cÓnicas 1. cÓnicas 2 cÓnicas superficie cÓnica. cortes con un plano un poco de historia la...
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CÓNICASCÓNICAS 11
CÓNICASCÓNICAS 22
CÓNICAS CÓNICAS• SUPERFICIE CÓNICA.
CORTES CON UN PLANO • UN POCO DE HISTORIA• LA CIRCUNFERENCIA• LA ELIPSE• LA HIPÉRBOLA• LA PARÁBOLA• PARA QUÉ SE UTILIZAN
LAS CÓNICAS (enlace)
• EJERCICIOS (Enlace)• ENLACES
CÓNICASCÓNICAS 33
SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS
SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS
Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica.
e
Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas:
CircunferenciaElipse
Parábola Hipérbola
UN POCO DE HISTORIA
UN POCO DE HISTORIA
Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol.
Otras aplicaciones de las cónicas
CÓNICASCÓNICAS 55
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante.
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante .
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz.
Las Cónicas como lugar geométrico Las Cónicas como lugar geométrico
La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)
CÓNICASCÓNICAS 66
LA CIRCUNFERENCIA
• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• CIRCUNFERENCIA TRASLADADA• POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA• POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS• POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA
CIRCUNFERENCIA• EJE RADICAL
CÓNICASCÓNICAS 77
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio.
LA CIRCUNFERENCIAECUACIÓN REDUCIDA
geogebra
P(x,y)
x
yr
d(P,O) rP(x,y)
2 2x 0 y 0 r
22 2 2x y r
2 2 2x y r
Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r
Ecuación reducida de la circunferencia
CÓNICASCÓNICAS 88
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio.
LA CIRCUNFERENCIA
P(x,y)
x-a
yr
d(P,C) rP(x,y)
2 2x a y b r
Ecuación de la circunferencia de centro (a,b) y radio r
x
y-b
bC(a,b)
22 2 2x a y b r
2 2 2x a y b r
2 2 2 2 2x 2ax a y 2by b r 2 2x y Ax By C 0 2 2 2
A 2a
B 2b
C a b r
Tambien:
a
CÓNICASCÓNICAS 99
LA ELIPSE
• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• ELIPSE TRASLADADA• EXCENTRICIDAD
CÓNICASCÓNICAS 1010
Ecuación reducida de la elipse
LA ELIPSE. ECUACIÓN REDUCIDA
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).
2 22 22 2x c y 2a x c y
geogebra
d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)
2 22 2x c y x c y 2a
2 2
2 2
x y1
a b
P(x,y)
2 22 2x c y 2a x c y
22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y
2 2 24a x c y 4a 4cx
222 2 2a x c y a cx
2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
FF’
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b x a y1
a b a b
a ab
c
ab
c2 2 2 a c b
CÓNICASCÓNICAS 1111
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje mayor:
Eje menor:
Ecuación eje mayor:
Ecuación eje menor:
Excentricidad:
a a
C(0,0) A(a,0)A’(-a,0) F(c,0)F’(-c,0)
B’(0,-b)
B(0,b)
LA ELIPSE. CARACTERÍSTICASElipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).
d(P,F') d(P,F) 2a
2 2
2 2
x y1
a bb
c
ab
c
Ecuación reducida de la elipse
C(0,0)
F(c,0) y F’(-c,0)
A(a,0), A’(-a,0),
B(0,b) y B’(0,-b)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=0
x=0
e=c/a2 2 2 a c b
NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor
a c
a b
(e<1)
CÓNICASCÓNICAS 1212
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
2 2
2 2
x y1
a b
Ecuación reducida de la elipse
c
ea
Excentricidad de la elipse:
c=0 , es decir, los focos coínciden:e = 0
Se trata de una CIRCUNFERENCIA
c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices:
e = 1
Se trata de un SEGMENTO
c < a :0 < e < 1 Se trata de una ELIPSE
propiamente dicha
CÓNICASCÓNICAS 1313
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje mayor:
Eje menor:
Ecuación eje mayor:
Ecuación eje menor:
Excentricidad:
a
a
C(0,0)
A(0,a)
A’(0,-a)
F(0,c)
F’(0,-c)
B’(-b,0) B(b,0)
LA ELIPSE. CARACTERÍSTICASElipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (llamados focos) es constante (2a).
