LO BÁSICO DE LAS

CÓNICAS

Y ALGO MÁS.

JORGE A. SOLAR GONZÁLEZ *

* Profesor de Carrera, Titular, Nivel C, de Tiempo Completo, Definitivo,

de la División de Ciencias Básicas, de la Facultad de Ingeniería UNAM.

INTRODUCCIÓN

Con la finalidad de coadyuvar al cumplimiento de los objetivos de la Academia

de la asignatura “CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA”, y acorde con lo

hablado con la M.I. María Sara Valentina Sánchez Salinas, entonces

Responsable de dicha Academia (y actualmente Jefa de la Sección Académica

de Cálculo y Geometría Analítica), el semestre 2016-1 me dispuse a elaborar un

manuscrito, que pudiera contribuir tanto a la enseñanza como al aprendizaje del

TEMA I, de la asignatura recién citada, cubriendo tanto partes teóricas (tratando

en lo posible de tener un estilo personal) como partes prácticas (donde presento

ejercicios por mí diseñados y resueltos, que contienen algunas partes y

desarrollos que (generalmente) no incluyen textos tradicionales, pero que, desde

mi punto de vista, pueden contribuir a un proceso enseñanza-aprendizaje idóneo,

del citado TEMA I).

Como el programa de asignatura correspondiente sólo señala 08 horas/ semana,

por semestre, para la impartición y tratamiento de los contenidos del Tema I,

teniendo ello en cuenta, el manuscrito antes mencionado lo desarrollé en 23

páginas. Adicionalmente señalaré que, la asignatura recién citada se impartió por

vez primera a los alumnos de primer ingreso de la Generación 2016, de la

Facultad de Ingeniería UNAM, quienes cursaron su primer semestre en la

División de Ciencias Básicas (DCB), de dicha Facultad.

En el semestre 2016-2, y también con la finalidad mencionada al inicio de esta

introducción, congruentemente con lo acordado con el entonces Responsable de

la citada Academia, el Ing. Francisco Barrera García, me dispuse a elaborar

una versión más amplia (capturada ésta mediante computadora) de lo

contenido en el manuscrito, realimentándolo con algunas adiciones y

modificaciones que le hice. Me es muy grato mencionar que, todas las figuras

de esta versión, (es decir 30, que tuvieron como base croquis hechos por mí)

fueron elaboradas empleando computadora por mi buen amigo el Ing.

Casiano Aguilar Morales, sin esperar algo a cambio de ello; esta versión, que

constó de 69 páginas en total (o sea el triple de las empleadas en el manuscrito),

incluyó 09 ejercicios resueltos, aunque carecía de ejercicios propuestos.

En el año lectivo 2017, acorde con lo hablado con el Fís. Sergio Roberto

Arzamendi Pérez, entonces Responsable de la Academia de Cálculo y

Geometría Analítica, me dispuse a intentar una versión más completa que la

citada en el párrafo inmediato anterior, de manera que, a la fecha de esta

introducción, en la nueva versión, a la que he llamado “LO BÁSICO DE LAS

CÓNICAS Y ALGO MÁS”, al ir releyendo el material de la versión del párrafo

inmediato anterior, lo realimenté en diversas partes, reescribiendo algunas de

ellas, y le hice adiciones a otras, pasando de las 69 páginas y 09 ejercicios

resueltos, a 120 páginas y 21 ejercicios (resueltos), con sus resoluciones clara y

detalladamente presentadas (al menos a mi parecer).

Además, en esta nueva versión incluí un conjunto de 18 ejercicios propuestos, así

como una sección conformada por las respuestas a lo solicitado, en todos y cada

uno de esos ejercicios, incluyendo gráficas relacionadas con dichas respuestas,

así como algunos comentarios que, desde mi punto de vista son tanto pertinentes

como interesantes.

Debido a lo recién descrito, el material actual contiene numeración diferente

(tanto en los números correspondientes a ejemplos, como en los que

corresponden a pies de figura), con relación a lo que antes se tenía, tanto

específicamente (ejemplos y pies de figura), como en diversas partes del texto

(donde se hacía referente a cierto ejemplo, o a una determinada figura; los

ejemplos resueltos iban del 1.1 al 1.9, en tanto que ahora van del 1.1 al 1.21.

Todas las figuras que contiene el material, a la fecha, incluyendo de texto y de

ejercicios resueltos, 42 a la fecha (figuras que han tenido como base croquis

hechos por mí) han sido elaboradas, empleando computadora, por mi buen amigo

el Ing. Casiano Aguilar Morales.

Antes de concluir esta introducción, deseo dar mis más sinceras gracias, y

expresar mi cabal reconocimiento, por el muy valioso apoyo que me han

ofrecido, y me han venido dando, tanto al Fís. Sergio Roberto Arzamendi

Pérez, como al Ing. Casiano Aguilar Morales, excelentes académicos,

amigos y compañeros de trabajo.

Finalmente, con la intención de mejorar este material mucho les agradeceré,

amables lectores, nos hagan llegar sus comentarios, relacionados con

diversas partes del mismo, así como sus indicaciones acerca de algunos

errores, que involuntariamente se hayan cometido y ustedes hayan

detectado. Para cualquier cosa relacionada con este trabajo pueden contactarme

en el cubículo 15 de la Coordinación de Ciencias Aplicadas, de la DCB, o bien vía

correo electrónico a la dirección jorge_sol_g@yahoo.com.mx

ATENTAMENTE

Ciudad Universitaria, D, F., CD MX, a 31 de julio de 2017

Ing. Jorge Alfonso Solar González

Profesor de Carrera, Titular, Nivel “C”, Tiempo Completo, Definitivo,

División de Ciencias Básicas, Facultad de Ingeniería, UNAM

LO BÁSICO DE LAS

CÓNICAS Y ALGO MÁS.

Í N D I C E

1. SECCIONES CÓNICAS ………………………………… 1

1.1 Definición de sección cónica Clasificación de las cónicas. …….. 1

1.2 Ecuación general de las cónicas …………………………………….. 3

1.3 Identificación de los tipos de cónica a partir de los coeficientes

de la ecuación general (de las cónicas) y del indicador I tal que

2 4 I B AC ……………………………………………………………….. 5

1.4 Ecuaciones de las cónicas en su forma ordinaria …………………. 5

1.4.1 Ecuaciones de una circunferencia en forma ordinaria ………….. 5

1.4.2 Ecuaciones de una parábola en forma ordinaria …………………. 13

1.4.3 Ecuaciones de una elipse en forma ordinaria (incluyendo

algo acerca de “Traslación de ejes”, en páginas 44 a 47)………… 34

1.4.4 Ecuaciones de una hipérbola en forma ordinaria ………………….. 55

1.5 Rotación de ejes de referencia …………………………………………… 86

1.6 Ejercicios propuestos ……….……………………………… 96

1.7 Soluciones de los ejercicios propuestos ….………………… 102 a 121

1

1 SECCIONES CÓNICAS

OBJETIVO: El alumno reafirmará los conocimientos de las secciones cónicas.

1.1 Definición de sección cónica. Clasificación de las cónicas.

Considérese un sistema de referencia OXY alojado en un plano donde también se

alojan un punto cualquiera ,x yP , un punto fijo F llamado foco, y una recta

fija llamada directriz (L ) como se muestra en la figura 1.1, donde 0P es un punto

de L (directriz) que se localiza sobre una perpendicular a esta recta, y que pasa

por P , por lo que la distancia de P a L estará dada por 0PP , en tanto que la

distancia de P al foco estará dado por PF .

Figura 1.1

Con base en lo anterior, definiremos como SECCIÓN CÓNICA, o simplemente

CÓNICA, al lugar geométrico correspondiente a P , de modo que la distancia de

P al foco, dividida entre la distancia de P a la directriz, resulte siempre una

constante positiva que, comúnmente, es llamada excentricidad, y

simbolizada mediante e , tal que: e0

PF

PP … DE .

2

Acorde con el valor que tiene su excentricidad, las CÓNICAS suelen clasificarse

en:

a) Parábolas , cónicas para las cuales 1e ,

b) Elipses , cónicas que tienen 1e , y en,

c) Hipérbolas , cónicas que poseen 1e ,

aunque hay unas cónicas muy especiales, denominadas circunferencias, que no

se enlistan en la clasificación recién presentada.

El llamarles SECCIONES CÓNICAS o simplemente CÓNICAS obedece a que,

geométricamente, dichas curvas pueden generarse cortando con un plano (ya sea

virtual o real) a un cono circular recto, según se ilustra en las figuras 1.2, 1.3 y

1.4 .

Parábola Elipse Hipérbola

Figura 1.2 Figura 1.3 Figura 1.4

Como puede intuirse, ya que el cono y el plano que lo corta (en diferentes

posiciones) son de extensión infinita: las parábolas y las hipérbolas son cónicas

3

abiertas (es decir, de extensión infinita), mientras que, tanto las elipses como las

circunferencias son cónicas cerradas, de extensión finita.

Las circunferencias pueden generarse geométricamente al cortar a un cono,

circular recto, con un plano (real o virtual) perpendicular al eje geométrico del

cono. Por ejemplo, cuando los ejes geométricos de los conos estén en posición

vertical, los planos que corten al cono serán horizontales, y las circunferencias

generadas estarán alojadas en dichos planos.

1.2 Ecuación general de las cónicas

Teniendo en cuenta que, para obtener la ecuación cartesiana de cualquiera de las

cónicas, habrá que partir de la expresión e 0

PF

PP .. DE , antes establecida

aquí, puede afirmarse que la ecuación general de las cónicas, en forma

cartesiana, es:

2 2 0 ...x xy y x y EGC A B C D E F .

donde , , ,yA , B , C, D E F son (números reales) constantes, con 0, , 0o A C .

En efecto, al considerar una directriz dada por 1 1 1 0x y A B C , donde 1A ,

1 1, yB C son (números reales) constantes, con 1 10, 0 A B , si el foco de la

cónica es F( Fx , Fy ), al ser ,x yP un punto cualquiera de dicha curva ,

teniendo en cuenta la expresión DE , así como expresiones de la geometría

analítica plana mediante las cuales puede obtenerse la distancia entre dos puntos

(para este caso la distancia entre P y F), y la distancia entre un punto y una recta

(en este caso la distancia de P a la directriz), puede establecerse la igualdad:

4

e

2 2

2 2

1 1 1 1 1

F Fx x y y

x y

A B C A B,

de donde es factible obtener:

e 1 1 1 x yA B C = 2 2

F Fx x y y 2 2

1 1A B ,

con base en lo cual puede escribirse que:

2e 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 12 ) (2 2 ) x xy y x y(A A B B C A C B C =

= 2 22 2

2 2F F F Fx xx x y yy y

2 2

1 1

A B , y realizando operaciones;

2 2 22 2 2 2

1 1 1 12e x e xy e y A A B B + 2 2 22

1 1 1 1 12 2e x e y e C A C B C =

= 22

2 2 2

1 1 12F Fx x x x A A A22

2 2 2

1 1 12F Fy y y y + A A A +

+ 22

2 2 2

1 1 12F Fx x x x B B B22

2 2 2

1 1 12F Fy y y y + B B B ,

igualdad que factorizando algunos términos, y agrupando otros, da lugar a:

2 2

2 2 2

1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) (2 ) ( )e x e xy e y A A B A B B A B +

+ 2 2 2 2 2 2

1 1 1 11 1 1 1

2 2 2 2(2 ) (2 ) F F F Fe x x x e y y yC A A B C B A B +

+ 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1

2

1( )F F F Fe x y x y C A A B B = 0 ,

5

lo cual, teniendo en cuenta que tanto los coeficientes de 2

x , xy , 2

y , x , y y ,

como 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1

2

1( )F F F Fe x y x y C A A B B , son constantes, puede escribirse

así :

2 2 0 ... x xy y x y EGCA B C D E F ,

expresión que al inicio de este subtema mencionamos como ecuación general de

las cónicas, en forma cartesiana.

1.3 Identificación de los tipos de cónica a partir de los coeficientes de la

ecuación general (de las cónicas) y del indicador I (también conocido

como discriminante) tal que 2 4 I B AC .

Dicha identificación será muy sencilla de realizar teniendo en cuenta la tabla 1.1,

aquí mostrada.

INDICADOR I : I = 0 I < 0 I > 0 Sin importar el valor ( de I ),

cuando A = C ≠ 0, y, B = 0.

CÓNICA: Parábola Elipse Hipérbola Circunferencia

Tabla 1.1

1.4 Ecuaciones de las cónicas en su forma ordinaria

Iniciaremos este subtema estableciendo ecuaciones cartesianas que

describen a las circunferencias, ya que son las cónicas cuyas ecuaciones

representativas son más fáciles de obtener.

6

1.4.1. Ecuaciones de una circunferencia en forma ordinaria.

Dando por hecho que, se define a una circunferencia como el lugar geométrico

de los puntos ubicados en un plano, de manera que dichos puntos equidistan

de un punto fijo llamado centro, también ubicado en el plano recién

mencionado, enseguida estableceremos la ecuación de una circunferencia de

radio R con centro en el punto ,h kC , del plano XY, como se muestra en

la figura 1.5, donde ,x yP es un punto cualquiera de la circunferencia

descrita.

Figura 1.5

Por definición de circunferencia deberá cumplirse que CP = R, es decir que:

2 2

x h y k = R ,

igualdad de donde es factible obtener:

2 2 2( ) x h y k R …

2FO C ,

7

expresión que se conoce como Segunda forma ordinaria de la ecuación de una

circunferencia con centro en el punto ,h kC y radio R .

Obviamente, tratándose de circunferencias con centro en el origen dicho

centro se expresaría como 0,0C , y en la ecuación inmediata anterior,

2FO C , tanto h como k tomarían el valor cero, con lo cual se tendría:

2 2 2 x y R … 1

FO C ,

igualdad conocida como Primera forma ordinaria de la ecuación de una

circunferencia con centro C en el origen, es decir 0,0C , y radio R .

Ejemplo 1.1

Sea una circunferencia CIR1 definida por la ecuación 2 2 4 6 12 0.x y x y

Con base en ello:

a) Determine la ecuación en forma general de la circunferencia CIR2 ,

concéntrica con CIR1 , cuyo diámetro sea igual al doble del diámetro de

CIR1, y, .

b) Represente ambas circunferencias en un solo gráfico.

Resolución.

a) A partir de la ecuación que define a CIR1 es factible obtener:

2 24 4 6 9 12 4 9x x y y , y, 2 2 22 3 (1) x y ,

o sea que el radio de dicha circunferencia es igual a 1 (uno), en tanto que

su centro es C1( -2, 3), debido a lo cual el radio de CIR2 es R2 = 2(1) = 2,

correspondiendo a esta circunferencia la ecuación: 2 2 2

2 3 2 x y ,

de donde puede obtenerse: 2 2 4 6 9 0x y x y ,

que es la ecuación que se pidió determinar.

b) La representación gráfica pedida se muestra en la figura 1.6

8

Figura 1.6

Ejemplo 1.2

Considérense dos circunferencias, una de radio 5 que tiene centro en el

origen, y una de radio igual a 10, con centro en C2 (12, - 9). Teniendo

en cuenta lo descrito, proporcione las ecuaciones, en forma ordinaria, de esas

circunferencias.

Después de ello, compruebe que ambas circunferencias son tangentes y

proporcione las coordenadas del punto de tangencia entre ambas cónicas.

Resolución.

Teniendo en cuenta la expresión 1

FO C puede decirse que la ecuación, en

forma ordinaria, de la circunferencia de radio 5 es 2 2 2(5) x y , es decir:

2 2 25 x y … ①,

que es una de las ecuaciones que se pidió proporcionar.

Con base en la expresión 2

FO C puede establecerse que la ecuación, en

forma ordinaria, de la circunferencia de radio 10 es:

9

2 2 212 9 (10) x y , o sea:

2 2

12 9 100 x y … ②,

que es la segunda, de las dos ecuaciones, que se pidió proporcionar.

Para comprobar que las circunferencias dadas son tangentes, haremos ver

que sólo existe un punto cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente las

ecuaciones ① y ②. Las veces que las circunferencias dadas se corten, las

coordenadas de dos puntos (diferentes) cumplirán simultáneamente esas

ecuaciones; cuando que las circunferencias no se toquen, no habrá punto

cuyas coordenadas cumplan tanto la ecuación ① como ②.

La expresión ② puede escribirse en la forma:

2 2 24 18 125 0 x y x y … ③ ; si llevamos ① a ③ obtenemos:

25 24 18 125 0 x y , 18 24 150 y x , y, 4 25

3

xy … ④ ;

al llevar ④ a ① , se tiene:

2

2 4 2525

3

xx , igualdad equivalente a: 2 29 (4 25) 9(25) x x ,

de dónde, después de realizar algunas operaciones, resultan:

2 29 16 200 625 225 x x x , y,

225 200 400 0 x x , ecuación equivalente a:

2 8 16 0 x x , misma que puede escribirse como:

4 4 0 x x , la cual tiene como raíz doble a: 4x … ⑤,

valor que llevado a ① da lugar a: 2 24 25 y , 2 9y , y, 3 y ,

o sea que H(4, 3) y T(4, - 3) son puntos cuyas coordenadas cumplen la

ecuación ①.

10

No obstante lo recién descrito, mencionaremos que, después de sustituir las

coordenadas de H y de T en el primer miembro de ②, y desarrollar

operaciones, se obtienen respectivamente:

para H: 2 2

4 12 3 9 64 144 210 100 , y,

para T: 2 2

4 12 3 9 64 36 100 ,

de lo cual se infiere que las coordenadas de T cumplen la ecuación de la

circunferencia de radio 10, pero las (coordenadas) de H no cumplen dicha

ecuación, debido a lo cual las circunferencias de este ejemplo sólo tienen un

punto común, que es T, quedando así comprobado que dichas

circunferencias son tangentes, precisamente en T(4, - 3). Véase figura 1.7 .

Figura 1.7

11

Se sugiere al lector comprobar que la distancia entre los centros de estas

circunferencias resulta igual a la suma de los radios de las mismas, lo cual

también hace ver que dichas cónicas son tangentes.

