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Universidad de las Ciencias Informáticas Maquinas Computadoras I Curso 2006/2007 Manual del profesor

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TEMA I. Circuitos Lógicos CONFERENCIA 1. Introducción a los Circuitos Lógicos.

Sumario:

1. Introducción a los Circuitos Lógicos. Definiciones del álgebra de conmutación.

2. Sistemas numéricos. (E.I).

3. Compuertas lógicas. Conversión entre compuertas.

4. Formas canónicas. Bibliografía:

1. Blanco, N. “Circuitos lógicos”, pp 36-47 y 59-73.

2. García, Antonio. “Circuitos Electrónicos Digitales II “, páginas 1-20

http://intranet.uci.cu/sd

Departamento de Sistemas Digitales

3.

4. Wakerly,J. F, “Digital Design“

Objetivos: 1. Definir álgebra de conmutación

2. Describir los sistemas numéricos más utilizados como: el decimal, el binario, el

hexadecimal y el octal.

3. Representar gráficamente las diferentes compuertas lógicas y convertir de una a otra.

4. Obtener funciones de conmutación en sus formas canónicas.

Orientaciones metodológicas iniciales

En un tiempo aproximado de 10min el profesor deberá explicar en que consiste

la asignatura, los temas que se impartirán, la cantidad de horas clases, así

como el sistema de evaluación.

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Máquinas Computadoras I 2


1. Introducción a los Circuitos LógicosDesde el siglo XVII en que Leibniz probó que todos los números se podían escribir con sólo dos

dígitos, 1 y 0, dando así comienzo a la era binaria; se sentaron las bases para el surgimiento de

las primeras máquinas de cálculo automático que fueron las antecesoras de las computadoras

actuales.

El desarrollo de las computadoras ha llevado a la utilización en su diseño de circuitos electrónicos

complejos pero todos ellos están basados en los circuitos lógicos como unidad básica.

Los circuitos lógicos se dividen en:

1. Circuitos combinacionales: El valor de la salida depende del estado de las entradas, es

decir de la combinación de las entradas.

Estos circuitos se dividen en circuitos combinacionales uniterminales (una salida) y

circuitos combinacionales multiterminales (varias salidas).

2. Circuitos secuenciales: El valor de la salida depende del estado de las entradas y del

estado anterior de la propia salida, es decir de la secuencia por la que haya pasado la

salida.

Se dividen en circuitos secuenciales sincrónicos y circuitos secuenciales asincrónicos.

En este tema se estudiarán los circuitos combinacionales uniterminales y multiterminales y

además los circuitos secuenciales sincrónicos.

Definiciones: La primera parte de nuestro estudio comprende, primeramente, las bases del álgebra de

conmutación, cuya herramienta matemática, el álgebra de Boole, nos va a permitir el análisis y

diseño de los circuitos electrónicos digitales.

Algebra de Boole. Definición: Un conjunto B dotado con dos operaciones algebraicas más (+) y por (.) es un álgebra

de Boole, sí y sólo sí se verifican los postulados:

1º Las operaciones + y . son conmutativas.

2º Existen en B dos elementos distintos representados por los símbolos 0 y 1, respectivamente,

tal que :

a + 0 = 0 + a = a Para todo elemento a que pertenece a B

a . 1 = 1 . a = a Para todo elemento a que pertenece a B

El símbolo 0 es el elemento identidad para la operación " + " y

el símbolo 1 es el elemento identidad para la operación " . "



3º Cada operación es distributiva para la otra, esto es:

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

4º Para cada elemento de B, por ejemplo el elemento a, existe un elemento a' también

perteneciente a B tal que:

a + a' = 1

a . a' = 0

• Variable de conmutación: Variable que solo puede tomar uno de dos valores posibles.

Verdadero o falso,1 ó 0.

• Operaciones de conmutación: OR: La combinación OR de dos variables de conmutación resulta verdadera ó 1 cuando al menos

una de ellas es verdadera ó 1.

AND: La combinación AND de dos variables de conmutación resulta verdadera ó 1 cuando las dos

variables son verdaderas ó 1.

NOT: Negado o complemento de una variable o función.

OR AND NOT

X*YX Y X+Y X Y X X

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Prioridad: NOT, AND, OR. Se utilizan paréntesis para cambiar la prioridad.

• Expresiones de conmutación: Es la combinación de un número finito de variables de

conmutación (X1,X2,…Xn) y constantes (0 y 1) por medio de operaciones de conmutación.

YZ + XZ + ZX , , , Ej:



• Función de conmutación: Una función de conmutación f(X1,X2,…Xn) es una correspondencia

que asocia un elemento “0” ó “1” con cada una de las posibles combinaciones de las variables X1,

X2,…Xn. Esta correspondencia se evidencia mediante la tabla de la verdad (TV) de la función.

( ) ZYZXZXZYXT ++=,,Ejemplo: es una función de conmutación

Su tabla de la verdad es:

_ _ _ _ X Y Z T

T(0,0,0) = 0 0 + 0 0 + 0 0 = 1 * 0 + 0 * 1 + 1* 1 0 0 0 1

T = 0 + 0 + 1 0 0 1 1

T = 1 0 1 0 0

……………….. 0 1 1 1

La TV define o representa a una sola función de

conmutación, pero esta función puede escribirse con

diferentes expresiones equivalentes entre sí.

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

¿Cuántas combinaciones existen?

Hay 3 variables, cada una puede tomar 2 valores. 3 = 8 combinaciones. 2

• Expresiones equivalentes: Son aquellas que toman igual valor para las mismas

combinaciones de entrada. Las expresiones equivalentes tienen las mismas TV.

Conocidas algunas definiciones importantes y sobre todo los postulados sobre los cuales se va

edificar el algebra de conmutación, podemos dar su definición.

Algebra de conmutación: es un sistema algebraico basado en el

conjunto de elementos {0,1}, dos operaciones binarias AND y OR y

una operación unitaria NOT. Es una Álgebra de Boole bivaluada.

2. Sistemas Numéricos

Este tópico como tal no se va a impartir en clases pues es un tema

que los estudiantes recibieron en la asignatura Matemática Discreta.

El profesor debe orientarlo de Estudio Independiente(1) para que

se pueda refrescar ese contenido, pues va a hacer utilizado con

frecuencia a lo largo de los dos semestres.



3. Compuertas lógicas Las compuertas lógicas son los circuitos combinacionales más sencillos.

• COMPUERTAS BÁSICAS: Cada operación de conmutación se corresponde con una compuerta lógica.

Compuerta OR Compuerta AND Compuerta NOT o inversor:

La tabla de la verdad (TV) de cada compuerta es igual a la de la operación que representa.

OR AND NOT

X*YX Y X+Y X Y X X

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

• COMPUERTAS UNIVERSALES: Se considera que una función es universal cuando es posible representar cualquier función lógica

solamente con funciones de su tipo.

Las funciones que cumplen con la condición anterior son las funciones NOR y NAND

Las Tablas de Verdad (TV) de estas compuertas son:

NOR NAND

(X*Y) X Y (X+Y) X Y

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 0 1 1 0

La representación gráfica de estas funciones (compuertas lógicas) es:



Compuerta NOR: (OR y NOT) Compuerta NAND: (AND y NOT)

Compuertas especiales XOR: La función or exclusiva es considerada como una compuerta especial pues realiza más de

una operación (suma, multiplicación y negación), sin embargo no es una compuerta universal

pues con ella no se puede representar cualquier función.

))((),( YXYXYXYXYXf ++=+=XOR

X Y X + Y

0 0 0 Se representa como: YXf ⊕=0 1 1

1 0 1

1 1 0

La representación gráfica de esta función es:

Estudio independiente: Analizar la compuerta XNOR (función equivalencia)

. CONJUNTOS COMPLETOS Anteriormente habíamos visto las funciones de conmutación básicas. ¿Con cuales se podría

representar una función lógica cualquiera?

Un conjunto de funciones es funcionalmente completo en un algebra de Boole si y solo si

cualquier forma booleana puede realizarse con dichas funciones.

Los conjuntos de operaciones (OR y NOT), (AND y NOT) son funcionalmente completas ya que

con ellos se puede realizar cualquier función lógica, cosa que es imposible hacer solo con

compuertas de este tipo.

Las compuertas NAND y NOR forman, cada una, conjuntos funcionalmente completos.



• EQUIVALENCIAS ENTRE COMPUERTAS:

• A partir de NAND obtener las compuertas básicas:

Hacer un NOT con NAND Hacer un AND con NAND

Unir las entradas Negar la salida

Hacer un OR con NAND

Negar las entradas

• A partir de NOR obtener las compuertas básicas:

Hacer NOT con NOR Hacer AND con NOR

Unir las entradas

Negar las entradas

Hacer OR con NOR

Negar la salida

Estudio Independiente (2) Obtener una compuerta NOR con compuertas NAND.



4. Formas canónicas. Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en el cual aparecen

toadas las variables (ó sus complementos) de esa función. A los términos productos se les llama

productos canónicos (minterms) y a los términos suma se les llama, sumas canónicas

(maxterms).

Cuando una función se expresa como suma de productos canónicos ó como productos de sumas

canónicas se dice que se encuentra en su forma canónica.

Las formas canónicas son la forma más completa de representar una función.

Con el siguiente ejemplo veremos las formas canónicas de representar una función.

Dada la siguiente TV, obtener las formas canónicas:

X Y Z f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Una forma de obtener la función de conmutación a partir de la TV es:

• OR de los términos o combinaciones que hacen 1 la función.

Los términos o combinaciones lo componen el AND de las variables.

X = 1 -> X

XX = 0 ->

( ) XYZZYXZYXZYXfF ++== ,,1

A cada término de esta función se le conoce como producto estándar (PE). Producto estándar (PE): AND de las variables de la función complementadas o no.

Forma canónica de suma de productos o Forma disyuntiva normal (FDN): Unión mediante

OR de los PE para los cuales la función vale 1.



