UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 1 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. VIMODELAMIENTO DE LINEAS DE TRANSMISION.6.1LEY DE FARADAY. INDUCTANCIA DE LNEAS AEREAS.La Ley de Faraday establece que el flujo enlazado por una bobina crea una tensin inducida, proporcional y de signo contrario a la derivada del flujo respecto del tiempo. + + V I e -e = - d / dtLey de Faraday[6.1] v + e = 0Ley de Kirchoff Fig. 6.1 Tensin inducida en una bobina. La inductancia de la bobina es la relacin del flujo respecto de la corriente, que expresa tambin la relacin entre la tensin y la corriente. d d d id i d V = ----- = ---------- =L ----- L =-------[6.2] dtd idtdt d i Donde: : Flujo enlazado por la corriente i en Weber i: Amperios. En la figura 6.1, si cada lnea es un weber, la corriente i enlaza en el lado izquierdo 5 veces la lnea externa y 3 veces la lnea interna, mientras que en el lado derecho, 4 veces la linea externa y 2 veces la linea interna, haciendo un total de 14 lneas, es decir 14 weber.Si la corriente fuera de 2 amperios,la inductancia seria de L= 14/2 = 7.0 Henry. PARA CALCULAR LA INDUCTANCIA DE UNA LINEA, SE DEBE SUMAR LAS LINEAS DE FLUJO MAGNETICO QUE ENLAZA LA CORRIENTE Y DIVIDIRLO (DERIVARLO) ENTRE DICHA CORRIENTE. 6.2FLUJO MAGNETICO EN LINEAS POLIFASICAS. El modelo terico de una red trifsica balanceada considera que las tres corrientes son balanceadas y que las impedancias de las fases son igualmente balanceadas. iA 12 34 iB iC

12 34 Fig. 6.2a Diagrama unifilar. Red sencilla Fig. 6.2b Diagrama de impedancias trifsico. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 2 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Para el calculo de la inductancia de una lnea asumimos los siguientes supuestos: a)Las tres corrientes de fase son balanceadas, b)Las lneas son perfectamente horizontales y paralelas, c)Elmediocircundanteeshomogneo,notienepropiedadesmagnticas,esdecir,esel vaci. Para determinar la relacinL = d /d i debemos seguir la siguiente secuencia de clculos: i)Determinar el flujo magntico que crean las corrientes de fase.ii)Determinar cuanto de este flujo es enlazado por la corriente de una fase.iii)Derivar el flujo total concatenado por dicha fase respecto de la corriente de fase. 6.2.1FLUJO MAGNETICO CREADO POR UN CONDUCTOR. La creacion de flujo magntico alrededor de una corriente esta regido por la Ley Circuital del Campo magntico o Ley de Ampere.

H d l ll l= J. dA

S Donde:dA :Diferencial de rea dl ll l : Diferencial de trayectoria,J :Vector densidad de corriente H:Vector Intensidad de campo magntico, Fig. 6.3 Ley de AmpereC :Trayectoria del circuito de integracin, Aplicamos la Ley de Ampere a un conductor que conduce corriente alterna I, como el de la figura: flujo interno del conductor Rflujo externo al conductor I Fig. 6.4 Flujo magntico creado por un conductor dl ll lHBCUniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 3 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. EL flujo magntico generado por I se puede distinguir en dos componentes: e: Flujo magntico externo al conductor. i : Flujo magntico interno al conductor, dentro del radio R del conductor. Fig. 6.6 Intensidad de Campo magntico Asumimos que el medio donde se desarrolla el campo magntico es homogneo (aire por ejemplo), y el conductor tambin es homogneo, por lo cual, la corriente I esta homogneamente distribuido en el conductor y por consiguiente, las lneas de campo magntico son concntricas y circulares, con centro en el centro del conductor.Aplicando la ley circuital del campo magntico (Ley de Ampere) a una trayectoria circular S de radio r medido a partir del centro del conductor, tenemos: O H d l ll l = J. dA[6.3] S Siendo Hr constante a lo largo de la trayectoria circular, y J constante en la superficie S se tiene: H O d l ll l =J dAS

El termino O dl ll les igual a 2 R, mientras que sJ dA es la corriente neta que atraviesa la superficie que encierra la trayectoria S, luego: 2 r Hr = I r para r< R2 r Hr = I para r> R El vector densidad de corriente J es uniforme debido a que el material del conductor es uniforme, por tanto, dentro del conductor la relacin de la corriente Ir a la corriente total I es: [ Ir / I ] = [ r2/R2] [6.4] Por tanto, la relacin entre el vector intensidad de campo magntico dentro y fuera del conductor se mide por la relacin: dl ll l dl ll l Hr Hr R r r UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 4 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Hr = Ir r/ 2 R2para r< R[6.5] Hr =I/ 2 r para r > R La grafica de Hr en funcin del radio se muestra en la figura 6.7: Del anlisis de la figura 6.7 se puede deducir que lamxima intensidad de campo magntico H se produce en la superficie del conductor y que en el centro del mismo, la intensidad de campo es igual a cero. H I/2R I r1/2r2 I/2r2

r1 R r2 r Fig. 6.7 Intensidad de Campo magntico en funcin del radio 6.2.2FLUJO ENLAZADO EN REDES POLIFASICAS.Cadaconductorgeneraunflujomagnticoquesedistribuyetantodentrodelconductorllamado Flujo Interno i, as como fuera del conductor llamado flujo externo e. Este flujo externo se difunde hasta el infinito, tal como lo indica la ecuacin [6.4].Cul es el flujo que concatena cada corriente? Lafigura6.8muestralosflujosmagnticosquecreanlascorrientesdelastrescorrientesdeuna lneatrifsicabalanceada.LacorrienteIAenlazasuflujointernoyelflujoexternocreadoporella misma, adems de una parte de los flujos externos creados por las corrientes IB e IC, por lo cual la inductanciadelafaseAdelalneaserladerivadadeesteflujoconjunto,quellamaremosA, respecto de la corriente IA. Para obtener este flujo total A, primero definimosuna nomenclatura para denominar los flujos, de la siguiente manera: A : flujo magntico total concatenado por la corriente IA. iAA: flujo magntico interno creado por IA y concatenado por ella misma. eAA: flujo externo creado por IA y concatenado por ella misma. eBA: flujo externo creado por IB y concatenado por IA.

eCA: flujo externo creado por IC y concatenado por IA.

UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 5 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V.

eBA

IA

iAA eAAeCA IB IC Fig. 6.8 Campo magntico enlazado por la corriente IA

6.2.3FLUJO INTERNO ENLAZADO.La figura 6.9 muestra el flujo interno creado por una corriente IA. A una distancia r del centro del conductor, la intensidad de campo magntico crea un tubo de flujo magntico de espesor diferencial de r, longitud l ll l y densidad de flujo B.El diferencial de flujo magntico en este tubo ser: Hr

r R Ir IA Fig. 6.9Flujo magntico Interno creado por la corriente IA dr = o r Hr dA = o r l Hr dr [6.6] Este flujo es enlazado solo por Ir, que es una fraccin de la corriente IA, por tanto, la relacin entre el flujo enlazado por la corriente IA y el flujo enlazado por la corriente Ir ser: diAA / dr = Ir / IA diAA = o r Hr Ir l dr/ IA Empleando las relaciones [6.4] y [6.5] diAA = o r l r3 IA dr/ (2 R4) UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 6 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Integrando entre r = 0 y r = R se obtiene: iAA = o r l IA / (8) Reemplazando o =1.0 y r = 4 10-7 y tomando l =1 metro tenemos: iAA = (1/2) IA 10-7 Weber/m [6.7] 6.2.4FLUJO EXTERNO ENLAZADO ENTRE DOS RADIOS. ElflujoexternocreadoporunacorrientecualquieraIAseextiendehastaelinfinito.Porelloes mejor determinar elflujo contenido entre dos radiosRa y Rb, el cual se obtiene a partir del vector intensidad de campo magntico Hr que fluctua entre dichos radios, de acuerdo a la figura 6.10. EsteflujoexternoentrelosradiosRayRbsedenominaeAA,esdecirflujoexternocreadoporla corriente IA y concatenado por ella misma.Se obtiene integrando el diferencial de flujo total deAA de la siguiente manera: b eAAa-b a Ra r Rb IA P eAA Fig. 6.10Flujo magntico Externo creado por la corriente IA deAA = o r Hr l dr Reemplazando la ecuacin [6.5] conr> R deAA = o r l IA dr/ (2 r) Integrando entre dos radios Ra y Rb:eAAa-b = o r l IA Ln (Ra/ Rb)/ (2 ) Weber[6.8] Reemplazando o =1.0 y r = 4 10-7 y tomando l =1 metro tenemos: eAAa-b = 2IA 10-7 Ln (Ra/ Rb) Weber/m[6.9] UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 7 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. ParahallarelflujoexternototalcreadoporIAyenlazadoporellamismareemplazamoslas distanciasRa=R,elradiodelconductoryRbigualaDP,dondeDPesladistanciadelcentrodel conductorhastaunpuntoPquetiendealinfinito,porquelaslneasdeflujomagnticose extiendenhastaelinfinito.ParahallarelflujoexternototalcreadoporIByenlazadoporIA reemplazamos la distancia Ra = DAB, la distancia entre los conductores A y B y Rb igual a DP, donde Dp tiende a infinito. 6.2.5 INDUCTANCIASDEUNALINEAPOLIFASICA. Conlasecuaciones[6.7]y[6.9]sepuedededucirunaecuacionparacalcularlasinductanciasyreactancias por metro de longitud de una lnea POLIFASICA cualquiera.Debemos tener en cuenta quelasumadelascorrientesquerecorrenunalineapolifasicaessiempreCERO(Leydela conservaciondelacarga).Porejemplo,paraunalineapolifasicatrifasica,cuyadisposicion geometrica se muestra en la figura siguiente: RB DAB P DAB DBC IA RC

RADAC

Fig. 6.11Lnea de Transmisin con disposicin equiltera. De acuerdo con lo expuesto en 6.2.2, la inductancia de la fase A ser la derivada del flujo magntico total A concatenado por la corriente IA: A = iAA + eAA + eBA + eCA donde: iAA: flujo magntico interno creado por IA y concatenado por ella misma eAA: flujo externo creado por IA y concatenado por ella mismaeBA: flujo externo creado por IB y concatenado por IA eCA: flujo externo creado por IC y concatenado por IA Empleando las ecuaciones [6.7] y [6.9] y reemplazando las distancias apropiadas tenemos: iAA = (1/2) IA 10-7 eAA = 2 IA 10-7 Ln (DAP/ RA)= 2 IA 10-7 Ln (DP/ RA) eBA = 2 IB 10-7 Ln (DBP/ DAB) = 2 IB 10-7 Ln (DP/ DAB) eCA = 2 IC 10-7 Ln (DCP/ DAC) = 2 IC 10-7 Ln (DP/ DAC) Aqu, DAP, DBP y DCP son las distancias de los conductores A, B y C hasta un punto P situado a una distanciamuygrande,detalmodoqueporsugranlongitudseasume:DAPDBPDCPDP.Luego: A = 210-7{IA [1/2+ Ln (Dp/ RA)]+ IB Ln (Dp/ DAB)+ IC Ln (Dp/ DAC)} UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 8 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Introduciendo el trmino dentro del trmino en logaritmo y descomponiendo logaritmos tenemos: A = 210-7{IA Ln [Dp/(e-1/4RA)]+ IB Ln (Dp/ DAB)+ IC Ln (Dp/ DAC)} A = 210-7{[IA+IB+IA] Ln Dp+IA Ln[1/(e-1/4RA)]+IB Ln(1/DAB)+IC Ln(1/DAC)} La ley de conservacion de la carga establece que:IA+IB+IA= 0, entonces, A = 210-7{IA Ln[1/(e-1/4RA)] + IB Ln[1/DAB] + IC Ln[1/DAC]} [6.10a] Denominamos radio medio geometrico RA de un conductor macizoa la relacion: RA = e-1/4 RA[6.10b] A = 210-7{ IA Ln[1/RA] + IB Ln[1/DAB] + IC Ln[1/DAC] } [6.10c] Esta ecuacion es fundamental, debido a que muestra que la inductancia de una fase, es funcion de las corrientes de las tres fases. REACTANCIA DE UNA LINEA CON DISPOSICION EQUILTERA. Supongamos que en la figura 6.11 tenemos las distancias DAB = DBC = DAC = D = 8.0 m y el radio de cada una de los conductores (macizos) es RA = RB = RC = 1.5 cm.En la ecuacion [6.10c], teniendo en cuenta que DAB = DBC = DAC = D;e,IB+IC= -IA