a b
d(P,F') d(P,F) 2a
2 2
2 2
x y1
b a
b
c
ab
c
Ecuación reducida de la elipse
C(0,0)
F(0,c) y F’(0,-c)
A(0,a), A’(0,-a),
B(b,0) y B’(-b,0)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
x=0
y=0
e=c/a2 2 2 a c b
a c
NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY
CÓNICASCÓNICAS 1414
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje mayor:
Eje menor:
Ecuación eje mayor:
Ecuación eje menor:
Excentricidad:
a
C(x0,y0)
ELIPSE TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante (2a).
2 2
0 02 2
x x y y1
a b
b
Ecuación de una elipse de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas
C(x0,y0)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=y0
x=x0
e=c/a
O
A(x0+a,y0)
A’(x0-a,y0)
B(x0,y0+b)
B’(x0,y0-b)
c
F(x0+c,y0)
F’(x0-c,y0)
A(x0+a,y0), A’(x0-a,y0),
B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b)
F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0)
CÓNICASCÓNICAS 1515
LA HIPÉRBOLA
• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• HIPÉRBOLA TRASLADADA• EXCENTRICIDAD DE
UNA HIPÉRBOLA• HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
CÓNICASCÓNICAS 1616
Ecuación reducida de la hipérbola
LA HIPÉRBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).
2 22 22 2x c y 2a x c y
geogebra
d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)
2 22 2x c y x c y 2a
2 2
2 2
x y1
a b
2 22 2x c y 2a x c y
22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y
22 24cx 4a 4a x c y
22 22 2cx a a x c y
2 2 2 4 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2cx c y
2 2 2 2 2 2 2 2c a x a y a c a
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b x a y1
a b a b
P(x,y)
CÓNICASCÓNICAS 1717
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje real:
Eje imaginario:
Ecuación eje real:
Ecuación eje imaginario:
Excentricidad:
Asíntotas:
aC(0,0)
A(a,0)A’(-a,0)
F(c,0)F’(-c,0)
B’(0,-b)
B(0,b)
LA HIPERBOLA. CARACTERÍSTICAS
b
y xa
c a
d(P,F') d(P,F) 2a
2 2
2 2
x y1
a bb c
cb
a
Ecuación reducida de la hipérbola
C(0,0)
F(c,0) y F’(-c,0)
A(a,0), A’(-a,0),
B(0,b) y B’(0,-b)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=0
x=0
e=c/a2 2 2 c a b
NOTA: Los focos siempre están en el eje real
(e>1)
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).
c a
CÓNICASCÓNICAS 1818
EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA
1 c
ea
2 2
2 2
x y1
a b
Ecuación reducida de la hipérbola
Excentricidad de la hipérbola:
c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices:
e = 1
Se trata de dos SEMIRRECTAS
c > a :e > 1 Se trata de una HIPÉRBOLA
propiamente dicha
semidis tancia focal
excentricidadsemieje real
CÓNICASCÓNICAS 1919
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje real:
Eje imaginario:
Ecuación eje real:
Ecuación eje imaginario:
Excentricidad:
Asíntotas:
a
C(0,0)
A(0,a)
A’(0,-a)
F(0,c)
F’(0,-c)
B’(-b,0) B(b,0)
LA HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICAS
b
cC(0,0)
F(0,c) y F’(0,-c)
ay x
b
2 2
2 2
y x1
a b
Ecuación reducida de la hipérbola
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=0
e=c/a
NOTA: Los focos siempre están en el eje real
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante.
cb
a
2 2 2 c a b
c a
A(0,a), A’(0,-a),
B(b,0) y B’(-b,0)
(e>1)
x=0
CÓNICASCÓNICAS 2020
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje real:
Eje imaginario:
Ecuación eje real:
Ecuación eje imaginario:
Excentricidad:
Asíntotas:
C(x0,y0)
HIPÉRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)
2 2
0 02 2
x x y y1
a b
Ecuación de una hipérbola de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas
C(x0,y0)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=y0
x=x0
e=c/a
O
A(x0+a,y0)A’(x0-a,y0)
B(x0,y0+b)
B’(x0,y0-b)
a
bc
F(x0+c,y0)F’(x0-c,y0) A(x0+a,y0), A’(x0-a,y0),
B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b)
F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0)
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ es constante.