Notación mi (forma abreviada) simboliza de forma abreviada los mintérminos de una función. La notación mi

i: número decimal que es equivalente al número binario que se obtiene al sustituir X por 1

X y por 0.

mintérmino Entrada binaria Notación imasociada

0 0 0 0m 321 ** XXX

0 0 1 1m

321 ** XXX

0 1 0 2m 321 ** XXX

0 1 1 3m

321 ** XXX

1 0 0 4m 321 ** XXX

1 0 1 5m

321 ** XXX

1 1 0 6m 321 ** XXX

1 1 1 321 ** XXX 7m

Ejemplo:

( ) XYZZYXZYXZYXfF ++== ,,1 = m2 + m4 + m7 = ∑m (2, 4,7)

Otra forma de representar la función es mediante la Forma Conjuntiva Normal.

Suma estándar (SE): OR de todas las variables de la función complementadas o no.

Para n variables --> 2n SE

Para representar la función se unen en AND las SE para las cuales la función vale 0.

Forma canónica de productos de suma o Forma conjuntiva normal (FCN): Unión mediante

AND de las SE para los cuales la función vale 0.

X por 1 para cada SE. A partir de la TV sustituir X por 0 y

( ) )(*)(*)(*)(*)(,,2 ZYXZYXZYXZYXZYXZYXfF ++++++++++==



Notación M (forma abreviada). i

La notación Mi simboliza de forma abreviada los maxtérminos de una función. i: número decimal que es equivalente al número binario que se obtiene al sustituir X por 0

X y por 1, como se muestra en la columna 3 de la tabla.

Xi: Otra forma es sustituir a X por 1 y a por 0 (esta forma no es muy utilizada), por lo que los

términos se intercambiarían como se muestra en la columna 4 de la siguiente tabla. Esto es

simplemente un problema de notación.

maxtérmino Entrada binaria asociada

Notación iM Notación iM

0 0 0 321 XXX ++ 0M 7M

0 0 1 1M 6M 321 XXX ++

0 1 0 2M 5M

321 XXX ++

0 1 1 4M3M 321 XXX ++

1 0 0 4M 3M

321 XXX ++

1 0 1 2M5M 321 XXX ++

1 1 0 1M6M

321 XXX ++

1 1 1 7M 0M 321 XXX ++

Ejemplo:

( ) )(*)(*)(*)(*)(,,2 ZYXZYXZYXZYXZYXZYXfF ++++++++++==Para

( ZYXfF ,,2 = )

)

= M0 M1 M3 M5 M = ∏ (0, 1, 3, 5, 6) 6 M

Y de la otra forma quedaría:

( ZYXfF ,,2 = = M7 M6 M4 M2 M = ∏ (1, 2, 4, 6, 7) 1 M

De las dos formas está bien, lo que se debe especificar cual es la referencia que se va a tomar.

Note que para en el caso de los maxtérminos se utiliza la M (mayúscula).

Algunos teoremas en el álgebra de Boole Como se ha visto una función lógica puede expresarse en diferentes formas boleanas.

Evidentemente las expresiones dadas por y son equivalentes, pero, ¿Cómo unas de ellas

puede deducirse de la otra? Para esta tarea de manipulaciones de expresiones conviene acudir a

las siguientes equivalencias y teoremas.

1F 2F



Teoremas del álgebra de conmutación T1 : TEOREMA DE IDEMPOTENCIA (a) x + x = x

(b) x·x = x

T2 : TEOREMA DE LOS ELEMENTOS DOMINANTES (a) x + 1 = 1

(b) x · 0 = 0

T3 : LEY INVOLUTIVA (x’)’ = x

T4 : TEOREMA DE ABSORCIÓN (a) x + x·y = x

(b) x·(x+y) = x

T5 : TEOREMA DEL CONSENSO (a) x + (x’·y) = x+y

(b) x·(x’+y) = x·y

T6 : TEOREMA ASOCIATIVO (a) x+(y+z)= (x+y)+z

(b) x·(y·z)=(x·y) ·z

T7 : LEYES DE MORGAN (a) (x+y)’ = x’·y’

(b) (x·y)’ = x’ + y

El profesor debe destacar este teorema pues va a hacer bastante

utilizado en este tema.

Ley de Morgan generalizada (a) (x+y+z+...)’ = x’·y’·z’·.....

(b) (x·y·z·....)’ = x’+y’+z’+...



Estudio Independiente (3)

1- Demuestre que las funciones y son equivalentes. Apóyese en los teoremas dados

anteriormente.

1F 2F

2- Realice las siguientes conversiones.

1024(decimal) a binario y hexadecimal.

FF a binario y octal

1010101010101010b a decimal y hexadecimal.

3- Obtener la FDN y la FCN de la siguiente tabla de la verdad

W X Y Z f

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1



Conclusiones En la clase de hoy se estudiaron las principales definiciones del álgebra de conmutación y además

se representaron funciones de conmutación (funciones lógicas) en sus formas canónicas, lo cual

servirá de base a la hora de diseñar circuitos lógicos, que es uno de los principales objetivos del

tema que se inició en esta conferencia.

Confeccionado por:

Dpto. Sistema Digitales Fecha de última modificación: lunes, 11 de septiembre de 2006, 15:48:38

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