conferencia cables en sap2000

8/19/2019 Conferencia Cables en Sap2000

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XIV CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA CIVIL - IQUITOS 2003 Capítulo de Ingeniería Civil del Consejo Departamental de Loreto del Colegio de Ingenieros del Perú

Análisis no lineal de estructuras de cables y aplicaciones en elSAP 2000 versión 8.

Bachiller: Liliana Lourdes Sánchez Fernández.PhD : Víctor Sánchez Moya.

Gerencia XIV CONIC: ICG Instituto de la Construcción y GerenciaCalle Nueve1056 Urb. Corpac San Isidro, LIMA – PERU / (51 – 1) 225-9066 /www.construccion.org.pe / [email protected]

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Introducción

El análisis estructural de estructuras de cables, sobre todo para puentes colgantes de gran luz,requiere tomar en cuenta los efectos no lineales introducidos por los grandes desplazamientosque se producen en este tipo de estructuras. El calculo de la lecha de montaje de un puentecolgante así como el efecto de cargas concentradas sobre puentes colgantes sin viga derigidez, son ejemplos que muestran la necesidad de considerar la no linealidad de la estructura.El presente trabajo es parte de un trabajo mas completo que tiene por objeto el desarrollo depuentes colgantes carrozables (vehículos menores) de gran luz basados en el uso deestructuras de cables principalmente del sistema cuadricable utilizados en acueductos,oleoductos, mineroductos, etc.Esta primera parte esta orientada a mostrar mediante ejemplos sencillos los problemas de nolinealidad y la manera de resolverlos por medio de la ultima versión del SAP 2000, quepresenta opciones de cálculo para análisis no lineal geométrico.


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1.- Ejemplo sencillo de no linealidad geométrica por grandes desplazamientos:

Primero se describirá el comportamiento no lineal mediante una solución analítica (exacta),posteriormente se realizara un calculo de la misma de manera iterativa, y finalmente serealizara el calculo matricial, que es la manera como trabajan los programas de calculo comoel SAP 2000.

1.1.- Calculo analítico.Para ilustrar lo escrito anteriormente se trabajara con la estructura que se muestra en la figura

1.

onde:

32 .

def mada es:

Se obtiene T:

Datos: Valores UnidadesL/2 = 5 mP = 14 tn.α 1 = 5 ºE = 1.61E+07 tn/m²

A = 9.62E-04 m²z = 0.43744332 m

D

Li = 5.01909919 m.

Li Sen α1 = 0.437443 m

Del equilibrio en la posición or

ero Lf según las relaciones constitutivas se puede expresar como:P

según las relaciones de compatibilidad Lf se puede expresar como:

Figura 1: Barras elásticas sometidas a una fuerza vertical

2 P TSen =2 α

)(22 12 υαα +==

Sen LSenT

i

PL P f

TLi.....(2)

EAi f L L +=

Y

22 αυα ++=.....(3)

11 )()( Cos LSen L L ii f

.....(1)


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De las ecuaciones (1),(2) y (3) se obtiene la siguiente expresión:

ondeD

)( 1 υα += Sen L x i

alculando se obtienen los resultados de la tabla:

Si verificamos el equilibrio en la posición inicial obtendremos un valor para T = 80.32 tn. Valor

.2.- Calculo por iteraciones.

( ) P x LiCos x EA Li EA =+− − 2/12

12 )(2

2 α

Tabla 1: resultados de la solución analítica

C

Lf = 5.037687 m

T = 57.35911 m υ = 0.177609 m

que difiere del obtenido en la tabla 1.

1

o dos formas de calculo iterativo, la primera de ellasonsiste en una secuencia de pasos lineales, colocando al sistema un desplazamiento

en establecer relaciones lineales con la geometría del sistemal como se muestra en la Figura 2.

Otra manera de calcular estructuras con no linealidad, es mediante procesos iterativos, paraeste ejemplo sencillo se ha realizadcpequeño ∆u con el cual se puedtaLos desplazamientos se incrementan hasta que la carga P que equilibra el sistema sea delvalor que deseamos, es decir P = 14 tn.

Figura 2: Desplazamientos incrementales


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Resultados para este proceso iterativo

2 0.01

Tabla 2: Resultado del proceso iterativo por desplazamientos incrementales.