0 0
by y x x
a
X
Y
CÓNICASCÓNICAS 2121
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
CÓNICASCÓNICAS 2222
LA PARÁBOLA
• DEFINICIÓN• GENERACIÓN• CARACTERÍSTICAS• ECUACIÓN REDUCIDA• PARÁBOLA TRASLADADA
CÓNICASCÓNICAS 2323
Ecuación reducida de la parábola
Vértice (0,0) y eje OX
LA PARÁBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). (2a).
pF ,0
2
d(P,F) d(P,r)P(x,y)
22 2
2p px y x
2 2
V(0,0)
p
x2
22p p
x y x2 2
2 2
2 2 2p px px y x px
4 4
2y 2px
El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.
p
CÓNICASCÓNICAS 2424
Ecuación reducida de la parábola
LA PARÁBOLA. CARACTERÍSTICAS
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2).).
pF ,0
2V(0,0)
p
x2
2y 2px
El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.
pFoco:
Vértice:
Eje :
Directriz:
Parámetro:
pF ,0
2
V(0,0)
y=0
eje
p
x2
p>0
2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICASCÓNICAS 2525
2
p 0
y 2px
2
p 0
y 2px
2
p 0
x 2py
2
p 0
x 2py
pF ,0
2
V(0,0)
y=0
p
x2
2y 2px
Foco:
Vértice:
Eje :
Directriz:
2x 2py
Foco:
Vértice:
Eje :
Directriz:
pF 0,
2V(0,0)
x=0
p
y2
CÓNICASCÓNICAS 2626
Ecuación de una parábola
de eje paralelo al eje OX
LA PARÁBOLA TRASLADADAParábola es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz .
0 0
pF x ,y
2
d(P,F) d(P,r)P(x,y)
V(x0,y0)
0
px x
2
2
0 0y y 2p x x
El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.
O
Y
Foco:
Vértice:
Eje :
Directriz:
Parámetro:
y=y0
p>0
0 0
pF x ,y
2
V(x0,y0)
0
px x
2
CÓNICASCÓNICAS 2727
CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA ELIPSEELIPSE
HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA PARÁBOLAPARÁBOLA
CÓNICASCÓNICAS 2828
• Las cónicas están presente en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elíptica. Las antenas parabólicas y las ópticas de los automóviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la vida cotidiana.
CÓNICASCÓNICAS 2929
ENLACES• DE TODO.• TEORIA Y EJERCICIOS:
• http://personales.unican.es/gonzaleof/• http://soko.com.ar/index.htm
• CÓNICAS:• FLASH:
• http://perso.wanadoo.es/j.antonio_cuadrado/• http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/• http://www.rena.edu.ve/CuartaEtapa/Matematica/tema6/tema6b.html• http://almez.pntic.mec.es/~aberho/conicas/resumen.htm• http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm• http://www.fcen.uba.ar/museomat/maquinas.htm
• Con Geogebra:• http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/conicas.htm• http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Lugares_geometricos_conicas/index.htm• http://soko.com.ar/matem/matematica/Conicas.htm• http://www.revista.dominicas.org/conicas.htmCon cABRI:
http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
CÓNICASCÓNICAS 3030
• http://images.google.es/imgres?imgurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi12.JPG&imgrefurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi1.htm&h=210&w=364&sz=20&hl=es&start=68&um=1&tbnid=aoKTWiBZHOLGQM:&tbnh=70&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D60%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DN
http://images.google.es/imgres?imgurl=http://thesaurus.maths.org/mmkb/media/vrml/thumbnails/hiperbola.gif&imgrefurl=http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html%3Bjsessionid%3D22B83B293E5F770268DE4BC2DE33EDB1%3Faction%3DentryByConcept%26id%3D859&h=25&w=25&sz=2&hl=es&start=98&um=1&tbnid=Mp1GbTdIniPemM:&tbnh=25&tbnw=25&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D80%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DN