A = 210-7{IA Ln[1/(e-1/4RA)]+IB Ln(1/D)+IC Ln(1/D)} A = 210-7{IA Ln[1/(e-1/4RA)]+[IB +IC] Ln(1/D)} A = 210-7{IA Ln[1/(e-1/4RA)] -IA Ln(1/D)} A = 210-7IA Ln[D/(e-1/4RA)]La inductancia LA es la derivada de A respecto de IA: LA= dA/dIA = 210-7 Ln[D/(e-1/4RA)] La reactancia en /km es:XA= LA = 210-4 Ln[D/(e-1/4RA)]Reemplazando valores:XA = 237710-4 Ln[800/(1.5 e-1/4)] = 0.473448 /Km. Debido a la igualdad de las distancias, DAB = DBC = DAC, y a la igualdad de los radios, RA = RB = RC, las reactancias de las tres fases sern iguales, XB = XC = XA = 0.473448 /Km. 6.2.6 TRANSPOSICION DE LINEAS DE TRANSMISIN.Si las distancias entre los conductores de la figura 6.11 no fueran iguales, la inductancia de las tres fasesnoserianiguales,porlocual,laconstruccindelneasdetransmisinconreactancias balanceadasestaranrestringidasaconfiguracionesgeomtricasequilteras.Noseriaposible construir lneas como los de la figura 6.12a, que es una simple terna con disposicin horizontal, muy UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 9 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. econmica para terrenos llanos, o como el de la figura 6.12b, de doble terna en una sola estructura, que es muy econmica para terrenos montaosos como la sierra peruana. oo ooo oo oo Fig. 6.12aLnea de disposicin horizontal.Fig. 6.12b Lnea doble terna tipo pino. Hayunasolucinparaelloyeslatransposicindefases.Latransposicindefasesconsisteen situaralconductordeunafaseenlastresposicionesdeconductores.Sedividelalneaentres partes, tal como lo muestra la figura 6.13 R IAIC IB S IBIA IC T ICIB IA Tercio No 1Tercio no 2Tercio No 3 Fig. 6.13Transposicin de lneas. En el primer tercio la corriente IA ocupa la posicin R, en el segundo tercio ocupa la posicin S y en el tercero ocupa la posicin T.La reactancia de esta fase se calcula empleando la ecuacin [6.10a] a cada tercio de la longitud de la lnea: A1 = 210-7{[ IA Ln[1/(e-1/4RA)]+IB Ln(1/DRS)+IC Ln(1/DRT)} l ll l /3 A2 = 210-7{[ IA Ln[1/(e-1/4RA)]+IB Ln(1/DST)+IC Ln(1/DSR)} l ll l /3 A3 = 210-7{[ IA Ln[1/(e-1/4RA)]+IB Ln(1/DTR)+IC Ln(1/DTS)} l ll l /3 Teniendo en cuenta que DRS = DSR; DRT = DTR; DST = DTS; IB+IC= -IA ,A = A1+A2+A3 = 210-7{ l ll l IA Ln[1/(e-1/4RA)]+[ l ll l IB/3] [Ln(1/DRS)+Ln(1/DST)+(Ln(1/DTR)]+ [l ll l IC/3] [Ln(1/DRT)+ Ln(1/DSR)+(Ln(1/DTS)]} UniversidadNacional deIngenieraAnlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 10 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. A = 210-7 l ll l {IA Ln[1/(e-1/4RA)]+IB[Ln(1/(DRS DST DTR))1/3]+IC[Ln(1/(DRS DST DTR))1/3]}A = 210-7 l ll l {IA Ln[(DRS DST DTR)1/3/(e-1/4RA)] }Denominamosaltermino(DRS DST DTR)1/3comodistanciamediageomtricaDMGentrelasposiciones de las tres fases y al termino (e-1/4RA) como radio medio geometrico del conductor delafase.Luego,parahallarlainductanciadelafaseAhallamosladerivadadeArespectodela corriente IA: LA = 210-7 l ll l Ln[DMG/ RMGA] [6.11] La reactancia promedio por kilmetro es: XA = 210-4 Ln[ DMG / RMGA ]/Km. [6.12] 6.3INDUCTANCIA DE LINEAS. CASO GENERAL. 6.3.1 INDUCTANCIA DE LINEAS TRIFASICAS MULTICONDUCTORES Los conductores de lneas de transmisin no son macizos como los conductores que hemos supuesto en los anlisis anteriores. Las lneas reales usan muchos conductores trenzadosen configuraciones geomtricasdevariascapas.Porejemplo,lafigura6.14muestraunaconfiguracindeunasola capa con 7 hilos. Fig. 6.14aConductor de 1 capa, 7 hilos.Fig. 6.14b Conductor de doble capa, 16 hilos. Las ecuaciones [6.11] y [6.12] son genricas y permiten calcular la inductancia de cualquier lnea de transmisin trifsica transpuesta, con fases multiconductores arbitrarias como el de la figura 6.15. Enlafigura6.15lafaseAestacompuestapornAconductoresmacizos,dispuestosdemanera arbitraria.Similarmente,lasfasesByCestanconformadaspornBynCconductoresmacizos dispuestos arbitrariamente.La linea esta perfectamente transpuesto, por lo cual, las inductancias de las tres fases son identicas.La inductancia y reactancia de la linea se calculan con la relaciones: Lj = 210-7 l ll l Ln [ DMG / RMGj ]Henry [6.11] Xj =210-4 Ln [ DMG / RMGj ] /Km. [6.12] DMG = Distancia media geomtrica de la fases de la lnea. RMGj = Radio Medio Geomtrico de los conductores de la fase j. DMG = {DMGAB DMGAC DMGBC}1/3UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 11 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Donde: Fase B: nB = 4 conductores Fase A: nA = 5 conductores. Fase C: nC = 6 conductores. Fig. 6.15Lnea de transmisin trifsica multiconductores. DMGAB=Mediageomtricadetodaslasdistanciasentrelosconductoresdelas fases A y B.En este caso son 5x4=20 distancias y DMGAB es la raz 20 del producto de las 20 distancias.DMGAC=Mediageomtricadetodaslasdistanciasentrelosconductoresdelas fases A y C.En este caso son 5x6=30 distancias y DMGAC es la raz 30 del producto de las 30 distancias.DMGBC = Media geomtrica de todas las distancias entre cada los conductores de las fases B y C.En este caso son 4x6=24 distancias y DMGAC es la raz 24 del producto de las 24 distancias. RMGj = Mediageomtricadelasdistanciasentrelosconductoresdelafasej,incluyendola distancia de un conductor a s mismo como el radio medio geomtrico del conductor.En el caso de la fase A,que tiene 5 conductores, RMGA ser el producto de 5x5 = 25 distancias, esdecir,semultiplicanlasdistanciasdecadaconductoralosotrosconductores, incluyendoladistanciadeunconductorasmismocomoelradiomediogeomtricodel conductor, que es igual al producto (e-1/4 R). 6.3.2DEDUCCIONDELASECUACIONES[6.11] Y [6.12]. Para hallar una ecuacin genrica que permita calcular la inductancia de una lnea con conductores distribuidosarbitrariamente,comolosmostradosenlafigura6.14,hacemoslassiguientes suposiciones: Cada fase tiene conductores del mismo dimetro, por lo cual, cada conductor lleva la misma corriente. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 12 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Las tres fases estn perfectamente transpuestas. . .1 1 2 Dj-12 Dj-2Dj-1