4 0.01 0.04 0.0932 11.1429 2.07445 0.01 0.05 0.0952 14.0746 2.6758

6 0.01 0.06 0.0972 17.0666 3.3119

7 0.01 0.07 0.0992 20.1188 3.9835

8 0.01 0.08 0.1011 23.2311 4.6913

9 0.01 0.09 0.1031 26.4035 5.4359

10 0.01 0.1 0.1051 29.6359 6.2180

11 0.01 0.11 0.1071 32.9282 7.0383

12 0.01 0.12 0.1091 36.2803 7.8974

13 0.01 0.13 0.1110 39.6921 8.7960

14 0.01 0.14 0.1130 43.1637 9.7347

15 0.01 0.15 0.1150 46.6948 10.7142

16 0.01 0.16 0.1170 50.2855 11.7352

17 0.01 0.17 0.1189 53.9355 12.7983

18 0.002 0.172 0.1209 54.6774 13.1884

19 0.002 0.174 0.1213 55.4215 13.4113

20 0.002 0.176 0.1217 56.1680 13.6358

21 0.002 0.178 0.1221 56.9169 13.8622

22 0.0002 0.1782 0.1225 56.9920 13.9250

23 0.0002 0.1784 0.1225 57.0671 13.9479

24 0.0002 0.1786 0.1226 57.1423 13.9707

25 0.0002 0.1788 0.1226 57.2175 13.9936

26 0.000025 0.178825 0.1226 57.2269 14.0003

iteraciones T i P i

1 0.01 0.01 0.0873 2.7101 0.4724

0.02 0.0893 5.4606 0.9734

3 0.01 0.03 0.0912 8.2716 1.5072

∆ u u i α i

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 5 10 15 20 25 30

Numero de iteraciones

D e s p l a z a m i e n t o s u

Grafico 1: Desplazamientos vs. Numero de iteraciones

0.2

0.16

0.18


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Otra alternativa de c ndo las tensionesn los elementos con r a calcularlas con

posición corregida hasta que los valores converjan y se verifique el equilibrio.

sta alternativa es mas recomendable, puesto que se emplea menor numero de iteraciones,

os resultados obtenidos para este proceso son, los mostrados en la tabla 4 y en el grafico 2 seuestra el proceso de conv

alculo es realizar la secuencia de pasos lineales calculasiderando la configuración inicial y posteriormente volvee

la Eademás que nos da un resultado mas preciso.

Figura 3: Secuencia de calculo lineal

Lergencia .m

Iteraciones θ i Ti lf ui θ (i+1)

1 0.087266 80.

Tabla 3: Resultados obtenidos del proceso iterativo

4 0.123027 57.041866 5.03758415 0.17676679 0.12222966

5 0.122230 57.412095 5.03770413 0.17775003 0.12242337

6 0.122423 57.321700 5.03767483 0.17751011 0.12237611

7 0.122376 57.343731 5.03768197 0.17756859 0.12238763

8 0.122388 57.338359 5.03768023 0.17755433 0.12238482

9 0.122385 57.339669 5.03768066 0.17755781 0.12238550

10 0.122386 57.339350 5.03768055 0.17755696 0.12238534

11 0.122385 57.339428 5.03768058 0.17755717 0.12238538

12 0.122385 57.339409 5.03768057 0.17755712 0.12238537

13 0.122385 57.339413 5.03768057 0.17755713 0.12238537

315993 5.04512635 0.23583219 0.13384999

2 0.133850 52.453838 5.03609736 0.16445083 0.11980236

3 0.119802 58.569570 5.03807922 0.18081406 0.12302700


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0

0.05

0.1

0.15

0 2 4 6 8 10 12 1

Nº de itera ciones

D e s p

l a z a m

i e n

t

Grafico 2: Desplazamientos vs. Numero de iteraciones

0.2

0.25

4

o ( u

1.3.- Calculo matricial

e describe el análisis matricial de estructuras de barra considerando los efectos de noealidad para grandes desplazamientos, con el fin de ilustrar el procedimiento con el que

n la figura 4 se muestra un elemento antes y después de que haya experimentado

eformaciones, como se aprecia las deformaciones introducen cambios en la longitud del

d y la rotación de cuerpo rígido del elemento pueden introducirse

Slintrabaja el SAP 2000.E

dmiembro, producen una rotación de cuerpo rígido del elemento y generan una curvatura en elmismo.El cambio de longitufácilmente en la matriz de rigidez en función de los desplazamientos en los extremos delelemento.

os términos que se introducen a la matriz de rigidez viene ha estar incluidos en la matriz degidez geométrica, la cual es:

Figura 4: Elongación y rotación axial de un cuerpo rígido

Lri

2211 vuvu


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•

−

ntonces la expresión

matriz es la matriz deca Kg. Se aplicara el

ara ello se deben tener en cuenta la orientación de los elementos, puesto que las matrices degidez mostradas anteriormente han sido obtenidas para un elemento cuya posición inicial es

matricial se transforma en:

−−

1010

0101 L

E

Donde S es la matriz de fuerzas que actúan en el elemento, la primerarigidez elástica Ke, La segunda matriz es la matriz de rigidez geométrianálisis matricial al ejemplo sencillo, que se vio anteriormente.