Ejemplo 1.3

Considerando una circunferencia definida por , citada

como CIR1 en el ejemplo 1.1 de este material) determine ecuaciones cartesianas

que definan circunferencias tangentes a la definida, de modo que cada una de

ellas tenga un radio igual a cuatro (4) unidades, y su centro esté ubicado en la

parte negativa del eje X . Luego de ello represente a las cónicas que intervienen

en este ejemplo.

Resolución.

A partir de la ecuación que define a CIR1 es factible obtener:

2 24 4 6 9 12 4 9x x y y , y, 2 2 22 3 (1) x y ,

o sea que el radio de dicha circunferencia es igual a 1 (uno), en tanto que su

centro es C1 ( - 2, 3),

a) Considerando a C3 (x3, 0) como el centro de CIR3 , es decir de una de las

circunferencias de radio 4 (cuatro) cuya ecuación se pidió determinar, no

estando punto alguno de CIR1 dentro de CIR3 , la distancia entre C3 y C1

valdría R1 + R3, es decir 1 + 4 , o sea 5 unidades, pudiendo escribir:

2

3

22 3 0x = 5 ,

igualdad que se cumple para 3

22 x = 25 – 9 = 16 , o sea para

3 2 4X , es decir para 3 6X , y 3 2X , o sea para 3 6X , y

3 2X , que es menor que cero, valor que no puede formar parte de la solución

del problema, por lo que CIR3 tendrá centro en C3 (- 6, 0).

2 2 4 6 12 0x y x y

12

Entonces puede establecerse que la forma ordinaria de la ecuación de CIR3 es

2 2 26 0 (4) x y , de donde fácilmente puede obtenerse:

2 2 12 20 0x y x ,

que es una de las ecuaciones que se pidió determinar.

b) Considerando ahora a C4 (x4, 0) como el centro de CIR4 , es decir de la otra

de las circunferencias de radio 4 (cuatro) cuya ecuación se pidió determinar, no

estando todos los puntos de CIR4 (excepto el de tangencia) fuera de CIR1 , la

distancia entre C4 y C1 valdría R4 + R1, es decir 4 - 1 , o sea 3 unidades,

pudiendo escribir:

2 2

4 2 0 3x = 3 ,

igualdad que se cumple para 2

4 2x + 9 = 9 , o sea para 4 2X , por lo que

CIR4 tendrá centro en C4 (- 2, 0), debido a lo cual puede decirse que la forma

ordinaria de la ecuación de CIR4 es 2 2 22 0 (4) x y , de donde fácilmente

puede obtenerse:

2 2 4 12 0x y x ,

que es la otra de las ecuaciones que se pidió determinar.

La representación solicitada para las cónicas que intervienen en este ejemplo

puede apreciarse en las figuras 1.8 y 1.9.

13

Figura 1.8

14

Figura 1.9

1.4.2. Ecuaciones de una parábola en forma ordinaria.

La parábola es una cónica abierta (de excentricidad igual a uno), que a la vez

es una curva plana, misma que definiremos como el lugar geométrico de los

puntos que equidistan de un punto fijo comúnmente llamado foco (F ) y una

recta fija llamada directriz (L ), puntos ubicados en un plano, como el XY de

la figura 1.10, donde ,x yP es un punto cualquiera de la parábola, y,

,h kV es conocido como vértice de dicha cónica, en tanto que " "p es la

distancia (siempre positiva) de V al foco, y, para que la excentricidad (e )

sea igual a 1, " "p también es la distancia (positiva) de V a la directriz, es

decir A' V en la figura recién citada.

Adicionalmente a esto mencionaremos que V (punto de la parábola que está

más cerca de L ) está ubicado sobre el llamado eje focal de la parábola, que

es una recta perpendicular a L , que pasa por ( , )h p kF , es decir por el foco.

15

Figura 1.10

Como la distancia entre ,x yP y ( , )h p kF debe ser igual siempre a la

distancia entre P y L , teniendo en cuenta la figura 1.10, podemos

establecer que debe cumplirse: PA P F , o sea:

2 2

p x h x p h y k , por lo que:

2 2 22 22 2p p x h x h x h p x h p y k ,

de dónde resulta: 2

4p x h y k , o bien

2

4y k p x h … 2 hd

FO P ,

igualdad que comúnmente se conoce como segunda forma ordinaria de la

ecuación de una parábola “horizontal” cuyas ramas abren hacia la derecha,

con vértice en ,h kV , con eje focal paralelo al eje X , p VF , con foco

ubicado a la derecha de V (a una distancia “ p ”), lo cual implica ,h p kF ,

16

directriz (L ) paralela al eje Y , ubicada a la izquierda de V , a una distancia

p de éste, y una cuerda de magnitud igual a 4 p , denominado ancho focal

(ver figura 1.11), cuerda que es perpendicular al eje focal y que pasa por el

foco, es decir por F .

Figura 1.11

En efecto, para los puntos f y *f de abscisa igual a la del foco, o sea h p ,

con base en2 hd

FO P se tiene:

2 2 2 24 , 4 , , y k p h p h y k p y

2 , y k p lo que se cumple para: 2 fy k p y , y, *2

fy k p y ,

teniéndose: , 2 f h p k p , y,.. * , 2 f h p k p , lo que

implica:

*     4ancho focal f f p … AF .

Procediendo de manera similar a la empleada para llegar a obtener la

expresión 2 hdFO P puede llegar a obtenerse la igualdad:

2

4y k p x h …2 hi

FO P ,

17

expresión que corresponde a la comúnmente conocida como la segunda forma

ordinaria de la ecuación de una parábola “horizontal”, cuyas ramas abren hacia

la izquierda, con vértice en ,h kV , eje focal (paralelo al eje X ) que pasa por

F ,h p k y por V , directriz L paralela al eje Y, ubicada a la derecha de

V , definida por x h p , y un ancho focal igual a 4 p , según se muestra en

la figura 1.12 , donde f y *f son los extremos del ancho focal.

Figura 1.12

Ejemplo 1.4

Dada la cónica de ecuación 2 4 12 44 0y y x … © :

18

a) Lleve esa igualdad a una de las segundas formas ordinarias de la ecuación

de una parábola.

b) Diga donde se encuentra su vértice ( V ) y cuál es la longitud de su ancho

focal; además, obtenga: la distancia de V al foco (F ) y a la directriz (L ),

las coordenadas de F , y una ecuación que defina a la directriz de la

curva.

c) Determine las coordenadas de los puntos extremos del eje focal (el punto

f y el *f ) de la curva dada, y las de los puntos M y N donde ésta

corta al eje Y; después de ello, represente gráficamente a la cónica de

este ejemplo, haciéndola pasar por V así como por los cuatro puntos

recién citados.

Resolución.

a) La ecuación dada puede escribirse en la forma

2 4 12 44y y x , y completando cuadrados:

2 4 4 12 44 4y y x , igualdad que da lugar a la expresión:

2

2 12 4 y x … (E),

la cual es una segunda forma ordinaria de la ecuación de una parábola,

del tipo: 2

4y k p x h 2 hi

FO P .

b) Teniendo en cuenta (E) y 2 hi

FO P puede decirse que, a la parábola

de este ejemplo corresponde lo siguiente:

, , 4, 2 h k donde h kV ;

4 12p = longitud ancho focal; 4 3, 2 F , o sea 1, 2F , y directriz

definida por: , : 4 3 x h p es decir por x , o por 7x , o bien por

la ecuación 7 0x , ya que 2 hi

FO P corresponde a una parábola

cuyas ramas abren hacia la izquierda, con foco ubicado “ p ” unidades a

19

la izquierda de V , así como una directriz también ubicada a “ p ”

unidades, pero a la derecha de V .

c) Procediendo en forma similar a la seguida para obtener lo expresado en

AF , puede establecerse que , 2 f h p k p , y,. * , 2 f h p k p ,

son los puntos extremos del eje focal de las parábolas definidas por

2 hiFO P

lo que implica que, para la parábola de este ejemplo se tengan:

4 3, 2 6 f , y,.. * 4 3, 2 6 f , es decir: 1 , 4f y * 1 , 8f ,

con lo cual quedan determinadas las coordenadas pedidas, de los puntos

extremos del eje focal.

Como además se pidió obtener las coordenadas de los puntos M y N ,

donde la curva dada corta al eje Y , esas coordenadas las

determinaremos con base en que dichas coordenadas deben cumplir la

ecuación cartesiana © por medio de la cual se definió a la cónica (de este

ejemplo), o bien la ecuación (E), que también define a dicha cónica,

teniendo en cuenta que la abscisa de ambos puntos vale cero, debido a

que dichos puntos pertenecen al eje Y.

Al hacer 0x , en (E), obtenemos: 2

2 4 8 , 2 6 . 9 3 , y y

teniéndose:

2 6.93 4.93 : My y por loquesetiene M 0 , 4.93 ,

2 6.93 8.93 : y y lo que implicaN N 0 , 8.93 ,

quedando así definidas las coordenadas de M y de N , que se pidieron.

Para terminar este ejemplo, acorde con lo pedido, se representó

gráficamente la cónica, de este ejemplo, haciéndola pasar por , , , f fM V

y N , según puede apreciarse en la figura 1.13 .

20

Figura 1.13

Enseguida estableceremos otras dos formas ordinarias de la ecuación de una

parábola.

Procediendo en forma similar a la seguida para llegar a la expresión 2 hd

FO P ,

es factible obtener:

2

4x h p y k … var2 FO P ,

expresión conocida como segunda forma ordinaria de ecuación de una parábola

cuyas ramas abren hacia arriba, con vértice en ,h kV distante " "p tanto de su

21

foco F como de su directriz L , con eje focal paralelo al eje Y , su foco arriba

de V , su directriz localizada abajo del vértice, y un ancho focal de magnitud igual

a 4 p , como se ilustra en la figura 1.14 .

Figura 1.14

De proceder similarmente a lo hecho para obtener la expresión 2

hiFO P , es

posible establecer:

2

4x h p y k …2

vabFO P ,

22

expresión que comúnmente se conoce como segunda forma ordinaria de la

ecuación de una parábola cuyas ramas abren hacia abajo, como la mostrada en la

figura 1.15; es decir, con vértice en ,h kV distante " "p tanto de su foco F

como de su directriz L , con su eje focal paralelo al eje Y , su foco localizado

abajo de V , su directriz ubicada arriba del vértice, y un ancho focal de magnitud

igual a 4 p .

Figura 1.15

Ejemplo 1.5

Determine la segunda forma ordinaria de la ecuación de una parábola que tiene

vértice en V(-2, -1) y una directriz definida por la ecuación y + 3 = 0.

Después de ello, obtenga una ecuación cartesiana, en forma general, que defina

esa parábola.

Finalmente, obtenga la longitud del ancho focal de dicha parábola, y represéntela

gráficamente, haciéndola pasar por cinco puntos de la misma.

23

Resolución.

Acorde con los datos, puede decirse que la parábola de este ejemplo tiene una

directriz localizada a 2 (dos) unidades bajo su foco, teniendo una ecuación

ordinaria del tipo 2

4 x h p y k con vértice en V(-2, -1), 2p , y, 4 8p

(ancho focal), adoptando dicha ecuación la forma:

2

2 8 1 x y ,

forma ordinaria que se pidió determinar, de dónde es factible llegar a :

2 4 8 4 0 x x y , o sea la ecuación cartesiana que se pidió obtener.

El ancho focal de esa parábola tiene una longitud 4 8p (ya antes consignada),

y la representación gráfica pedida de dicha cónica puede apreciarse en la figura

1.16 ,

donde la cuerda que une a Q con Q’ constituye el ancho focal de esa parábola,

en tanto que T y T ’ son los puntos con ordenada igual a – 0.5 (de la parábola).

Figura 1.16

24

Ejemplo 1.6

Considérese una parábola cuya ecuación cartesiana en forma general es:

2 2 12 23 0x x y . Con base en ello:

a) Obtenga la segunda forma ordinaria de la ecuación de dicha parábola, y

con base es dicha forma determine las coordenadas de su vértice, así como

las de su foco F , y la longitud de su ancho focal.

b) Teniendo en cuenta las coordenadas de su foco, así como la mitad de la

longitud del ancho focal, determine las coordenadas de los puntos 1F y

2F , de la parábola dada, que limitan al ancho focal.

c) Compruebe que las coordenadas de 2F cumplen la ecuación cartesiana de

la curva dada, es decir .

d) Represente esa parábola en el plano XY , haciendo intervenir a su vértice

V , a su foco F , y a los puntos 1F y 2F definidos en el inciso inmediato

anterior.

Resolución.

a) Con base en pueden obtenerse:

2 22 12 23, 2 1 12 24, ,x x y x x y y

2

1 12 2 ...x y ❶,

que es la segunda forma ordinaria que se pidió obtener, ecuación del tipo:

2

4 ,x h p y k …2

vabFO P ,

por lo que, a la parábola de este ejemplo, entre diversas cosas, le

corresponde lo siguiente:

25

, , 1, 2 h k donde h kV ; 4 12p = (longitud del ancho focal) ;

3 ,p

, h k pF , que implica 1 , 2 3 F , o sea 1, 1 F .

b) Simbolizando mediante xF , yF a las coordenadas de F , y teniendo en

cuenta que la mitad de la longitud del ancho focal es 2 6p , se tienen:

1 1 12 , , 1 6, 1 , 5, 1 x p y o sea que por lo queF FF F F ;

2 2 22 , , 1 6, 1 , 7, 1 , x p y que implica debido a lo cualF FF F F

quedando así definidas las coordenadas de 1F y de 2F .

c) Al sustituir las coordenadas de 2F en el primer miembro de ©, y realizar

operaciones, se obtiene:

2

7 2 7 12 1 23 49 14 12 23 0,

con lo cual queda comprobado que las coordenadas de 2F cumplen con la

ecuación cartesiana de la parábola dada, es decir ©.

d) La representación gráfica de la parábola de este ejemplo, en el plano XY ,

se llevó a cabo acorde con lo pedido; es decir, haciendo intervenir a los

puntos V , F , 1F y 2F , según puede apreciarse en la figura 1.17;

debido a la forma ordinaria obtenida, la citada parábola tiene una directriz

ubicada arriba del vértice de dicha curva.

26

Figura 1.17

Ejemplo 1.7

Considerando los elementos incluidos en el enunciado y en la resolución del

problema del ejemplo inmediato anterior (1.6), y que tanto 2 , y GG como

, 0.5x HH , con 0x H , son puntos de la parábola de dicho ejemplo,

compruebe que G y H cumplen la condición que debe cumplir cualquier punto

de una parábola, en el sentido de que su distancia a un punto fijo, llamado foco, es

igual a su distancia a una recta fija llamada directriz.

Resolución.

Con base en la segunda forma ordinaria obtenida en el ejemplo 1.6 (es decir ❶),

para G y para H puede plantearse, respectivamente, que:

2

2 1 12 2y G ❷, y, 2

1 12 0.5 2x H ❸;

de ❷ obtenemos: 24 9

9 12 24, 1.25,12

y y

G G lo que implica 2, 1.25G

…❹, y de ❸ se obtiene: 2

1 18, , 1 3 2 ,x y x H H igualdad que se cumple:

27

para 1 3 2 3.242 0x H , y para 1 3 2 5.242 0x H ,

valores de los cuales sólo tomaremos 1 3 2 ,x H pues (según el enunciado

de este ejemplo) debe tenerse 0x H , debido a lo cual resulta

1 3 2 , 0.5 ... H ❺.

Así las cosas; por el ejemplo anterior 1, 1 , F y considerando ❹ y ❺

tenemos:

2 2

1 2 1 1.25 9 5.0625 3.75, ,y GF

(distancia de G a la directriz, definida por 5y ) 5 5 1.25 3.75, Gy

por lo que G cumple con la condición (que debe cumplir) para ser un punto de

la parábola del ejemplo 1.6 .

2 2

1 1 3 2 1 0.5 18 2.25 4.50, ,HF y

(distancia de H a la directriz, definida por 5y ) 5 5 0.5 4.50,Hy

debido a lo cual puede afirmarse que H también es un punto de la parábola

del ejemplo 1.6 .

Entonces, por lo recién descrito, queda comprobado lo que se pidió, tanto para G

como para H .

Para finalizar el desarrollo este subtema, a continuación se presentan las

primeras formas ordinarias de las ecuaciones de parábolas, con vértice en el

origen, como las mostradas en las figuras 1.18 a 1.21 (inclusive), como casos

particulares de las ecuaciones de las parábolas cuyas segundas formas,

ordinarias, ya hemos tratado aquí. Las primeras formas ordinarias, que se

presentan enseguida, son consecuencia de sustituir los valores h k= =0 0y en

28

las segundas (formas), teniéndose así siempre, en las primeras formas, un vértice

en el origen, es decir (0,0)V .

Con base en la expresión 2 hd

FO P puede decirse que, la primera forma

ordinaria de la ecuación de una parábola cuyas ramas abren hacia la

derecha, con vértice V en el origen, como la mostrada en la figura 1.18; es

decir, con foco F ubicado a la derecha de V , y directriz L ubicada a la

izquierda de V , distantes ambos " "p unidades del vértice, es:

2 4y px … 1 hd

FO P

Figura 1.18

Basados en la expresión 2

hiFO P podemos afirmar que, a una parábola cuyas

ramas abren hacia la izquierda, con vértice V en el origen, como la que se

muestra en la figura 1.19, o sea con foco F localizado a la izquierda de V , y

29

directriz L ubicada a la derecha de V , distantes ambos " "p unidades del citado

vértice, le corresponde una primera forma ordinaria de ecuación del tipo:

2 4y px … 1 hi

FO P

Figura 1.19

Con base en la expresión var2 FO P , puede afirmarse que, la primera forma

ordinaria de la ecuación de una parábola cuyas ramas abren hacia arriba, con

vértice V en el origen, como la mostrada en la figura 1.20, o sea con foco F

ubicado arriba de V , y directriz L ubicada abajo de V , distantes ambos " "p

unidades del vértice, es:

2 4x py … 1

varFO P

30

Figura 1.20

A una parábola cuyas ramas abren hacia abajo, con vértice V en el origen,

como la que se muestra en la figura 1.21, es decir con foco F localizado abajo

de V , y directriz L ubicada arriba de V , distantes ambos " "p unidades del

mencionado vértice, le corresponde una primera forma ordinaria de ecuación

del tipo:

2 4x py … 1

vabFO P

31

Figura 1.21

Ejemplo 1.8

Dada una parábola definida por la ecuación x2 + 12y – 24 = 0, determine la

ecuación en forma ordinaria de otra (parábola), que tenga vértice en el origen y

que contenga a los extremos del lado recto de la parábola recién definida. Luego

de ello, represente gráficamente, en una sola figura, a las parábolas que

intervienen en este ejemplo, haciéndolas pasar por los extremos de sus lados

rectos.