3 Dj-3 . . . 3 Dj-nADj-nB nB Fase B: IB, nB conductores . . . nA Corriente: IB/nB por conductorDj-1 Fase A: IA, nA conductores Dj-2Dj-nC Corriente: IA/nA por conductor2 1 nC . . . 3 45 Fase C: IC nC conductores, Corriente: IC/nC por conductor Fig. 6.15Distancias en lneas de transmisin trifsica multiconductores. Cada conductor j de la fase A enlaza los flujos creados por ella misma, los flujoscreados por los otrosconductoresdelafaseA,losflujoscreadosporlosconductoresdelafaseBylosflujos creados por los conductores de la fase C: nA nB nC j = Ko{ IA/nA Ln[Dk-P/Dk-j] + IB/nB Ln[Dk-j/Dk-j] + IC/nC Ln[Dk-j/Dk-j]}[6.13] k=1 k=1k=1 Debido a conductores Debido a conductores Debido a conductores De la fase ADe la fase B De la fase C donde Ko = 210-7 En el primer termino de la ecuacin [6.13], Dk-P es la distancia entre el conductor i y un punto p situadoenelinfinito,mientrasqueDk-jesladistanciaentreelconductorkdelafaseAyel conductorjdelamismafase.Cuandok=j,ladistanciaDj-jeselradiomediogeomtricodel conductor macizo j, es decir: Radio Medio Geomtrico de un conductor MACIZO j = Dj-j = RMGj = (e-1/4Rj) Enlostrminossegundoytercerodelaecuacin[6.13],elterminoDk-j esladistanciaentreel conductor j de la fase A y el conductor k de las fases B o C, mientras que el termino Dk-P es la distancia entre el conductor k de las fases B o C y un punto p situado en el infinito.Elflujoj(dadoporlaecuacin[6.13])enlazadoporelconductorjser(1/nA)veceselflujo enlazado por la corriente IA, al que denominaremos j , por consiguiente:nAnB nC j =[Ko/nA] {IA/nA Ln[Dk-P/Dk-j] + IB/nB Ln[Dk-P/Dk-j] + IC/nC Ln[Dk-P/Dk-j] } k=1 k=1k=1 UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 13 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. nA nB nC j =[Ko/nA] {IA Ln[Dk-P/Dk-j]1/(nA)+ IB Ln[Dk-P/Dk-j]1/(nB)+ IC Ln[Dk-P/Dk-j]1/(nC)} k=1k=1k=1 nA nA nB j =[Ko/nA] {IA Ln[Dk-P]1/(nA)+ IA Ln[1/Dk-j]1/(nA)+IB Ln[Dk-P]1/(nB) + k=1k=1k=1 nB nC nC IB Ln[1/Dk-j]1/(nB) + IC Ln[Dk-P]1/(nC) + IC Ln[1/Dk-j]1/(nC)} k=1 k=1k=1 Debidoa que Dk-P es una magnitud muy grande, se puede factorizar los trminos que lo contienen, asumiendo la aproximacin: Ln [Dk-P]1/(nA) ~ Ln [Dk-P]1/(nB) ~ Ln [Dk-P]1/(nC)~ Ln Dp

nA j =[Ko/nA] { [IA+ IB + IC] Ln[DP]+ k=1nAnB nC IA Ln[1/Dk-j]1/(nA) + IB Ln[1/Dk-j]1/(nB) +IC Ln[1/Dk-j]1/(nC)} k=1k=1k=1 La ley de conservacin de la carga elctrica condiciona que IA+ IB + IC = 0.0, por tanto : nA nBnC j =[Ko/nA] { IA Ln[1/Dk-j]1/(nA)+ IB Ln[1/Dk-j]1/(nB)+ IC Ln[1/Dk-j]1/(nC)}[6.14] k=1 k=1k=1 Eltermino Ln[1/Dk-j]puedeserreemplazadoporLn [1/Dk-j],donde esindicativode producto de trminos con kvariable, luego se tiene:nAnB nC j =[Ko/nA] {IA Ln[1/Dk-j]1/(nA)+ IB Ln[1/Dk-j]1/(nB)+ IC Ln[1/Dk-j]1/(nC)} k=1k=1k=1 IntroduciendonA dentro del termino en logaritmo: nA nB nC j =Ko {IA Ln[1/Dk-j]1/(nAnA)+ IB Ln[1/Dk-j]1/(nAnB)+ IC Ln[1/Dk-j]1/(nAnC)} k=1k=1 k=1 ElflujototalenlazadoporlacorrienteIAserlasumadelosflujosenlazadosporlosotros conductores de la fase A: A =1 + 2 + 3 + ..... + nA , donde: nAnBnC 1 = Ko {IA Ln[1/Dk-1]1/(nAnA)+ IB Ln[1/Dk-1]1/(nAnB)+ IC Ln[1/Dk-1]1/(nAnC)} k=1 k=1 k=1 nA nB nC 2 = Ko {IA Ln[1/Dk-2]1/(nAnA)+ IB Ln[1/Dk-2]1/(nAnB)+ IC Ln[1/Dk-2]1/(nAnC)} k=1k=1k=1 nA nB nC 3 = Ko {IA Ln[1/Dk-3]1/(nAnA)+ IB Ln[1/Dk-3]1/(nAnB)+ IC Ln[1/Dk-3]1/(nAnC)} k=1 k=1k=1 .......... nA nB nC nA = Ko {IA Ln[1/Dk-nA]1/(nAnA)+ IB Ln[1/Dk-nA]1/(nAnB)+ IC Ln[1/Dk-nA]1/(nAnC)} k=1k=1k=1 UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 14 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. nA nB nC A = Ko {IA Ln[1/Dk-i]1/(nAnA)+ IB Ln[1/Dk-i]1/(nAnB) + IC Ln[1/Dk-i]1/(nAnC)} k=1k=1k=1 El termino Ln [1/Dk-j] 1/(nAnA)+ puede ser reemplazado por Ln[1/Dk-i1/(nAnA)]; A = Ko {IA Ln[1/Dk-j1/(nAnA)]+ IB Ln[1/Dk-j1/(nAnB) ]+ IC Ln[1/Dk-j1/(nAnC)]} El termino Ln [1/Dk-j1/(nAnA)]+ puede ser reemplazado por Ln[1/(Dk-i)1/(nAnA)]; Finalmente se tiene: A = Ko {IA Ln[1/ (Dk-j)1/(nAnA)] + IB Ln[1/ (Dk-j)1/(nAnB)] + IC Ln[1/ (Dk-j)1/(nAnC)]} [6.15] Eltermino (Dk-i)1/(nAnA)contenidodentrodelprimersumandodelaecuacin[6.15]se denomina Radio Medio Geomtrico de la fase A RMGA:nA nA RMGA = (Dk-j)1/(nAnA) k=1 j=1 [6.16] Donde Dj-j = (e-1/4Rj). Lostrminos (Dk-j)1/(nAnB)y (Dk-j)1/(nAnC) contenidosenelsegundoytercersumandos delaecuacin[6.15]sedenominandistanciamediageomtricaentrelasfasesA-BDMGABy distancia media geomtrica entre las fases A-C DMGAC:nA nB DMGAB = (Dk-j)1/(nAnB) k=1 j=1[6.17] Donde k=1, 2, 3, ...... nA;j =1, 2, 3, ...... nB

nA nC DMGAC = (Dk-j)1/(nAnC) k=1 j=1[6.18] Donde k=1, 2, 3, ...... nA;j=1, 2, 3, ...... nCAdicionalmente definimos la Distancia Media Geomtrica entre las fases B y C DMGBC como: nB nC DMGBC = (Dk-j)1/(nBnC) k=1 j=1[6.19] Donde k=1, 2, 3, ...... nB;j =1, 2, 3, ...... nCVolviendo al calculo de la inductancia de la fase A, esta ser la derivada del flujo total enlazado por lacorrienteIA,calculadoconlaecuacin[6.15],respectodeestamismacorrienteIA.Si reemplazamos los trminos definidos en las ecuaciones [6.16], [6.17] y [6.18] en la ecuacin [6.15]: A = Ko {IA Ln[1/RMGA] +IB Ln[1/DMGAB] + IC Ln[1/DMGAC]} [6.20] A menos que DMGAB = DMGAC, la inductancia de la fase A ser dependiente de las corrientes IBe IC ylasinductanciasdelastresfasesnoserniguales.Portantoparalograrlasimetradelas impedancias, de manera similar a lo tratado en 6.2.5, las fases se transponen, de tal manera que en UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 15 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. lostrestramosdelalnealadistanciamediageomtricaentrecadapardefasessealamedia geomtrica de las tres distancia medias geomtricasexpresados en las ecuaciones [6.17], [6.18] y [6.19]: DMG = [(DMGAB) (DMGAB) (DMGAC)] 1/3 [6.21] Luego, [6.20] se convierte en: A = Ko {IA Ln[1/RMGA] +IB Ln[1/DMG] + IC Ln[1/DMG]}A = Ko {IA Ln[1/RMGA] +[IB + IC] Ln[1/DMG]} A = Ko {IA Ln[DMG/RMGA]}[6.22] La inductancia de la fase A ser la derivada de[6.22] respecto de la corriente IA LA = KoLn [DMG / RMGA] Reemplazando Ko = 210-7, la reactancia promedio de la fase A por kilmetro longitud ser: XA = 210-4 Ln[ DMG / RMGA ]/Km. [6.23] 6.4RADIO Y DISTANCIA MEDIA GEOMTRICAS. Interpretacin del RADIO MEDIO GEOMTRICOSi los conductores de la fase A tienen la configuracin de la figura 6.16, el radio medio geomtrico delafaseAdefinidoporlaecuacin[6.16]eslamediageomtricadetodaslasdistanciasentre cada par de conductores de la fase A, incluyendo la distancia de un conductor a s mismo como igual al radio medio geomtrico del conductor mencionado en 6.2.5: 5D1-51 D2-5 D4-5 D3-5 D1-2

D1-4 D1-3 2 D2-4 4 D2-3 D5-4 3 Fig. 6.16Radio Medio Geomtrico de una fase. Para el caso de la figura 6.16 el Radio Medio Geomtrico se desarrolla de la siguiente manera: RMGA = [(D1-1D1-2 D1-3D1-4 D1-5) (D2-1D2-2 D2-3D2-4 D2-5) (D3-1D3-2 D3-3D3-4 D3-5) (D4-1D4-2 D4-3D4-4 D4-5)(D5-1D5-2 D5-3D5-4 D5-5)] 1/(5x5)

DondeD1-1 = (e-1/4R1);D2-2 = (e-1/4R2);D3-3 = (e-1/4R3);D4-4 = (e-1/4R4);D5-5 = (e-1/4R5) UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 16 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Interpretacin de la DISTANCIA MEDIA GEOMTRICASi las fases A y B tienen la disposicin de la figura 6.17, empleando la ecuacin 6.17 se desarrolla la siguiente relacin: 11 2 2 3 3 44 = nB , Fase B

5 = nA, Fase AFig. 6.17DistanciaMedia Geomtrica entre dos fases. Ladistanciamediageomtricaentredosfaseseslamediageomtricadetodaslasdistancias existentes entre cada par de conductores de las fases A y B.Si en la fase A hay 5conductores y en lafaseB4conductores,habrn5x4=20distancias. Ladistanciamediageomtricaserlaraz20 del producto de estas distancias.DMGAB = [(D1-1 D1-2 D1-3 D1-4) (D2-1 D2-2 D2-3 D2-4) (D3-1 D3-2 D3-3 D3-4) (D4-1 D4-2 D4-3 D4-4)(D5-1 D5-2 D5-3 D5-4)] 1/(5x4) 6.5LEY DE COULOMB. CAPACITANCIA DE LNEAS AEREAS. 6.5.1LEY DE COULOMB.LaLeydeCoulombestablecelarelacinentrelascargaselctricasestticasylasfuerzas electrostticas que SE producen entre las cargas. Q q FQ = Fq = (1/4O) Qq/d2[6.24] FQ Fq O = 8.85x 10-12 Coul2/N-m2 d =1/O = 9 x 109 N-m2/Coul2Fig. 6.18Ley de COULOMB. 6.5.2CAMPOELECTRICOALREDEDORDEUNACARGA ELECTRICA.AlrededordeunacargaelctricaseproduceuncampoelctricoEQquesedefinedeacuerdoala siguiente ecuacin: UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 17 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Q

EQ = FQ/ q = (1/4O) Q/d2 [6.25]

Fig. 6.19Campo Elctrico alrededor de una carga. 6.5.3ENERGIA POTENCIAL POR UNIDAD DE CARGA (TENSIN).ParallevarunacargaqqueseencuentradentrodelcampoelctricodelacargaQ,desdeun punto1hastaunpunto2,sedeberealizaruntrabajoW12quesecalculamediantelarelacin [6.24]: d2d2 W1-2 = F ds = [Q q / d2] ds =Q q [1/d1-1/d2]julios. d1 d1 Laenergaporunidaddecargadeunpunto1otensindelpunto1eslaenergaporunidadde carganecesariaparallevaraqdesdeelpunto1haciaelinfinito,esdecir200,endonde,de acuerdo a la ecuacin [6.25] el campo elctrico es cero.V1 = W1-oo/ q =Q [1/d1-1/d2]=Q/d1voltios.[6.26] Ladiferenciadepotencialentredospuntosdentrodeuncampoelctricoesladiferenciade tensiones dados por la ecuacin [6.26]. V1 - V2 = Q [ (1/d1) (1/d2) ]voltios. 6.5.4POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A VARIAS CARGAS.Si hay varias cargas, el potencial en un punto debidoa la presencia de estas cargas ser el efecto combinado de ellas: 1 d1

2d2P VP = Qj /dj 3d4 dn 4n . . . . . . Fig. 6.20Potencial Elctrico debido a varias cargas. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 18 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. 6.5.5CAPACITANCIA ENTRE DOS ELEMENTOS CARGADOS.La capacitancia C entre dos elementos cargados es la relacin de carga por unidad de tensin: C = Q / V [6.27] 6.6CAMPOELECTRICOALREDEDORDECONDUCTORES CARGADOS. Laslneasdetransmisinsonconductorescargadosporquellevancorrienteelctrica,porlocual entre cada par de fases se producen fenmenos de capacitancia. 6.6.1CAMPOELECTRICOALREDEDORDEUNCONDUCTOR INFINITO CARGADO. dEY

R dEdEX

Q Coul/mdP z d R z x dq = Q dxdq Fig. 6.21Campo Elctrico alrededor de un conductor cargado. dEY = 2 dE CosdE = dq / z2= Q dx / z2 pero dx = (z/ Cos) d y z = R/ Cos dEY = [2 Cos Q/ R] d[6.28] Para hallar EY Integramos [6.28] para entre 0 y 90:EY = 2 Cos Q d/ R =(2 Q/R) Cos d =2 Q/R EY = (1/2O) Q / R Newton/Coul-m [6.29] Conclusin:el campo Elctrico alrededor de un conductor muy largo ycargado, esta conformado porcilindrosequipotenciales,esdecirqueaunadistanciaRcualquieradelconductor,elcampo elctrico es constante e igual a(1/2O) Q / R, donde Q es la carga elctrica por unidad de longitud y R es la distancia del conductor al punto. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 19 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. 6.6.2POTENCIALELECTRICOALREDEDORDEUNCONDUCTOR INFINITO CARGADO El campo elctrico producido por un conductor largo cargado, ocasiona que entre dos puntos PA y PB situadosalasdistanciasDAyDBdelconductorlargocargado,seproduzcaunadiferenciade potencial.Esta diferencia de potencial ser la energa por unidad de carga necesaria para llevar una carga q del punto 1 al punto 2. PB PB

PA

(a) Vista panormica. (b) Vista transversal. Fig. 6.22Potencial alrededor de un conductor largo cargado El campo elctrico en el punto r segn [6.29] es Er = (1/2O) Q / Dr,portantolafuerzaque actasobreestepuntoserqEr.Luego,evaluandoeltrabajodesarrolladoporestafuerzapara llevarunacargaqdelpuntoAalpuntoBhabremoscalculadolaenergadesarrollado,luego dividiendo esta energa entre la carga q habremos encontrado la energa por unidad de carga para llevardichacargadesdeelpuntoAalpuntoB,es decirladiferenciadepotencialVA-Bentreestos dos puntos. WA-B =| q EY dr = q | (1/2O) ( Q / R) dr WA-B =q Q (1/2O) Ln [DB / DA] VA-B = Q (1/2O) Ln [DB / DA] [6.30] 6.6.3CAPACITANCIA DE LINEAS POLIFASICAS. Las lneas monofsicas o trifsicas comprenden dos o TRES conductores relativamente largos, que conducen corriente, es decir conductores cargados.Debido a la relacin longitud/radio del conductor, se pueden considerar como de longitud infinita y aplicar la ecuacin [6.30] para calcular diferencia de tensin entre uno y otro conductor. Estos conductores conforman esquemas de conexin de capacitores, tal como indica la figura [6.23]. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 20 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. I2, Q2 P I1, Q1 C1-2I2, Q2C2-00 C1-2 C2-3 C1-00 C2-00 C3-00 Q1 C1-00 P Q3

I1C1-3I3

(a) Lnea monofsica.(b) Lnea trifsica. Fig. 6.23Capacitancias en lneas polifsicas. 6.6.4CAPACITANCIA DE LINEAS MONOFASICAS. En una lnea monofsica se presenta una capacitancia entre un conductor y otro, al que se ha denominado C1-2 tal como se muestra en la figura 6.23(a).De acuerdo con la ecuacin [6.27] Esta capacitancia estar determinado por la diferencia de potencial entre los conductores y la carga de cualquiera de ellos, puesto que deben ser iguales por el principio de conservacin de la carga.C1-2 = Q1 / V1-2 La diferencia de potencial entre los dos conductores es la diferencia de potencialentre las superficies de ambos conductores. El potencial en la superficie del conductor 1 se calcula con la ecuacin [6.30], considerando el punto A en la superficie del conductor y el punto B en el infinito, al que se ha denominado punto P en la figura 6.23(a). V1 = V1-00 = (1/2O){ Q1 Ln [DP / R1]+ Q2 Ln [DP / D1-2]}; Donde R1 es el radio del conductor 1.Similarmente, la tensin en la superficie del conductor 2 ser:V2 = V2-00 = (1/2O){ Q2 Ln [DP / R2]+ Q1 Ln [DP / D2-1]}; V1-V2= V12= (1/2O){Q1 Ln [DP/ R1] +Q2 Ln [DP/ D1-2] -Q2 Ln [DP/ R2] -Q1 Ln [DP/ D2-1]} V1-2= (1/2O){ (Q1+ Q2 -Q2 -Q1) Ln DP + Q1Ln[1 / R1]+ Q2 Ln [1/ D1-2] - Q2 Ln [1/ R2] - Q1 Ln [1/ D2-1]} Por el principio de conservacin de la carga Q2 = - Q1y dado que D2-1 = D1-2 = D: V1-2 = (1/2O){ Q1Ln[1/(R1 R2)] - Q1 Ln [1/(D2-1 D1-2)]} V1-2 = (1/2O){ Q1Ln[(D2-1D1-2)/(R1 R2)] }= (1/O) Q1Ln[D/(R1 R2)1/2] Si R1 = R2 = R, entonces: V12 = (1/O) Q1 Ln[D/ R];luego C1-2 = Q1/ V1-2 C1-2 =O / Ln (D/R) Para calcular la capacitancia de una fase, procedemos de manera similar: UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 21 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. C1 = C1-00 = Q1/ V1-00 V1-00 = (1/2O){ Q1 Ln [DP / R1]+ Q2 Ln [DP / D1-2]}; V1-00 = (1/2O){ Ln DP[Q1+ Q2]+ Q1 Ln [1 / R1]+ Q2 Ln [1/ D]}; Dado que Q2 = - Q1 V1-00 = (1/2O) Q1 Ln [D / R1] C1 = 2O / Ln [D / R1] Es decir que el equivalente de dos capacitancias iguales en serie es la mitad del valor, como corresponde. 6.6.5CAPACITANCIA DE LINEAS TRIFASICAS. En una lnea trifsica como el de la figura 6.23(b) determinaremos la capacitancia de una fase, es decir la carga de una fase dividida por la diferencia de potencial del conductor de la fase y el punto donde se considera de potencial cero, que en este caso es un punto situado en el infinito. C1-00 = C1 = Q1 / V1-00 I2, Q2 P D1-2 D2-3 I1, Q1D1-3 I3, Q3

R1 Fig. 6.24Capacitancias en lneas polifsicas. Empleando la ecuacin [6.30] tenemos que la tensin en la superficie del conductor 1 es: V1-00 = (1/2O){ Q1 Ln [DP/ R1]+ Q2 Ln [DP/ D1-2]+ Q3 Ln [DP/ D1-3]} V1-00 = (1/2O){ Ln DP[Q1+Q2 +Q3]+ Q1 Ln[1/ R1]+ Q2 Ln[1/D1-2]+ Q3 Ln[1/D1-3]} Por el principio de conservacin de la carga Q2 + Q3 = - Q1y dado que D2-1 = D1-2 = D: V1-00 = (1/2O){ Q1 Ln[1/ R1]+ (Q2 + Q3) Ln[1/D] } V1-00 = (1/2O) Q1 Ln[ D/ R1] C1 = 2O/ Ln[ D/ R1] Mediante un calculo similar, C2 = 2O/ Ln[ D/ R2], C3 = 2O/ Ln[ D/ R3] UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 22 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. Para que las tres capacitancias de fase sean iguales debe cumplirse que: Los radios de los conductores deben ser iguales, es decir: R1 = R2 =R3 La disposicin de las fases debe ser equiltera o transpuesta. Si la lnea es de tipo multiconductores, como en la figura [6.15], se debe cumplir que: RMGA = RMGB =RMGC Siendo A, B y C las fases, es decir: nA nA RMGA = (Dk-j)1/(nAnA) [6.32] k=1 j=1 Donde Dj-j = Ri y Donde L= A, B, C nA nB DMGAB= (Dk-j)1/(nAnB) [6.17] k=1 j=1 Donde k=1, 2, 3, ...... nA;j =1, 2, 3, ...... nB nA nC DMGAC= (Dk-j)1/(nAnC) [6.19] k=1 j=1 Donde k=1, 2, 3, ...... nA;j =1, 2, 3, ...... nC nB nC DMGBC= (Dk-j)1/(nBnC) [6.20] k=1 j=1 Donde k=1, 2, 3, ...... nB;j =1, 2, 3, ...... nC 6.7RESISTENCIA A LA CORRIENTE CONTINUA. La resistencia del conductor de una lnea de transmisin que esta sometido a una corriente alterna comprende su resistencia a la corriente continua, a la cual hay que aadir el efecto de la variacin de la temperatura y luego aadir el efecto de la frecuencia de la corriente alterna. La resistencia a la corriente continua de un conductor de seccin recta uniforme se mide a una temperatura de 20 C y esta dado por la ecuacin: RDC = l ll l /S[6.35] : Resistividad del conductor en -mm2/m.l ll l: Longitud del conductor en metros. S: Seccin recta del conductor en mm2. Las resistividades tpicasde materiales usados en lneas de transmisin se muestran en la tabla 6.1. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 23 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. 6.7.1EFECTO DE LA TEMPERATURA.Un conductor que transporta corriente sufre un aumento de la temperatura por efecto joule.La figura 6.25 muestra la curva de la variacin de la resistencia de un conductor conforma varia la temperatura.A temperaturas reinantes en el ambiente, es decir temperaturas alrededor de 0C y temperaturas mayores que 0C, la resistencia muestra un comportamiento lineal respecto de la temperatura.No se tiene certeza del comportamiento a temperaturas bajas o cercanas al cero absoluto.Sin embargo se asume una conducta lineal solo para determinar el punto donde esta recta corta a la recta de resistencia cero, que se identifica mediante la constante T. Teniendo T se puede formulara la siguiente ecuacin: t tO R ROR T Fig. 6.25 Comportamiento de la resistencia versus la temperatura. RT +t ------ = ----------[6.36a] ROT+tO

De la ecuacin [6.2] se puede deducir la siguiente relacin: R =RO[T +t] / [T +tO] [6.36b] La tabla 6.1 muestra las magnitudes de la constante T para varios materiales de conductores para lneas de transmisin. Tabla 6.1 CARACTERISTICAS ELECTRICAS DE CONDUCTORES. Material del conductor.Resistividad -mm2/m Constante TC Cobre recocido normalizado 100% conductividad0.01724234.5 Cobre estirado en fro 97.3% conductividad0.01772241.5 Aluminio comercial estirado en fro 61 % conductividad0.02626288.1 6.7.2EFECTO DE LA FRECUENCIA. En un conductor sometido a una corriente alterna, la densidad de corriente no es uniforme, debido a que los electrones que circulan cerca al centro del conductor, estn sometidos a mayor flujo concatenado que los electrones que circulan cerca de la superficie del conductor.La figura 6.26 representa este fenmeno: UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 24 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. I1

e R R23 i-R1S3 R130 AI2

S23 i-R2 S1 I3 3 (a)(b) Fig. 6.26 Efecto piel en conductores sometidos a corriente alterna. La densidad de corriente aumenta del interior al exterior del centro.Cerca al centro hay menos densidad debido a que estos electrones tienen mayor flujo enlazado que los electrones del exterior, por tanto, tienen mayor oposicion a circular (Ley de Lenz) y estos electrones tienden a circular por las rutas de menor oposicion que ocurren en las capassuperiores.El siguiente ejemplo muestra numricamente el cambio de resistencia efectiva. Supongamos que las tres reas S1, S2 y S3 son iguales y tienen una resistencia de 3 cada una. Si la densidad de corriente es nica, tal como ocurre con la corriente continua, una corriente de 30 amperios se dividir en tres exactamente, circulando 10 amperios por cada una, siendo las perdidas de energa los siguientes: WPER = 3 x (10 2) x 3 = 900 vatios Pero si la densidad de corriente es menor en el centro y aumenta hacia el exterior, siendo por ejemplo que circula 11 amperios por S1, 10 amperios por S2 y 9 amperios por S3 , totalizando los 30 amperios, las perdidas de energa sern: WPER = (11 2) x 3 + (10 2) x 3 + (9 2) x 3 = 905 vatios Luego la resistencia equivalente en corriente alterna es:RAC/ RDC= 905/900 = 1.0055,RAC = 1.0055 RDC Los fabricantes de conductores proporcionan tablas de resistencia efectiva para frecuencias de 25, 50 y 60 Hz, as como la resistencia a la corriente continua. 6.7.3OTROS EFECTOS SOBRE LA RESISTENCIA. La resistencia tambin es afectada por otros dos factores que son: El trenzado de los conductores: debido a que la longitud de un hilo de trenzado es ligeramente mayor que la longitud rectilnea del conductor. Generalmente se asume un porcentaje mayor para la longitud segn los tipos siguientes: l ll lR

1 %para conductor de tres hilos 2 % para conductores de hilos concntricos. l ll lFig. 6.27 Mayor longitud de conductor por trenzado. UniversidadNacional deIngeniera Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia IEE-353Pg.6 - 25 Facultad de Ingenieria Elctrica y ElectrnicaPor Flaviano Chamorro V. La longitud de la catenaria. Las lneas no son perfectamente horizontales como se asumieron en el capitulo anterior, sino que sufren el efecto de flexin por gravedad, describiendo una curva denominada catenaria: l ll l C

l ll lFig. 6.28 Mayor longitud de conductor por CATENARIA. La longitud de catenaria es mayor que la longitud rectilnea y la relacinl ll l C / l ll les variable y depende de la diferencia del nivel de los puntos de apoyo del conductor, de la temperatura y del tipo de conductor.EJEMPLO: Calcular la resistencia en DC de un conductor de cobre estirado en fro de 37 hilos y 700 MCM, de 0.1375 pulgadas de dimetro cada hilo. SOLUCION: S = 37 (0.1375x25.4)2 /4 = 354.4577 mm2 l ll l = 1609 m = 1milla RO= 0.01772x1609/354.4577 = 0.083614 /milla a 20 C R25C= RO x 1.02 x [241.5+25] / [241.5+20] = 0.083614 /millaESTE VALOR ES IGUAL QUE EN LAS TABLAS DEL FABRICANTE!!!.