−224 10100000 vv s

Prila horizontal (ver Figura4).

nsamblando y simplificando obtenemos:

[ ]

−= 1010

0101 F

Kg

−−

+

−

=2

1

1

1

1

2

1

010

1010

0101

0000

0101

u

v

u

F v

u

EA s

s

−−23 10101 Lu L s

+∆+

∆+=22

2

2 0100120

)(0

0)(20u L

T uSen

Cos L EA

P αααα

E

Figura 5


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Efectuamos el calculo de acuerdo a la expresión de arriba y teniendo en cuenta la notación defigura 5:

Z L Sen( α 1) ε T k R ∆ v

la

- 6280.437443 5.019099 0.087156 0.000000 0.000 46.881 -14.000 -0.298628 -0.298-0.736072 5.053890 0.145645 0.006932 107.358 172.501 17.272 0.100129 -0.198499-0.635942 5.040280 0.126172 0.004220 65.361 123.772 2.493 0.020145 -0.178354-0.615797 5.037778 0.003722 57 0 114 56 0.091 0.000795 -0.1775580.122236 .64 .7

34 .4-0.615000 5.037681 0.122080 0.003702 57.339 114.405 0.000 0.000000 -0.177557

Tabla5 Resultados obtenidos del calcu matricia

-0.615002 5.037681 0.122080 0.003702 57. 0 114 06 0.000 0.000001 -0.177557

onde:

rsión 8 en el análisis no lineal de estructuras sometidas a

D

1.4.- Uso del SAP 2000 vgrandes desplazamientos.

e

as versiones anteriores de SAP 2000 permitían realizar análisis no lineal geométrico destructuras por pandeo, a lo que se le conoce como el efecto P- delta, esta alternativa de

ndes

resenta la alternativa de calculo no lineal para estructuras sometidas a grandes

estructuras de cables, se presentara el análisis del ejemplo anterior que es

e definieron en el programa el tipo de material y la sección con la que se va trabajar, de este

Leanálisis no contempla el caso en el que la no linealidad es originada por los gradesplazamientos.En Diciembre del año 2002 ingreso al mercado la versión 8 del programa SAP 2000, la cual

pdesplazamientos, a si como el análisis por etapas o procesos constructivos.

Para apreciar las ventajas que presenta la ultima versión de SAP 2000 frente al calculo nolineal y análisis deuna clara ilustración de no linealidad geométrica debida a grandes desplazamientos, así comose vera la aplicación practica de este programa en el calculo de cables colgantes.

Smodo se ingresan los valores de E =1.61e7 tn / m2 y A = 9.62E-04 m2, y se define el tipo deanálisis que se va emplear , en este caso, es análisis no lineal con largos desplazamiento, losresultados que se presentan en las figuras siguientes son el resultado del análisis no lineal conlargos desplazamientos (figuras 6 y 7).

Análisis no lineal empleando el SAP 2000

En vista que el análisis lineal no dio los resultados esperados, puesto que no cumple con laondición de equilibrio, se usara un análisis no lineal para el calculo de este ejemplo sencillo.

: lo l

L L Lf −=ε

LT

Sen L EA

k 22

12 += α

12 αTSen P R += k R /=∆

c


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Se ha definido en el Entorno del SAP 2000 versión 8, un tipo de análisis estático de naturalezaesplazamientos.

os resultados de este análisis son los que se muestran en las figuras 6 y 7:no lineal, escogiéndose la opción de grandes dL

Figura 6: Análisis no lineal (grandes desplazamientos) en el SAP 2000. Desplazamientosen el nudo central.


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tituto de la Cons0²²

T p

dx yd =

trucción y GerenciaCalle Nueve1056 Urb. Corpac San Isidro, LIMA – PERU / (51 – 1) 225-9066 /www.construccion.org.pe / [email protected]

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Figura 7: Análisis no lineal (Grandes desplazamientos) en el SAP 2000.Fuerza axial en los elementos

Verificando el equilibrio para los resultados obtenidosEl desplazamiento del nudo 2 es de –0.17746 m, lo que indica que el seno del ángulo que parala posición deformada de la estructura es:

L z

Sen)(

)( να +=

El valor de la tensión en el elemento es de T = 57.3083 tn y para que se cumpla el equilibriodebe de cumplirse que:

)(2 αTSen P =

El valor de 2T Sen( α ) debe ser igual a 14 tn.El valor de 2T Sen( α ) = 13.99 tn. y 13.99 ≈ 14 , se puede decir que se cumple con elequilibrio.