Resolución.

La ecuación de la parábola dada puede escribirse en la forma x2 = - 12y + 24 ,

32

x2 = - 12y + 24 , x2 = - 12y + 24 , o bien x2 = - 12(y - 2)

que es del tipo 2

4 x h p y k , debido a lo cual dicha parábola tiene vértice

en V(0, 2), 4 p = 12, p = 3, y, 2 p = 6, lo que corresponde a una parábola con

directriz situada a tres (3) unidades debajo del vértice, de ecuación y + 1 = 0 , un

ancho focal de longitud igual a 12 (doce), y unos extremos de éste ubicados en

los puntos Q(- 6 , - 1) y Q’(6 , - 1) , debido a lo cual la parábola (con vértice

en el origen), cuya ecuación hay que determinar, pasará por los dos puntos

recién citados teniendo p = - 1, así como una ecuación del tipo 2 4 x py , que

las coordenadas de Q y Q’ deben satisfacer, por lo cual deberá cumplirse la

igualdad 36 = 4 p (-1).

Como dicha igualdad se cumple para p = 9, la ecuación pedida es 2 36 x y ,

misma que corresponde a una parábola con vértice en el origen, 4 p = 36, p = 9,

y, 2 p = 18, lo que corresponde a una parábola con directriz situada a nueve (9)

unidades debajo del origen (O), de ecuación y + 9 = 0 , un ancho focal de

longitud igual a 36, y unos extremos de dicho ancho ubicados en los puntos

A(18 , - 9) y A’(- 18 , - 9), según puede apreciarse en la figura 1.22, donde

también aparece la parábola dada, para cumplir con la representación gráfica

pedida.

33

Figura 1.22

Ejemplo 1.9

Considérense dos parábolas, de modo que una de ellas tiene vértice en el origen

O (del sistema de referencia) y eje focal sobre el eje X, así como una directriz

definida por x + 1 = 0, en tanto que la otra parábola está definida por la ecuación

2 8 48 0.y x Con base en ello:

a) Determine las coordenadas de los puntos Q y Q’ donde se intersecan las

parábolas descritas, y,

b) En una sola gráfica represente esas parábolas y las directrices de las

mismas, mostrando claramente los puntos Q y Q’ donde las parábolas se

cortan.

34

Resolución.

Con base en los datos puede decirse que la parábola primeramente descrita

tiene una directriz que también puede definirse mediante la expresión x = - 1 ,

que corresponde a una recta que es paralela al eje y , distante una unidad

(de longitud) del vértice, ubicado éste en O (a la derecha de la directriz),

teniéndose p = 1 y 4 p = 4, debido a lo cual la primera ecuación ordinaria

de esa parábola es 2 4y x …❶, en tanto que a la segunda parábola

mencionada en el enunciado, de este ejemplo, se le definió mediante la

ecuación 2 8 48 0y x …❷.

En tales condiciones, los puntos donde esas parábolas se corten deben

cumplir simultáneamente ❶ y ❷ , lo cual ocurre para 4x ,

conjuntamente con 4y , o bien 4y , por lo que Q(4, 4), y, Q’(4, - 4)

son los puntos donde se intersecan las parábolas de este ejemplo.

La primera parábola descrita tiene su foco en F(1,0), una directriz definida

mediante x + 1 = 0 , y tiene un ancho focal de longitud igual a 4 (cuatro), por

lo que los extremos de ese ancho son G(1, 2) y G’(1, - 2). Entonces

representaremos a esta parábola haciéndola pasar por Q, G, O, G’ y Q’.

Partiendo de la ecuación ❷ es factible obtener

2 8 48y x , y, 2 8( 6)y x … ❸,

siendo ésta la 2ª forma ordinaria de la segunda de las parábolas descritas en

el enunciado, de este ejemplo, por lo que para este parábola se tiene 4 p = 8,

p = 2, y, 2 p = 4, vértice en V2(6, 0) , foco F2(4, 0), y, extremos de su ancho

focal en (4, 4), y, (4, - 4), es decir los puntos donde las parábolas se

intersecan. Obviamente, la directriz de esta parábola (ubicada a la derecha de

35

su foco, y distante 2 unidades de éste) queda definida por 8x , o bien por

8 0x .

Como de esta (segunda) parábola hasta ahora sólo conocemos tres de los

puntos por donde pasa, enseguida obtendremos otros dos (puntos) de ella,

para representarla según se pidió.

Sustituyendo 2x en la ecuación ❸ se obtiene 2 ( 8)( 2 6)y , y ,

2 64y , lo cual se cumple para 8y , y para 8y , situación de la cual

puede inferirse que H(- 2, 8) y H’(- 2, - 8) son otros dos puntos de la

segunda de las parábolas, de este ejemplo, misma que representaremos

haciéndola pasar por H , Q , V2 , Q’ y H’.

Teniendo en cuenta lo recientemente descrito, se procedió a llevar a cabo la

representación de las parábolas de este ejemplo y de las directrices de éstas,

como se pidió, según puede observarse en las figura 1.23 .

Figura 1.23

36

1.4.3. Ecuaciones de una elipse en forma ordinaria.

Estas ecuaciones las estableceremos considerando que una elipse se define

como el lugar geométrico de los puntos, ubicados en un plano, tales que la

suma de las distancias de cualquiera de ellos a dos puntos fijos (del citado

plano) llamados focos, es igual a una constante positiva, misma que

generalmente se simboliza como "2 "a . Los mencionados focos (que

generalmente se simbolizan mediante yF F ' ) distan una cantidad siempre

positiva usualmente representada por medio de “2c”.

Como complemento de lo anterior mencionaremos que, a la recta que

contiene a los focos usualmente se le denomina eje focal, y que, el

segmento rectilíneo en cuyos extremos se encuentran los mencionados

focos, tiene por punto medio al centro de la elipse (C ); además, C

también es el punto medio de los denominados eje mayor (es decir A'A en

la figura 1.24) cuya longitud es "2 "a , y eje menor (o sea B'B en la figura

recién citada) cuya longitud está dada por "2 "b , de dicha cónica. Es

importante mencionar que, no obstante que el centro (C ) y los focos

( yF F ' ) son puntos por donde no pasa la representación gráfica de

cualquier elipse, esos tres puntos son imprescindibles en la obtención de las

ecuaciones que definen a citada cónica.

37

Figura 1.24

Enseguida analizaremos a una elipse como la que se muestra en la recién

mencionada figura (1.24), donde ,x yP es un punto cualquiera de la elipse

analizada. Dicha elipse tiene centro en 0,0C , eje focal sobre el eje X,

focos 0, cF( ) y 0, cF'(- ) , eje mayor limitado en sus extremos por los

puntos 0, aA( ) y 0, aA'(- ) , y eje menor que tiene ubicados en sus

extremos a los puntos 0, bB( ) y 0, bB(' - ) . Al ser B y B ' puntos de la

elipse dispuestos según se describió, se tiene BF = BF' , y como BF +

BF' debe ser igual a "2 "a , puede decirse que BF + BF = 2a (y que BF' +

BF' = 2a ), lo que implica BF = BF' = a , debido a lo cual, basados en el

triángulo rectángulo BCF (de la figura 1.18), puede establecerse que

2 2 2 2 a b cBF , lo que a su vez implica que " "b esté ligado con " "a y " "c

acorde con la expresión:

2 2 2 b a c … IFE ,

38

Teniendo en cuenta la definición de elipse, así como elementos de la figura

1.18, podemos establecer que: 2 2

' 2 , aF P FP es decir que

2 2 2 2

0 0 2 ,x c y x c y a igualdad que implica:

2 22 22 ,x c y a x c y

de donde elevando al cuadrado en ambos miembros se obtiene:

22 2 2 2 2 2 2 22 4 4 2 , x cx c y a a x c y x xc c y lo que da a lugar a:

2 22 2 2 24 4 4 , : , a x c y a cx igualdad que puede reducirse a a x c y a cx

de donde es factible obtener: 2 2 2 2 4 2 2 22 2 , a x xc c y a a cx c x

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2 , a x a cx a c a y a a cx c x y, reduciendo términos

semejantes:

2 2 2 2 4 2 2 2 2 a x c x a a y a c , de donde factorizando obtenemos:

2 2 2 2 2 2 2 2 ,x a c a a c a y igualdad que teniendo en cuenta IFE , puede

escribirse como: 2 2 2 2 2 2 , x b a b a y o bien:

2 2 2 2 2 2, x b a y a b o en la forma:

2 2

2 21

x y

a b …

1 hFO E ,

expresión que, comúnmente, se conoce como primera forma ordinaria de la

ecuación de una elipse “horizontal”, con eje focal sobre el eje ,X (como la

que ahora estamos analizando), focos , 0cF ( ) y 0, cF '(- ) , semieje

mayor de longitud " "a , y semieje menor de longitud " "b focos, con lados

39

rectos que tienen (cada uno de ellos) una longitud LR dada por 22b

a, debido

a lo que vamos a mencionar.

Generalmente, suele llamarse “lado recto” de una elipse al segmento rectilíneo

(cuerda) que, pasando por uno de los focos de esa cónica, une a dos puntos

de la misma, que tienen abscisa igual a la de uno de los focos. Uno de esos

lados rectos (cada elipse tiene dos) une a los puntos que tienen igual abscisa

que ,F y el otro (lado recto) une a los puntos que poseen abscisa igual a la

de 'F (ver figura 1.25, donde 1 2PP es el lado recto que pasa por ,F en tanto

que 3 4PP es el lado recto que pasa por 'F ).

LR longitud de cada uno de los lados rectos (P1P2 y P3P4)..

Figura 1.25

40

En efecto, si 1P y 2P son los puntos de la elipse que tienen abscisa igual a la

de F , o sea " "c , basados en 1 h

FO E

, diremos que, para ellos se tiene:

2 2

2 21

c y

a b… ① ,

2 2 2 2 2

2 2 2 21 ,

y c a c b

b a a a

y,

42

2

by

a ②,

lo que se cumple para 2b

ya

, y, 2b

ya

, valores que podemos tomar

como ordenadas de 1P y 2P , respectivamente, teniéndose: 1P ( ,c2b

a) ,

y , 2P ( ,c - 2b

a), debido a lo cual: [ longitud del lado recto 1 2PP ] =

22b

a .

Como complemento de lo anterior mencionaremos que las igualdades ① y

② también se cumplen para el otro lado recto de la elipse, es decir el que

une los puntos 3P y 4P (también mostrados en la figura 1.25) los que tienen

abscisa igual a la de 'F (o sea " "c- ), pues, con base en 1 h

FO E , puede

decirse que para ellos también se tiene una igualdad como la dada por ①,

misma que lleva a ②, igualdades que se cumplen para 2b

ya

, y,

2by

a , valores que tomaremos como ordenadas de 3P y 4P ,

teniéndose: 3P (- ,c2b

a) , y ,

4P (- ,c - 2b

a) , debido a lo cual: [ longitud del lado recto 3 4PP ] =

22b

a.

Ejemplo 1.10

41

Considérense una elipse y una recta, de modo que la elipse tiene centro en el

origen, un eje mayor de longitud igual a 10, ubicado sobre el eje X, y un eje

menor de longitud 8, en tanto que la recta está definida por la ecuación

16 15 100 0 x y .

Con base en ello, determine si la recta corta a la elipse, es tangente a dicha

cónica, o ni siquiera la toca, determinando dónde la corta o es tangente, si es que

se presenta uno de estos casos.

Finalmente, en una misma figura, represente gráficamente tanto a la elipse como a

la recta descritas.

Resolución.

Con base en los datos proporcionados puede decirse que, la forma ordinaria de la

elipse dada es 2 2

125 16

x y

…①, de donde es factible obtener:

2 216 25 400 0 x y …②,

y como la ecuación que define a la recta dada es 16 15 100 0 x y …③,

a fin de determinar si la recta corta a la elipse, es tangente a dicha cónica, o ni

siquiera la toca, enseguida investigaremos si el sistema de ecuaciones formado

por

② y ③:

a) Se cumple para dos o más valores de x , y los correspondientes de y ,

b) se cumple sólo para un valor de x , y el correspondiente de y , o bien,

c) no tiene solución para valores reales de x , y y .

De presentarse el caso a) la recta cortará a la elipse; si se presenta el caso b)

la recta será tangente a la elipse; de presentarse el caso c), la recta no será

tangente a la elipse ni la cortará.

42

A partir de ③ puede obtenerse: 100 16

15

xy

…④,

lo que llevado a ② da lugar a: 2

2 25(10000 3200 256 )16 400 0

225

x xx

,

2 2144 10000 3200 256 36000

9

x x x , 2400 3200 6400 0x x ,

2 8 16 0x x , y, 2( 4) 0x , igualdad que sólo se cumple para 4x …⑤,

valor que sustituido en ④ da lugar a: 100 64 12

15 5y

…⑥.

Entonces, teniendo en cuenta ⑤ y ⑥ puede decirse que, sólo para los valores

4x , 12

5y se cumplen simultáneamente las ecuaciones ② y ③ , debido a

lo cual puede afirmarse que la recta es tangente a la elipse en el punto T(4,

12

5) , hecho con que se da por cumplido lo que se pidió determinar.

Para satisfacer lo pedido al respecto, tanto a la recta como a la elipse (de este

ejemplo) se les muestra en una misma, la 1.26, donde A y A’ son los

extremos del eje mayor de la elipse, en tanto que B y B’ son los extremos del

eje menor de dicha cónica (que tiene su centro en el origen). En la figura recién

mencionada también puede apreciarse que la recta es tangente a la elipse, en el

punto T, cuyas coordenadas se determinaron en el párrafo inmediato anterior.

A la recta se le dibujó haciéndola pasar por los puntos N y M , donde ella corta a

los ejes X e Y respectivamente, puntos cuyas coordenadas pueden obtenerse

fácilmente con base en la ecuación dada para definir dicha recta, es decir ③ .

43

Figura 1.26

Enseguida analizaremos a una elipse “vertical”, con centro en el origen, y eje

focal sobre el eje Y, como la mostrada en la figura 1.27.

Figura 1.27

44

Habiendo establecido ya la primera forma ordinaria de la ecuación de una

elipse “horizontal” (con eje focal sobre el eje X ) mediante la expresión

1 hFO E , mencionaremos que, empleando un procedimiento similar al seguido

para obtener dicha expresión, puede establecerse que:

2 2

2 21

x y

b a … 1 vFO E ,

es la primera forma ordinaria de la ecuación de una elipse “vertical” como la

mostrada en la figura 1.27; es decir, con centro en 0,0C , eje focal sobre el

eje Y, focos 0 , cF( ) y 0 , - cF '( ) , eje mayor de longitud "2 "a (limitado en

sus extremos por los puntos A y 'A ), y eje menor de longitud "2 "b (que tiene

ubicados en sus extremos a los puntos B y 'B ), de modo que " "a y " "b se

relacionan con “c” mediante la expresión 2 2 2a b c , que equivale a

2 2 2 a c b IFE ; dicha elipse tiene dos lados rectos, ambos con una longitud

dada por 22b

a, como puede apreciarse en la figura recién citada.

Ejemplo 1.11

Una elipse tiene centro en el origen y un eje mayor de longitud igual a 100,

ubicado sobre el eje Y. Si se sabe que cada uno de sus lados rectos tiene

longitud 36, determine:

a) La primera forma ordinaria de su ecuación,

b) Las coordenadas de los extremos A, A’, B y B’ de sus ejes mayor y menor,

de sus focos F y F’, y de los extremos Q, Q’, T y T’ de sus lados rectos,

c) Defina totalmente a sus puntos G y G’ que tienen una ordenada igual a

20, así como a sus puntos H y H’ cuyas ordenadas tienen el valor - 20.

45

Por último, represente gráficamente a la elipse pasando por sus puntos A, A’, B,

B’, Q, Q’, T, T’, G, G’, H y H’.

Resolución

a) Con base en que datos puede decirse que, para la elipse (“vertical”) de este

ejemplo se tiene que:

a = 50 …①, 2 2

2 21

(50)

x y

b…② , y que

22

50

b = 36,

por lo que 2b = 900 y, b = 30 …③, debido a lo cual ② toma la forma:

2 2

1900 2500

x y

…④ , que es la forma ordinaria que se pidió determinar.

b) Basados en los valores dados por ① y ③, así como la longitud para cada

lado recto, se obtiene:

2 2 c a b = 40 …⑤ , 'TT = 'QQ = 1

2 LR =

1

2(36) = 18, lo cual

coadyuva a decir que, de esta elipse:

los extremos de sus ejes mayor y menor son A(0, 50), A’(0, - 50), B(- 30,

0) y B’(30, 0), los focos son F(0, 40) y F’(0, - 40), y los extremos de

sus lados rectos son Q(- 18, 40), Q’(18, 40), T(- 18, - 40), y, T ’(18, - 40).

c) Para los puntos G y G’ que tienen una ordenada igual a 20, así como a

los puntos H y H’ cuyas ordenadas tienen el valor – 20, por ④ se tiene:

2 4001

900 2500

x ,

2 400 21001

900 2500 2500

x, y, 27.5x , debido a lo cual

se tienen: G(-27.5, 20), G’(27.5, 20), H(-27.5, - 20) y H’(27.5, - 20).

Para concluir este ejemplo, en la figura 1.28 se muestra a la elipse del mismo,

representada gráficamente según se pidió.

46

Figura 1.28

Como veremos un poco más adelante, con base en la expresión 1 h

FO E , y

considerando parte de lo correspondiente al tema denominado

“Traslación de Ejes”, es factible obtener:

2 2

2 21

x h y k

a b

2 hFO E

expresión conocida como segunda forma ordinaria de la ecuación de una

elipse “horizontal” con centro en ,h kC . Antes de obtener la expresión

2 hFO E , veremos algo acerca del tema “Traslación de Ejes de Referencia”.

Traslación de Ejes de Referencia.

Este tema es aplicable, entre otras cosas, cuando se cuenta con una expresión

matemática que define a un determinado lugar geométrico (o bien a las

coordenadas de un punto cualquiera P) en un sistema de referencia S1, y

desea obtenerse una expresión que defina al lugar geométrico (o bien las

coordenadas de P) en un sistema de referencia S2, conformado por ejes

paralelos a los que conforman a S1.

47

Figura 1.29

Para lograr ello hay que hacer uso de expresiones que denominaremos

“Ecuaciones de Transformación para efectuar una Traslación de Ejes de

Referencia”, mismas que obtendremos con base a elementos contenidos en un

plano, como el que contiene a la figura 1.29, donde dibujamos:

Dos sistemas de referencia paralelos entre sí: OXY y O X Y , donde

O se define como ( , )O h k respecto al sistema OXY ,

Un punto cualquiera P (del plano que contiene a la figura 1.29), punto

que en el sistema OXY se define mediante ,x yP , en tanto que, en el

sistema O X Y se define por medio de ,x y P , y,

Una elipse “horizontal” con centro en O , a la que haremos referencia un

poco más adelante.

Teniendo en cuenta elementos de la figura 1.29, es factible obtener que:

*x h x … ①, y, *y k y … ②,

*x x h … ❶, y, *y y k … ❷,

48

expresiones que estableceremos como “Ecuaciones de Transformación

para efectuar una Traslación de Ejes de Referencia”.

Enseguida vamos a obtener la expresión 2

hFO E aplicando las ecuaciones,

recién establecidas, para efectuar una Traslación de Ejes de Referencia.

Entre los elementos contenidos en la anteriormente citada figura 1.29 se

encuentra una elipse horizontal, a la que (dentro del tratamiento del subtema

que ahora nos ocupa) citaremos como elipse, la cual tiene su centro en el

origen O , de coordenadas (0, 0) referidas al sistema O X Y , en tanto que

(h , k) referidas al sistema OXY.

La elipse tiene eje mayor de longitud "2 "a ubicado sobre el eje X (que es

paralelo al eje X ), eje menor de longitud "2 "b localizado sobre el eje Y

(que es paralelo al eje Y ), y eje focal ubicado sobre el eje X , así como

focos F y 'F equidistantes “ c ” de O , donde 2 2c a b ; esa cónica

posee lados rectos que tienen una longitud igual a 22b

a.

Acorde con lo establecido para obtener 1 h

FO E , esa cónica se define en el

sistema O X Y mediante:

2 2

2 2

( *) ( *)1

x y

a b …

1 hFO E * .

Entonces, para obtener una expresión que defina a la elipse con relación al

sistema OXY, teniendo en cuenta lo que hemos expuesto aquí acerca de la

Traslación de Ejes, bastará llevar a 1 h

FO E * lo que establecimos en las

ecuaciones ❶ y ❷.

49

En efecto, al llevar ❶ y ❷ a 1 h

FO E , se obtiene:

2 2

2 21

x h y k

a b

...

2 hFO E ,

es decir una expresión conocida como segunda forma ordinaria de la

ecuación de una elipse “horizontal” con centro en ,h kC , eje mayor de

longitud "2 "a ubicado sobre un eje que pasa por C y es paralelo al eje X ,

eje menor de longitud "2 "b localizado sobre un eje (que también pasa por

C ) pero es paralelo al eje Y . Dicha elipse tiene eje focal paralelo al eje X ,

así como focos F y 'F equidistantes “c ” de O , donde 2 2c a b ;

además, esa cónica posee lados rectos que tienen una longitud igual a 22b

a.

Como complemento de lo anterior diremos que, si la elipse con centro en O

de la figura 1.29 hubiera sido “vertical”, con base en lo desarrollado para

obtener

2 2

2 21

x y

b a … 1 vFO E ,

puede afirmarse que esa elipse “vertical” quedaría definida en el sistema

O X Y por medio de:

2 2

2 2

( *) ( *)1

x y

b a …

1 vFO E * .

Al aplicar en 1

vFO E las expresiones ❶ y ❷ (establecidas en este texto, al

hablar acerca del tema “Traslación de Ejes”), obtenemos la expresión:

2 2

2 21

x h y k

b a

2 vFO E ,

50

que se conoce como segunda forma ordinaria de la ecuación de una elipse

horizontal que tiene centro en ,h kC , eje mayor de longitud "2 "a ubicado

sobre un eje que pasa por C y es paralelo al eje Y , eje menor de longitud

"2 "b localizado sobre un eje paralelo al eje X , eje focal paralelo al eje Y ,

así como focos , h k cF y ' , ,h k cF donde 2 2c a b , además de que

esa cónica tiene una excentricidad 1c

ae , y tiene lados rectos de igual

longitud (dada por 22b

a).

Ejemplo 1.12

Una cónica está definida por la ecuación cartesiana

2 225 9 36 300 711 0x y y x … ①. Con base en ello:

a) Obtenga una ecuación en forma ordinaria de dicha cónica, e identifíquela.

b) Obtenga las coordenadas de sus puntos A y 'A (extremos de su eje

mayor), de B y 'B (extremos de su eje menor), y de yF F ' (focos), así

como de los puntos 1P y 2P , '1P y '2P (extremos de sus lados rectos).

c) Represente gráficamente a esa cónica, en el plano XY , haciéndola pasar

por los puntos A ,'A , B ,

'B , 1P , 2P , '1P , y, '2P .

Resolución.

a) Con base en ① puede obtenerse:

2 225 12 ) 9 4 711 x x y y ,

2 225 12 36) 9 4 4 711 900 36, x x y y y,

51

2 225( 6) 9( 2) 225, x y expresión que puede escribirse en la forma:

2 2

6 21

9 25

x y … ② , que es del tipo:

2 2

2 21

x h y k

b a

, es decir

2 vFO H ,

por lo que ② es la segunda forma ordinaria de la ecuación de la cónica

dada (ecuación que se pidió obtener), misma que corresponde a una elipse

vertical, con centro fuera del origen.

b) Basados en ② podemos decir que de la elipse de este ejemplo tiene, entre

varias, las siguientes características:

Centro en ,h kC que implica lo siguiente: 6, 2C , 2 " "25, 5, a a

2 " "9, 3, b b su eje mayor tiene una longitud 2 10a y está ubicado sobre

un eje que pasa por C y es paralelo al eje Y, los extremos de su eje mayor

son: A 6, 2 5 y 'A 6, 2 5 , o sea A 6, 3 y

'A 6, 7 ; su eje

menor tiene una longitud 2 6b y está localizado sobre un eje que

(también) pasa por C y es paralelo al eje X, los extremos de su eje menor

son: B 6 3, 2 y 'B 6 3, 2 , o sea B 9, 2 y

'B 3, 2 ; su eje

focal pasa por C y es paralelo al eje Y , tiene focos , h k cF y

' , ,h k cF mismos que considerando lo recién descrito, y que

2 2 4, c a b resultan 6, 2 4 F y ' 6, 2 4 F , o sea 6, 2F y

' 6, 6F ; además, esta elipse tiene (dos) lados rectos, cada uno de ellos

con longitud dada por 22 2(9)

3.6,5

b

a debido a lo cual, teniendo en

52

cuenta las coordenadas de los focos expresadas en forma numérica, los

puntos ubicados en los extremos de sus lados rectos resultan ser:

6 1.8 , 21P , 6 1.8 ,22P , '(6 1.8 , 6) 1P y '(6 1.8 , 6) 2P , o sea:

7.8 , 21P , 4.2 ,22P , '(7.8 , 6)1P y '(4.2 , 6)2P .

c) Según puede apreciarse, en la figura 1.30 se representó gráficamente a la

elipse, de este ejemplo, acorde con lo señalado en el enunciado del mismo.

Figura 1.30

Ejemplo 1.13

Considérense una elipse que tiene centro en Ce( - 2, - 3), un eje mayor paralelo

al eje X , de longitud igual a 8, y un eje menor de longitud igual a 6, así como

53

una circunferencia definida por la ecuación (x - 2)2 + (y +

19

2)2 =

425

4 . Con

base en ello:

a) Determine una ecuación en forma ordinaria que defina a la elipse descrita,

b) Compruebe que dichas cónicas se intersecan en un punto G, de abscisa

igual a - 2, así como en un punto H, que tiene una ordenada igual a - 3, y,

c) Represente gráficamente, en una sola figura, a los puntos G y H, así

como a la elipse y a la circunferencia descritas.

Resolución.

a) Acorde con los datos puede decirse la ecuación, en forma ordinaria, que

define a la elipse dada es

2 2

2 2

2 31

(4) (3)

x y , o sea

2 2

2 31

16 9

x y

…❶.

b) Al ser (x - 2)2 + (y +

19

2)2 =

425

4 …❷ la ecuación, en forma ordinaria,

definitoria de la circunferencia dada, los puntos de la elipse y de la

circunferencia dadas, cuya abscisa es igual a – 2 , deben satisfacer ,

respectivamente, las expresiones ❶ y la ❷ , teniéndose:

2 2

2 2 31

16 9

y , y, (- 2 - 2)

2 + (y +

19

2)2 =

425

4, es decir:

2

31

9

y …❸, y, 16 + (y +

19

2)2 =

425

4 …❹ .

Como ❸ se cumple para valores - 6 y 0 de y , mientras que ❹ se

cumple para los valores 0 y - 19, de dicha variable, los puntos de la elipse

con abscisa igual a – 2 son 1P (- 2, - 6) y 2P (- 2, 0), en tanto que, los

54

puntos de la circunferencia que tienen esa abscisa son A(- 2, 0) y B(- 2, -

19), o sea que con abscisa igual a - 2 , las cónicas dadas sólo tienen un

punto común, que es G(- 2, 0), punto que tiene tanto las coordenadas de A

como las de 2P .

Por otro lado, los puntos de la elipse y de la circunferencia dadas cuya

ordenada es igual a – 3 también deben satisfacer, respectivamente, la

expresión ❶ y la ❷ , teniéndose:

2 2

2 3 31

16 9

x , y, ( x - 2)

2 + (- 3 +

19

2)2 =

425

4, es decir:

2

21

16

x …❺, y, ( x - 2)

2 +

169

4 =

425

4 …❻ .

Como ❺ se cumple para los valores reales 2 y - 6 de x , en tanto que ❻

se cumple para los valores - 6 y 10, de esa variable, los puntos de la

elipse con ordenada igual a – 3 son 3P (2, - 3) y 4P (- 6, - 3), mientras que,

puntos de la circunferencia que tienen esa ordenada son D(- 6, - 3) y E(10, -

3) debido a lo cual, con ordenada igual a - 2 , las cónicas dadas sólo

tienen un punto común, que es H(- 6, - 3), punto que tiene tanto las

coordenadas de D como las de 4P .

Con lo hasta aquí desarrollado, queda comprobado que las cónicas dadas

(en el enunciado de este ejemplo) se intersecan en un punto G, de abscisa

igual a - 2, así como en un punto H, que tiene una ordenada igual a - 3.

c) Según puede apreciarse, para cumplir con lo pedido en la parte final del

enunciado de este ejemplo, se representaron gráficamente en una figura, la

1.31, a los puntos G y H, así como a la elipse y a la circunferencia de este

ejemplo.

55

Figura 1.31

Ejemplo 1.14

Considérense elementos contenidos en el desarrollo del ejemplo inmediato

anterior (1.13), y:

56

a) Compruebe que los puntos G y H cumplen las ecuaciones cartesianas,

en forma general, de la elipse y de la circunferencia que intervienen en

dicho ejemplo, y,

b) Compruebe que el centro de la circunferencia dista lo mismo de G que de

H, cantidad que debe ser igual al radio de la circunferencia dada.

Resolución.

a) A partir de la expresión ❶ del ejemplo anterior, es factible obtener:

2 29 4 4) 16 6 9 144 x x y y , y , 2 29 16 36 96 36 0 x y x y …①,

(donde ① es la ecuación cartesiana, en forma general, de la elipse de dicho

ejemplo),

y partiendo de la expresión ❷ (del mismo) pueden obtenerse:

2 2 3614 4 4) 4 19 425

4

x x y y , 2 24 4 16 76 16 361 425 0 x y x y ,

y , 2 24 4 16 76 48 0 x y x y , ② ,

que es la ecuación cartesiana, en forma general, de la circunferencia de

este ejemplo.

Como G(- 2, 0) resultó uno de los (dos) puntos de intersección entre la

elipse y la circunferencia, sus coordenadas deben cumplir tanto ① como

②. Al sustituir las coordenadas de ese punto en los primeros miembros de

① y ②, y realizar operaciones se obtienen, respectivamente:

2 29( 2) 16(0) 36( 2) 96(0) 36 0 , y ,

2 24( 2) 4(0) 16( 2) 76(0) 48 0 ,

57

con base en lo cual queda comprobado que las coordenadas de G cumplen

las ecuaciones cartesianas, en forma general, de la elipse y de la

circunferencia que intervienen en este ejemplo.

En virtud de que H(- 6, - 3) resultó ser el otro de los (dos) puntos de

intersección entre las cónicas de este ejemplo, sus coordenadas también

deben cumplir las ecuaciones ① y ②. Si sustituimos las coordenadas de

dicho punto en los primeros miembros de ① y ②, y realizamos

operaciones obtenemos, respectivamente:

2 29( 6) 16( 3) 36( 6) 96( 3) 36 0 , y,

2 24( 6) 4( 3) 16( 6) 76( 3) 48 0 ,

basados en lo cual puede decirse que, se da por comprobado que también

las coordenadas de H cumplen las ecuaciones cartesianas, en forma

general, de las cónicas que intervienen en este ejemplo.

b) Con base en ❷ puede decirse que el radio de la circunferencia dada es

425

2, y que el centro de dicha cónica es C(2, -

19

2), por lo que la

distancia de C a G viene siendo

CG = 2 219

( 2 2) (0 )2

= 64 361

4 4 =

425

2,

en tanto que, la distancia de C a H resulta:

CH= 2 219

( 6 2) ( 3 )2

= 256 169

4 4 =

425

2,

debido a lo cual se da por comprobado que el centro de la circunferencia,

C , dista lo mismo de G que de H, cantidad que es igual al radio de la

circunferencia dada.

58

1.4.4. Ecuaciones de una hipérbola en forma ordinaria.

Las hipérbolas son cónicas abiertas a la que corresponden tres puntos, que

intervienen de manera fundamental en la obtención de las ecuaciones

cartesianas que las definen, aunque las representaciones gráficas de esas

cónicas no pasan por ellos. Dichos puntos son sus focos (que

simbolizaremos por medio de yF F ' ) y su centro (al que simbolizaremos

como C ); esos tres están ubicados en una misma línea recta, de modo

que C es el punto medio de yF F ' , que distan una cantidad siempre

positiva, “c” , del centro C (obsérvese la figura 1.32), para cualquier pareja

de coordenadas de C .

Figura 1.32

Las ecuaciones recién mencionadas las estableceremos considerando que,

una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos, ubicados en

un plano, tales que el valor absoluto de las diferencias de las distancias (de

cualquiera de ellos), a dos puntos fijos ( focos, yF F ' ), es igual a una

constante positiva que comúnmente se simboliza como "2 ".a A la recta que

contiene a los focos suele llamársele eje focal.

59

Enseguida analizaremos el caso de una hipérbola como la mostrada en la

figura 1.32, cónica ubicada en el plano XY , que tiene centro en ,h kC y

eje focal paralelo al eje X, así como focos h+c , k , y ,F( ) h - c , kF'( ) .

En la figura recién mencionada, ,x yP es un punto cualquiera de la hipérbola

analizada, en tanto que 'yV V son los puntos que se conocen como vértices

de esa hipérbola, ambos equidistantes " "a de C , los cuales se caracterizan

por ser los puntos de esa cónica que, ubicados en ramas diferentes de la

misma, están más cerca uno del otro, debido a lo cual: h + a , k , y ,V ( )

h - a , kV'( ) .

Teniendo ello en cuenta podemos establecer que, por definición de hipérbola,

siempre debe cumplirse:

2a F P F'P ,

expresión que, de tenerse F P F' P se cumple para:

F P F'P = 2a … ①,

en tanto que, cuando F P <F' P se cumplirá para:

F P F'P = - 2a …②.

La condición ① se cumplirá para:

2 2 2 2

2x h c y k x h c y k a ..❶, en tanto que, la ②

para:

2 2 2 2

2x h c y k x h c y k a ❷.

Partiendo de la condición ❶ es factible obtener:

60

2 2 2 2

2x h c y k a x h c y k ;

al elevar al cuadrado en ambos miembros de esta igualdad, se obtienen:

2 22 2 2 224 4 ,x h c y k a a x h c y k x h c y k y,

2 22

2 2 2 22 2

2 2

4 4 2 2 ;

x h cx ch c y k

a a x h c y k x h cx ch c y k

reduciendo términos semejantes, obtenemos:

2 224 4 4 4 ,ch cx a a x h c y k

y, al dividir entre 4 ambos miembros de esta igualdad, se tiene:

2 22( )ch cx a a x h c y k ,

de donde, elevando al cuadrado y desarrollando operaciones se obtienen:

2 22 2 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 2 2c h c hx c x a ch a cx a a x h cx ch c y k

,

22 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 ,c h c hx c x a ch a cx a a x a hx a h a cx a ch a c a y k

y, cancelando términos iguales contenidos en ambos miembros:

22 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2c h c hx c x a a x a hx a h a c a y k , lo que equivale a:

22 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2c x c hx c h a a c a x a hx a h a y k , o bien a:

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2c x c hx c h a x a hx a h a a c a y k , y, también a:

2 2 22 2 2 2 2 2 ,c x h a x h a a c a y k lo que factorizado implica:

2 22 2 2 2 2 2 ,c a x h a c a a y k igualdad que, al introducir un valor “b”

relacionado con " "a y con

" "c mediante:

2 2 2b c a … IFH ,

61

da lugar a:

2 2

2 22 2 2 2

2 2, 1

x h y kb x h a b a y k

a b

,

y, también a:

2 2

2 21

x h y k

a b

2 hFO H

,

expresión conocida como segunda forma ordinaria de la ecuación de una

hipérbola como la que estamos analizando (que es “horizontal”), expresión que

también es factible obtener partiendo de la condición ❷, si se sigue un

proceso similar al empleado (para obtenerla) partiendo de la condición ❶.

Debido a ello, con base en 2 h

FO H puede establecerse que, para los

vértices 'yV V de la hipérbola analizada, cuya ordenada es igual a la del

centro de la cónica, es decir k , se tiene:

2

2

20 1, , ,

x hy x h a

a

lo que se cumple para : abscisa de x a h V, y, : abscisa de ' x a h V ,

valores de x que implican: , , , ' , .a h k y a h k V V

Por otro lado, teniendo en cuenta lo establecido en IFH , es decir que

2 2 2 b c a , puede decirse que habrá parejas ordenadas de valores ( , )x y

tales que la diferencia

2 2

2 2

x h y k

a b

resulte igual a 1 (es decir, para las

cuales se cumpla 2 h

FO H ), debido a lo cual a esas parejas ordenadas les

corresponderán coordenadas de puntos de la hipérbola analizada.

Aunado a lo anterior diremos que, para valores de , ,x y tales que

2 2

2 2

x h y k

a b

resulte menor que cero, no existirán puntos de la hipérbola

62

analizada, pues la diferencia de cocientes recién anotada arrojaría una

cantidad “negativa” debida a los valores de ,x y (recién mencionados), que

imposibilitaría el cumplimiento de la expresión 2 h

FO H , que define a la

cónica analizada.

Tampoco habrá puntos de esa cónica para valores de , ,x y tales que

2 2

2 20,

x h y k

a b

pues de cumplirse esto no estaría cumpliéndose

2 hFO H ; sin embargo, dicha igualdad se cumple si:

2 2

2 2,

x h y k

a b

o bien:

22

2,

by k x h

a

igualdades que se cumplen tanto para:

b

y k x ha

❸, como para: b

y k x ha

❹,

ecuaciones que corresponden a dos rectas, denominadas ASÍNTOTAS DE LA

HIPÉRBOLA, que dicha cónica tenderá a tocar (pero nunca tocará). Dichas

rectas pasan por el punto , ,h kC denominado centro de la hipérbola

(que, como ya se ha mencionado, no es punto de esa cónica, pero cuyas

coordenadas intervinieron de manera importante al obtener la expresión

2 hFO H , que define a la hipérbola ahora analizada (que es “horizontal”).

Teniendo en cuenta lo recién descrito puede decirse que, conociendo el

centro, los vértices y las asíntotas de una hipérbola, como la analizada,

es factible esbozar dicha, curva como la dibujada empleando los

elementos mostrados en la figura 1.33, aunque para obtener una

representación aceptable, además de conocer el centro, los vértices y las

asíntotas de la hipérbola, habrá que determinar más puntos de la cónica,

como puede apreciarse (más adelante) en la figura 1.34, donde se representó

gráficamente la hipérbola del ejemplo 1.15 .

63

Figura 1.33

Al segmento que une a los vértices, yV V' , cuya longitud es 2a ,

comúnmente se le conoce como eje transverso, en tanto que, al segmento

de longitud 2b , con centro en , ,h kC generalmente se le llama eje

conjugado.

Dado que los segmentos rectilíneos comúnmente llamados lados rectos de

una hipérbola, son segmentos perpendiculares al eje focal (de la misma), que

pasan por los focos, y por puntos de la curva, para los puntos 1Q y 2Q del

lado recto que pasa por F , teniendo en cuenta 2 h

FO H , obtenemos:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21, 1 ,

h c h y k y k c c a b

a b b a a a

42

2,

by k

a y,

2by k

a ;

como esta igualdad se cumple para: 1

2

b

y k ya

Q, y,

2

2

b

y k ya

Q , se

tienen: 2

1 ,

bh c k

aQ , y,

2

2 ,

bh c k

aQ ,

64

por lo que 1 2Q Q = 22b

a, lo cual a su vez implica que los lados rectos de esta

hipérbola tengan una longitud igual a 22

.b

a

Resumiendo parte de lo anterior, incluido el que para la hipérbola

establecimos la expresión

2 2 2b c a … IFH , mencionaremos que:

2 2

2 21

x h y k

a b

2 hFO H

,

es la segunda forma ordinaria de la ecuación de una hipérbola que tiene

centro en ,h kC y eje focal paralelo al eje X , con focos h+c, k yF( )

h - c , kF '( ) distantes ambos una cantidad positiva " "c de C , cónica de

vértices , ' ,a h k a h k V y V distantes cada uno de éstos una

cantidad positiva " "a de C , un eje transverso de longitud igual a "2 ",a

un eje conjugado que mide "2 ",b y dos lados rectos, ambos de longitud

22.

b

a

A dicha hipérbola le corresponden dos asíntotas, una con pendiente dada

por ,b

a y otra cuya pendiente es .

b

a

Ejemplo 1.15

Considérense una recta de ecuación 8x – 3y – 6 = 0 , y una hipérbola definida

por la ecuación

2 23 2

19 16

x y . Con base en ello:

65

a) Obtenga las coordenadas de los puntos P1 y P2 donde la recta corta a la

hipérbola.

b) Considerando la hipérbola definida, determine las coordenadas de su

centro (C), de sus vértices, de sus focos, y de los extremos de sus lados

rectos.

c) En una misma figura, represente gráficamente a la recta de este ejemplo,

dibuje a las asíntotas de la hipérbola y represente (gráficamente) a dicha

cónica, haciéndola pasar por sus vértices y por los extremos de sus lados

rectos, respetando el que las hipérbolas tienden a tocar a sus asíntotas,

pero no las tocan.

Resolución.

a) Obtengamos las coordenadas de P1 y P2 , mismas que deberán cumplir el

sistema (de ecuaciones) conformado por la ecuación de la recta y por la

ecuación empleada para definir a la hipérbola.

De la ecuación de la recta (de este ejemplo) se obtiene: 8 6

3

xy …①,

lo que llevado a la ecuación de la hipérbola, o sea

2 23 2

19 16

x y …

②, da lugar a

2

28 6

23 3

19 16

x

x,

2

28

3 31

9 16

x

x,

2

2(4)(2 )

3 31

9 16

x

x

,

2 2

3 21,

9 9

x x 2 26 9 4 9 x x x ,

23 6 0 x x , y , 3 ( 2) 0 x x , ecuación que se cumple para 0x …③, y,

2x …④, valores que sustituidos en ①, respectivamente, dan lugar a:

2 y …⑤, y, 10

3y …⑥.

66

Teniendo en cuenta ③ y ⑤ , así como ④ y ⑥ , puede decirse que las

coordenadas de los puntos P1 y P2 , donde la recta corta a la hipérbola,

son:

(0, -2), y, (2, 10

3).

b) Como ② es una ecuación del tipo

2 2

2 21

x h y k

a b, o sea 2 h

FO H ,

puede decirse que la hipérbola de este ejemplo es “horizontal”, con

valores h = - 3, k = - 2, 2a = 9, y, 2b = 16, valores que implican el que

dicha cónica tenga: centro en 3, 2 C , como semiejes de longitudes a =

3 y b = 4, una longitud c = 2 2a b = 9 16 = 5, vértices

0, 2 ' 6, 2 V Vy del tipo , , ,a h k yV ' ,a h kV , así como focos

,F(2 2) y , F'(- 8 - 2) , o sea del tipo h+c, k yF( ) h - c , kF'( ) , y

lados rectos de longitud (cada uno de ellos) igual a la dada por LR =

22 2(16) 32

3 3

b

a.

Para determinar las coordenadas de los extremos de sus lados rectos, a los

que designaremos como Q , Q’ , T y T’ , hay que tener en cuenta que

dos de esos extremos de una hipérbola (Q y Q’, en este ejemplo) deben

tener su abscisa igual a la de F , en tanto que los otros dos (T y T ’, en

este caso) deben tener una abscisa igual a la de F ' , además de que dos

de sus extremos (Q y T , en este caso) deben tener su ordenada igual a

la de F adicionada de la cantidad 1

2 LR, en este ejemplo igual a

1 32 16

2 3 3( ) , en tanto que los otros dos (Q’ y T ’, en el presente

ejemplo) deben tener una ordenada igual a la (ordenada) de F' menos la

cantidad recién citada.

67

Con base en lo acabado de mencionar puede afirmarse que, los extremos

de los lados rectos de la hipérbola (ahora analizada) están dados por

16

3, Q(2 2+ ), Q’

16

3, (2 2 ), T

16

3, (- 8 - 2+ ) , y, T ’

16

3, (- 8 - 2- ) , o bien,

concisamente, por 10

3,Q(2 ), Q’

22

3, (2 ), T

10

3, (- 8 ) , y, T ’

22

3, (- 8 - ) .

c) Puede decirse que, por el tipo de cónica de que se trata, a la hipérbola de

este ejemplo le corresponde una asíntota con pendiente dada por b

a, es

decir 4

3, y otra (asíntota) cuya pendiente es

b

a, o sea

4

3 , lo cual,

teniendo en cuenta que las asíntotas de cualquier hipérbola pasan por el

centro de dicha cónica (C en este ejemplo) facilita la representación de

ambas asíntotas, según puede apreciarse en la figura 1.34, donde también

están representadas la recta de ecuación 8x – 3y – 6 = 0 de este ejemplo

y la hipérbola, del mismo, atendiendo a lo mencionado en el inciso c) del

enunciado correspondiente.

Figura 1.34

68

Una vez concluido el ejemplo inmediato anterior (es decir el 1.15), a

continuación nos referiremos a una hipérbola con centro en ,h kC y eje

focal paralelo al eje Y , como la mostrada en la figura 1.35.

Figura 1.35.

La cónica recién citada tiene: focos h , k +c y h , k - cF( ) F '( ) , distantes

ambos una cantidad positiva " "c de C (obviamente ubicados en el eje focal),

vértices ,h k aV y ' ,h k aV , distantes cada uno de estos una cantidad

positiva " "a de C (también están ubicados sobre el eje focal, que es paralelo

al eje Y ), según puede apreciarse en la figura 1.35, donde ,x yP es un

punto cualquiera de la hipérbola recién descrita.

Considerando lo descrito en el párrafo inmediato anterior puede establecerse

que, por definición de hipérbola, siempre debe cumplirse:

2a F P F'P ,

expresión que , las veces donde se tenga F P F' P se cumplirá para:

69

F P F'P = 2a … ①bis,

en tanto que, cuando F P <F' P se cumple para:

F P F'P = - 2a …②bis.

La condición ①bis se cumplirá para:

2 2 2 2

2x h y k c x h y k c a ..❺,

mientras que, la ② se cumplirá para:

2 2 2 2

2x h c y k x h c y k a ❻.

Partiendo de la condición ❺ puede obtenerse la expresión:

2 2 2 2

2x h y k c a x h y k c ;

procediendo de aquí en adelante con un proceso similar al empleado para

obtener la expresión 2 h

FO H , proceso que incluyó el que, para una

hipérbola establecimos que

2 2 2b c a IFH , es factible obtener la igualdad:

2 2

2 21

y k x h

a b

2 vFO H ,

expresión que se conoce como segunda forma ordinaria de la ecuación de una

hipérbola como la que en este momento estamos analizando (del tipo

“vertical”), expresión que también es factible obtener partiendo de la condición

❻, si se sigue un proceso similar al empleado (para obtenerla) partiendo de la

condición ❺.

70

Basados en 2 vFO H puede establecerse que, en este caso, para los

vértices 'yV V , de abscisa igual a la del centro de la cónica, es decir h ,

se tiene:

2

20 1, , ,

y ky k a

ay

lo cual se cumple para:

: ordenada de y k a V, , y, : ordenada de ' y k a V ,

valores que implican: , , , ' , .h k a y h k a V V

Como parte de lo que vamos a analizar de la expresión 2 vFO H ,

considerando lo establecido en IFH , es decir que 2 2 2 b c a , diremos que

habrá parejas ordenadas de valores ( , )x y tales que

2 2

2 2

y k x h

a b

resulte igual a 1, es decir, para las cuales se cumpla 2 vFO H , debido a lo

cual dichas parejas ordenadas corresponderán a coordenadas de puntos de la

hipérbola ahora analizada.

Adicionalmente a lo anterior mencionaremos que, para valores de , ,x y tales

que la diferencia

2 2

2 2

y k x h

a b

resulte una cantidad menor que cero, no

existirán puntos de la hipérbola analizada, pues la diferencia de cocientes

anotada resultaría “negativa” debida a los valores de ,x y (recién

mencionados), lo que impediría el cumplimiento de la expresión 2 vFO H ,

que define a la cónica que en este momento estamos analizando.

71

Como complemento de lo mencionado en los dos párrafos anteriores, diremos

que tampoco habrá puntos de esa cónica para valores de , ,x y tales que

2 2

2 20,

y k x h

a b

ya que, de cumplirse esto, no estaría cumpliéndose

2 vFO H ; no obstante ello, esa igualdad no la cumplen puntos de la

hipérbola ahora analizada, dicha igualdad se cumple si:

2 2

2 2,

y k x h

a b

o bien:

22

2,

ay k x h

b

igualdades que se cumplen tanto para:

a

y k x hb

❼, como para a

y k x hb

❽,

ecuaciones que corresponden a dos rectas, denominadas ASÍNTOTAS DE LA

HIPÉRBOLA, que dicha cónica tenderá a tocar (pero nunca tocará). Dichas

rectas pasan por el punto , ,h kC centro de la hipérbola, cuyas

coordenadas intervienen de manera importante en el tratamiento de la

hipérbola ahora analizada.

Aunque ya lo mencionamos, justo después de hablar acerca de las

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA cuya ecuación en su segunda forma

ordinaria está dada por 2 h

FO H , haremos énfasis en que, conociendo el

centro, los vértices y las asíntotas de una hipérbola, es factible esbozar dicha

curva, aunque para obtener una representación aceptable, además de

conocer el centro, los vértices y las asíntotas de la hipérbola por

representar gráficamente, habrá que conocer (o determinar) las

coordenadas de más puntos de la cónica.

72

Para apreciar lo recién mencionado se sugiere observar la figura 1.35, donde

se representó gráficamente a la hipérbola del ejemplo 1.6. Dicha

representación pudo realizarse aceptablemente teniéndose las asíntotas, así

como las coordenadas de los vértices y de los extremos de los lados rectos, de

dicha cónica; sin embargo, a la citada hipérbola se le representó (de una

manera que considero más que aceptable) considerando tanto los seis puntos

recién citados, como otros puntos, cuyas coordenadas se determinaron,

estratégicamente, tratando de dibujar, de manera clara, una buena parte de la

hipérbola.

También para el caso de la hipérbola ahora analizada, al segmento que une

a los vértices yV V' , cuya longitud es 2a , se le llama eje transverso, en

tanto que, al segmento de longitud 2b , con centro en C , se le conoce

como eje conjugado.

Dado que los segmentos rectilíneos llamados lados rectos de una hipérbola,

son segmentos perpendiculares al eje focal (de la misma), que pasan por los

focos, así como por puntos de la curva, para los puntos 5Q y 6Q , del lado

recto que pasa por h , k - cF '( ) , teniendo en cuenta 2 vFO H se obtienen:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21, 1 ,

k c k x h x h c c a b

a b b a a a

42

2,

bx h

a y,

2bx h

a ;

como esta igualdad se cumple para

5

2

b

x h ya

Q, y,

6

2

b

x h ya

Q, se tienen:

2

5 ,

bh k c

aQ , y,

2

6 ,

bh k c

aQ ,

73

lo que implica 5 6Q Q = 22b

a, por lo que los lados rectos de esta hipérbola

también tienen una longitud dada por 22

.b

a

Resumiendo parte de lo relacionado con la cónica ahora analizada, incluido el

hecho de que, para las hipérbolas hasta ahora analizadas en este material,

establecimos que

2 2 2b c a … IFH , mencionaremos que:

2 2

2 21

y k x h

a b

2 vFO H ,

es la segunda forma ordinaria de la ecuación de una hipérbola (“vertical”)

que tiene centro en , ,h kC eje focal paralelo al eje Y, focos h, k +cF( )

y h, k - cF '( ) , vértices , ' , h k a h k aV y V , eje transverso de

longitud igual a "2 ",a eje conjugado que mide "2 ",b y dos lados rectos

ambos de longitud 22

.b

a; a esta hipérbola le corresponden dos asíntotas,

una con pendiente dada por ,a

b y otra cuya pendiente es .

a

b

Ejemplo 1.16

Si se sabe que 2 216 9 36 32 164 0 y x x y … ①

es la ecuación cartesiana en forma general que define a cierta cónica:

a) Obtenga una ecuación en forma ordinaria que corresponda a dicha cónica, e

identifíquela.

74

b) Determine características importantes de la misma y, finalmente,

represéntela gráficamente en el plano XY, teniendo en cuenta algunas de

las características recién citadas, así como las asíntotas que le

corresponden.

Resolución.

a) Teniendo en cuenta la ecuación dada en el enunciado de este ejemplo, es

factible obtener:

2 216( 2 ) 9( 4 ) 164 y y x x ,

2 216( 2 1) 9( 4 4) 164 16 ( 36), y y x x

2 216( 1) 9( 2) 144), y x y,

2 21 2

19 16

y x②,

que es una ecuación del tipo:

2 2

2 21

y k x h

a b

2 vFO H ,

por lo que ② es la (segunda) forma ordinaria que se pidió obtener,

correspondiente ella a una HIPÉRBOLA (“vertical”) con eje focal paralelo

al eje Y, y centro en ,h kC .

b) Con base en ② y en 2 vFO H , puede decirse que características

importantes de la cónica de este ejemplo son:

Centro en 1C(-2, ) lo que implica h - 2 , ,k 1

2 a 9 , a 3 , 2b 16 , b 4 ,

2 2 2 , c a b c25 5 ,

longitud del eje transverso: 2 ,a 6 longitud del eje conjugado: 2 ,b 8

75

vértices: , ( , )h k a y h k a V( , ), V' , o sea:

, ( , ) yV( 2, 4), V' 2 2 ,

focos: h , k +c y, h , k - cF( ) , F '( ) , es decir: , y, ,F( 2 6), F '( 2 - 4) ,

longitud de los lados rectos: 2b

LRa

2 32

10.663

,

longitud de los semilados rectos: 2

2

b LR

a

165.33

3 ,

puntos (de la hipérbola) ubicados en el lado recto que pasa por F :

1

16( 2 , 6)

3 Q , y,

2

16( 2 , 6)

3 Q , o sea:

1( )10

Q , 63

, y, 2( )

22Q , 6

3,

puntos (de la hipérbola) ubicados en el lado recto que pasa por F ' :

1

16( 2 , 4)

3 'Q , y,

2

16( 2 , 4)

3 'Q , o sea:

1 ( )10'Q , 43

, y,

2 ( )22'Q , - 43

;

como complemento de lo anterior, puede decirse que, las asíntotas para

esta hipérbola, que pasan por 1C(-2, ) , tienen pendientes dadas por:

a

b

3

4, y, .

a

b

3

4

Una vez representados en el plano XY los puntos V , V ' , 1Q , 2Q ,1

'Q , y,

2

'Q , así como las asíntotas de la hipérbola, la rama superior de ésta

pudo haberse dibujado pasando por V , 1Q y 2Q , y la rama inferior de

la misma pasando por 'V ,

1

'Q , y, 2

'Q , sin tocar (esas ramas) a las

asíntotas.

No obstante ello, para tener una representación más clara de la

hipérbola, habría que obtener las coordenadas de dos puntos más de

76

la rama izquierda, y de otros dos puntos de la rama derecha. ¿Cómo

se determinaron esos cuatro puntos? .

Ello se hizo tratando de que esos cuatro puntos (de la hipérbola que se

está analizando) se encontraran ubicados (en esa cónica) entre los

vértices y los extremos de los lados rectos, pero no cerca de ellos,

obteniendo sus coordenadas como podría hacerse para puntos de

cualquier cónica; es decir, dando valores a una de las variables, en

cualquier ecuación cartesiana que defina a la cónica de que se trate, y

obteniendo los valores que vayan correspondiendo a la otra

variable (para cada valor que vaya dándose a una de ellas).

Para cumplir con lo recién descrito, se planteó encontrar (cuatro) puntos a

los que se designó como 1T

, 2T ,

1'T , y,

2

'T , cuya ordenada tuviera un

valor intermedio entre las ordenadas de los vértices y de los extremos de

los lados rectos, de la hipérbola de este ejemplo; es decir, se planteó

definir completamente a ( , )x11 TT 5 , ( , )x

22 TT 5 , '( , )x T1

1'T 3 , y,

( , )x T '22

'T 3 , donde las abscisas de éstos se obtuvieron sustituyendo en

② el valor de sus ordenadas, según se muestra enseguida.

Para y = 5, por ② se tiene:

22 7

, ,16 9

xy

4 72 ,

3 x lo que

se cumple para: 4 7

2 ,3

x y, 4 7

2 ,3

x por lo que se tienen:

1

6 + 4 7T , 5

3, y,

2

6 4 7T , 5

3,

que pueden escribirse en la forma: ( )1T 1.53 , 5 , y, ( )2T - 5.53 , 5 .

77

Para y = 3, por ② también se tienen:

2

2 7,

16 9

x

22 7 4 7

, , 2 ,16 9 3

xx

y igualdades que

también se cumplen para 4 7

2 ,3

x y, 4 7

2 ,3

x lo que lleva a

tener

1

6 + 4 7'T , 33

, y,

2

6 4 7'T , 33

,

que pueden expresarse como: ( )1

'T 1.53 , 3 , y, ( ) 2

'T 5.53 , 3 .

Contando ya con las coordenadas de los cuatro puntos recién citados, la

rama superior de la hipérbola, de este ejemplo, se dibujó pasando por

cinco puntos ( V , 1Q , 2Q ,1T , y,

2T ) en vez de intentar dibujarla contando

sólo con tres puntos ( V , 1Q y 2Q ), en tanto que, la rama inferior de la

misma fue dibujada pasando también por cinco puntos ('V ,

1

'Q , 2

'Q ,

1'T , y,

2

'T ) en vez de haber intentado dibujarla pasando sólo por tres

puntos ('V ,

1

'Q y 2

'Q ), justo como puede apreciarse en la figura 1.36 .

78

Figura 1.36 .

Según puede apreciarse en la figura 1.36, la representación gráfica de la cónica

de este ejemplo resultó muy natural, pasando la hipérbola por los puntos ,

2T ,

1'T , y,

2

'T (además de pasar por V , 1Q , 2Q , 'V , 1

'Q , y, 2

'Q ) debido a lo cual

pudiera inferirse que las coordenadas de todos y cada uno de los diez puntos,

citados en este párrafo, cumplen la ecuación cartesiana en forma general que

definió a la cónica de dicho ejemplo.

ESTIMADO LECTOR, SE LE SUGIERE LO SIGUIENTE: sin emplear números en

su expresión decimal, compruebe que las coordenadas de los puntos 1

'Q , 2Q , 1

'T

y, 2T , del problema de este ejemplo (1.16), cumplen la ecuación cartesiana en

forma general que definió a la cónica de dicho ejemplo, es decir

2 216 9 36 32 164 0 y x x y … ①.

Ejemplo 1.17

1T

79

Considerando los elementos incluidos tanto en el enunciado como en la resolución

del problema del ejemplo inmediato anterior (ejemplo 1.16):

a) Compruebe que las coordenadas de los puntos 1Q , 2

'Q ,1

T , y, 2

'T , cumplen

con la ecuación cartesiana en forma general que definió a la cónica de este

problema, es decir 2 216 9 36 32 164 0 y x x y … ①.

b) Compruebe que 2Q y 2T cumplen la condición que debe cumplir cualquier

punto de una hipérbola, en el sentido de que el valor absoluto de las

diferencias de las distancias a dos puntos fijos (generalmente llamados focos y

simbolizados mediante yF F ' ), es igual a "2 ".a

Resolución.

a) Sustituyendo en el primer miembro de ① a las coordenadas de cada uno de

los puntos mencionados, y desarrollando operaciones se obtiene lo siguiente:

Para el caso de 1Q :

2

210 10

16(6) 9 36 32(6) 164 576 100 120 192 164 03 3

;

para lo correspondiente a 2

'Q :

2 22 22216( 4) 9 36 32( 4) 164 256 484 264 128 164 03 3

;

referente a 1

T : 2 21 6 ( 5 ) 9 3 6 3 2 ( 5 ) 1 6 4( ) ( )

6 + 4 7 6 + 4 7

3 3

4 0 0 3 6 4 8 1 1 2 7 2 4 8 1 6 0 1 6 4 4 7 2 4 7 2 0( ) 7 7 , y,

para el caso de 2

'T :

2 216( 3) 9 36 32( 3) 164( ) ( )

6 4 7 6 4 7

3 3

144 36 48 112 72 48 96 164 312 312 0( ) 7 7 ;

80

con los resultados obtenidos en las cuatro operaciones recién desarrolladas,

queda comprobado que las coordenadas de los puntos 1Q , 2

'Q ,1

T , y, 2

'T ,

cumplen con la ecuación cartesiana en forma general que definió a la cónica

de este problema, es decir 2 216 9 36 32 164 0 y x x y … ①. Esta

comprobación también permite afirmar que esos cuatro puntos pertenecen a la

cónica de este ejemplo.

b) Teniendo en cuenta que tenemos 2 ( )

22Q , 6

3, 2

6 + 4 7T , 3

3

,

,F( 2 6 ) , ,F '( 2 4 ) , y, a 3 , se obtienen:

2 2F Q F'Q- =│

2 22 2

22 22+2 6 -6 +2 6+4

3 3 │=

=│2 2

22 + 6 22+6100

3 3

│=│16 256+900

3 9- │=

=│16 1156

3 9 │=│16 34

3 3 │=│ 18

3 │= 6 = 2a .. ❶ , y ,

2 2F T F'T- =│

2 2

2 2

- 6 + 4 7 - 6 + 4 7+2 -3 -6 2 -3+4

3 3- │=

=2 2

- 6 + 4 7 +6 - 6 + 4 7 +6+ 81 1

3 3- │=│

112 11281 +1

9 9- │=

=│ 841 121

9 9│=│ 29 11

3 3 │=│18

3│=│6│= 6 = 2a …. ❷ .

81

Con base en lo desarrollado para llegar a obtener ❶ y ❷, queda comprobado

lo que se pidió comprobar.

Para concluir el tratamiento de este subtema, enseguida se presentan las primeras

formas ordinarias de la ecuación de una hipérbola con centro en el origen del

sistema de referencia, establecidas como casos particulares (con h = 0, y k = 0)

de las segundas formas ordinarias correspondientes.

De tenerse en cuenta lo desarrollado para llegar a la expresión 2 h

FO H , puede

establecerse que: 2 2

2 21

x y

a b 1 hFO H

es la Primera forma ordinaria de la ecuación de una hipérbola (“horizontal”)

con centro en el origen, y eje focal ubicado sobre el eje X , como la que se

ilustra en la figura 1.37 .

82

Figura 1.37.

Dicha hipérbola tiene centro en 0, 0 ,O focos 0 0c , y c , F( ) F '(- ) distantes

ambos una cantidad positiva " "c de O ( ubicados sobre el eje X ) , vértices

, 0 ' , 0a aV y V - distantes cada uno de éstos una cantidad positiva " "a

de O , eje transverso de longitud igual a "2 ",a eje conjugado que mide "2 ",b

y dos lados rectos, ambos de longitud igual a 22

.b

a; a esa cónica le

corresponden dos asíntotas, una con pendiente igual a ,b

a y otra (asíntota)

cuya pendiente está dada por .b

a Relacionado con lo recién descrito, hay

que tener en cuenta que , yb c a están relacionados por medio de la igualdad:

2 2 2b c a .

Ejemplo 1.18

Considere una hipérbola definida por la ecuación 9x2 –16y

2 – 576 = 0 …①.

Con base en ello:

a) Obtenga la correspondiente forma ordinaria de la ecuación de dicha

hipérbola y diga a qué tipo de ecuación corresponde esa forma,

proporcione las coordenadas de su centro (C), de sus vértices (A y A’)

y de sus focos (F y F’),

b) Obtenga la longitud de sus lados rectos y, teniendo en cuenta dicha

longitud así como las coordenadas de sus focos, determine las

coordenadas de los extremos de sus lados rectos (a los que ha de

llamarse Q , Q’ , T y T’),

83

c) Haciendo intervenir alguna de las ecuaciones que definen a la hipérbola

de este ejemplo, verifique la validez de las coordenadas que se

determinaron, para esos cuatro puntos, y,

d) Mediante una figura represente gráficamente a las asíntotas de la

hipérbola, así como a dicha cónica, considerando dichas asíntotas,

haciéndola pasar tanto por sus vértices como por los extremos de sus

lados rectos, y respetando el que las hipérbolas tienden a tocar a sus

asíntotas, pero no las tocan.

Resolución.

a) A partir de 9x2 –16y

2 – 576 = 0 …① es factible obtener 9x

2 –16y

2 = 576,

y, 2 2

164 36

x y

…②,

ecuación pedida que es del tipo 2 2

2 21

x y

a b, es decir

1 hFO H ,

conocida como primera forma ordinaria de la ecuación de una hipérbola

(“horizontal”) con centro en el origen, y eje focal ubicado sobre el eje X ,

debido a lo cual, la hipérbola de este ejemplo tiene:

centro C(0, 0 ) , 2 a 64 , a 8 ,

2 b 36 , b 6 ,

2 2 2 , c a b c100 10 ,

vértices , y, ,A(8 0 ), A '( 8 0 ) , así como focos

, y, ,F(10 0 ), F '( 10 0 ) .

b) Considerando los valores a 8 y 6,b del inciso anterior, para dicha

hipérbola se obtienen: la longitud de sus lados rectos: 2

b

LRa

2 729

8,

1

2LR 4.5 , sus puntos ubicados en el lado recto que pasa por F , es

decir: (10, 0 4.5)Q , y, ' (10, 0 4.5)Q , o sea: (10, 4.5)Q , y,

' (10, 4.5)Q , así como sus puntos ubicados en el lado recto que pasa por

F ' , o sea : ( 10, 0 4.5) T , y, ' ( 10, 0 4.5) T , es decir: ( 10, 4.5)T , y,

' ( 10, 4.5) T .

84

c) Sustituyendo las coordenadas de Q , 'Q , T y 'T en el primer miembro

de la ecuación 9x2 –16y

2 – 576 = 0 …① (que define a la hipérbola) y

efectuando operaciones se obtienen, respectivamente:

9( 10 )2 –16( 4.5 )

2 – 576 = 900 – 324 – 576 = 0 ,

9( 10 )2 –16(- 4.5 )

2 – 576 = 900 – 324 – 576 = 0 ,

9( - 10 )2 –16( 4.5 )

2 – 576 = 900 – 324 – 576 = 0 , y,

9( - 10 )2 –16( - 4.5 )

2 – 576 = 900 – 324 – 576 = 0 ,

conjunto de resultados con base en el cual puede decirse que son válidas

las coordenadas que se obtuvieron para esos cuatro puntos.

d) Considerando los valores a 8 y ,b 6 obtenidos dentro de la

resolución del inciso a) de este ejemplo, se procedió a trazar las asíntotas

de la hipérbola pasándolas por el origen y por los vértices del rectángulo

“punteado” de la figura 1.38, el cual tiene centro geométrico en el origen,

base a2 16 y altura .b2 12 Una vez trazadas las asíntotas, teniendo

en cuenta que una hipérbola no llega a tocar a dichas rectas, se representó

gráficamente a la cónica de este ejemplo según se pidió; es decir,

haciéndola pasar tanto por sus vértices como por los extremos de sus lados

rectos.

85

Figura 1.38.

Ahora, habiendo ya concluido el ejemplo 1.18, y teniendo en cuenta lo

desarrollado para llegar a la expresión 2 h

FO H , estableceremos que

2 2

2 21

y x

a b- = vFO H

1

es la Primera forma ordinaria de la ecuación de una hipérbola (“vertical”) con

centro en el origen, y eje focal ubicado sobre el eje Y , como la mostrada en la

figura 1.39 .

86

Figura 1.39

Este tipo de hipérbola tiene centro en 0, 0 ,C focos 0 0, , c y cF( ) F '( - )

distantes ambos una cantidad positiva " "c de C ( ubicados sobre el eje Y ) ,

vértices 0, ' 0,a aV y V - distantes cada uno de éstos una cantidad

positiva " "a de O , eje transverso de longitud igual a "2 ",a eje conjugado

que mide "2 ",b y dos lados rectos, ambos de longitud igual a 22

.b

a ; a este

tipo de cónica le corresponden dos asíntotas, una con pendiente dada por

,a

b y otra cuya pendiente está dada por .

a

b-

Con relación a lo recién descrito, hay que tener en cuenta que , yb c a están

relacionados por medio de la igualdad: 2 2 2b c a .

Ejemplo 1.19

87

Una hipérbola H tiene su centro en el origen y su eje focal es colineal con el eje

Y. Si se sabe que dicha cónica pasa por los puntos P125

,1312

y P2

5 5, 18

2

:

a) Determine la primera forma ordinaria de su ecuación,

b) Obtenga una ecuación cartesiana en forma general que defina a H,

c) Determine las coordenadas de sus vértices, de sus focos, y de los extremos

de sus lados rectos, y,

d) Obtenga las ecuaciones cartesianas de sus asíntotas y represente

gráficamente tanto a esas rectas como a la hipérbola de este ejemplo.

Resolución.

a) Teniendo en cuenta la manera como se describió H puede decirse que la

primera forma ordinaria de su ecuación es del tipo, 2 2

2 21

y x

a b- = vFO H

1,

por lo que las coordenadas de los puntos P1 y P2 , de H , deben

satisfacer dicha ecuación, debido a lo cual deben cumplirse las siguientes

igualdades:

2 2

2 2

(13)(12) 25

12 121

a b

, y ,

22

2 2

5 5( 18)(2)

221

a b

, las que dan lugar a:

2 2

24336 6251

144 144a b , y,

2 2

1296 1251

4 4a b , con base en las cuales pueden

obtenerse:

24,336 2b - 625 2a = 144 2a 2b …①, 46,656 2b - 4500 2a = 144 2a 2b …②,

46,656 2b - 4500 2a = 24,336 2b - 625 2a , y, 22,320 2b = 3,875 2a …③,

88

de donde es factible obtener: 2b = 23,875

22,320

a…④ , lo que llevado a ②

implica :

8,100 2a - 4,500 2a = 25 4a , 3,600= 25 2a , y, 2a = 3,600

25 = 144 …⑤;

al llevar ⑤ a ④ se obtiene: 2b = (3,875)(144)

22,320 = 25 …⑥.

