CONDUCCIN

Haciendo un balance de energa en un elemento diferencial de volumen, con el fin de determinar la ecuacin diferencial apropiada. Observando que la conduccin trmica es constante, que existen condiciones de estado estable estacionario y que no hay fuentes de calor, escribimos el balance de energa.

En cuya expresinQr = calor que se conduce haciam adentro de una cascara esfrica en r = rQr+dr= calor que se conduce afuera de una cascara esfrica en

Entonces es posible escribir la derivada ordinaria ya que la temperatura es funcin nicamente de g (o sea que tiene una sola variable independiente, r )La cantidad, Qr est dada por Donde

Obsrvese que el rea Ar que aparece en la ecuacin anterior no es una constante, si no una funcin de r Sustituyendo Qr en la ecuacin:

Ahora, k una constante diferente de cero y dr no puede tener el valor cero. Adems, la superficie del rea esfrica Ar, est dada , y el balance de energa se puede escribir en la forma

La ecuacin anterior es la ecuacin diferencial apropiada para la distribucin de temperatura en una esfera huecaLas dos condiciones en la frontera asociadas a este problema son las siguientes:1. Condicin en la frontera: en 2. Condicin en la frontera: Integrando una vez, se obtiene

Y separando las variaciones, tenemos

Una segunda integracin nos lleva a

Aplicando la primera condicin de la frontera, tenemos

Aplicando la segunda condicin de la frontera, se tiene

Resolviendo las dos ecuaciones para y , y substituyendo las expresiones que resultan, en la ecuacin:

Puesto que sabemos que , podemos probar entonces que

Una forma sencilla de resolver el problema anterior sera la de comenzar utilizando la ecuacin de Fourier en la forma siguiente:

Sustituyendo Ar, se obtiene

Puesto que Q es constante (estado estacionario), se puede integrar de inmediato para obtener

Y Asi

O bien

Y

La ecuacin anterior es la misma que la ecuacin 1, que nos da la razn del flujo de calor que pasa a travs de la esfera hueca