2.- Aplicación al análisis de cables colgante

El análisis de cables colgantes presenta no linealidad geométrica debida a grandesdesplazamientos.

Para ilustrar esto se hará una introducción a la teoría de cables flexibles y posteriormente serealizara un análisis no lineal con el SAP 2000, comparando los resultados obtenidos con lasolución analítica a fin de evaluar las ventajas que presenta esta versión del programa para

este tipo de análisis.

En el SAP 2000 hay dos opciones de calculo para el análisis no lineal, estas dependen delcomportamiento no lineal de las estructuras y se pueden identificar por:- El efecto P- delta (grandes esfuerzos).- Este tipo de no linealidad se presenta cuando las

fuerzas y momentos presentes en la estructura son grandes, y las ecuaciones de equilibrio quese plantean en la geometría inicial y la deformada difieren incluso si las deformaciones seanmuy pequeñas.- El Efecto de los grandes desplazamientos: Este tipo de no linealidad se presenta cuando laestructura se somete a grandes deformaciones ( en particular grandes traslaciones yrotaciones), las formulaciones ingenieriles de esfuerzo y deformación ya no son aplicables, elequilibrio se evalúa en la geometría deformada.

2.1.- Teoría de los cables flexibles

La ecuación diferencial de los cables flexibles es:

Gerencia XIV CONIC: ICG Ins

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Cuando es constante la intensidad de la carga p la descripción se aproxima a la de un puentecolgante, obteniéndose la forma parabólica del cable, la cual se expresa e como:

02

² y

T

px=

Figura 8: Cable colgante sometido una carga constante por unidad de longitud

•Tomando el sistema de coordenadas indicado en la figura 9, las expresiones con las que setrabaja son:

)(4 2

2 xlxl f

y −= f

wl H

8

2

=

+=

L f

LS 2

38

+=∆

L f

f L

EAwL

S 34

42

2

Figura 9: Puente colgante cuyas torres se encuentran al mismo nivel


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Donde S es la longitud del cable y ∆S es la elongación del mismo .

2.2.- Comportamiento frente a cargas uniformemente distribuidas

En la figura 10 se observa que inicialmente el cable tiene una configuración de montaje, la cualdespués de aplicar las cargas se deforma hasta llegar a la configuración final.

Figura 10: Posición de montaje (plomo) y posición final (azul)

A diferencia de los análisis convencionales, en el caso de cables colgantes, la incógnita es laposición de montaje, puesto que la posición final es de a cuerdo a los requerimientos encampo.

2.2.1.- Calculo analítico del cable suspensor

L = 145.5 m.

f = 14.55 m.

Figura 11: Configuración final de un puente colgante

La figura muestra la posición final, lo que nos interesa conocer es la posición de montaje, enotras palabras la flecha de montaje (f 1 ). Para ello se va emplear la condición de compatibilidad, la cual requiere que para diferentesestados de carga, la longitud final del cable menos su elongación, es igual a la longitud inicialdel cable ( S 0 )

............(4)02211 S S S S S =∆−=∆−

Denominaremos a la posición final como estado (2), el cual esta sometido a una carga

uniformemente distribuida, equivalente al peso del tablero ( w 2 ) y a la posición de montaje comoestado (1), el cual esta sometido a una carga uniformemente distribuida equivalente al pesopropio del cable suspensor ( w 1)

La siguiente tabla muestra los datos de un ejemplo ilustrativo.

L = 145.5 m f 2 = 14.55 m w 2 = 772.37 kg/m w 1 = 29 kg/m E = 1.61E+10 kg/m²

A = 0.0027226 m2


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+=

L LS

3

f 28 .....(5)

+=∆ L f EAS 342 f LwL 42

.....(6)

Tabla 6: Datos del ejemplo ilustrativo para el análisis del cable colgante

mpleando las expresiones (4),(5) y (6) calculamos S2, ∆S2 y S 0

Y reemplazando las expresiones (5), (6) y (7) en la ecuación de compatibilidad (4), se obtiene

La expresión (8) es una cúbica, donde la incógnita es f 1 , que es la flecha de montaje y la que

El valor de la flecha de montaje f 1, se obtiene resolviendo la ecuación (8); así como la

stos valores son:

= 13.64 m.9 kg.

ste ejemplo se trabajara en el SAP 2000 versión 8 Haremos empleo de la versatilidad que

f H

8= wl

2 .....(7)

.....(8)

S 2 = 149.380 m∆ S 2 = 0.491 m

So = 148.889 m

024

)(243

110

21

131

=−−−− EA

f LS f EA

f L

3168 3 Lw Lw

E

lo siguiente:

define la posición inicial, que deseamos conocer.

componente horizontal de la tensión del cable H ( la cual es constante y la denominamosempuje) se pueden obtener empleando la expresión (7).