Luego de sustituir en vFO H1

tanto a ⑤ como a ⑥ se llega a:

2 2

1144 25

y x- = …⑦ ,

es decir a la primera forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola H (de este

ejemplo), la cual se pidió determinar.

b) A partir de la ecuación ⑦ es fácil obtener 25y2 – 144x

2 = 3600 , y, de ahí:

25y2 – 144x

2 – 3600 = 0 …⑧,

siendo ⑧ una ecuación cartesiana en forma general que define a H, misma

que se pidió obtener.

c) Con base en ⑦ , expresión que es de tipo vFO H1

, correspondiente a la

primera forma ordinaria de la ecuación de una hipérbola (“vertical”) con centro

en el origen, y eje focal ubicado sobre el eje Y , puede decirse que a la cónica

H (de este ejemplo) corresponde lo siguiente:

centro C(0, 0 ) , 2a 144 , a 12 ,

2b 25 , b 5 ,

2 2 2 ,c a b c 169 13 ,

vértices , y,V(0 12 ), V '(0, -12 ) , focos ,, y, F(0 13 ), F '(0 13 ) , longitud

de sus lados rectos ( LR ) = 2b

a

2 50 25

12 6, y ,

1

2LR

25

12, así como sus

puntos

89

ubicados en el lado recto que pasa por F : ,25

Q(0 + 13 )12

y ,25

Q'(0 - 13 )12

,

o sea: ,, y,25 25

Q( 13 ), Q'(- 13 )12 12

, y sus puntos ubicados en el lado recto

que pasa por F ' : ,25

T(0+ 13 )12

y ,25

T '(0 - 13 )12

, es decir ,25

T( 13 )12

y

,25

T '(- 13 )12

, quedando concluido aquí lo que se pidió determinar para este

inciso.

d)Teniendo en cuenta valores citados en el inciso c) de la resolución, de este

ejemplo, puede decirse que las asíntotas para esta hipérbola, rectas que pasan

por el origen, tienen pendientes dadas por a

b

12

5, y,

a

b

12

5, debido

a lo cual las ecuaciones de esas asíntotas son: y = 12

5 x , y, y =

12

5 x ,

mismas que en forma general se expresan como 12x - 5y = 0, y, 12x - 5y = 0.

En la figura 1.40 puede observarse la representación gráfica de la hiperbola H ,

y la de sus asíntotas, mismas que se trazaron pasando por los vértices de los

extremos del rectángulo “punteado”, de base 2 10b y altura 2 24a ,

mostrado.

90

Figura 1.40

1.5 Rotación de ejes de referencia.

Entre diversas aplicaciones, es recomendable llevar a cabo dicha acción para

transformar ecuaciones correspondientes a cónicas, definidas por ecuaciones del

tipo 2 2 0 x xy y x yA B C D E F (que corresponde a curvas alojadas en el

plano XY ), en ecuaciones donde no existan términos que contengan el producto

de dos variables, pero que definan a la misma curva. Es decir que será útil en el

sentido de que, para cada cónica definida por una ecuación del tipo recién citado,

se obtenga una ecuación del tipo 2 2

0, x y x yA C D E F que

permita representar fácilmente, a la cónica analizada, en un sistema de referencia

ortogonal * *OX Y (también ubicado en el plano XY ) como el mostrado en la

figura

91

1.29, donde ,x yP es un punto cualquiera, del plano XY , cuya posición en el

sistema * *OX Y quedará definida mediante , x yP ; es decir que ,x y

serán las coordenadas de P respecto al sistema de referencia * *OX Y .

Figura 1.41

En dicha figura (la 1.41), designamos como al ángulo formado entre el eje

*OX y el eje OX , en tanto que corresponde al ángulo que forma la línea OP

con el eje *OX .

Teniendo en cuenta los elementos de la figura 1.41, al hacer , O OP P

puede establecerse que:

cosx … ❶, seny … ❷,

cosx … ❸, y, seny … ❹.

Aplicando dos identidades trigonométricas fundamentales, ❶ y ❷ toman

respectivamente la forma:

cos cos sen sen cos cos sen sen x … ❺, y,

92

sen cos sen cos sen cos cos sen y … ❻ ,

con base en lo cual, teniendo en cuenta ❸ y ❹, obtenemos las expresiones:

cos senx x y .. REx , y, sen cosy x y .. REy

,

mismas que designaremos como “Ecuaciones para efectuar una Rotación de

Ejes”.

Ejemplo 1.20. Considérese una cónica definida por la ecuación cartesiana

2 23 30 3 6 30 33 0x xy y x y … ©. Con base en ello:

a) Haciendo intervenir al indicador 2 4 I B AC , determine de qué tipo de

cónica se trata.

b) Mediante una rotación de ejes, obtenga la ecuación cartesiana de dicha

cónica, referida a un sistema * *OX Y , de modo que la (ecuación) que se pidió

obtener carezca de término en x y .

c) Represente gráficamente en el plano XY a la cónica dada, haciéndola pasar

por seis puntos de la misma, y haciendo intervenir a las asíntotas que le

corresponden, todo ello considerando características (tanto de los puntos

como de las asíntotas) con relación al sistema de referencia * *OX Y .

Resolución.

a) Con base en los datos se tiene:

2 4 I B AC = (- 30)2 - 4(3)(3) = 864 > 0 , debido a lo cual se determina que

la cónica dada es una hipérbola.

93

b) Llevando al primer miembro de © lo contenido en las expresiones REx y

REy

, recién obtenidas para efectuar una rotación de ejes, y desarrollando

operaciones, obtenemos:

3( 2cos ) 2x - 6(cos sen ) x y + 3( 2sen ) 2y -

- 30[(cos sen ) 2x + ( 2cos ) x y - ( 2sen ) x y - (sen cos ) 2y ]

+

+ 3( 2sen ) 2x + 6(cos sen ) x y + 3( 2cos ) 2y + (6cos ) x -

- 6(sen ) y - (30 sen ) x - (30cos ) y - 33 = 0 … ❼,

lo cual, factorizando ciertos elementos, puede escribirse como sigue:

2x [ 2 23cos 3sen 30sen cos ]+ 2y [ 2 23sen 3cos 30sen cos ]+

+ ( x y )( 2 230cos 30sen ) + x (6cos 30sen )+

+ y ( 6sen 30cos ) - 33 = 0 … ❽.

Con base en ❽ podemos decir que, para que (en la ecuación que se pidió

obtener) no exista término en x y deberá tenerse

2 230cos 30sen 0 ,

igualdad que se cumple para 2 2sen cos , y, para sen cos , o sea

para β = 45º y β = 135º ; aquí tomaremos β = 45º , valor al que

corresponden:

94

sen co2

2s , 2 2sen cos

1

2 , y, sen c

1os

2 ,

valores que llevados a ❽ implican:

2x

2 2

2 2

3 330

2 2

+ 2y

2 2

2 2

3 330

2 2

+

+ ( x y )() + x (3 2 15 2 )+ y ( 3 2 15 2 ) - 33 = 0 ,

lo que puede escribirse como:

2x

3 15 + 2y

3 15 + x ( 12 2 )+ y ( 18 2 ) - 33 = 0 , y,

18 2y - 12 2x - 12 2 x - 18 2 y - 33 = 0 … ❾,

que es la ecuación pedida, misma que obtuvimos mediante una rotación de

ejes (de 45º, en sentido antihorario), ecuación que está referida a un sistema

* *OX Y , y que no contiene término en x y , justo como se pidió.

c) Para llevar a cabo la representación gráfica pedida, partiremos de que ❾

puede escribirse como: 2 2 2y y x x 18 18 1 22 12 = 33 ,

y también como: 18 2

2y y

- 12

22x x

= 33 ,

de dónde, al completar cuadrados resulta:

18 24

2 2y y

- 12 222

4x x

= 33 + 9 + (- 6),

Igualdad que podemos expresar como:

18

22

2

y - 12

22

2

x = 36 ,

lo que podemos escribir en la forma:

95

222 2

2 21

2 3

y x

❿,

ecuación que es del tipo 2 2

2 2

1

y k x h

a b.

Entonces, ❿ corresponde a la segunda forma ordinaria de la ecuación de

una hipérbola, con su eje focal paralelo al eje *Y , que tiene su centro en

2 2 2 2, , , y, , , ,

2 2 2 2

h k donde h k lo que implicaC C

0.71 , 0.71o bien C ; hipérbola a la que, además de corresponderle:

2 2, 2 a a , 2 3 , 3 , b b 2 2 2 5, , 5, c a b y c tiene focos en:

2 2

5 , 0.71 2.94 , ,2 2

h , k + c , + o bien , yF , F F o sea

2 2

5 , 0.71 1.53 ,2 2

h , k c , o bien ,

F ' , F ' F ' o sea

ubicados sobre su eje focal que es paralelo al eje Y ; tiene vértices en:

2 2

2 , 0.71 2.12 ,2 2

h , k + a , + o bien , y enV , V Vo sea

2 2

2 , 0.71 0.712 2

h , k a , o bien , V' , V ' V 'o sea ,

también ubicados sobre su eje focal; tiene eje transverso de longitud

2 2a , eje con jugado que mide 2 3 1.73b , y dos lados rectos

96

ambos de longitud dada por

22 63 2 4.24;

2

b

a además, a esta

hipérbola le corresponden dos asíntotas: una de ellas con pendiente

20.41

3

a

b, y la otra con pendiente

20.41 .

3

a

b

Con base en lo anterior resultó factible llevar a cabo la representación pedida,

misma que puede apreciarse en la figura 1.42, a la que se llegó realizando, como

paso inicial, el trazo del sistema de referencia OXY , y, como paso siguiente,

el trazo del sistema * *OX Y , girando un ángulo β = 45º en sentido antihorario

con relación al OXY , luego de lo cual se procedió como se indica enseguida, ya

todo realizado considerando características con relación al sistema * *OX Y .

Se representaron al centro C , al eje focal, a los vértices V y V' , a los

focos F y F ' , y a los extremos de los lados rectos (LM y L'M' ), de la

hipérbola.

Se dibujó un rectángulo, con centro en C , que tiene dos lados (paralelos al

eje focal) cuya magnitud es 2 2 2a , así como dos lados (perpendiculares

al eje focal) cuya magnitud es 2 2 3b , después de lo cual se trazaron las

asíntotas, pasando estas dos rectas por el centro de la hipérbola, y por los

vértices del rectángulo recién citado.

Para concluir la resolución de este ejemplo, se representó gráficamente a

nuestra hipérbola, haciendo pasar a una de las ramas por L , V y M , y,

a la otra (rama)por ,L' V' y M' , tendiendo a tocar a las asíntotas pero sin

establecer contacto con éstas.

97

Figura 1.42

SUGERENCIA. Considerando los valores de las coordenadas h, k

, del

centro de la hipérbola ( referidas al sistema * *OX Y ), y empleando las

“Ecuaciones para efectuar una Rotación de Ejes”, determine las coordenadas

del mencionado centro con relación al sistema OXY , es decir (x, y) y

compruebe que la representación del centro, en el plano XY , coincide con la

representación que se hizo, del mismo, empleando sus coordenadas h, k

.

Ejemplo1.21

Considérense los elementos incluidos tanto en el enunciado como en la resolución

del problema del ejemplo inmediato anterior (es decir el 1.20). Con base en ello:

98

a) Obtenga las coordenadas de los vértices V y V' , referidas al sistema

OXY .

b) Compruebe que dichas coordenadas cumplen la ecuación mediante la cual se

definió a la cónica de ese ejemplo, o sea 2 23 30 3 6 30 33 0x xy y x y

…©, y, finalmente, diga qué puede inferirse de dicho cumplimiento.

Resolución.

a) Habiendo tomado β = 45º como el ángulo formado por el eje *OX con

respecto al eje OX , para obtener la ecuación de la cónica dada respecto a un

sistema * *OX Y , de modo que no contuviera término en * *X Y , se

obtuvieron:

2 3 2

2 2,

V , y, 2 2

2 2,

V ' ,

debido a lo cual, con base en las expresiones REx , y, REy

, que aquí

establecimos al iniciar lo tratado en este tema 1.5 (es decir, Rotación de ejes de

referencia):

Para V se tienen las siguientes coordenadas (referidas al sistema

OXY ):

x = (cos45o)(- 2

2) – (sen45o)( 3 2

2) =

2 62

4 4 , y,

y = (sen45o)(- 2

2) + (cos45o)( 3 2

2) = 2 6

14 4

, en tanto que,

Para V ' se tienen las siguientes coordenadas (también referidas al

sistema OXY ):

99

x = (cos45o)(- 2

2) – (sen45o)( 2

2 ) =

2 20

4 4 , y,

y = (sen45o)(- 2

2) + (cos45o)( 2

2 ) = 2 2

14 4

,

o sea que, en el sistema OXY se tienen V - 2 , 1 , y, V ' 0 , - 1 .

Obsérvese en la figura 1.42 que la representación de estos puntos, en el

sistema (de referencia) OXY coincide la representación, de dichos puntos,

en el sistema * *OX Y .

b) Llevando al primer miembro de © las coordenadas de y 'V V recién

determinadas, y desarrollando operaciones se obtiene lo siguiente:

3(-2)2 - 30(-2)(1) + 3(1)

2 + 6(-2) - 30(1) - 33 = 12 + 60 + 3 - 12 - 30 - 33 = 0 ,

y,

3(-0)2 - 30(-0)( -1) + 3(-1)

2 + 6(0) - 30(-1) - 33 = 0 + 0 + 3 + 0 + 30 - 33 = 0 ;

con estos dos resultados obtenidos, queda comprobado que las recién citadas

coordenadas de V y V' cumplen la ecuación mediante la cual se definió a

la cónica de ese ejemplo, hecho del que puede inferirse que tanto V como V'

son puntos de la mencionada cónica, afirmación con que concluye este

ejemplo.

ESTIMADO LECTOR: Es deseable que, sin emplear números expresados en

forma decimal:

100

considerando que en el ejemplo 1.20, en función de sus coordenadas respecto al

sistema * *OX Y , como focos de la hipérbola analizada, se obtuvieron los

puntos:

2 25 , ,

2 2, + y

F 2 25

2 2,

F ' ;

COMPRUEBE USTED QUE el punto Q*( 2 , y*), con y*>0, de dicha cónica,

cumple con lo estipulado, en la definición de hipérbola, para ser considerado punto

de la citada cónica.

Se le sugiere que, antes de antes de intentar la comprobación pedida, con

base en la expresión ❿ , obtenida al resolver el citado ejemplo), determine el

valor de y* .

1.6 Ejercicios propuestos

Si desea ver las soluciones (o una de ellas) de los (18) ejercicios propuestos,

enunciados enseguida, puede consultar dichas soluciones de la página 102 a

la 121, de este material.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------__________________________________________________

101

E1. Dada una circunferencia cuya ecuación general es 2 2 6 4 12 0x y x y :

a) Determine su ecuación en forma ordinaria, así como las coordenadas de su

centro C , y el área del círculo cuyo perímetro coincide con la

circunferencia descrita.

b) Represente gráficamente a dicha circunferencia en el plano XY.

__________________________________________________________________

E2. Sea una circunferencia con centro en (2, )C k , donde (k=cte.)>0, que interseca

al eje de las abscisas en A(1,0) y B(3,0). Considerando que los segmentos

rectilíneos yAC BC son perpendiculares entre sí, determine la ecuación

ordinaria de dicha circunferencia, y represéntela gráficamente en el plano XY.

__________________________________________________________________

E3. Se tienen dos circunferencias, ambas de radio 5, que son tangentes entre sí

en el punto S (-1.3). Considerando que esas circunferencias tienen su centro

sobre la recta definida ecuación 4 3 13 0 x y , obtenga la ecuación ordinaria

de cada una de dichas circunferencias y represéntelas gráficamente,

incluyendo a la recta dada en la gráfica donde ellas aparecen.

__________________________________________________________________

E4. Dos circunferencias, ambas de radio igual a 50 , se intersecan en el punto

Q (3,0). Considerando que ambas circunferencias tienen su centro sobre la

recta definida por la ecuación 4 3 13 0 x y , obtenga la ecuación ordinaria

de cada una de dichas circunferencias y represéntelas en una sola gráfica,

incluyendo en ésta a la recta dada.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

E5. Sea una circunferencia definida por la ecuación 2 2 0x ax y ay , en donde

a es una constante. Con base en ello, determine las coordenadas del punto

102

P , de dicha circunferencia, que está más alejado del origen del sistema de

referencia. Después de ello, represente gráficamente a la circunferencia

descrita, resaltando al punto P .

__________________________________________________________________

E6. El eje de las abscisas y la recta L, definida por y = x, son tangentes a la

circunferencia C que tiene un radio 2 2r , y cuyo centro pertenece al

primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares donde está

definida L. Con base en ello, determine la ecuación de C en su forma

ordinaria, y represente en una sola gráfica a todos los elementos de este

ejercicio.

_________________________________________________________________

E7. Si se sabe que una parábola “horizontal” tiene vértice en V (2,1) y contiene al

punto P (3,5), obtenga su ecuación ordinaria, las coordenadas de su foco (F),

y la longitud de su lado recto, así como una ecuación que defina a la directriz

de la cónica descrita. Después de ello, represente gráficamente a dicha

cónica.

__________________________________________________________________

E8. Determine la ecuación ordinaria de una parábola “horizontal” que tiene su

directriz ubicada a la derecha de su vértice, su foco es F(2,1), y cuyo ancho

focal tiene una longitud igual a 8 (ocho) unidades. Luego de ello proporcione la

ecuación cartesiana en forma general de su directriz, y represente

gráficamente tanto a la parábola descrita, como a su foco y a su directriz.

____________________________________________________________________________________________________________________________________

E9. Una parábola vertical P, cuyo foco se encuentra ubicado abajo de su vértice,

tiene un lado recto que coincide con el segmento rectilíneo AB , donde

103

yA B son puntos diametralmente opuestos entre sí de una circunferencia C,

cuya ecuación general es 2 2 12 6 4 0 x y x y . Con base en ello:

a) obtenga las coordenadas de los puntos A y B,

b) determine la ecuación ordinaria de P , así como la ecuación de su directriz,

c) represente gráficamente a P ( mostrando inclusive a su vértice, a su foco,

y a su directriz ), y a C (así como a su centro, y a los puntos A y B ).

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

E10. Considere una elipse cuya ecuación general es 2 29 4 18 24 9 0x y x y .

Con base en ello:

a) determine su ecuación cartesiana en forma ordinaria, las coordenadas de

su centro, C , y las longitudes de sus semiejes.

b) Represente gráficamente dicha cónica, haciéndola pasar al menos por ocho

puntos de la misma, incluidos los extremos de sus lados rectos

(identificables como 1L , 2L , 1R y 2R ). Si los otros cuatro puntos para

representar a la cónica van a ser los extremos de sus ejes mayor y menor,

llámeles 1A , 2A , 1B y 2B .

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

E11. Los focos de la elipse E son los puntos 1 2(2,2) y (9,3)F F y se sabe que dicha

elipse contiene al punto (5,6)P . Con base en ello:

a) Determine las coordenadas del centro de E ,

b) Obtenga la longitud del eje mayor de E,

c) Determine la longitud del eje menor de esa elipse, y,

d) Represente gráficamente a la elipse descrita, haciendo intervenir para ello a

su centro, los extremos de sus ejes (tanto mayor como menor), y, los

extremos de sus lados rectos.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

104

E12. Considere la ecuación 2 2 1 x y y , donde es una constante, y

determine los valores de para que dicha ecuación represente:

a) una hipérbola con eje focal paralelo al eje X,

b) un par de rectas, y,

c) una hipérbola con eje focal paralelo al eje Y.

__________________________________________________________________

E13. Si las asíntotas de la hipérbola H son las rectas de ecuaciones 2 1 0x y

y 2 1 0x y , en tanto que uno de sus vértices es 1 1,0V :

a) Determine las coordenadas del segundo vértice de H.

b) Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la hipérbola descrita.

c) Represente gráficamente a dicha cónica.

____________________________________________________________________________________________________________________________________

E14. Sea la cónica H cuya ecuación cartesiana es 0xy x y . Con base en ello:

a) Empleando el discriminante I, determine qué tipo cónica es H ,

b) Mediante una rotación de ejes, obtenga una ecuación en forma general

que defina a H en un sistema de referencia Ouv de modo que la

ecuación que se pidió obtener no contenga término en uv (es decir

término cruzado),

c) Exprese en forma ordinaria la ecuación que se pidió obtener en el inciso

b) , y,

d) Represente gráficamente a H empleando puntos definidos por sus

coordenadas en el sistema de referencia original (Oxy ).

__________________________________________________________________

105

__________________________________________________________________

E15. Sea C una cónica definida por 2 25 4 5 21 0 x xy y …(E). Con base en

ello.

a) Empleando el discriminante I, determine qué tipo cónica es C,

b) Mediante una rotación de ejes, obtenga una ecuación general que defina

a C en un sistema de referencia Ouv de modo que la ecuación que se

pidió obtener no contenga término en uv (es decir término cruzado),

c) Exprese en forma ordinaria la ecuación que se pidió obtener, y,

d) Represente gráficamente a C empleando puntos definidos por sus

coordenadas en el sistema de referencia original (Oxy ).

_________________________________________________________________

E16. Identificar y representar gráficamente al lugar geométrico cuya ecuación

general es 2 22 2 2 1 0x xy y x y .

__________________________________________________________________

E17. Si con relación a un sistema de referencia Oxy se define a una hipérbola H

mediante la ecuación general 2 232 128 32 192 0x xy y , determine las

coordenadas que tienen sus vértices, 1 2yV V , en el sistema de referencia

Oxy .

Sugerencia: Mediante una rotación de ejes, obtenga una ecuación referida a un

sistema Ouv de modo que la ecuación obtenida defina a H pero no contenga

término en uv (es decir término cruzado). Después de ello, con base en la nueva

ecuación, determine las coordenadas de dichos vértices referidas al sistema Ouv ,

y con base en éstas, determine las coordenadas que tienen 1 2yV V , en el sistema

de referencia Oxy .

106

__________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

E18. El área de cualquier elipse de semiejes ya b está dada por la expresión

A ab . Teniendo ello en cuenta, obtenga el área de la elipse E cuya

ecuación general, referida a un sistema Oxy es 2 23 2 14 0 x xy y .

Sugerencia: Mediante una rotación de ejes, obtenga una ecuación

correspondiente a E, referida a un sistema Ouv , de modo que la ecuación

obtenida no contenga término en uv (es decir término cruzado). Después de ello,

con base en la ecuación obtenida, determine una ecuación en forma ordinaria para

la elipse E, la cual podrá emplearse para determinar sus semiejes ya b , así como

obtener el área de ella.

__________________________________________________________________

107

__________________________________________________________________

1.7 Soluciones de los 18 ejercicios propuestos

Solución ejercicio E1: a) 2 2 23 2 25, (3, 2), 25 x y C A u ;

representación gráfica pedida:

__________________________________________________________________

108

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E2:

2 2

2 1 2x y ;

representación gráfica pedida:

__________________________________________________________________

109

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E3:

2 2 2 2

4 1 25, 2 7 25 x y x y ;

representación gráfica pedida:

110

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E4:

2 2 2 2

4 1 50, 2 7 50 x y x y ;

representación gráfica pedida:

111

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E5:

( , )P a a ; representación gráfica pedida:

112

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E6:

2

2 2( 2) ( 2 2) 2 2

x y ;

representación gráfica pedida:

113

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Solución ejercicio E7:

2

1 16 2 , (6,1), . . 16, 2 0 y x F L R x ;

representación gráfica pedida:

114

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E8:

2

1 8( 4), 6 0 y x x ;

representación gráfica pedida:

115

__________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Solución ejercicio E9:

a) ( 13,3) , (1,3)A B , b) 2 13

6 142

x y

, c) 10 0y ,

116

c) representación gráfica pedida:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E10:

a)

2 21 3

14 9

x y, (1, 3), , : 2 3C y longitudesdelos semiejes y .

b) representación gráfica pedida:

117

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E11:

a) 11 5

,2 2

C

, b) 10, c) 5 2 ,

d) representación gráfica pedida.

118

Para elaborar esta representación, se procedió como se indica enseguida:

1. Teniendo en cuenta sus coordenadas, se ubicaron los focos F1 y F2 , así

como el centro C (punto medio entre los focos F1 y F2 ), después de lo cual

se trazó el eje focal pasando por los focos que, de acuerdo con los datos, distan

5 2 u.l., debido a lo cual 2c = 5 2 , c = 5 2

2 , y,

2c = 25

2 .

2. Sobre el eje focal se ubicaron los extremos del eje mayor A y A’,

equidistantes ellos una cantidad a = 5 del centro C (pues la distancia de P

tanto a F1 como a F2 es igual a 5, debido a lo cual la suma de las distancias

de P a cada uno de los focos resultó igual a 10, correspondiente esto a 2a ,

implicando ello a = 5 y que P fuera uno de los extremos del eje menor,

pasando éste por C y por P).

Continúa en la siguiente hoja (2/2)

Continúa solución ejercicio E11 (hoja 2/2)

3. Se ubicó a P (punto cuyas coordenadas son parte de los datos de este

problema) y se trazó una línea con la dirección del eje menor (pasando por P y

por C), para después de ello ubicar a P’ (el otro extremo del eje menor)

119

distante de C una cantidad 5

2 b , en virtud de que

2 2 25

2 b a c =

5

2=

5 2

2.

4. Se ubicaron los puntos S y S’ (extremos de uno de los lados rectos de la

elipse), así como los puntos T y T’ (extremos del otro de los lados rectos),

sobre líneas perpendiculares al eje focal y que pasan por los focos F1 y F2 ,

respectivamente, distando de dicho eje (cada uno de esos extremos) una

cantidad igual a la mitad de la longitud de cualquier lado recto, o sea:

21 2

2

b

a =

225

25

b

a =

5

2 = 2.5

5. Finalmente, acorde con lo solicitado, se trazó la elipse de este ejemplo,

pasando

por A y A’, P y P’, S y S’, T y T’ .

_________________________________________________________________

Solución ejercicio E12:

a) 2,2 , b) 2, 2 c) , 2 2, .

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E13:

120

a) 2 (3,0)V , b)

2 211

4 1

x y ,

d) representación gráfica pedida:

Obsérvese que para, trazar las asíntotas no se requirió considerar sus

ecuaciones; bastó hacerlas pasar por los vértices E, F, G y H del rectángulo

con centro geométrico en C, mostrado en la gráfica, cuya base (que es paralela al

eje focal) y altura son, respectivamente, 2a = 4 y 2b = 2 .

Además, vale la pena mencionar que, no obstante que en la figura se tienen

anotadas las coordenadas de los recién citados vértices, no se requirió emplear

dichas coordenadas para ubicarlos en la gráfica.

Continúa en la siguiente hoja (2/2)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E14, hoja 1/2:

121

a) I =1 > 0, por lo que H es una hipérbola.

b) Después de determinarse que debería efectuarse una rotación de ejes con un

ángulo β = 45º, para obtener una ecuación que no tuviera término cruzado ( uv ),

se llevó a cabo el proceso citado obteniéndose la ecuación 2 2 2 2 0u v v .

c) Partiendo de la ecuación correspondiente a la solución del inciso b), puede

obtenerse que dicha ecuación, en forma ordinaria, se expresa como

2

221

2 2

v u, ecuación con base en la cual puede confirmarse que la

cónica H, de este ejercicio, es una hipérbola.

d) representación gráfica pedida:

Para llevar a cabo esta representación, teniendo en cuenta lo que se menciona en

el enunciado de este ejercicio, se procedió como se indica enseguida:

Empleando la ecuación cartesiana dada de H (o sea 0xy x y ) se obtuvieron

coordenadas de puntos de dicha cónica, dando a x los valores 7, 6, 5, 4, 3, 2,

Continúa en la siguiente hoja (2/2)

Hoja 2/2 (de la solución ejercicio E14).

122

1, 1

2,

1

4, 0, -

1

8, -

1

4, -

1

2, -

3

4,-

7

8,-

7

6, -

3

2, -

7

4, - 2, - 3, -4, - 5, y - 6, obteniendo

valores de y , para esos valores de x , resultando los puntos que se presentan

enseguida, definidos por coordenadas correspondientes al sistema de referencia

original, o sea referidas al sistema Oxy ; todos estos puntos pudieron emplearse

para representar gráficamente a la cónica, H , pero no todos se señalan en la

representación gráfica recién mostrada, porque las letras que identificarían a

algunos de ellos quedarían muy juntas, o se encimarían (no obstante ello, dicha

representación cumple con lo indicado en el enunciado del ejercicio).

t(7, 7

8), s(6,

6

7), r(5,

5

6), q(4,

4

5), p(3,

3

4), ñ(2,

2

3), n(1,

1

2), m( 1

2,

1

3),

l( 1

4,

1

5), 0(0, 0), k(-

1

8, -

1

7), j(-

1

4, -

1

3), i(-

1

2, -1), h(-

3

4, -3), h’(-

7

8, -7),

g’(-7

6, 7), g(-

3

2, 3), f(-

7

4,

7

3), e(- 2, 2), d(- 3,

3

2), c(- 4,

4

3), b(- 5,

5

4), y,

a(- 6, 6

5). Nótese que no se tiene punto alguno de H para 1x debido a

que, para ese valor de x , no existe ningún valor de y que cumpla la

ecuación cartesiana de esa cónica.

Como complemento de lo anterior mencionaremos que, con base en la ecuación

correspondiente al inciso c) de este ejercicio, puede afirmarse que, en el sistema

Ouv el centro de la cónica analizada queda definido por C ( 0 , 2 ), debido a lo

cual sus coordenadas cartesianas (es decir en el sistema Oxy ) son:

Cx (cosβ) (0) - (senβ) ( 2 ) = (2

2)(0) - (

2

2)( 2 ) = 0 - 1 = - 1, y,

Cy (senβ) (0) + (cosβ) ( 2 ) = (2

2)(0) + (

2

2)( 2 ) = 0 + 1 = 1,

por lo que, en el sistema de referencia Oxy , el centro de la cónica de este

ejercicio queda definido mediante C(-1, 1), punto que puede ubicarse en la

representación gráfica de esta solución. Obsérvese que esto es congruente con el

hecho de que no haya punto de la cónica, de este ejercicio, cuyas coordenadas

satisfagan la ecuación cartesiana dada de la misma ( o sea 0xy x y ) para el

valor 1x , pues ninguna hipérbola pasa por el punto definido como centro de

ella.

______________________________________________________________

123

Solución ejercicio E15:

a) I = - 84 < 0, por lo que C es una elipse.

b) Después de llevar a cabo una rotación de ejes, con un ángulo β = 45º, para

obtener una ecuación que definiera a la cónica de este ejemplo (C) en un

sistema de referencia Ouv , de modo que dicha ecuación no tuviera término

cruzado (es decir al producto uv ), partiendo de la ecuación (E), que define a

C en un sistema de referencia Oxy , se obtuvo la ecuación:

2 27 3 21 0u v … (E*) .

c) A partir de la ecuación (E*), correspondiente a la solución del inciso b), es

factible mostrar que dicha ecuación, en forma ordinaria, puede expresarse

como: 2 2

17 3

v u … (E**).

d) representación gráfica pedida (ver explicación después de la siguiente

gráfica):

Continúa en hoja 2/3.

Continúa solución ejercicio E15, hoja 2/3:

124

Esta representación se llevó a cabo después de determinar las coordenadas,

referidas al sistema original (Oxy ), de los extremos de los ejes mayor y menor de

nuestra cónica, así como las de sus focos (según veremos a continuación), para

luego de ello, ubicar en la gráfica tanto a los extremos recién citados, de los ejes,

como a los extremos de los lados rectos de nuestra elipse C (identificables como

1L ,2L ,

1R y 2R ), teniendo en cuenta la longitud de dichos lados rectos.

Como la ecuación (E**) nos hace ver que nuestra cónica es una elipse con centro

en el origen, cuyos ejes mayor y menor están girados 45º respecto a los ejes del

sistema Oxy , los valores absolutos de las coordenadas de los extremos de sus

ejes deben ser iguales, lo que propició que prosiguiéramos de la siguiente

manera.

Se hizo y x en 2 25 4 5 21 0 x xy y … (E), ecuación con que se definió a C,

obteniendo: 2 2 25 4 5 21 0x x x , 214 21x , 2 21 3

14 2x , y,

3

2x

por lo que, los extremos de uno de sus ejes serán los siguientes puntos, definidos

por coordenadas en el sistema Oxy : P1(3

2,

3

2), y, P2(-

3

2, - 3

2),

datos que implican el que la longitud de

uno de los ejes de nuestra cónica valga:

Al hacer y x en 2 25 4 5 21 0 x xy y , es decir en (E), se obtuvo:

2 2 25 4 5 21 0x x x , 26 21x , 2 21 7

6 2x , y,

7

2x ,debido a lo cual, los

extremos del otro de sus ejes son los puntos Q1(7

2, -

7

2), y, Q2(-

7

2,

7

2), definidos también por coordenadas en el sistema Oxy ; entonces, la longitud

del otro de los ejes de nuestra cónica es:

2 23 32 2 6 6 12 2 3.

2 2( ) ( )

2 22 7 2 714 14 28 2 7

2 2( ) ( )

125

Continúa en hoja 3/3.

Solución ejercicio E15, hoja 3/3:

por lo que este valor (el cual es mayor que el valor 2 3 recién obtenido)

corresponde a la longitud del eje mayor (de extremos Q1 y Q2), teniéndose 2 7

= 2 a , en tanto que 2 3 viene siendo la longitud del eje menor (de extremos P1 y

P2), lo que implica 2 3 = 2 b .

Considerando las dos igualdades más recientes tenemos que: a = 7 , b = 3 ,

2a = 7 … ❶ , y , 2b = 3 …❷ ,

valores congruentes con lo establecido en la ecuación 2 2

17 3

v u , es decir …

(E**).

Teniendo en cuenta ❶ y ❷ se tienen:

2c = 2a -

2b = 7 – 3 = 4, y , c = 2; y como ( c )(cos45o) = (2)2

2

= 2 :

F1(- 2 , 2, ) y F2 ( 2, - 2 ) resultan los focos de nuestra elipse,

expresados mediante sus coordenadas cartesianas; además, la longitud de cada

uno de los lados rectos de esta elipse viene siendo:

LR = 2

2

2b

a=

2(3)

7=

6( 7)

7 .

Ya teniendo las coordenadas cartesianas de Q1 y Q2 (extremos del eje mayor)

y las de P1 y P2 (extremos del eje menor) así como las de los focos ( F1 y

F2), se representaron estos seis puntos en el plano xy , después de lo cual, a

los extremos de los lados rectos (o sea 1L , 2L , 1R y 2R ) se les ubicó sobre líneas

perpendiculares al eje focal, pasando por los focos, de modo que cada uno de

126

esos extremos equidistara (del eje focal) una cantidad igual a la mitad de la

longitud de un lado recto, es decir: 1

2(LR) =

3( 7)

7 ≐ 1.134 unidades.

_________________________________________________________________

Solución ejercicio E16:

Al aplicar el discriminante se obtuvo I = 0, lo cual indica que el lugar geométrico

de ecuación general 2 22 2 2 1 0x xy y x y es una línea recta, de pendiente

igual a 1 (uno), cuya ordenada al origen vale 1 (uno), según puede apreciarse

enseguida.

La ecuación cartesiana dada puede expresarse en cualquiera de las formas

siguientes: 2 22 2 2 1 0x xy y x y , o, 2( ) 2( ) 1 0x y x y , de donde

pueden obtenerse 2

( ) 1 0x y , ( ) 1 0x y , ( ) 1 0x y , 1 0x y ,

o bien 1y x , que es una ecuación del tipo y mx b , modelo matemático

correspondiente a la ecuación de una recta en la forma pendiente-ordenada al

origen, con base en lo cual se confirma que, el lugar geométrico de ecuación

general 2 22 2 2 1 0x xy y x y es una línea recta, de pendiente igual a 1

(uno), cuya ordenada al origen vale 1 (uno).

Representación gráfica pedida:

127

Para efectuar esta representación, como se trata de una recta, bastó dibujarla

haciéndola pasar dos puntos por donde pasa, empleando los puntos de

intersección de ella con los ejes coordenados, es decir P1(0, 1) y P2(-1, 0), que

pueden apreciarse en la gráfica, mismos cuyas coordenadas cumplen la ecuación

1y x .

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Solución ejercicio E17:

1 21, 1 y 1, 1V V .

[ La nueva ecuación, mencionada en la sugerencia, es: 2 23 6 0 u v ]

Solución ejercicio E18:

27 2A u .

[ La ecuación que se sugirió obtener es: 2 2(2 2) (2 2) 14 0 x y .