PROBABILIDADES – PARTE I PROBABILIDADES – PARTE I Prof. Aldo Rojas Ponce

MATEMÁTICA5º de Secundaria

I.E.VIRTUAL PERU-5143

Contenido TemáticoContenido Temático

RecursosRecursos

EvaluaciónEvaluación

BibliografíaBibliografía

CréditosCréditos

PresentaciónPresentación

Inicio

CONTENIDOS PRESENTACIÓN

CONCEPTOS BÁSICOS

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

ANALOGÍA ENTRE CONJUNTOS Y ROBABILIDADES

EXPERIMENTO ALEATORIO

ESPACIO MUESTRAL

SUCESO O EVENTO

S.Elemental

S. imposible

S. Seguro

S. Mutuamerte excluyente

PRESENTACIÓN

Yolanda y Alberto están jugando con un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6. Pero Alberto es muy tramposo y ha cambiado el dado por otro que tiene en todas las caras el 6. Cuando lance Yolanda su dado,¿podremos predecir qué número saldrá?.Cuando lance Alberto su dado,¿podremos predecir qué número saldrá?.

El experimento de Yolanda es de azar, puesto que no podemos predecir su resultado.

El experimento de Alberto no es de azar, puesto que podemos predecir su resultado.

Un experimento es de AZAR si no se puede predecir su resultado.Se llaman EXPERIMENTOS ALEATORIOS los que dan lugar a experimentos de azar.

EJEMPLO

Inicio

EXPERIMENTOS ALEATORIOS E1 : Se lanza un dado dos veces y se anota el número que

sale en la cara superior en ambos lanzamientos. E2: Se analizan muestras de tumores , en un laboratorio,

para ver si son benignos o malignos. E3: Se cuenta el número de lápices defectuosos fabricados

diariamente. E4: Se mide la resistencia eléctrica de un alambre de

cobre.

Al conjunto de todos los resultados que pueden obtenerse al realizar un experimento aleatorio se le llama

ESPACIO MUESTRAL : S ó Ω.

Al lanzar una moneda ¿qué es más probable obtener?Al lanzar un dado ¿ es más probable obtener un 2 ó 6?

*Si en una caja hay cuatro fichas rojas y cuatro azules ¿es más probable sacar una ficha roja o una ficha azul?

Si dos resultados de un experimento aleatorio tienen

la misma probabilidad de ocurrir se dice que son equiprobables.

Cada subconjunto del espacio muestralse llama SUCESO O EVENTO y se denota por A, B, C,....

A

SUCESO O EVENTO

ESPACIO MUESTRAL

SUCESO O EVENTO

Es un suceso que tiene un solo elementoEjemplo: al lanzar un dado sale un seisA={6}

Es un suceso que no puede ocurrirEJEMPLO: al sacar una carta de un naipe español sale un 10 de diamante.

SUCESO ELEMENTALSUCESO IMPOSIBLE

Es aquel suceso que puede ocurrir con toda seguridad.EJEMPLO : De una caja que tiene sólo fichas verdes se extrae una ficha verde.

SUCESO SEGURO

si ocurre A, no puede ocurrir B y si ocurre B no puede ocurrir A

De un naipe español

A :”se sacan copas”

B:”se sacan oros”

A y B son SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESEsto significa que :

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

BALos sucesos A y B son

mutuamente excluyentes si:

U Conjunto Universo Ω o S Espacio MuestralΩ se llama suceso seguroP (Ω) = 1

Conjunto A Suceso o Evento A P(A)

A∩B=¢ Conjuntos disjuntos A∩B=¢ Sucesos mutuamente excluyentes

A∩B=¢ ^ A U B = UConjuntos complementarios

A∩B=¢ ^ A U B =ΩSucesos complementarios

A =¢ A conjunto vacio A =¢ A suceso imposibleP(A) = 0

Analogía entre Conjuntos y probabilidades.

Definición Clásica de Probabilidad

posiblescasosdetotalNAsucesoalfavorablescasosdeNAP

ºº)(

O bien:

##)( AAP

La probabilidad de que ocurra un suceso A, asociado a un espacio muestral Ω, esta dado por:

Inicio

Observaciones sobre esta definición:

1º Es válida solo para espacios muestrales finitos.

2º Es válida solo para el supuesto de equiprobabilidad.

3º Esta definición se cumple cuando el experimento se realiza un gran número de veces.