E f 1H2 = 140474.9H1 = 5627.45 kg.

Epresenta este programa para interactuar con Excel y obtener de esta manera la posición de

montaje, por medio de un proceso iterativo.

Figura 12: Numeración de los nudos de la estructura


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La siguientes tablas muestran las coordenadas finales y las coordenada correspondientes a laosición de montaje, después del proceso iterativo, el calculo efectuado es el correspondiente

to porque queremos evaluar únicamente elomportamiento del cable colgante ante la acción de cargas distribuidas y puntuales.

taje estapresentada de plomo y la posición final o deformada esta representada por azul, el

erificando el equilibrio en el nudo 16 - Etapa1 ( carga uniformemente distribuida)

= 14.551702 m.

ponente horizontal de la tensión en el cable suspensor, z es la distanciaertical entre el nudo 16 y el apoyo del cable suspensor.16)

la ecuación (9) la diferencia no es cero, es 536.88, valor que representa unorcentaje de error del 0.026% con respecto al valor del momento flector, y para fines del

pa una etapa de carga a la cual he denominado Etapa 1 y corresponde a la acción de cargasuniformemente distribuidas tales como el peso propio del tablero del puente colgante, la etapa2 corresponde a la acción de una carga puntual.

El modelo no cuenta con una viga de rigidez, esc La figura 13 muestra los desplazamientos para la Etapa 1, la posición de monredesplazamiento del nudo central del cable suspensor (nudo 16, ver figura 12), es de 0.7471 m.

16

Figura 13: Desplazamientos producidos por la carga uniformemente distribuida

V De lo obtenido en el SAP 2000 se tiene:

H = 140421.6 kgz

Donde H es la comvEl momento flector en el cable es cero, así que el momento flector en el nudo central (nudodebe ser cero.

Evaluando en

80= ....(9)

2

−× wL z H

pcalculo es aceptable.


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TABLE: Joint CoordinatesJoint XorR ZText m m

1 3.6E-15 14.652 4.85 12.774673 9.7 11.028674 14.55 9.4125 19.4 7.924676 24.25 6.566677 29.1 5.3388 33.95 4.238679 38.8 3.26867

10 43.65 2.42811 48.5 1.7166712 53.35 1.1346713 58.2 0.68214 63.05 0.3586715 67.9 0.1646716 72.75 0.117 77.6 0.1646718 82.45 0.3586719 87.3 0.68220 92.15 1.1346721 97 1.7166722 101.85 2.42823 106.7 3.2686724 111.55 4.2386725 116.4 5.33826 121.25 6.5666727 126.1 7.9246728 130.95 9.41229 135.8 11.0286730 140.65 12.7746731 145.5 14.6532 4.85 -1.8E-1533 9.7 -3.6E-15

34 14.55 -3.6E-1535 19.4 -7.1E-1536 24.25 -7.1E-1537 29.1 -8.9E-1538 33.95 -8.9E-1539 38.8 -8.9E-1540 43.65 -1.24E-1441 48.5 -1.24E-1442 53.35 -1.42E-1443 58.2 -1.42E-1444 63.05 -1.78E-1445 67.9 -1.78E-1446 72.75 -1.78E-1447 77.6 -2.13E-1448 82.45 -2.13E-14

49 87.3 -2.31E-1450 92.15 -2.31E-1451 97 -2.66E-1452 101.85 -2.66E-1453 106.7 -2.66E-1454 111.55 -2.84E-1455 116.4 -2.84E-1456 121.25 -3.2E-1457 126.1 -3.2E-1458 130.95 -3.38E-1459 135.8 -3.38E-1460 140.65 -3.38E-1461 0 062 145.5 -3.55E-14

Joint U1 U3 X Z1 0.000 0.000 0.000 14.6502 -0.019 -0.089 4.869 12.8643 -0.035 -0.173 9.735 11.2024 -0.047 -0.252 14.597 9.664

5 -0.056 -0.327 19.456 8.2516 -0.061 -0.395 24.311 6.9627 -0.064 -0.459 29.164 5.7978 -0.064 -0.517 34.014 4.7559 -0.062 -0.568 38.862 3.837

10 -0.058 -0.614 43.708 3.04211 -0.051 -0.654 48.551 2.37012 -0.043 -0.686 53.393 1.82113 -0.033 -0.713 58.233 1.39514 -0.023 -0.732 63.073 1.09015 -0.012 -0.742 67.912 0.90716 0.000 -0.746 72.750 0.84617 0.012 -0.742 77.588 0.90718 0.023 -0.732 82.427 1.09019 0.033 -0.713 87.267 1.39520 0.043 -0.686 92.107 1.82121 0.051 -0.654 96.949 2.37022 0.058 -0.614 101.792 3.04223 0.062 -0.568 106.638 3.83724 0.064 -0.517 111.486 4.75525 0.064 -0.459 116.336 5.79726 0.061 -0.395 121.189 6.96227 0.056 -0.327 126.044 8.25128 0.047 -0.252 130.903 9.66429 0.035 -0.173 135.765 11.20230 0.019 -0.089 140.631 12.86431 0.000 0.000 145.500 14.65032 -0.003 -0.098 4.853 0.09833 -0.003 -0.181 9.703 0.18134 -0.002 -0.259 14.552 0.25935 -0.002 -0.333 19.402 0.33336 -0.001 -0.401 24.251 0.40137 -0.001 -0.463 29.101 0.46338 -0.001 -0.520 33.951 0.52039 -0.001 -0.571 38.801 0.57140 0.000 -0.617 43.650 0.61741 0.000 -0.656 48.500 0.65642 0.000 -0.688 53.350 0.68843 0.000 -0.714 58.200 0.71444 0.000 -0.733 63.050 0.73345 0.000 -0.743 67.900 0.74346 0.000 -0.746 72.750 0.74647 0.000 -0.743 77.600 0.74348 0.000 -0.733 82.450 0.733

49 0.000 -0.714 87.300 0.71450 0.000 -0.688 92.150 0.68851 0.000 -0.656 97.000 0.65652 0.000 -0.617 101.850 0.61753 0.001 -0.571 106.699 0.57154 0.001 -0.520 111.549 0.52055 0.001 -0.463 116.399 0.46356 0.001 -0.401 121.249 0.40157 0.002 -0.333 126.098 0.33358 0.002 -0.259 130.948 0.25959 0.003 -0.181 135.797 0.18160 0.003 -0.098 140.647 0.09861 -0.004 0.000 0.004 0.00062 0.004 0.000 145.496 0.000

Desplazamientos y coord. De montaje iteracion 2 - Etapa 1

Tabla 7: Configuración final Tabla 8: Configuración de montaje, obtenida en la 2da iteración


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Una vez obtenida la posición de montaje, procedemos a calcular los desplazamientosproducidos por la carga correspondiente a la Etapa 1, esta posición debería ser igual a laposición final, pero por efectos de calculo es una posición muy aproximada.La tabla 9 muestra los desplazamientos para la Etapa 1 así como la posición deformada y lavariación de esta ultima con respecto a la posición final.

Una vez realizado el análisis para cargas uniformemente distribuidas, se calcula losdesplazamientos para una Etapa 2, la cual corresponde a la acción de una carga puntual P =10000 kg, aplicada en el nudo 10, que corresponde a una distancia de x 1 = 43. 65 m.La tabla 10 muestra los desplazamientos para la Etapa 2 así como la posición deformada.

Al final de ambos análisis se evaluara el equilibrio en las posiciones deformadas, con lafinalidad de verificar si se cumple este ultimo y ver cuan preciso es el análisis no lineal deestructuras sometidas a grandes desplazamientos con el SAP 2000 versión 8.

La figura 14 muestra los desplazamientos correspondientes a la etapa2.

10

Figura 14: Desplazamientos producidos por la carga uniformemente distribuida mas una cargapuntual.

Verificando el equilibrio en el nudo 10 - Etapa2 (carga uniformemente distribuida + puntual)

Para ello en el nudo 10 que es el nudo de aplicación de la carga debe de cumplirse que elmomento debe se cero, tal como lo indica la siguiente expresión:

022

)()()()( 1

2111 =

×−+

−−+×+ xwL xw

L x x L P

w z h H ......(10 )

Donde (H+h) es la componente horizontal de la tensión ene le cable suspensor, debida a lacarga uniformemente distribuida (H) y a la carga puntual (h). El valor de (z+w) corresponde a la distancia vertical entre el nudo 10 y el apoyo del cablesuspensor.De lo obtenido en el SAP 2000 tenemos:(H+h) = 155803.3 kg.(z+w) = 12.949252 m.

Evaluando los valores en la ecuación (10) se obtiene una diferencia de 220.62, la cualrepresenta un error de 0.010%, que para fines prácticos es aceptable.


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Joint U1 U3 X Z ∆X ∆Z1 0.0000 0.0000 0.0000 14.6500 0.0000 0.00002 -0.0193 -0.0896 4.8499 12.7740 0.0001 0.00073 -0.0350 -0.1745 9.6998 11.0273 0.0002 0.00134 -0.0471 -0.2544 14.5498 9.4101 0.0002 0.00195 -0.0560 -0.3291 19.3997 7.9222 0.0003 0.00256 -0.0618 -0.3985 24.2497 6.5637 0.0003 0.00307 -0.0646 -0.4623 29.0997 5.3345 0.0003 0.00358 -0.0647 -0.5204 33.9497 4.2348 0.0003 0.00399 -0.0624 -0.5726 38.7997 3.2644 0.0003 0.0042

10 -0.0579 -0.6186 43.6497 2.4235 0.0003 0.004511 -0.0514 -0.6584 48.4998 1.7119 0.0002 0.004812 -0.0432 -0.6915 53.3498 1.1297 0.0002 0.005013 -0.0337 -0.7177 58.1998 0.6769 0.0002 0.005114 -0.0230 -0.7367 63.0499 0.3536 0.0001 0.005115 -0.0116 -0.7471 67.9000 0.1600 0.0000 0.004616 0.0000 -0.7506 72.7500 0.0956 0.0000 0.004417 0.0116 -0.7471 77.6000 0.1600 0.0000 0.004618 0.0230 -0.7367 82.4501 0.3536 -0.0001 0.005119 0.0337 -0.7177 87.3002 0.6769 -0.0002 0.0051

20 0.0432 -0.6915 92.1502 1.1297 -0.0002 0.005021 0.0514 -0.6584 97.0002 1.7119 -0.0002 0.004822 0.0579 -0.6186 101.8503 2.4235 -0.0003 0.004523 0.0624 -0.5726 106.7003 3.2644 -0.0003 0.004224 0.0647 -0.5204 111.5503 4.2348 -0.0003 0.003925 0.0646 -0.4623 116.4003 5.3345 -0.0003 0.003526 0.0618 -0.3985 121.2503 6.5637 -0.0003 0.003027 0.0560 -0.3291 126.1003 7.9222 -0.0003 0.002528 0.0471 -0.2544 130.9502 9.4101 -0.0002 0.001929 0.0350 -0.1745 135.8002 11.0273 -0.0002 0.001330 0.0193 -0.0896 140.6501 12.7740 -0.0001 0.000731 0.0000 0.0000 145.5000 14.6500 0.0000 0.000032 -0.0040 -0.0991 4.8493 -0.0007 0.0007 0.000733 -0.0033 -0.1827 9.6995 -0.0013 0.0005 0.001334 -0.0026 -0.2614 14.5496 -0.0019 0.0004 0.001935 -0.0021 -0.3351 19.3997 -0.0025 0.0003 0.002536 -0.0016 -0.4036 24.2497 -0.0030 0.0003 0.003037 -0.0012 -0.4666 29.0998 -0.0035 0.0002 0.003538 -0.0009 -0.5241 33.9499 -0.0039 0.0001 0.003939 -0.0006 -0.5756 38.7999 -0.0043 0.0001 0.004340 -0.0004 -0.6211 43.6499 -0.0046 0.0001 0.004641 -0.0002 -0.6604 48.5000 -0.0049 0.0000 0.004942 -0.0001 -0.6931 53.3500 -0.0051 0.0000 0.005143 -0.0001 -0.7190 58.2000 -0.0052 0.0000 0.005244 0.0000 -0.7377 63.0500 -0.0052 0.0000 0.005245 0.0000 -0.7476 67.9000 -0.0047 0.0000 0.004746 0.0000 -0.7506 72.7500 -0.0044 0.0000 0.004447 0.0000 -0.7476 77.6000 -0.0047 0.0000 0.004748 0.0000 -0.7377 82.4500 -0.0052 0.0000 0.005249 0.0001 -0.7190 87.3000 -0.0052 0.0000 0.005250 0.0001 -0.6931 92.1500 -0.0051 0.0000 0.0051

51 0.0002 -0.6604 97.0000 -0.0049 0.0000 0.004952 0.0004 -0.6211 101.8501 -0.0046 -0.0001 0.004653 0.0006 -0.5756 106.7001 -0.0043 -0.0001 0.004354 0.0009 -0.5241 111.5501 -0.0039 -0.0001 0.003955 0.0012 -0.4666 116.4002 -0.0035 -0.0002 0.003556 0.0016 -0.4036 121.2503 -0.0030 -0.0003 0.003057 0.0021 -0.3351 126.1003 -0.0025 -0.0003 0.002558 0.0026 -0.2614 130.9504 -0.0019 -0.0004 0.001959 0.0033 -0.1827 135.8005 -0.0013 -0.0005 0.001360 0.0040 -0.0991 140.6507 -0.0007 -0.0007 0.000761 -0.0050 0.0000 -0.0008 0.0000 0.0008 0.000062 0.0050 0.0000 145.5008 0.0000 -0.0008 0.0000

Desplazamientos y coordenadas - Etapa 1rd. De mont Desplazamientos Coordenadas desplazadas Coomparacion con P. F

Tabla 9: Desplazamientos, posición deformada y variación de esta ultima respecto a la posiciónfinal – Etapa 1


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Joint U1 U3 X Z1 0.000 0.000 0.000 14.6502 -0.030 -0.121 4.839 12.7433 -0.060 -0.249 9.675 10.9534 -0.089 -0.383 14.508 9.2815 -0.117 -0.525 19.339 7.7276 -0.144 -0.673 24.167 6.2897 -0.170 -0.829 28.994 4.9678 -0.194 -0.993 33.821 3.7629 -0.215 -1.165 38.647 2.672

10 -0.234 -1.341 43.474 1.70111 -0.206 -1.227 48.345 1.14312 -0.181 -1.115 53.212 0.70713 -0.160 -1.008 58.074 0.38614 -0.142 -0.906 62.931 0.18415 -0.126 -0.808 67.786 0.09916 -0.113 -0.715 72.637 0.13117 -0.102 -0.628 77.487 0.27918 -0.092 -0.546 82.335 0.54419 -0.085 -0.469 87.182 0.92620 -0.078 -0.397 92.029 1.42421 -0.073 -0.331 96.876 2.03922 -0.068 -0.271 101.725 2.77123 -0.063 -0.217 106.575 3.62024 -0.059 -0.169 111.427 4.58625 -0.054 -0.127 116.282 5.66926 -0.048 -0.092 121.140 6.87127 -0.042 -0.062 126.002 8.18928 -0.034 -0.038 130.869 9.62729 -0.025 -0.020 135.741 11.18230 -0.013 -0.007 140.617 12.85731 0.000 0.000 145.500 14.65032 -0.099 -0.130 4.754 -0.03233 -0.099 -0.256 9.604 -0.07534 -0.099 -0.390 14.454 -0.13035 -0.098 -0.531 19.303 -0.198

36 -0.099 -0.678 24.153 -0.27837 -0.099 -0.834 29.002 -0.37138 -0.100 -0.996 33.851 -0.47639 -0.101 -1.167 38.699 -0.59640 -0.103 -1.348 43.548 -0.73141 -0.105 -1.228 48.395 -0.57342 -0.107 -1.116 53.243 -0.42843 -0.109 -1.009 58.091 -0.29544 -0.110 -0.907 62.940 -0.17545 -0.112 -0.809 67.788 -0.06646 -0.113 -0.715 72.637 0.03147 -0.113 -0.628 77.487 0.11548 -0.114 -0.547 82.336 0.18549 -0.114 -0.470 87.186 0.24450 -0.114 -0.398 92.036 0.290

51 -0.114 -0.333 96.886 0.32352 -0.114 -0.273 101.735 0.34353 -0.114 -0.220 106.586 0.35154 -0.114 -0.173 111.436 0.34755 -0.113 -0.132 116.286 0.33156 -0.113 -0.097 121.136 0.30457 -0.113 -0.068 125.986 0.26558 -0.112 -0.045 130.835 0.21559 -0.112 -0.028 135.685 0.15460 -0.112 -0.016 140.535 0.08261 -0.100 0.000 -0.096 0.00062 -0.112 0.000 145.384 0.000

Desplazamientos y coordenadas desplazadas - Etapa 2rd. De mont Coord. desplazadas Etapa 2Desplazamientos Etapa 2

Tabla 10: Desplazamientos, posición – Etapa 2


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Conclusiones:

- Las estructuras de cables, particularmente en el caso de puentes colgantes sin vigade rigidez, están sometidas a grandes desplazamientos, y cuyo análisis requiere

tomar en cuenta los efectos de no linealidad.

- La opción que presenta el SAP 2000 para análisis no lineal por grandesdesplazamientos es una herramienta versátil, de gran utilidad y que facilita el análisisde estructuras de cables y de puentes colgantes en general.


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conferencia cables en sap2000

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