Concepto de Probabilidad

IIIº Medio 2015

• ¿Cuántas posibilidades tengo de ganar el Kino? (Acertar 14 números de un total de 15?

La verdad es que es bastante baja la probabilidad 1: 4.457.400, es decir, de 0,0000002

¿Qué podríamos hacer para tratar

de aumentar esta posibilidad?

¿Quién quiere ganar el Kino?

• Analizar los números que han salido la mayor cantidad de veces en forma histórica, por ejemplo:

– Al construir tu cartlla de juego debes colocar un máximo de separación de 3 ó 4 números, es lo que más se da en el análisis hecho de las cartlllas ganadoras (74,9%).

– Los números consecutivos sean como máximo 3

ó 4, principalmente.

– La suma de todos los dígitos es más probable que se encuentre entre 180 y 192.

Estrategias

– Ojalá tener 6 números pares y 8 números impares

– Que hallan 3, 4 o 5 números primos

– 4, 5 ó 6 números de un dígito.

– Se reiteran 7 u 8 números del sorteo anterior.

¿Sabiendo esto, tienes más ganas de

jugar?

Estrategias

• Comprender el concepto de probabilidad y calcular probabilidades utilizando teoría de conjuntos. Valorando la importancia de la comprensión al extraer datos relevantes de cada situación.

Objetivo

• Experimento:

Cualquier procedimiento que se realice para obtener resultados, un experimento puede ser

a) Determinístico: Se conoce de antemano el resultado.

b) Aleatorio: No se conoce de

antemano el resultado, pero sí se

conoce el conjunto de los resultados

posibles.

Conceptos Fundamentales

Conceptos Fundamentales

• Espacio muestral ( ): W Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

• Suceso o evento: Cualquier subconjunto de posibles resultados de un experimento

1. Experimento: Lanzar un dado

: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Discreto

Podemos definir los siguientes sucesos:

A: Sale nº par = 2, 4, 6

B: Sale un nº mayor que 4 = 5, 6

C: Sale 1 = 1

Ejemplos

2. Experimento: Tomar al azar un alumno del curso y preguntarle cuantos hermanos tiene.

: 0, 1, 2, 3, 4, … Discreto

Podemos definir los siguientes sucesos:

A: El alumno tiene 2 hermanos = 2

B: El alumno no tiene hermanos = 0

C: El alumno tiene al menos 3

hermanos 3, 4, 5…

Ejemplos

Ejemplos3. Ir al paradero y tomar el tiempo que transcurre

hasta que pasa la micro que debo tomar.

Continuo

Podemos definir los siguientes sucesos:

A: Espero mas de 10 minutos

B: Espero entre 5 y 12 minutos

• Un suceso ocurre cuando ocurre cualquiera de sus elementos.

En el ejemplo 1, si sale 6 entonces:Ocurre A, pues es parOcurre B, pues es mayor que 4No ocurre C, pues no es 1

Importante

Importante

• Suceso es cualquier subconjunto de W, por lo tanto también son sucesos:– El vacío Suceso imposible

– El espacio muestral completo W–

Suceso cierto

• Operando con sucesos se obtienen nuevos sucesos.

• Operar significa unir, intersectar, sacar complemento, etc.

Importante

Por ejemplo

• Si A es un suceso, Ac o A´, se llama A complemento y quiere decir si no ocurre A.

En el diagrama sería

A𝐴𝑐

Por ejemplo

• Si A y B son dos sucesos, A U B (A unión B) ocurre si:

– Ocurre A– Ocurre B– Ocurren Ambos

A B BA

Por ejemplo

• Si A y B son sucesos, A ∩ B (A intersección B) ocurre si:– Ocurren A y B simultaneamente

A B

BA

Leyes de Morgan

• Ac ∩ Bc = (A U B)c

• Ac U Bc = (A ∩ B)c

Sucesos mutuamente excluyentes

• Dos sucesos A y B se dicen mutuamente excluyentes, si ellos no pueden ocurrir simultaneamente, es decir,

A ∩ B = ø

AB

Ω

Definición axiomática de probabilidad

• Sea E un experimento aleatorio y Ω su espacio muestral.

• Con cada suceso A (A subconjunto de Ω), asociamos un número real llamado la probabilidad de A (P(A)), el que satisface los siguientes axiomas:

i) P(A) 0

ii) P(W) = 1

iii) Si A y B son mutuamente excluyentes:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Propiedades

• P(ø) = 0

• P(A) + P(Ac) = P(Ω) P(Ac) = 1 - P(Ω)

• Si A y B son dos sucesos cualquiera

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

• Se lanza un dado y se definen los sucesos

A= Sale un número par

B = Sale un número menor a 5

¿Calcular la probabilidad de que salga un número par o menor a 5?.

Esto es:

Puesto que me sirve cualquiera de las

dos condiciones

Ejemplo

• Si calculamos esta probabilidad como la suma directa de las probabilidades de ambos conjuntos tendríamos lo siguiente:

¿Porqué pasa eso?

Porque el 2 y 4 los estamos sumando dos veces, por eso se resta

la intersección

Pues solo es

A

6

5

432

1B

W

Ejercicios• Sean A y B dos sucesos tales que:

P(A) = 3/8 P(B) = ½ y P(A ∩ B) = ¼

Calcule:

P(A U B), P(Ac), P(Bc), P(Ac ∩ Bc), P(Ac U Bc),

P(A ∩ Bc), P(Ac ∩ B)

Respuestas :

• En una ciudad el 40% de las personas tiene el pelo castaño, el 25% tiene los ojos café y un 15% tiene el pelo castaño y los ojos café. Si se escoge una persona al azar:

a) ¿cuál es la probabilidad que no tenga el pelo castaño ni los ojos café?

b) ¿cuál es la probabilidad de que tenga

los ojos café si se sabe que tiene

el pelo castaño?

Respuestas: 0,5 y 0,375

Ejercicios

Ejercicios

• Sean A, B , C sucesos tales que:

P(A) = 6/25 P(B) = 6/25 P(C) = 13/50

P(A ∩ B) = 1/10 P(A ∩ C) = 2/25 P(B ∩ C) = 1/10

P(A ∩ B ∩ C) = 3/50- Construya el diagrama de Venn y responda

a) P(A U B), P(A U C), P(A U B U C)

b) P(Ac U Bc U Cc), P(Ac ∩ Bc ∩ Cc)Respuestas: