ESTADISTICA APLICADA

CARRERA

ING. En TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN

PRESENTA:

T.S.U. CALDERÓN MUÑOZ JOSÉ MAUROT.S.U SIERRA DIAZ ROCIO ITZEL

GRUPO:

TIC01SV-14

PROFESOR:

PABLO SAUL ESPINOZA AGUIRRE

SAN JUAN DEL RÍO, QRO.                                    SEPTIEMBRE 2015

ContenidoMediana.........................................................................................................................................3

Mediana.........................................................................................................................................3

Moda..............................................................................................................................................4

Moda..............................................................................................................................................4

Media.............................................................................................................................................5

Media.............................................................................................................................................5

Varianza.........................................................................................................................................6

Covarianza......................................................................................................................................7

Desviación Estándar.....................................................................................................................12

Esperanza Matemática.................................................................................................................15

Bibliografía.......................................................................................................................................17

MedianaLa mediana es otra medida de tendencia central, que tiene una característica muy especial, la de no dejarse influenciar por valores extremos en la serie, es decir, indicara la mitad de una serie, pese a existir cantidades muy alejadas unas de otras. Esta medida es utilizada con frecuencia para la descripción de tendencia central, donde el promedio aritmético no se acepta debido a su sensibilidad por los valores extremos en las series estadísticas.

(Vaca, 2000)

Encontrar la mediana para los siguientes datos:

4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3

SOLUCIÓN

PASO 1: Ordenar los datos.

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.

MedianaLa Mediana es el valor de la variable tal que, una vez ordenados estos valores en orden creciente, ocupa el valor central; es decir, que el número de datos que preceden a la mediana es igual al que le siguen. La mediana de una Variable Estadística se representa por M.

(Valdes, 2006)

Moda Una de las medidas de posición es la moda, que identifica el valor o intervalo que más se repite. Es decir, la moda o valor modal es el valor con mayor frecuencia relativa.

Evidentemente, también se podría definir como el valor con mayor frecuencia absoluta.

(Hernandez, 2007)

1.Calcular la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

Mo = 5

ModaLa moda es el valor de la variable que más veces se repite, y en consecuencia, en una distribución de frecuencias, es el valor de la variable que viene afectada por la máxima frecuencia de la distribución. En distribuciones no agrupadas en intervalos se observa la columna de las frecuencias absolutas, y el valor de la distribuci6n al que corresponde la mayor frecuencia será la moda. A veces aparecen distribuciones de variables con más de una moda (bimodales, trimodales, etc), e incluso una distribución de frecuencias que presente una moda absoluta y una relativa.

(Lines, 2000)

14    16    18    16    15    12    14    14    16    18   20   16   16

El 14 se repite 3  veces. El 18 se repite 2  veces. El 16 se repite 5 veces.

Por lo tanto, la moda es 16.

MediaLa media x (también llamada promedio o media aritmética) de un conjunto de datos (X1,X2,…,XN) es una medida de posición central. La definimos como el valor característico de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el número total de datos.

Visto desde un punto de vista más conceptual, la media aritmética es el centro de los datos en el sentido numérico, ya que intenta equilibrarlos por exceso y por defecto. Es decir, si sumamos todas las diferencias de los datos a la media es cero.

(Valdes, 2006)

A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

MediaLa Media Aritmética, conocida popularmente como promedio también, resulta ser el conjunto finito de números que es igual a la suma de todos los valores dividido entre el número de sumandos que intervienen.

(Behar, 2011)

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

VarianzaEste tipo de medida nos permite saber la variabilidad de las puntuaciones en una muestra. Para hallar la varianza podemos seguir los siguientes pasos: calculamos el valor medio, hallamos las diferencias entre los valores observados y el valor medio, elevamos al cuadrado estas diferencias y sumamos el resultado, y dividimos lo que hemos obtenido entre el número de elementos.El cuadrado de la desviación típica es la varianza.

(Ross S. M., 2005)

Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses Niños9 110 411 912 1613 1114 815 1

Calcular la varianza.

xi fi Ni xi · fi x²i · fi

9 1 1 9 8110 4 5 40 40011 9 14 99 108912 16 30 192 230413 11 41 143 185914 8 49 112 156815 1 50 15 225  50   610 7526

Media aritmética

Varianza

CovarianzaLa covarianza  de una variable bidimensional es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.

La covarianza  se representa por sxy  o σxy .

La covarianza   indica el sentido de la correlación entre las variables

Si σxy  > 0   la correlación es directa.

Si σxy  < 0   la correlación es inversa.

La covarianza  presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.

Es decir, la covarianza  variará si expresamos la altura en metros o en centímetros. También variará si el dinero lo expresamos en euros o en dólares. (Ross M. , 2001)

Ejemplos:

Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:

Matemáticas Física

2 1

3 3

4 2

4 4

5 4

6 4

6 6

7 4

7 6

8 7

10 9

10 10

Hallar la covarianza  de la distribución.

x i y i x i · y i

2 1 2

3 3 9

4 2 8

4 4 16

5 4 20

6 4 24

6 6 36

7 4 28

7 6 42

8 7 56

10 9 90

10 10 100

72 60 431

Después de tabular los datos hallamos las  medias aritméticas :

Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

Y/X 0 2 4

1 2 1 3

2 1 4 2

3 2 5 0

Hallar la covarianza  de la distribución.

En primer lugar convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple y calculamos las medias aritméticas.

x i y i f i x i · f i y i · f i x i · y i  · f i

0 1 2 0 2 0

0 2 1 0 2 0

0 3 2 0 6 0

2 1 1 2 1 2

2 2 4 8 8 16

2 3 5 10 15 30

4 1 3 12 3 12

4 2 2 8 4 16

    20 40 41 76

En este sentido el indicador bivariante más importante es la covarianza:

Dadas dos variables estadísticas x e y definiremos la covarianza Sxy como:

                                

En el caso de disponer de la distribución agregada por frecuencias en una tabla de correlación.

                                                                     

En el caso de disponer de la distribución sin agregar por frecuencias (en un l istado matricial de datos donde cada registro es una observación y nº de registros= N). (Spiegel, 1998)

Propiedades.

1. La covarianza es el  momento central  de orden 1,1 de la distribución bidimensional.

2. Es invariante ante los cambios de origen en cualquiera de las dos variables.

3. Sin embargo depende de los cambios de unidad .Si se cambia de unidad de medida en ambas variables la covarianza se modifica proporcionalmente a ambos cambios:

                                                    u= a+bx     v = c + dy     Suv = b.d.Sxy

4. La expresión de cálculo de la covarianza es     

Donde a11 es el l lamado momento (ordinario) mixto y su expresión es:

         

Si las observaciones están agregadas por frecuencias, o bien:

             

Si las observaciones no están agregadas por frecuencias.

5. Si dos variables son independientes su covarianza es cero (el resultado recíproco no es necesariamente cierto).

6. La covarianza nos mide la  covariación conjunta de dos variables: Si es posit iva nos dará la información de que a valores altos de una de la variable hay una mayor  tendencia a encontrar valores altos de la otra variable y a valores bajos de una de la variable, correspondientemente valores bajos. En cambio si la covarianza es negativa, la covariación de ambas variables será en sentido inverso: a valores altos le corresponderán bajos, y a valores bajos, altos. Si la covarianza es cero no hay una covariación clara en ninguno de los dos sentidos. Sin embargo el hecho de que la covarianza dependa de las medidas de las variables no permite establecer comparaciones entre unos casos y otros. (Spiegel, 1998)

Desviación EstándarLa desviación estándar o desviación típica  es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar  se representa por σ.

Desviación estándar para datos agrupados

Para simplif icar el cálculo vamos o uti l izar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación estándar para datos agrupados

Ejercicios.

Calcular la desviación estándar  de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica  de la distribución de la tabla:

  x i f ix i  · f i

x i2 · f i

[10, 20)

15 1 15 225

[20, 30)

25 8 200 5000

[30,40) 35 10 35012

250

[40, 50)

45 9 40518

225

[50, 60)

55 8 44024

200

[60,70) 65 4 26016

900

[70, 80)

75 2 15011

250

    42 1 88

820 050

Propiedades de la desviación estándar.

1. La desviación estándar será siempre un valor posit ivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2. Si a todos los valores  de la variable se les suma un número   la desviación estándar no varía .

3. Si todos los valores de la variable se multipl ican por un número la  desviación estándar queda  multipl icada por dicho número.

4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total .

Si todas las muestras t ienen el mismo tamaño:

Si las muestras t ienen distinto tamaño:

Observaciones sobre desviación la estándar

1. La desviación estándar , al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2. En los casos que no se pue da hal lar la media   tampoco será posible hallar la desviación estándar .

3. Cuanta más pequeña sea la  desviación estándar  mayor será la concentración de datos alrededor de la media. (Spiegel, 1998)

Esperanza Matemática La  esperanza matemática  o valor esperado  de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabil idad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de  esperanza matemática y  valor esperado   t ienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática  es cero, E(x) = 0, el  juego  es equitativo , es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Propiedades: 

Podemos decir que la esperanza es l ineal, ya que cumple las propiedades l ineales.

Dados a, b y c números reales (constantes), y sean X e Y variables aleatorias, se cumple:

1. La esperanza de una constante en la misma constante:  E[c]=c.

2. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus esperanzas: E[ X+Y]=E[X]+E[Y].

3. La esperanza del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por la esperanza de la variable aleatoria:  E[aX]=aE[X].

4. De las propiedades anteriores se deduce que:

– E[aX+b]=aE[X]+b – E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

Esperanza para variables aleatorias discretas.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabil idad P(X=x), la esperanza de X viene dada por: E[X]=∑xi∙P(X=xi)=x1∙P(X=x1)+………+xn∙P(X=xn). (Ross M. ,2001)

Ejemplos.

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabil idades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la  esperanza matemática  del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 =  −1/4. Es desfavorable

BibliografíaBehar, R. (2011). 55 Respuestas a Dudas Tipicas de Estadistica. España: Diaz.

Hernandez, J. J. (2007). Conceptos Basicos de Estadistica para Ciencias Sociales. España: Delta.

Lines, E. (2000). Matematicas generales, Probabilidades y Estadistica. España: Reverte.

Ross, M. (2001). Probabilidad y Estadística para Ingenieros (Segunda Edición ed.). Mexico, D.F.: Mc Graw Hill.

Ross, S. M. (2005). Introduccion a la Estadistica. España: Reverte.

Spiegel, R. (1998). Problabilidad y Estadística. Mexico, D.F.: Mc Graw Hill.

Vaca, W. L. (2000). Estadistica Descriptiva con Enfasis en Salud Publica. La Hoguera.

Valdes, J. N. (2006). Matematicas Avanzadas y Estadistica Para Ciencias e Ingenierias. Sevilla: Manuel Castillo.