concepto de proporcionalidad

CONCEPTO DE PROPORCIONALIDAD

CONCEPTO DE PROPORCIONALIDAD

La proporcionalidad es una relacin entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemticos ampliamente difundido en la poblacin. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy comn. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relacin entre cantidades.

Ejemplo

Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectngulo con su base.

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cudruple base corresponde .... altura.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:a doble .............. doble,

a mitad.............. mitad,

a triple ............. triple,

a un tercio.....un tercio,

etc .........................

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".ACTIVIDADES1. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razn de proporcionalidad es 3/4.

2. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razn de proporcionalidad es 2/3.

3. Cul es la razn de proporcionalidad?

Propiedades de la Proporcionalidad. Las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporcin est formada por los nmeros a, b, c y d, si la razn entre a y b es la misma que entre c y d.

Una proporcin est formada por dos razones iguales:

a : b = c : d dnde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .

Proporcin mltiple:

Una serie de razones est formada por tres o ms razones iguales:

a: b = c : d = e : f y se puede expresar como una proporcin mltiple:

a : c : e = b : d : f

- En la proporcin formada por dos razones iguales a : b = c : d hay cuatro trminos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:1. Verificar que la segunda columna es mltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda lnea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)

2. Verificar que la segunda lnea es mltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o

3. Verificar la igualdad de los productos cruzados: ad = bc. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a ad = bc, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme inters en este contexto.Aplicacin

Dos albailes construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; Qu superficie construirn cinco albailes en cuatro horas?

Hay dos parmetros que influyen en la superficie construida: El nmero de albailes y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentacin de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso s, explicitando las hiptesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al nmero de albailes equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albailes no se cansan.

Admitiendo estas dos hiptesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: Qu superficie construiran dos albailes en cuatro horas? El parmetro "nmero de albailes" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida ser multiplicada por . Luego, fijando el parmetro tiempo a cuatro horas, y variando l del nmero de obreros de 2 a 5, la superficie ser multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final esMetros cuadrados.

La proporcionalidad mltiple se resuelve as, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

Clases de proporcionalidad

A menudo encontramos casos en que dos conjuntos se relacionan de las siguientes formas:

CONCEPTO DE SEMEJANZA.El concepto de Semejanza en la vida cotidiana

Cuando se utiliza el trmino de semejanza en el lenguaje cotidiano, a qu nos estamos refiriendo? Ser acaso:

Un objeto que se parece a otro

Objetos de igual tamao

Objetos de igual forma

Objetos exactamente iguales

Es difcil poder seleccionar una opcin que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversacin, el significado y utilizacin de la palabra semejanza, podra hacer referencia a objetos que se parecen en tamao, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

El color del automvil de Pedro es semejante al color del automvil de Mara.

La pelota de ping-pong es semejante a la de ftbol.

La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.

Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difcil diferenciarlos.

La llave que usa Sofa, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano Jos.

Se podra seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza. Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una caracterstica comn entre los objetos o personas, tales como: color, tamao y forma, entre otros.

Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o ms caractersticas, que existe entre dos personas u objetos.

El concepto de semejanza en matemtica

El concepto de semejanza en matemtica est muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporcin entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relacin existente entre semejanza y proporcionalidad.

Un gegrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1 : 5000, es decir, un centmetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representacin semejante a una porcin del globo terrqueo, de all que, deba guardar una misma proporcin, con el fin de que las medidas que se tomen sobre l sean lo ms cercanas a su valor real.

La construccin de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicacin de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo ms semejante posible al objeto real, adems de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamao de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamao que el objeto tiene en la realidad.

Dos fotografas de la misma persona, una de tamao 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporcin, ya que una es la ampliacin de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razn, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.

Dos anillos idnticos, cuyos dimetros son exactamente iguales, guardan la misma proporcin y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, rea, dimetro).

El ltimo ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamao y forma se pueden catalogar como semejantes. Se debe tener cuidado con la afirmacin inversa, es decir, objetos de diferente tamao no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma proporcin, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres. En otras palabras, para que dos objetos sean semejantes bajo la concepcin matemtica, no siempre tienen que ser iguales.

Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporcin entre cada una de sus partes respectivas.

CONCEPTO DE SEMEJANZA DE TRINGULOS

En esta seccin se analizar el concepto de semejanza de tringulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solucin de problemas. Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizar solamente el concepto de semejanza.

Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respectivamente:

c y c' (lado grande y lado grande)

a y a' (lado pequeo y lado pequeo)

b y b' (lado mediano y lado mediano)

Observe que al realizar la divisin entre los lados homlogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razn y cuando la razn es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.

Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemtico. Se aplicarn ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de tringulos.

Se podra afirmar, con lo que ya se conoce, que dos tringulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporcin.

Definicin de Semejanza de Tringulos.Dos tringulos son semejantes si los ngulos homlogos son congruentes y los lados homlogos son proporcionales.

Ahora bien, sera muy tedioso estar verificando para cada par de tringulos estas dos condiciones. Para comprobar si dos tringulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos tringulos.

Importante

Cuando se dice que el tringulo ABC es semejante con el tringulo DEF, se escribe:

ABC ~ DEF

Es muy importante el orden en que se escriban los vrtices de cada tringulo, ya que esto establece los ngulos y los lados homlogos.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOSCRITERIO ANGULO- ANGULO- ANGULO

Si en dos tringulos las medidas de sus ngulos correspondientes son iguales, entonces esos dos tringulos son semejantes y viceversa.CRITERIO LADO-ANGULO-LADO

Si dos tringulos tienen un ngulo congruente comprendido entre lados que son proporcionales entonces, los tringulos son semejantes y viceversa. CRITERIO LADO-LADO-LADOSi dos tringulos tienen sus lados correspondientes proporcionales entonces esos tringulos son semejantesTEOREMA DE THALES

Si tres o ms rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales. TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA

Si el segmento al interior del tringulo es paralelo a uno de los lados y pasa por los puntos medios de los otros dos, entonces, dicho segmento medir exactamente la mitad del lado del tringulo al cual es paralelo. T. de Thales

Semejanza 1

Semejanza 2

Semejanza 3

Semejanza 4

Semejanza de tringulos

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/geo/eso/images/294.gif" \* MERGEFORMATINET Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homlogos.Son ngulos homlogos:

Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus ngulos homlogos iguales y sus lados homlogos proporcionales.

La razn de la proporcin entre los lados de los tringulos se llama razn de semejanza.

La razn de los permetros de los tringulos semejantes es igual a su razn de semejanza.

La razn de las reas de los tringulos semejantes es igual al cuadrado de su razn de semejanza.

Ejercicios

1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2.Los catetos de un tringulo rectngulo que miden 24 m y 10 m. Cunto medirn los catetos de un tringulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

T. de Thales

Semejanza 1

Semejanza 2

Semejanza 3

Semejanza 4

Criterios de semejanza de tringulos

1Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/geo/eso/images/308.gif" \* MERGEFORMATINET

2 Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.


3 Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos igual.


Ejercicio

Razona si son semejantes los siguientes tringulos:

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/geo/eso/images/0_19.gif" \* MERGEFORMATINET 180 100 60 = 20

Son semejantes porque tienen dos ngulos iguales.

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/geo/eso/images/0_21.gif" \* MERGEFORMATINET

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ngulo igual.

T. de Thales

Semejanza 1

Semejanza 2

Semejanza 3

Semejanza 4

Criterios de semejanza de tringulos rectngulos

1Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.


2Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.


3Los tringulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.


Semejanza de polgonos

Dos polgonos son semejantes cuando tienen los ngulos homlogos iguales y los lados homlogos proporcionales.


T. de Thales

Semejanza 1

Semejanza 2

Semejanza 3

Semejanza 4

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejercicios

1.Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

S, porque se cumple el teorema de Thales.

El teorema de Thales en un tringulo

Dado un tringulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro tringulo AB'C', cuyos sus lados son proporcionales a los del tringulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se sealan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la ltima divisin sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

concepto de proporcionalidad

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