comportamiento de las Energías

Transitorias: En las Fig. 19 y 20 se muestran las energías transitorias para tcl1 = 0.2 s. y tcl2 = 0.4 s., respectivamente. Para tcl1 = 0.2 s., se observa que la energía total en el instante de


11

eliminación de la falla es menor que la energía crítica Vcr = 0.34 p.u. (energía crítica del método PEBS), así el sistema es calificado como estable. Para tcl2 = 0.4 s., se observa que la energía total es mayor que Vcr, así el sistema es inestable. Para este caso la energía cinética aumenta indefinidamente provocando la pérdida de sincronismo.

TABLA II

RESULTADOS DE ΔMET, SISTEMA SEIN 0.20 0.40 0.56

i # Barra (rad) (deg) (rad) (deg) (rad) (deg)1 7 -0.5740 -32.90 -0.7580 -43.46 -0.9920 -56.852 24 0.3440 19.72 0.1920 10.99 0.0280 1.593 29 0.1520 8.68 -0.0020 -0.11 -0.1590 -9.144 39 -0.3610 -20.70 -0.4340 -24.89 -0.4780 -27.385 40 -0.3610 -20.67 -0.4340 -24.84 -0.4770 -27.326 42 -0.3580 -20.53 -0.4100 -23.52 -0.4400 -25.197 43 0.4920 28.20 0.4240 24.30 0.3990 22.878 44 -0.2500 -14.33 -0.3200 -18.35 -0.3580 -20.499 47 -0.4880 -27.95 -0.5880 -33.70 -0.6490 -37.19

10 50 -0.2330 -13.37 -0.2810 -16.09 -0.3060 -17.53

Identificaciónde Generador cl

iθ exiθcl

iθ=clt =clt =ext

41 294 -0.0080 -0.47 0.2500 14.35 0.4400 25.1942 296 0.0440 2.52 0.3150 18.04 0.5090 29.1843 304 0.9290 53.24 1.4480 82.99 1.8990 108.7844 308 0.2920 16.73 0.5770 33.03 0.7680 43.9845 351 1.1600 66.46 1.8470 105.82 2.6620 152.5346 383 -0.0360 -2.06 -0.1210 -6.94 -0.1730 -9.9347 399 0.1670 9.59 0.0270 1.56 -0.1060 -6.0648 408 0.0830 4.77 0.0310 1.77 -0.0060 -0.3249 414 -0.7470 -42.83 -0.9680 -55.46 -1.2740 -73.0250 423 -0.3260 -18.68 -0.3900 -22.33 -0.4300 -24.63

0.137 p.u. 0.421 p.u. 0.337 p.u.0.200 p.u. -0.084 p.u.

( ) =θV=ΔMET

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo [s]

Ener

gia

Tran

sito

ria [p

.u.]


VCR = 0.34

VKE

VPE

VTOTAL

Fig. 19. Energías transitorias tcl1 = 0.2 s., sistema SEIN.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo [s]

Ener

gia

Tran

sito

ria [p

.u.]


VCR = 0.34

VKE

VPE

VTOTAL

Fig. 20. Energías transitorias tcl2 = 0.4 s., sistema SEIN.

VIII. CONCLUSIONES En el presente artículo se presenta la

técnica PEBS (Potencial Energy Boundary

Surface), la cual fue desarrollada e implementada en un programa computacional. La eficacia y eficiencia de este método fue comprobada a través la aplicación de la metodología en sistemas de prueba como: WSCC, IEEE17. También fueron usados sistemas reales como el SEIN. Ello permitió entender las ventajas y limitaciones aun existentes para el uso de estos métodos en la operación a tiempo real. Se analizó la estabilidad de sistemas de potencia sin necesidad de realizar extensos y extenuantes simulaciones en el dominio del tiempo. Estos, por cierto, no siempre son confiables debido a que dependen de la experiencia y percepción del especialista.

REFERENCIAS [1] C. P. Steinmetz, “Power control and stability of

electric generating stations”, AIEE Transactions, vol. XXXIX, Part II, pp. 1215–1287, July 1920.

[2] G. S. Vassell, “Northeast blackout of 1965”, IEEE Power Engineering Review, pp. 4–8, Jan. 1991.

[3] P. Kundur, “Power System Stability and Control”, New York: McGraw - Hill, 1994.

[4] M.A. Pai, Power System Stability – Analysis by the Direct Method of Lyapunov, North Holland Publishing Company, 1981.

[5] T. Athay, R. Podmore and S. Virmani, “A practical method for the direct analysis of transient stability”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol.98, no.2, pp.573-584, Mar./Apr. 1979.

[6] A. A. Fouad and V. Vittal, “Power System Transient Stability Analysis Using the Transient Energy Function Method”, Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs, 1992.\

[7] N. Kakimoto, Y. Ohsawa, M. Hayashi, “Transient stability analysis of electric power systems via Lure-type Lyapunov functions, Parts I y II”, Transactions IEE of Japan, No.98, May./Jun. 1978.

[8] H. D. Chiang, F. F. Wu, P. P. Varaiya, “Foundations of direct methods for power system transient stability analysis”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, CAS-34, pp.160-173, Feb. 1987.

[9] A. Llamas, J. de la Ree Lopez, L. Mili, A. G. Phadke and J. S. Thorp “Clarifications of the BCU method for transient stability analysis”, IEEE Transactions on Power Systems, vol.10, No.1, pp.210-219, February 1995.

[10] R. T. Treinen, V. Vittal and W. Kliemann, “An improved technique to determine the controlling unstable equilibrium point in a power system”, IEEE Transactions on Circuits and Systems – I: Fundamental Theory and Applications, vol.43, No.4, pp.313-323, April 1996.

[11] P. Kundur, et al., “Definition and classification of power system stability”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol.19, pp.1387-1401, 2004.

[12] A. R. Bergen and V. Vittal, “Power Systems análisis”, Prentice Hall, Second Edition, Upper Saddle River, New Jersey, 2000.

[13] IEEE Committee Report, “Transient stability test systems for direct stability methods”, IEEE Transactions on Power Systems, vol.7, no.1, pp.37-43, Feb. 1992.

[14] A. M. Lyapunov, “The General Problem of the Stability of Motion”, (first published in 1892) translated and edited by A.T. Fuller and published by Taylor & Francis, 1992.


12

Manfred F. Bedriñana Aronés Bachiller en Ingeniería Eléctrica e Ingeniero Electricista (1er alumno) en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI), Lima-Perú, en 2000. Magíster con mención a Ingeniería Eléctrica en la Universidade Federal do Maranhão (UFMA), São Luís-Brasil, en 2003. Actualmente es candidato al grado de Doctor en Ingeniería Eléctrica de la Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), São Paulo-Brasil. Realizó diversos proyectos de consultaría para empresas de distribución, transmisión y generación en Perú y Brasil, en las áreas de regulación tarifaria, operación y planeamiento de sistemas de potencia. Sus áreas de investigación son: mercados eléctricos y evaluación de la seguridad en sistemas de energía eléctrica. V. Leonardo Paucar Bachiller e Ingeniero Electricista (1er alumno) por la Universidad Nacional del Centro del Perú (UNCP), Magíster en Ciencias de la Ingeniería por la Pontificia Universidad Católica de Chile (PUC-Ch) y Doctor en Ingeniería Eléctrica por la Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Brasil. Ha sido Profesor Principal en la Universidad Nacional de Ingeniería, antegrado y Postgrado de la FIEE. Su experiencia profesional incluye la realización de proyectos de investigación y consultorías para empresas del sector eléctrico e industrial (Proyectos recientes, Brasil: ELETRONORTE, CEMAR, ALUMAR, CNPq; Peru: ENERSUR) en el área de planeamiento y operación, mercados eléctricos, desarrollo de software y aplicaciones de inteligencia artificial. Ha realizado publicaciones en revistas y congresos a nivel nacional e internacional. Actualmente es profesor investigador asociado a la UFMA, Brasil. Es Senior Member del IEEE. Roberto Ramírez Arcelles Bachiller en Ingeniería Eléctrica (1978), Ingeniero Electricista (1982) y Postgrado en Sistemas Eléctricos de Potencia (1990) en la Universidad Nacional de Ingeniería (Lima, Perú). Profesor Principal de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad Nacional de Ingeniería, en cursos de Máquinas Eléctricas y Estabilidad de Sistemas de Potencia. Ha asistido a numerosos cursos dictados en el extranjero, entre los que destacan: Operación y Control de Sistemas Eléctricos de Potencia (Universidad Autónoma de Nuevo León, México 2003), Estudios de Transitorios Electromagnéticos utilizando el Software DIgSILENT PowerFactory (Sede de DIgSILENT, Gomaringen, Alemania, 2005) y Reactive Power for Planning and Operation (Pórtland-Oregon, EEUU, 12-13-14 de 2006). Expositor en los CONIMERAS VI (1982), IX (1988), X (1991), XI (1993), XII (1995) y XIII (1999) y calificado para exponer en los respectivos CONIMERAS. Jefe del Departamento de Estudios de Sistemas Eléctricos en la consultora CESEL S.A. INGENIEROS desde 1996 a 2002, a cargo de diversos estudios de operación y planificación del sistema eléctrico nacional peruano. Actualmente trabaja como Especialista en el Comité de Operación Económica del Sistema Interconectado Nacional (SEIN) del Perú. Es el Coordinador de los Comités de Estabilidad y Rechazo de Carga del SEIN. Sus áreas de interés son: estabilidad, compensación reactiva y control de tensión, control de frecuencia en sistemas eléctricos de potencia.

conimera 2 - función de energía para estabilidad transitoria sein

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