CONECTIVOS LÓGICOS Y OPERACIONES LÓGICAS

Los conectivos lógicos, llamados también operadores, son símbolos del lenguaje formal que reemplazan a los conectivos gramaticales y al adverbio de negación no.

LA NEGACIÓN (~ ).- Es la operación que contradice a una proposición cambiándole su valor de verdad. La negación utiliza las expresiones no, no es cierto que, es falso que, no ocurre que, no es verdad que, no es el caso de que, etc.Ejemplo:Sea la proposición: p: Ricardo trabaja los domingos. Niega y simboliza.• Negamos p de diferentes formas y simbolizamos:-Ricardo no trabaja los domingos: ~p-No es cierto que Ricardo trabaja los domingos: ~p-Es falso que Ricardo trabaja los domingos: ~p-No es verdad que Ricardo trabaja los domingos: ~p

LA CONJUNCIÓN (ʌ).- Es la operación que enlaza dos proposiciones mediante el conectivo gramatical y, se usan las palabras: pero, además, aunque, sin embargo, a la vez, también, no obstante, etc.

Ejemplo:Sean: p: Diego viaja mucho, y q: Diego cuida su equipaje. Expresa y simboliza • Expresamos de diferentes formas y simbolizamos:-Diego viaja mucho y cuida su equipaje: p ʌ q

-Diego viaja mucho, pero cuida su equipaje: p ʌ q

-A la vez que Diego viaja mucho, cuida su equipaje: p ʌ q

DISYUNCIÓN INCLUSIVA ( V ).- Enlaza dos proposiciones mediante el conectivo gramatical o.Ejemplo: Expresa y simboliza: a) Mariana es profesora o contadora: p v q

b) Roxana juega con Ana o con Liliana: p v q

Mariana puede ser profesora, contadora o tener ambas profesiones; y Roxana puede jugar con Ana, con Liliana o con ambas.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ∆; V ).- Enlaza dos proposiciones mediante el conectivo gramatical o... o... Ejemplo:Expresa y simboliza:a) Gerardo tiene 17 o 18 años de edad: p v q

b)O Andrea está en Arequipa o está en Tumbes: p v q

Gerardo solo puede tener una de las dos edades, pero no ambas; y Andrea podría estar en Arequipa o en Tumbes, pero no en ambos lugares a la vez.

LA CONDICIONAL ( → ).- Es la operación que enlaza dos proposiciones: una llamada antecedente y la otra, consecuente, que se unen mediante el conectivo gramatical si..., entonces... o sus expresiones equivalentes luego, por lo tanto, en conclusión, etc. Ejemplo: Expresa y simboliza:•Rafael tiene 18 años, por lo tanto, es mayor de edad.

p antecedente → q consecuente

Simbolizando tenemos: p → q

•Rafael es mayor de edad porque tiene 18 años.

q consecuente → p antecedente Simbolizando tenemos: p → q

EL BICONDICIONAL( ↔ ).- Es la operación que enlaza dos proposiciones mediante el conectivo gramatical si y solo si... o sus expresiones equivalentes cuando y solo cuando, entonces y solo entonces, si y solamente si, es igual a, etc. Ejemplo: Expresa y simboliza:• 1245 es divisible por 3 si y solo si la suma de sus

cifras es múltiplo de 3: p ↔ q

•Pilar va al cine cuando y solo cuando obtiene

buenas calificaciones: p↔ q

FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTASCon la finalidad de organizar razonamientos y estudiar el lenguaje natural de manera objetiva, la lógica recurre al lenguaje formal. Así, aparecen los esquemas o fórmulas lógicas que ayudan a un correcto entendimiento.