El naturalista francés Buffon lanzó una moneda 4.040 veces. Resultando 2.048 caras, una razón de 2.048/4.040 = 0,5069

El matemático inglés John Kerrich, mientras fue prisionero de los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces. Resultando 5.067 caras, una razón de 0,5067

Alrededor de 1900, el estadístico inglés Karl Pearson en un acto sin precedentes lanzó una moneda 24.000 veces. Resultando 12.012 caras, una razón de 0,05005

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

1)(0 AP

##)( AAP

A 1##)(

0)(

APASi

APASi

1.-

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO SEGURO ES UNO

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO IMPOSIBLE ES CERO

2.- P (A) + P(AC) =1

La probabilidad de tener a un alumno de sexo femenino en la sala de clases es 0,55, por lo tanto la probabilidad de que no sea de sexo femenino es 0,45.

Ejemplo:

P(M) + P(MC)= 1

3.- Si A y B son sucesos cualesquiera asociados a un espacio muestral S. La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B está dado por:

)()()()( BAPBPAPBAP

Ejemplo:En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos. ¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas?

Solución:

Se definen los sucesos

A:”El sistema A funciona”

B:”El sistema B funciona”

9,06,08,07,0)(

6,0)(8,0)(7,0)(

BUAP

BAPBPAP

Inicio

Consideremos el siguiente ejemplo:

80 buenos

100 artículos

20 defectuosos

Se definen los sucesos:

A: El primer artículo esta defectuoso

B: El segundo artículo esta bueno

Calculemos la probabilidad de que ocurran los sucesos Ay B. Primero considerando que el muestreo se realiza con reposición y luego que se hace sin reposición.

Probabilidad Condicional

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral,la probabilidad de que ocurra el suceso A si ocurrió el suceso B, esta dado por:

0)(,)(

)()/(

BPBPBAPBAP

y la probabilidad de que ocurra el suceso B si ocurre el suceso A, esta dado por:

0)(,)(

)()/(

APAPBAPABP

EJEMPLO:

En una ciudad el 31% de los habitantes tiene un perro como mascota, el 54% tiene un gato y el 12% tiene gato y perro.

Se toma al azar a un habitante de esta ciudad , el cual tiene un gato. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un perro?.

Si se tienen k sucesos asociados a un espacio muestral (A1, A2, A3,.....Ak).La probabilidad de que ocurran los K sucesos a la vez, esta dado por:

)..../(.......

)/()/()(

)...(

1321

213121

321

KK

K

AAAAAP

AAAPAAPAP

AAAAP

La consecuencia más importante de la definición de probabilidad condicional es:

)/()()( ABPAPBAP

Conocido como TEOREMA DE

MULTIPLICACION de

probabilidades

Inicio

Se tienen 14 fichas rojas, 6 blancas, 3 azules. Se definen los siguientes sucesos:A: La primera ficha es roja.B: La segunda ficha es azul.C: La tercera ficha es roja.D: La cuarta ficha es blanca.E: La quinta ficha es roja.

Se efectúa muestreo sin reposición . Calcular la probabilidad de que ocurran los sucesos A, B, C, D y E, a la vez.

EJEMPLO:

Inicio

SUCESOS INDEPENDIENTES

Si A y B son dos sucesos asociados a un espacio muestral , estos sucesos son independientes si:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

En el ejemplo de las fichas, calcular la probabilidad de que ocurran los sucesos A, B, C, D Y E , si el muestreo se realiza con reposición.

Si se tienen k sucesos independientessucesos independientes asociados a un espacio muestral (A1, A2, A3,.....Ak).

La probabilidad de que ocurran los K sucesos a la vez, esta dado por:

)(.......)()()()...( 321321 KK APAPAPAPAAAAP

PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL

Los sucesos B1, B2, B3, .....Bk , son una partición del espacio muestral si:

i) P (Bi ∩ Bj) = 0

ji iki B1ii)

iii) P(Bi) = 0 ki ...3,2,1

Inicio

Las ampolletas son fabricadas por A, B y C.A fabrica el 35% de las ampolletas, B el 20% y C el

45%. Se sabe que el 5%, 3% y 2% de las ampolletas son defectuosas en las fabricas A, B y C, respectivamente.

a) Se colocan todas las ampolletas juntas y se escoge una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la ampolleta esté defectuosa?.

b) Se almacenan todas las ampolletas juntas , de tal manera que no es posible distinguir la fábrica de la cual provienen. Se toma una ampolleta al azar, que esta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fabrica B?.

Ejemplo: