CIRCUNFERENCIA Definición : Lugar geométrico de los puntos del plano (P) que equidistan ( R ) de otro punto llamado Centro (C) Ecuaciones:

1.- Aplicando dist. (P(x,y), C(a,b)) = R; obtenemos 222 )()( Rbyax =−+− 2.- Desarrollando: x2 + y2+ mx + ny + p = 0 donde, m = -2a n = -2b p = a2 + b2 _ R2, es decir:

a= 2m

− b= 2n

− R2 = a2 + b2 - p

Ecuación de una circunferencia centrada en el O(0,0): x2 + y2 = 0 Circunferencias concéntricas: x2 + y2+ mx + ny + p1 = 0 ; x2 + y2+ mx + ny + p2 = 0

RECTAS TANGENTES a una circunferencia : 1.-En un punto de ella: el vector que une el centro y dicho punto es perpendicular a la tangente 2.-En un punto exterior: doble solución, poner la recta tangente en la forma pto-pte y la distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es el radio (ver ejemplos clase) ELIPSE Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas suma de distancias a dos punto fijos llamados focos ( F y FI) ,es constante. (Sustituyendo P=A, se observa que la constante es 2.a )

• • Eje focal: La recta que pasa por los focos. • Eje secundario: mediatriz del segmento que une F y FI

• Distancia focal, es la distancia entre los focos, 2c. F(c,0) y FI(-c,0) • Vértices : Los puntos en los que la elipse corta al eje focal y al secundario.A(a,0), AI(-a,0B(b,0)

y BI(-b,0) B a • Eje Mayor: Segmento que une A y AI, 2a . Semieje mayor : a • Eje Menor: Segmento que une B y BI, 2b . Semieje menos. b • Centro de la elipse O, es el punto de intersección de los ejes. AI A

Ecuación: De |PF| +| PFI| = 2a , la ecuación de ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN , eje mayor 0X y menor OY.

12

2

2

2

=+by

ax

donde: a2= b2 + c2 ( sustituyendo P=B; |BF|+|BFI|=2.a ; |BF|=b2+c2)

b F c F

EXCENTRICIDAD: e=c/a (siempre será e<1) Cuanto más próxima a 1 sea e la elipse será más achatada, si e=0 será una circunferencia ( ya que si e=0, c=0 y a=b)

CÓNICAS

HIPÉRBOLA Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas diferencia de distancias a dos punto fijos llamados focos ( F y FI) ,es constante. (Sustituyendo P=A, se deduce que la constante es 2a

• Eje focal: La recta que pasa por los focos. (eje real) • Eje secundario: mediatriz del segmento que une F y FI (eje imaginario)

• Distancia focal, es la distancia entre los focos, 2c. F(c,0) y FI(-c,0) • Vértices : Los puntos en los que la hipérbola corta al eje focal A y AI • Centro de la hipérbola O, es el punto de intersección de los ejes. • Eje real o mayor, 2.a • Eje imaginario, 2b

Ecuación: De |PF| -| PFI| = 2a , la ecuación de HIPÉRBOLA CENTRADA EN EL ORIGEN , eje mayor 0X y menor OY.

12

2

2

2

=−by

ax

donde b2= c2 – a2

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA Es una hipérbola cuyo semieje real es igual al semieje imaginario, a = b. Ecuación : x2 - y2 = a2 Asíntotas: y =x y =-x

Excentricidad: e = 2 Si cambiamos los ejes a las bisectrices la ecuación será:

y = xk

con k =2

2a. Asíntotas, eje x y eje y

PARÁBOLA Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz, y de un punto llamado foco.

• Parámetros de la parábola, p, es la distancia entre entre el foco y la directriz. • Eje de la parábola, es la perpendicular a la directriz que pasa por el foco. • Vértice, es el punto de intersección de la parábola con su foco

Ecuaciones: y2 = 2px PARÁBOLA CON CENTRO (0,0) Y EJE HORIZONTAL, F(P/2,0) X2 = 2py PARÁBOLA CON CENTRO (0,0) Y EJE VERTICAL, F(P/2,0)

Excentricidad Hipérbola: e=c/a Siempre será e>1, pues el semieje menor es siempre mayor que la semidistancia focal

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA Recta que pasa por su centro y es tangente a ella en el infinito Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola centrada en el origen:

y = ab

x e y = -ab

x

Nota : La representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa es una hipérbola.

Hipérbola equilátera y=1/x o y.x=1

Nota: Las parábola de eje vertical , que no pase por el O(0,0) tienen la expresión y = ax2 + bx + c , son con las que hemos trabajado. Recordar el vértice era

xV= - ab

2 ; la y sustituíamos para calcular

su valor. Si a>0 era convexa, si a<0 cóncava

Nota: Las parábola de eje horizontal que no pase por el O(0,0) tiene la ecuación la expresión x = ay2 + by + c

El vértice era yV = - ab

2 ; la x sustituíamos para

calcular su valor. Si a>0 las ramas van hacía la derecha Si a<0 hacía la izquierda a>0 a<0 V

p O oF(p/2,0) directriz

I.E.S Profesor Máximo Trueba Profesora: Rosa Hernández Gila