EJEMPLO:1. Formaliza la siguiente proposición: “Si el alcalde hace una buena gestión, entonces conseguirá inversiones o tendrá el apoyo de todos los pobladores".•Identificamos las proposiciones simples y las representamos con variables.p: El alcalde hace una buena gestión.q: El alcalde conseguirá inversiones.r: El alcalde tendrá el apoyo de todos los pobladores.•Construimos la fórmula lógica: p → (q v r) En este caso, la coma ( , ) es el signo de puntuación de mayor jerarquía y, por ello, utilizamos un signo de agrupación.

2. Formaliza la siguiente proposición: "Si José practica deporte, tendrá un cuerpo saludable; y si tiene un cuerpo saludable, evitará muchas enfermedades".Interpretamos las variables preposicionales identificadas: p: José practica deporte.q: José tiene un cuerpo saludable, r: José evita muchas enfermedades.•Construimos la fórmula lógica: (p → q) ʌ (q → r)ACTIVIDADES1. Encierra las expresiones que son proposiciones y determina su valor de verdad escribiendo V si es verdadero o F si es falso.a) El volcán Misti está ubicado en Moquegua ( )b) Hoy ha sido un día caluroso ( )c) 2x – 5 = 7 ( )d) Ninguna proposición es enunciado ( )

3. Para cada caso, forma una proposición compuesta a partir de las proposiciones simples. a) Diego jugará de arquero. Diego jugara de defensa.Rpta:

b) 23 es un número primo. 23 es un número compuesto.Rpta:

4.Si la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, halla el valor de verdad de cada expresión.a. ~p b. p → q

c. q → p d. p v q

e. ~p ʌ ~q f. q ↔ ~p

4. Formaliza las siguientes proposiciones:a. Si el tren salió temprano, entonces Juan no llegará por la noche.

b. Luisa siempre toma en su desayuno té o café.c. Manuel va a la fiesta si y solo si se porta bien.d. La mitad de los alumnos del salón son varones y usan lentes.e. Alberto no fué al cine, pero llegó temprano a su casa.

5. Si p es verdadera y q es falsa, determina el valor . de verdad de las siguientes proposiciones:

a) ~ (p ʌ p)]→p b) (p v q) ↔ (~q ʌ ~p)

c) ~( ~p v q ) d) p → ~(q v p)

DEBEMOS TENER EN CUENTA:La jerarquía de los signos de puntuación, de mayor a menor, es:Punto; Punto y coma, y la coma; estos pueden ser reemplazados por signos de agrupación.

6. Sean las proposiciones simples:• Pedro llegó a tiempo al aeropuerto • Pedro viajó en el avión de las 8 a. m. Formaliza las siguientes proposiciones. a. Pedro no viajó en el avión de las 8 a. m.

b. Si Pedro llegó a tiempo al aeropuerto, entonces viajó en el avión de las 8 a. m.

c. Pedro no llegó a tiempo al aeropuerto, peroviajó en el avión de las 8 a. m.

d. Pedro viajó en el avión de las 8 a.m. si y solo legó a tiempo al aeropuerto.

7. Formaliza las siguientes proposiciones en cada caso.a. Si Pablo estudia o no estudia, entonces obtiene buenas notas.

b. Enrique juega al básquet si y solo si no juega al fútbol.

c. Soy feliz si aprobé mis exámenes, pero no soy feliz.

8. Si se sabe que la proposición:Cuando estudio, me divierto" es falsa.

Formaliza y determina el valor de verdad de lassiguientes proposiciones.a. Estudio y me divierto. b. No estudio o me divierto. c. Me divierto si y solo si estudio.d. Estudio pero no me divierto,

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS1.En una carrera participan seis atletas: A, B, C, A D, E y E Al finalizar se observó que:• A llegó antes que D pero dos puestos después que F.• B llegó inmediatamente después que A pero antes que E. ¿Quién llegó en segundo lugar?

2. Perú, Colombia y México son países que ganaron A medallas de oro, plata y bronce en las olimpiadas de Seúl, pero no necesariamente en ese orden.• Colombia no obtuvo el primer puesto.• A Perú le tocó medalla de bronce. ¿Cuál es la medalla que recibió México?

3.De 34 científicos, 12 son físicos, 15 son químicos y 14 son biólogos; 5 son físicos y químicos, 4 sonquímicos y biólogos, 6 son físicos y biólogos, y solo uno es físico, químico y biólogo. ¿Cuántos no son ni físicos, ni químicos, ni biólogos?

4. Formaliza la proposición: Voy al colegio pero no voy al cine. Si la proposición anterior es verdadera, determina el valor de verdad de la proposición: Si no voy al cine, entonces voy al colegio.

5. De 38 estudiantes deportistas se sabe que 7 practican solo vóley; 5, solo atletismo; 19, natación; 5, vóley natación; 6, vóley y atletismo; 8, atletismo y natación. Si 2 practican vóley, natación y atletismo:a. ¿Cuántos no practican ninguno de estos tres deportes? b. ¿Cuántos practican solo vóley y natación? c. ¿Cuántos practican natación o vóley?d. ¿Cuántos practican solo natación y atletismo?

Tablas de verdadSon esquemas en los que se representan todos los valores de verdad o falsedad que pueden asumir las distintas interpretaciones de una fórmula lógica. Estos esquemas nos ayudan a determinar si un

razonamiento es válido o no lo es. Cons¬tituyen un procedimiento de decisión que en un número finito de pasos nos dice si una fórmula es tautológica (universalmente válida), contradictoria (falsa en todas sus ocurrencias) o contingente (no es ni universalmente verdadera ni universal-mente falsa).

Determina la validez de la fórmula lógica (p —> q) v (q <-> ~p).p q (P -> q) V (q <-»!

~P)V V V viv1 V V FJ FV F V FI F V F vi

FF V F viv V V vi

VF F F Vj F V F Fi

VT tí T

• Elaboramos la tabla de verdad. Como la fórmula lógica presenta 2 varia¬bles (p, q), el número de filas será 22 = 4.Resolvemos el condicional y el bicondicional según los valores de verdad de p y q. Nos ayuda¬mos de las tablas de verdad de estas operaciones, revisadas en páginas anteriores.Resolvemos la disyunción.

Ten en cuentaUna fórmula lógica puede ser:Tautológica (T). Si losvalores de verdad de la columna principal del esquema son verdaderos.Contradictoria (_L). Silos valores de verdad de la columna principal del esquema son falsos.Contingente. Si entre los valores de verdad de la columna principal del esquema hay por lo menos un valor verdadero y uno falso. • Como la columna principal tiene solo valores verdaderos, la fórmula lógica es tautológica; es decir, es una fórmula verdadera para cualquier interpretación. Es universalmente válida en virtud de su forma, con independencia de los valores de verdad de las proposiciones que la integran.

Evalúa el siguiente razonamiento: "Pilar no envió el correo y tampoco • Construimos la fórmula lógica: p: Pilar envió el correo.

q: Pilar descargó el archivo, r: Pilar estuvo en una reunión, r -> (~p A ~q)• Elaboramos la tabla de verdad. Como la fórmula lógica presenta 3 variables (p, q, r), el número de filas será 2=8.Expresamos la negación de p y de q y resolvemos la conjunción.Resolvemos el condicional.

® ®p q r i r -> (~P A i ~q)V V V 1 vi F F F] FV V F M V F Fi FV F V ¡Vi F F Fi VV F F ¡Fi V F F¡ VF V V ¡vi F V Fj FF V F ¡F V V F: FF F V | V; V V Vj VF F F |F¡ *—i V V

vi V1

Ten en cuentaLos prefijos de negación son morfemas que al unirse al comienzo de determinadas palabras forman la palabra opuesta.Ejemplos: gnormal, anticonstitucional, impaciente, ^escortés, desleal... Como la columna principal tiene valores verdaderos y falsos, entonces el esquema es contingente o indeterminado; es decir, el razonamiento dado al inicio es verdadero (o falso) solo en algunos casos.